Cách tính số đỉnh, số mặt của 1 đa giác

TÍNH NHANH CÁC ĐẶC TRƯNG
CỦA NĂM KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Dương Trác Việt**
** ȍ Thủ thuật Casio khối A.

Ngày 4 tháng 7 năm 2017

B

Sử dụng tiếp công thức* [1, tr. 21]

ài viết đề cập “mẹo” xác định nhanh
số đỉnh D và loại {n; p} của năm khối
đa diện đều.

pD = nM = 2C

(2)

ta tìm được n và p .

1
1.1

Chiến lược tối ưu

2

Nêu vấn đề

Vận dụng

2.1

Tứ diện đều - 4 mặt đều

Đề bài cho biết tên của một khối đa diện
đều, yêu cầu tính số đỉnh D , số cạnh C , số
mặt M và loại n; p tương ứng.

1.2

Giải quyết vấn đề

Theo chúng tôi, thí sinh nên thuộc nằm
lòng số cạnh C của từng khối đa diện đều.
Vì đề bài cho biết tên của khối nên số mặt
M hiển nhiên xuất hiện trong giả thiết (trừ
khối lập phương ít khi được gọi đúng là lục
diện đều). Sau đó, áp dụng công thức Euler
[1, tr. 20-21].
D +M =C +2

ta tìm được D .

Hình 1: Tứ diện đều - 4 mặt đều [2].

Tứ diện nghĩa là bốn mặt, nên M = 4.
Thuộc lòng tứ diện đều có C = 6 cạnh. Áp
dụng (1) ta có
D +M =C +2

⇔D + 4 = 6 + 2

(1)

⇔D = 4.
* ”Mẹo”

đọc là: pê Đê = anh Em = 2 Chị.


TÍNH NHANH CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NĂM KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Tiếp tục dùng (2) ta có
pD = nM = 2C
⇔4p = 4n = 2 · 6
12
⇔n = p =
= 3.
4

Hình 3: Bát diện đều - 8 mặt đều [5].

Vậy tứ diện đều thuộc loại {3; 3}.
Tiếp tục dùng (2) ta có

2.2

Lục diện đều - 6 mặt đều - lập
phương

pD = nM = 2C

⇔6p = 8n = 2 · 12
⇒

n

= 24
8 = 3,

p

= 24
6 = 4.

Vậy bát diện đều thuộc loại {3; 4}.

Hình 2: Lục diện đều - 6 mặt đều - lập phương
[5].

2.4

Thập nhị diện đều - 12 mặt
đều

Vì lập phương là lục diện đều nên có sáu
mặt, kéo theo M = 6. Thuộc lòng lập phương
có C = 12 cạnh. Áp dụng (1) ta có
D +M =C +2
⇔D + 6 = 12 + 2
⇔D = 8.

Hình 4: Thập nhị diện đều - 12 mặt đều [5].

Tiếp tục dùng (2) ta có
pD = nM = 2C
⇔8p = 6n = 2 · 12
⇒

n

= 24
6 = 4,

p

= 24
8 = 3.

Vậy lập phương thuộc loại {4; 3}.

2.3

Bát diện đều - 8 mặt đều

Bát diện nghĩa là tám mặt, ta có M = 8.
Thuộc lòng bát diện đều có C = 12 cạnh. Áp
dụng (1) ta có
D +M =C +2
⇔D + 8 = 12 + 2
⇔D = 6.

Thập nhị diện nghĩa là mười hai mặt, ta
có M = 12. Thuộc lòng thập nhị diện đều có
C = 30 cạnh. Áp dụng (1) ta có
D +M =C +2
⇔D + 12 = 30 + 2
⇔D = 20.

Tiếp tục dùng (2) ta có
pD = nM = 2C
⇔20p = 12n = 2 · 30
⇒

n

60
= 5,
= 12

p

= 60
20 = 3.

Vậy thập nhị diện đều thuộc loại {5; 3}.
Trang 2 trong tổng số 3 trang


TÍNH NHANH CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NĂM KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Bài đọc thêm [1, tr. 22] nên ít có khả năng
xuất hiện ở kì thi Tốt nghiệp Trung học phổ

thông Quốc gia.

Tài liệu
Hình 5: Nhị thập diện đều - 20 mặt đều [3].

2.5

Nhị thập diện đều - 20 mặt
đều

Nhị thập diện nghĩa là hai mươi mặt, ta
có M = 20. Thuộc lòng nhị thập diện đều có
C = 30 cạnh. Áp dụng (1) ta có
D +M =C +2
⇔D + 20 = 30 + 2
⇔D = 12.

Tiếp tục dùng (2) ta có
pD = nM = 2C
⇔12p = 20n = 2 · 30
⇒

n

= 60
= 3,
20

p

= 60
= 5.
12

[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2009), Hình
học 12: nâng cao, NXB. Giáo dục, Hà
Nội.
[2] Maths is Fun (2017), Tetrahedron, truy cập ngày 11-6-2017 tại
www.mathsisfun.com/geometry/tetrahedron
[3] Stack over Flow (2017), truy
cập ngày 11-6-2017 tại
:
questions/28761534/i-need-helpto-draw-an-icosahedron-3d-objectin-an-uikit-app
[4] Wikipedia (2017), Euler characteristic, truy cập ngày 11-6-2017 tại ɀ:
wiki/Euler_characteristic
[5] Wikipedia
(2017),
Polyhedron,
truy cập ngày 11-6-2017 tại ɀ:
wiki/Polyhedron

Vậy nhị thập diện đều thuộc loại {3; 5}.

3

Nhận định khác

1. Có thể nhớ theo cặp: lập phương & bát
diện, 12 mặt & 20 mặt. Khi đó, số mặt
của khối này này là số đỉnh của khối

kia. Riêng các số liệu của tứ diện phải
thuộc lòng.
2. Khối 12 mặt và 20 mặt còn có tính chất
đảo ngược: 12 mặt thì 20 đỉnh, và ngược
lại, 20 mặt thì 12 đỉnh.

4

Kết luận

Nhìn chung, theo chúng tôi học sinh
muốn giải quyết dạng toán này chỉ cần nhớ
số cạnh của các khối đa diện đều và hai công
thức, kèm chú ý khối lập phương có sáu mặt.
Tuy nhiên, phần này thuộc kiến thức của
Trang 3 trong tổng số 3 trang