20 Bài tập Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Dạng 1)

20 bài tập - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Dạng 1) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC = 60° . Mặt phẳng ( SAB ) và

( SAD )

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Trên cạnh SC lấy điểm M sao cho MC = 2 MS . Khoảng cách

từ điểm M đến mặt phẳng ( SAB ) bằng:
a
3

A.

B.

a 3
6

C.

a 2
3

D.

a 3
3

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với BC = a 2, ABC = 60° . Tam giác SAB nằm
trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SAB ) bằng:
a 6

2

A.

B.

a 2
2

C. a 2

D.

2a 6
3

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC = 60° . Cạnh SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Trên cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho MB = MC và NC = 2 ND .
Gọi P là giao điểm của AC và MN. Khoảng cách từ điểm P đến mặt phẳng ( SAB ) bằng:
a 3
8

A.

B.

5a 3
12

C.

5a 3
14

D.

3a 3
10

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giac vuông tại B, AB = a , BC = a 3 . Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AC. Biết SB = a 2 . Tính theo a khoảng cách từ điểm H
đến mặt phẳng ( SAB ) .
a 21
3

A.

B.

a 21
7

C.

3a 21
7

D.

7 a 21

3

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, diện tích tứ giác ABCD bằng 6a 2 6 . Cạnh
110
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 30°.
3
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SAC ) gần nhất với giá trị nào sau đây:
SA = a

A.

13a
10

B.

7a
5

C.

3a
2

D.

8a
5

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2 AB = 2 BC ,

CD = 2a 2 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm M của cạnh CD. Khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng ( SAM ) bằng:


A.

3a 10
10

B.

3a 10
5

C.

3a 10
2

D.

a 10
3

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2 AB = 2 BC ,
CD = 2a 2 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm M của cạnh CD. Khoảng cách từ
trọng tâm G của tam giác SAD đến mặt phẳng ( SBM ) bằng
A.

4a 10

15

B.

3a 10
5

C.

a 10
5

D.

3a 10
15

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2a 2 , AB = a 2 ,
BC = 2a . Gọi M là trung điểm của CD. Hai mặt phẳng ( SBD ) và ( SAM ) cùng vuông góc với đáy.
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SAM ) bằng
A.

4a 10
15

B.

3a 10
5

C.

2a 10
5

D.

3a 10
5

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy trùng
với trọng tâm G của tam giác ABD. Biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SDG ) bằng 5 và SG = 1 .
Thể tích khối chóp đã cho là
A.

25
12

B.

4
3

C. 4

D.

12
25

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AC.
Hình chiếu của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn BM sao cho HM = 2 HB . Khoảng cách từ điểm A
đến mặt phẳng ( SHC ) bằng
A.

2a 7
14

B.

a 7
14

C.

3a 7
14

D.

2a 7
7

Câu 11. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác cân có AC = BC = 3a . Đường thẳng
A ' C tạo với đáy một góc 60°. Trên cạnh A ' C lấy điểm M sao cho A ' M = 2 MC . Biết rằng A ' B = a 31 .
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ABB ' A ') là:
A.

3a 2
4

B.

4a 2
3

C. 3a 2

D. 2a 2

Câu 12. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = a . Hình chiếu vuông góc của
đỉnh S lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD. Biết SC = 2a 2 và tạo với đáy một góc 45°.
Khoảng cách từ trung điểm của SD đến mặt phẳng ( SAC ) là:


A.

a 2
3

B.

a 3
3

C.

2a
3

D.

4 2a
3

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AD = a 3 . Tam giác SAB là tam giác
đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AD, H là trung điểm của AB. Biết
rằng SD = 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SHM ) là:
A.

a 2
4

B.

a 3
4

C.

a 2
2

D.

a 3
2

Câu 14. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A có AC = a . Tam giác SAB vuông tại S và
hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB = 2 HA . Biết

SH = 2a 2 , khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SHC ) là:
A.

2a
5

B.

a
5

C.

