Luận văn tính liên tục của hàm cực trị tương đối trên tập giải tích trong cn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o——————–

BÙI THỊ HÀ

TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM CỰC
TRỊ TƯƠNG ĐỐI TRÊN TẬP
GIẢI TÍCH TRONG Cn

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o——————–

BÙI THỊ HÀ

TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM CỰC
TRỊ TƯƠNG ĐỐI TRÊN TẬP
GIẢI TÍCH TRONG Cn

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:

TS TĂNG VĂN LONG

HÀ NỘI - 2017


Mục lục
1 Một số kiến thức chuẩn bị
5
1.1 Hàm điều hòa dưới trong C . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hàm đa điều hòa dưới trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Hàm cực trị tương đối trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Tính liên tục của hàm cực trị tương đối trên tập giải tích
trong Cn
2.1 Tập giải tích và hàm đa điều hòa trên tập giải tích . . . . .
2.2 Độ đo Jensen và phép xấp xỉ của hàm đa điều hòa dưới trên
tập giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Tính liên tục của hàm cực trị tương đối trên tập giải tích .

23
23
26
29

Tài liệu tham khảo

33

Tài liệu tham khảo

33

1


Lời cảm ơn
Trên thực tế không có sự thành công nào mà không gắn liền với sự giúp
đỡ, dù ít hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp của người khác. Trong suốt
thời gian nghiên cứu, tôi đã nhận được sự quan tâm, giúp đỡ tận tình và
chu đáo của TS. Tăng Văn Long. Thông qua luận văn này, tôi xin được
bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy, người đã trực tiếp
hướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận văn một cách tốt nhất.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Lý
thuyết hàm, Khoa Toán - Tin, Phòng đào tạo và Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng các thầy cô giáo phản biện
đã dành thời gian đọc và đóng góp ý kiến quý báu để tôi hoàn thành bài
luận văn.
Được sự giúp đỡ của thầy cô và bạn bè, cùng với những nỗ lực của bản
thân, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài " Tính liên tục của hàm
cực trị tương đối trên tập giải tích trong Cn ". Do thời gian có hạn,
trình độ nghiên cứu của bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh
khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý
báu của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các bạn độc giả gần xa để
luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 28 tháng 09 năm 2017
Bùi Thị Hà


Lời nói đầu
Hàm cực trị tương đối của tập K ⊂ Ω ⊂ Cn được xác định bởi công
thức sau

ωK (z) = ωK,Ω (z) = sup {u (z) : u ∈ P SH (Ω) , u ≤ 0, u|K ≤ −1},
ở đó P SH (Ω) là tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên Ω.
Đây là lớp hàm rất quan trọng trong lí thuyết đa thế vị. Nó liên quan
đến tính cực đại của hàm đa điều hòa dưới, đến nghiệm của bài toán
Dirichlet. Đặc biệt, nó liên quan tới dung lượng tương đối, từ đó đưa đến
một tiêu chuẩn để kiểm tra một tập E ⊂ Ω là đa cực.
Vì tầm quan trọng của lớp hàm này, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu
những tính chất, đặc trưng của nó. Tuy nhiên, khi chuyển việc nghiên cứu
bài toán Dirichlet cổ điển sang trường hợp tập giải tích, một số tính chất
và kĩ thuật đối với hàm cực trị tương đối không được bảo toàn, chẳng hạn
như tính nửa liên tục trên của hàm chính quy hóa u∗ (xem Ví dụ 2.1.10).
..
Luận văn được thực hiện dựa trên kết quả nghiên cứu của F. Wikstrom
với mục đích chính là để chỉ ra rằng hàm ωK liên tục khi K là tập con
đóng, chính quy của một giải tích V .
Ngoài phần mục lục, lời nói đầu, luận văn được chia làm hai chương
như sau:
Chương 1 : Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này đưa ra khái niệm
và tính chất của các hàm điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới, hàm cực
trị tương đối trong Cn , chủ yếu được tham khảo trong [1],[6].
Chương 2 : Tính liên tục của hàm cực trị tương đối trên tập giải
tích trong Cn . Đây là nội dung chính của luận văn, ở đó trình bày chi
tiết các kết quả quan trọng trong [7]. Trong chương này, Mục 2.1 đưa ra
khái niệm tập giải tích và hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích. Tiếp
đó, Mục 2.2 đề cập đến độ đo Jensen và kết quả quan trọng trong phần
3


này là Định lí 2.2.3 về xấp xỉ của hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích.
Cuối cùng, Mục 2.3 trình bày kết quả chính của luận văn, đó là tính liên

tục của hàm cực trị tương đối ωK trên tập giải tích trong Cn ( Định lí
2.3.2).

4


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Hàm điều hòa dưới trong C

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u : X → [−∞; +∞)
gọi là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn lại lân cận Ux0
của x0 trong X sao cho với mọi x ∈ Ux0 , ta có
nếu u (x0 ) = −∞

u (x) < u (x0 ) + ε,
và

1
u (x) < − , nếu u (x0 ) = −∞.
ε
Hàm u gọi là nửa liên tục trên trên X nếu u nửa liên tục trên tại mọi
x0 ∈ X .
Một cách tương đương, hàm u gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với
mỗi a ∈ R, tập

Xα = {x ∈ X : u (x) < α}
là mở trong X .

