Bài toán điều khiển tối ưu xác định bởi phương trình Parabolic nửa tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN NGỌC CHIẾN

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU XÁC ĐỊNH BỞI
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN NGỌC CHIẾN

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU XÁC ĐỊNH BỞI
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Đình Kế

Hà Nội, 2017


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành bản luận văn này tôi đã nhận được sự giúp đỡ to
lớn của Thầy, Cô giáo, gia đình và bạn bè.
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn PGS.TS Trần Đình Kế - Khoa Toán-Tin, Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội. Trong quá trình hướng dẫn đã động viên, giúp đỡ
chỉ bảo tận tình cho tôi.
Tôi cũng gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Khoa Toán, Phòng
sau đại học, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp
đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu luận văn.
Dù đã cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu
sót và hạn chế. Mọi ý kiến đóng góp tôi xin được đón nhận với lòng
biết ơn và trân trọng sâu sắc.
Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Ngọc Chiến


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Đình Kế.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích
dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 5 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Ngọc Chiến

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Mục lục

3

MỞ ĐẦU

4

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . .
1.1.1 Đạo hàm yếu . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian Sobolev . . . . .
1.1.3 Không gian đối ngẫu H −1 . .
1.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gian

.
.
.
.
.

6
6
6
7
8
9

.
.
.
.

11
12
14
15
18

.
.
.
.
.
.

22
22
22
25
28

28
30

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

2 Toán tử nghiệm của bài toán điều khiển
2.1 Phương trình parabolic nửa tuyến tính .
2.2 Các giả thiết cơ bản . . . . . . . . . . .
2.3 Sự tồn tại cặp điều khiển tối ưu . . . . .
2.4 Toán tử nghiệm của bài toán tối ưu . . .

.
.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

3 Điều kiện cần và đủ tối ưu
3.1 Điều kiện cần cấp một . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Bài toán với điều khiển phân phối . .
3.1.2 Bài toán điều khiển trên biên . . . .
3.2 Điều kiện tối ưu cấp hai . . . . . . . . . . .
3.2.1 Đạo hàm cấp hai của toán tử nghiệm
3.2.2 Bài toán với điều khiển phân phối . .

.
.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

KẾT LUẬN

36

Tài liệu tham khảo

37

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán điều khiển tối ưu đối với các hệ điều khiển xác định bởi phương
trình đạo hàm riêng hiện là chủ đề nghiên cứu có tính thời sự bởi tính ứng

dụng cao của nó trong kỹ thuật và công nghệ. Những kết quả về điều kiện
cần và đủ tối ưu cho các lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính đã được
trình bày trong cuốn sách chuyên khảo của Lions. Tuy nhiên, những kết quả
tương tự cho các lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến chưa được biết
đến nhiều do tính phức tạp của phép tính biến phân và tính không lồi của
tập ràng buộc.
Với mong muốn tìm hiểu sâu về lý thuyết điều khiển tối ưu cho phương trình
đạo hàm riêng phi tuyến, chúng tôi chọn đề tài
Bài toán điều khiển tối ưu xác định bởi
phương trình parabolic nửa tuyến tính,
trong đó nội dung nghiên cứu dựa trên các kết quả trình bày trong [8]. Bài
toán mô tả như sau: Cho Ω ⊂ RN , Q = Ω × (0, T ) và Σ = ∂Ω × (0, T ). Tìm
nghiệm (y, u, v) cực tiểu hóa phiếm hàm J(y, u, v) với (y, u, v) thỏa mãn hệ:

yt − ∆y + d(x, t, y) = u trong Q
∂ν y + b(x, t, y) = v trên Σ,
y(0) = y0 trong Ω,

trong đó ∂ν là đạo hàm theo phương pháp tuyến ν . Trong mô hình trên, có
thể có ràng buộc bổ sung cho các biến điều khiển (u, v).

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu các điều kiện cần và đủ tối ưu cho một số lớp bài toán điều khiển
xác định bởi phương trình parabolic nửa tuyến tính.
4


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu lý thuyết phương trình tiến hóa nửa tuyến tính;
2. Tìm hiểu về phép tính biến phân trong không gian Banach;

3. Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu xác định bởi phương trình parabolic
nửa tuyến tính;

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiêu cứu: Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình

parabolic nửa tuyến tính.
• Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm tối ưu.

5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số công cụ của giải tích và phương trình đạo hàm riêng
bao gồm:
• Giải tích biến phân;
• Lý thuyết bài toán biên với phương trình parabolic nửa tuyến tính.

6. Dự kiến đóng góp
Luận văn là một nghiên cứu tổng quan về bài toán điều khiển tối ưu xác định
bởi phương trình parabolic nửa tuyến tính, dựa trên tài liệu [8].

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản liên quan đến không
gian Sobolev. Chi tiết có thể tìm trong tài liệu [1].

