Tính ổn định của bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc

B Ộ G IÁ O D Ụ C V À Đ À O T Ạ O
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2
----------------------- * -------------------------

N G U Y ỄN THỊ TH A NH HOA

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BÀI TOÁN
ĐIỀU KHIẾN TỐI ƯU MÔ TẢ BỞI
HỆ TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
Chuyên ngành: T o á n g iả i tíc h
M ã số: 60 4 6 01 02

L U Ậ N V Ă N TH Ạ C SỸ T O Á N HỌC

N g ư ờ i h ư ớ n g d ẫ n k h o a h ọc: P G S .T S .N g u y ễ n Q u a n g H u y

H à N ộ i-2 0 1 5


LỜI C Ả M Ơ N

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Quang Huy người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa
luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và
bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá

trình học tập để tôi hoàn thành bản khóa luận này.

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hoa


LỜI C A M Đ O A N

Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Quang Huy luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tính ổn định của bài
toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc” được hoàn thành
bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn
nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 29 tháng 06 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hoa


B Ả N G K Ý H IỆ U
R

tập số thực suy rộng

F : X =4 Y

ánh xạ đa trị từ X vào

Y

dom F

tập xác định của F

gphF

đồ thị của F

IIжII

chuẩn của véc tơ X

Bỵ

hình cầu đơn vị đóng trong không gian

B p(x)

hình cầu đóng tâm

X*

không gian đối ngẫu của không gian Banach X

limsup

giới hạn trên cho dãy số thực

Limsup

giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

intíĩ

phần trong của íỉ

clíỉ

bao đóng của Q

coíỉ

bao lồi của

coneíỉ

nón lồi sinh bởi íỉ

N ( x ; ri)

nón pháp tuyến qua giới hạn

X,

X

bán kính p

(nón pháp tuyến Mordukhovich) của íĩ tại X
N(x-, ri)

nón pháp tuyến Fréchet của ri tại X

df(x)

dưới vi phân giới hạn
(dưới vi phân Mordukhovich) của / tại X

d°° f ( x )

dưới v i ph ân su y biến của / tạ i X

df(x)

dưới vi phân Fréchet của / tại X

D*F(x,ỹ)

đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (x , ỹ )

D*F(x,ỹ)
n _

đối đạo hàm Préchet của F tại (x , ỹ )

X

X

X —> X, X € í l

X

X

X —У X, f ( x ) —> f ( x )

„

ữị ữ

а —¥ ã , a ^ ã

V f{x)

gradient của / tạ i X

( V t o á n

tử liên hợp của v / ( x )


M ục lục

M ỏ đầu

1

1

K iế n th ứ c c h u ẳ n b ị

4

1.1. Nón pháp tuyến

4

1.2. Đối đao hàm của ánh xa đa tri

8

2

3

1.3. Dưới vi phân

10

1.4. Một số phép toán dưới vi phân

12

D ư ớ i v i p h â n F ré ch et và d ư ới v i p h â n M o r d u k h o v ic h

16

2.1. Dưổi vi phân Fréchet của hàm giá trị tối Ư u .....................

16

2.2. Dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu

27

T ín h c h ấ t A u b in c ủ a tậ p n g h iệ m

. . .

46

K ế t lu ậ n

60

T ài liệ u th a m k h ảo

61

iv


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xét bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc ỰPW):
N- 1

Min

E hk(xk, u k, w k) + hN (xN),

(0.1)

k=0
t r ê n v é c t ơ đ iề u k h i ể n u — ( u q , U i , . . . W jv -i) G ư

N- 1
n Uk v à c á c q ũ y

k=0
N

đạo X = (x0, x i , . . . ,XN) ẽ I

:= n x k, thỏa mãn phương trình động
k=0

lực
Xk + 1 = A kx k+ B kuk+ Tkw k với

mọi k= 0 , 1 , . . . , JV - 1,

(0.2)

với ràng buộc
Uỵ €

c Uỵ

với mọi k = 0 , 1 , . . . , N

— 1,

(0.3)

và điều kiện ban đầu
Xq g c ,
ở đó,
Xỵ

là biến trạng thái,

Uỵ là t h a m s ố đ iề u k h iể n ,

w := (w 0, Wị, . . . , W n - i) là tham số nhiễu,
Xk, U]ị , Wk là các không gian hữu hạn chiều,

(0-4)


2

là tập con khác rỗng trong Uk,

c

là tập con lồi đóng khác rỗng của

xữ,

Ak '■Xỵ —> x k+1, Bỵ : Uỵ —>■Xfc_|_i, T ỵ : Wỵ —> Xj .+ 1 là những ánh xạ
tuyến tính.
Bài toán này đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu;
chẳng hạn, xem Ị5Ị [8Ị [0] và các tài liệu được trích dẫn trong đó. Một
ví dụ cổ điển cho bài toán (0.1) (0.4) là bài toán ổn định kinh tế; xem
[81121.
Gọi S ( w ) là tập nghiệm của bài toán (Vw) tương ứng với tham số
N-1

w = (w 0, w u . . . WN- 1 ) e W : = Y l Wỵ.
k=0
Trong trường hợp

c

là tập một phần tử, tác giả B. T. Kien và đồng

nghiệp [5ị| đã thu được một vài công thức cho việc tính toán dưới vi phân
Préchet của hàm giá trị tối ưu V với giả thiết rằng Tk là toàn ánh với
mọi k.
Bằng cách thiết lập một kết quả mới dựa trên dưới vi phân Fréchet
của hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch có tham số, tác giả N.