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u : Ω → [−∞; +∞)
gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu nó nửa liên tục trên trên Ω và thỏa mãn
bất đẳng thức dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi ω ∈ Ω tồn tại
ρ > 0 sao cho với mọi 0 ≤ r < ρ, ta có

1
u (ω) ≤
2π

2π

u ω + reit dt.
0

5


Từ định nghĩa ta thấy mọi hàm điều hòa là hàm điều hòa dưới. Tập tất
cả các hàm diều hòa dưới trên Ω được kí hiệu là SH (Ω).
Ví dụ 1.1.3. Giả sử f : Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω. Khi đó log |f |
là hàm điều hòa dưới trên Ω.
Mệnh đề sau được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 1.1.2, đó là kết quả
quan trọng được sử dụng trong quá trình làm việc với các hàm điều hòa
dưới.
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω trong
C. Khi đó:
(i) max (u, v) là hàm điều hòa dưới trên Ω.
(ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là một nón, có nghĩa là nếu
u, v ∈ SH (Ω) và α, β > 0 thì αu + βv cũng thuộc SH (Ω).
Dưới đây là một số tính chất quan trọng khác của hàm điều hòa dưới.

Định lí 1.1.5 (Nguyên lí cực đại). Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên
miền bị chặn Ω trên C. Khi đó:
(i) Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên Ω thì u là hằng số trên
Ω.
(ii)Nếu lim sup u (z) ≤ 0 đối với mọi ς ∈ ∂Ω thì u ≤ 0 trên Ω.
z→ς

∂ 2u ∂ 2u
+
là Laplace của u.
Định lí 1.1.6. Giả sử u ∈ C (Ω) và ∆u =
∂x2 ∂y 2
Khi đó u là điều hòa dưới trên Ω nếu và chỉ nếu ∆u ≥ 0 trên Ω.
2

Định lí 1.1.7 (Định lí dán). Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở
Ω1 và v là hàm điều hòa dưới trên tập mở Ω2 ⊂ Ω1 . Giả sử rằng đối với
mọi ς ∈ Ω1 ∩ ∂Ω2 ta có

lim sup v (z) ≤ u (ς).
z→ς

Khi đó hàm u xác định trên Ω1 :

u=

max (u, v)
u

là điều hòa dưới trên Ω1 .

6

trên Ω2
trên Ω1 \Ω2


Định lí 1.1.8. Giả sử {un } là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập
mở Ω trên C và u = lim un . Khi đó u là điều hòa dưới trên Ω.
n→∞

Định lí 1.1.9 (Định lí xấp xỉ). Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập
mở Ω ⊂ C với u không đồng nhất bằng −∞. Giả sử χ : C2 → C là hàm
được cho bởi:

1

 −
2
χ (z) = ke 1 − z
nếu z < 1 .


0
nếu z ≥ 1
Với mỗi r > 0 đặt

χr (z) =

1
z

χ
, với z ∈ C.
2
r
r

Khi đó u ∗ χr là hàm điều hòa dưới trơn trên Ωr và u ∗ χr
r
0.

1.2

u trên Ω khi

Hàm đa điều hòa dưới trong Cn

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử rằng Ω là một tập con mở trong Cn và hàm
u : Ω → [−∞; +∞) là nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng −∞ trên
mọi thành phần liên thông của Ω. Hàm u gọi là đa điều hòa dưới trên Ω (kí
hiệu là u ∈ PSH(Ω)) nếu với mọi a ∈ Ω và b ∈ Cn , hàm λ → u(a + λb) là
điều hòa dưới hoặc đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông
của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}.
Các tính chất sau của hàm đa điều hòa dưới tương tự như hàm điều
hòa dưới.
Định lí 1.2.2. Giả sử u : Ω → [−∞; +∞) là hàm nửa liên tục trên,
không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω ⊂ Cn .
Khi đó u ∈ PSH(Ω) khi và chỉ khi với mọi a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho

{a + λb : λ ∈ C, |λ|

1} ⊂ Ω,

ta có

u(a)

1
2π

2π

u a + reiθ b dθ := l(u, a, b).
0

7


Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên, được suy ra trực tiếp từ
Định nghĩa 1.2.1.
Sau đây ta chứng minh điều kiện đủ. Lấy a ∈ Ω, b ∈ Cn và xét

U = {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}.
Khi đó, U là tập mở trên C. Ta cần chứng minh v (λ) = u (a + λb) , λ ∈ U
là hàm điều hòa dưới trên U . Thật vậy, lấy λ0 ∈ U thì a + λ0 b ∈ Ω. Do
đó tồn tại ρ > 0 sao cho nếu |λ| < ρ thì a + λ0 b + λb ∈ Ω. Với 0 ≤ r < ρ
ta có {a + λ0 b + λrb : |λ| ≤ 1} ⊂ Ω. Kết hợp với giả thiết ta có

u (a + λ0 b) ≤
Do đó v (λ0 ) ≤

1
2π

1
2π

2π

u a + λ0 b + rbeiθ dθ.
0

2π

v λ0 + reiθ dθ. Vậy ta có điều phải chứng minh.
0

Bổ đề 1.2.3. Giải sử Ω ⊂ Cn là tập mở và u ∈ L1loc (Ω). Khi đó với mọi
z ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho {z + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω ta có

(l (u, ., b) ∗ χε ) (z) = l (u ∗ χε , z, b).
Chứng minh. Áp dụng định lí Fubini ta có

(l (u, ., b) ∗ χε ) (z) =
Cn
2π

1
2π

2π

u z + eiθ b − ω dθ χε (ω) dλ (ω)
0

u z + eiθ b − ω χε (ω) dλ (ω) dθ

=
0

Cn
2π

1
(u ∗ χε ) z + eiθ b dθ
2π 0
= l (u ∗ χε , z, b) .
=

Vậy bổ đề được chứng minh.
Sử dụng bổ đề trên ta chứng minh được Định lí xấp xỉ chính cho các
hàm đa điều hòa dưới tương tự như các hàm điều hòa dưới.
Định lí 1.2.4 (Định lí xấp xỉ.). Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và hàm
u ∈ P SH (Ω). Nếu ε > 0 sao cho Ωε := {z ∈ Ω : d (z, ∂Ω) > ε} = ∅ thì
u ∗ χε ∈ C ∞ ∩ P SH (Ωε ) . Khi đó họ {u ∗ χε : ε > 0} là đơn điệu giảm khi
ε ↓ 0 và với mọi z ∈ Ω thì
8


lim u ∗ χε (z) = u (z).