1.1

Không gian Sobolev

Cho Ω ⊂ Rn là một miền. α = (α1 , ..., αn ) ∈ Nn được gọi là một đa chỉ số. Độ
dài của đa chỉ số α xác định bởi |α| = α1 + ... + αn .
Với hàm khả vi u : Ω → R, ta ký hiệu
Dα u =

Nếu ký hiệu Di =

1.1.1

∂ |α| u
.
∂xα1 1 ...∂xαnn

∂
thì ta có thể viết Dα = D1α1 ...Dnαn .
∂xi

Đạo hàm yếu

Ta ký hiệu Cc∞ (Ω) là không gian các hàm xác định trên Ω, khả vi vô hạn và
có giá compact, tức là,
supp u := {x ∈ Ω : u(x) = 0} là tập compact.
Định nghĩa 1.1.1 (Đạo hàm yếu). Giả sử u, v ∈ L1loc (Ω) và α là một đa chỉ
số. Ta nói rằng v là đạo hàm yếu cấp α của u nếu
uDα φdx = (−1)|α|
Ω

vφdx

(1.1)

Ω

đúng với mọi hàm thử φ ∈ Cc∞ (Ω).
Kí hiệu: Dα u = v .
Bổ đề 1.1.1 (Tính duy nhất của đạo hàm yếu). Một đạo hàm yếu cấp α của
u nếu tồn tại thì được xác định một cách duy nhất (sai khác trên tập có độ đo
không).
6


1.1.2

Không gian Sobolev

Cố định 1 ≤ p ≤ ∞ và cho k là một số nguyên không âm. Bây giờ ta định
nghĩa các không gian hàm mà thành phần của nó có đạo hàm yếu nằm trong
không gian Lp .
Định nghĩa 1.1.2. Không gian Sobolev Wpk (Ω) là tập gồm tất cả những hàm
khả tổng địa phương u : Ω → R sao cho với mỗi đa chỉ số α, |α| ≤ k , đạo hàm
yếu Dα u tồn tại và thuộc Lp (Ω).
Nếu p = 2 ta có
H k (Ω) = W2k (Ω),

(k = 0, 1, . . . )

là không gian Hilbert. Chú ý rằng H 0 (Ω) = L2 (Ω).
Định nghĩa 1.1.3. Nếu u ∈ Wpk (Ω), ta định nghĩa chuẩn của nó là


1/p





|Dα u|p dx , nếu 1 ≤ p < ∞

u

Wpk (Ω)

:=

Ω

|α|≤k








|α|≤k

ess sup |Dα u|, nếu p = ∞.
Ω

k
Định nghĩa 1.1.4. 1. Cho {um }∞
m=1 , u ∈ Wp (Ω). Ta nói rằng um hội tụ
đến u trong Wpk (Ω) nếu

lim

m→∞

um − u

Wpk (Ω)

= 0,

và kí hiệu um → u trong Wpk (Ω).
2. Ta nói
k
(Ω)
um → u trong Wp,loc

nếu
um → u trong Wpk (Ω )

với mỗi Ω ⊂⊂ Ω.
0

Định nghĩa 1.1.5. Bao đóng của Cc∞ (Ω) trong Wpk (Ω) được kí hiệu là Wpk (Ω).
0

Như vậy, u ∈ Wpk (Ω) nếu và chỉ nếu tồn tại các hàm um ∈ Cc∞ (Ω) sao cho
0

um → u trong Wpk (Ω). Ta coi Wpk (Ω) như là tập hợp những hàm Wpk (Ω) sao

cho
"Dα u = 0 trên ∂Ω" với mọi |α| ≤ k − 1.
7


Kí hiệu:
0

H0k (Ω) = W2k (Ω).

Ta có khẳng định sau.
Định lý 1.1.1 (Không gian Sobolev như là không gian hàm). Với mỗi k =
1, 2, . . . , và 1 ≤ p ≤ ∞, không gian Sobolev Wpk (Ω) là một không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.6. Nếu 1 ≤ p < n, ta gọi số liên hợp Sobolev của p là
p∗ :=

np
.
n−p

Chú ý rằng:
1
1 1
= −
∗

p
p n

(p∗ > p).

Định lý 1.1.2 (Định lí compact Rellich-Kondrachov). Giả thiết Ω là một tập
mở, bị chặn của Rn , ∂Ω là C 1 . Giả sử 1 ≤ p < n, khi đó ta có phép nhúng
compact
Wp1 (Ω) ⊂⊂ Lq (Ω), với mỗi 1 ≤ q < p∗ .

1.1.3

Không gian đối ngẫu H −1

Định nghĩa 1.1.7. Không gian đối ngẫu của H01 (Ω) được kí hiệu là H −1 (Ω):
f ∈ H −1 (Ω) nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên H01 (Ω).
Định nghĩa 1.1.8. Chuẩn của f ∈ H −1 (Ω) xác định như sau
f

H −1 (Ω)

= sup

f, u | u ∈ H01 (Ω), u

H01 (Ω)

≤1 .

Ta viết f, u để kí hiệu giá trị của f ∈ H −1 (Ω) trên u ∈ H01 (Ω).

Định lý 1.1.3 (Cấu trúc của H −1 ). 1. Giả thiết f ∈ H −1 (Ω). Khi đó tồn
tại các hàm f 0 , f 1 , . . . , f n trong L2 (Ω) sao cho
n
0

f, v =

f i vxi

f v+
Ω

dx

(v ∈ H01 (Ω)).

(1.2)

i=1

2. Hơn nữa,
1/2

n

f

H −1 (Ω)

|f i |2 dx

= inf
Ω i=0

8

| f thỏa mãn (1.2)

.


