Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về sự Y-ổn định của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banac" doc

trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008



5
Về tính

-ổn định của phơng trình
sai phân tuyến tính trong không gian banach

Phạm Ngọc Bội
(a)
, Hoàng Văn Thành
(a)

Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi xây dựng các khái niệm

-ổn định đều,

-
ổn định mũ cho phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach
và chứng minh một số điều kiện cần và đủ để phơng trình này

-ổn định đều,

-ổn
định mũ. Bài báo cũng chỉ ra mối quan hệ giữa điều kiện Perron của phơng trình sai
phân tuyến tính không thuần nhất với tính

-ổn định của phơng trình sai phân tuyến
tính thuần nhất tơng ứng.
I. Giới thiệu
Giả sử B là không gian Banach với chuẩn
.
, và {A(n), n

0} là một dãy toán
tử tuyến tính của không gian Banach B. Khi đó ta có phơng trình sai phân tuyến
tính thuần nhất trong B
)()()1( nxnAnx
=
+
(1)
Các kết quả cổ điển về sự ổn định của phơng trình (1) trong
n
đợc trình
bày một cách hệ thống trong nhiều tài liệu (chẳng hạn trong [10]). Để tìm các kết
quả tổng quát hơn, có hai quan điểm nghiên cứu: một là xét phơng trình (1) trong
các không gian tổng quát hơn
n
; hai là đa ra các khái niệm ổn định tổng quát hơn
khái niệm ổn định cổ điển, nhằm mở rộng các kết quả đã có về tính ổn định đối với
phơng trình sai phân tuyến tính.
Đối với phơng trình vi phân, Akinnyele ([1]) đã đa ra khái niệm

-ổn định,

-bị chặn. Có nhiều tác giả quan tâm đến hớng nghiên cứu này nh Avamescu,

Constantin (xem [2], [4] - [8]). Đối với phơng trình sai phân, gần đây Y. Han và J.
Hong ([9]) đã chỉ ra một số tiêu chuẩn về sự tồn tại nghiệm

-bị chặn của phơng
trình sai phân tuyến tính trong
n
:
x(n+1) = A(n) x(n)+f(n), (2)
trong đó {f(n), n

0} là dãy nhận giá trị trong
n
.
Các tác giả của [1], [2], [4] - [9] chỉ xét bài toán trong
n
và

(t), t (hoặc

(n), n = {0,1,2 } ) là ma trận đờng chéo, mỗi phần tử trên đờng chéo lấy giá
trị trong (0, +).
Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng khái niệm

-ổn định đều,

-ổn định
mũ cho phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach và
chỉ ra một số tiêu chuẩn để chúng

-ổn định đều,

-ổn định mũ với {

(n), n

0} là
dãy toán tử tuyến tính của B khả nghịch với mọi n . Chúng tôi sử dụng toán tử
dịch chuyển làm công cụ nghiên cứu điều kiện Perron của phơng trình sai phân
tuyến tính.

Nhận bài ngày 14/7/2008. Sửa chữa xong 22/8/2008.



P.N. Bội, H. V. Thành Về sự -ổn định của không gian banach, Tr. 5-12



6
1.1. Định nghĩa ([10]).
a) Phơng trình (1) đợc gọi là

-ổn định đều trên nếu với mỗi

> 0 tồn
tại

=

(

) > 0 sao cho mỗi một nghiệm bất kỳ {x(n)} của phơng trình (1) trên [n
0
,

), với n
0
tuỳ ý thuộc nếu thoả mãn
)()(
00
nxn
<

thì
)()( nxn
<

với mọi n

n
0
.
b) Phơng trình (1) đợc gọi là

-ổn định mũ trên nếu tồn tại các số dơng
K và q, q < 1 sao cho nếu {x(n), n} là nghiệm bất kỳ của phơng trình (1) thì
)()()()( mxmKqnxn
mn

với mọi n, m thuộc , n

m

0.
1.2. Chú ý. Dễ thấy phơng trình (1)