4a
5

D.

3a
5

Câu 15. Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình chữ nhật với AD = a 3 . Tam giác A ' AC
vuông tại A ' và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng A ' A = a 2 . Khoảng cách từ D ' đến mặt
phẳng ( A ' ACC ') là:
A.

a 3
4

B.

a 2
2

C.

a 2
4

D.

a 3
2

Câu 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a , BC = a 3 . Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AC. Biết SB = a 2 . Tính theo a khoảng cách từ
điểm H đến mặt phẳng ( SBC ) .
A.

a 3
5

B.

2a 3
5

C.

a 5

5

D.

2a 5
5

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, cạnh AB = 2a, BC = 2a 2 , OD = a 3 .
Tam giác SAB nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính
khoảng cách d từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) .
A. d = a

B. d = a 2

C. d = a 3

D. d = 2a

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AD = k . AB . Hình chiếu vuông góc
uuur
uuur
của đỉnh S xuống mặt đáy là H thỏa mãn HB = −2 HA . Tỷ số khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SDH ) và
khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SHC ) là:


A.

4 + 9k 2
1 + 9k 2

B.

1 4 + 9k 2
.
2 1 + 9k 2

C.

1
2

D.

1
2k

Câu 19. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, điểm E thuộc BC sao
cho BC = 3EC . Biết hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt đáy trùng với trung điểm H của AB. Cạnh bên
AA ' = 2a và tạo với đáy một góc 60°. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( A ' HE ) là
A.

a 39
3

B.

3a
5

C.

3a
4

D.

4a
5

Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O. Tam giác SAC đều và thuộc mặt phẳng
vuông góc với đáy. Biết rằng SA = 2 AB = 2a , khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SAC ) là:
A.

a 5
2

B.

a 3
2

C.

a 2
2

D.

a
2

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án B

( SAB ) ⊥ ( ABC )
⇒ SA ⊥ ( ABCD ) .
Ta có: 
SAD
⊥
ABC
(
)
(
)

Dựng CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ ( SAB )
Do

d ( C , ( SAB ) )

d ( M , ( SAB ) )

=

⇒ d ( M , ( SAB ) ) =
Câu 2. Chọn đáp án A

CS 3
=

MS 2

2
2
2 a 3 a 3
d ( C , ( SAB ) ) = CH = .
=
3
3
3 2
6


Dựng SH ⊥ AB ,
do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD )
Dựng CK ⊥ AB , có CK ⊥ SH ⇒ CK ⊥ ( SAB )
Do CD / / AB ⇒ d ( D, ( SAB ) ) = d ( C , ( SAB ) ) = CK
= BC sin 60° = a 2.

3 a 6
=
2
2

Câu 3. Chọn đáp án C

Dựng CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ ( SAB )
Giả sử MN cắt AD tại F. Theo định lý Talet ta có:

DF ND 1
MC a
=
= ⇒ DF =
= .
MC NC 2
2
4
Khi đó

PA AF 5
CA 7
=
= ⇒
=
PC MC 2
PA 5

Do đó d ( P, ( SAB ) ) =

5
5
d ( C , ( sAB ) ) = CH
7
7

5 a 3 5a 3
= .
=
7 2

14
Câu 4. Chọn đáp án B

AC = AB 2 + BC 2 = 2a → BH =

AC
=a
2

Do vậy SH = SB 2 − BH 2 = a . Dựng HE ⊥ AB; HF ⊥ SE
Ta có: HE =

BC a 3
=
⇒ d ( H , ( SAB ) ) =
2
2

Câu 5. Chọn đáp án B

SH .HE
SH + HE
2

2

=

a 21
7

Dựng BH ⊥ AC , lại có BH ⊥ SA ⇒ BH ⊥ ( SAC )
·
Có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ (·SC , ( ABCD ) ) = SCA
Ta có: AC tan 30° = SA = a