1.2

Không gian hàm phụ thuộc thời gian

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn · .
Định nghĩa 1.2.1. Không gian Lp (0, T ; X) gồm tất cả các hàm đo được u :
[0, T ] → X với
(i) u

Lp (0,T ;X)

(ii) u

L∞ (0,T ;X)

T
0

:=

u(t) p dt

1/p

< ∞ với 1 ≤ p < ∞, và

:= ess sup u(t) < ∞.
0≤t≤T

Định nghĩa 1.2.2. Không gian C([0, T ]; X) bao gồm tất cả các hàm liên tục
u : [0, T ] → X với
u

C([0,T ];X)

:= max u(t) < ∞.
0≤t≤T

Định nghĩa 1.2.3. Cho u ∈ L1 (0, T ; X). Ta nói rằng v ∈ L1 (0, T ; X) là đạo
hàm yếu của u và viết u = v , nếu
T

T

φ (t)u(t)dt = −
0

φ(t)v(t)dt
0

với mọi hàm thử φ ∈ Cc∞ (0, T ).
Định nghĩa 1.2.4. 1. Không gian W 1,p (0, T ; X) gồm tất cả các hàm u ∈
Lp (0, T ; X) sao cho đạo hàm yếu u tồn tại và thuộc Lp (0, T ; X). Hơn nữa

1/p

T


p
p

( u(t) + u (t) )dt
(1 ≤ p < ∞)
u

W 1,p (0,T ;X)

:=

0




 ess sup ( u(t) + u (t) )

(p = ∞).

0≤t≤T

2. Ta viết H 1 (0, T ; X) = W 1,2 (0, T ; X).
Định lý 1.2.1. Cho u ∈ W 1,p (0, T ; X) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó
1. u ∈ C([0, T ]; X), và
t

u (τ )dτ với mỗi 0 ≤ s ≤ t ≤ T .

2. u(t) = u(s) +
s

3. Hơn nữa,
max u(t) ≤ C u

0≤t≤T

hằng số C chỉ phụ thuộc vào T .
9

W 1,p (0,T ;X) ,


Định lý 1.2.2. Giả sử u ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)), với u ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)).
1. Khi đó u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)).
2. Ánh xạ t → u(t)

2
L2 (Ω)

là liên tục tuyệt đối, với

d
u(t)
dt

2
L2 (U )

= 2 u (t), u(t) , với 0 ≤ t ≤ T h.k.n.

max u(t)

L2 (Ω)

≤ C( u

3. Hơn nữa,
0≤t≤T

L2 (0,T ;H01 (Ω))

hằng số C chỉ phụ thuộc vào T .

10

+ u

L2 (0,T ;H −1 (Ω)) ),

Chương 2
Toán tử nghiệm của bài toán điều
khiển
Ta ký hiệu W (0, T ) là không gian các hàm y ∈ L2 (0, T ; H 1 (Ω)) có đạo hàm
y ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)) và được trang bị chuẩn
1
2

T

y

W (0,T )

=

( y(t)

2
H 1 (Ω

+ y (t)

.

H −1 (Ω) )dt

0

Với ký hiệu Q = Ω × (0, T ), ta định nghĩa các không gian sau:
W21,0 (Q) := y ∈ L2 (Q) : Di y ∈ L2 (Q), i = 1, ..., N ,

với chuẩn
1
2

T

y

W21,0

(|y(x, t)|2 + |∇x y(x, t)|2 )dxdt

=
0

.

Ω

Không gian
W21,1 (Q) := y ∈ L2 (Q) : yt ∈ L2 (Q), Di y ∈ L2 (Q), i = 1, ..., N ,

với chuẩn
1
2

T

y

W21,1

(|y(x, t)|2 + |∇x y(x, t)|2 + |yt (x, t)|2 )dxdt

=
0

Ω

11

.


2.1

Phương trình parabolic nửa tuyến tính

Các bài toán được nghiên cứu ở phần sau đều là những trường hợp đặc biệt
của bài toán sau
yt + Ay + d(x, t, y) = f trong Q

(2.1)

∂ν y + b(x, t, y) = g trên Σ
y(·, 0) = y0 trong Ω,

ở đây, số T > 0 cho trước, Q := Ω × (0, T ) và Σ := ∂Ω × (0, T ). Trong bài toán
trên, A là toán tử elliptic đều, cụ thể
N

Ay(x) = −

Di (aij (x))Dj y(x), x ∈ Ω
i,j=1

thỏa mãn

N

aij (x)ξi ξj ≥ γ0 |ξ|2 , ∀ξ ∈ RN ,
i,j=1

∂ν là đạo hàm theo hướng pháp tuyến ngoài được xác định như sau
N

N

∂ν y =

aij νj Di y.
i=1 j=1

Ta có các giả thiết sau.
Điều kiện 2.1.1. Ω ⊂ RN , N ≥ 1, là một miền bị chặn với biên Lipschitz
(với N = 1 nó là một khoảng mở). Hàm d = d(x, t, y) : Q × R → R đo được
theo (x, t) ∈ Q với mỗi y ∈ R. Hàm b = b(x, t, y) : Σ × R → R thỏa mãn các

điều kiện tương tự trên Σ. Hơn nữa, d và b đơn điệu theo biến y với hầu khắp
(x, t) ∈ Q và (x, t) ∈ Σ, tương ứng.
Điều kiện 2.1.2. Hàm d = d(., .) : Q× R → R bị chặn đều và liên tục Lipschitz
theo y với hầu khắp (x, t) ∈ Q, tức là, tồn tại các hằng số K > 0 và L > 0 sao
cho với hầu khắp (x, t) ∈ Q và với mọi y1 , y2 ∈ R ta có
|d(x, t, 0)| ≤ K
|d(x, t, y1 ) − d(x, t, y2 )| ≤ L|y1 − y2 |.

