Bài giảng môn giải tích 1 chuong2 GH LT

Môn học : GIẢI TÍCH 1
CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ (Học trong giờ Bài
tập)

CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
Giới thiệu các lọai hàm : Hàm hợp, hàm ngược, các
hàm lượng giác ngược, các hàm hyperbol
Giới hạn hàm số - Hàm liên tục
Vô cùng lớn – Vô cùng bé


CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Đạo hàm hàm y=f(x), hàm ngược, hàm cho bởi
phương trình tham số
Đạo hàm cấp cao
Vi phân, vi phân cấp cao
Công thức Taylor – Maclaurint. Ứng dụng tính giới
hạn hàm
Quy tắc L’Hospital
Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm y=f(x)
Giới thiệu phần mềm MatLab để giải bài toán giải
tích


CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN
Tích phân bất định
Tích phân xác định – Công thức Newton-Leibnitz
Tích phân suy rộng: Tích phân với cận vô tận và
Tích phân hàm không bị chặn
Ứng dụng của tích phân
CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Phương trình vi phân cấp 1: 5 dạng
Phương trình vi phân cấp 2: Pt giảm cấp được và
Pt tuyến tính
Hệ Phương trình vi phân tuyến tính


CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC


Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học
Hàm số mũ: y = ax
Nếu a=1 thì hàm làm hàm hằng, nên ta chỉ tính khi a≠1
Hàm xác định với a>0, a≠1
MXĐ: (-∞,+∞),
MGT: (0,+∞)
Khi 0• Hàm nghịch biến
lim a x = 0, lim a x = +∞

x →+∞

x →−∞


Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học
Khi a>1:
Hàm đồng biến
lim a x = +∞, lim a x = 0

x →+∞

So sánh 3 hàm y=2x,
y=ex, y=3x

x →−∞


Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học
Hàm logarit: y=logax , a>0, a ≠1
MXĐ : (0,+∞), MGT: (- ∞,+∞)
a>1:
Hàm đồng biến
lim log a x = −∞

x →0 +

lim log a x = +∞

x →+∞


Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học
0Hàm nghịch biến
lim log a x = +∞

x →0 +

lim log a x = −∞

x →+∞

Tính chất:
y = log a x ↔ x = a y
x

log a (a ) = x, ∀x
a log a x = x, ∀x > 0

log a ( x. y ) = log a x + log a y
x
log a = log a x − log a y
y
log a ( x r ) = r log a x, ∀r ∈ R


Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học
So sánh một số hàm
logarit với a>1 cụ thể

Đặc biệt: khi a=e, ta kí hiệu đơn giản logex=lnx
ln b
và ta có công thức
log a b =
ln a


Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã họcc
Hàm lũy thừa : y=xa
MXĐ, MGT : Tùy thuộc vào a

a=2, 4, 6: MXĐ: (- ∞,+∞),
MGT: (0,+∞)

a=3, 5: MXĐ: (- ∞,+∞),
MGT: (- ∞,+∞)


Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã họcc

y= x

a = -1: MXĐ: R*=R\{0},
MGT: R*. Ta còn gọi đây là
đường Hyperbol

a=1/2: MXĐ (0,+∞),
MGT (0,+∞)


Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Hàm hợp : Cho 2 hàm g : X → Y , f : Y → Z
Ta gọi hàm hợp của 2 hàm trên là h = f og
Được xác định như sau : h : X → Z , h( x) = f ( g ( x))


Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
2
Ví dụ : Cho 2 hàm f ( x) = 2 x + 1, g ( x) = x + 1
Tìm f og , g o f và tính giá trị của chúng tại x = 2

f og ( x) = f ( g ( x )) = f ( x 2 + 1) = 2 x 2 + 1 + 1
⇒ f og (2) = 2 5 + 1

g o f ( x) = g (2 x + 1) = (2 x + 1) 2 + 1 = 4 x 2 + 4 x + 2
⇒ g o f (2) = 26

Lưu ý : Nói chung 2 hàm f og , g o f không bằng nhau


Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Ví dụ : Cho 2 hàm f ( x) = x , g ( x) = 3 x − 1
Tìm các hàm và MXĐ của chúng f og , g o f , f
f og ( x) = f ( g ( x)) = f ( 3 x − 1) = 6 x − 1

g o f ( x) = g ( x ) = 3 x − 1

g og ( x) = g ( g ( x)) = g ( x − 1) =

MXĐ là [1,+∞)
MXĐ là [0, +∞)

x = 4 x MXĐ là [0, +∞)

f o f ( x) = f ( f ( x)) = f ( x ) =
3

o f , g og

33

x − 1 − 1 MXĐ là R


Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Hàm 1-1 : Hàm f : X → Y , f ( x) = y
được gọi làm hàm 1-1 nếu ∀x1 ≠ x2 : f ( x1 ) ≠ f ( x2 )