-ổn định mũ trên thì cũng

-ổn
định đều trên . Trong trờng hợp, các dãy {

(n), n

0} và {


-1
(n), n

0} bị chặn
(nói riêng khi {

(n), n

0} là dãy toán tử đồng nhất) thì khái niệm

- ổn định đều
(tơng ứng

-ổn định mũ) của phơng trình (1) đồng nhất với khái niệm ổn định đều

(tơng ứng ổn định mũ) của phơng trình (1).
II. các kết quả
Trong bài báo này ta giả thiết rằng ,2,1),()1()(
1
=

nnnAn là dãy toán
tử tuyến tính bị chặn đều

,2,1,)1()1()(
1
=<

nCnnAn
. (3)
Ký hiệu
X n m
A n A n A m n m
I n m
( , )
( ) ( ) ( ) ,
,
=
>
=



1 2
,

trong đó I là toán tử đồng nhất. X(n, m) đợc gọi là toán tử giải của phơng trình (1)
2.1. Định lý. Phơng trình (1)

-ổn định đều nếu và chỉ nếu
<


KmmnXn )(),()(sup
1
0mn
. (4)
Chứng minh. Dễ thấy nghiệm x = {x(n), n } của phơng trình (1) thoả mãn:
x(n) = X(n,m)x(m) với mọi n

m

0 .
Giả sử phơng trình (1)

-ổn định đều, khi đó tồn tại > 0 sao cho với x(n) là
nghiệm bất kỳ của (1) nếu

<)()( mxm
(5)
thì
1)()( <nxn
, n

m

0. (6)
Đặt
)(),()(),(
1
m

mnXn

mn


=
, ta chứng minh họ toán tử
{
}
0,),( mnmn
bị chặn đều. Với
0


mn
, giả sử u 0, u B, ta xét dãy {x(n), n



trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008



7

=m, m+1, } sao cho x(m) =
u
um
2
)(
1



(

(m) khả nghịch với mọi m thuộc ). Khi
đó
2
)()(

=mxm
nên (5) thoả mãn. Vậy ta có (6), nghĩa là

1)()()(),()(
1
<

mxmmmnXn
, n

m

0.
Suy ra

u
umn
2
),(
. (7)
Khi u = 0 hiển nhiên bất đẳng thức thức (7). Vậy đẳng thức thức (7) đúng với
mọi u B, suy ra họ toán tử
{
}
0,),( mnmn
bị chặn tại mỗi một u B. Theo
nguyên lý bị chặn đều, ta suy ra họ toán tử
{
}
0,),( mnmn
bị chặn đều.
Vậy (4) đợc chứng minh.
Ngợc lại giả sử có (4). Nếu là số dơng bất kỳ, ta chọn =
K

. Khi đó với
nghiệm x(n) tuỳ ý của (1) nếu
x(m)m )(
<
K

thì

m)x(m))(n)X(n,(n)x(n) =

(m)x(m))(m)m)(n)X(n,
1

< ,
với mọi n

m.
Vậy phơng trình (1) ổn định đều.
Xét tập hợp C gồm tất cả các dãy g:

B sao cho
)()(sup ngn
n

< . Dễ
thấy rằng

.
=
)()(sup ngn
n
là một chuẩn trên C, với chuẩn này C là một không
gian Banach C

.
Lập ánh xạ S: C

C

,





=
=
1 nếu
0 nếu
nnvnA
n
nSv
)1()1(
0
))((

ta gọi S là toán tử dịch chuyển của C

. Chú ý rằng điều kiện (3) đảm bảo cho Sv
C

và S L[C

] (không gian các toán tử tuyến tính bị chặn của C

). Ta ký hiệu
chuẩn của S là

S
.
2.2. Định lý. Phơng trình (1)

-ổn định đều nếu và chỉ nếu
<


MS
k
k
0
sup
.
Chứng minh. Đặt
(m)m)(n)X(n,mn
1
),(

=
, trớc hết ta chứng minh đẳng
thức
),(sup
0
knnS
n
k
=

. (9)
Dễ thấy
0);(),())(( = knknvknnXnvS
k
nên



P.N. Bội, H. V. Thành Về sự -ổn định của không gian banach, Tr. 5-12



8
k)k)v(n(nk)n(n,vS
n
k
=


sup
)()(sup),(sup knvknknn
nn



n
v.k)n(n, sup
.
Vậy

),(sup
0
knnS
n
k



. (10)
Với x B, ký hiệu v
x
là dãy
{
}
0,)()(
1
=

nxnnv
x

.
Khi đó
xknnknn
x
),(sup),(
1
=
=
=

k)(nk)v(nk)n(n,
x
x

=

1
sup

)(),()(sup
1
knvknnXn
x
x
=
=
= )()(sup
1
nvSn

x
k
x =
=

=
x
k
x
vS

1
sup

=


x
k
v
vS
x
1
sup


k
S
.
Kết hợp bất đẳng thức trên với (10) ta có (9).
Từ (9) và Định lý 2.1 suy ra phơng trình (1)