H. Chieu và Jen-Chih Yao

[3 J

đã thu được công thức tính toán dưới vi

phân Fréchet của V dưới một giả thiết yếu hơn trong [5J.
Gần đây, tác giả N. T. Toan, B. T. Kien và Jen-Chih Yao pHỊ d ĩ]
thiết lập đã được công thức tính dưới vi phân Mordukhovich của hàm
giá trị tối ưu của V và các điều kiện đủ cho tính Aubin của ánh xạ
nghiệm s .
Luận văn thạc sĩ với đề tài “Tính ổn định của bài toán điều khiển
tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc” nhằm trình bày công thức tính
dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu của V và điều kiện
đủ cho tính chất Aubin (tính giả Lipschitz) của ánh xạ nghiệm s .


3

2. M ục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến
tính rời rạc, tính ổn định của tập nghiệm và hàm giá trị tối ưu.

3. N h iệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich;
lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc; trình
bày công thức tính dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich
làm công cụ thiết lập tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiền cứu

Lý thuyết quy hoạch toán học, điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc;
dưới vi phân Préchet và dưới vi phân Mordukhovich.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp nghiên cứu trong giải tích biến phân và đạo
hàm suy rộng, giải tích đa trị, đại số tuyến tính và lý thuyết tối ưu.

6. D ự kiến đóng góp của luận văn
Nội dung của luận văn trình bày công thức tính dưới vi phân Fréchet
và dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu trong điều khiển
tối ưu tuyến tính rời rạc; sử dụng kết quả đạt được như là công cụ để
thiết lập điều kiện đủ cho tính chất Aubin của ánh xạ nghiệm.


4

Chương 1
K iến thứ c chuẩn bị
1.1.

N ón pháp tu yến
Trong toàn bộ luận văn chúng ta sẽ sử dụng các khái niệm, kí hiệu

của giải tích biến phân và đạo hàm suy rộng; chi tiết đọc giả có thể tham
khảo bộ sách của Mordukhovich p , un]. Trừ khi phát biểu khác, tất cả
các không gian được xét là các không gian Banach với chuẩn kí hiệu bởi
II • II. Với một không gian Banach bất kì X , ta xét không gian đối ngẫu
của nó X* với tôpô yếu* được kí hiệu bởi w*. B x và B x * kí hiệu tương
ứng là hình cầu đơn vị đóng trong không gian Banach X và không gian
đối ngẫu của nó. Kí hiệu A* toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên

tục Ả. Hình cầu đóng tâm

X

bán kính p được kí hiệu bởi Bp(x).

Với mỗi tập ri c X , c lfi, in tíi, c o íỉ và co n eíi kí hiệu tương ứng
là bao đóng, phần trong, bao lồi và nón lồi sinh của íĩ. Ta nhắc lại rằng
íĩ e X là đóng địa phương tại

X

G íĩ nếu có một lân cận

u của

X

sao

cho Q n clu là tập đóng.
Cho F : X =£ X* ánh xạ đa trị từ một không gian Banach X vào
không gian đối ngẫu X* của X . Giới hạn trên theo dãy theo nghĩa
Painlevé - Kuratowski đối với tôpô chuẩn của X và tôpô yếu* của X*


5

tại X được xác định bởi
Lim sup F(a;) := {x* e X* : 3 x k —»■X, x*k

x*,x*k G F ( x k),Vk G N }.

x—^x

(1.1)

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 . (N ó n p h á p tu y ế n ) Cho Q ỉà tập con khác rỗng trong
không gian Banach X , X G íĩ và e ^ 0.
(i) Tập các £ - vécíơ p/ìáp tuyến Fréchet của fỉ tại X được xác định bởi
N e(x-, ri) :=

X € X

* ,
(x*,x — X)
: lim sup -Ỉ7——-----— ^ £
X —X
íỉ _
x^x

(1.2)

ở đó X A ’ X nghĩa là X —> X và X E fỉ. Khi £ = 0, ta có N ( x ; í ì ) :=
N ữ(x-, ri) nón pháp tuyến Fréchet của ri tại X.
(ii) Nón pháp tuyến Mordukhovich hay nón pháp tuyến qua giới hạn của
íĩ tại X là tập
N(x] ri) := Lim sup N e(x\ ri),

(1-3)

q _

X-¥X

eịo

hay
N(:r; ri) :=

e X* : 3eỵ —> 0, Xỵ A X, x*ỵ

X*, x*k G N £k (xỵ\ íĩ) VA; I ,

ở đó có thể đặt £ = 0 khi íĩ ỉà tập đóng trong ỉân cận của X và X là
không gian Asplund.

