Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi tích phân tuyến tính volterra (LV01849)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ NINH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THỊ NINH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2016

i

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Khuất Văn Ninh, người thầy
đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận
văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, toàn thể
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động
viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện

BÙI THỊ NINH


ii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn
Ninh, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " Một số phương pháp
giải xấp xỉ phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra " được hoàn thành
bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả, không trùng lặp với bất cứ
luận văn nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những kết
quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Người thực hiện

BÙI THỊ NINH


iii

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Danh mục kí hiệu thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mở đầu
1

2

Các kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Định lí về sự tồn tại nghiệm . . . . . . .
1.1.3 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . .
1.1.4 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Không gian L(X, Y) . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Một số không gian hàm . . . . . . . . . .
1.2 Một số kiến thức về giải tích . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . .
1.2.2 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa . . . . . . . .
1.2.3 Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . .
1.3 Một số kiến thức về giải tích số . . . . . . . . . .
1.3.1 Số gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số
1.3.3 Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.4 Sai phân và các tính chất . . . . . . . . .

i
ii
iv
1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH VOLTERRA
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Một số phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình vi - tích
phân tuyến tính Volterra loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Phương pháp khai triển Adomian . . . . . . . . . . . .

3
3
3
4
5
6
7
8
10
10
11
13
16
16
16
16
17
18

18
18
19


iv

2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5

3

Phương pháp biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp biến đổi phương trình vi - tích phân Volterra
về phương trình giá trị ban đầu. . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp biến đổi phương trình vi - tích phân Volterra
về phương trình tích phân Volterra. . . . . . . . . . . .

PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN
TUYẾN TÍNH VOLTERRA
3.1 Phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Phương pháp cầu phương giải phương trình vi – tích
phân tuyến tính Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Phương pháp cầu phương giải phương trình vi - tích phân tuyến
tính Volterra loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
28
33
37

43
43
43
44
46
47

Kết luận

70

Tài liệu tham khảo

71


v

Danh mục kí hiệu thường dùng
Tập hợp số thực
Không gian Euclid n chiều
Không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b]
Không gian các hàm xác định trên đoạn [a, b]
và có đạo hàm liên tục đến cấp n

M = (X, d) Không gian metric
d(x, y)
Khoảng cách giữa các phần tử x và y
∆f (x)
Sai phân của f (x)
L
Biến đổi Laplace
x∈M
x thuộc tập M
x∈
/M
x không thuộc tập M
∀x ∈ M
Với mọi x thuộc tập M
∃x
Tồn tại x
.
Chuẩn
x
Chuẩn của x
|x|
Giá trị tuyệt đối của x
R
Rn
C[a,b]
n
C[a,b]


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lí thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều
tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong đó lớp phương trình vi – tích phân đóng vai
trò quan trọng. Các kết quả của lĩnh vực này tìm được nhiều ứng dụng trong vật
lí, hóa học, sinh học cũng như trong việc nghiên cứu các mô hình kinh tế, quân
sự, tình báo và một số ngành khác.
Phương trình vi – tích phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối
quan hệ giữa toán tử vi phân và toán tử tích phân.
Trong các ứng dụng thực tế, quá trình tìm ra nghiệm chính xác của phương
trình vi – tích phân đôi lúc gặp phải nhiều khó khăn, do đó chúng ta nghĩ đến
việc tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình. Để giải xấp xỉ phương trình vi – tích
phân người ta sử dụng các phương pháp như: Phương pháp khai triển, phương
pháp lặp, phép biến đổi Laplace.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về việc giải phương trình vi - tích phân,
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn đề tài: " Một số
phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra " để
thực hiện luận văn của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
- Luận văn nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi – tích
phân tuyến tính Volterra.
- Ứng dụng giải một số phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra cụ
thể.