110
⇒ AC = a 110
3

2 S ABC 6a 2 6
7
=
≈ 1, 4a = a
Do vậy BH =
AC
5
110
Câu 6. Chọn đáp án B

Gọi E là trung điểm của AD ta có CE = AB = ED . Có CD = 2a 2 ⇒ CE = ED = 2a
Do vậy AD = 4a; BD = 2a . Gọi N là trung điểm của AB suy ra MN = 3a, S MAB =

1
NM . AB = 3a 2
2


MA = AN 2 + NM 2 = a 10 . Dựng BK ⊥ AM ⇒ d ( B, ( SAM ) ) = BK =

2 S ABM 3a 10
=
AM
5

Câu 7. Chọn đáp án A

Gọi E là trung điểm của AD ta có CE = AB = ED . Có CD = 2a 2 ⇒ CE = ED = 2a
Do vậy AD = 4a; BD = 2a . Gọi N là trung điểm của AB suy ra MN = 3a, S MAB =

1
NM . AB = 3a 2
2

MA = AN 2 + NM 2 = a 10 = MB . Gọi L là trung điểm của DE ta có LA = 3a và L là trung điểm của
AP.
Khi đó LP = 3a ⇒ EP = 4a; PA = 6a.
Do đó d ( G, ( SBM ) ) =
Câu 8. Chọn đáp án C

d ( A, ( SBM ) )

d ( E , ( SBM ) )

=

6 3
3
= , d ( E , ( SBM ) ) = d ( G , ( SMB ) )

4 2
2

4
4
4 3a 10 4a 10
d ( A, ( SMB ) ) = AF = .
=
9
9
9
5
15


Gọi H = AM ∩ BD .
( SBD ) ⊥ ( ABC )
⇒ SH ⊥ ( ABC )
Ta có: 
( SAM ) ⊥ ( ABC )
Lại có
S ADM

HB
AB
1
=
= 2 ⇒ d ( D, ( SAM ) ) = d ( B, ( SAM ) )
HD DM
2

1
1
a2
= S ADC = S ABCD =
.
2
4
2

Ta có: S ADM =

1
2
µ = 45°
AD.DM sin D ⇒ sin D =
⇒D
2
2

Do vậy AM = AD 2 + DM 2 − 2 AD.DM cos 45° =
Do vậy DK =

2 S ADM
2a
a 10
=
=
.
AM

5
10

Câu 9. Chọn đáp án A

10
a
2


Ta có: CG = 2 AG ⇒ d ( C , ( SDG ) ) = 2d ( A, ( SDG ) )
Suy ra d ( A, ( SDG ) ) =

5
. Dựng AH ⊥ DG
2

Mặt khác AH ⊥ SG ⇒ AH ⊥ ( SDG ) ⇒ AH =
Đặt AB = x ⇒ AH =

AD. AM
AD 2 + AM 2

1
25
Vậy VS . ABCD = SG.S ABCD =
3
12
Câu 10. Chọn đáp án D

=

5
.
2

x
5
5
=
⇒x=
2
2
5


d ( A, ( SCH ) ) = 2d ( M , ( SHC ) ) . Dựng MK ⊥ CH
Khi đó d ( A, ( SCH ) ) = 2MK
Mặt khác BM =
Suy ra MK =

a 3
2
a 3
a
⇒ MH = BM =
; MC =
2
3
3

2
MH .MC

MH 2 + MC 2

=

a
2a 7
do đó d = 2MK =
7
7

Câu 11. Chọn đáp án B

Ta có: A ' A = AC tan 60° = 3a 3
Suy ra AB = A ' B 2 − AA '2 = 2a
Do vậy CH = AC 2 − AH 2 = 2a 2
d ( M , ( ABB ' A ') ) =

2
2
4a 2
d ( C , ( ABB ' A ' ) ) = CH =
3
3
3

Câu 12. Chọn đáp án A

Ta có SC = 2a 2 ⇒ GC = 2a ⇒ AC = 3a
Khi đó CD = 2a 2 suy ra DH =
Do vậy d ( M , ( SAC ) ) =

