Đáp án Phương pháp giải và những lưu ý cần biết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ NHỮNG LƯU Ý CẦN BIẾT
VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

ĐÁP ÁN
1B

2C

3D

4A

5C

6D

7A

8B

9C

10C

11B

12D

13A

14B

15D

16A

17

18A

19C

20C

21B

22A

23D

24C

25A

26B

27D

28D

29B

30C

31C

32C

33B

34C

35C

36B

37A

38B

39B

40D

41A

42D

43A

44C

45A

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2  1 trên  3; 2 .
A. min y  8 .
3;2

B. min y  1 .
3;2

C. min y  3 .

D. min y  3 .

3;2

3;2

Giải

 y (3)  8

Cách 1: Ta có y '  2 x ; y '  0  x  0 . Khi đó:  y (0)  1  min y  1  Đáp án B.
 3;2
 y (2)  3

Cách 2: Ta có y  x2  1  1, x 

. Dấu “=” xảy ra khi x  0   3; 2  min y  1  Đáp án B.
3;2

Câu 2. Giá trị lớn nhất của hàm số y  x3  3x 2 trên đoạn  1;1 là
A. 4 .

B. 2 .

C. 0.

D. 1.

Giải

 y (1)  4
 x  0   1;1

Ta có: y '  3x  6 x ; y '  0  3x  6 x  0  
, khi đó  y (0)  0  max y  0
x 1;1
 x  2   1;1
 y (1)  2


2

2

 Đáp án C.
Chú ý:
Bài toán này có thể sử dụng cách thay ngược đáp số hoặc dùng Casio với công cụ Mod 7 (TABLE).
(Tham khảo ở Ví dụ 2 trong bài giảng).
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 1-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 3. Giá trị lớn nhất của hàm số y  2 x3  3x 2  12 x  1 trên đoạn  1; 2 là
A. 6 .

B. 21 .

C. 5 .

D. 14 .

Giải

 y (1)  14

x

1


1;
2



, khi đó  y (1)  6  max y  14
y '  6 x2  6 x  12 ; y '  0  x 2  x  2  0  
x 1;2
 x  2   1; 2
 y (2)  5


 Đáp án D.
Chú ý:
Bài toán này có thể sử dụng cách thay ngược đáp số hoặc dùng Casio với công cụ Mod 7 (TABLE).
(Tham khảo ở Ví dụ 2 trong bài giảng).
Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x4  8x 2  1 trên đoạn 1;3 là
A. 15 .

B. 6 .

C. 23 .

D. 10 .

Giải

 x  0  1;3

Ta có: y '  4 x3  16 x  4 x( x 2  4); y '  0   x  2  1;3 , khi đó

 x  2  1;3

 y (1)  6
 y (0)  1

 min y  15

y
(2)


15
x1;3

 y (3)  10

 Đáp án A.
Chú ý: Bài toán này có thể sử dụng cách thay ngược đáp số hoặc dùng Casio với công cụ Mod 7
(TABLE).(Tham khảo ở Ví dụ 2 trong bài giảng).

3x  1
. Ta có các mệnh đề sau:
x2
I. Hàm số nghịch biến với x  2 .
II. Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

Câu 5. Cho hàm số y 

IV. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x  0 trên đoạn  0;3 .

III. Hàm số không có cực trị.
Có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Giải
Ta có y ' 

7
 0, x  2  hàm số nghịch biến trên các khoảng (; 2) và (2; ) và không
( x  2)2

có cực trị. Suy ra kết luận I. và II. sai (vì kí hiệu x  2 không phải là một tập hợp và II. muốn
đúng chỉ cần chỉnh lại thành “Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó”).
Do hàm số không liên tục (gián đoạn) tại x  2  0;3 nên ở bài toán này hàm số không tồn tại

min, max ( vì lim y   và lim y   )  IV. sai.
x2

x2

Chỉ có 1 mệnh đề III đúng hay có 3 mệnh đề sai  đáp án C.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 2-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 6 (THPTQG – 102 – 2017 ). Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y  x 4  2 x 2  3 trên 0; 3  .
A. M  9 .

B. M  8 3 .

D. M  6 .

C. M  1 .

Giải

 x  0  0; 3 



Ta có: y '  4 x3  4 x  4 x( x 2 1); y '  0   x  1 0; 3  , khi đó


 x  1 0; 3 


y (0)  3


 y (1)  2  M  max y  6
x0; 3 



y
3

6



 

 Đáp án D.
Chú ý: Bài toán này có thể sử dụng cách thay ngược đáp số hoặc dùng Casio với công cụ Mod 7 –
TABLE. (Tham khảo ở Ví dụ 2 trong bài giảng).

