Định lý tồn tại cho bài toán điều khiển tối ưu

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷
❑❍❖❆ ❚❖⑩◆

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❚❍❒

✣➚◆❍ ▲Þ ❚➬◆ ❚❸■ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆
✣■➋❯ ❑❍■➎◆ ❚➮■ ×❯

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈
❈❤✉②➯♥ ♥❣❤➔♥❤✿ ●✐↔✐ t➼❝❤

❍⑨ ◆❐■ ✲ ✷✵✶✼


❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ❍⑨ ◆❐■ ✷
❑❍❖❆ ❚❖⑩◆

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❚❍❒

✣➚◆❍ ▲Þ ❚➬◆ ❚❸■ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆
✣■➋❯ ❑❍■➎◆ ❚➮■ ×❯

❑❍➶❆ ▲❯❾◆ ❚➮❚ ◆●❍■➏P ✣❸■ ❍➴❈
❈❤✉②➯♥ ♥❣❤➔♥❤✿ ●✐↔✐ t➼❝❤
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ❚❘❺◆ ❱❿◆ ❇➀◆●
❍⑨ ◆❐■ ✲ ✷✵✶✼


▲í✐ ❝↔♠ ì♥
◗✉❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❝↔♠ ì♥ tî✐ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ❦❤♦❛

❚♦→♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✱ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ tr♦♥❣ tê ❜ë ♠æ♥
●✐↔✐ t➼❝❤ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ t❤➛② ❝æ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ tr✉②➲♥ ✤↕t
♥❤ú♥❣ tr✐ t❤ù❝ q✉þ ❜→✉ ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ❝❤♦ ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt q✉→
tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ r➧♥ ❧✉②➺♥ ð tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✳
✣➦❝ ❜✐➺t ❡♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❚❤➛② ❣✐→♦ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❚❙✳ ❚r➛♥ ❱➠♥
❇➡♥❣ ✤➣ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤✱ ❣✐ó♣ ✤ï ❡♠ ✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ tèt ❦❤â❛ ❧✉➟♥
♥➔②✳
❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❜↔♥ ❦❤â❛
❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ s❛✐ sât✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❡♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ❣â♣ þ q✉þ ❜→✉ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥✳
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✼
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤ì


▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ❡♠ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥
t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ t❤➛② ❣✐→♦

❚❙✳ ❚r➛♥ ❱➠♥ ❇➡♥❣

✳

❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤➲ t➔✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥➔② ❡♠ ✤➣ t❤❛♠
❦❤↔♦ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ✤➣ ❣❤✐ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ t↕✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥

❧þ tç♥ t↕✐ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ tè✐ ÷✉✧

✧✣à♥❤

❦❤æ♥❣ ❝â sü trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐

❝→❝ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤→❝✳
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✼
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❚❤ì


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
▼ët sè ❦➼ ❤✐➺✉

✸

✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✹

✶✳✶

❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✷

❚➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ æ✲tæ✲♥æ♠

✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ▼ët sè ✤à♥❤ ❧þ tç♥ t↕✐ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ tè✐ ÷✉
✷✳✶
✷✳✷

❱➜♥ ✤➲ tç♥ t↕✐ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü tç♥ t↕✐ ❝❤♦ ❧î♣ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤➦❝ ❜✐➺t

✾
✾

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✷✳✸

❙ü tç♥ t↕✐ ❞÷î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ✈➲ t➼♥❤ ❧ç✐

✷✳✹

❙ü tç♥ t↕✐ ✤è✐ ✈î✐ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤❡♦ ❜✐➳♥ tr↕♥❣ t❤→✐✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