ε→0

Chứng minh. Từ cách xác định tích chập, ta thấy u ∗ χε ∈ C ∞ (Ωε ) .
Nếu với a ∈ Ωε , b ∈ Cn mà {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ωε thì với ω ∈ Cn ,
ta có |ω| < ε, a − ω ∈ Ω và {a − ωλb : |λ| ≤ 1, λ ∈ C} ⊂ Ω. Áp dụng Bổ
đề 1.2.3 ta có
l (u ∗ χε ; a, b) = (l (u; ., b) ∗ χε ) (a)
1 2π
u a + eiθ b − ω dθ)χε (ω) dλ (ω)
= (
Cn 2π 0
≥ u (a − ω) χε (ω) dλ (ω) = (u ∗ χε ) (a) .
Cn

Suy ra u ∗ χε ∈ P SH (Ωε ) . Do đó u ∗ χε ∈ C ∞ (Ωε ) ∩ P SH (Ωε ) .
Tiếp theo, ta chứng minh họ {u ∗ χε } giảm khi ε ↓ 0 và với mọi z ∈ Ω
thì

lim (u ∗ χε ) (z) = u (z).

ε→0

Thật vậy, không mất tính tổng quát, giả sử 0 < ε2 < ε1 . Khi đó ta có
Ωε1 ⊂ Ωε2 và u ∗ χε1 , u ∗ χε2 ∈ C ∞ (Ωε1 ) . Bằng phương pháp quy nạp theo
n, ta chứng minh với z ∈ Ωε1 thì

u ∗ χε1 (z) ≥ u ∗ χε2 (z).
Với n = 1 thì kết quả trên được chứng minh ở Định lí 1.1.9 (xem trong
[1]). Khi đó,với z ∈ Ωε1 ⊂ C và ω ∈ C ta có

u (z + ε1 ω) χ (ω)dλ (ω) ≥
C

u (z + ε2 ω) χ (ω)dλ (ω) .
C

Để thuận tiện cho việc theo dõi chúng ta chứng minh đẳng thức trên với
n − 2, (trường hợp với n tùy ý được chứng minh bằng quy nạp). Thật vậy,
nếu (z1 , z2 ) ∈ Ωε1 , (ω1 , ω2 ) ∈ C2 thì

u ∗ χε1 (z1 , z2 ) =

u (z1 + ε1 ω1 , z2 + ε2 ω2 ) χ (ω1 , ω2 ) dλ (ω1 ) dλ (ω2 )
C

C

C

C

C

C

≥

u (z1 + ε2 ω1 , z2 + ε1 ω2 ) χ (ω1 , ω2 ) dλ (ω1 ) dλ (ω2 )

≥

u (z1 + ε2 ω1 , z2 + ε1 ω2 ) χ (ω1 , ω2 ) dλ (ω2 ) dλ (ω1 )

≥

u (z1 + ε2 ω1 , z2 + ε1 ω2 ) χ (ω1 , ω2 ) dλ (ω1 ) dλ (ω2 )
C ×C

= u ∗ χε2 (z1 , z2 ) ≥ u (z1 , z2 ) .
9


Cuối cùng, ta chứng minh lim u ∗ χε (z) = u (z) , với mọi z ∈ Ω. Giả
ε→0

sử z ∈ Ω. Do u nửa liên tục trên tại z nên với η > 0 ta có ε1 > 0 sao cho
z ∈ Ωε1 và u (x) < u (z) + η , với x ∈ B (z, ε1 ). Do đó nếu ε < ε1 thì

u(z) ≤ u ∗ χε (z) =

u (z − y)χε (y) dλ (y)
B(0,ε)

< (u (z) + η)

χε (y) dλ (y) = u (z) + η .
B(0,ε)

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Định lí sau đây chỉ ra một đặc trưng của tính đa điều hòa dưới đối

với các hàm u ∈ C 2 trên tập mở Ω ⊂ Cn . Đặc trưng này được suy ra từ
định nghĩa hàm đa điều hòa dưới cùng Định lí 1.1.6 và đẳng thức: với mọi
z ∈ Ω, ω ∈ Cn và ξ ∈ C ta có

1
∆ξ u (z + ξω)
4

∂ 2u
(z) ωj ω k .
∂z
∂z
j
k
j,k=1
n

=
ξ=0

Định lí 1.2.5. Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và u ∈ C 2 (Ω). Khi đó ta có
∂ 2u
của u tại z xác
u ∈ PSH(Ω) khi và chỉ khi Hessian Hu (z) =
∂zj ∂ z¯k
định dương, nghĩa là với mọi w = (w1 ; w2 ; ...; wn ) ∈ Cn ta có

∂ 2u
Hu (z)(w; w) =
(z)wj w¯k

¯k
j,k=1 ∂zj ∂ z
n

0.