B ổ đ ề 1 .1 . (T íc h Đ ề c á c) p , Proposition 1.2] Lấy tùy ý điểm X =
( x i , x 2) e ÍỈ 1 X ÍỈ 2 c X ị X

x2. Khi

đó

N(x-,Q 1 X í ỉ 2) = N ( x 1 ; Oi) X N ( x 2^ 2),

(1-4)

N ( x ; ũ ị X í ỉ 2) = N ( x i ; í ì ị ) X N ( x 2',^Ì2)-

(1-5)


6

B ổ đ ề 1 .2 . (T ập cá c £— v é c tơ p h á p tu y ế n đ ố i vớ i tậ p lồ i) p ,
Proposition 1.3] Cho Q là một tập lồi trong không gian Banach X . Khi
đó,
N e (x; í ỉ ) : = {x* € X * : ( x * , x — x) ^ £ ỊỊíc — x || , V x € í ỉ } ,

với mỗi £ > 0 và X G

(1 .6 )

Trường hợp đặc biệt với £ = 0, ta có

N{x; Q) := {x* € X* : (x*, X - x) ^ 0, Vx € n } ,

(1.7)

là nón pháp tuyến trong giải tích lồi.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 . (T ập c h ín h q u y p h á p tu y ế n ) Một tập
chính quy (pháp tu y ế n) tại X €

c X

là

nếu

N{x;íì) = N{x;iï).

(1.8)

Đ ịn h lý 1 .1 . (T ín h c h ín h q u y c ủ a tậ p lồ i đ ịa p h ư ơ n g ) p , Propo­
sition 1.5] Cho u là một lăn cận của X €

c X sao cho tập ri n u là

lồi. Khi đó íĩ chính quy tại X với

N(x; íỉ) = {x* e x*\ (x*,x —x) ^ 0, Vx e

n u}.

(1.9)

Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày hai dạng biểu diễn tương đương
của nón pháp tuyến Mordukhovich trong không gian hữu hạn chiều Rn
(trong trường hợp này X* = X = Mn). Do tất cả các chuẩn trong không
gian hữu hạn chiều là tương đương nên ta có thể chọn chuẩn Euclid
||x|| = \ J x \ + ... + x ị ,

X e ŒT.

Cho một tập không rỗng Q c Rn. Khoảng cách từ X đến Q được xác
định bởi
dist(a;, fỉ) := inf ||x — w|| , ĩ ẽ R "
«efì
và hình chiếu Euclid của X trên íỉ

n (x ; íĩ) := {x e clíỉ| ||a: — ã;II = dist(a:; íỉ) } .


7

Đ ịn h

lý 1 .2 . (N ó n p h á p tu y ế n tr o n g k h ô n g g ia n h ữ u h ạ n

p , Theorem 1.6] Cho гÎ с M" tập đóng địa phương tại

c h iều )

X € fỉ. Khi đó

các khẳng định sau là đúng:
N(x; ri) = Lim s u p -/v(æ; ri);

(1.10)

X — ìx

N{x] ri) = Lim sup [cone (x — П (x; r i))].

(1-11)

X-ÏX

V í d ụ 1.1. Cho íỉ = { (XI,X2) £ M I x 2 > —|x i|} và

X

— (0 ,0 ). Giả sử

X* = ( x { , x 2) G N( x; ri). Khi đó,
Umsup

Î Î W

( « I , * a) 4 ( 0,0)

V '“ ỉ +

ÿ < 0 ,

( 1 .1 2 )

uỉ

Lấy (ui,u%) = (1/A:,0) G Çl,k € N, ta có (Wijiiij) —> (0,0) khi к —> 0 0 .
Từ (X12J ta có
n ^ T™
+ X2 U2
*
0 > lim sup —
-----= ж;.
л /К Т Т Й )
Do đó x\ < 0. Lấy ( u\ , u \ ) = (—l//c ,0 ) G ri, A; € N, ta có ( u \ , u ị ) —> 0,
khi к —»• 0 0 . Từ (1.12), ta có
n \ 1-™

x\ u\ 4- ^ 2^2
0 > lim SUD —
-----=
k->oo y j (u\ ) 2 + (uị)

*

— х л.

Do đó, ж* > 0. Vạy æï = 0. Do tính chất đối xứng của x\ và x *2 ta cũng
có x*2 — 0. Ngược lại, với (x\,x*2) = (0,0) thì (1.12)được thỏa mãn. Vậy
N { x \ ũ ) = {0 }. Vói (Xị,X 2 ) G ri, ía có
{0}
N { { x ị , z 2);fì)

nếu ( x i , x 2) ẽ intíỉ,

{(a, —a)\a > 0}
{(a, a)|a < 0}

nếu Xi = x 2,
nếu Xi = —x 2.