❑➳t ❧✉➟♥

✸✵

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✸✶


▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
✶✳ ▲þ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐
✣✐➲✉ ❦❤✐➸♥ tè✐ ÷✉ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❦✐➳♠ ♠ët q✉② ❧✉➟t ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥
❝❤♦ ♠ët ❤➺ t❤è♥❣ ❝❤♦ tr÷î❝ ♥❤÷ ❧➔ ♠ët t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ tè✐ ÷✉ ✤➣ ✤↕t ✤÷ñ❝✳ ▼ët
❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❜❛♦ ❣ç♠ ♠ët ❤➔♠ ❝❤✐ ♣❤➼ ✤â ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐
✈➔ ❝→❝ ❜✐➳♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥✳ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝â þ ♥❣❤➽❛✱ ù♥❣ ❞ö♥❣ q✉❛♥ trå♥❣
tr♦♥❣ ✤í✐ sè♥❣✳ ❱➼ ❞ö ①➨t ♠ët ❝❤✐➳❝ ①❡ ✤✐ tr➯♥ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ q✉❛ ♠ët ❝♦♥
✤÷í♥❣ ♥❤➜♣ ♥❤æ✳ ❈➙✉ ❤ä✐ ✤➦t r❛ ❧➔ ♥❣÷í✐ ❧→✐ ①❡ ♣❤↔✐ ✤↕♣ ❣❛ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦ ✤➸
tè✐ t❤✐➸✉ ❤â❛ tê♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✤✐ ❧↕✐❄ ❘ã r➔♥❣ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ö ♥➔②✱ t❤✉➟t ♥❣ú ❧✉➟t
✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ❝❤➾ ✤➸ ①→❝ ✤à♥❤ ❝→❝❤ t❤ù❝ tr♦♥❣ ✤â ♥❣÷í✐ ❧→✐ ①❡ t➠♥❣ ❣❛ ✈➔ ❝❤✉②➸♥
❤ë♣ sè✳ ❍➺ t❤è♥❣ ❜❛♦ ❣ç♠ ❝↔ ①❡ ✈➔ ✤÷í♥❣✱ ✈➔ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ tè✐ ÷✉ ❧➔ tè✐ t❤✐➸✉
❤â❛ tê♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✤✐ ❧↕✐✳ ❍❛② ❧➔♠ t❤➳ ♥➔♦ t➻♠ r❛ ❝→❝❤ ❧→✐ ①❡ ✤➸ ❣✐↔♠ t❤✐➸✉
♠ù❝ t✐➯✉ t❤ö ♥❤✐➯♥ ❧✐➺✉ ❝õ❛ ♥â❄ ✳✳✳ ❱➟② ♠ët ❝➙✉ ❤ä✐ ✤➦t r❛ ❧➔ ❦❤✐ ♥➔♦ t❤➻ tç♥
t↕✐ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ tè✐ ÷✉❄ ✣➸ ❤✐➸✉ rã ❤ì♥ ✈➲ ✈➜♥ ✤➲ ♥➔② tæ✐ ✤➣ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✧✣à♥❤
❧þ tç♥ t↕✐ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ tè✐ ÷✉✧✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❑❤â❛ ❧✉➟♥ ♥❤➡♠ ♠ö❝ ✤➼❝❤✿ ●✐ó♣ ♥❣÷í✐ ✤å❝ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤➸
❝â ➼t ♥❤➜t ♠ët ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ tè✐ ÷✉✳

✸✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤à♥❤ ❧þ tç♥ t↕✐ ❝õ❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ tè✐ ÷✉✳

✶


õ tốt ồ

t tỡ

ố tữủ ự
ố tữủ ự ừ tỗ t ởt tố ữ
P ự t tố ữ t t
tố ữ ổtổổ

Pữỡ ự
ỷ ử ởt số ữỡ ừ t t tố ữ t
ữủ ừ ổtổổ

ở õ
õ ỗ ữỡ
ữỡ

tự

tr ỳ tự ỡ s

t tố ữ t ữủ ừ ổtổổ
ữỡ

ởt số ỵ tỗ t t tố ữ

ỳ t ữỡ ỡ ự sỹ tỗ
t s õ t ự ỵ tỗ t ợ
t ỵ tỗ t ữợ tt t ỗ sỹ tỗ t t t
t tr t





C, C[u(ã)]



C

ữủ

K(t, x0 )

t t tớ

Q + (t, x)

{(y 0 , yT ) | ợ

co(S )

ỗ ừ

T (t)

ử t



ữỡ ỡ tr

Um (t0 , t1 )

ợ ữủ tứ

Um
Ur

v , y = f (t, x, v), y 0 f 0 (t, x, v)}.

S.

[t0 , t1 ]

Rm .

.

t1 >0 Um [0, t1 ].
ồ tứ ú ợ t

r
U

ởt số

t.

tr ừ ú

ồ tọ st
tr ừ ú

UBB

ợ tr

Um

CBB (t)

ữủ t tớ

|ui (t)| = 1.



xi

P tỷ tự



ữỡ ỡ tr



ợ t ổ

i

ừ

x.



Rm

t

sỷ ử

❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ tè✐ ÷✉
❈❤♦

m, n

❧➔ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥✱

t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t❤ù
❝õ❛

x,

i

x, y

❧➔ ❝→❝ ✈❡❝tì ❝ët tr♦♥❣

❝õ❛ ❝→❝ ✈❡❝tì ✤â t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔

xi , y i .

