Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi - tích phân phi tuyến Fredholm loại II

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THANH HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN PHI TUYẾN
FREDHOLM LOẠI II

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THANH HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN PHI TUYẾN
FREDHOLM LOẠI II

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI, 2017

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. Khuất Văn Ninh, người đã định hướng
chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và
luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người
thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hà


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Khuất Văn Ninh, luận
văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Một số phương
pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm
loại II" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả.
Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.
Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hà


1

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Một số kiến thức về Giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3. Không gian C[a,b] và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2. Một số kiến thức về Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Một số kiến thức về giải tích số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
9
10

11

1.3.1. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2. Sai phân và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 2. Phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình
vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1. Định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình . . . . . . . . . . . .

15

2.2. Phương pháp tính toán trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3. Phương pháp lặp biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.4. Phương pháp chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Chương 3. Phương pháp giải số phương trình vi-tích phân phi
tuyến Fredholm loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.1. Sự kết hợp của phương pháp cầu phương và phương pháp sai
phân giải phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II

37

3.2. Các ví dụ minh họa và ứng dụng Maple trong tính toán. . .

40


2

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52


3

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Cùng với sự phát
triển của nội tại toán học và các ngành khoa học khác, toán học chia
thành toán lý thuyết và toán ứng dụng.
Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có liên
quan đến việc giải phương trình vi-tích phân. Phương trình vi-tích phân
phi tuyến Fredholm là loại phương trình xuất hiện trong toán học và các
ngành khoa học ứng dụng và từ lâu đã được các nhà toán học quan tâm
nghiên cứu. Việc tìm nghiệm chính xác của phương trình nói trên gặp
rất nhiều khó khăn. Vì vậy người ta nghiên cứu việc giải xấp xỉ phương
trình đó.
Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II có thể giải bằng các
phương pháp khác nhau. Trong đó, phương pháp giải tích cho nghiệm
dưới dạng biểu thức giải tích và phương pháp số cho nghiệm thu được
dưới dạng bảng số. Trong quá trình giải, ta có thể kết hợp sử dụng phần
mềm Maple trong tính toán.
Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này, dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh tôi đã nghiên cứu đề
tài “Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân

phi tuyến Fredholm loại II” để thực hiện luận văn của mình.


4

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình
vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II và ứng dụng Maple trong tính
toán.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân
phi tuyến Fredholm loại II.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II;
• Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân phi tuyến
Fredholm loại II.

5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có và hệ thống lại các
vấn đề liên quan tới đề tài.

6. Đóng góp của luận văn
Luận văn trình bày một cách hệ thống một số phương pháp giải xấp xỉ
phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II và ứng dụng các
phương pháp đó vào giải các phương trình cụ thể. Áp dụng phần mềm
Maple trong tính toán.

5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta nêu lại một số kết quả về Giải tích, Giải tích
số và Giải tích hàm sẽ được sử dụng trong các chương sau. Các kết quả
này được trích dẫn chủ yếu trong các tài liệu [1]-[6].

1.1. Một số kiến thức về Giải tích hàm
1.1.1. Không gian Metric
Cho X là một tập tùy ý.
Định nghĩa 1.1.1. Một metric trong X là một ánh xạ
d:X ×X →R
thỏa mãn các điều kiện sau đây
(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
(ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
(iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập
hợp ấy. Các phần tử của một không gian metric được gọi là điểm của
không gian ấy. Số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y.


