Bài 1 QUY tắc đếm (2)

GVBS: Trịnh thanh Nguyện

SĐT: 0979421537

QUY TẮC ĐẾM

Bài 1

A- Mục Tiêu
 Cần nắm vững các khái niệm quy tắc cộng, quy tắc nhân và phân biệt được
sự khác nhau của hai quy tắc.
 Biết vận dụng linh hoạt hai quy tắc trên vào việc giải các bài toán đếm

B- Kiến thức cần nhớ
 Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể thực hiện theo hai phương án A và B. Nếu có
m cách thực hiện phương án A và có n cách thực hiện phương án B. Khi đó
công việc có thể thực hiện theo m+n cách.
Tổng quát: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương
án A1, A2, ..., Ak. Có n1 cách thực hiện phương án A1, n2 cách thực hiện
phương án A2... và nk cách thực hiện phương án Ak và các cách thực hiện
trong từng phương án không trùng nhau. Khi đó công việc có thể thực hiện
theo n1 + n2 +...+nk cách
Lưu ý:
Số phần tử của tập hữu hạn A được kí hiệu n(A).
Khi đó quy tắc cộng được phát biểu là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai
tập hợp hữu hạn không giao nhau:
n( A

B)  n( A)  n(B)

Mở rộng với A, B là hai tập hợp hữu hạn bất kì ta có:
n( A

B)  n( A)  n( B)  n  A

B

 Quy tắc nhân
Giả sử một công việc muốn hoàn thành phải liên tiếp thực hiện hai công
đoạn A và B. Công đoạn A có m cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực


GVBS: Trịnh thanh Nguyện

SĐT: 0979421537

hiện công đoạn A thì công đoạn B có n cách thực hiện. Khi đó công việc có
thể thực hiện theo m.n cách.
Tổng quát: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn liên tiếp
nhau A1, A2, ..., Ak. Công đoạn A1 có n1 cách thực hiện, Công đoạn A2 có n2
cách thực hiện

... và Công đoạn Ak có nk cách thực hiện. Khi đó công việc

có thể thực hiện theo n1. n2 ...nk cách
C- Các dạng toán
Dạng 1: Sử dụng quy tắc cộng để giải các bài toán đếm
1. Phương pháp giải
Để sử đụng quy tắc cộng trong các bài toán đếm ta có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Phân tách cách thực hiện công việc theo k phương án A1, A2, ..., Ak

khác nhau.
Bước 2: Tìm số cách thực hiện từng phương án
Phương án A1có n1 cách thực hiện
Phương án A2 có n2 cách thực hiện
...
Phương án Ak có nk cách thực hiện
Bước 3: Kết luận công việc có theo n1 + n2 +...+nk cách thực hiện

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Giáo viên cần
chọn một học sinh làm thủ quỹ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Giải
Giáo viên có hai phương án để chọn
-

Chọn bạn thủ quỹ là nam: Có 15 cách chọn.

-

Chọn bạn thủ quỹ là nữ: Có 20 cách chọn.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn của giáo viên là 15 + 20= 35 cách


GVBS: Trịnh thanh Nguyện

SĐT: 0979421537

Ví dụ 2. Bạn An có một tủ giầy dép bao gồm 5 đôi giày, 6 đôi dép và 4 đôi
guốc. Bạn An cần chọn một đôi để đi chơi vào ngày mai hỏi bạn có bao nhiêu
cách chọn.

Giải
Bạn An có 3 phương án lựa chọn:
-

Chọn một đôi giày: Có 5 cách chọn

-

Chọn một đôi dép: Có 6 cách chọn

-

Chọn một đôi guốc: Có 4 cách chọn
Theo quy tắc cộng bạn An sẽ có 4  5  6  15 cách chọn

Ví dụ 3: Từ các số 1,3,6 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau và có các chữ
số khác nhau.
Giải
Ta thấy có 3 loại số thõa mãn yêu cầu bài toán:
-

Các số có một chữ số là: 1; 3; 6. Vậy ta có 3 số

-

Các số có hai chữ số là: 13; 31; 36; 63; 16; 61. Vậy ta có 6 số

-

Các số có ba chữ số là: 136; 163; 316; 361; 613; 631. Vậy ta có 6 số

Vậy theo quy tắc cộng ta có số các số thõa mãn là: 3  6  6  15 số
Dạng 2: Sử dụng quy tắc nhân để giải các bài toán đếm
1. Phương pháp giải
Để sử đụng quy tắc nhân trong các bài toán đếm ta có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Phân tách việc giải quyết công việc thành k công đoạn nhỏ liên tiếp
A1, A2, ..., Ak.
Bước 2: Tìm số cách thực hiện từng công đoạn
Nếu công đoạn A1 có n1 cách thực hiện khác nhau
Ứng với mỗi cách thực hiện A1, A2 có n2 cách thực hiện khác nhau
...
Ứng với mỗi cách thực hiện A1,...Ak-1, thì Ak có nk cách khác nhau
Bước 3: Kết luận công việc có theo n1 .n2 ...nk cách thực hiện.