●å✐

Rn ,

xT

t❛ ❦➼ ❤✐➺✉

❧➔ ❝❤✉②➸♥ ✈à

✈➔ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ✈➔ ❤❛✐ ❝❤✉➞♥ t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣✿

n
T

xi y i ,

< x, y >= x y =
i=1
n

1

|xi |,

|x| =

x =< x, x > 2 .

i=1
✣➸ ❝❤➾ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤➔♠ ✈æ ❤÷î♥❣

Φ(t),

t❛ ✈✐➳t

❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ t❤ù ❤❛✐ ❝õ❛ ❤➔♠ ❣✐→ trà ✈❡❝tì
❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣ ✤ì♥ ✈à tr♦♥❣

Rm ,

[Φ(t)]2 ,

❝á♥

t1 ≥ 0,

♥❣❤➽❛ ❧➔✱

t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛

Um [0, t1 ] = {u(·)|u(t) ∈ Ω

✈➔

Um =

u(·)

✤♦ ✤÷ñ❝ tr➯♥

Um [0, t1 ].
t1 >0

✹

s➩

x(t). ❑➼ ❤✐➺✉ Ω ❧➔ ❤➻♥❤

Ω = {c|c ∈ Rm , |ci | ≤ 1, i = 1, 2, ..., m}.
❱î✐

x2 (t)

[0, t1 ]},


õ tốt ồ

t tỡ

rứ õ ró r ổ t ổ tt

u(ã)

tở

Um .

ộ ữủ õ ởt t
r

[0, t1 (u)].

sỷ ợ ộ

T (t)

t0

t õ ởt t ủ ử t

T (t) Rn

tr õ

T (t) 0 Rn .

ởt t õ ỡ t tữớ t

t t

x = f (t, x, u),
s ổ tt
tr

u(ã) Um ,
i

i

f f
f (t, x, u), x
j , uk

[0, ) ì Rn ì Rm ,

T (t)

tử





(i, j = 1, ..., n, k = 1, ..., m)

ũ t t q ú ữợ

ỡ tt sỹ tỗ t ữỡ t t
ừ ợ ộ

u(ã) Um



ừ ữỡ tr
ữ ữủ t

t

u(ã)

ữủ

x = f (t, x, u(t))

ố ợ ộ

x.

tử t

x,

õ ữủ

tử tt ố tọ ỡ ộ ừ
ợ
õ

u(ã)

s ữủ ồ ởt

x[t] = x(t; x0 , u(ã)).

t

t

ỗ tữỡ ự tọ
r

ỗ ố ợ u(ã); t

x[t1 ] T (t1 )

ợ ởt

u(ã) ữợ x0 ử t



u(ã)

x0



u(ã) Um

t1 > 0.

õ ú t õ

[0, t1 ), (t1 +),

tr

õ ỗ tữỡ ự õ t t tr

s

t õ ổ

[0, t1 ),

õ t ỗ

x(t; x0 , u(ã)) tr ởt ừ [0, t1 ). ữ ợ ữỡ
tr t t


x(t)
= A(t)x(t) + B(t)u(t),
ợ

A(t)



B(t)

tử tr

[0, t1 ),



t ổ t tr ữủ

[0, t1 ).
õ t ỗ ởt ợ ữủ

Um ,

ởt ữỡ tr tỡ ổ t ở ỹ ừ ởt ồ

t ử t

T (t).

ởt t ỡ ổ t tr t




õ tốt ồ
x 0 Rn

t tỡ

õ t ữợ ử t ồ õ

tr t

ữủ ỡ ỳ T (t) t õ ợ tr rộ t
t ố ỗ q
tợ

T (t)

ỡ t ú ợ

T (t).

t

t tự q ổ

t t t ừ

T (t).

t

t1

f 0 (x[t], u(t))dt,

C[u(ã)] =

x[t] x(t; x0 , u(ã)),

0
tr õ

f0

tr tỹ

t tố ữ x0 ử t ũ

u(ã) tứ ợ õ t C[u(ã)] ọ t

ỡ ồ

t t ổ , tự

= {u(ã) Um |t1 0
õ


u (ã) Um

C(u (ã)) C(u(ã))

ợ ồ



s

x(t1 ; x0 , u(ã)) T (t1 )}.

tố ữ õ t ổ tự u(ã) ,

u(ã) .

ữủ ừ ổtổổ
r ử ú t t ổ ự ởt số t q

t ữủ ừ ổtổổ tự ự ợ trữớ ủ

f = f (x, u)
t.