6

Định nghĩa 1.1.2. Một dãy các điểm (xn ), n = 1, 2, . . . trong không
gian metric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu
lim d(a, xn ) = 0.

n→∞

Khi đó ta kí hiệu lim xn = a hoặc xn → a khi n → ∞.
n→∞

Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm (xn ) được gọi là dãy cơ bản trong không
gian metric X nếu với mọi

> 0 cho trước, tồn tại một số n0 sao cho

với mọi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có
d (xn , xm ) < ε.
Nói cách khác ta có
lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ
bản.
Định nghĩa 1.1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X.
Định nghĩa 1.1.5. Cho X, Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ
f : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số α với 0 ≤ α < 1
sao cho với mọi x, x ∈ X ta đều có
d (f (x) , f (x )) ≤ αd (x, x )
và α được gọi là hệ số co của ánh xạ f. Hiển nhiên một ánh xạ co là ánh
xạ liên tục đều.
Định lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co). Giả sử X là một metric đầy đủ
và f : X → X là một ánh xạ co của X vào chính nó. Khi đó tồn tại duy

7

nhất một điểm x∗ ∈ X sao cho f (x∗ ) = x∗ . Hơn nữa x∗ là giới hạn của
dãy (xn ) được xây dựng như sau:
x0 tùy ý thuộc X, xn+1 = f (xn ), n ≥ 0 và tốc độ hội tụ được đánh giá
theo công thức
αn
d(xn , x ) ≤
d(x1 , x0 ),
1−α
trong đó α là hệ số co của f.
∗

1.1.2. Không gian định chuẩn
Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc P = C).
Định nghĩa 1.1.6. Một chuẩn, kí hiệu

·

trong X là một ánh xạ từ

X vào P thỏa mãn các điều kiện
(i) x ≥ 0 với mọi x ∈ X;
(ii) x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
(iii) λx = |λ| x với mọi số λ ∈ P và với mọi x ∈ X;
(iv) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X.
Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X.
Định nghĩa 1.1.7. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác
định trong không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc
phức, tùy theo P là thực hoặc phức).

Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x ∈ X
đặt
d(x, y) = x − y .
Khi đó d là một metric trên X.


8

Định nghĩa 1.1.8. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là
hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim xn − x0 = 0. Khi đó ta kí hiệu lim xn = x0
n→∞

n→∞

hay xn → x0 (n → ∞).
Định nghĩa 1.1.9. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi
là một dãy cơ bản nếu
lim

n,m→∞

xn − xm = 0.

Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
1.1.3. Không gian C[a,b] và các tính chất
Định nghĩa 1.1.11. C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định
và liên tục trên đoạn [a, b], −∞ < a < b < +∞. Các tính chất:
(i) Không gian C[a,b] là không gian metric.
∀x, y ∈ C[a,b] ,

d(x, y) = max |x(t) − y(t)| ;
a≤t≤b

(ii) Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn với chuẩn
x = max |x(t)| ;
a≤t≤b

(iii) Không gian C[a,b] là không gian Banach.
(iv) Tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong C[a,b] . Cho
nên C[a,b] là không gian tách được.
n
Định nghĩa 1.1.12. Không gian C[a,b]
gồm tất cả các hàm x(t) xác định

trên đoạn [a, b] và có đạo hàm liên tục đến cấp n, với chuẩn được xác
định bởi
x = max {|x(t)| , |x (t)| , ..., |xn (t)|} .
a≤t≤b


9

1.2. Một số kiến thức về Giải tích
1.2.1. Chuỗi lũy thừa
+∞

Định nghĩa 1.2.1. Chuỗi lũy thừa là một hàm dạng

an (x − x0 )n

n=0

trong đó x0 , a0 , a1 , a2 , . . . là những số thực.
Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa. Để ý rằng chuỗi lũy thừa
luôn luôn hội tụ tại điểm x = x0 .
+∞

Nếu đặt y = x − x0 thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng

an y n ,

n=0

chuỗi có tâm tại y = 0.
Các tính chất của tổng chuỗi lũy thừa.
+∞

Định lý 1.2.1. Giả sử chuỗi lũy thừa

an xn có bán kính hội tụ R > 0,

n=0

khi đó tổng S(x) của nó là một hàm liên tục trong khoảng hội tụ (−R, R).
+∞

Định lý 1.2.2. Giả sử chuỗi lũy thừa

an xn có bán kính hội tụ R > 0.

n=0

Khi đó tổng S của nó là một hàm khả tích trên mọi đoạn [a, b] nằm trong
khoảng hội tụ (−R, R) và
b

b

+∞

S(x)dx =
n=0

a

xn dx.

an
a

Đặc biệt nếu x ∈ (−R, R) thì
x

+∞

S(t)dt =
n=0

0

an xn+1
.
n+1

+∞

Định lý 1.2.3. Giả sử chuỗi lũy thừa

an xn có bán kính hội tụ R > 0

n=0

và

+∞

an xn ,

S(x) =
n=0

x ∈ (−R, R) .