GVBS: Trịnh thanh Nguyện

SĐT: 0979421537

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một lớp học 42 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra ba bạn để
lập ra một ban cán sự gồm một lớp trưởng, một lớp phó và một bí thư. Hỏi có
giáo viên bao nhiêu cách chọn
Giải
Để hoàn thành công việc lập ra một ban cán sự lớp giáo viên cần thực hiện các
công đoạn sau:
-

Chọn ra một bạn làm lớp trưởng: có 42 cách

-

Khi đã có một bạn làm lớp trưởng, thì có 41 cách chọn một bạn làm lớp
phó

-

Khi đã chọn một bạn lớp trưởng và một bạn làm lớp phó, có 40 cách để
chọn một bạn làm bí thư.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 42.41.40 = 68880 cách chọn.

Ví dụ 2: Bạn Hà muốn qua nhà bạn Nam để rủ Nam sang nhà Hiền học nhóm.
Từ nhà Hà đến nhà Nam có 4 con đường đi, từ nhà Nam đến nhà Hiền có 7 con
đường. Hỏi Hà có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Hiền.
Giải
Hành trình bạn Hà đi từ nhà đến nhà Hiền như dự định phải bao gồm hai công
đoạn:
-

Đi từ nhà Hà đến nhà Nam có 4 con đường nên có 4 cách chọn.

-

Đi từ nhà Nam đến nhà Hiền. Với mỗi cách đi từ nhà Hà đến nhà Nam sẽ
có 7 cách đi tiếp từ nhà Nam đến nhà Hiền.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 4.7  28 cách.

Ví dụ 3:Từ các số 0, 1,2, 4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ
số đôi một khác nhau.

GVBS: Trịnh thanh Nguyện

SĐT: 0979421537

Giải
Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng abcd (a  0) , a, b, c, d đôi một khác nhau.
Đặt A  0,1, 2, 4,5
Để tạo ra số tự nhiên thõa mãn yêu cầu bài toán cần phải thực hiện liên tiếp các
công đoạn sau:
- Chọn a : Do a  A / 0 nên a có 4 cách chọn.
-

Chọn b : Ứng với a đã chọn, b  A / a có 4 cách chọn.

-

Chọn c : Ứng với mỗi cách chọn a, b thì c  A / a, b có 3 cách chọn.

-

Chọn d : Ứng với mỗi cách chọn a, b, c thì d  A / a, b, c có 2 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 4.4.3.2  96 số thỏa mãn

Dạng 3: Vận dụng kết hợp quy tắc cộng và nhân để giải các bài toán đếm
1. Phương pháp giải
Cần phân tách công việc trong bài toán đếm theo các phương án thực hiện khác
nhau theo quy tắc cộng. Mặt khác khi tìm số cách của mỗi phương án trên có thể
cần phân chia thành các công đoạn và sử dụng quy tắc nhân.

Hoặc
Công việc trong bài toán đếm phải thực hiện theo các công đoạn liên tiếp nhau
theo quy tắc nhân. Mặt khác khi tìm số cách của mỗi công đoạn trên có thể cần
phân chia thành các phương án và sử dụng quy tắc cộng.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4
chữ số đôi một khác nhau.
Giải
Gọi số cần tìm là abcd a, b, c, d đôi một khác nhau.
Do số cần tìm là số chẵn, ta xét hai trường hợp:


GVBS: Trịnh thanh Nguyện

SĐT: 0979421537

Trường hơp 1: d  0
Để tạo ra số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán cần phải thực hiện liên tiếp các công
đoạn sau:
-

Chọn d : có 1 cách chọn
Chọn a : có 5 cách chọn.
Chọn b :có 4 cách chọn.
Chọn c : có 3 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 1.5.4.3  60 số thõa mãn

Trường hợp 2: d  0
Để tạo ra số tự nhiên thõa mãn yêu cầu bài toán cần phải thực hiện liên tiếp các công
đoạn sau:

-

Chọn d : có 2 cách chọn là 2 và 4
Chọn a : có 4 cách chọn.
Chọn b :có 4 cách chọn.
Chọn c : có 3 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có 2.4.4.3  96 số thõa mãn