Dưới đây là một số kết quả liên quan tới tính đa điều hòa dưới khi qua
giới hạn và tính lồi của họ các hàm đa điều hòa dưới.
Định lí 1.2.6. Giả sử Ω là tập mở trong Cn . Khi đó
(i) Nếu u, v ∈ PSH(Ω) thì max {u, v} ∈ PSH(Ω) và nếu α, β
αu + βv ∈ PSH(Ω), nghĩa là PSH(Ω) là nón lồi.

0 thì

(ii) Nếu {uj }j 1 ⊂ PSH(Ω) là dãy giảm thì u = lim uj hoặc là hàm đa
điều hòa dưới trên Ω hoặc u đồng nhất bằng −∞.
(iii) Nếu dãy {uj } ⊂ PSH(Ω) là dãy hội tụ đều trên mọi tập compact của
Ω tới hàm u : Ω → R thì u ∈ PSH(Ω).
(iv) Nếu {uα }α∈I ⊂ PSH(Ω) sao cho u = sup {uα : α ∈ I} là bị chặn
trên địa phương thì chính quy hóa nửa liên tục trên u∗ ∈ PSH(Ω).
10


Chứng minh. Các khẳng định (i), (ii), (iii) suy ra trực tiếp từ Định
nghĩa 1.2.1 và Định lí hội tụ đơn điệu hay Định lí qua giới hạn dưới dấu
tích phân trong trường hợp dãy hội tụ đều.
Để chứng minh (iv), ta chỉ cần chứng tỏ với a ∈ Ω, b ∈ Cn thỏa mãn
{a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} thì

1

2π

u∗ (a) ≤

2π

u∗ a + eiθ b dθ.

0

Dễ thấy, với mọi z ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho {z + λb, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω thì

u (z) ≤

1
2π

2π

u∗ z + eiθ b dθ.

0

Với a ∈ Ω, chọn dãy {zn } ⊂ Ω sao cho zn → a và u (zn ) → u∗ (a). Do

{a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω
nên với n đủ lớn thì

{zn +λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω.
Khi đó

1
u (zn ) ≤
2π

2π

u∗ zn + eiθ b dθ.

0

Áp dụng Bổ đề Fatou ta có

1 2π
u (a) = lim sup u (zn ) ≤
lim supu∗ zn + eiθ b dθ
2π 0
n
n
2π
1
≤
u∗ a + eiθ b dθ.
2π 0
∗

Tiếp theo là kết quả về dán hai hàm đa hàm điều hòa dưới tương tự
như là hàm điều hòa dưới.
Mệnh đề 1.2.7 (Định lí dán). Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở, ω ⊂ Ω là tập
con mở thực sự, khác rỗng của Ω. Giả sử u ∈ PSH(Ω), v ∈ PSH(ω) và

với mọi y ∈ ∂ω ∩ Ω thì lim sup v(x) v(y). Khi đó
x→y

w=

max {u, v} trong ω
u

trong Ω\ω
11


là hàm đa điều hòa dưới trên Ω.
Chứng minh. Hiển nhiên ω là nửa liên tục trên trên Ω. Chỉ cần chứng
tỏ rằng với a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho {a + λb : |λ| ≤ r} ⊂ Ω thì

1
ω (a) ≤
2π

2π

ω a + reiθ b dθ.
0

Với a ∈ ω, b ∈ Cn , chọn r > 0 đủ bé để

{a + λb : |λ| ≤ r} ⊂ ω .
Khi đó

1
2π

2π

1
v (a) ≤
2π

2π

u (a) ≤

1
2π

2π

1
v a + re b dθ ≤
2π

2π

u a + reiθ b dθ ≤
0

ω a + reiθ b dθ,
0

iθ

0

ω a + reiθ b dθ.
0

1 2π
ω a + reiθ b dθ.
Do đó ta có ω (a) ≤
2π 0
Gọi ω Ω là bao đóng của ω lấy trong Ω. Nếu a ∈ Ω\ω Ω ta chứng minh
tương tự.
Sau đây ta xét trường hợp a ∈ ω Ω ∩ Ω. Khi đó ω (a) = u (a). Suy ra
1
ω (a) = u (a) ≤
2π

2π

1
u a + re b dθ ≤
2π

2π

iθ

0

ω a + reiθ b dθ.
0

Vậy mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.2.8 (Nguyên lý cực đại). Giả sử D là một miền trong Cn
và u ∈ PSH(D), u không đồng nhất là hằng số. Khi đó u không đạt cực
đại toàn thể trên D. Hơn nữa nếu D là bị chặn thì với mọi z ∈ D ta có

u(z) < sup

lim sup u(z) .
z→w

w∈∂D

Chứng minh. Lấy z0 ∈ D sao cho u (z0 ) = max {u (z) : z ∈ D} . Đặt
D0 = u−1 (u (z0 )) . Khi đó D0 là tập con khác rỗng của D. Nếu a ∈ D0 ∩D
thì

u (z0 ) = lim sup u (z) ≤ lim sup u (z) = u (a) ≤ u (z0 ).
z∈D0 ,z→a

z∈D,z→a

12


Do đó a ∈ D0 và D0 đóng trong D. Hơn nữa, nếu a ∈ D0 , với mọi b ∈ Cn ,
chọn r > 0 sao cho {a + λb : |λ| ≤ r} ⊂ D thì

