18 Bài tập Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Dạng 3)

18 bài tập - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Dạng 3) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, hình
chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm của tam giác MBC, cạnh bên SC =
khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB ) .
A. d =

a 6
12

B. d =

a 6
6

C. d =

a 6
4

D. d =

2a
. Tính
3

a 6
8

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có BAC = 90°, BC = 2a, ACB = 30° . Mặt phẳng ( SAB ) vuông góc với mặt
phẳng ( ABC ) . Biết tam giác SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S. Tính khoảng cách từ trung điểm
của AB đến mặt phẳng ( SBC ) .
A.

a 21
2

B.

a 21
7

C.

a 21
14

D.

a 21

21

Câu 3. Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình vuông, tam giác A ' AC là tam giác vuông
cân, A ' C = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ') là:
A.

a 6
3

B.

a 6

2

C.

a
6

D.

a 6
4

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của SB. Tỷ số

( SCD )
A.

bằng

SA
khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
a

a
là:
5
B. 2

2

C.

3
2

D. 1

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) và SA = 4cm, AB = 3cm, AC = 4cm và BC = 5cm . Khoảng
cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) bằng (đơn vị cm):
A. d ( A; ( SBC ) ) =

2
17

B. d ( A; ( SBC ) ) =

72

17

C. d ( A; ( SBC ) ) =

6 34
17

D. d ( A; ( SBC ) ) =

3
17

Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 4cm. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt
đáy là trung điểm H của AB. Biết rằng SH = 2 cm. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBD ) là:
A. 1 cm

B. 2 cm

C. 3 cm

D. 4 cm

Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là

điểm H thuộc cạnh AC sao cho HC = 2 HA . Gọi M là trung điểm của SC và N là điểm thuộc cạnh SB sao
cho SB = 3SN . Khẳng định nào sau đây là sai:
A. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ABC ) bằng

4
lần khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( ABC )
3

B. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SAB ) bằng một nửa khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB )
C. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng ( SAC ) bằng

1

khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SAC )
3

D. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SAB ) bằng

3
khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SAB )
2

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Tam giác SAD cân tại S và thuộc mặt
uuur uuuu
r r

phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là điểm thỏa mãn SM + 2CM = 0 . Tỷ số khoảng cách D đến mặt phẳng

( SAB )
A.

và từ M đến mặt phẳng ( SAB ) là:

2
3

B.

3
2

C.

1
2

D. 2

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc
với đáy, biết tam giác ABC đều cạnh 20cm và mặt phẳng ( SCD ) tạo với đáy một góc 60°. Khoảng cách từ

A đến ( SCD ) là:
A. 20 cm

B. 10 cm

C. 15 cm

D. 30 cm

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng
đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SCD ) và mặt phẳng đáy bằng 45°. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính
khoảng cách d từ điểm O đến mặt phẳng ( SBC ) .

A. d =

a 2
2

B. d =

a
2

C. d =

a 2
4

D. d =

3a
2

Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy là tam giác đều cạnh a. Biết SB = a 5 , khoảng cách
từ trung điểm của SA đến mặt phẳng ( SBC ) là:

A.

2a 57
19

B.

a 3
4

C.

a 57
19

D.

a 57
19

Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
mặt đáy là trung điểm H của cạnh AB. Biết tam giác SAB đều, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
( SBC ) là:
A.

a 15
5

B.

a 15
10

C.

a 10

2

D.

2a 15
15

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
mặt đáy trùng với trung điểm H của cạnh AD. Biết rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC )
bằng
A.

2a 21
. Độ dài cạnh SA là:
7
2a
3

B. 2a

C. 2a 2

D. 3a

Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a; BC = 2a . Hình chiếu vuông góc
của đỉnh S xuống mặt đáy trùng với trung điểm của AC. Biết SB =
phẳng ( SAB ) là:
A.

2a
5

B. a 2

C.

a 2
2

3a
, khoảng cách từ điểm C đến mặt
2

D. 2a 2

Câu 15. Cho lăng trụ ABC . A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB = AC = 3a . Hình chiếu
vuông góc của B ' lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC = 2 HB . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng
2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( B ' AC ) bằng.

A.

2a
3

B. a 3

C.