Hàm b = b(., .) : Σ × R → R thoả mãn các điều kiện tương tự trên Σ.

12

(2.2)
(2.3)


Định nghĩa 2.1.1. Giả sử các Điều kiện 2.1.1 và 2.1.2 được thỏa mãn. Hàm
y ∈ W21,0 (Q) được gọi là nghiệm yếu của (2.1) nếu
N

−

(aij (x) Di yDj v + d (x, t, y) v)

yvt dxdt =
Q

Q

+

dxdt

i,j=1

b (x, t, y) vdsdt
Σ

=

f vdxdt +
Q

gvdsdt +
Σ

y0 v (·, 0) dx

(2.4)

Ω

với mọi v ∈ W21,1 (Q) sao cho v(x, T ) = 0.
Ta có kết quả sau về sự tồn tại nghiệm yếu.
Bổ đề 2.1.1. Giả sử các Điều kiện 2.1.1 và 2.1.2 thỏa mãn. Khi đó với
f ∈ L2 (Q), g ∈ L2 (Σ) và y0 ∈ L2 (Ω) bài toán (2.1) có duy nhất nghiệm yếu
y ∈ W21,0 (Q).

Ta nhận thấy Điều kiện 2.1.2 quá chặt và không chứa các trường hợp thường
gặp trong ứng dụng, ví dụ d(y) = y n , n > 1. Do vậy ta sẽ làm việc với các điều

kiện giảm nhẹ như tính Lipschitz cục bộ.
Điều kiện 2.1.3. Hàm d = d(., .) : Q × R → R thỏa mãn trên E = Q điều kiện
bị chặn (2.2) và với mỗi (x, t) ∈ E , d Lipschitz cục bộ theo biến y , tức là, với
mỗi M > 0 tồn tại L(M ) > 0 sao cho
|d(x, t, y1 ) − d(x, t, y2 )| ≤ L(M )|y1 − y2 |,
∀ yi ∈ R với |yi | ≤ M, i = 1, 2.

(2.5)

Điều kiện tương tự cho hàm b = (., .) : Σ × R → R trên E = Σ.
Ứng với điều kiện mới, ta có thể định nghĩa nghiệm yếu của bài toán như sau.
Định nghĩa 2.1.2. Hàm y ∈ W21,0 (Q) ∩ L∞ (Q) được gọi là nghiệm yếu của
(2.1) nếu ta có đẳng thức biến phân (2.4) với mọi v ∈ W21,1 (Q) sao cho v(x, T ) =
0.

Các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm đã được chứng minh bởi Casas
[2], Raymond và Zidani [3].

13


Định lý 2.1.1. Giả sử các điều kiện 2.1.1 và 2.1.3 thỏa mãn. Khi đó bài toán
yt + Ay + d(x, t, y) = f trong Q,
∂ν y + b(x, t, y) = g trên Σ,
y(0) = y0 trong Ω,

có duy nhất nghiệm yếu y ∈ W (0, T ) ∩ C(Q) với mỗi f ∈ Lr (Q), g ∈ Ls (Σ), và
y0 ∈ C(Ω), trong đó r > N/2+1 và s > N +1. Hơn nữa, tồn tại hằng số c∞ > 0,
không phụ thuộc d, b, f, g và y0 , sao cho
y

W(0,T )

+

y

¯)
C(Q

≤ c∞ f − d (·, 0)
+ g − b (·, 0)

2.2

Lr (Q)

Ls (Σ)

+ y0

¯ ).
C(Ω

(2.6)

Các giả thiết cơ bản

Để đơn giản trong trình bày, ta xét A là toán tử Laplace, mặc dù các kết quả
trình bày trong luận văn đúng cho toán tử elliptic đều tổng quát.

Bên cạnh các hàm phi tuyến d = d(x, t, y) và b = b(x, t, y), ta xét thêm các hàm
chứa trong phiếm hàm giá: φ = φ (x, y) , ϕ = ϕ (x, t, y, v), và ψ = ψ (x, t, y, u), và
các hàm ràng buộc ua , ub , va , vb , tất cả phụ thuộc (x, t).
Nhắc lại các ký hiệu Q := Ω × (0, T ) và Σ := ∂Ω × (0, T ), với T > 0.
Điều kiện 2.2.1. (i) Ω ⊂ RN là miền bị chặn với biên Lipschitz.
(ii) Các hàm
d = d(., .) : Q × R, φ = φ (x, y) : Ω × R → R
ϕ = ϕ (x, t, y, v) : Q × R2 → R, b = b(x, t, y) : Σ × R → R,
ψ = ψ (x, t, y, u) : Σ × R → R