1
u (z0 ) = u (a) ≤
2π

2π

u a + reiθ b dθ ≤ u (z0 ).
0

Khi đó, do tính nửa liên tục trên của u suy ra u = u (z0 ) trên một lân cận
của a. Vậy D0 là mở và vì thế D0 = D. Suy ra u = u (z0 ) trên D. Điều
này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy định lí được chứng minh.
Định lí 1.2.9 (Khử kỳ dị). Giả sử D ⊂ Ω là một miền và F ⊂ D
là tập đóng sao cho với mỗi a ∈ F tồn tại một lân cận mở, liên thông
Ua ⊂ D và hàm va ∈ PSH(Ua ) mà va không đồng nhất bằng −∞ và ta
có F ∩ Ua = {z ∈ Ua : va (z) = −∞}. Giả sử u ∈ PSH(D\F ) là hàm bị
chặn trên địa phương trên D. Khi đó hàm

 u(z)
khi z ∈ D\F
u(z) =
khi z ∈ F
 lim sup u(y)
D\F y→z

là hàm đa điều hòa dưới trên D.
Chứng minh. Do tính đa điều điều hòa dưới là tính địa phương nên
có thể coi F = {x ∈ D : v (x) = −∞} với v ∈ P SH (D) và v < 0. Với
ε > 0, đặt

uε =

u + εv
−∞

trên D\F
.
trên F

Khi đó uε ∈ P SH (D) với mọi ε > 0 và sup {uε : ε > 0} = u trên D\F .
Hơn nữa (sup {uε : ε > 0})∗ = u trên D. Vậy u là đa điều hòa dưới trên
D.

1.3

Hàm cực trị tương đối trong Cn

Định nghĩa 1.3.1. Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và E ⊂ Ω. Với z ∈ Ω, hàm
uE,Ω xác định bởi công thức

uE,Ω (z) = sup {v (z) : v ∈ P SH (Ω)} , v ≤ −1 trên E , v ≤ 0 trên Ω}
gọi là hàm cực trị tương đối của E đối với Ω.
13


Ta có u∗E,Ω ∈ P SH (Ω), −1 ≤ u∗E,Ω ≤ 0 nếu z ∈ Ω và u∗E,Ω (z) = −1
nếu z ∈ E .
Tính chất đơn điệu dưới đây của hàm cực trị tương đối được suy ra
trực tiếp từ Định nghĩa 1.3.1.
Mệnh đề 1.3.2. Nếu E1 ⊂ E2 ⊂ Ω1 ⊂ Ω2 thì uE1 ,Ω1 ≥ uE1 ,Ω2 ≥ uE2 ,Ω2 .

Định nghĩa 1.3.3. Tập mở Ω ⊂ Cn được gọi là tập siêu lồi nếu tồn tại
hàm đa điều hòa dưới âm ρ trên Ω mà ρ vét cạn Ω theo nghĩa: với mọi
c < 0, tập Ωc = {z ∈ Ω : ρ (z) < c} Ω.
Hiển nhiên nếu ρ là hàm vét cạn đối với Ω thì lim ρ (z) = 0, với mọi
z→ω
ω ∈ ∂Ω.
Mệnh đề 1.3.4. Nếu Ω là miền siêu lồi và E
có

Ω thì với mọi ω ∈ ∂Ω ta

lim uE,Ω (z) = 0.

z→ω

Chứng minh. Giả sử ρ < 0 là hàm vét cạn đối với Ω. Chọn M > 0
sao cho M ρ < −1 trên E . Khi đó M ρ < uE,Ω trên Ω, từ đó ta có điều
phải chứng minh.
Định lí 1.3.5 (Định lí hai hằng số). Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và
E ⊂ Ω. Giả sử M, m là các số thực, M > m và u ∈ P SH (Ω) sao cho
u ≤ M trên Ω và u ≤ m trên E . Khi đó

u ≤ M 1 + u∗E,Ω − mu∗E,Ω .
Chứng minh. Do hàm v (z) =
dưới tham gia vào định nghĩa uE,Ω

u (z) − M
thuộc lớp hàm đa điều hòa
M −m
nên

u−M
≤ uE,Ω ≤ u∗E,Ω .
M −m
Vậy

u ≤ M 1 + u∗E,Ω − mu∗E,Ω .
Mệnh đề 1.3.6. Giả sử Ω ⊂ Cn là miền siêu lồi và K ⊂ Ω là tập compact.
∞
Giả sử {Ωj }∞
là
dãy
tăng
các
tập
mở
của
Ω
với
Ω
=
∪ Ωj và K ⊂ Ω1 .
j=1
j=1

Khi đó, với mọi z ∈ Ω ta có
14


lim uK,Ωj (z) = uK,Ω (z) .

j→∞

Chứng minh. Giả sử zo ∈ Ω, K ∪ {z0 } ⊂ Ω1 và ρ < 0 là hàm vét cạn đối
với Ω sao cho ρ < −1 trên K . Lấy ε ∈ (0; 1) sao cho ρ (z0 ) < −ε. Khi đó
tồn tại j0 ≥ 1 sao cho ω = ρ−1 ((−∞; −ε)) Ωj0 . Giả sử u ∈ P SH (Ωj0 )
sao cho u ≤ 0 trên Ωj0 và u ≤ −1 trên K . Khi đó hàm

v (z) =

max {u (z) − ε, ρ (z)} , z ∈ ω
ρ (z) , z ∈ Ω\ω

là hàm đa điều hòa dưới trên Ω. Hơn nữa v ≤ 0 và v ≤ −1 trên K . Do đó
ta có v (z0 ) ≤ uK,Ω (z0 ). Suy ra uK,Ωj0 (z0 ) − ε ≤ uK,Ω (z0 ). Lại có {Ωj } là
dãy tăng và Ωj ⊂ Ω nên theo Mệnh đề 1.3.2, ta có với mọi j ≥ j0 thì

uK,Ωj (z0 ) ≤ uK,Ω (z0 ) ≤ uK,Ωj (z0 ) .
Vậy

lim uK,Ωj (z) = uK,Ω (z) .