Câu 7 (THPTQG – 103 – 2017 ).Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  x 4  x 2  13 trên đoạn  2;3 .
A. m 

51
.
4

B. m 

49
.
4

C. m  13 .

D. m 

51
.
2

Giải
 y (2)  25

 x  0   2;3
 y  0   13
51

Có: y '  4 x3  2 x  2 x(2 x 2 1); y '  0  
, khi đó   1  51  m  min y 

1
4
x
  2;3
x 2;3
y
 4

2
2



 y (3)  85

 Đáp án A.
Chú ý: Bài toán này có thể sử dụng cách thay ngược đáp số hoặc dùng Casio với công cụ Mod 7
(TABLE). (Tham khảo ở Ví dụ 2 trong bài giảng).
Câu 8. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x)  3x5  5x3  1 trên đoạn  2;1 đạt tại x bằng
A. 2 .

B. 1 .

C. 0 .

D. 1 .

Giải
x  0
Cách 1: Ta có f '( x)  15x4 15x2  15x 2 ( x 2 1) ; f '( x)  0  

.
 x  1
Khi đó f (2)  55 ; f (1)  3 ; f (0)  1 ; f (1)  1  max f ( x)  3 khi x  1  đáp án B.
x 2;1

Cách 2: Dùng Casio với phím CALC để thay ngược đáp số.
Khi đó ta có: f (2)  55 ; f (1)  3 ; f (0)  1 ; f (1)  1  max f ( x)  3 khi x  1  đáp án B.
 2;1



Cách 3: Dùng Casio với công cụ TABLE 7 (tham khảo Ví dụ 2 trong bài giảng).

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 3-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 9. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 

3 4
x  2 x 2  1 trên đoạn  0; 2 lần

4

lượt là a, b . Khi đó giá trị của tích ab bằng bao nhiêu?
A. 5 .

B.

1
.
9

5
C.  .
3

1
D.  .
3

Giải

 f (0)  1
 max y  5  a
x  0

x0;2
1   
5
  2 
f





a
.
b


Ta có: f '( x)  3x3  4 x ; f '( x)  0  
;
2




x  
3 min f ( x)   1  b
3
 3

3 
3


x

0;2
 f (2)  5
  

 Đáp án C.
Câu 10. Giá trị lớn nhất và nhỏ của hàm số y  x4  2 x 2  1 trên đoạn  1; 2 lần lượt là M và m .
Khi đó giá trị của tích M .m là
A. 2 .

C. 23 .

B. 46 .

D. một số lớn hơn 46.

Giải
Ta có y '  4 x  4 x  4 x( x  1) ; y '  0  x  0 .
3

2

 M  max y  23
x 1;2

 M .m  23  đáp án C.
Khi đó y(1)  2 ; y(0)  1 ; y(2)  23  
y  1
m  min
x 1;2

Câu 11. Trong những hàm số sau đây, đâu là hàm số tồn tại giá trị nhỏ nhất trên tập xác định
của nó?
A. y  x  3x  9 x  2 .

3

2

2x  3
C. y 
.
x 1

B. y  x  3x  4 .
4

2

x2  4 x
D. y 
.
x 1

Giải
Cách 1: (Dùng phương pháp “loại trừ”).
Hàm số y  x3  3x2  9 x  2 có TXĐ: D 
Hàm số y 

2x  3
có TXĐ: D 
x 1

Hàm số y 

x2  4 x
có TXĐ: D 
x 1

và lim

x

\ 1 và lim
x 1

x

3

 3x 2  9 x  2    .

2x  3
  .
x 1

\ 1 và lim 
x  1

x2  4 x
  .
x 1

Suy ra các hàm ở phương án A, C, D không tồn tại giá trị nhỏ nhất  Đáp án B.
2

7
3 7 7

Cách 2: Do y  x 4  3x 2  4   x 2     , suy ra giá trị nhỏ của hàm số nhất bằng
4
2 4 4


 Đáp án B.
Chú ý :
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 4-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

+) Hàm trùng phương y  ax4  bx2  c luôn tồn tại min với a  0 và luôn tồn tại max với a  0 .
+) Hàm bậc ba y  ax3  bx2  cx  d và hàm phân thức y 

f ( x)
 b
(với f     0 ) không tồn tại giá trị

ax  b
 a

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó.
Câu 12. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x3  8x2  16 x  9 trên đoạn [1;3]
lần lượt là a, b . Khi đó giá trị của 27a  b bằng
A. 6.

B.

