MẶT TRỤ HÌNH TRỤ KHỐI TRỤ phần 1 CAO TUẤN (1)

Chuyên đề 6: Mặt cầu – Mặt trụ – Mặt nón

CHỦ ĐỀ

2

MẶT TRỤ – HÌNH TRỤ – KHỐI TRỤ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Mặt trụ tròn xoay
Cho hai đường thẳng và  sao cho song song với 
và d  ,    R . Khi ta quay quanh trục  một góc 3600



tạo thành một mặt trụ tròn xoay T  (hoặc đơn giản

thì

hơn là mặt trụ).



 gọi là trục của mặt trụ T  .

R

gọi là đường sinh của mặt trụ T  .
R gọi là bán kính của mặt trụ T  .

Chú ý: Nếu một điểm M di động trong không gian có hình chiếu vuông góc M lên một

mặt phẳng   và M di động trên môt đường tròn  C  cố định thì M thuộc một mặt trụ
cố định T  chứa  C  và có trục vuông góc   .
2. Hình trụ tròn xoay
Cắt mặt trụ T  trục  , bán kính R bởi hai mặt phẳng

P

và  P  cùng vuông góc với  , ta được giao tuyến là

 P 

M

C

O

hai đường tròn  C  và  C   . Phần của mặt trụ T  nằm
giữa  P  và  P  cùng với hai hình tròn xác định bởi  C 

T 

và  C   gọi là hình trụ.
 Hai đường tròn  C  và  C   gọi là hai đường tròn





đáy của hình trụ .

O
P
C 
OO gọi là trục của hình trụ.
M
Độ dài OO gọi là chiều cao của hình trụ.
Phần giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
Với mỗi điểm M   C  , có một điểm M  C  sao cho MM // OO . Các đoạn thẳng

như MM gọi là đường sinh của hình trụ. Các đuờng sinh của hình trụ đều bằng nhau
và bằng với trục của hình trụ.
3. Khối trụ tròn xoay
hối trụ tròn xoay (gọi tắt là khối trụ)
đó. Tức là: H
ù v
ê
ó đượ ọ
ố
.
4. Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ
Cho hình trụ (khối trụ) có bán kính R và chiều cao h. hi đó:

 Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq  2 Rh .
 Diện tích đáy (hình tròn): Sđáy   R2 .
 Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp  Sxq  2Sđáy  2 Rh  2 R2 .
 Thể tích khối trụ: V   r 2 h .
1

/>


Cao Tuấn – 0975306275

Số 135A/ Ngõ 189/ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐÁNG NHỚ
 Bài toán 1: Hình trụ tạo bởi phép quay hình chữ nhật


/>


A

hi quay hình chữ nh t ABCD xung quanh đường thẳng
chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì tạo thành một hình
trụ có
 Chiều cao: h  AB  CD.
 Bán kính đáy: R  BC  AD.
hi quay hình chữ nh t ABCD xung quanh đường thẳng
đi qua trung điểm của O, O của AD, BC thì tạo thành một

R
D

h

B
A

O R

C
D

hình trụ có
h
 Chiều cao: h  OO  AB  CD.
BC AD
C
B
 Bán kính đáy: R 

.
O'
2
2
 Ví dụ 1 [Đề Minh Họa – Bộ GD & ĐT – 2017]: Trong không gian, cho hình chữ nh t ABCD
có AB  1 và AD  2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nh t đó
xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó.
A. Stp  4 .

B. Stp  2 .

C. Stp  6 .

D. Stp  10 .

 Ví dụ 2: Cho hình chữ nh t ABCD có AB  a và góc BDC  300 . Quay hình chữ nh t này

xung quanh cạnh AD. Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là
2
 a2 .
A. Sxq  3 a2 .
B. Sxq  2 3 a2 .
C. Sxq 
D. Sxq   a2 .
3
 Bài toán 2: Hình trụ tạo bởi cách dán hình chữ nhật
Nếu ta dán hai mép của hình chữ nh t có 2 cạnh là a, b, ta sẽ nh n được một khối trụ có đường
a
cao là h  b, bán kính đáy R 
.
2
 Ví dụ 3 [THPT Đông Hà – Quảng Trị – Lần 2 – 2017]: Một tấm nhôm hình chữ nh t có hai
kích thước a và 2a. Người ta cuộn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo
thành có chu vi đáy bằng 2a thì thể tích của nó bằng
a3
a3
3
.
.
A.
B.  a .
C.
D. 2 a3 .