X − − − − − −− > Y

Hàm 1-1

X − − − − − −− > Y
Không là hàm 1-1


Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược

Hàm y=x là hàm 1-1
3

Hàm y=x2 không là hàm 1-1

Hàm 1-1 có đồ thị chỉ cắt mọi đường thẳng y = C,
với C thuộc MGT của hàm tại duy nhất 1 điểm.


Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Hàm ngược : Cho hàm 1-1 f : X → Y , f ( x ) = y
hàm ngược của hàm, đựơc kí hiệu là y = f -1(x),

f −1 : Y → X sao cho
f −1 ( y ) = x ⇔ y = f ( x)
Như vậy : f(f -1(y))=y và f -1(f(x))=x

Ta có: MXĐ của hàm f -1 là MGT của hàm f và MGT
của hàm f -1 là MXĐ của hàm f


Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Ví dụ: Tìm hàm ngược của hàm y = x3 - 1
Ta sẽ tìm hàm y = f-1(x) bằng cách tính x theo y
3

y = x −1 ⇔ x = 3 y +1
Thay x bởi y, y bởi x, ta được hàm ngược

y= f

−1

( x) = 3 x + 1

f o f −1 ( x) = f ( f ( x)) = f ( 3 x3 + 1) =

(

3

)

3

x3 + 1 − 1 = x

MXĐ và MGT của cả 2 hàm f và f -1 đều là R


Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Ví dụ: Hàm y=x2 không làm hàm 1-1 trên (-∞,+∞)
Tuy vậy, nếu ta giới hạn bớt
MXĐ của hàm là (0 ,+∞) thì
ta được hàm 1-1  y = x 2 ,

x ≥ 0
Khi đó, ta vẫn có hàm ngược

y = x, x ≥ 0

, x≥0


Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược
Với mọi a thuộc MXĐ của hàm y = f(x), đặt b = f(a)
thì a = f-1(b) tức là điểm (a,b) thuộc đồ thị hàm f(x)
thì điểm (b,a) thuộc đồ thị hàm f-1(x).

Đồ thị của hàm y = f(x) và hàm y=f-1(x) đối xứng
nhau qua đường thẳng y = x

Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

Hàm ngược của hàm y = sinx : hàm y=arcsinx

π π

Trên đọan − ,  Hàm y = sinx là hàm 1-1
 2 2
Tồn tại hàm ngược là hàm y=arcsinx
Hàm y=arcsinx có MXĐ là [-1.1]
π π
MGT là  − , 
 2 2


Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

 π π
y = arcsin x ⇔ x = sin y, y ∈  − , − 
 2 2

 π π
arcsin(sin x) = x, x ∈  − , 
 2 2
sin(arcsin x) = x, x ∈ [ −1,1]

π
1
π
arcsin( −1) = − ,arcsin( −

)=−
2
4
2

3 π
arcsin(0) = 0,arcsin( ) =
2
3


Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

Hàm ngược của hàm y = cosx : hàm y=arccosx

Trên đoạn [0,π], hàm
y=cosx là hàm 1-1, tồn tại
hàm ngược

y=arccosx, MXĐ là
[-1,1], MGT là [0,π]

y = arccos x ⇔ x = cos y
π
1
π
1
2π
arccos(0) = ,arccos( ) = ,arccos( − ) =
2

4
2
3
2


Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

Hàm ngược của hàm y = tanx : hàm y=arctanx

y = tan x ⇔ x = arctan y
π π
Trên đọan − , 
 2 2

Hàm y=tanx là hàm 1-1

Hàm y=arctanx, MXĐ là R,
MGT là  π π 
 − 2 , 2 

π
π
2π
1
π
arctan( −∞) = − ,arctan(1) = ,arctan( 3) =
,arctan( − ) = −
2
4

3
6
3


Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

Hàm ngược của hàm y = cotx : hàm y=arccotx
Trên đọan [0,π]
hàm là hàm 1-1
Hàm y=arccotx
có MXĐ là R,
MGT là [0,π]

y = cot x ⇔ x = arc cot y
1
π
5π
arc cot(0) = 0, arc cot( ) = , arc cot( − 3) =
3
6
3