13
.
27

C. 13 .

D. 19 .

Giải
 x  4  1;3
Ta có f '( x)  3x  16 x  16 ; f '( x)  0  3x  16 x  16  0  
 x  4  1;3

3
2

2

 f (1)  0
13


max y 
a


 x1;3 27
  4  13

 27a  b  13  (6)  19  Đáp án D.
Khi đó  f   
3
27


min f ( x)  6  b

 x1;3
 f (3)  6

Câu 13. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  2 x3  9 x 2  24 x  1 trên
nửa khoảng  0; 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

M
5
 .
m
12

B.

M
5

m 12

C.

M
1
 .
m 12

D.

M
1
 .
m
12

Giải
x  1
Ta có y '  6 x2  18x  24 ; y '  0  
. Ta có f (0 )  lim y  1 ; f (1)  12 ; f (2)  5 .
x 0
 x  4   0; 2
M
5
 Đáp án A.

Suy ra M  max y  5 và m  min y  12 

 0;2
 0;2
m
12

Chú ý: Ở bài toán này các bạn có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng  0; 2 . Và từ bảng
biến thiên cho ta thấy được M , m và suy ra được đáp số.
Câu 14. Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 

x 3
trên đoạn  0;1 lần lượt là
x 1

a, b . Khi đó giá trị của a  b bằng

A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 2 .

Giải

a  min f ( x)  f (0)  3
0;1
4


 0 , x  0;1 , suy ra f ( x) đồng biến trên  0;1  
Ta có: f '( x) 
2
f ( x)  f (1)  1
( x  1)
b  max
0;1

 a  b  2  đáp án B.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 5-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Câu 15. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
A. 3 .

B. 2 .

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

x2  x  1
trên khoảng 1;   là

x 1
C. 1 .

D. 3 .

Giải
Ta có y ' 

 x  0  (0; )
x  2x
2
;
y
'

0

x

2
x

0

 x  2  (0; ) .
( x  1) 2

2

x



y'

Từ bảng biến thiên, suy ra giá trị nhỏ nhất là: 3

 đáp án D.



2

1



0





y

Chú ý:

3

Ở bài toán này ta có thể không cần lập bảng biến thiên mà đi tính:

f (1 )  lim y   ; f (2)  3 và f ()  lim y    min f ( x)  3 .
1; 

x 

x 1

Câu 16. (Đề Tham Khảo – 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của y 
A. min y  6 .

B. min y  2 .

2;4

x2  3
trên đoạn  2; 4
x 1

C. min y  3 .
2;4

2;4

D. min y 
 2;4

19
.
3

Giải
Cách 1: Ta có y ' 

 x  1  2; 4
x2  2 x  3
.
; y '  0  x2  2 x  3  0  
2
( x  1)
 x  3   2; 4

Khi đó y(2)  7 ; y(3)  6 ; y (4) 
Cách 2: Nhận thấy y 
So sánh 6 

19
 min y  6  đáp án A.
3
x 2;4

x2  3
 0 với x   2;4  loại B, C.
x 1

19
, nên ta thử phương án A với y  6 , ta được:
3

x2  3

 6  x 2  6 x  9  0  x  3   2; 4  đáp án A.
x 1
Cách 3: Dùng máy Casio với chức năng TABLE (tham khảo Ví dụ 2 trong bài giảng)

Câu 17 (Đề Tham Khảo – 2017).Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3x 
A. min y  3 3 9 .
(0;)

B. min y  7 .

C. min y 

(0;)

(0;)

33
.
5

4
trên khoảng (0; ) .
x2

D. min y  2 3 9 .
(0;)

Giải
Cách 1: Ta có: y '  3 

8 3x  8
2

; y '  0  3x3  8  0  x  3 .
3
3
x
x
3
3

 2 
Do y(0 )   ; y()   và y  3   3 3 9  min y  3 3 9 (có thể lập BBT)  đáp án A.
(0;)
 3
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 6-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Chú ý:
Ở đây thầy đã dùng kí hiệu y(0 ) thay cho kí hiệu lim y và y()   cho kí hiệu lim y   .

x

x0

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM dạng a  b  c  3 3 abc , ta có:

4 3x 3x 4
3x 3x 4
   2  33 . . 2  33 9 .
2
x
2 2 x
2 2 x
3x 4
2
Dấu "  " xảy ra khi:
 2  x  3  min y  3 3 9  đáp án A.
(0;)
2 x
3
y  3x 

Câu 18. (Chuyên Vinh Lần 2 – 2017) Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
x2  3
 3
của hàm số y 
trên đoạn  1;  . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
x2
 2
8

4
7
13
A. M  m  .
B. M  m  .
C. M  m  .
D. M  m  .
3
3
2
6
Giải

 3
 x  1  1; 2 
x  4x  3
2


3 3
Ta có y ' 
; y '  0  x2  4 x  3  0  
và f  1  ; f 1  2 ; f    .
2

3
2 2
 3
 x  2
 x  3   1; 

 2

2

 M  max y  f 1  2 và m  min y  f  1 
 3
 1; 2 



 3
 1; 2 



2
8
 M  m   Đáp án A.
3
3

Câu 19. Gọi M là giá trị lớn nhất, m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  2 x3  3x 2  12 x  1 trên
đoạn  1;3 . Khi đó tổng M  m có giá trị là một số thuộc khoảng nào dưới đây?
A. (1; 4) .