2
 Ví dụ 4 [Đề Minh Họa – Bộ GD & ĐT – 2017]: Từ một tấm tôn hình chữ nh t kích thước
50 cm  240 cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai

cách sau (xem hình minh họa dưới đây):
 Cách 1. Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
 Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt
xung quanh của một thùng.
í hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùnggò
được theo cách 2. Tính tỉ số

2

V1
.
V2


Chuyên đề 6: Mặt cầu – Mặt trụ – Mặt nón

A.

V1 1
 .
V2 2

B.

V1
 1.
V2

C.

V1
 2.
V2

D.

V1
 4.
V2

MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M, N thuộc cạnh BC; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và
AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ.

A

Q

B

P

M

C

N

Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là
A.

91125
cm3 .
4

B.

91125
cm3 .
2

C.

108000 3



cm3 . D.

13500. 3



cm3 .

 Bài toán 3: Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng
O

Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn có tâm I nằm trên trục
và bán kính R.

R

I

O'

Thiết diện đi qua trục của một hình trụ là hình chữ nh t có kích
thước là h và 2R .
Nếu thiết diện qua trục là một hình vuông thì h  2R.

O R

A

h
B

Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình chữ nh t
ABCD có khoảng cách tới trục là: d OO;  ABCD   OH  d.





C

O'

R

A
H

O
D

hi đó: BC  AD  2 AH  2 OA2  OH 2  2 R2  d2 .

 Diện tích thiết diện: Std  AB.BC  2h R2  d2 .

D

O'

B
C

3

/>
 Ví dụ 5: Bạn Tuấn muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh
tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90  cm  . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nh t


Cao Tuấn – 0975306275

Số 135A/ Ngõ 189/ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN

 Ví dụ 6: Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông diện tích 16a2 . Thể tích khối
trụ tương ứng là

A. V  16 a3 .
B. V  8 a3 .
C. V  12 a3 .
D. V  32 a3 .
 Ví dụ 7: Cho hình trụ có bán kính đáy là R , thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể
tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho theo R .
A. 4 R3 .
B. 2 2R3
C. 4 2 R3 .
D. 8 R3 .
 Ví dụ 8: Một hình trụ có bán kính đáy r  a , thiết diện qua trục là một hình chữ nh t có diện
tích bằng 2a2 . Một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng

a 2
cắt
2

hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?
B. S  2a2 2.

/>
A. S  a2 2.

C. S  2a2 .

D. S  a2 .

 Bài toán 4: Thể tích tứ diện có hai cạnh đối diện là hai đường kính của hai đường tròn đáy
Cho tứ diện ABCD có AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên hai
đáy của hình trụ. hi đó: VABCD 

1
AB.CD.OO.sin  AB, CD 
6

O

A

B

Đặc biệt nếu AB và CD vuông góc nhau thì:

VABCD 

C

1
AB.CD.OO
6

O'
D

 Ví dụ 9: Một hình trụ có chiều cao h  3 . Trên mỗi đường tròn đáy lấy các đường kính AB
và CD sao cho góc giữa AB và CD là 600 . Biết thể tích tứ diện ABCD bằng 3 3 . Thể tích khối
trụ là
A. V  6 .

B. V  6 3 .

C. V  9 3 .

D. V  9 .

 Bài toán 5: Góc và khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ, với A, B lần lượt là hai điểm
thuộc hai đường tròn đáy sao cho AB không song song với trục
ẻ AA // OO, A  O  .
O

 AB; OO  AAB
AB và trục OO : d  AB; OO   OH

 Góc giữa AB và trục OO :


hoảng cách giữa

 R  d  AB; OO  
2

A

O'

AB2
4

A'

H

B

 Ví dụ 10: Cho hình trụ có bán kính r  a . Trên mỗi đường tròn đáy  O  và  O  lần lượt lấy
các điểm A và B sao cho góc giữa AB và OO bằng 300 đồng thời OA  OB . Thể tích khối trụ
đã cho là
A. V  2 a3 3.

4

B. V  2 a3 2.

C. V   a3 6.

D. V  3 a3 .


Chuyên đề 6: Mặt cầu – Mặt trụ – Mặt nón
 Bài toán 6: Hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một
cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ
A

Nếu hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có
ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình
trụ thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình
trụ. Tức là, độ dài đường chéo hình vuông là:

B

O

I

AC  AB 2  h2  4R2

A'

D

O'

C

 Ví dụ 11: Một hình trụ có bán kính đáy R  70 cm , chiều cao hình trụ h  20 cm . Một hình
vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và
không vuông góc với trục hình trụ. hi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?
C. 100 2 cm.

