Khảo sát các thuật toán kiểm định số nguyên tố lớn và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN THỊ MỴ

KHẢO SÁT CÁC THUẬT TOÁN KIỂM ĐỊNH
SỐ NGUYÊN TỐ LỚN VÀ ỨNG DỤNG.

Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH
Mã số

: 60.48.01.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ

HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH NGUYỄN XUÂN HUY

THÁI NGUYÊN – 2017


LỜI CAM ĐOAN
T i xin
kết quả nghi n
t i kh

m o n

yl

u trong luận v n n y l trung th
T i

ng xin

hiện luận v n n y ã ƣợ
ƣợ

ng tr nh nghi n

u

ri ng t i, s liệu v
v kh ng tr ng l p với

m o n r ng mọi s gi p

ảm ơn v

cho việ th

th ng tin trí h dẫn trong luận v n ã

hỉ rõ nguồn g
T

giả

Nguyễn Thị Mỵ

\

i


LỜI CẢM ƠN
T i xin b y tỏ s kính trọng v lòng biết ơn s u sắ

ến PGS.TSKH.

Nguyễn Xuân Huy - ngƣời ã tận t nh hƣớng dẫn v gi p
qu tr nh họ tập, nghi n

u v ho n th nh luận v n, xin ảm ơn

gi o trong v ngo i trƣờng ã ung ấp kiến th
ho qu tr nh họ tập v rèn luyện
T i

t i trong su t
thầy,

v tạo i u kiện thuận lợi

bản th n t i

ng xin ƣợ b y tỏ lòng biết ơn h n th nh ến B n Gi m Hiệu,

thầy gi o,

gi o phòng S u ại họ trƣờng Đại họ C ng Nghệ Th ng

Tin &Truy nTh ng,

thầy gi o ở Viện C ng Nghệ Th ng Tin ã giảng dạy

v tạo mọi i u kiện ho t i họ tập, nghi n
Xin ảm ơn gi

u v ho n th nh luận v n n y

nh, bạn bè ã hết lòng gi p

, khí h lệ, ộng vi n t i

ể t i ho n th nh luận v n
Thái Nguyên, tháng 03 năm 2017

T

giả

Nguyễn Thị Mỵ

ii


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN
Kí hiệu

Ý nghĩa

ℝ

Tập s th

ℝ+

Tập s th

ℕ

Tập s t nhi n (kể ả 0)

ℤ

Tập s nguy n

ℤ+

Tập s nguy n kh ng m, ℤ+ = ℕ

(a, b), gcd (a,b)

Ƣớ

Ordn(b)

Bậ

ℤ/n

V nh nguy n theo modulo n.

kh ng m

hung lớn nhất

av b

b theo modulo n

Nếu n nguy n theo th ℤ/n l trƣờng
ℤ[x]

V nh

≡

To n ẳng, tƣơng ƣơng, ồng dƣ

ϕ(n)

H m phi Euler

L, BitLen(n)

S bit biểu diễn nhị ph n n

logn

log rit ơ s 2

lgamma(n)

log((n1)!)

( )

th

Tổ hợp hập k
(

)

iii

nguy n

n

n


DANH MỤC CÁC BẢNG TRONG LUẬN VĂN
Bảng

Tên các bảng trong luận văn

Trang

1.1 Ph n b s nguy n t

10

1.2 Một v i s nguy n t Mersenne

16

1.3 Một s

17

p nguy n t sinh

i

1.4 Một s s nguy n t Sophie Germ in

17

1.5 V i s gi i thừ nguy n t

18

1.6 20 s nguy n t

ầu ti n v

h m n#, pn#

19

1.7 Một s s nguy n t gi i th y ã biết
1.8

20

Thời gi n m y tính d ng ể ph n tí hs n r thừ s nguy n t

2.1 C

s nguy n t v hợp s trong khoảng 2100-1 l s

2.2 C

phép + v ⋅ trong v nh ℤ/7

49

3.1 C

phƣơng th

52

3.2 Bậ

lớp BI

biệt

24
31

s trong ℤ/7

61

ℤ/7

62

3.3 H i phần tử sinh

iv


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................II
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN.................................... III
DANH MỤC CÁC BẢNG TRONG LUẬN VĂN ......................................... IV
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
CHƢƠNG1. TỔNG QUAN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ ....................................... 4
1.1 Các định nghĩa và khái niệm mở đầu ........................................................ 4
1.2 Một số tính chất của số nguyên tố ............................................................. 7
1.3 Sự phân bổ của số nguyên tố ...................................................................... 9
1.4 Số giả nguyên tố ........................................................................................ 11
1.5 Số Mersenne .............................................................................................. 13
1.6 Số Fermat .................................................................................................. 16
1.7 Các số nguyên tố lớn................................................................................. 17