ử tở tữớ

x



u

ự ổ ử tở

ự t ữủ ự t t ừ t ủ

C =

t1 >0 C (t1 ), tr õ

C (t1 ) = {x0 Rn |u(ã) Um

s

x(t1 ; x0 , u(ã)) T (t1 )}

t tt tr t õ t t ổ ử t tổ
q t
rữợ t t q ữủ t ợ trữớ ủ

f

t t s õ sỷ

ử ữỡ t t õ t õ t q ố ợ ởt số ợ
t




õ tốt ồ

t tỡ

t ổtổổ t t

x = A(t)x + B(t)u,
ợ ử t

T (t) 0.

tử tr

A(t), B(t)

tr tử

ỡ t sỷ r

f (0, 0) = 0




f (x, u)

R n ì Rm .

sỷ C

ởt t ữủ tự t tt
x0 ử t õ C ố ự ỗ
Rn

K(t, x0) t t t tớ t. sỷ y



õ x0 y t tớ t t
y ỹ ừ K(t, x0).
K(t , x0 ).

sỷ {un(ã)} Um[0, t1] trữợ (n = 1, 2, ....), õ tỗ

t ởt {un (ã)} u Um[0, t1] s ợ ồ tr Y(t)
n ì m tỷ ừ õ tở L2 [0, t1 ] t õ
k

t1

lim

t1

Y(t)unk (t)dt =

k
0



Y(t)u (t)dt.
0

K(t, x0) t t t tớ t, K(t, x0) ổ
t ỗ t x0 = 0 t õ ố ự r tr


t K(t, x0 ),

0t<

tử



ợ UBB [0, t1] =
{u(ã) Um [0, t1 ] | |ui (t)| 1 tr [0, t1 ], i = 1, ..., m}, CBB (t1 ) t
ữủ ự ợ ợ UBB [0, t1] t õ CBB (t1) =

C (t1 ) t1 > 0 t t ỗ ử tở tử t1


t t t ổtổổ t

x = f (x, u),
ợ

f (x, u)

tử t

u(ã) Um ,

x, u





T 0

f (0, 0) = 0 Rn .




❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝
●✐↔ t❤✐➳t

f (0, 0) = 0

❝â ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥

❧➔ ❤ñ♣ ❧➼ ✈➻ ❦❤✐ t❛ ✤↕t ✤➳♥ ♠ö❝ t✐➯✉

u(t) ≡ 0 ∈ Rm .

❝→❝ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ♥❤ä ✤➸

x = 0, u = 0

♥❣✉②➵♥ t❤à t❤ì

u(t)

❱î✐

❣➛♥ ✤➳♥

x(t)

❣➛♥ ✤➳♥

0 ∈ Rm .

0 ∈ Rn ,

0 ∈ Rn

t❤➻ t❛

t❛ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣

❱➻ ✈➟②✱ t❛ ❦❤❛✐ tr✐➸♥

f (x, u)

t↕✐

✿

f (x, u) = fx (0, 0)x + fu (0, 0)u + o(|x| + |u|),
tr♦♥❣ ✤â fx (·, ·), fu (·, ·) ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❝→❝ ♠❛ tr➟♥ ❏❛❝♦❜✐❛♥

∂f i
∂uj

❝➜♣

∂f i
∂xj

❝➜♣

n × n,

✈➔

n × m.

❑❤✐ ✤â✱ t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ✭◆▲❆✮ ❣➛♥

0 ∈ Rn

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

t➼♥❤ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤÷ñ❝ ❝õ❛ ❤➺ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❤â❛

x˙ = fx (0, 0)x + fu (0, 0)u = Af x + Bf u,

✭✶✳✸✮

tr♦♥❣ ✤â ♠❛ tr➟♥ ✤✐➲✉ ❦❤✐➸♥ ✤è✐ ✈î✐ ✭✶✳✸✮ ❧➔

Mf = Bf , Af Bf , Af 2 Bf , . . . , Af n−1 Bf

✣à♥❤ ❧➼ ✶✳✻✳ ◆➳✉ rankMf = n t❤➻ 0 ∈ intC ✤è✐ ✈î✐

✽

✭◆▲❆✮

✳


ữỡ
ởt số ỵ tỗ t t
tố ữ
tỗ t tố ữ

ú t s t ừ sỹ tỗ t tố ữ
t tờ qt

x = f (t, x, u),

x(0) = x0 ,

u(ã) Um



ợ t

t1

f 0 (t, x[t], u(t))dt.

C[u(ã)] =



0
é

f, f0

T (t) 0,

tử ợ tr tữỡ ự tr

t1

ử tở tr

u(ã)

Rn



R,

tớ t õ ỗ t

tợ ử t
ử ú t tr ởt ừ ỵ
r õ t t ởt tố ữ tự ởt

u (ã) Um



C[u (ã)] C[u(ã)]

ợ

u(ã) Um .