đo được theo (x, t) ∈ Q với y, v, u ∈ R và với hầu khắp (x, t) trong Q hoặc Σ,
các hàm này khả vi cấp hai theo các biến y, v và u. Hơn nữa, chúng thỏa mãn
các điều kiện bị chặn và Lipschitz cục bộ đến cấp k = 2; ví dụ đối với ϕ, tồn
tại K > 0 và L(M ) > 0 với mỗi M > 0, ta có
ϕ (x, t, 0, 0) |+| ∇ϕ (x, t, 0, 0) |+| ϕ (x, t, 0, 0) ≤ K,
|ϕ (x, t, y1 , v1 ) − ϕ (x, t, y2 , v2 ) | ≤ L (M ) (|y1 − y2 |+| v1 − v2 |)

với hầu khắp (x, t) ∈ Q và với yi , vi ∈ [−M, M ], i = 1, 2.
(iii) Ta có dy (x, t, y) ≥ 0 với hầu khắp (x, t) ∈ Q và by (x, t, y) ≥ 0 với hầu khắp
(x, t) ∈ Σ. Hơn nữa, y0 ∈ C Ω .
14


(iv) Các hàm biên ua , ub và va , vb : E → R thuộc không gian L∞ (E) với E = Σ
và E = Q, tương ứng; ua (x, t) ≤ ub (x, t) và va (x, t) ≤ vb (x, t) với hầu khắp
(x, t) ∈ E .
Có thể thấy Điều kiện 2.2.1 được thỏa mãn khi các hàm d, b ∈ C 3 (R) (chỉ phụ
thuộc y ), như d(y) = y k với k ∈ N lẻ hoặc d(y) = ey . Ví dụ tiêu biểu cho ϕ như
sau
ϕ (x, t, y, v) = α (x, t) y − yQ (x, t)

2

+ β (x, t) v − vQ (x, t)

2

với α, β, yQ , vQ ∈ L∞ (Q).

2.3

Sự tồn tại cặp điều khiển tối ưu

Xét bài toán tối ưu
min J (y, v, u) =

φ (x, y (x, T )) dx +
Ω

+

ϕ x, t, y (x, t) , v (x, t) dxdt
Q

ψ x, t, y (x, t) , u (x, t) dsdt,

(2.7)

Σ

với ràng buộc
yt − ∆y + d (x, t, y) = v trong Q,
∂ν y + b (x, t, y) = u trên Σ,
y(0) = y0 trong Ω,

(2.8)

và
va (x, t) ≤ v (x, t) ≤ vb (x, t) với hầu khắp (x, t) ∈ Q
ua (x, t) ≤ u(x, t) ≤ ub (x, t) với hầu khắp (x, t) ∈ Σ.

(2.9)

Nếu một trong hai điều khiển bằng không, ta cho va = vb = 0, hoặc ua = ub = 0.
Tập điều khiển chấp nhận được xác định như sau
Vad = {v ∈ L∞ (Q) : va (x, t) ≤ v (x, t) ≤ vb (x, t)}

với hầu khắp (x, t) ∈ Q;
Uad = {u ∈ L∞ (Σ) : ua (x, t) ≤ u (x, t) ≤ ub (x, t)}

với hầu khắp (x, t) ∈ Σ.
Ký hiệu y = y(v, u) là trạng thái của hệ ứng với cặp điều khiển (v, u) ∈ Vad ×Uad .
15


Định nghĩa 2.3.1. Cặp điều khiển (v, u) ∈ Vad × Uad được gọi là tối ưu và y =
y(v, u) là trạng thái tối ưu tương ứng nếu J(y(v, u), v, u) ≤ J(y(v, u), v, u), ∀(v, u) ∈
Vad × Uad .
Cặp (v, u) ∈ Vad × Uad được gọi là tối ưu cục bộ trong Lr (Q) × Ls (Σ) nếu có
ε > 0 sao cho bất đẳng thức trên đúng với (v, u) ∈ Vad ×Uad mà v − v Lr (Q) +

u−u

Ls (Σ)

≤ ε.

Trong định lý sau, tính lồi của ϕ và ψ theo các biến điều khiển là cần thiết.
Cụ thể với ϕ, ta yêu cầu
ϕ(x, t, y, λv1 + (1 − λ) v2 ) ≤ λϕ (x, t, y, v1 ) + (1 − λ) ϕ (x, t, y, v2 )

với hầu khắp (x, t) ∈ Q, mọi y, v1 , v2 ∈ R và λ ∈ (0, 1). Tính lồi của ψ theo biến
điều khiển được hiểu theo cách tương tự.
Định lý 2.3.1. Giả sử Điều kiện 2.2.1 được thỏa mãn, các hàm ϕ và ψ lồi
theo các biến v và u. Khi đó bài toán điều khiển (2.7)-(2.9) có ít nhất một cặp
tối ưu (v, u) ứng với trạng thái tối ưu
y = y(v, u).

Chứng minh. Theo định lý tồn tại duy nhất nghiệm, với mỗi cặp điều khiển
chấp nhận được (v, u), phương trình (2.8) có duy nhất nghiệm y = y(v, u) ∈
W (0, T ) ∩ C(Q). Chú ý rằng Vad × Uad là tập bị chặn trong L∞ (Q) × L∞ (Σ) và
do đó bị chặn trong Lr (Q) × Ls (Σ) với r > N/2 + 1 và s > N + 1. Sử dụng đánh
giá (2.6), tồn tại M > 0 sao cho
y(v, u)

¯
C(Q)

≤ M, ∀(v, u) ∈ Vad × Uad .