171C

s nguy n t sinh

i ............................................................ 17

172C

s nguy n t Sophie Germ in ............................................... 17

173C

s gi i thừ nguy n t ........................................................... 18

174C

s nguy n t gi i th y ........................................................... 19

1.8 Ứng dụng của số nguyên tố ...................................................................... 21
1 8 1 Mật mã v s nguy n t ............................................................... 21
182C

hệ mật mã

ng kh i ............................................................. 21

CHƢƠNG 2. CÁC THUẬT TOÁN KIỂM ĐỊNH SỐ NGUYÊN TỐ ......... 26
2.1 Các lớp P và NP ........................................................................................ 26
2.2 Thuật toán kiểm định theo√ .................................................................. 28
2.3 Sàng Eratosthenes .................................................................................... 30

2.4 Thuật toán kiểm định theo xác suất MILLER-RABIN .......................... 31
2 4 1 Cơ sở to n họ ............................................................................. 31
2 4 2 Thuật to n Miller Test ................................................................. 36
v


2 4 3 Thuật to n Miller-Rabin............................................................... 36
244C

trƣờng hợp

biệt ............................................................... 37

2.5 Kiểm định theo giả thuyết Riemann ........................................................ 38
2.6 Thuật toán kiểm định tính nguyên tố AKS ............................................. 39
2.6 1 Giới thiệu hung .......................................................................... 39
2.6 2 Định lí AKS ................................................................................. 40
2.6 3 Thuật to n .................................................................................... 41
2.6 4 Một s kiến th

to n họ ........................................................... 42

2.7 Thuật toán Bernstein ................................................................................ 46
2.7 1 Định lí Bernstein .......................................................................... 46
2.7 2 Thuật to n Bernstein .................................................................... 47
CHƢƠNG 3. CÀI ĐẶT VÀ ỨNG DỤNG ..................................................... 48
3 1 Lớp BI ........................................................................................................ 49
3 1 1 Nhận xét hung ............................................................................ 49
312C

trƣờng dữ liệu ....................................................................... 49

313C

phƣơng th

.......................................................................... 49

3.2 Lớp ARITHM ........................................................................................... 55
3 2 1 Ƣớ

hung lớn nhất ...................................................................... 55

3 2 2 H m phi Euler .............................................................................. 55
323S

hính

n ................................................................................ 56

3 2 4 Bậ theo modulo .......................................................................... 58
3 2 5 C n nguy n th y .......................................................................... 59
3 2 6 S nguy n t s t s u ..................................................................... 61
3 2 7 Kiểm tr ƣớ nguy n t ................................................................ 62
3 2 8 Ƣớ nguy n t lớn nhất ................................................................ 64
3 2 9 Nh n modulo ............................................................................... 66
3 2 10 L y thừ modulo ........................................................................ 67
vi

3.3 Lớp BIPOL ............................................................................................... 67
331C

trƣờng dữ liệu ....................................................................... 67

332C

phƣơng th

.......................................................................... 67

3.4 Lớp MR ..................................................................................................... 72
3.5 Lớp AKS ................................................................................................... 72
3.6 Ứng dụng .................................................................................................. 72
KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN ........................................................ 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 79

vii


MỞ ĐẦU
Số nguyên tố l s t nhi n lớn hơn một v
Định nghĩ v s nguy n t m
vấn

xo y qu nh nó lu n l m

d

hỉ hi hết ho một v

hính nó

ơn giản v ngắn gọn nhƣng những

nh to n họ qu n t m

S nguy n t l một trong những kh i niệm xƣ nhất
s nguy n t l vật liệu ơ bản x y d ng n n
nguy n t t ng l n v hạn n n

to n họ

C

s t nhi n V

u hỏi ầu ti n

s

t r l : Có bao nhiêu số

nguyên tố? Có thể liệt k tất ả h ng r h y h ng lập th nh một dãy s v
hạn Để h ng minh i u n y Eu lid