Khi đó, ta có
N(x-,íì)=

Lim sup N ( ( x i , x 2) \ rỉ)
(Ж1,ж2)—
>(0,0)

= {(^ 1 ^ 2) € Щх*2 = - Ị ^ | } .


8

1.2.

Đ ối đạo hàm của ánh xạ đa trị
Cho F : X =4 Y ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach X và Y.

Tập xác định và đồ thị của F được kí hiệu bởi
d o m F := { x G X I F ( x ) Ỷ 0}j

g p h F := { ( x , y ) G X X Y \ y G F ( x ) } .

Đ ịn h n g h ĩa 1 .3 . Cho F : X = ị Y với dom F Ỷ 0(i) Lấy (x, ỹ) e X X Y và £ > 0. £—đối đạo hàm của F tại (x , ỹ ) được
định nghĩa là ánh xạ đa trị D*F(x, ỹ) : Y* =4 X* với các giá trị

D'tF(x,ỹ)(v’) ■
■
={z* 6 X* : Or*,-!/*) EЯ((г,5);8РЬ^)}

(1.13)

là £ - đối đạo hàm của của F tại (x , ỹ ). Nếu (x , ỹ ) Ệ gphF , ta đặt
D*F( x, ỹ) ( y*) = 0 với mọi £ ^ 0 và y* e Y * . Khi £ = 0 trong (1.13),
biểu diễn này được gọi ỉà đối đạo hàm Fréchet của F tại ( x, ỹ) và được
ký hiệu bởi D * F ( x , ỹ ) , nghĩa là
D ' F ( ỉ , ỹ ) ( y *) := {x* e X* : (x ' , - » • ) 6 N ( ( ĩ , ỹ); g p k F )} .

(1.14)

(ii) Đối đạo hàm Mordukhovich hay đối đạo hàm qua giới hạn của F tại
(x, ỹ) € gphF là ánh xạ đa trị D*F(x, ỹ) : Y*

X* xác định bởi

D*F( x, ỹ) ( ỹ*) := Limsup D*F(x, y) (y*) .
{x,y)^-{x,ỹ)
w*\ _
y*--->y*
eịo

(1.15)

Lưu ý rằng đối đạo hàm Mordukhovich cũng có thể được biểu diễn
qua nón pháp tuyến Mordukhovich
D ’F ( x ,ỹ )( y ’) = К

6 X* : ự , - у ' ) € J V ((ä ,s);g p h F )}.

(1.16)

Nếu F ( x ) = { f ( x ) } là ánh xạ đơn trị thì ta viết D * f ( x ) thay cho
D * f ( x , ỹ ) và D * f ( x ) thay cho D * f ( x , ỹ ) .


9

Nhắc lại

X

rằng một ánh xạ đơn trị / : X

—>■Y là khả vi Fréchet tại

nếu có mộttoán tử tuyến tính liên tục V f ( x ) : X —> Y ,

được gọi là

đạo hàm Préchet của / tại X, sao cho
r

f { x ) ~ f { x ) - ( У /( ж ) ,ж - ж ) =

X™

||z -z ||

Ánh xạ / : X —> Y được gọi là khả vi chặt tại X nếu
lim ỉ (x ) - ỉ (u) - ( ỵ ỉ M l x ~
х,и^х
IIж — lí||

= 0

Ta có thể chứng minh được rằng nếu / tương ứng khả vi Fréchet và
khả vi chặt tại

X

thì

D * f ( x ) ( y *) = ( V f ( x ) Ỵ ( y * )

V

G Y*

D*f(x)(y*) = (V /(ĩ))* (y * )

Vy* e Y*.

(1.17)

và

V í d ụ 1.2. X é t hàm số thực
/ : M —>■M,

f ( x ) = |ж|,

và ánh xạ đa trị F : R ^ R được cho bởi công thức
F ( x ) = { f { x ) } — |ж|,

Mx € К.

Khỉ đó,
gphF = { (x , y ) G M2|y = ỊxỊ}.
Tại điểm (x, ỹ ) = (0,0) G gph-F, ta có

D * F ( x , ỹ ) ( y *) = {x* G R |(x * ,-y * ) G iV ((0 ,0 );g p h F )}
= К

<E R\y* > Ịx*|}
0

nếu y* < 0,

[ - y*,\y*]

nếu y* > 0.

và
___

.

D*F(x:ỹ)(y*)=
. —ỊJ*\

Л!

[~y*,y*]

nếu y* < 0,

: .

n ế u y * > 0.

(1.18)


10

1.3.

Dưới vi phân
Cho X là không gian Banach và / : X —»• R hàm nhận giá trị trong

tập số th ự c suy rộng, hữu hạn tạ i X.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .4 . Với mỗi E ^ ũ, đặt
â ,m

:= ụ

l

€ X* : lim inf я » ) - / ( g ) - <»’ . » - *) > _ л

x~*x

If —æl

J

. (1.19)

Các phần tử của tập hợp ở vế trái công thức này được gọi là các £— dưới

gradient Fréchet của f tại X, còn bản thăn tập hợp đó được gọi là £—
dưới gradient Fréchet của f tại

X.