2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi – tích phân tuyến
tính Volterra.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+) Đối tượng nghiên cứu:
- Phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra loại 2.
+) Phạm vi nghiên cứu:
- Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình, các phương pháp giải xấp
xỉ phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra.
- Ứng dụng vào giải xấp xỉ phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra
loại 2 cụ thể.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Vận dụng các kiến thức, phương pháp của Giải tích hàm, Giải tích, Giải tích
số, lập trình máy tính.
- Thu thập các tài liệu liên quan tới phương trình vi – tích phân tuyến tính
Volterra.
- Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức có liên quan tới phương trình
vi – tích phân tuyến tính Volterra.

6. Đóng góp của luận văn
- Luận văn hệ thống một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi – tích
phân tuyến tính Volterra.
- Áp dụng giải một số phương trình vi – tích phân tuyến tính Volterra loại 2
cụ thể.


3

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số kiến thức về giải tích hàm

1.1.1

Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập tùy ý, X khác rỗng. Một metric trong X
là một ánh xạ
d:X ×X →R
thỏa mãn các tiên đề sau đây:
i) (∀x, y ∈ X) d (x, y) 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y , (tiên đề đồng nhất);
ii) (∀x, y ∈ X) d (x, y) = d (y, x), (tiên đề đối xứng);
iii) (∀x, y, z ∈ X) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y), (tiên đề tam giác);
Ánh xạ d gọi là metric trên X .
Số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y .
Các phần tử của X gọi là các điểm.
Ba tiên đề i, ii, iii gọi là hệ tiên đề về metric.
M = (X, d) gọi là một không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric M = (X, d). Một tập con bất kì X0
khác rỗng của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không gian metric.
Không gian metric M0 = (X0 , d) gọi là không gian metric con của không gian
metric đã cho.
Định nghĩa 1.1.3. Một dãy các điểm (xn ), n = 1, 2, ... trong không gian metric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim d(a, xn ) = 0. Khi đó ta kí
n→∞
hiệu lim xn = a hoặc xn → a khi n → ∞
n→∞

4

Định nghĩa 1.1.4. Dãy điểm xn được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) trong
không gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại một số n0 ∈ N∗ sao
cho với mọi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có

d(xn , xm ) < ε.
Nói cách khác ta có

lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.1.5. Cho M1 = (X, dX ) và M2 = (Y, dY ) là hai không gian
metric tùy ý. Một ánh xạ f : M1 → M2 được gọi là một ánh xạ co, nếu tồn tại
một số α với 0 ≤ α < 1 sao cho

dX (f (x), f (x )) ≤ αdY (x, x ), ∀x, x ∈ X.
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý ánh xạ co)
Giả sử X là một metric đầy đủ và f : X → X là một ánh xạ của X vào
chính nó thỏa mãn điều kiện

d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y),
với hằng số α < 1 và ∀x, y ∈ X . Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x∗ ∈ X
sao cho f (x∗ ) = x∗ . Hơn nữa, x0 ∈ X , dãy xn , n ∈ N xác định bởi xk+1 =
f (xk ), ∀k ∈ N hội tụ đến x∗ đồng thời ta có ước lượng

d(xn , x∗ ) ≤

1.1.2

αn
d(x1 , x0 ), ∀n ∈ N.
1−α

(1.1)

Định lí về sự tồn tại nghiệm

Giả sử phương trình f (x) = 0 tương đương với phương trình sau

x = ϕ (x)
chọn x0 ∈ (a, b) bất kì và tính các xấp xỉ tiếp theo nhờ công thức

xn+1 = ϕ (xn ) (n ≥ 0)
1
Định lý 1.1.2. Giả sử ϕ ∈ C[a,b]
sao cho:
i) ∀x ∈ [a, b] ϕ (x) ≤ q < 1;

ii) ∀x ∈ [a, b] ϕ (x) ∈ [a, b] thì phương trình x = ϕ (x) có nghiệm duy nhất
x∗ ∈ [a, b]


5

Chứng minh. Theo công thức số gia hữu hạn, ta có:
|ϕ (x) − ϕ (y)| = ϕ (ζ) |x − y| ≤ q |x − y|
Vậy ϕ là ánh xạ co.