B.  7;10  .

C.  38; 41 .

D.  59;61 .

Giải
 x  1  1;3
Ta có y '  6 x2  6 x  12 ; y '  0  x 2  x  2  0  
.
 x  2   1;3

y  46
 y (1)  14  M  max



1;3




 M  m  40   38; 41  Đáp án C.
Khi đó  y (1)  6  
y  6
 y (3)  46
m  min
 1;3




Chú ý: Bài toán này có thể sử dụng cách thay ngược đáp số hoặc dùng Casio với công cụ Mod 7
(TABLE). (Tham khảo ở Ví dụ 2 trong bài giảng).
Câu 20. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f ( x)  x 

nhất của hàm số g ( x) 
A. 8.

4
trên đoạn [1;3] và m là giá trị nhỏ
x

2 x 2  3x  3
trên đoạn [0;2]. Khi đó M  m là
x 1
B. 7.
C. 6.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

D. 5.

- Trang | 7-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Giải
 f (1)  5


x  2
4 x 4
13

Ta có f '( x)  1  2 
;
.
Khi
đó
f
'(
x
)

0

 f (3)   M  max y  5 .

2
x
x
3
x1;3
 x  2  1;3


 f (2)  4
2


 f (0)  3
x  1

2( x 2  2 x  3)
Ta có g '( x) 
; g '( x)  0  
. Khi đó  f (1)  1  m  min f ( x)  1 .
2
( x  1)
x0;2
 x  3   0; 2

5
 f (2) 
3

Suy ra M  m  5  1  6  đáp án C.
Câu 21. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x  4  x 2 lần lượt là a, b . Khi
đó giá trị của thương

a
là
b

B.  2 .

A. 1 .
Tập xác định : D   2; 2 .
Ta có f '( x)  1 

x
4  x2

C. 2 .

D. 1 .

Giải

x  0
x 2.
; f '( x)  0  4  x 2  x  
2
2
4  x  x


f (2)  2

a  max f ( x)  2 2
a 2 2

Khi đó  f (2)  2  
 
  2  Đáp án B.
b
2

b  min f ( x)  2


f 2 2 2



 

3
trên tập D   2;1 . Mệnh đề nào sau đây sai?
x2
A. Giá trị lớn nhất của f ( x) trên D bằng 5 .
B. Hàm số f ( x) có một điểm cực trị trên D .
C. Giá trị nhỏ nhất của f ( x) trên D bằng 1 .
D. Không tồn tại giá trị lớn nhất của f ( x) trên D .

Câu 22. Xét hàm số f ( x)  3x  1 

Giải
Ta có f '( x)  3 

3
;
( x  2)2

x

2



y'

 x  1
f '( x)  0  ( x  2)  1  
.
 x  3

1
0

1


2

Suy ra bảng biến thiên của f ( x) trên D   2;1 :

y



5

1

Dựa vào bảng biến thiên cho ta biết không tồn tại
giá trị lớn nhất của f ( x) trên D hay phương án A sai  Đáp án A.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 8-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Câu 23. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y 

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

2x  5
x2  1

trên đoạn  2;1 . Khi đó giá trị của

M bằng bao nhiêu?

A. M 

5
.
5

B. M  3 5 .

C. M 

7 2

.
2

D. M  29 .

Giải

2 x2  1 
Ta có f '( x) 

x(2 x  5)

x 1
2

x2  1 

x

2  5x

 1 x 2  1

2

; f '( x)  0  2  5 x  0  x 

2
5

5
7 2
2
; f (1) 
; f    29  M  max y  29  Đáp án D.
5
2
5
x 1;2

Khi đó f (2) 

Câu 24. Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 

x 1
x2  1

trên đoạn  1; 2 . Khi đó nghiệm của

phương trình a x  2 x1  0 là
A. 1 .

B. 0 .

C. 2 .

D. 3 .

Giải

x2  1 
Ta có f '( x) 

x( x  1)

x 1
2

x2  1 

x

1 x

2

 1 x 2  1

Khi đó f (1)  0 ; f (1)  2 ; f (2) 

 2

x

2

x1

0

x
2
2

; f '( x)  0  1  x  0  x  1

3
 a  max y  2 . Phương trình có dạng:
5
x 1;2

 2 x1 

x
 x  1  x  2  Đáp án C.
2

Câu 25. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x)  x 1  x 2 .
Khi đó M  m bằng bao nhiêu?
2
A. 1 .
B. 2 .
C. 2 .
D.
.
4
Giải
Tập xác định: D   1;1 .