ú t q t

ừ õ t t ởt tố ữ
t t t ỹ t ừ tr tỹ
ởt t


h(ã, ã)

G

tr

h(x, y)

ừ số tr

R2 . ởt ừ h(ã, ã) õ ỹ t õ G

tử t t ỷ tử ữợ



h(ã, ã)

t

õ tốt ồ
tử tr
tr

G



G

t tỡ
h(ã, ã)

t ởt

õ ởt ỹ t t

hx = hy = 0, h2xy hxx hyy < 0, hxx > 0
h(ã, ã)

ú ỵ r ừ tr

t

(x , y )

(x , y ).

õ ỹ t ữ õ õ

tr ú ú t t ỹ t
ỳ t ừ ữỡ r ử ú t ổ t ữỡ
ỡ ự sỹ tỗ t t ởt õ t
r q õ tợ tt ỡ r ử ú t t
ự ởt ỵ tỗ t ỡ r ử ú t t
ự ởt ỵ tỗ t tờ qt ữợ
t ỗ ổ t sỹ tờ qt õ r ử ú t t
ự ởt ỵ tỗ t t t t t tr
t Pữỡ tr t õ t rt ổ ỵ ử ừ
t tr ổ ữợ

dy
= [y(t)]2 ,
dx


y(t) =

y(0) = 1

1
1t , ổ ổ t

t = 1.

Pữỡ tr

t t tồ ở ỡ s ử s ởt t ổ
õ tố ữ õ ổ ỗ t r
ởt

ử
x=

t t

p
q

,

q = [q + 1]2 u,

p = 1,

x0 =

2
0

,

T (t) 0

t1

f 0 (t, x, u)dt,

C[u(ã)] =
0

r õ


1
0
f (t, x, u) =
1

(q+1)2

ú ỵ r

t1 = 2

tr ử t ừ



q<0



q 0.

ồ ỗ t ổ

p[t]

0.

p = 1, p[0] = 2

ố ợ ỹ tr



u(t) 1,



ỗ


õ tốt ồ

t tỡ


ổ t ổ

t
1t tỗ t ợ

p[t] = t 2, q[t] =

0 t < 1.

t r ởt t ổ ỗ t ổ t

0<<1

ợ

t



u (t) =


ợ

0t1

ợ

1 < t 2.

P ỗ t ổ tữỡ ự

p [t] = t 2,

q [t] =

t
1t
(2t)
1(2t)

ợ

0t1

ợ

1t2

1, q [t] t ởt 2.1 t r C[u (ã)]

1.

t ởt tố ữ

u (ã)

s tọ

C[u (ã)]

2
3
2
3.

ữ ú t õ t r s ộ ữủ s
r ởt ợ ỡ
õ

q[0] = q[2] = 0

2
.
3

ợ ởt t ổ ú t

ữỡ tr

q = [q + 1]2 u

ợ

1 u(t) 1,

s r

[q + 1]2 q[t]
[q + 1]2 .
t tự s r

q[0] = 0


(i) 1 t

1
q[t]+1 ợ

0t<1

t t tự tr tứ t ợ

t1

1
q[t]+1 ợ

1
ợ r

q[2] = 0

ợ r

t > 1

t õ

ữ ởt ỗ

t ổ t ú t õ t tự t tr ợ




õ tốt ồ
t

t tỡ

tr ởt õ õ

1

2

2
(t 1)2 dt = .
3

(1 t)2 dt +

C[u(ã)] >
0

1

t t ừ ú t ổ õ tố ữ

ử trữợ t t t

u(ã),

tr t t

t tr t s õ ử t t t r
ỗ t t t t tr t ữ
t t t

u(ã)

õ t sỹ ổ tỗ t tố

ữ

ử

t t







p


x=

q ,
r



sin 2u



x =
cos 2u ,
1





0


x0 =
0 ,
1

1
ợ

T (t) 0,

{[p[t]2 ] + [q[t]2 ]}dt.

C[u(ã)] =
0

ớ ử t

x[t]

tọ


|x[t]|
3

|x[t]| |x0 | + 3t 4

tố ữ

{uk (ã)}

u (ã)

C[u (ã)] = 0

0

ợ

ổ

t

x[t]

0 t 1.

s

1,

r = 1, r[0] = 1.

sỷ t õ t ỹ ữủ ởt

C[uk (ã)] 0.



s tữỡ ự ợ


ộ ỗ

s tọ ởt t

p [t] = q [t] = 0

ỡ õ ổ t

õ

C[u(ã)] 0,

ồ

C[u (ã)] = 0.