2a 2
3

1
a 2
DH =
2
3

Câu 13. Chọn đáp án B

Ta có: SA = SD 2 − AD 2 = a = AB .
Khi đó AK =

AH . AM
AH + AM
2

Câu 14. Chọn đáp án C

2

=

a 3

4


Ta có: SH 2 = HA.HB = 2 HA2
Suy ra 8a 2 = 2 HA2 ⇒ HA = 2a
Do vậy AM =

2a
4a
⇒ dC = 2 AM =
5
5

Câu 15. Chọn đáp án D

Ta có AC = A ' A 2 = 2a ⇒ CD = a ⇒ d ( D, ( A ' AC ) ) = DH =
Câu 16. Chọn đáp án C

a 3
(Do DD '/ / AA ' )
2


+) Kẻ HK ⊥ BC , HP ⊥ SK ⇒ d ( H , ( SBC ) ) = HP .
 HK ⊥ BC
HK CH 1
AB a
⇒ HK / / AB ⇒
=
= ⇒ HK =

= .
Từ 
AB CA 2
2
2
 AB ⊥ BC
+) ∆ABC vuông tại B có H là trung điểm của cạnh AC
⇒ HB =
⇒

1
1
1 2
AC =
AB 2 + BC 2 =
a + 3a 2 = a ⇒ HS = SB 2 − HB 2 = 2a 2 − a 2 = a
2
2
2

1
1
1
1
4
a 5
a 5
=
+
= 2 + 2 ⇒ HP =

⇒ d ( H , ( SBC ) ) =
2
2
2
HP
HS
HK
a
a
5
5

Câu 17. Chọn đáp án B

+) Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , kẻ OP ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( O, ( SAB ) ) = OP .


 AB = 2a

2
2
2
2
2
2
2
+) Từ  BC = 2a 2 ⇒ AB + AD = 4a + 8a = 12a = ( 2OD ) = BD

OD = a 3
OP ⊥ AB

⇒ OP / / AD .
⇒ ∆BAD vuông tại A, trên ( ABCD ) , ta có 
 AD ⊥ AB
Mà O là trung điểm của BD ⇒ OP =

1
1
AD = .2a 2 = a 2 ⇒ d ( O, ( SAB ) ) = a 2
2
2

Câu 18. Chọn đáp án B

Không mất tính tổng quát. Đặt AB = 3 ⇒ AD = 3k
Dựng AE ⊥ DH , lại có AE ⊥ SH ⇒ AE ⊥ ( SDH )
Do đó d ( A, ( SDH ) ) = AE =

AH . AD
AH 2 + AD 2

= d1

Tương tự dựng BF ⊥ HC ta có:
d ( B, ( SHC ) ) = BF =
Do vậy

BH .BC
BH 2 + BC 2

= d2

d1 AH BH 2 + BC 2 1 4 + 9k 2
=
.
=
d 2 BH AH 2 + AD 2 2 1 + 9k 2

Câu 19. Chọn đáp án D


Ta có AA ' tạo với đáy một góc 60° nên ·A ' AH = 60° .
Khi đó AH = A ' A.cos 60° = a ⇒ AB = BC = 2a .
Do vậy BH = a; BE =

4a
3

Dựng BK ⊥ HE , lại có BK ⊥ A ' H ⇒ BK ⊥ ( A ' HE )
Do đó d ( B, ( A ' HE ) ) = BK =

BH .BE
BH 2 + BE 2

=

4a
5

Câu 20. Chọn đáp án B

Ta có: SO ⊥ AC , mặt khác ( SAC ) ⊥ ( ABCD )
Suy ra SO ⊥ ( ABCD ) . Lại có SA = AC = SC = 2a


Do đó AD = AC 2 − CD 2 = a 3
Dựng DH ⊥ AC , lại có DH ⊥ SO ⇒ DH ⊥ ( SAC )
Do vậy d ( D, ( SAC ) ) = DH =

AD.CD a 3
=
AC
2