Cách 1: Ta có f '( x)  1  x 2 

x2
1  x2



1  2x2
1  x2

; f '( x)  0  x  

1
2

1
1
1
 1  1
 1 
Khi đó f (1)  0 ; f  
  2 , suy ra: M  2 ; m   2  M  m  1  Đáp án A.
2; f 
2
 2


Cách 2: Do x   1;1 , nên ta đặt x  sin t
1
1
1

 1 1
 f ( x)  sin t 1  sin 2 t  sin t. cos t   sin 2t   ;  , suy ra: M  ; m    M  m  1
2
2
2
 2 2

 Đáp án A.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 9-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 26. (Tạp Trí THTT lần 3) Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) 
là

A. 9 .

B. 32 .

C. 33 .

x3  20
 2 x trên đoạn 1; 4
3
D. 42 .

Giải
Ta có f '( x)  x 2 

1
 0, x  1; 4 , do đó hàm số liên tục và đồng biến trên đoạn 1; 4 .
x

Suy ra max f ( x)  f (4)  32  Đáp án B.
1;4

Câu 27. Hàm số y  4 x 2  2 x  3  2 x  x 2 đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị x1 , x2 . Tích x1 x2 là
A. 1 .

B. 0 .

C. 1 .

D. 2 .

Giải
Cách 1 (Làm trực tiếp)



2

 2  2 x  2  x  1 
 1
2
x  2x  3
 x  2x  3 
x  1
 x 1  0

Khi đó y '  0  2
  x  1  2 . Khi đó ta có bảng biến thiên:
 x  2 x  3  2
x  1 2

Ta có y ' 

4( x  1)
2

x



y'

1 2



0

1 2

1





0





0

7

7

y


Suy ra max y  7 tại x1  1  2 hoặc x2  1  2 , suy ra: x1.x2  1  Đáp án D.

Cách 2 (Làm gián tiếp)
Đặt t  x 2  2 x  3  ( x  1)2  2  2 , suy ra: 2 x  x2  3  t 2 .
Khi đó y  4t  3  t 2  t 2  4t  3  f (t ) .

t

Xét hàm số f (t )  t 2  4t  3 với t  2 .

f '(t )

2



Ta có f '(t )  2t  4 ; f '(t )  0  t  2 .

2
0





7

Từ bảng biến thiên suy ra max y  7 khi t  2

f (t )

 x2  2 x  3  2  x2  2 x  1  0  x1.x2  1 .

 Đáp án D.
Câu 28. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
đó tích M .m bằng bao nhiêu?
1

A. .
B. 3 .
3

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

C.

10
.
3

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

x2  x  1
. Khi
x2  x  1

D. 1 .

- Trang | 10-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Giải

Ta có y ' 

2x  2
2

 x2  x  1

2

; y '  0  x  1 và lim y  1 .

x

x 

1





y'

M  3

Suy ra 
1  M .m  1  Đáp án D.
m

3





0

Khi đó ta có bảng biến thiên:



1



0

3

y

1

1
3

1

Chú ý: Có thể dùng TABLE (MOD 7) với Star: 5 ; End : 5 và Step: 1 để suy ra M , m .
Câu 29. Cho hàm số y  2 x  3 9  x 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số bằng
A. 6 .

B. 3 13 .

C.

21 5
.
5

D. 4 5 .

Giải

Tập xác định: D   3;3 .

x  0
6

Ta có y '  2 
; y '  0  2 9  x  3x   2 36  x 
.
2
x 
13
9 x

13

3x

2

 6 
Khi đó y(3)  6 ; y 
  3 13 ; y  3  6  max y  3 13  Đáp án B.
 13 

Câu 30. Gía trị lớn nhất của hàm số f ( x)  1  x 2  2 3 (1  x 2 )2 là
1
27
A. 0 .
B.
.
C.
.
81
2048
Giải

D.

Tập xác định: D   1;1 .

Đặt t  6 1  x 2  0 , khi đó: f ( x)  t 3  2t 4  g (t ) .

t

Xét g (t )  t 3  2t 4 với t  0 .

g '(t )

t  0
2
3
2
Ta có g '(t )  3t  8t  t (3  8t ) ; g '(t )  0   3 .
t 
 8
27
 Đáp án C.
Suy ra: max f ( x)  max g (t ) 
0; 
2048

3
8
0

0



g (t )

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33





27
2048

 
Câu 31. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x)  x  2 cos x trên đoạn 0;  là
 2


A. 2 .
B. .
C.  1 .
2
4

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

29
.
2017

D.