Không gian X = [a, b] với metric d (x, y) := |x − y| là không gian metric
đủ. Áp dụng nguyên lí ánh xạ co Banach ta suy ra điều phải chứng minh.

1.1.3

Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).
Định nghĩa 1.1.6. Một chuẩn, kí hiêu · trong X là một ánh xạ từ X vào R
thỏa mãn các điều kiện:
i) x ≥ 0 với mọi x ∈ X ;
ii) x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
iii) λx = |λ| x với mọi số λ ∈ P và với mọi x ∈ X ;
iv) x + y ≤ x + y với mọi, y ∈ X .
Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X.
Định nghĩa 1.1.7. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong
không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo P là
thực hoặc phức).
Định lý 1.1.3. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X đặt

d(x, y) = x − y .
Khi đó d là một metric trên X .
Định nghĩa 1.1.8. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ
đến x0 ∈ X nếu lim xn − x0 = 0. Khi đó ta kí hiệu
n→∞

lim xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞

n→∞

Định nghĩa 1.1.9. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là một
dãy cơ bản, nếu
lim xm − xn = 0.
m,n→∞

Định nghĩa 1.1.10. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian metric
đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = x − y ). Khi đó X được gọi là một không
gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.


6

Định nghĩa 1.1.11. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P . Ánh
xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn
i) A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X ;
ii) A(αx) = αAx, α ∈ P .
A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó nếu A chỉ thỏa mãn i) thì A được
gọi là toán tử cộng tính, nếu A chỉ thỏa mãn ii) thì A được gọi là toán tử thuần
nhất. Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính
Định nghĩa 1.1.12. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A
từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c ≥ 0 sao
cho
Ax ≤ c x , với mọi x ∈ X.

1.1.4

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.13. Cho không gian tuyến tính X trên trường số P (P =
R hoặc P = C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ

X × X vào trường P , kí hiệu (·, ·) thỏa mãn các tiên đề:
(i) (y, x) = x, y , với mọi x, y ∈ X ; x, y là số phức liên hợp của (x, y);
(ii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), với mọi x, y, z ∈ X ;
(iii) (αx, y) = α(x, y) với mọi số α ∈ P và mọi x, y ∈ X ;
(iv) (x, x) > 0 nếu x = θ(θ là kí hiệu phần tử không);
(v) (x, x) = 0 nếu x = θ, với mọi x ∈ X.
Các phần tử x, y, z, ... gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số (x, y) gọi là tích
vô hướng của x và y . Các tiên đề i, ii, iii, iv, v gọi là các tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.1.14. Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với một tích
vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.4. Cho X là một không gian tiền Hilbert, với mỗi x ∈ X , ta đặt
x = (x, x). Khi đó ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng thức Schwarz)

|(x, y)| ≤ x . y , ∀x, y ∈ X.
Từ bất đẳng thức trên có thể chứng minh được rằng mọi không gian tiền Hilbert
đều là không gian định chuẩn với chuẩn x = (x, x).
Định nghĩa 1.1.15. Ta gọi không gian tuyến tính H = θ trên trường P là không
gian Hilbert H nếu nó thỏa mãn các điều kiện
1) H là không gian tiền Hilbert;
2) H là không gian Banach với chuẩn x = (x, x) với x ∈ X.