(2.10)

Từ Điều kiện 2.2.1 và đánh giá (2.10), do Uad và Vad bị chặn, nên phiếm hàm
J bị chặn dưới với cận dưới ký hiệu là j . Do tính phản xạ của Lr (Q) × Ls (Σ),
ta có thể chọn được dãy {(vn , un )}∞
n=1 hội tụ yếu về v, u:
vn

v, un

u khi n → ∞.

Do Vad × Uad lồi và đóng, ta có v, u ∈ Vad × Uad là cặp chấp nhận được.
Tiếp theo ta chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy trạng thái tương ứng. Ký
hiệu zn (x, t) = −d(x, t, yn (x, t)) và wn (x, t) = −b(x, t, yn (x, t)), n ∈ N . Sử dụng
(2.10) và Điều kiện 2.2.1, các dãy này bị chặn đều. Do đó tồn tại các dãy con
∞
r
s
(vẫn ký hiệu là) {zn }∞
n=1 và {wn }n=1 , hội tụ yếu trong L (Q) × L (Σ) về z và
w tương ứng.

16


Xét phương trình với vế phải là zn + vn và wn + un :
yn − ∆yn = zn + vn
∂ν yn = wn + un

(2.11)

yn (0) = y0 .

Các hàm vế phải hội tụ yếu tương ứng về z + v và w + u. Do ánh xạ nghiệm
(v, u) → y (v, u) liên tục yếu, ta suy ra dãy trạng thái tương ứng hội tụ yếu
trong W (0, T ) về y ∈ (0, T ),
yn → y as n → ∞

Ta sẽ sử dụng kết quả về tính chính quy trong [Gri07a, Gri07b], trong đó
khẳng định với y0 := 0 ánh xạ (v, u) → y(v, u) liên tục từ Lr (Q) × Ls (Σ) vào
không gian các hàm liên tục H¨older C (0,k) (Q) với k ∈ (0, 1).
Giả sử yˆ ∈ C(Q) là nghiệm của bài toán parabolic tuyến tính với dữ kiện
đầu y0 , vế phải bằng 0 và dữ kiện biên bằng 0 trong (2.11). Khi đó dãy
(0,k) (Q). Do C (0,k) (Q) nhúng compact (theo định
{yn − yˆ}∞
n=1 hội tụ yếu trong C
lý Arzelá-Ascoli) vào C(Q), dãy này hội tụ mạnh trong C(Q). Do đó yˆ ∈ C(Q)
yn → y as n → ∞

với y ∈ C(Q).
Sử dụng tính chất Lipschitz địa phương của d và b, ta suy ra
d (·, ·, yn ) → d (·, ·, y) mạnh trong L∞ (Q) và trong L2 (Q),
b (·, ·, yn ) → b (·, ·, y) mạnh trong L∞ (Σ) và trong L2 (Σ).

Khi đó y là nghiệm yếu ứng với cặp điều khiển (v, u), tức là, y = y(v, u). Thật
vậy, với hàm thử w ∈ W21,1 (Q) thỏa mãn w(T ) = 0,
−

(∇yn · ∇w + d(x, t, yn ) w)dxdt +

yn wt dxdt +
Q

Q

=

b (x, t, yn ) wdsdt
Σ

vn wdxdt +
Q

un wdsdt +
Σ

y0 w (·, 0) dx
Ω

Qua giới hạn khi n → ∞, sử dụng các giới hạn đã nêu ở trên, ta được
−

(∇y · ∇w + d(x, t, y) w)dxdt +

ywt dxdt +
Q

=

Q

uwdsdt + ∫ y0 w (·, 0) dx

vwdxdt +
Q

Σ

b (x, t, y) wdsdt
Σ

Ω

17


tức là, y là nghiệm yếu.
Ta còn phải chứng minh cặp (v, u) là tối ưu. Để làm điều này ta chỉ việc sử
dụng tính chất nửa liên tục dưới của hàm giá.

2.4

Toán tử nghiệm của bài toán tối ưu

Trong phần này, ta sẽ chứng minh tính liên tục và khả vi của ánh xạ nghiệm
(ánh xạ biến hàm điều khiển thành hàm trạng thái). Xét bài toán (2.8):
yt − ∆y + d(x, t, y) = v trong Q
∂v y + b(x, t, y) = u trên Σ
y(0) = y0 trong Ω.

Xét ánh xạ nghiệm G : V × U := Lr (Q) × Lr (Σ) → Y := W (0, T ) × C(Q), (v, u) →
y . Ta giả thiết r > N/2 + 1 và s > N + 1.
Ta có các toán tử Nemytskii y (·) → d (·, ·, y (·)) và y (·) → b (·, ·, y (·)) là khả vi
liên tục từ C(Q) vào L∞ (Q) và tương ứng vào L∞ (Σ). Rõ ràng ánh xạ G cho
ứng mỗi cặp điều khiển (v, u) ∈ V × U với hàm trạng thái duy nhất y ∈ Y .
Trước tiên, ta sẽ chứng minh tính liên tục Lipschitz của G.
Định lý 2.4.1. Dưới Điều kiện 2.2.1, với r > N/2 + 1 và s > N + 1, ánh xạ
G liên tục Lipschitz từ Lr (Q) × Ls (Σ) vào W (0, T ) ∩ C(Q); tức là tồn tại L > 0
sao cho
y1 − y2

W(0,T )

+

y1 − y2

C(Q)

≤L

v1 − v2

Lr (Q)

+ u1 − u2

Ls (Σ)

với mọi (vi , ui ) ∈ Lr (Q) × Ls (Σ) và với các hàm trạng thái tương ứng yi =

G(vi , ui ), i = 1, 2.