3

1 .

- Trang | 11-

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Giải




x0; 
1

 2
Ta có f '( x)  1  2 sin x ; f '( x)  0  sin x 

x  .
4
2

  
  
Khi đó f  0   2 ; f     1 ; f     Đáp án C.
4 4
2 2

Câu 32. Cho hàm số f ( x) liên tục trên nửa khoảng

 3; 2  , có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng

x

3



y'

định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. min y  2 .
3;2

1

2

3;2



0



0

y

B. max y  3 .

0

2

1

C. Cực tiểu của hàm số là 5 .
D. x  1 là điểm cực tiểu của hàm số.

3
5

Giải
Khẳng định A sai vì: f 1  5  2  min y  2 và min y  5 .
3;2

3;2

Khẳng định B sai vì: f  2  mà chỉ có lim f  x   3   max y .
3;2

x 2

Khẳng định C đúng vì: cực tiểu của hàm số là yCT  5
Khẳng định D sai vì: x  1 là điểm cực tiểu của hàm số.

 Đáp án C.
Câu 33. Xét hàm số y  f ( x) và y  g ( x) xác định và liên tục trên đoạn  a; b . Gọi M , m lần
lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) và P, p lần lượt là giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của hàm số y  g ( x) trên đoạn  a; b . Trong các phát biểu sau:
I. Hàm số y  f ( x)  g ( x) có giá trị lớn nhất trên đoạn  a; b là M  P .
II. Nếu x0   a; b và f ( x0 )  m, g ( x0 )  p thì giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x)  g ( x) trên
đoạn  a; b là m  p .
III. Nếu x0   a; b và f ( x0 )  M , g ( x0 )  P thì giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x).g ( x) trên
đoạn  a; b là M .P .
Có bao nhiêu phát biểu đúng?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Giải
Phát biểu I, III sai, vì:
Để đúng thì cần khớp được dấu “=”, mà điều này có thể không xảy ra:
Ví dụ: Trên đoạn  1; 2 hàm số:
+) y  f ( x)  x 2 có giá trị lớn nhất M  f (2)  4 .
+) y  g ( x)   x  3 có giá trị lớn nhất P  g (1)  2
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 12-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Theo phát biểu I thì y  f ( x)  g ( x) có giá trị lớn nhất là M  P  4  (2)  2
 f (2)  4
x  2
Dấu “=” xảy ra khi 
(vô nghiệm), nghĩa là không tồn tại dấu “=”  I. sai.

 g (1)  2  x  1
Với phát biểu III. ngoài việc có thể không khớp được dấu “=” như ở phát biểu I nó còn có thể sai

vì M , P không cùng dấu. Vậy có 1 phương án đúng là phương án II  đáp án B.
Câu 34. (Chuyên Vinh – Lần 3) Cho hàm số y  f ( x) liên tục, đồng biến trên đoạn  a; b . Khẳng
định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (a; b) .
B. Hàm số đã cho có cực trị trên đoạn  a; b .
C. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn  a; b .
D. Phương trình f ( x)  0 có nghiệm duy nhất thuộc đoạn  a; b .
Giải

max f ( x)  f (b)
 x a;b 
Vì hàm số y  f ( x) liên tục và đồng biến trên đoạn  a; b  
 C đúng
min f ( x)  f (a)
 x a;b 
 đáp án C.

Chú ý: Câu hỏi này
+) A sai, vì: Hàm số liên tục và đồng biến trên một khoảng sẽ không tồn tại giá trị min, max (Có thể vẽ
bảng biến thiên để thấy rằng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lại xảy ra tại x  b và x  a , trong khi hàm số
không xét trên hai điểm này (chỉ xét trên khoảng (a; b) ).
+) B sai, vì hàm số y  f ( x) đồng biến trên a, b  f '( x)  0, x   a; b  không có cực trị trên  a; b .
+) D sai, vì f ( x)  0 có thể vô nghiệm (đồ thị y  f ( x) không cắt trục Ox hay ở bài toán này có thể
min f ( x)  f (a)  0 ).
x a;b 

4
Câu 35. Giá trị lớn nhất của hàm số y  2sin x  sin 3 x trên đoạn [0;  ] là
3

A. 0 .

B.

2
.
3

C.

2 2
.
3

D.