3a 3
2

D.

a
2

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, CD. Biết SH ⊥ ( ABCD ) , khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SHM ) bằng
từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) khi ∆SAB là tam giác đều.
A. d =

a 21
21

B. d =

a 21
14

C. d =

a 21
7

a

. Tính khoảng cách
2

D. d =

a 21
3


Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = 2 AB . Tam giác SAB cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu của S trên ( ABCD ) . Biết diện tích tam giác
SAB bằng 1cm 2 và d ( B; ( SAD ) ) = 2cm . Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

A. 32

B. 16

C. 8

D. 72

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh SA vuông góc với đáy, góc giữa
đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60°. Gọi H nằm trên đoạn AD sao cho HD = 2 HA . Khi SA = 3 3
, tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng ( SBD ) .
A. d =

9 21
14

B. d =

21
7

C. d =

2 21

7

D. d =

3 21
7


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án C
Gọi I là trung điểm của MB.
Gọi G là trọng tâm của tam giác MBC suy ra SG ⊥ ( ABC ) .

Từ G kẻ GH ⊥ AB , kẻ GK ⊥ SH với H ∈ AB, K ∈ SH .
Nên GK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( G; ( SAB ) ) = GK .
Ta có IC = MC 2 + MI 2 =
⇒ SG = SC 2 − GC 2 =

a 13
2
a 13
, GC = IC =
4
3
6

a 3
1
a 3
, GH = MC =
6
3
6

Do đó ∆SGH vuông cân tại G nên GK =
Mà d ( C ; ( SAB ) ) = 3d ( G; ( SAB ) ) =

1
1 a 6 a 6
SH = .
=
2
2 6
12

3a 6 a 6
=
12
4

Câu 2. Chọn đáp án B
Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABC ) .
Xét tam giác ABC vuông tại A, có AB = a, AC = a 3 .
Đặt SH = x nên SB = x 2 +

a2
13a 2
2
2
2
, SC = SH + HC = x +

4
4

Mà SB 2 + SC 2 = BC 2 ⇔ x 2 =

a2
a
a
⇔ x = ⇒ SH =
4
2
2

Kẻ HK ⊥ BC , HI ⊥ SK với K ∈ BC , I ∈ SK nên HI ⊥ ( SBC ) .
µ = a 3 ⇒ 1 = 1 + 1 = 28
Mặt khác HK = HB.sin B
4
HI 2 HK 2 SH 2 3a 2
⇔ HI =

a 21
a 21
⇒ d ( H ; ( SBC ) ) =
14

14


Mà d ( A; ( SBC ) ) = 2d ( H , ( SBC ) ) = 2 HI =

a 21
7


Câu 3. Chọn đáp án C
+) d ( A, ( BCD ') ) = d ( D, ( BCD ' ) )
Hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' ⇒ D ' D ⊥ ( BCD ) .

Kẻ AP ⊥ CD ' ( P ∈ CD ') ⇒ d ( D, ( BCD ' ) ) = DP
⇒ d ( D, ( BCD ') ) = DP ⇒ d ( A, ( BCD ' ) ) = DP
+) Hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' ⇒ A ' A ⊥ AC
⇒ ∆A ' AC vuông cân thì chỉ có thể vuông cân tại A

a

D
'
D
=
A

'
A
=

A 'C
a
2
⇒ A ' A = AC =
=
⇒
2
2

 DC = AC = a

2 2
+)

1
1
1
2
4
a
a

=
+
= 2 + 2 ⇒ DP =
⇒ d ( A, ( BCD ') ) =
2
2
2
DP
D'D
DC
a
a

6
6

Câu 4. Chọn đáp án B
+) d ( M , ( SCD ) ) =

1
1
d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) )
2
2

+) Kẻ AP ⊥ SD ( P ∈ SD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AP
⇒

1
a
2a
AP = d ( M , ( SCD ) ) =
⇒ AP =
2
5
5

+)

1
1
1
5
1
1
SA
=
−
= 2− 2 = 2⇒

=2
2
2
2
AS
AP
AD
4a
a
4a
a

Câu 5. Chọn đáp án C
+) Ta có AB 2 + AC 2 = 32 + 42 = 25 = BC 2
⇒ ∆ABC vuông tại A.
+) Kẻ AK ⊥ BC ( K ∈ BC ) , AP ⊥ SK ( P ∈ SK )
⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AP


+)
=

1
1

1
1
1
1
=
+
=
+
+
AP 2 AS 2 AK 2 AS 2 AB 2 AC 2
1 1 1 17
6 34

+ 2+ 2 =
⇒ AP =
2
4 3 4
72
17

⇒ d ( A, ( SBC ) ) =

6 34
17

Câu 6. Chọn đáp án B
+) d ( A, ( SBD ) ) = 2d ( H , ( SBD ) )
+) Kẻ HK ⊥ BD ( K ∈ BD ) , HP ⊥ SK ( P ∈ SK )
⇒ d ( H , ( SBD ) ) = HP ⇒ d ( A, ( SBD ) ) = 2 HP
+) ∆HBK vuông cân tại K ⇒ HK =
+)