j→∞

Mệnh đề 1.3.7. Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và K1 ⊃ K2 ⊃ ... là dãy giảm
∞
các tập compact của K . Khi đó với mọi z ∈ Ω và K = ∩ Kj , ta có
j=1

lim uKj ,Ω (z) = uK,Ω (z).

j→∞

Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.3.2 ta có

uK1 ,Ω (z) ≤ uK2 ,Ω (z) ≤ ... ≤ uK,Ω (z) , z ∈ Ω.
Do đó tồn tại lim uKj ,Ω (z) ≤ uK,Ω (z) . Giả sử z ∈ Ω. Do K là compact
j→∞

nên với v ∈ P SH (Ω), v ≤ −1 trên K và v ≤ 0 trên Ω ta có

uK,Ω (z) = sup {v (z) : v ∈ P SH (Ω) }
là hoàn toàn xác định và tập

V = {z ∈ Ω : v (z) < −1}
là lân cận mở của K . Do đó tồn tại j0 sao cho Kj ⊂ V với mọi j ≥ j0 .
Suy ra v (z) ≤ uKj ,Ω , với mọi z ∈ Ω, j ≥ j0 . Do đó v (z) ≤ lim uKj ,Ω (z) .
j→∞

Suy ra uK,Ω (z) ≤ lim uKj ,Ω (z) . Vì vậy
j→∞

15


lim uKj ,Ω (z) = uK,Ω (z) .

j→∞

Với ∩ Kε = K , từ mệnh đề trên ta có được hệ quả sau đây.

ε>0

Hệ quả 1.3.8. Nếu Ω ⊂ Cn là siêu lồi và K ⊂ Ω là tập compact thì

lim uKε ,Ω (z) = uK,Ω (z) , z ∈ Ω.

ε→0

Đặc biệt, uK,Ω là nửa liên tục dưới trên Ω.
Sau đây ta đưa ra công thức tính hàm uK,Ω trong trường hợp K và
Ω là các hình cầu.
Mệnh đề 1.3.9. Nếu a ∈ Cn và R > r > 0 thì

uB(a,r),B(a,R) (z) = max

log ( z − a ) /R
, −1 , với mọi z ∈ B (a, R).
log (R/r)

Chứng minh. Nếu

u(z) = max

log ( z − a ) /R
, −1
log (R/r)

thì u (z) < 0 trên B (a, R) và u (z) = −1 trên B (a, r). Suy ra

u (z) ≤ uB(a,r),B(a,R) (z) , z ∈ B (a, R).

Giả sử v ∈ P SH (B (a, R)) , v ≤ 0, v ≤ −1 trên B (a, r) và b ∈ ∂ B (0, 1)
với ∂ B (0, 1) = {z ∈ Cn : z = 1} . Khi đó, hàm

f (t) = v (a + tb) − u (a + tb) , t ∈ ∆ (0, R) = {z ∈ C |z| < R}
là hàm điều hòa dưới trên vành khăn A = ∆ (0; R) \∆ (0; r) và

lim sup f (t) ≤ 0
t→δ t∈A

tại mọi δ ∈ ∂A. Áp dụng Nguyên lí cực đại ta có f ≤ 0 trên A. Tuy nhiên,
mọi z ∈ B (a, R) \B (a, R) đều có dạng z = a + tb, t ∈ A nên

v (z) ≤ u (z) , với mọi z ∈ B (a, R) \B (a, R).
Trên B(a, r) thì u = −1 và v ≤ −1. Suy ra với mọi z ∈ B (a, R) thì
v (z) ≤ u (z). Do đó
16


u (z) ≥ uB(a,r),B(a,R) (z), z ∈ B (a, R).
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Hệ quả 1.3.10. Giả sử Ω ⊂ Cn là miền siêu lồi và K ⊂ Ω là tập compact
và là hợp của một họ các hình cầu đóng. Khi đó uK,Ω = u∗K,Ω là hàm liên
tục. Đặc biệt, nếu K ⊂ Ω là tập compact và 0 < ε < dist (K, ∂Ω) thì
uKε ,Ω là hàm liên tục, ở đó

Kε = {z ∈ Cn : d (z, K) ≤ ε}.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh uK,Ω = u∗K,Ω . Thật vậy, giả sử
K = ∪ B (aα , rα ) và lấy z ∈ K . Khi đó, tồn tại α sao cho z ∈ B (aα , rα ).
α

Do B (aα , rα ) ⊂ K nên ta có u∗B(aα ,rα ),Ω ≥ u∗K,Ω trên Ω. Vậy

u∗B(aα ,rα ),Ω (z) ≥ u∗K,Ω (z) .
Mặt khác, chọn R > 0 sao cho

B (aα , rα ) ⊂ B (aα , R) ⊂ Ω.
Khi đó
∗
uB(a

α ,rα ),B(aα ,R)

∗
≥ uB(a

α ,rα ),Ω

Tuy nhiên, nếu z ∈ B (aα , rα ) thì u∗B(a

trên Ω.