4

.
3

Giải
4
x[0; ]
Đặt t  sin x 
 t  0;1 , khi đó y  f (t )  2t  t 3 với t   0;1 .
3
t0;1
1
1
Ta có f '(t )  2  4t 2 ; f '(t )  0  t  
.

t 
2
2
2
2 2
 1  2 2
Khi đó f (0)  0 ; f 
  3 ; f (1)  3  max y  3  Đáp án C.
 2
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 13-

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Câu 36. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  sin 6 x  cos6 x  sin x cos x
. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
5
4
1
A. M  m  .
B. M  m  .
C. M  m  1 .
D. M  m  .
6
3
2
Giải
3
3
 6
sin x  cos6 x   sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x   1  3sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2 x


4
Ta có 
sin x cos x  1 sin 2 x



2
3
1
Khi đó: y   sin 2 2 x  sin 2 x  1 .
4
2
3
1
Đặt t  sin 2x với t   1;1 , suy ra: y   t 2  t  1  f (t ) với t   1;1 .
4
2
3 1
1
3
1  1  13
Ta có f '(t )   t  ; f '(t )  0  t  . Khi đó f (1)   ; f   
và f (1)  .
2 2
3
4
4  3  12

Suy ra M 

13
1
4
và m    M  m   Đáp án B.
12

4
3

Câu 37. Biết x1 , x2 lần lượt là hai giá trị làm cho hàm số y  3x  2cos2 x đạt giá trị lớn nhất
 
và giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;  . Tổng x1  x2 bằng bao nhiêu?
 4
5


A. .
B.
.
C. .
12
6
4
Giải

D.

7
.
12

Ta có y '  3  4cos x sin x  3  2sin 2 x ;






2 x   k 2
x   k x0; 




3

3
6
 4
y '  0  sin 2 x 



x  .
k

2
6
 2 x  2  k 2
 x    k


3
3
  
y  
 6


Khi đó  y (0)  2

y  
 

 4


3 3


khi x1 
max y 
6
2
6
 0; 

 4 


 x1  x2   Đáp án A.
6
min y  2 khi x2  0
3
 0; 
 1  2,36
4
  4 

3 3
  2, 41
6
2

Câu 38. (Chuyên Thái Bình – Lần 3 – 2017) Hàm số f ( x)  sin 2 x  2sin x có giá trị lớn nhất là
M . Giá trị M bằng bao nhiêu?
3 3
3 3
A. M  0 .
B. M 
.
C. M  3 .
D. M  
.
2
2
Giải
Ta có f ( x)  sin 2 x  2sin x  2sin x.(cos x 1) .

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 14-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

sin x   1;1

Do 
 x 

cos x  1  0

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

để M  0 , nghĩa là để tìm giá trị lớn nhất ta chỉ cần xét f ( x)  0 .

Do đó f 2 ( x)  4sin 2 x.(cos x  1)2  4 1  cos 2 x  1  cos x   4(1  cos x)3 (1  cos x) .
2

Đặt t  cos x với t   1;1 , khi đó f 2 ( x)  4(1  t )3 (1  t )  g (t ) .
Xét g (t )  4(1  t )3 (1  t ) với t   1;1 .
Ta có g '(t )  12(1  t )2 (1  t )  4(1  t )3  4(1  t )2  3  3t  1  t   8(1  t ) 2 (2t  1) .

t  1
g '(t )  0  
, khi đó:
t   1

2
Suy ra M 

 g (1)  0


27
  1  27
.
 M 2  max f 2 ( x)  max g (t ) 
g    
 1;1
2
4
4





 g (1)  0

3 3
 Đáp án B.
2

x  m2  m
trên đoạn  0;1 bằng 2 , với m là
x 1
tham số thực dương. Trong các giá trị sau, đâu là giá trị gần m nhất?
1
7
A. .
B. 3 .
C. .
D. 5 .

2
2

Câu 39. Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 

Giải

m  m 1
 0, x  0;1 , suy ra hàm số đồng biến trên  0;1
( x  1)2
2

Ta có f '( x) 

 min f ( x)  f (0)  m2  m .
x0;1

 m  1 m0
Khi đó m2  m  2  m2  m  2  0  

 m  2 và dựa vào các đáp án ta thấy 2
m  2
gần 3 nhất  đáp án B.

Câu 40. Cho m là tham số thực âm. Với giá trị nào của m thì hàm số y  x3  2mx2  m  1 đạt giá
trị nhỏ nhất trên đoạn 1; 2 bằng 3.
A. m 

4
.