7

1.1.5

Không gian L(X, Y)

Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Ta kí hiệu L(X, Y ) là tập hợp tất cả
các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Ta trang bị cho L(X, Y ) hai phép

toán sau:
a) Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B xác định
bằng hệ thức
(A + B)(x) = Ax + Bx, ∀x ∈ X;
b) Tích của vô hướng α ∈ P (P = R hoặc P = C) với toán tử A ∈ L(X, Y )
là toán tử, kí hiệu αA xác định bằng hệ thức

(αA)(x) = α(Ax), ∀x ∈ X.
Định lý 1.1.5. Nếu Y là không gian Banach thì L(X, Y ) cũng là không gian
Banach.
Chứng minh. Lấy một dãy cơ bản bất kỳ (An ) ⊂ L(X, Y ). Theo định nghĩa

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗ )(∀n, m ≥ n0 ) An − Am < ε.

(1.2)

Từ đó với mọi x ∈ X ta có

An x − Am x = (An − Am )x ≤ An x − Am

x <ε x

(1.3)

Từ (1.2), (1.3) suy ra dãy điểm (An x) ⊂ Y là dãy cơ bản trong Y . Mà theo giả
thiết Y là không gian Banach, nên tồn tại giới hạn

lim An x = y ∈ Y.

n→∞

Đặt y = Ax, nhờ tính chất của phép chuyển qua giới hạn, ta nhận được toán tử
tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian Banach Y . Cho qua
giới hạn m → ∞ trong hệ thức (1.3) và kết hợp với hệ thức (1.2) ta được

An x − Ax ≤ ε x , ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ X,
hay

(An − A)x ≤ ε x , ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ X.
Do đó

An − A ≤ ε, ∀n ≥ n0 .
Từ đó suy ra A = An1 − (An1 − A) ∈ L(X, Y ) với n1 > n0 và An − A → 0
khi n → ∞.
Vì vậy dãy toán tử (An ) ⊂ L(X, Y ) hội tụ tới toán tử A trong không gian
L(X, Y ). Vậy L(X, Y ) là không gian Banach.


8

Bây giờ ta giả sử X = Y , nghĩa là ta xét không gian L(X, X) các toán tử
tuyến tính liên tục trong X . Khi ấy ta có thể định nghĩa phép nhân hai toán tử
như sau:
Tích của hai toán tử A, B trong X là toán tử AB trong X sao cho

(AB)x = A(Bx), ∀x ∈ X.
Dễ thấy AB cũng là toán tử tuyến tính.
Mặt khác, ta có

(AB)x = A(Bx) ≤ A . Bx ≤ A . B . x ,

suy ra AB cũng bị chặn (tức là liên tục) và

AB ≤ A . B
Như vậy trong không gian L(X, X) có xác định phép cộng và phép nhân hai
phần tử. Dễ kiểm tra lại rằng phép cộng và phép nhân này thỏa mãn các tiên đề
của một vành.
Do vậy ta có L(X, X) là:
i) Một vành;
ii) Một không gian định chuẩn;
iii) Thỏa mãn điều kiện AB ≤ A . B ;
iv) Có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhất I với I = 1.
Trong đó L(X, X) là một vành định chuẩn. Trong vành L(X, X) đương nhiên
có thể nói đến các lũy thừa của một toán tử

A0 = I, An = An−1 A, (n = 1, 2, ...).
1.1.6

Một số không gian hàm

Không gian Rn

Rn là không gian vectơ
n

n

R là không gian metric với metric d(x, y) =

(xj − yj )2
j=1

n

R là không gian metric đầy.
Rn là không gian định chuẩn.
Với các chuẩn
n

x

1

n

|xi | ,

=
i=1

x

2

x2i , x

=
i=1

∞

= max |xi |.
i=1,n


9

Rn là không gian định chuẩn đủ (không gian Banach).
Rn là không gian Hilbert.
Thật vậy, ∀x, y ∈ Rn , x = (x1 , x2 , ..., xn ); y = (y1 , y2 , ..., yn ).
Ta đặt
n

(xj × yj ).

(x, y) =

(1.4)

j=1

Dễ thấy hệ thức (1.4) mãn tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô
hướng (1.4)
n

x =

x2j , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn .

(x, x) =

(1.5)

j=1

Không gian vectơ thực Rn cùng với tích vô hướng (1.5) là một không gian
Hilbert.
Không gian C[a,b]

C[a,b] = {x(t) xác định, liên tục ∀t ∈ [a, b]} , −∞ < a < b < +∞.
Không gian C[a,b] là không gian metric
∀x, y ∈ C[a,b] , d(x, y) = max |x(t) − y(t)|.
a≤t≤b

Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn

x = max |x(t)|.
a≤t≤b

Không gian C[a,b] là không gian Banach.
Không gian C[a,b] là không gian tách được.
Tập tất cả các đa thức hệ số hữu tỷ trù mật trong C[a,b] .
n
Không gian C[a,b]

n
Không gian C[a,b]
gồm tất cả các hàm x(t) xác định trên đoạn [a, b] và có đạo
hàm liên tuc đến cấp n, với chuẩn được xác định bởi

x = max {|x(t)|, |x (t)|, ..., |xn (t)|} .

a≤t≤b


10

1.2

Một số kiến thức về giải tích

1.2.1

Định nghĩa tích phân xác định

Định nghĩa 1.2.1. Cho một đoạn thẳng ∆ trong tập R với hai đầu mút a, b. Chia
đoạn ∆ thành các đoạn con ∆i với các đầu mút xi−1 , xi bởi các điểm chia tùy
ý lần lượt là a = x0 < x1 < ... < xn = b.
Ta gọi phép chia đó là một phân hoạch đoạn ∆.
Gọi
∆xi = xi − xi−1 , (i = 1, n)
Đặt

λ = max(xi − xi−1 )
i=1,n

Gỉa sử f (x) là một hàm xác định và bị chặn trên đoạn ∆i , trên mỗi đoạn con
∆i với các đầu mút xi−1 , xi ta lấy một điểm ξi tùy ý và thành lập tổng
n

f (ξi ) (xi − xi−1 )

σn (f ) =
i=1

Trong đó σn (f ) là giá trị của tổng tích phân. Ta nói họ tổng tích phân σn (f ) có
giới hạn I ∈ R khi λ → 0 nếu cho trước ε > 0 bé tùy ý thì luôn luôn tồn tại một
số δ (ε) > 0 sao cho ∀λ < δ và mọi cách lấy điểm ξ ta đều có |σf − I| < ε.
Khi đó ta viết
lim σn (f ) = I
λ→0

Giới hạn đó nếu tồn tại thì được gọi là tích phân xác định của hàm f trên đoạn
∆ với hai đầu mút a, b và kí hiệu
b

I=

f (x) dx
a

Định nghĩa 1.2.2. (Tích phân với cận trên thay đổi)
Giả sử f : [a, b] → R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi đó mỗi x ∈ [a, b]
thì f cũng khả tích trong [a, x]. Ta xác định hàm
x

F (x) =

f (t) dt
a

F là một hàm xác định trên [a, b].

11

Công thức Newton - Leibniz

Gỉa sử f : [a, b] → R là một hàm liên tục. Khi đó F (x) =
nguyên hàm của f (x) trong [a, b].
Nếu φ là một nguyên hàm khác của f trong [a, b] thì ta có

x
a f

(t) dt là một

x

φ (x) = F (x) + C =

f (t) dt

(1.6)

a

Với x = a,
Như vậy

φ (a) =

a
a f

(t) dt + C = C
x

φ (x) =

f (t) dt + φ (a)
a

hay

x

f (t) dt = φ (x) − φ (a) .
a

1.2.2

Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.2.3. (Chuỗi hàm)
Cho dãy hàm {un } cùng xác định trên một tập U ⊂ R. Chuỗi hàm là một
tổng hình thức
∞

un (x)

u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... =

(1.7)

n=1
∞
n=1 un (x0 )