• Tập hợp
ố f { x ) := ố0f ( x ) ,
được gọi là dưới vi phẫn Fréchet dưới (thường gọi là dưới vi phẫn
Fréchet) của / tại

X.

Rõ ràng ô f ( x ) с ôef ( x ) với mọi £ ^ 0.

• Tập hợp
ồ +f ( x ) :=
được gọi là dưới vi phân Fréchet trên của / tại

X.

Đ ịn h n g h ĩa 1 .5 . Tập hợp
d f ( x ) : = L i m s u p ồ £f ( x ) ,
XA
— 7 -X
eịo

(1.20)

được gọi là dưới vi phân qua giới hạn hay dưới vi phân Mordukhovich tại
X.

Ta nhận thấy rằng

X*

E d f ( x ) khi và chỉ khi tồn tại các dãy

0, và x*k € ồfgkf ( x k ) sao cho x*ỵ —> X*. Hiển nhiên ta có
ỗ f(x) С df(x).

Xỵ

-4

X, Eỵ ị


11

• Tập hợp
d°°f ( x) := Limsup XÔef ( x ) ,
A7 -X
X —
£,AịO

(1-21)

được gọi là dưới vi phân qua giới hạn suy biến (thường gọi tắt là
dưới vi phãn suy biến) của / tại X. Như vậy X* e

khi và chỉ

khi tồ n tạ i các dãy Xỵ 4 ĩ , £ i k ị 0, \ ỵ ị 0, và x*k € Лỵ ồ f ekf { x ỵ ) sao

cho x*k

X*. Ta có thể chứng minh được rằng d°°f ( x) = {0} nếu

hàm / là Lipschitz địa phương tại X.
• Hàm / : X —>• Ш hữu hạn tại X G X được gọi là chính quy dưới tại
X nếu

df{x ) = ôf{x).
Cho một hàm giá trị thực suy rộng / : X —> Ш. Ta kí hiệu tập xác
định và trên đồ th ị củ a / bởi

d o m / = { x € X Ị \f{x)\ < o o } , e p i/ =

Ễ l x l I /z ^ f ( x ) } .

Ánh xạ đa trị liên kết với trên đồ thị của / được định nghĩa bởi
Ф : X =r R,
Ф(ж)

{/1 e R \ /Ầ ^ f ( x )}

Ух G X.

Ta có thể chứng minh được rằng
d f ( x ) = D*ф(ж,

1) = {ж*
- 1 ) G N((x,

epi/ ) } ,

d° ° f ( x) = Я * Ф (ё ,/(ё ))(0 ) = {ж* g X * |(z* ,0 ) G
V í d ụ 1 .3 . Xé t hàm

: м —> к được cho bởi công thức
Ta có
epi<^ = { { x u x 2) e М2|ж2 > —1^ 1 1},
hypoíp = { { x u x 2) € M.2\x 2 < - | e i | } .


12

Sử dụng kết quả ở Ví dụ 1.1 vói íỉ = epi<£ và X = 0 ta thu được
N((x,ip{x))\eipiip) = { (0 ,0 )} ,
N { { x : ip{x));epiip) =

- 2) G R 2\x*2 = -|r c î|} .

Do hypo<£ là tập lồi, nên ta có
N( ( x , tp{x)); hypoi^j) = {(x*,x* — 2) G м 2|хз| > \x{\}.
Vì vậy,
dip{x) = 0,

d +(p(x) = [ - 1; 1],

dip(x) = {1; 1},d°°
1.4.

M ột số phép toán dưới vi phân
Cho ánh xạ đa trị F : X

giữa các không gian Banach X và Y .

• F là nửa liên tục trên (u.s.c) tại X £ dom F nếu với mọi tập mở
V С Y thoả mãn F (х) с V tồn tại lân cận mở и của X sao cho
F( x) С V

V ie ơ .

• F là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại X € dom F nếu với mọi tập mở
V С Y thoả mãn F ( x ) n V Ỷ 0 tồn tại lân cận mở и của X sao cho
F ( x ) П У 7^ 0 V i Ễ ơ П domF.
Nếu F là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộc
dom F thì F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trong
X.
• F là liên tục tại X G dom F nếu F đồng thời là nửa liên tục trên và
liên tục dưới tại

X.

Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc dom F thì

F được gọi là liên tục ở trên X .


13

• Ánh xạ đa trị F : X =4 Y được gọi là chính quy pháp tuyến tại
(ж, ỹ) € gphF nếu
D * F ( x : ỹ ) ( y *) = D*F( x, ỹ ) ( y*)

Vy* € y*.

• Tập ri С X là compắc pháp tuyến theo dãy (SNC) tại X nếu với
mọi dãy £k ị 0, Xk ^ X và x*k G N Ek(xk, rỉ) có
[4

= И Н 4 Н -> °]

khi A; > 0,

ở đó £ỵ CÓ thể bỏ qua nếu X là không gian Asplund và ri là đóng
địa phương quanh X. Một ánh xạ đa trị F : X = ị y là SNC tại
( x , ỹ ) € g p h F nếu đồ th ị của nó có th u ộ c tín h đó.