ã ƣ r một lập luận, xuất ph t từ giả

thiết phản h ng r ng dãy s nguy n t l hữu hạn, s u ó hỉ r một s
nguy n t mới kh

với s nguy n t

ã ó M u thuẫn n y ho biết tập

s

nguy n t l vô hạn.
S u khi Eu lid h ng minh ó v s
xung qu nh

s nguy n t

ƣợ

ƣ r

s nguy n t , nhi u
Một s những

u hỏi

u hỏi ó, dƣới

những ph t biểu ơn giản, ã trở th nh những b i to n trong lị h sử to n họ
m

ho ến n y vẫn hƣ

ó ƣợ lời giải trọn vẹn

Ngƣời t kh ng t m thấy một s tuần ho n n o trong dãy s nguy n t
S

ph n b

ph t hiện

s nguy n t tỏ r

ph

tạp v kh ng ó quy luật Việ

s nguy n t lớn trong một thời gi n d i l s qu n t m

nhi u nh to n họ Tuy nhi n ho ến n y trong s họ vẫn òn tồn tại nhi u
giả thuyết mở v s nguy n t
ng y n y việ nghi n

Hơn nữ , trong thời ại

u s nguy n t

ng nghệ th ng tin

ng ƣợ kí h thí h bởi s kiện l

s nguy n t tỏ r rất ó í h trong việ mã hó v giải mã th ng tin Tính
bảo mật v

khai ƣợ

n to n

ảm bảo b ng ộ ph

nguy n th nh tí h
t n ho việ

qu tr nh tr o ổi khó v
tạp

thừ s nguy n t

hạy m y tính ể th

hệ mật mã khó

ng

b i to n s họ ph n tí h một s
Nói

h kh , vấn

thời gi n ti u

hiện b i to n ph n tí h một s nguy n

1

lớn th nh
to n

thừ s nguy n t

hầu hết

nói ri ng Đó

ƣợ sử dụng l m hỉ ti u

hệ mật mã khó
ng l lí do ể

ng kh i RSA ƣợ

nh gi

ộ n

ng kh i nói hung v hệ mật mã RSA

hệ mật mã nói hung v hệ mật mã khó

ộng ồng qu

tế hấp nhận rộng rãi trong thƣơng mại

iện tử v tr o ổi th ng tin
Trong khu n khổ

m nh, luận v n sẽ tr nh b y

qu n ến s nguy n t v

ng dụng

thuật to n li n

thuật to n tr n ể từ ó

hƣơng tr nh thử nghiệm nh m nhấn mạnh v i trò

i

t

s nguy n t trong việ

mã hó v giải mã th ng tin
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận v n tập trung t m hiểu v s nguy n t v
hệ mật thiết ến s nguy n t , b o gồm
t , hệ mật mã khó
nguy n t

i tƣợng ó qu n

thuật to n kiểm ịnh s nguy n

ng kh i Ngo i r luận v n qu n t m ến một s lớp s

biệt thƣờng ƣợ khuyến

o tr nh sử dụng khi x y d ng

hệ mật mã v thuật to n kiểm ịnh những s nguy n t n y thƣờng ó ộ ph
tạp kh ng

o.

Những nội dung nghiên cứu chính
Nội dung
hính s u

luận v n h yếu tập trung v o nghi n

u

vấn

y:

Chương 1. Tổng quan về số nguyên tố và các khái niệm liên quan
Trong hƣơng n y họ vi n tr nh b y v tổng qu n s nguy n t : Giới
thiệu hung v s nguy n t ,

ịnh lý qu n trọng v một v i lớp s nguy n

t qu n trọng trong lị h sử to n họ .
Chương 2. Giới thiệu một số thuật toán kiểm định số nguyên tố
Trong hƣơng n y, luận v n tập trung tr nh b y
ịnh s nguy n t lớn d
v phƣơng ph p x

tr n

tiếp ận kh

suất
2

thuật to n kiểm

nh u: phƣơng ph p tất ịnh


Chương 3. Thiết kế và cài đặt các lớp đối tượng phục vụ cho việc
quản lí các số nguyên tố và sinh khóa cho hệ mật mã RSA.
Phương pháp nghiên cứu
Trong qu tr nh l m luận v n, họ vi n sử dụng một s phƣơng ph p
nghi n

u nhƣ:

Chƣơng 1
th ng lại

a luận v n sử dụng phƣơng ph p tổng hợp t i liệu nh m hệ

kiến th c v s nguy n t ,

ịnh lý ơ bản v tầm quan trọng

c a s nguy n t trong th c tiễn.
C

kết quả ƣợ tr nh b y trong hƣơng 2

th nh h yếu theo phƣơng ph p h nh th

a luận v n ƣợ h nh

nhƣ suy luận to n học, to n rời

rạ , lí thuyết thiết kế thuật to n v th c nghiệm.
C

kết quả ng dụng trong hƣơng 3 ƣợc xử lý b ng

phƣơng

ph p v kĩ thuật lập tr nh
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Gi p t m hiểu kh i niệm, tính hất v v i trò

s nguy n t

- Tổng hợp một s thuật to n ó ng dụng trong lý thuyết mật mã
- Kết quả
hiểu v lĩnh v

luận v n ó thể l m t i liệu ho những ngƣời mu n t m
n y

3


CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
1.1 Các định nghĩa và khái niệm mở đầu
Khi m tả

h m, luận v n sử dụng kí ph p s u

y

f = (e) ? a : b
Ý nghĩa: Nếu i u kiện e l

ng th h m nhận gi trị a; ngo i r , h m

nhận gi trị b.
Thí dụ
f (x) = (x  1) ? 2 : x2 + 1
m tả h m f(x) ó ồ thị gồm một ƣờng song song với trụ ho nh v
ắt trụ tung tại iểm y = 2 với
phải

gi trị x ≤ 1, tiếp ến, từ iểm (1, 2) l nử

p r bol y = x2 + 1.
Các tập hợp số
Trong luận v n sử dụng
ℕ = {0, 1, 2, …}- tập
ℤ = {0, ±1, ±2, …}- tập
ℤ+ = {1, 2, …}- tập
ℤ = {1, 2, …}- tập
Tập

s t nhi n

kí hiệu s u
số tự nhiên.
số nguyên.
s nguyên dương.
s nguyên âm.

i khi ƣợ gọi l tập

T kí hiệu Set(a, b) l tập

y:

s nguy n kh ng m

s nguy n trong khoảng a ến b, ụ thể

l : Set(a, b) = {a, a +1, …, b}

Ước số, tính chia hết
Cho h i s nguy n a, b, b  0 Đ t z = ab T nói a v b l
z v viết a | z. T
Nếu với

ước số

ng nói z hi hết ho a (v b) [4].

s nguy n a, b, q, r t

ó hệ th

a = bq + r, 0  r < b
th t nói q l thương số, r l số dư trong phép hi a cho b. T kí hiệu
4


q=a/b
r = a mod b
T thấy a l ƣớ

b khi v

Nếu a kh ng phải l ƣớ
T

hỉ khi b mod a = 0.
b t viết a | b.

ng qui ƣớ thƣơng a / b l s nguy n khi v

hỉ khi a v b ồng

thời l h i s nguy n Nhƣ vậy, khi một trong h i s l s th

th thƣơng sẽ

l s th
Số nguyên tố và hợp số
S nguy n dƣơng n ƣợ gọi l s nguyên tố nếu n có đúng hai ước.
Phân loại các số tự nhiên
Theo ịnh nghĩ v s nguy n t , tập s t nhi n ℕ ƣợ hi th nh 3 lớp:
-S 1 ó
- Lớp
- Lớp

ng 1 ƣớ v

số nguyên tố l
s

s l

ƣợ gọi l s đặc biệt.

s ó ng 2 ƣớ l 1 v hính nó

òn lại ƣợ gọi l hợp số Đó l

Bảng 1.1 liệt k
1l s

hiếm ri ng một lớp v

s

ó tr n 2 ƣớ

lớp s trong khoảng 100 s nguy n dƣơng ầu ti n:

biệt (in ậm),

hợp s

ƣợ gạ h dƣới, òn lại l

s nguy n t

Ước chung lớn nhất
Cho h i s nguy n kh ng m a v b Ƣớ
hiệu (a,b) l s lớn nhất m a v b
Ƣớ

hung lớn nhất ó

hung lớn nhất

a v b, kí

ng hi hết

tính hất s u:

∀a, b ∈ ℕ:
U1. (a,b) = (b,a).
U2. (a,0) = a (qui ƣớ )
U3. (a,b) = (a mod b, b): ước chung lớn nhất của hai số không thay đổi
nếu ta thay một trong hai số bằng số dư của số đó chia cho số kia.
U4. (a,b) = a khi v

hỉ khi a | b.