ổ ỵ

ỡ

p [t] = q [t] = 0

p [t] = sin 2u (t), q [t] = cos 2u (t).

tọ õ

uk (t) = kt [kt], k = 1, 2..., tr

[ã]

t

õ

2.2

uk (ã) U1 [0, 1]

sin 2uk (t) = sin 2kt, cos 2uk (t) = cos 2kt.
ỗ q

pk [t] =

1 cos 2kt
,
2k

qk [t] =


sin 2kt
,
2k

rk [t] = 1 t.




õ tốt ồ

t tỡ

u3 (t)
1
r

{[p[t]2 ] + [q[t]2 ]}dt =

C[uk (ã)] =

1
0
2 2 k 2



k .

0
ử trữợ t õ ởt số tt t
ự ởt ỵ tỗ t tờ qt t
ổ t õ ú t ợ t ởt ỵ sỷ
ữủ ữợ
tớ

t1 , 0 < t1 T.

T = 0 , (T ) =

x0

ử t

tr

ổ t õ tố ữ ổ õ t t

tr [0, T ] tọ ởt t
|x(t; x0 , u(ã))|
= (T )

ợ

số ử tở

|f (t, x, u)| |x| +

ỗ t ổ

u(ã) (T ),

r tứ ởt tr s

a)

0

ợ tt

ởt số tt ỡ s r ố ợ ởt số

ởt t ổ ụ tt r

r õ

(T )

n

(|x| =

0 t t1 ,

T.



ữủ s

|xj |);

j=1

b)
tr

T

|x f (t, x, u)| x

2

+

[0, T ] ì Rn ì , tr õ ,

( x

2

= xT x);

số ổ ử tở

r r s r t t

t

|x[t]| = x0 +

t

f (s, x[s], u(s))ds |x0 | +
0

|x[s]| ds + T.
0



T.


õ tốt ồ

t tỡ

ử r t ữủ

|x[t]| (|x0 | + T ) eT .
õ tt ỗ tr

[0, T ]

t ổ ổ tọ

ởt t ú ỵ r t tr ỗ ố
ợ t t tử

x = A(t, u)x + b(t, u)

tứ tr t ố

tọ ởt t
ợ tt ổ t tr t ú t
ởt tt sỹ ử tở ú t s
ợ ởt tt t ỗ ố ừ t ừ
tr

f (t, x, ) = {(f 0 (t, x, v), f T (t, x, v))T | v }
t t ởt t ỗ tr

Rn+1

ợ ộ

(t, x)

rữợ ú t t ự ỵ tỗ t ú t
t ỵ tữ s ự ừ ỵ t
t

C : u(ã) C[u(ã)]
tứ

Um



t số tỹ õ t ỹ ý ự t

C[u(ã)]

tữớ q t tợ ỗ

x[ã].

t

t ỵ tỗ t ữủ q tổ q t tr

Um

ồ tỹ ỷ tử ữợ tr ởt t t t ỹ t ừ
õ tr t õ õ tữớ t ự t ỡ t t trỹ
t ự sỹ tỗ t ữ s

ự

C[u(ã)]

ợ ỗ q
ự

{xk [ã]}

ữợ t tỗ t ỹ t

{uk (ã)}

{xk [ã]}.
ở tử ởt ợ

x [ã]

ổ t tt

ởt ỗ
ự õ ởt

u (ã) Um



x [ã]

ỗ ự ợ õ

ú ỵ r ú t ổ sỹ ở tử ừ

{uk (ã)} u (ã).

ợ t t t t t ú t õ t ự




õ tốt ồ


{uk (ã)} u (ã),

t tỡ

s õ ự

xk [ã] x [ã]

ữ õ

ổ t ử s t ú t õ t õ ồ ỹ
t ổ ở tử t t ý ũ
ỗ q ở tử ởt ỗ tố ữ

ử
x=

t t

p

, p = 1 u(t) 2 , q = 1, x0 =

q

0
0

, T (t) =

0
1

,

1

[p(t)]2 dt.

C[u(ã)] =
0

t1 = 1

ú ỵ r

u(ã) Um [0, 1]

ợ

p(t) 0, q(t) = t



u(t)

q = 1
2

1

{uk (ã)}

q(0) = 0, q(t1 ) = 1.

t ý

tố ữ ữ ú ỵ r ỗ tố ữ

t t

sin kt

uk (t) =
õ

ợ

cos kt

, k = 0, 1, 2 . . .