α ,rα ),B(aα ,R)

(z) = −1. Do đó ta có

u∗K,Ω (z) ≤ −1. Suy ra u∗K,Ω (z) = −1. Vậy uK,Ω = u∗K,Ω trên Ω và hàm
uK,Ω (z) nửa liên tục trên trên Ω.
Tiếp theo, ta chứng minh uK,Ω (z) là nửa liên tục dưới. Giả sử rằng
F ⊂ P SH (Ω) là họ hàm xác định của uK,Ω và ρ là hàm đa điều hòa dưới
vét cạn của Ω với ρ < −1 trên K . Vậy ρ ≤ uK,Ω . Để chứng minh uK,Ω nửa

liên tục dưới chỉ cần chứng minh với ε ∈ (0, 1) nên tồn tại v ∈ C (Ω) ∩ F
sao cho
uK,Ω − ε ≤ v ≤ uK,Ω trên Ω.
Lấy ε ∈ (0, 1) . Khi đó tồn tại η > 0 sao cho uK,Ω − ε < ρ trên Ω\Ωn và
K ⊂ Ωn , ở đó

Ωn = {z ∈ Ω : dist (z, ∂Ω) > η} .
17


Áp dụng Định lí xấp xỉ 1.2.4 và Định lí Dini ta có tồn tại δ > 0 sao cho
uK,Ω ∗ χδ − ε < ρ trên ∂Ωn và uK,Ω ∗ χδ − ε < −1 trên K . Xét

max {uK,Ω ∗ χδ − ε, ρ (z)} , z ∈ Ωn
.
ρ (z) , z ∈ Ω\Ωn

vε (z) =

Khi đó vε ∈ C (Ω) ∩ F và

uK,Ω − ε ≤ max {uK,Ω − ε, ρ} ≤ vε ≤ uK,Ω trên Ω.
Trường hợp đặc biệt là hiển nhiên vì Kε = ∪ B (a, ε).
a∈K

Mệnh đề 1.3.11. Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và E
tương đối. Khi đó

ddc u∗E,Ω

Ω là tập compact

n

= 0, trên Ω\E .

Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề trên, ta chỉ cần chỉ ra rằng với
mọi hình cầu B ⊂ Ω\E thì

ddc u∗E,Ω

n

(B) = 0.

Do Bổ đề Choquet, tồn tại dãy {uj } ∈ P SH (Ω) , uj ≤ 0, uj ≤ −1 trên K
∗
sao cho u∗E,Ω = supj uj . Thay uj bởi max {u1 , ..., uj } và coi {uj } là dãy
tăng, {uj } hội tụ hầu khắp nơi tới u∗E,Ω . Với mỗi j , tồn tại uj ∈ P SH (Ω),
uj = uj trên Ω\B và uj cực đại trên B, uj ≥ uj . Như vậy, uj ≤ 0 trên Ω,
uj ≤ −1 trên E và do đó

u∗E,Ω ≥ uj ≥ uj trên Ω.
Như vậy {uj } hội tụ hầu khắp nơi tới u∗E,Ω và uj là dãy tăng. Vì vậy

(ddc uj )n → ddc u∗E,Ω

n

. Do đó

ddc u∗E,Ω
B

ddc u∗E,Ω

Suy ra

n

(ddc uj )n .

≤ lim inf
j→∞

B

n

= 0. Vậy mệnh đề được chứng minh.

B

Hệ quả 1.3.12. Với giả thiết như ở Mệnh đề 1.3.11, hàm uE,Ω là hàm đa
điều hòa dưới cực đại trên Ω\E .
18


Dưới đây là các kết quả liên quan tới dung lượng Cn (E, Ω) và hàm cực
trị tương đối.

Giả sử C là hàm tập hợp được xác định trên các tập Borel của tập mở
Ω ⊂ Cn . Khi đó nếu E ⊂ Ω, ta định nghĩa hai hàm tập hợp

C∗ (E, Ω) = inf C (G) , C ∗ (E, Ω) = sup C (K)
E⊂G

K⊂E

với G mở và K compact. Khi đó ta có kết quả sau.
Định lí 1.3.13. Nếu E là tập compact tương đối của miền siêu lồi bị chặn
Ω ⊂ Cn thì

C ∗ (E, Ω) =

ddc u∗E,Ω

n

.

Ω

Nếu K là tập compact của Ω thì Cn (K, Ω) = C ∗ (K, Ω).
Chứng minh.
Bước 1. Ta chứng minh nếu K ⊂ Ω là tập compact thì

ddc u∗K,Ω

Cn (K, Ω) =

n

.

Ω

Do −1 ≤ u∗K,Ω ≤ 0 trên Ω nên từ định nghĩa của Cn (K, Ω) và Mệnh đề
1.3.11 ta luôn có

ddc u∗K,Ω

Cn (K, Ω) ≥

n

.

K

Ngược lại, giả sử ρ là hàm vét cạn đối với Ω sao cho ρ < −1 trên K ,
0 < ε < 1 và v ∈ P SH (Ω, (0, 1 − ε)) . Theo Hệ quả 1.3.8 ta có thể tìm
được dãy tăng {uj }j≥1 ⊂ C (Ω) ∩ P SH (Ω, [−1; 0)) hội tụ tới uK,Ω . Khi
đó, do ρ < −1 trên K nên ta có thể coi uj ≥ ρ trên Ω với mọi j . Khi đó

K ⊂ {uj < v − 1} ⊂ {ρ < v − 1} ⊂ {ρ < −ε}

Ω.

Theo Nguyên lí so sánh

(ddc v)n ≤
K

(ddc v)n ≤
{uj
(ddc uj )n ≤
{uj
19

(ddc uj )n .
{ρ<−ε}


Ta có (ddc uj )n → ddc u∗K,Ω

yếu khi j → ∞. Do đó

(ddc uj )n ≤

lim sup

j→∞

n

{ρ<−ε}

ddc u∗K,Ω

n

ddc u∗K,Ω

=

n

.

K

{ρ<−ε}

Nhưng với mọi 0 < ε < 1 ta có

Cn (K, Ω) = (1 − ε)−n sup





K



c n
(dd v) , v ∈ P SH ((Ω, 0, 1 − ε)) .