BH
= 2.
2

1
1
1
1 1
=
+
=
+ ⇒ HP = 1
HP 2 HS 2 HK 2 2 2

⇒ d ( A, ( SBD ) ) = 2
Câu 7. Chọn đáp án A

+)

⇒

+)

+)

d ( M , ( ABC ) )
d ( S , ( ABC ) )

d ( M , ( ABC ) )

d ( N , ( ABC ) )

d ( M , ( SAB ) )
d ( C , ( SAB ) )

d ( N , ( SAC ) )
d ( B, ( SAC ) )

=

MC 1 d ( N , ( ABC ) ) NB 2
= ;

=
=
SC 2 d ( S , ( ABC ) )
SB 3

=

1 2 3
: = ⇒ A sai.
2 3 4

=

MS 1
= ⇒ B đúng.
CS 2

=

NS 1
= ⇒ C đúng.
BS 3

1


d
M
,
SAB
=
d ( C , ( SAB ) )
(
)
(
)


2

⇒ D đúng.
+)  d C , SAB
) ) CA
 ( (
=
=3
 d ( H , ( SAB ) ) HA
Câu 8. Chọn đáp án B
uuur uuuu
r r

+) Từ SM + 2CM = 0 ⇒ M thuộc đoạn thẳng SC và
SM = 2MC .
+)

d ( M , ( SAB ) )
d ( C , ( SAB ) )

=

MS 2
=
CS 3

⇒ d ( M , ( SAB ) ) =
⇒

d ( D, ( SAB ) )

d ( M , ( SAB ) )

=

2

2
d ( C , ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) )
3
3
3
2


Câu 9. Chọn đáp án C
Kẻ HK ⊥ CD ( K ∈ CD ) , HP ⊥ SK ( P ∈ SK )
d ( A, ( SCD ) ) = d ( H , ( SCD ) ) = HP


⇒
·
·
= 60°
( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SKH
⇒ d ( A, ( SCD ) ) = HP = HK sin 60° =

3
HK
2

1


 S ABCD = 2S ABC = 2. 2 .20.20sin 60° = 200 3

1
1
S
HK . ( AB + CD ) = HK . ( 20 + 20 )
ABCD =

2
2
⇒ 20 HK = 200 3 ⇒ HK = 10 3 ⇒ d ( A, ( SCD ) ) =

3
.10 3 = 15cm .
2

Câu 10. Chọn đáp án C
+)

d ( O, ( SBC ) )
d ( A, ( SBC ) )

=

OC 1
1
= ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )
AC 2
2

Kẻ AP ⊥ SB ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AP ⇒ d ( O, ( SBC ) ) =

AP
2

·
·
+) (·
⇒ SDA
= 45° ⇒ AD = SA = a
( SCD ) , ( ABCD ) ) = SDA
1
1
1
1
1
2

= 2+
= 2+ 2 = 2
2
2
AP
SA
AB
a
a
a
a 2
a 2

⇒ AP =
⇒ d ( O, ( SBC ) ) =
2
4
⇒

Câu 11. Chọn đáp án C
Dựng AM ⊥ BC ⇒ AM = AC sin C = a sin 60° =
 BC ⊥ SA
⇒ BC ⊥ AN
Dựng AN ⊥ SM . Do 
 BC ⊥ AM

Lại có AN ⊥ SM ⇒ AN ⊥ ( SBC )

a 3
2


Mặt khác SA = SB 2 − AB 2 = 2a,
⇒ AN =

1
1
1

=
+
AN 2 SA2 AM 2

2a 57
= d ( A, ( SBC ) )
19

Gọi K là trung điểm của SA ta có
⇒ d ( K , ( SBC ) ) =

d ( K , ( SBC ) )

d ( A, ( SBC ) )

=

KS 1
=
AS 2

1
a 57
AN =
2

19

Câu 12. Chọn đáp án A
Ta có: SH =

a 3
(do tam giác SAB đều)
2

Dựng
HE ⊥ BC ; HF ⊥ SE ⇒ HF ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( H , ( SBC ) ) = HF
Mặt khác HE = HB sin 60° =