-ổn định đều.
2.3. Hệ quả. Bán kính phổ của S là
k
kn
k
knnsr
1
),(suplim)( =

.
Điều này suy ra từ công thức (9) và công thức bán kính phổ
k
k
k
SSr
1
lim)(



=
.
2.4. Định lý. Phơng trình (1)

-ổn định mũ khi và chỉ khi bán kính phổ của
S thoả mãn 1)( <Sr

.
Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh đẳng thức
{
}
xmqNxmnXnNqSr
mn
qq
x
mn
)(),()(,00inf)(

0
>>=




B
. (11)
Đặt vế phải của (11) là R. Trớc hết ta chứng minh
RSr )(

. (12)
Để chứng minh (12) ta chứng minh q

)(Sr

nếu q

R.
Ta có k)k)v(n(nqNv)(n)(n)(S
k
q
k
, n

k

0, v C

.

Vậy


vqNvS
k
q
k
cho nên
k
q
k
qNS

. Suy ra
qSSr
k
k
k
=



1
lim)(
.
Vậy (12) đợc chứng minh.
Ta còn phải chứng minh
RSr

)( . (13)

Để chứng minh (13) ta chứng minh p

R nếu p

)(Sr

. Thật vậy từ q

)(Sr

nên với k
0
đủ lớn ta có
pS
k
k


0
0
1
. (14)
Giả sử u là một phần tử của B. Ký hiệu u
x
là dãy



trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008

9




=

=
1nếu
1nếu
nx
n
nu
x
0
)( .
Dễ thấy
==


)(),()(sup
0
0
0
nuknnXnuS
x
n
x

k
xkXk )1()1(
00
++
. (15)
Theo (14) ta có
xpupuS
k
x
k
x
k
)1(
000
=


. Kết hợp bất đẳng thức này
với (15), suy ra
xpxkXk
k
)1()1,1()1(
0
00
++
. Bất đẳng thức này chứng tỏ p

R. Vậy
(13) đợc chứng minh. Từ các bất đẳng thức (12), (13) ta có (11).
Bây giờ ta chứng minh Định lý 2.4.

Giả sử phơng trình (1)

-ổn định mũ. Khi đó tồn tại các số K và q : K > 0, 0 <
q< 1 sao cho nếu {x(n), nN} là nghiệm bất kỳ của phơng trình (1) thì
(m)x(m)Kq(n)x(n)
mn

với mọi n

m

0. (16)
Với phần tử v bất kỳ của B, ký hiệu x(n) là nghiệm của (1) sao cho x(0) = v. Từ
(16) ta có
)v(Kq)v(n)X(n,
n
00
. Từ (11) ta suy ra 1)(
<Sr

.
Ngợc lại, nếu 1)(
<Sr

thì từ (11) ta suy ra tồn tại các số 0 < q< 1, N
q
sao
cho
(m)vqNm)v(n)X(n,
mn

q


với mọi m,n thuộc , n

m

0, mọi v B. Giả sử
x(n) là nghiệm tuỳ ý của (1), thay v trong bất đẳng thức trên bởi x(m), ta thu đợc
(16). Vậy phơng trình (1)

-ổn định mũ.
Sau đây ta chứng minh mối quan hệ giữa tính

-ổn định mũ của phơng
trình (1) với điều kiện Perron của phơng trình (2), trong đó {f(n), n

0} là dãy nhận
giá trị trong B.
2.5. Định nghĩa. Nếu với mỗi một f thuộc C bài toán Cauchy




=
+=+
0)0(
)()()()1(
x
nfnxnAnx

có nghiệm x(n) thuộc C,

ta nói rằng phơng trình (2) thoả mãn điều kiện Perron.
Sau đây là kết quả về mối liên hệ giữa tính

-ổn định mũ và điều kiện
Perron.
2.6. Định lý. Phơng trình (2) thoả mãn điều kiện Perron khi và chỉ khi
phơng trình (1)

-ổn định mũ.
Chứng minh. Ký hiệu
C
~
là tập hợp con của C gồm tất cả các dãy {x(n),
n

0|x(0) = 0}. Dễ thấy rằng tập hợp
C
~
với chuẩn

.
nói trên là một không gian
Banach, ta ký hiệu không gian này là

C
~
. Ký hiệu

S
~
là hạn chế của S trên
C
~
.
Trớc hết ta chứng minh hai bổ đề sau (tơng tự cách chứng minh Định lý 1
và Định lý 5 trong [3]).