10

Khi đó:
+∞

+ Chuỗi lũy thừa

nan xn−1 nhận được bằng cách đạo hàm từng số

n=1

hạng của chuỗi lũy thừa đã cho, cũng có bán kính hội tụ là R.
+ Tổng S là hàm khả vi trong khoảng hội tụ (−R, R) và
+∞

nan xn−1 .

S (x) =
n=1

1.2.2. Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định với X thuộc
đoạn [a, b] và y thuộc một tập hợp số thực Y nào đó, sao cho mỗi y cố
định thuộc Y hàm f (x, y) khả tích trong đoạn [a, b]. Đặt
b

I(y) =

f (x, y)dx.
a

Khi đó I(y) là một hàm số xác định trên tập Y và được gọi là tích phân
phụ thuộc tham số của hàm f (x, y) trong đoạn [a, b].
Các tính chất của tích phân xác định phụ thuộc tham số.
Giả sử f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật
D = [a, d; c, d] = [a, b] × [c, d] = {(x, y), a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d} .

Định lý 1.2.4. Nếu hàm f (x, y) xác định và liên tục trong hình chữ
nhật D thì tích phân phụ thuộc tham số
b

I(y) =

f (x, y)dx
a

là một hàm liên tục trong đoạn [c, d].


11

Định lý 1.2.5. Giả sử f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật
D liên tục theo x ∈ [a, b] với mỗi y cố định thuộc đoạn [c, d]. Hơn nữa
∂f
f (x, y) có đạo hàm riêng
(x, y) là một hàm liên tục trong hình chữ
∂y
nhật D. Khi đó tích phân phụ thuộc tham số
b

I(y) =

f (x, y)dx,

y ∈ [c, d]

a

là một hàm khả vi và
b

∂f
(x, y)dx,
∂y

I (y) =

y ∈ [c, d].

a

Định lý 1.2.6. Nếu f (x, y) là hàm liên tục trong hình chữ nhật D =
[a, b] × [c, d] thì ta có công thức
d

d

b

I(y)dy =
c

b

d

f (x, y)dx dy =

c

a

f (x, y)dy dx,
a

c

hay là
b

d

dy
c

b

f (x, y)dx =
a

d

dx
a

f (x, y)dy.
c

1.3. Một số kiến thức về giải tích số
1.3.1. Phương pháp cầu phương
Cho hàm f xác định trên đoạn [a, b], f là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]
do đó f khả tích trên [a, b].
Ta chia đoạn [a, b] thành n phần
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.


12

Công thức sau được gọi là công thức cầu phương
b

n

Ak ϕ(xk ) + Rn (∆ϕ),

ϕ(x)dx =
a

(1.1)

k=0

trong đó, Ak và xk tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương,
Rn (∆ϕ) là phần dư của công thức cầu phương.
Đối với công thức hình thang, thì chúng ta có
1
A1 = An = h, Ak = h, k = 2, ..., n − 1;
2

b−a
;
xk = a + (k − 1)h, k = 1, ..., n, h =
n−1
(b − a)3 ∂ 2 (Kϕ )
Rn (Kϕ ) = −
.
∂y 2 y=ξ,a≤ξ≤b
12(n − 1)2
Đối với công thức Simpson, ta có n = 2m và
h
2
, A2 = A4 = ... = A2m−2 = h,
3
3
4
A1 = A3 = A5 = ... = A2m−1 = h,
3
b−a
xk = a + kh, k = 0, 1, ..., 2m, h =
;
2m
1 (b − a)5 ∂ 5 (Kϕ )
Rn (Kϕ ) = −
.
90 (2m)4
∂y 5 y=ξ,a≤ξ≤b
A0 = A2m =