ởt ỹ t ữ

{uk (ã)}

ổ ở tử t

tổ tữớ ởt tố ữ õ ổ ở tử t
tứ ờ s

1

1

lim

(t) sin ktdt = lim

k

(t) cos ktdt = 0,

k

0

ợ t ý

(ã) L2 [0, 1],

0

ở tử

u (t) 0 tr L2 [0, 1] ữ u (t) 0 ổ

t ổ ú ỵ r ỗ q

pk [t] 0, qk [t] = t

ở tử ởt ỗ tố ữ
t tr ữ t ú t ỏ t
ỳ q tr tr ởt tớ t
ữủ ự t ỹ t ỷ r ử
ữủ sỷ ử tứ ởt ố
ởt ợ tố ố



0

ú t t


õ tốt ồ

t tỡ

r t õ t sỷ ử ởt ữợ ọ tũ ỵ sỷ ử
tớ ỵ t s ổ õ tố ữ

ỹ tỗ t ợ t
ữ ú t tr ỵ tt tỗ t t
ự tử ỷ tử ữợ

C[u(ã)]

tr ởt t t

Um [0, T ]. ử Um [0, T ] ữủ tr t ừ L2 [0, T ] t Um [0, T ]
t t ở ừ ỵ ừ ữỡ
ừ ỵ ữỡ


C[u(ã)]

f (t, x, )

ỗ ữủ tt s r

ỷ tử ữợ t t

ú t tr tr ởt số t
t ừ

Um [0, T ]

t õ t ồ t ú t ố

ợ t ỡ t s õ ú t õ t
sỹ tr

f0

f





C[u(ã)] ỷ tử ữợ

ở ỹ s ỵ ữợ tr õ ỷ ỵ ợ ợ
t

U



Ur .

ợ t ởt t t ừ

ợ tự t t
ợ

>0

t

Um

t

L1 .

U Um

ồ ỳ tọ

st tr ừ ú

|u(t) u(s)| |t s|.
ợ ởt số

r 0,

tứ ú ợ t

t

r

Ur Um

ồ

tr ừ ú

[0, T ] ởt ố sỷ r ợ tổ

tữớ Um[0, T ] ữủ t t ởt tr ợ U[0, T ] Ur [0, T ]
ợ ởt số ố > 0 số r 0 sỷ (T ) = . sỷ
f 0 f tử ỗ t ổ tọ ởt t
õ s tỗ t ởt tố ữ
ự r ừ s ử Ur U.


|x[t]|

ợ ồ ỗ t ổ



f0

tử tr t t


õ tốt ồ
[0, T ] ì [, ] ì [1, 1],

t tỡ

t ổ tr

[0, T ].

ố ợ tt

ú t tr

[0, T ],

C[u(ã)] ữợ ợ u(ã) (T ). {uk (ã)} ởt ỹ t ố


ợ

f 0 (t, x[t], u(t))



C[u(ã)]

tở ợ t ủ

Ur



C[uk (ã)] c = C[u(ã)],

U ,

tự

uk (ã)

tr

[0, t1 (k)]

r õ ữợ ú ữủ tr ợ ữủ sỷ ử

Ur



U .

t1 [0, T ].
t

{xk [ã]}

{t1 (k)}



tở

[0, T ],

ú t s r

t õ t sỷ

{uk (ã)}

ỗ

ồ tử ỗ tr

q ỵ

uk (t) u (t), xk (t) x (t)

t,

t

t1 (k)

{uk }



[0, t1 ],

{xk }

ố ợ ởt tử

t

t s õ

u (tã), x [ã]

t
õ ữ

xk [t] = x0 +

f (s, xk [s], uk (s))ds, ợ
0



k

ú t s õ

t

0 t t1 .

f (s, x [s], u (s))ds,

x [t] = x0 +
0
õ

u (ã)

x [ã] tỹ

ỹ t õ

sỹ s ởt ỗ ự ợ

xk (ã) x (ã)



u (ã) u (ã) s

uk (ã) u (ã)

tố ữ



f0



tử
t ự t t ú t ự r
ợ ợ

Ur

U ,



{uk (ã)}



{xk [ã]}

tử

ỗ t ú t ữ r ớ tt t ự

t1 (k) t1 ,
uk (t1 (k)),
rở

ú t rở

ú t rở

xk [t]

uk (ã)
xk [ã]



[t1 (k), t1 ]

số

ữ ởt ừ

ữ ởt tr

xk [t1 (k)].

xk = f (t, xk , uk ),

ú t ổ

õ õ t ữủt

q ởt t
sỷ ú t qt ợ ợ
tử ỗ u(t)

U [0, T ]. õ t ở ợ õ

{uk (ã)} ụ




õ tốt ồ

t tỡ

ợ k ợ uk (ã) õ u (ã) ,
ỗ t tọ

[t1 (k), t1 ]

xk = f (t, xk , uk ), x(0) = x0

tr

f

tử

{|x k |}

ỗ tr

ố ợ ợ

u(ã) Ur [0, t1 ]