• Ánh xạ đa trị F : X =4 Y là compắc pháp tuyến một phần theo
dãy (PSNC) tại (x , ỹ ) nếu với mọi dãy {е-ịk ,xk, y k,x*k, y l ) € [о, oo) X
(gphF) X X* X Y* thoả mãn
£k ị 0, {xk, y k) -> {x,ỹ),x*k e D*ekF ( x k, y k)(y*k),x*k
ta có \\xị\\

0, \\y*k\\0

0 khi к —> 0 0 .

• Cho If : X —> M hữu hạn tại X.

được gọi là epi-compact pháp

tuyến theo dãy (SNEC) tại (ж, ip{x)) nếu trên đồ thị của nó là SNC
tại (X,
Cho một ánh xạ đơn trị / : X —> Y giữa các không gian Banach.
Lấy X € X . f được gọi là Lipschitz địa phương tại X nếu có một lân cận

u của X và một số t > 0 sao cho
||/ ( z i ) - f { x 2)II < £\\xi - x 2\\ for all x u x 2 e и.
Hàm số ip: X —> Ш được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c) tại X e X nếu
lim inf < p ( x ) ^
x —ìx


14

Đ ịn h lý 1 .3 . (Q u y tắ c tín h t ổ n g ch o dư ới v i p h â n ) p, Theorem 3.36] Cho X là một không gian Asplund, fi : X —> M, i = 1,2, ...,n
là các hàm nửa liên tục dưới trong một lân cận của

X

và có ít nhất một

hàm số là SNEC tại X. Giả sử rằng điều kiện sau được thỏa mãn

[x*ị G d°°fi ( x ) , i = 1

, n, x{ + ... + x*n = 0]

X]

< = 0(1.22)

Khi đó ta có các bao hàm thức
d { h + ••• +

c d f i ( x ) + ... + d f n(x),

ỡ °°(/i + ... + fn)(x) c d ^ h i x ) + ... + d°°fn(x).
Hơn nữa, nếu tất cả fi là chính quy dưói tại

X

(1.23)
(1.24)

thì tổng / i + ... + fn cũng

chính quy dưới tại điểm đó, và bao hàm thức trong (1.23) trở thành đẳng
thức.

Xét bài toán tối ưu
m in{ f { x , y ) I y phụ thuộc tham số

X

(1.25)

và hàm giá trị tối ưu tương ứng

fi(x) := in f{ f { x , y ) : y e $ ( x ) } ,

(1.26)

ỏ đ ó / : X x 7 ^ 1 là một hàm thực suy rộng và $ : X =£ Y ánh xạ
đa trị giữa các không gian Banach. Ký hiệu
S { x ) := { y e $(a:) I f ( x , y ) = ịi(x)}

(1.27)

là tập nghiệm có tham số của (1.25).
Đ ịn h lý 1 .4 . (D ư ớ i v i p h â n c ủ a h à m g iá tr ị tố i ư u ) p , Theorem
3.38] Cho ánh xạ đa trị $ : X =£ Y giữa các không gian Aspỉund vói đồ
thị đóng, f : X X Y —>• M là hàm nửa liên tục dưới trên gph<É>, và ánh
xạ nghiệm

s

trong (1.21) là bán compắct nội bộ trong một lăn cận của


15

X G dom/z. Lấy y € ^(ж). Giả sứ rằng hoặc f là SNEC

tại (x , y )hoặc Ф

/à SNC tại ( x, ỹ) và điều kiện chính quy
ỹ) П

ỹ); gplrô)) = {0}

(1.28)

được thỏa mẫn. Khi đó ta có các bao hàm thức
dụ,(x) c Ị J [x-- + 0 ' ф ( х . y)(y' ) I ( x \ y ' j € d f ( x . y ) ) , y

e S (ỉ)],
(1.29)

ỡ ° > ( â ) С I J b * + 0 'ф ( х , »)(»*) I (z * ,y ‘ ) € 3 “7 ( x , » )),!/ e S (x )].
(1.30)
Hơn nữa, ịi là chính quy dưới tại X và (1.29) trở thành một đẳng thức
nếu Ф là đơn trị trong một lân cận của

X,

f chính quy dưới tại (X, ф(ж))

và một trong hai điều sau xảy ra
(a) d im y < oo; Ф Lipschitz tại X với gphф chính quy tại (X, ф(х)), hoặc
(b) Ф khả vi chặt tại X.

16

Chương 2
Dưới vi phân Fréchet và dưới vi
phân M ordukhovich

2 .1 .