P.N. Bội, H. V. Thành Về sự -ổn định của không gian banach, Tr. 5-12



10
2.7. Bổ đề. Nếu

thuộc giải thức

)
~
(
S

thì đờng tròn z =

nằm trong

)

~
(
S
.
ý nghĩa hình học của Bổ đề này là: giải thức của
S
~
là một hình tròn xoay tâm
là gốc toạ độ.
Chứng minh. Để chứng minh Bổ đề 2.7 ta chỉ cần chứng minh rằng phổ
)
~
(
S
bất biến với mọi phép quay quanh gốc toạ độ:
)
~
(
S
= e
i

)
~
(
S
, (17)
với mọi .
Trớc hết ta chứng minh cho

2, ( là tập hợp các số hữu tỷ). Tức là


2
=
p
q
, trong đó p, q. Xét toán tử:

T
:
C
~

C
~
xác định nh sau:
(

T
v)(n) =
e
i

n
v(n).
Ta có (

T
S

~

T
v)(n) =
e
i

n
(
S
~

T
v)(n) =
e
i

n
A(n-1)(

T
v)(n-1)
= e
i

n
A(n-1)e
-i

(n-1)

v(n-1) = e
i

A(n-1)v(n-1) = e
i

(
S
~
v)(n),
với mọi n thuộc .
Suy ra

T
S
~

T
= e
i

(
S
~
). Vì

T
là toán tử tuyến tính liên tục và
1
)(

T
=

T
nên )
~
(
S
=
)
~
(

TST
= )
~
(
Se
i

= )
~
(
Se
i


.

Nếu

là số thực bất kỳ khi đó tồn tại dãy {

n
} 2 sao cho

n


. Theo chứng minh trên )
~
(
S
= )
~
(
Se
n
i


, với mọi n . Do )
~
(
S
đóng trong


nên suy ra )

~
(
Se
i


)
~
(
S
. Thật vậy giả sử z
0
là số phức tuỳ ý thuộc )
~
(
S
thì dãy
{z(n)

=
n
i
e

z
0
} )
~
(
Se

n
i


= )
~
(
S
hội tụ về
z
=

i
e
z
0
trong

C
~
nên
z
)
~
(
S
. Mặt
khác
z
=

i
e
z
0
)
~
(
Se
i


. Vậy )
~
(
S
)
~
(
Se
i


hay )
~
(
Se
i

)
~
(
S
.
Hoàn toàn tơng tự ta có )
~
(
S
)
~
(
Se
i


. Vậy (17) đợc chứng minh.
2.8. Bổ đề. Nếu



)
~
(
S
thì
)
~
(Sr

< |

|.
ý nghĩa hình học của Bổ đề này là: giải thức của
S
~
và phổ của
S
~
nằm ở hai
phần phân biệt của mặt phẳng

. Phổ của
S
~
chiếm phần trong và giải thức của
S
~
chiếm phần ngoài.
Chứng minh. Theo Bổ đề 9, toàn bộ đờng tròn z =

không nằm trong phổ
)
~
(
S
. Ký hiệu )
~
,(
SsR

=
1
)
~
(

sIS
, với I là toán tử đồng nhất. Tích phân


=
=


z
dsSsR
i
P
)
~
,(
2
1




trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008

11
là một phép chiếu trong

C
~
(P
2
=P). Hơn nữa P giao hoán với
S
~

(P
S
~
=
S
~
P) và
(P
S
~
P) = (
S
~
) { z | |z| < |

|}
((I-P)
S

~
(I-P)) = (
S
~
) { z | |z| > |

|} (18)
Đặt U = (I-P)
S
~
(I-P), ta chứng minh U = 0. Thật vậy từ định nghĩa của
S
~
ta
suy ra


=1
)
~
Im(
n
n
S
= {0} (19)
Vì (U) không chứa 0 nên U khả nghịch. Từ
U U U
n n
=
+

.
1
ta thu đợc ImU
ImU
n
. Mặt khác, hiển nhiên ImU
n
ImU vì vậy ImU = ImU
n
, với mọi số tự nhiên n.
Để ý rằng I-P giao hoán đợc với
S
~
và (I-P)
n
= (I-P) với mọi số tự nhiên n nên
ta có U
n
= (I-P)
n
S
~
(I-P). (20)
Từ công thức (19) và (20) ta nhận đợc ImU =