Chứng minh. Theo định lý về sự tồn tại nghiệm, ta có yi ∈ C(Q) với i =1, 2.
Thực hiện phép trừ theo y1 và y2 trong hệ phương trình, ta thấy y = y1 −y2 , u =
u1 − u2 và v = v1 − v2 thỏa mãn
yt − ∆y + d(x, t, y1 ) − d(x, t, y2 ) = v
∂v y + b(x, t, y1 ) − b(x, t, y2 ) = u
y(0) = 0.

Khi đó với y1 , y2 ∈ R ta có
1

d (x, t, y1 ) − d (x, t, y2 ) =

∫ dy (x, t, y2 + s (y1 − y2 )) ds (y1 − y2 ) .
0

18

(2.12)


Do giả thiết dy không âm, tích phân trên trở thành hàm không âm δ =
δ (x, t) ∈ L∞ (Q). Ta cũng có biểu diễn tương tự cho hàm b với số hạng tích
phân β = β (x, t) ≥ 0. Lúc này ta có bài toán biên-ban đầu:
yt − ∆y + δ(x, t)y = v
∂v y + β(x, t)y = u
y(0) = 0.

Chú ý δ và β phụ thuộc vào y1 và y2 , nhưng chúng không có vai trò quan

trọng trong lập luận của ta. Thực tế, nhờ tính bị chặn và không âm của δ và
˜ t, y) := δ(x, t)y và ˜b(x, t, y) := β(x, t)y tăng theo y và triệt
β , các hàm số d(x,
tiêu tại y = 0. Chú ý nghiệm y duy nhất, và chuẩn của nó không phụ thuộc δ
˜ t, 0) = ˜b(x, t, 0) = 0, ta suy ra từ (2.6) rằng
hay β . Do d(x,
y

W(0,T )

+

y

C(Q)

≤L

v

Lr (Q)

+ u

Ls (Σ)

.

Để chứng minh tính khả vi của ánh xạ nghiệm, ta cố định (v, u) là một cặp
điều khiển tối ưu.

Định lý 2.4.2. Giả sử Điều kiện 2.2.1 được thỏa mãn. Khi đó với r > N/2 + 1
và s > N + 1, ánh xạ nghiệm G từ Lr (Q) × Ls (Σ) vào W (0, T ) ∩ C(Q) khả vi
Fréchet. Đạo hàm theo hướng (u, v) của G cho bởi
G (v, u)(u, v) = y,

trong đó y = G(v, u) là hàm trạng thái ứng với (v, u), y là nghiệm yếu của bài
toán tuyến tính hóa tại y :
yt − ∆y + d (x, t, y) y = v trong Q,

(2.13)

∂ν y + by (x, t, y) y = u trên Σ,
y(0) = 0 trong Ω.

Chứng minh. Thực hiện phép trừ hai hệ phương trình với các nghiệm tương
ứng là y = G(v, u) và y˜ = G(v + v, u + u), ta có
(˜
y − y)t − ∆(˜
y − y) + (x, t, y˜) − d(x, t, y) = v,
∂ν (˜
y − y) + b(x, t, y˜) − b(x, t, y) = u,
(˜
y − y¯) (0) = 0.

19


Các toán tử Nemytskii Φ : y → d (·, ·, y (·)) và Ψ : y → b (·, ·, y (·)) khả vi Fréchet
trong L∞ (Q) và, tương ứng, trong L∞ (Σ). Do đó
y (·) − y(·)) + rd ,

Φ(˜
y ) − Φ(y) = dy (·, ·, y(·))(˜
Ψ(˜
y ) − Ψ(y) = by (·, ·, y(·))(˜
y (·) − y(·)) + rb .

trong đó các số dư rd , rb thỏa mãn
rd
rb

L∞ (Q)
L∞ (Σ)

/

y˜ − y
y˜ − y

/

L∞ (Q)
L∞ (Σ)

→ 0 khi

→ 0 khi

y˜ − y
y˜ − y

L∞ (Q)
L∞ (Σ)

→ 0,

→ 0.

Ta viết lại hiệu y˜ − y với số dư yρ dưới dạng
y˜ − y = y + yρ

ở đó y xác định bởi (2.13). Số dư yρ sẽ là nghiệm của hệ
yρ − ∆yρ + dy (·, ·, y)yρ = −rd ,
∂ν yρ + by (·, ·, y)yρ = −rb ,
yρ (0) = 0.

Đến đây, ta sử dụng tính liên tục Lipschitz:
y˜ − y

C(Q)

≤L

(v, u)

Lr (Q)×Ls (Σ)

→ 0.

Kết luận. G khả vi Fréchet như là ánh xạ từ L∞ (Q) × L∞ (Σ) vào W (0, T ) ∩
C(Q).