D. 140 cm.

 Bài toán 7: Hình trụ nội tiếp, ngoại tiếp hình lăng trụ
Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ khi hai đa giác đáy của lăng trụ là
đa giác nội tiếp đường tròn đáy hình trụ, các cạnh bên là các đường
sinh của hình trụ.
 Bán kính đường tròn đáy của hình trụ:
R  bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy hình lăng trụ

A
R

h
A'

 Chiều cao của hình trụ: h  độ dài cạnh bên của hình lăng trụ
Hình trụ nội tiếp hình lăng trụ khi hai đường tròn đáy hình trụ là
đường tròn nội tiếp đa giác đáy của lăng trụ.
 Bán kính đường tròn đáy của hình trụ:
ộ ế đ á đá
ă
r  á í đườ
S
Nếu đá
ă
m á
ượ
r  v S, p
p
dệ

í

v

ử

uv ủ

m

á đá

ă

.

C

B

C'

B'

C

A
r

r r

h

B
C'

A'

B'
 Chiều cao của hình trụ: h  độ d
ê ủ

ă
 Ví dụ 12: Cho lăng trụ ABC.ABC có cạnh bên AA  3a , đáy là tam giác vuông tại A với
AB  3a, AC  4a. Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.ABC có thể tích bằng

75 a3
35 a 3
25 a 3
B.
C.
D. 125 a3 .
.
.
.
18
4
4
 Ví dụ 13: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 3a .
Hình trụ nội tiếp hình lăng trụ ABC.ABC có diện tích xung quanh bằng
A.

2 a2 3
.
.
.
A.  a 3.
B.
C.
D.
3
3

3
 Ví dụ 14: Cho hình hộp chữ nh t ABCD.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , mặt
chéo AACC cũng là hình vuông. Hình trụ nội tiếp hình hộp ABCD.ABCD có diện tích xung
quanh bằng
A.

2

 a2 3

 a2 3

 a2 2

2

.

B.

2

 a2 2

.

C.  a

2

2.

2 a 2
.
D.
3
5

/>
B. 100 cm.

A. 80 cm.


Cao Tuấn – 0975306275

Số 135A/ Ngõ 189/ Hoàng Hoa Thám, BĐ, HN

 Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy là hình thoi ABCD với
AB  AC  a . Hình trụ nội tiếp hình lăng trụ ABCD.ABCD có bán kính bằng
A.

a 3
.
2

B.

a 2
.

3

C.

a 3
.
4

D.

2a 3
.
3

 Bài toán 8: Một số bài toán khác
 Ví dụ 16: Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn  O; R  và  O; R  . Tồn tại dây
cung AB thuộc đường tròn  O  sao cho OAB là tam giác đều và mặt phẳng  OAB  hợp với
mặt phẳng chứa đường tròn  O  một góc 600 .

hi đó, diện tích xung quanh Sxq hình trụ và thể

tích V của khối trụ tương ứng là

/>
A. Sxq 
C. Sxq 

4 R2
2 R3 7
;V

.
7
7
3 R2

;V

2 R3 7
.
7

B. Sxq 

6 R2 7
3 R3 7
;V
.
7
7

D. Sxq 

3 R2 7
 R3 7
;V
.
7
7

7

 Ví dụ 17: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B
nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ
hai của hình trụ. Mặt phẳng  ABCD  tạo với đáy hình trụ góc 450 . Diện tích xung quanh S xq
hình trụ và thể tích V của khối trụ là
A. Sxq 

 a2 3
3

;V

3 2a3
.
8

B. Sxq 

 a2 2
3

;V

3 2a3
.
32

 a2 3
3 2a3
3 3a
D. Sxq 

;V
.
.
2
16
4
16
 Ví dụ 18 [THPT Thanh Bình 1 – Đồng Tháp – 2017]: Một công ty dự kiến chi 1 tỷ đồng để sản
xuất các thùng đựng sơn hình trụ có dung tích 5 lít. Biết rằng chi phí để làm mặt xung quanh
của thùng đó là 100 000 đ / m2 . Chi phí để làm mặt đáy là 120 000 đ / m2 . Hãy tính số thùng sơn
C. Sxq 

a

2

3

;V

3

tối đa mà công ty đó sản xuất được (Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể)
A. 58 135 thùng.
B. 12 525 thùng.
C. 18 209 thùng.
D. 57 582 thùng.

6