=

1
)(

~
)Im(
n
n
PISPI
= {0}
Tức là (I-P)
S
~
= U = 0 điều này kéo theo (I-P) = 0, tức là P = I. Do (18) nên
(
S
~
) { z | |z| < |

|}, nghĩa là
)
~
(Sr

< |

|
Bổ đề đợc chứng minh.
Ta chứng minh Định lý 2.6.
Với mỗi f C, ký hiệu
f
~
là dãy thuộc
C

~
nh sau






=
=
1),1()(
~
0)0(
~
nnfnf
f
.
Dễ thấy phơng trình (2) thoả mãn điều kiện Perron khi và chỉ khi với mỗi
một
f
~

C
~
tồn tại
x
~

C
~

sao cho
fxSx
~
~
~
~
=
. Điều đó tơng đơng với toán tử
I
d
-
S
~
khả nghịch hay 1
)
~
(S
. Từ Bổ đề 10 ta suy ra điều kiện Perron thoả mãn cho
phơng trình (2) khi và chỉ khi
)
~
(Sr

< 1.
Với lập luận cho
S
~
giống hệt nh đã là cho S trong Định lý 2.4, ta có
)
~

(Sr

< 1 khi và chỉ khi phơng trình (1)

-ổn định mũ.
Vậy phơng trình (2) thoả mãn điều kiện Perron tơng đơng với 1
)
~
(S
và
tơng đơng với phơng trình (1)

-ổn định mũ.
Chú ý: Điều kiện Perron cổ điển đợc chứng minh bởi Ta Li (xem [10]) là
trờng hợp riêng của Định lý 2.6 khi các dãy {

(n), n

0} và {


-1
(n), n

0} bị chặn
(nói riêng khi {

(n), n

0} là dãy toán tử đồng nhất).

P.N. Bội, H. V. Thành Về sự -ổn định của không gian banach, Tr. 5-12



12
Tài liệu tham khảo

[1] Akinyele O., On partial stability and boundedness of degree k, Atti. Acad. Naz.
Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., Vol. 8, 65, 1978, pp. 259-264.
[2] Avramescu C., Asupra comportarii asimptotice a solutiilor unor ecuatii
functionale, Analele Universitatii din Timisoara, Seria Stiinte Matematice, Vol.
VI, 1968, 41-55.
[3] Aulbach B. and Nguyen Van Minh, The concept of spectral dichotomy for linear
difference equations II, Journal of Difference Equations and Applications, No. 2,
1996, pp. 251-162.
[4] Constantin A., Asymptotic proporties of solution of differential equation, Analele
Universitatii din Timisoara, Seria Stiinte Matematice-Fizice, Vol. XXX, fasc.
Vol.2, No.3,1992, pp. 183-225.
[5] Diamandescu A., On the

-stability of a nonlinear Volterra integro-differential
system, Electronic Journal of Differential Equation, Vol. 2005 (2005), No. 56, pp.
1-14.
[6] Diamandescu A., Note on the

-boundedness of the solutions of a system of
differential equations, Acta Math. Univ. Comenianae, Vol. LXXIII, 2, 2004, pp.

223-233.
[7] Pham Ngoc Boi, On the

- dichotomy for homogeneous linear differential
equations, Electronic Journal of Differential Equation, Vol. 2006 (2006), No. 40,
pp. 1-12.
[8] Pham Ngoc Boi, Existence of

-bounded solutions on for nonhomogeneous
linear differential equations, Electronic Journal of Differential Equation, Vol.
2007 (2007), No. 52, pp. 1-10.
[9] Y. Han, J. Hong, Existence of

-bounded solutions for linear difference equations,
Applied Mathematics Letters, No. 20, 2007, pp. 301 305.
[10] Xaaa A., Beep.., aecea eop x ce, M,
, 1971.
Summary
on the

-stability of LINEAR difference equations in Banach spaces
In this article we introduce concepts of

-uniformly stable,

-exponential
stable for homogeneouslinear difference equations in Banach spaces and prove some
necessary and sufficient conditions for

-uniformly stable,

-exponential stable of
these equations. The article show relation between the Perron condition of
nonhomogeneouslinear difference equations and the

-stable of the corresponding
homogeneouslinear difference equations.

a)
Khoa Toán, trờng Đại Học Vinh

b)
Cao học 14 - Giải tích, trờng Đại Học Vinh.