9

B. m  3 .

C. m  1 .

D. m  1 .

Giải

Ta có y '  3x  4mx  0 với x  1;2 và m  0 , suy ra hàm số đồng biến trên đoạn 1; 2 .
2

 min y  y(1)  3m  3  m  1  Đáp án D.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 15-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Câu 41. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
bằng

A. a .

B. b .

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ax  b 2  1
trên đoạn  a; b (với 0  a  b ) đạt tại giá trị x
xa
ab
C. b  a .
D.
.
2

Giải
Ta có y ' 

a 2  b2  1
 0 , x   a; b với 0  a  b  hàm số đồng biến trên đoạn  a; b .
( x  a)2

Suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  a  đáp án A.
Câu 42. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số f ( x) 
A. m  3 .

B. m  2 .

mx  1
có giá trị lớn nhất trên 1; 2 bằng 2
xm

C. m  4 .
D. m  3 .

Giải
+) Xét f ( x) liên tục trên đoạn 1; 2 , nghĩa là m 1; 2 .
Khi đó y ' 

m2  1
m 1
 0 , x  1;2  f ( x) nghịch biến trên 1; 2  max f ( x)  f (1) 
.
2
( x  m)
1 m
x1;2

Suy ra điều kiện bài toán trở thành:

m 1
 2  m  3  1; 2 (thỏa mãn).
1 m

+) Nếu m 1;2 thì hàm số sẽ bị gián đoạn tại x  m , khi đó hàm số sẽ không có giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất ( x  m chính là tiệm cận đứng với lim f ( x)   ).
x m

Vậy m  3  đáp án D.
Câu 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f ( x)  x3  m2 x  18 trên đoạn

1;3 có giá trị nhỏ nhất không lớn hơn 20

A. 3 .

?

B. 4 .

C. 2 .

D. 5 .

Giải
Ta có: f '( x)  3x2  m2  0 , m, x 

. Suy ra hàm số đồng biến trên 1;3

m
 min f ( x)  f (1)  m2  19  20  m2  1  1  m  1 
 m  1;0;1 .
x1;3

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán  đáp án A.
xm
Câu 44 (THPTQG – 101 – 2017 ). Cho hàm số y 
( m là tham số thực) thỏa mãn min y  3 .
2;4
x 1
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. m  1 .

B. 3  m  4 .

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

C. m  4 .

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

D. 1  m  3 .

- Trang | 16-


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – Toán trắc nghiệm(Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ VÀ CÁC
BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Giải
Ta có y ' 

1  m
.
( x  1)2

Trường hợp 1: m  1  y  1  min y  1 (loại).
2;4

Trường hợp 2: Nếu 1  m  0  m  1 , khi đó y '  0, x   2;4  hàm số đồng biến trên  2; 4 .
min y 3

 2;4 



Khi đó min y  y(2)  2  m 
 2  m  3  m  1 không thỏa mãn m  1 (loại).

2;4

Trường hợp 3: Nếu 1  m  0  m  1 , khi đó y '  0, x   2;4  hàm số nghịch biến trên  2; 4 .
min y 3

4  m  2;4
4m
Khi đó min y  y(4) 

 3  m  5 thỏa mãn m  1 và thỏa mãn m  4
2;4
3
3
 Đáp án C.

Câu 45. Biết m  m0 là giá trị làm cho hàm số y  x4  6mx2  m2 có giá trị lớn nhất trên đoạn
4
 2;1 bằng . Hỏi m0 gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
9
A. 0, 6 .
B. 0,3 .
C. 1,3 .
D. 1, 7 .

Giải

x  0
Ta có y '  4 x3  12mx ; y '  0  4 x( x 2  3m)  0   2
.
 x  3m (*)
Khi đó: y(2)  m2  24m  16 ; y(0)  m2 ; y(1)  m2  6m  1 .
Trường hợp 1: 3m  0  m  0 , khi đó (*) vô nghiệm . Khi đó: m2  24m  16  m2  6m  1  m2 .
4
70
2 m0
hoặc m  
 m  .
m
2;1
9
3
3
4
Trường hợp 2: 0  3m  4  0  m  , khi đó (*)  x   3m  y  3m  8m2  0 .
3

Suy ra: max y  m2  24m  16 





Khi đó max y  max m2  24m  16; m2  6m  1; m2  (2*) .
2;1

4

2
4
70
2 0m 3
 m  , khi đó
hoặc m  
m
2;1
3
9
3
3
2
 9 23 9  9
(2*)  max y  max  ;  ;   (thỏa mãn), suy ra m   m0 gần 0, 6 nhất  Đáp án A.
 2;1
3
9 4 4
4

+) Nếu max y  m2  24m  16 

Chú ý: Do đáp án bài toán đưa ra cho ta biết tính duy nhất của m0 nên khi tìm được một giá trị thỏa mãn
thì ta được phép kết thúc luôn lời giải mà không cần xét thêm các trường hợp khác.
Giáo viên
Nguồn

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

: Nguyễn Thanh Tùng
: HOCMAI

- Trang | 17-