Nếu một quy tắc nào đó được chọn thì các đại lượng Ak , xk , Rk có thể

được viết một cách tương tự.
1.3.2. Sai phân và các tính chất
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử y = f (x) là hàm số xác định trên tập X, h
là hằng số lớn hơn 0. Biểu thức ∆f (x) = f (x + h) − f (x) được gọi là sai


13

phân cấp 1 của f (x) tại điểm x. Biểu thức
∆2 f = ∆ [∆f (x)]
= [f (x + 2h) − f (x + h)]− [f (x + h) − f (x)]
= ∆f (x + h) − ∆f (x)
được gọi là sai phân cấp 2 của f (x) tại x.
Tương tự, ta có ∆k f = ∆ ∆k−1 f được gọi là sai phân cấp k của f
tại x.
Các tính chất của sai phân:
(i) ∆k [f ± g] = ∆k f ± ∆k g.
(ii) ∆k [λf (x)] = λ∆k [f (x)] .
(iii) ∆n [pn (x)] = const, ∆m [pn (x)] = 0, khi m > n, trong đó pn (x)
là đa thức cấp n của x.
n

(iv) f (x + nh) =

Cni ∆i f (x).

i=0

(v) ∆n f (x) =

n

(−1)i Cni f [x + (n − i)h].

i=0

(vi) f

(n)

∆n f (x)
.
(x) ≈
hn


14

Chương 2
Phương pháp giải tích giải xấp xỉ
phương trình vi-tích phân phi tuyến
Fredholm loại II
Trong chương này chúng ta trình bày một số phương pháp giải tích giải
xấp xỉ phương trình vi - tích phân phi tuyến Fredholm loại II. Nội dung
chương này được dựa vào các tài liệu tham khảo [7, 8, 9].
Xét phương trình vi-tích phân phi tuyến Fredholm loại II được cho
bởi công thức:
b

u(n) (x) = f (x) +

K(x, t)F (u(t))dt, u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1, (2.1)
a

ở đó u(n) (x) là đạo hàm bậc n của hàm u(x) với biến số x và bk là cho
trước. Giả sử K(x, t) liên tục trên D = [a, b]×[a, b] , M = max |K(x, t)| .
(x,t)∈D

Đặt
b

K(x, t)F (u(t))dt, Ω = [a, b] × R.

G(x, u) = f (x) +
a

Khi đó phương trình trên có dạng
u(n) (x) = G(x, u) (x, u) ∈ Ω
u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1
Định nghĩa 2.0.2. Hàm u(x) liên tục và có đạo hàm liên tục cấp n trên


15

đoạn [a, b] thỏa mãn phương trình (2.1) gọi là nghiệm của phương trình
đó.

2.1. Định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình
Định lý 2.1.1 ([7]). Nếu hàm G(x, u) liên tục trên Ω và thỏa mãn điều
kiện Lipschitz theo biến u trên Ω thì phương trình có nghiệm duy nhất

u = u(x) xác định trên [a, b] và thỏa mãn điều kiện ban đầu.
Để chứng minh định lí trên người ta đưa phương trình vi phân cấp n
về hệ n phương trình vi phân cấp một. Sau đó xây dựng dãy xấp xỉ liên
tiếp Picard đối với hệ phương trình đó.
Định lý 2.1.2. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn:
1) Hàm f liên tục trên [a, b], hàm K(x, t) liên tục trên tập D và
|K(x, t)| ≤ M,

∀(x, t) ∈ D

2) Hàm F (u) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u. Tồn tại hằng số
L sao cho
|F (v) − F (¯
v )| ≤ L |v − v¯| ,

∀ v, v¯ ∈ R.

Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u = u(x) định trên đoạn
[a, b] thỏa mãn điều kiện ban đầu u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1.
Chứng minh. Theo tính chất của tích phân phụ thuộc tham số là hàm


16

số liên tục trên đoạn [a, b]. Ta lại có
b

b

K(x, t)F (v(t))dt −

|G(x, v) − G(x, v¯)| =
a

K(x, t)F (¯
v (t))dt
a

b

K(x, t) [F (u(t)) − F (v(t))] dt

=
a
b

|K(x, t)| |F (u(t)) − F (v(t))| dt

≤
a
b

≤

M L |v(t)) − v¯(t)| dt
a

≤ M L(b − a) u − v = q u − v ,
với q = M L(b − a). Khi đó hàm G(x, u) liên tục trên Ω thỏa mãn điều
kiện Lipschitz theo u nên theo Định lí 2.1.1 phương trình (2.1) có nghiệm

duy nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu.

2.2. Phương pháp tính toán trực tiếp
Xét phương trình vi-tích phân Fredholm được cho bởi công thức (2.1).
Thay thế K(x, t) = g(x).h(t) vào công thức (2.1) ta được
b

u(n) (x) = f (x) + g(x).

h(t)F (u(t))dt, u(k) (a) = bk , 0 ≤ k ≤ n − 1.
a

(2.2)
Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng tích phân xác định trong phương
trình vi-tích phân (2.2) liên quan đến một tích phân phụ thuộc tham
biến t. Điều này có nghĩa là tích phân xác định ở vế phải của (2.2) là


17

bằng một hằng số α. Nói cách khác chúng ta đặt
b

h(t)F (u(t))dt.

α=

(2.3)

a

Do đó phương trình (2.2) trở thành
u(n) (x) = f (x) + αg(x).

(2.4)

Tích phân cả hai vế của (2.4) n lần từ a tới x và sử dụng các điều kiện
ban đầu, chúng ta có thể tìm được một biểu thức của u(x) liên quan đến
hằng số α và biến x. Nghĩa là chúng ta có thể viết
u(x) = V (x, α).

(2.5)

Thay thế (2.4) vào vế phải của (2.3). Đánh giá tích phân và nghiệm của
phương trình, chúng ta xác định được hằng số α. Với cách làm này ta
sẽ thu được nghiệm chính xác u(x) bằng cách thay giá trị α vào phương
trình (2.5).
Phương pháp sẽ được minh họa bằng các ví dụ sau.
Ví dụ 2.2.1. Tìm nghiệm của phương trình vi-tích phân sau:
π

π2
u (x) = cos x − x +
4

x t u2 (t)dt,

u(0) = 0.

0

Bài giải
Đặt

π

tu2 (t)dt.

α=

(2.6)

0

Khi đó phương trình đã cho trở thành
π2
u (x) = cosx + α −
4

x.


18

Tích phân hai vế từ 0 đến x, và sử dụng điều kiện ban đầu ta có
x

cost+ α −

u(x) =

π2
4

t dt

0
x

α π2 2
= sint+
−
t
2
8
0
2
α π
= sin x+
−
x2
2
8
Thay vào (2.6) ta được
π

α=

t sin t +

α π2
−
2
8

2

t

2

dt

0
π

π2
t sin t + α −
4

2

2

=

t sin t +

α π2
−

2
8

2

t4 dt

0
π

=

π2
t 1
− t cos 2t + α −
2 2
4

2

t sin t +

α π2
−
2
8

2

t4 dt

0

t2
=
+
4
1
= α2 −
4

2

π

α π 2 t5
−
+ π2 − 4
2
8
5 0
π2
π9
π2
α+
+
+ π 2 − 4.
8
320
4

Hay
π 2 π 8 − 96π 3 + 576π + 96
α= ,
.
4
4π 6
Vậy nghiệm chính xác là
12 72 12
+ 5 + 6 x2 .
3
π
π
π

u(x) = sin x, sin x −

Ví dụ 2.2.2. Tìm nghiệm của phương trình vi - tích phân sau:
1

1 − e2
x
u (x) = e +
x+
2

xu2 (t)dt,
0

u(0) = 1.