Ur [0, T ],

{xk [ã]}

tử

[0, t1 ].

t sỷ

r=2

U [0, T ].

t õ ợ ộ

t õ




a, 0 t < ;



u(t) = b, < t < ;




c, < t t1 ,

(a, b, c, , ) ử tở u(ã). ú t õ t õ =

ởt ữợ
t ợ

tr[0, t1 ].

s r

ữ t t ự ợ

tr õ

tr



(t, xk [t], uk (t)) [0, T ] ì [, ] ì [1, 1],


[0, t1 (k)], xk = 0

t1 (k) t1 ,

= = t1 ổ ữợ {uk (ã)} ỹ

t ộ

uk (ã)

ữủ ổ t ở số

ú t õ t sỷ r ở tử

(ak , bk , ck , k , k ).

k , k , ak a , bk

b , ck c ,

tt tr tở ỡ

k , k

tở

[0, t1 ]



u (t)

tr

ú t ọ q ừ

[0, t1 ]



(a , b , c , , ).

ỹ t

uk (ã)

tr

t1



uk (ã) u (ã)

tr

s

t

S = [0, ] [ + , ] [ + , t1 ]


Rm ,


õ tốt ồ
ợ

> 0

ỗ

ọ ợ

{xk [ã]}

tữỡ tỹ ữ ợ


{xk [ã]}

ừ

S

t tỡ

= ,

ự ợ

ự t ỏ ỡ ỡ

{uk (ã)}

tử ỗ ỵ

U xk [0] = x0 , |xk |

õ ởt ỵ

ở tử ởt ợ

tr

x (t)

[0, t1 ].

tr



Sc

ũ

[0, t1 ], t f (t, x[t], u(t)) tử (t, xk [t], uk (t)) tr
|f (t, xk [t], uk (t))|dt õ t ữủ ọ tũ ỵ

ởt t t

Sc
ồ



ọ

t


uk (ã) u (ã) tr S , xk [t] = x0 +

f (s, xk [s], uk (s))ds ú
0

t õ t

k ,

s õ



t r

t

x (t) = x0 +

f (s, x [s], u (s))ds.
0

õ

x [ã]

ỗ ố ợ

u (ã).

t
P ỗ tố ữ õ t t ữủ ử t

0

trữợ tớ

t1 .

õ

õ t ỡ
ỵ ú ố ợ t õ tớ ố ố
tớ

t0

ú t õ t

tớ ố

t0

t ờ tr

t1

ố trữợ

[0, T ].
[0, T ],

ú t õ t ọ tớ tr ởt ố
ú t t ỗ õ q

t ổ ử
t t sỷ

t0

t0 = 0

ố

f 0 (t, x, v) (t)

t ờ ú t

t1
(t)dt

ợ

t

t1

ợ

t0

t0 (t)dt

f 0 (t, x, v) (t)

ợ

t

t1

tr

t1 0

= +.



ợ ợ

= +.

ự ừ ỵ tỹ ữủ ổ t ờ ốt
tt ỗ t ổ ữủ õ tr tr




õ tốt ồ

t tỡ

ởt t t ừ

Rn . rữớ ủ ổ ữủ ồ

t ợ tồ ở ú t õ t
ởt t ở ợ

hi (x1 , x2 , ..., xn ) 0,

i = 1, 2, ..., r.

hi ử t q trồ ỳ (t, x(t), u(t)), 0

ố ợ tử

t t1 tr ởt t t ố ợ tt ỗ t ổ
ự ừ ỵ ổ t ờ ỡ ữỡ
ỡ



t tr ừ ữủ ữủ t

t t t ờ tử

(t, x)

t ỗ ừ



ổ

q
ữớ t õ t t số õ
ợ

,

(x[t1 ])



max[t0 ,t1 ] [x(t)]



tử

tr t

x0

tr t ử t

T (t) 0

õ t ữủ

t t t õ rộ t tử t tớ

X0 (t), X1 (t) tr Rn .

ỹ tỗ t ữợ tt t ỗ
t t

tr ởt ố [0, T ] ợ x0
T (t) 0 f (t, x, u), f 0(t, x, u) tử sỷ (T ) =
ỗ t ổ tọ ởt t t
õ t f (t, x, ) = {(f 0(t, x, v), f T (t, x, v))T |v } ởt
t ỗ tr Rn+1, t tỗ t ởt tố ữ


rữợ ự ỵ ú t tt t ỗ
tr

f

tữớ ữủ ồ tr tố rở

ử ử f (t, x, )
t t ổ ữợ

t1
1

x = |u| 2 ,

1

|u(s)| 2 x(s)ds.

C[u(ã)] =
0



õ