D ưới

vi phân Eréchet của hàm giá trị

tố i

ưu

Trong mục này, ta đi thiết lập công thức tính dưới vi phân Fréchet
của hàm giá trị tối ưu của bài toán quy hoạch có tham số; cụ thể trình
bày một đánh giá trên cho dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu
trong bài toán điều khiển tối ưu mô tả bởi hệ tuyến tính rời rạc.
Ta xét bài toán điều khiển tối ưu

(vw) mô tả bởi hệ tuyến tính rời

rạc (0.1) (0.4).
Với mỗi X = (Xq, Xi , . . . , XN) €

X, u

= (uữ, U ị , . . . , U n - i) £ u , w =

(w0, w 2, ■■■, W n - i) & w ta đặt
N- 1

f ( x , u , w ) = ^ 2 hk{xk,uk, w k) + hN(xN).
k=0
Giả sử
N- 1

X = X X u,n =

N

nk,z = Ỵ[xk,K = c
k=0

X

z X n.

k= 1

Khi đó, bài toán (V w) được viết lại như sau:
ịi(w)=

inf
z€G(w)nK

(2.1)

17

ở đó,

G ( w ) := { z = (x, u) e X I A z = T w } ,

A : X — » z vầ, T : w — » z được xác định lần lượt bởi Az =
( — A qX q+ X i — B qU q, — А 1 Х 1 + Х 2 — В 1 Щ , . . . ,

—

A ỵ-iX ỵ-I+ X ỵ —

và
T w = (TqWq, T 1W1,

T/V-

Dễ ràng thấy rằng
Л*

__ Ị _ Л*

_ Л*

_

A*

_ D*~*

-°0Zl5

_ D=*= *
_ D*
4
d 1z2 ì - - - 5 ^TV—
1^лг /

và
T

ở đó A* và

T*

/71**/Т1*\
* _ /Г71*
2 — (Ìq ^1? -М -^25 • • • 5^ N - \ Zn ) i

lần lượtlà cáctoán tử liên hợp của A và T.

Ta kí hiệu S ( w ) làtập nghiệm của bài toán (V w) và giả sử rằng (X, ũ)
là một nghiệm của ựPỹj) tức là (X, ũ) G S( w) ồ đó X := (xữ, X i , . . . , XN),
ũ := (й0, M l , , Wjv-i) và w := (w 0, Wị , . . . , WN- 1). Giả sử thêm rằng Qk
là bao đóng địa phương của Wỵ với mọi к — 0 , 1 , . . . , N — 1.
Kết quả chính của mục này là thiết lập đánh giá cho dưới vi phân
Fréchet của hàm giá trị tối ưu.
Đ ịn h lý 2 .1 . p , Theorem 1.1] Giả sử hàm giá trị tối ưu được xác định

bởi (2.1) là hữu hạn tại W, hk là khả dưới vi phẫn Fréchet tại {xỵ, ũỵ,wỵ),
hỵ là khả dưới vi phân Fréchet tại Xx và íỉfe là chính quy phấp tuyến tại
Щ với mọi к = 0 , 1 , . . . , N — 1. Giả thiết rằng
[ - N{ { x, ũ); К)] п A* (k e r T *) = {0}.

(2.2)

Khi đó điều kiện cằn đểw* = (wq,w{, . . . ,W*N_ 1) e d v { w ) là tồn tạix*ữ £
N ( x 0]C), и* = (и*0,и*г , . .. , 4 % ^ ) G N{ũ-,n) và z* = (zỊ, z%,. . . , Z*N) G

z* sao cho


18

w*k ~^dw ^a'fc’

với k = 0 , 1 , . . . , N — 1,

Wk^ ^kzk+l

dh
k
{ ^ - ) { x 0ìũ0, w 0) = -x*ữ - A*ữzỊ

V h N (xN) =

Z*N ,

d l l '°

Ẽ ^ ) { x k, ũ k, w k) = -z*k - A*kz*fe+i

với k = 0 , 1 , . . . , N — ĩ,

dhk
*
{ q ^ - ) { x k, ũ k, w k) = -u*k - Bịz*fe+
i

với k — 0 , 1 , . . . , N — 1.

Điều kiện trên cũng là đủ để
xạ nghiệm

s

W*

e d v ( ũ j ) nếu ta giả sử thêm rằng ánh

: G ~ l { K ) ^ X có một lát cắt Lipschitz trên địa phương tại

( w , X, ũ ) .

Chú ý rằng nếu Tk là toàn ánh với mọi k = 0 , 1 , . . . ,

iV — 1 khi

đó

kerT = {0} và (2.2) được thỏa mãn. Vì vậy, cùng với Ví dụ 2.1 chỉ ra
rằng điều kiện (2.2) là thực sự yếu hơn điều kiện tương ứng trong [Ẹl, ở
đó Tỵ được giả thiết là toàn ánh với mọi A; = 0 , 1 , . . . , N — 1.
Cho X , Y và z là những không gian hữu hạn chiều. Giả thiết rằng
A : X — > z và T : w — > z là những ánh xạ tuyến tính với ánh xạ

liên hợp A* : z* — > X* và T* : z* — > w * . Giả sủ f : X X Y — >w là
một hàm giá trị thực mở rộng. Với mỗi w €
Ax

= T w } . Giả sử w e w

và

w ta đặt G ( w ) :=

K là một tập

{x € X \

con khác rỗng của

X. Xét

bài toán
ịi(w) :=

inf

f(x,w).