Nếu tại x0 ∈ U chuỗi số
hội tụ thì ta nói x0 là điểm hội tụ của
∞
chuỗi hàm (1.7), nếu n=1 un (x0 ) phân kì thì ta nói chuỗi hàm (1.7) phân kì
tại x0 .
Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của
chuỗi hàm đó.
Giả sử A là một miền hội tụ của chuỗi hàm (1.7), khi đó với x ∈ A chuỗi
∞
n=1 un (x) có tổng là S (x). Như vậy
∞

un (x) , ∀x ∈ A

S (x) =
n=1

Định nghĩa 1.2.4. (Chuỗi lũy thừa)
Chuỗi lũy thừa là một hàm dạng:
∞

an (x − x0 )n
n=0

(1.8)


12

trong đó x0 , a0 , a1 , a2 , ... là những số thực. Điểm x0 được gọi là tâm của
chuỗi lũy thừa, chuỗi lũy thừa luôn luôn hội tụ tại điểm x = x0
Định lý 1.2.1. gia sử chuỗi lũy thừa

∞
n=0 an (x

− x0 )n có bán kính hội tụ

n
R > 0, và f (x) = ∞
n=0 an (x − x0 ) , x ∈ (x0 − R, x0 + R).
Khi đó
i) f là hàm khả vi vô hạn trong (x0 − R, x0 + R).

f n (x0 )
, ∀n = 0, 1, 2, ... và
ii) an =
n!
∞

f (x) =
n=0

f n (x0 )
(x − x0 )n , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R)
n!

Định nghĩa 1.2.5. (chuỗi Taylor)
Cho tập hợp mở U ⊂ R. Giả sử hàm f : U → R khả vi đến cấp n trong một
lân cận nào đó của x0 ∈ U và f n (x) liên tục tại x0 . Khi đó x ở trong lân cận
nói trên của x0 ta có

f (x0 )
f n (x0 )
f (x) = f (x0 ) +
(x − x0 ) + ... +
(x − x0 )n + 0 ((x − x0 )n ) .
1!
n!
Công thức trên được gọi là chuỗi Taylor của hàm f (x) tại điểm x0 .
Nếu x0 = 0 thì chuỗi

f (0)
f n (0)
f (0) = f (0) +
(x) + ... +
(x)n + ...
1!
n!
được gọi là chuỗi khai triển Mac - Laurin của hàm f (x).


13

Khai triển Mac - Laurin một số hàm sơ cấp cơ bản

x2 x3 x4
+
+
+ ... =
1) e = 1 + x +
2!
3!
4!

∞

x

2) e

−x

2

3

4

x
x
x
=1−x+

−
+
+ ... =
2!
3!
4!

3) cos x = 1 −

x2 x4
+
+ ... =
2!
4!

x3 x5
4) sin x = x −
+
+ ... =
3!
5!
1.2.3

n=0
∞

∞

n=0
∞

n=0

xn
;
n!
(−1)

n=0
n

nx

n

n!

;

(−1) 2n
x ;
2n!
(−1)n 2n+1
x
.
(2n + 1)!

Biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.2.6. Biến đổi Laplace của một hàm f (x), xác định với x ≥ 0,

được định nghĩa bởi:
∞

F (s) = Lf (x) =

e−sx f (x) dx

(1.9)

0

trong đó s là số thực, và L gọi là toán tử biến đổi Laplace. Biến đổi Laplace
F (s) có thể chưa đủ để tồn tại. Nếu f (x) có vô hạn điểm gián đoạn hoặc nếu
nó tăng nhanh, thì F (s) không tồn tại. Thêm vào đó, một điều kiện cần quan
trọng cho sự tồn tại của biến đổi Laplace F (s) là F (s) phải triệt tiêu khi s tiến
đến vô cực. Nghĩa là:

lim F (s) = 0

s→∞

(1.10)

Tính chất của biến đổi Laplace

Tính chất 1: Cho hàm gốc fk có số chỉ tăng là αk biến đổi Laplace là
Fk , k = 1, 2, 3, ..., n. Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính f của
các hàm fk (t) = nk=1 ck fk (t), ck là hằng số. Là hàm F xác định bởi
n