Do đó

ddc u∗K,Ω

Cn (K, Ω) ≤

n

.

K

Từ đó ta có điều cần chứng minh ở Bước 1.
Bước 2. Ta chứng tỏ với mọi tập mở G compact tương đối trong Ω thì

ddc u∗G,Ω

Cn (G, Ω) =

n

.

Ω

Ta thấy, nếu G ⊂ Ω là mở thì có thể chứng minh được u∗G,Ω = −1 trên G.
Do đó uG,Ω = u∗G,Ω trên Ω.
Giả sử {Kj }j là dãy tăng các tập compact của G với ∪ Kj = G. Khi đó
j

u∗Kj ,Ω ≥ u∗G,Ω = uG,Ω và

u∗K,Ω

j

là dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới

trên Ω. Do đó tồn tại v = lim u∗Kj ,Ω , v ∈ P SH (Ω) và v ≥ u∗G,Ω = uG,Ω

j→∞
∗
trên Ω. Nếu B G thì uKj ,Ω = −1 trên B xảy ra khi
v = −1 trên G. Do đó v ≤ u∗G,Ω . Suy ra v = u∗G,Ω .
Vậy u∗Kj ,Ω
u∗G,Ω . Nhưng do Kj ⊂ G ⊂ G, Mệnh

j đủ lớn và như vậy
đề 1.3.11 và chứng

minh ở Bước 1 nên

Cn (Kj , Ω) =
Ω

Lại có u∗Kj ,Ω

ddc u∗Kj ,Ω

n

ddc u∗Kj ,Ω

=

n

.

G

u∗G,Ω nên suy ra ddc u∗Kj ,Ω

Vậy

20

n

hội tụ yếu tới ddc u∗G,Ω

n

.


Cn (G, Ω) = lim sup Cn (Kj , Ω) = lim sup
j→∞

j→∞

ddc u∗Kj ,Ω

n

¯
G
n
ddc u∗G,Ω .

≤
G

Do đó ta có

ddc u∗G,Ω

Cn (G, Ω) =

n

n

ddc u∗G,Ω

=

.

Ω

G

Vậy Bước 2 được chứng minh.
Bước 3. Giả sử E Ω là tập bất kì. Chọn tập mở G Ω sao cho E ⊂ G.
Có thể giả sử ρ ≤ −1 trên G. Khi đó ρ ≤ u∗G,Ω ≤ u∗E,Ω ≤ 0 trên Ω. Theo
Nguyên lí so sánh
n

ddc u∗E,Ω
Ω

Từ đó cho G

ddc u∗G,Ω

≤

n

= Cn (G, Ω) .

Ω

E ta được
ddc u∗E,Ω

n

≤ C ∗ (E, Ω) .

Ω

Mặt khác, giả sử {vj }j là dãy tăng những hàm đa điều hòa dưới. Khi đó
vj ≤ 0, vj/E ≤ −1 và vj
u∗E,Ω hầu khắp nơi. Đặt uj = max {vj , ρ}. Khi
đó uj ∈ P SH (Ω) , uj ≤ 0, uj/E ≤ −1 và uj
u∗E,Ω hầu khắp nơi. Hơn
nữa

lim uj (z) = 0.

z→∂Ω

Nếu λj

1 và Gj = {uj < −λj} thì tập Gj mở và E ⊂ Gj . Do đó
∗
∗
λ−1
j uj ≤ uGj ,Ω = uGj ,Ω ≤ uE,Ω .

Vậy u∗Gj ,Ω

u∗E,Ω hầu khắp nơi và do đó

ddc u∗Gj ,Ω

hội tụ yếu tới

ddc u∗E,Ω . Khi đó ta có

C ∗ (E, Ω) ≤ C ∗ (Gj , Ω) =

ddc u∗Gj ,Ω

n

.

Ω

Tập Gj là tập compact tương đối trong Ω. Cố định k . Với j > k thì
Gj ⊂ Gk Ω. Do đó
21


C ∗ (E, Ω) ≤ lim sup
j→∞

Ω

ddc u∗E,Ω

≤
Gk

ddc u∗Gj ,Ω
n

=
Ω

Vậy định lí được chứng minh.

22

n

ddc u∗Gj ,Ω

= lim sup

j→∞
n
ddc u∗E,Ω

Gk
∗

≤ C (E, Ω) .

n


Chương 2
Tính liên tục của hàm cực trị tương
đối trên tập giải tích trong Cn
2.1

Tập giải tích và hàm đa điều hòa trên tập giải
tích

Định nghĩa 2.1.1. Giả sử Ω là một tập con khác rỗng, nằm trong Cn .
Tập Ω được gọi là một đa tạp phức p−chiều nếu với mỗi a ∈ Ω, tồn tại
một lân cận U chứa a và các hàm chỉnh hình f1 , f2 , ..., fn−p trong lân cận
này sao cho

Ω ∩ U = {z ∈ U : f1 (z) = f2 (z) = ... = fn−p (z) = 0}
và



ranka (f ) = rank 



∂f1 (a)
∂f1 (a)
...
∂z1
∂zn
...
...
...
∂fn−p (a)
∂fn−p (a)
...
∂z1

∂zn




 = n − p,



với f = (f1 , ..., fn−p ) : U → Cn−p là ánh xạ chỉnh hình.
Định nghĩa 2.1.2. Giả sử Ω là một đa tạp phức, tập G nằm trong Cn là
một tập mở chứa Ω. Ta nói Ω là một đa tạp con của G nếu Ω đóng trong
G, tức là Ω ∩ G = Ω.
Rõ ràng, mọi đa tạp phức trong Cn là đa tạp con của một lân cận của
nó.
23