(2.3)

xeG(w)nK

Đặt S ( w ) là tập nghiệm của bài toán (2.3) tương ứng với tham số w G w .
Giả sử rằng
w

tức là

X G

X

là một nghiệm của bài toán (2.3) tương ứng với tham số

S ( w ) và K là đóng địa phương tại

X.

Kết quả sau cho ta một công thức tính dưới vi phân Fréchet của
tại w.
Đ ịn h lý 2 .2 . p , Theorem 2.1]

ỊJL


19

Cho hàm giá trị tối ưu ịi xác định bởi (2.3) là hữu hạn tại W € dom ^,
và giả sử X £ S ( w ) sao cho d + f ( x , W) Ф 0. Giả sử к là chính quy pháp
t uy ến tại X và

[ - N{x-, К)] п А* ( kerT *) = { 0}.

(2.4)

Khi đó

dß(w)c

fì

и

К + r-((A *)-I( i * +«*))].

(2.5)

(х*,v*)£d+f (х,v) и*€N(х-,к)
Nếu thêm vào giả thiết f là khả dưới vi phẫn Fréchet tại (x , w ) và ánh
xạ nghiệm s : G ~ X( K ) 4 X có một lát cắt Lipschitz trên địa phương tại
( w, x ) thì

dịi(w)=

ỊJ

+

+ »•))].

(2.6)

u*€N (х',к)
Chứng minh. Giả sử ĩ Ẽ S ( w ) và H ( w ) := G ( w ) п K . Khi đó ịi{w) =
inf

f ( x , w ) . Bởi Щ Theorem 1],

x e H (w )

dịi(w) С

Pl

[v*+ D*H(w,x)(x*)].

(2.7)

(x*,v*)ç.d+f (x,w)
Lưu ý rằng
D*H( w, x) ( x*) — {w* £ w * I (w*, —x*) £ N( ( w, x ) ; g p h . H) } ,
ỗ đó g p h # = { ( w , x ) G w X X I X G H ( w ) } = P n Q với p := w X к và
Q := gphiJ. Tiếp theo ta phải tính đối đạo hàm Fréchet D*H(ũj,x)(x*).
Bước 1 (Tính nón N ( ( w , x ); Q). Ta cần khẳng định rằng
N ((ũ), x); Q) = { ( - T*Z*,A*Z*) I

G z*}.

(2.8)

Thật vậy, giả sử rằng tp : w X X — > z là hàm được xác định bởi

là một ánh xạ

tuyến tính liên tục và ánh xạ liên hợp của nó ip* : z * — > w * X X* được


20

xác định bởi ụ>*(z*) = ( —T*Z*,A*Z *) với mọi z* e z*. Khi Q là không
gian véctơ,
N { { w , x ); Q)
= {(w*,x*) G VF*xX* I ( ( w* , x * ) , ( w—w , x —x)} < 0
= { { w \ X*)

e w * X X* \

(w, x )} = 0

= {(lư*, £*) G w* X X* I ((w*: x*): ( w : x)) = 0

V( w, x) € Q}

V(w, z ) € Q }
V(w, X) G ker

= (kery?)-1.
Bởi p , Proposition 2.173],
(ker^)1- = im^* = { ( - T V , i 4 V ) I z* Vì vậy đẳng thức(2.8) là đúng.
Bước ỗ(P hân tích nón N ( ( w , x)-, p n Q) và tính D*H( w, x)(x*)). Ta
bắt đầu bằng việc chứng minh biểu thức
N ( { w , x); p n Q) = {0} X N { x , K ) + N ( { w , x ) ; P n Q).

(2.9)

Trước hết chú ý rằng
N{ ( w, x ) \ P ) = N( w; W ) X N(x; K ) = {0} X N(x] K ) ,
với mọi (w , x ) G

w

(2.10)

X K . Hơn nữa, K là chính quy pháp tuyến tại X.

Khi đó tập p là chính quy pháp tuyến tại ( w, x) . Khi Q là lồi thì nó là
chính quy pháp tuyến tại ( w, x) . Ta thấy rằng cặp những tập p, Q thỏa
mãn điều kiện chính quy pháp tuyến
N ( { w , x ) - Q ) n [ - N { ( w , x ) - P ) ] = { (0 ,0 )} .
Thật vậy, lấy tùy ý

e N ( ( w , x); Q) n [ — N ( ( w , x); P)]. Từ (2.8)

và (2.10) ta có w* = 0, —X* e N ( x ] K ) và w* = —T*z*,x* = A*z* với
một vài z* € z*. Do đó, điều kiện chính quy pháp tuyến thỏa mãn. Theo

p , Corollary 3.5],
N ( ( w , x)-, p n Q) = N ( ( w , x)-, p ) + N ( ( w , x ) \ Q) .