F (p) =

ck Fk (p)
k−1


14

với miền xác định Rep > maxαk .
Tính chất 2: Cho L(f ) = F . Gỉa sử f k tônf tại và là hàm gốc, f k−1 (0+ ) tồn
tại, ∀k = 1, 2, 3, ..., n thì ta có

f n−1 (0+ )
f (0+ ) f (0)
− 2 − ··· −
]
L(f ) = p [F (p) −
p
p
pn
n

n

Tính chất 3: Cho L(f ) = F , f có chỉ số tăng α0 . Ta có

L[(−t)n f (t)] = F n (p), n ∈ N, Rep > α0
Tính chất 4: Cho L(f ) = F , f có chỉ số tăng α0 , λ là hằng số. Khi đó

L[eλt f (t)] = F (p − λ), Rep > α0 + Reλ

Tính chất 5: Cho hàm gốc f có số chỉ tăng là α0 , L(f ) = F , và c > 0 là hằng
số. Khi đó

1 p
L tx → x2 f (ct) = px → x2 F ( ), Rep > cα0
c c


15

Bảng một số biến đổi Laplace cơ bản

f (x)
c
x
xn
eax
sin ax
cos ax
sin2 ax

F (s) =

c
s,
1
s2 ,

s>0
s>0

n!
sn+1 , s > 0, n > −1
1
s−a , s > a
a
s2 +a2
s
s2 +a2
2a2
2
s(s +4a2 )
s2 +2a2
s(s2 +4a2 )
2as
2
2
(s +a2 )
2
2
s −a
2
(s2 +a2 )
b
, s>a
2
(s−a) +b2
s−a
, s>a
2
(s−a) +b2

a
s2 −a2 , s > |a|
s
s2 −a2 , s > |a|
2as
(s2 −a2 )2 , s > |a|
s2 +a2
(s2 −a2 )2 , s > |a|

cos2 ax
x sin ax
x cos ax
eax sin bx
eax cos bx
sinh ax
cosh ax
x sinh ax
x cosh ax
xn eax
eax sin bx
eax cos bx
eax sinh bx
eax cosh bx
H (x − a)
δ (x)
δ (x − a)
δ (x − a)

∞ −sx
f (x)dx

0 e

n!
(s−a)n+1 ,

s > a, n số nguyên dương
b
(s−a)2 +b2 , s > a
s−a
(s−a)2 +b2 , s > a
b
(s−a)2 −b2 , s > a
s−a
(s−a)2 −b2 , s > a
s−1 e−as , a ≥ 0
1
−as
e , a≥0
se−as , a ≥ 0


16

1.3
1.3.1

Một số kiến thức về giải tích số
Số gần đúng

Định nghĩa 1.3.1. Ta nói rằng a là số gần đúng của số a∗ nếu a không sai khác

a∗ nhiều. Hiệu số ∆ = a∗ − a là sai số thực sự của a, nếu ∆ > 0 thì a là giá trị
gần đúng thiếu, nếu ∆ < 0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a∗ .
Nói chung, vì a∗ không biết nên cũng không biết ∆. Tuy nhiên có thể thấy,
tồn tại ∆a ≥ 0 thỏa mãn điều kiện:

|a∗ − a| ≤ ∆a .
Số ∆a thỏa mãn điều kiện trên được gọi là sai số tuyệt đối của a, còn δa =

∆a
|a|

là sai số tương đối của a. Rõ ràng ∆a , δa càng nhỏ càng tốt.