19

Bài giải. Đặt
1

u2 (t)dt.

α=

(2.7)

0

Khi đó phương trình đã cho trở thành
1 − e2 + 2α
u (x) = e +
x.
2
x

Tích phân hai vế từ 0 đến x, và sử dụng điều kiện ban đầu ta có
x

et +

u(x) =

1 − e2 + 2α

t dt
2

0

1 − e2 + 2α 2
t
= e +
4
1 − e2 + 2α 2
x
=e +
x.
4

x

t

0

Thay vào (2.7) ta được
1

2

1 − e2 + 2α 2
e +
t
4

t

α=

dt

0
1
2t

=

e +

1 − e2 + 2α
4

2

t4 +

1 − e2 + 2α 2 t
t e dt
4

0

=

e2t

+
2

1 − e2 + 2α
4

2 5

t
5

1

+
0

1 − e2 + 2α
(e − 2).
4

Hay
e2 − 1 e2 − 40e + 119
α=
,
.
2
2
Vậy nghiệm chính xác là
u(x) = ex ,ex + (30 − 10e) x2 .

20

Ví dụ 2.2.3. Tìm nghiệm của phương trình vi-tích phân sau:
1

11
19
1
u (x) = 2 + x + x2 +
15
35
2

xt + x2 t2

u(t) − u2 (t) dt

−1

u(0) = 1, u (0) = 1.
Bài giải. Đặt
1

1

t(u(t) − u2 (t))dt,

α=

t2 (u(t) − u2 (t))dt.

β=

−1

(2.8)

−1

Khi đó phương trình đã cho trở thành
u(x) = 2 +

1
11
α+
x+
2
15

1
19
β+
x2 .
2
35

Tích phân hai vế hai từ 0 đến x hai lần, và sử dụng điều kiện ban đầu
ta có
x

u (x) =

2+

11
1
α+
t+
2
15

19 2
1
β+
t dt
2
35

0

1
11 2
1
19
= 1 + 2t +
t +
t3
α+
β+

4
30
6
105
1
11
1
19
= 1 + 2x +
α+
x2 +
β+
x3 .
4
30
6
105

x
0

Khi đó
x

u(x) =

1 + 2t +

11 2
1

α+
t +
4
30

19
1
β+
t3 dt
6
105

0

1
11 3
1
19
= 1+t+t +
α+
t +
β+
t4
12
90
24
420
1
11
1

19
= 1 + x + x2 +
α+
x3 +
β+
x4 .
12
90
24
420

x

2

0


21

Thay vào (2.8) ta được
1

1
11 3
α+
t +
12
90

t 1 + t + t2 +

α=

19
1
β+
t4
24
420

−1

11 3
1
α+
t +
12
90

2

− 1+t+t +

2

19 4
1
β+
t

24
420

dt

1

t2 1 + t + t2 +

β=

11 3
1
α+
t +
12
90

19 4
1
β+
t
24
420

−1
2

− 1+t+t +

11 3
1
α+
t +
12
90

19 4
1
β+
t
24
420

2

dt.

Hay
α=−

22
,
15

β=−

38
.
35

Vậy nghiệm chính xác là
u(x) = 1 + x + x2 .
Ví dụ 2.2.4. Tìm nghiệm của phương trình vi - tích phân sau:
π

2
1
u (x) = sin x +
3
2

cos(x − t)u2 (t)dt, u(0) = 1, u (0) = 0, u(0) = −1.
0

Bài giải. Đặt
π

π

cos tu2 (t)dt,

α=

sin tu2 (t)dt.

β=

0

(2.9)

0

Khi đó phương trình đã cho trở thành
u (x) =

2
1
1
sin x + α cos x + β sin x.
3
2
2

Tích phân hai vế hai từ 0 đến x ba lần, và sử dụng điều kiện ban đầu