Theo quy tắc cộng ta có 60  96  156 số.
Ví dụ 2: Bạn Minh có 6 bông hoa cúc khác nhau, 5 bông hoa hồng khác nhau và 4 bông
hoa lan khác nhau. Bạn muốn chọn ra 2 bông hoa để cắm vào lọ. Hỏi bạn có bao nhiêu
cách chọn hoa sao cho hai bông hoa đó khác loại.
Giải
Bạn Minh sẽ có 3 phương án lựa chọn:
Phương án 1: Chọn 1 bông cúc và 1 bông hồng
Để thực hiện phương án này cần hai công đoạn:
-

Chọn 1 bông cúc: Có 6 cách chọn
Chọn 1 bông hồng: Có 5 cách chọn

Theo quy tắc nhân ta có: 6.5  30 cách chọn.


GVBS: Trịnh thanh Nguyện

SĐT: 0979421537

Phương án 2: Chọn 1 bông cúc và 1 bông lan
Để thực hiện phương án này cần hai công đoạn:

-

Chọn 1 bông cúc: Có 6 cách chọn
Chọn 1 bông lan: Có 4 cách chọn

Theo quy tắc nhân ta có: 6.4  24 cách chọn.
Phương án 3: Chọn 1 bông hồng và 1 bông lan
Để thực hiện phương án này cần hai công đoạn:
-

Chọn 1 bông hồng: Có 5 cách chọn
Chọn 1 bông lan: Có 4 cách chọn

Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn cho phương án này là: 5.4  20 cách
Vậy theo quy tắc cộng số cách chọn của bạn Minh là 20  24  30  74

D- Câu hỏi và bài tập
Tự luận
Bài 1: Trên giá sách có 10 quyển sách Toán, 8 quyển sách Hóa và 12 quyển sách Lý.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a. Một quyển sách
b. Ba quyển sách có cả ba môn Toán, Lý, Hóa.
Bài 2 Một lớp học 24 học sinh nam v à 20 học sinh n ữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra
hai bạn gồm một nam và một nữ tham gia cuộc thi tìm hiểu về môi trường. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn
Bài 3 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên trong các trường
hợp sau:
a. Số tự nhiện có 4 chữ số
b. Số tự nhiện có 4 chữ số đôi một khác nhau
c. Số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.

GVBS: Trịnh thanh Nguyện

SĐT: 0979421537

Bài 4: Trong kì thi tiếng anh lấy chứng chỉ B, mỗi thí sinh phải đồng thời thi 4 môn:
Writing, speaking, listening, reading. Trong đó writing có 11 đề, môn speaking có 15 đề,
môn listening có 8 đề và môn reading có 12 đề. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu cách chọn
đề thi gồm đủ 4 môn.
Bài 5: Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga. Có 4 hành khách bước lên tàu. Hỏi:
a. Có bao nhiêu trường hợp về cách chọn toa của 4 hành khách
b. Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có một người lên
Trắc nghiệm
Câu1: Một lớp có 15 nam và 20 nữ. Giáo viên cần chọn 3 bạn đi trực nhật sao cho có cả
nam và nữ. Xét hai hành động sau:
Hành động A: “Chọn 2 bạn nam và 1 bạn nữ”
Hành động B: “Chọn 2 bạn nữ và 1 bạn nam”
Hãy chọn câu trả lời đúng trong những câu sau:
1. A, B là hai phương án thực hiện công việc
2. A, B là hai công đoạn thực hiện công việc
3. Cả 1,2 đều sai
4. Cả 1,2 đều đúng
Chú ý: Nếu ta bỏ đi một hành động mà công việc vẫn được hoàn thành bởi hành động
kia thì các hành động đó là các phương án trong quy tắc cộng.
-

Nếu ta bỏ đi một trong hai hành động mà công việc không thể hoàn thành thì các

hành động trên là các công đoạn thực hiện công việc trong quy tắc nhân.

Câu 2. Một ngân hàng câu hỏi gồm 5 câu hỏi khó, 6 câu trung bình và 7 câu hỏi dễ. Hỏi
có thể lập bao nhiêu đề thi gồm 3 câu sao cho mỗi đề đều có cả ba loại trên.


GVBS: Trịnh thanh Nguyện
A. 18

B. 210

SĐT: 0979421537
C. 30

D. 42

Câu 3. Từ các chữ số 0, 1, 2, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ
số đôi một khác nhau.
A. 156

B. 240.

C. 160

D. 752

C âu 4. Từ các chữ số 1, 2, 5, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số
đôi một khác nhau sao cho số tạo thành nhỏ hơn 278.
A. 45

B. 18

C. 20

D. 36