1.3.2

Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số

Xét một số thập phân dạng tổng quát

a = ±(αp .10p + ... + αi .10i + ... + αp−s 10p−s ),

(1.11)

trong đó αj ∈ N, ∀j, αp = 0, 0 ≤ j ≤ 9.
Nếu (p − s) ≥ 0 thì a là số nguyên, nếu (p − s) = −k(k > 0) thì a có phần lẻ
gồm k chữ số, nếu p − s → −∞ thì a là số thập phân vô hạn.
Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a để được số a gọn
hơn và gần đúng với số a.
Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn là Γa . Như vậy |a − a| = Γa ,
1

Rõ ràng Γa ≤ .10i .
2
Vì |a∗ − a| ≤ |a∗ − a| + |a − a| ≤ ∆a + Γa . Do đó khi làm tròn thì sai sô tuyệt
đối tăng thêm Γa .

1.3.3

Sai số

Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức

y = f (x1 , x2 , ..., xn )


17

Gọi x∗ = (x∗1 , x∗2 , ..., x∗n ), y ∗ = f (x∗ ) là giá trị đúng còn x = (x1 , ..., xn ), y =
f (x) là giá trị gần đúng của y ∗ , ∆xi = |x∗i − xi |. Giả sử f (x1 , ..., xn ) là hàm
số khả vi liên tục thì
n

∆y

∗

|y − y | = |f (x1 , ..., xn ) −

f (x∗1 , ..., x∗n

|f xi |.|xi − x∗i |

=
i=1

với f xi là đạo hàm theo xi tính tại điểm trung gian.
Vì f khả vi liên tục, ∆xi khá bé nên
n

|f xi (x1 , ..., xn )|∆xi .

∆y =

(1.12)

i=1

Vậy

∆y
δy =
=
y
1.3.4

n

|
i=1

∂

lnf |∆xi .
∂xi

(1.13)

Sai phân và các tính chất

Định nghĩa 1.3.2. Giả sử y = f (x) là hàm số xác định trên tập X , h là hằng
số , h > 0.
Biểu thức ∆f (x) = f (x + h) − f (x) được gọi là sai phân cấp 1 của f (x)
tại điểm x.
Biểu thức : ∆2 f = ∆ [∆f (x)] = [f (x + 2h) − f (x + h)]−[f (x + h) − f (x)]
= ∆f (x + h) − ∆f (x) được gọi là sai phân cấp 2 của f (x) tại x.
Tương tự, ta có ∆k f = ∆ ∆k−1 f được gọi là sai phân cấp k của f tại x.
Các tính chất của sai phân
Tính chất 1: ∆k [f ± g] = ∆k f ± ∆k g .
Tính chất 2: ∆k [λf (x)] = λ∆k [f (x)].
Tính chất 3: ∆n [pn (x)] = const, ∆m [pn (x)] = 0, khi m > n,
pn (x) là đa thức cấp n của x.
Tính chất 4: f (x + nh) =
Tính chất 5: ∆n f (x) =

n
i i
i=0 Cn ∆ f
n
i i
i=0 (−1) Cn f

(x).

[x + (n − i)] .


18

Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN
TUYẾN TÍNH VOLTERRA
2.1

Giới thiệu

Định nghĩa 2.1.1. Phương trình vi - tích phân tuyến tính Volterra có dạng
x
(n)

u

(x) = f (x) + λ

K(x, t)u(t)dt,

(2.1)

0

u(0) = a0 , u (0) = a1 , · · · , u(n−1) = an−1 .
với

dn (u)

u (x) =
d (xn )
Phương trình (2.1) kết hợp giữa toán tử vi phân và toán tử tích phân, trong đó
u (0), u (0), ..., un (0) là các điều kiện ban đầu cho trước, K(x, t) là các hạch.
n

2.2

Một số phương pháp giải tích giải xấp xỉ phương trình
vi - tích phân tuyến tính Volterra loại 2

Định nghĩa 2.2.1. Dạng chuẩn của các phương trình vi - tích phân tuyến tính
Volterra loại 2 được cho bởi
x
(n)

u

(x) = f (x) + λ

K(x, t)u(t)dt,
0

u(0) = a0 , u (0) = a1 , · · · , u(n−1) = an−1 .

(2.2)