Ví dụ về bài toán với điều khiển phân phối. Xét bài toán
yt − ∆y + d0 (x, t) + d1 (x, t)y 3 = v,
∂ν y + b0 (x, t) + b1 (x, t)y = 0,
y(0) = 0.

(2.14)

Ta giả thiết d0 ∈ Lr (Q), b0 ∈ Ls (Σ), hàm không âm d1 ∈ L∞ (Q) và b1 ∈ L∞ (Σ)
cho trước. Khi đó d(x, t, y) := d0 (x, t) + d1 (x, t)y 3 và b(x, t, y) := b0 (x, t) + b1 (x, t)y
thỏa mãn các giả thiết của định lý trên. Do đó ánh xạ nghiệm v → y với
r > N/2 + 1 khả vi Fréchet từ Lr (Q) vào W (0, T ) ∩ C(Q).

20


Ví dụ về bài toán với điều khiển biên. Xét ánh xạ nghiệm G : u → y cho
bài toán với điều khiển trên biên
yt − ∆y + d0 (x, t) + d1 (x, t)y = 0,
∂ν y + b0 (x, t) + b1 (x, t)|y|y 3 = u,
y(0) = 0.

(2.15)

Với các giả thiết tương tự, ánh xạ G khả vi Fréchet từ Ls (Σ) vào W (0, T )∩C(Q)
khi s > N + 1.

21


Chương 3

Điều kiện cần và đủ tối ưu
3.1

Điều kiện cần cấp một

Xét bài toán (2.7)-(2.9). Ta sẽ tìm điều kiện cần cấp một cho sự tồn tại cặp
tối ưu địa phương (v, u). Trước tiên, ta sẽ cố định u = u = 0 và tìm điều kiện
cần cho v và ngược lại.

3.1.1

Bài toán với điều khiển phân phối

Xét bài toán tối ưu
min J (y, v) : =

φ (x, y (x, T )) dx +
Ω

ϕ(x, t, y (x, t) , v(x, t))dxdt
Q

+

ψ (x, t, y (x, t)) dsdt

(3.1)

Σ

với ràng buộc
yt − ∆y + d(x, t, y) = v trong Q,
∂ν y + b(x, t, y) = 0 trên Σ,

(3.2)

y(0) = y0 trong Ω

và
va (x, t) ≤ v(x, t) ≤ vb (x, t) với hầu khắp (x, t) ∈ Q.

(3.3)

Khi đó y = y(v) = G(v) với G : L∞ (Q) → W (0, T ) ∩ C(Q) là toán tử nghiệm.
Thay vào phiếm hàm J , ta có phiếm hàm giá thu gọn f ,
J(y, v) = J(G(v), v) =: f (v).

22


Với Điều kiện 2.2.1, f khả vi Fréchet trong L∞ (Q), do tính khả vi của J và
G. Rõ ràng, Vad là tập lồi. Do đó, nếu v là điều khiển tối ưu địa phương và
v ∈ Vad bất kỳ, thì với mọi λ > 0 đủ nhỏ ta có
f (v + λ(v − v)) − f (v) ≥ 0.

Chia cho λ và qua giới hạn khi λ ↓ 0, ta có kết quả sau.
Bổ đề 3.1.1. Giả sử Điều kiện (2.2.1) thỏa mãn. Khi đó điều khiển tối ưu
cục bộ v của bài toán (3.1)-(3.3) thỏa mãn bất đẳng thức biến phân
f (v)(v − v) ≤ 0 ∀v ∈ Vad .

(3.4)

Chứng minh: Tính đạo hàm f theo quy tắc hàm hợp
f (v)(v − v) = Jy (y, v)G (v)(v − v) + Jv (y, v)(v − v)
=

φy (x, y (x, T )) y (x, T )
Ω

ϕy (x, t, y (x, t) v (x, t))y (x, t) dxdt

+
Q

+

ψy (x, t, y (x, t)) y (x, t) dsdt
Σ

ϕv (x, t, y (x, t) , v (x, t)) (v (x, t) − v (x, t)) dxdt,

+

(3.5)

Q

trong đó y = G (v)(v − v) là nghiệm của bài toán tuyến tính hóa
yt − ∆y + d(x, t, y)y = v − v,
∂v y + by (x, t, v)y = 0,

y(0) = 0.

(3.6)

Ta có thể khử y từ (3.5) bằng cách sử dụng hàm liên hợp p = p(x, t). Xét bài
toán liên hợp
−pt − ∆p + dy (x, t, y)p = ϕy (x, t, y, v),
∂v p + by (x, t, y)p = ψy (x, t, v),
p(x, T ) = φy (x, y(x, T )),

(3.7)

với hàm trạng thái thuộc W (0, T )∩L∞ (Q)∩C([0, T ), C(Ω)). Có thể chứng minh
sự tồn tại duy nhất và tính chính quy của p ∈ W (0, T ) bằng lý thuyết phương
trình đạo hàm riêng, nếu ta đổi biến τ := T − t. Hơn nữa, nếu φ(x, y) liên tục
trong Ω × R, thì hàm x → φy (x, y(x, T )) cũng liên tục trong Ω. Trong trường
hợp này, ta có p ∈ W (0, T ) ∩ C(Q).
23