Lại có

a 3
4

1
1
1
a 15
=
+
⇒ HF =

2
2
2
HF
HE
SH
10

Do AN = 2 HB ⇒ d A = 2d H =

a 15
5

Câu 13. Chọn đáp án B
Dựng HE ⊥ BC . Lại có SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SHE )
Dựng HF ⊥ SE . Khi đó HF ⊥ ( SBC )
Do AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC )
⇒ d ( A; ( SBC ) ) = d ( H , ( SBC ) ) = HF =
Lại có

1
1
1
=

+
⇒ SH = a 3
2
2
HF
HE
SH 2

Khi đó SA = SH 2 + AH 2 = 2a

2a 21
7

Câu 14. Chọn đáp án B
Ta có: BH =

AC
=
2

AB 2 + BC 2 a 5
=
2

2

Do đó SH = SB 2 − BH 2 = a
Dựng HE ⊥ AB; HF ⊥ SE khi đó HF ⊥ ( SAB )
Do vậy d ( H , ( SCD ) ) = HF . Lại có HE =
Mặt khác

BC
=a
2

1

1
1
a 2
=
+
⇒ HF =
2
2
2
HF
HE
SH

2

Lại có CA = 2 HA ⇒ d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( H , ( SAB ) ) = a 2
Câu 15. Chọn đáp án B
Ta có: BC = 3a 2 ⇒ HB = a 2
Lại có B ' H = BB '2 − HB 2 = a 2
Dựng HE ⊥ AC ; HF ⊥ B ' E ⇒ HF ⊥ ( B ' AC )
Ta có

HE CH 2
=
= ⇒ HE = 2a

AB BC 3

⇒ HF =

Mặt khác

HE.B ' H
HE + B ' H
2

2

=

d ( B, ( B ' AC ) )

d ( H , ( B ' AC ) )

2a
3

=

BC 3

=
HC 2

3
Do đó d = .HF = a 3 .
2
Câu 16. Chọn đáp án C
Ta có
SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ BH ⇒ BH ⊥ HM ⇒ BH ⊥ ( SHM ) .


Nên d ( B, ( SHM ) ) = BH =

 AB = a
a
3 AB a 3
⇒
⇒ SH =
=
2
2
2
 HM = a

Note. Vì ∆SAB là tam giác đều nên SH =

3 AB
2

Từ H kẻ HK ⊥ SM , K ∈ SM nên HK ⊥ ( SCD ) .
Khi đó d ( H , ( SCD ) ) = HK . Xét tam giác SHM vuông tại H.
Có

1
1
1

a 21
a 21
=
+
⇒ HK =
⇒ d ( H , ( SCD ) ) =
2
2
2
HK
SH
HM

7
7

Mà AB / / ( SCD ) ⇒ d ( H , ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) =

a 21
7

Câu 17. Chọn đáp án A
Đặt AB = x ⇒ AH =

x

và AD = 2 x ⇒ S ABCD = 2 x 2
2

Có
1
2
SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AB ⇒ S ∆SAB = .SH .x = 1 ⇔ SH = .
2
x
Từ H kẻ HK vuông góc với SA, K ∈ SA . Mà AD ⊥ ( SAB )
 HK ⊥ AD
⇒

⇒ HK ⊥ ( SAD ) ⇒ d ( H , ( SAD ) ) = HK
HK
⊥
SA

Mặt khác d ( B, ( SAD ) ) = 2d ( H , ( SAD ) ) ⇒ d ( H , ( SAD ) ) =
Xét tam giác SHA vuông tại H, đường cao HK, HK =
Có

2
.
2

1
1
1
x2 4
=
+
⇔
2
=
+
⇔ x = 2.

HK 2 SH 2 AH 2
4 x2

Vậy S ABCD = 2 x 2 = 2.42 = 32 .
Câu 18. Chọn đáp án C
Ta có AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng ( ABCD ) .

2
2


·

⇒ (·SB, ( ABCD ) ) = (·SB, AB ) = SBA
= 60° ⇒ AB =

SA
=3
tan 60°

Gọi h là khoảng cách từ điểm A đến ( SBD ) .
Lại có ba cạnh SA, AB, AD đôi một vuông góc với nhau.
1
1
1

1
1
Nên h 2 = SA2 + AB 2 + AD 2 =
3 3

(

Mà d ( H , ( SBD ) ) =

)

2

+

2
3 21
⇒h=
2
3
7

2
2 21

d ( A, ( SBD ) ) =
3
7