5


B tính hất ầu ti n, U1  U3 l
Gcd(a,b) tính ƣớ

hung lớn nhất

ơ sở ho ịnh nghĩ

h is

ệ qui

h m

nguy n a v b, ụ thể l

Gcd(a,b) = (b = 0) ? a : Gcd(b, a mod b)
Thí dụ, G d(77, 14) = G d(14, 77 mod 14) = Gcd(14, 7) = Gcd(7, 14
mod 7) = Gcd(7, 0) = 7.
Nguyên tố cùng nhau
H i s nguy n dƣơng a v b ƣợ gọi l nguyên tố cùng nhau nếu
(a, b) = 1.
Thí dụ, 6 v 7, 14 v 15 l

p s nguy n t

ng nh u

Bội chung nhỏ nhất
Cho h i s nguy n kh ng m a v b. Bội chung nhỏ nhất

a v b, kí hiệu [a,b] l s

nguy n kh ng m nhỏ nhất nhận a v b l m ƣớ s
Bội hung nhỏ nhất ó

tính hất s u:

∀a, b ∈ ℕ:
B1. [a,b] = [b,a].
B2. [a,0] = 0 (qui ƣớ )
B3. [a,b] = ab / (a,b): bội chung nhỏ nhất của hai số a và b là thương
của tích ab chia cho ước chung lớn nhất của chung.
B4. [a,b] = b khi v

hỉ khi a | b.

1.2 Một số tính chất của số nguyên tố
NT1 S nguy n dƣơng n l nguy n t khi v
kh

1

hỉ khi n l ƣớ nhỏ nhất

hính nó

NT2. Cho p l s nguy n t , a l s nguy n kh
(a, p) hỉ nhận một trong 2 gi trị l 1 ho
(a, p) = p khi v

hỉ khi p | a

(a, p) = 1 khi v

hỉ khi p | a

6

0 Khi ó
p. Cụ thể l


NT3. Nếu một tí h hi hết ho s nguy n t p th

ó ít nhất một thừ

s trong tí h ó hi hết ho p.
NT4. 2 l s nguy n t nhỏ nhất v l s nguy n t

hẵn duy nhất

NT5. Nếu n l hợp s th n ó ít nhất một ƣớ nguy n t kh ng vƣợt qu √ .
NT6. S t nhi n p > 1 l s nguy n t khi v

hỉ khi p kh ng ó ƣớ

nguy n t n o trong khoảng 2 ến √ .
Định lý cơ bản của số học [3]
Mọi s nguy n dƣơng a > 1
nguy n t

u ph n tí h ƣợ th nh tí h

thừ s

Dạng ph n tí h ó l duy nhất nếu kh ng kể ến th t

thừ s nguy n t .
Dạng ph n tí h
a=
với
chuẩn

thừ s nguy n t p1 < p2 < … < pk ƣợ gọi l dạng phân tích

a.

Các tính chất Euclid
E1. Nếu p nguy n t v p | ab th p | a ho
E2 Dãy

p | b.

s nguy n t l v hạn

Định lý về sự tồn tại dãy liên tiếp các hợp số
Với mọi s t nhi n n > 0 tồn tại dãy m > n s t nhi n li n tiếp nh u
u l hợp s .
Thí dụ, với n = 5, t xét s q = 234567 = 5040 T
tiếp

u l hợp s s u

y:

5042 ó ƣớ 2
5043 ó ƣớ 3
5044 ó ƣớ 2
5045 ó ƣớ 5
5046 ó ƣớ 2
5047 ó ƣớ 7.
7

ó dãy 6 s li n

Cho trƣớ một s n bất kỳ Theo ịnh lý Eu lid ở tr n t thấy lu n tồn
tại s nguy n t p > n. Xét tí h q = 23…p. T

ó, v q ó

ƣớ l i =

2,…,p n n q+i ó ƣớ i.
Bậc của ước nguyên tố
Cho a l một s nguy n với dạng ph n tí h ti u huẩn
a=
Khi ó

s pi ƣợ gọi l

ước nguyên tố của a v mỗi s m mi ƣợ

ƣớ nguy n t pi trong a v kí hiệu l deg(pi, a), 1  i  k.

gọi l bậc

Tổng qu t, t

ịnh nghĩ bậ

ƣớ nguy n t p trong s nguy n

dƣơng a l s m m lớn nhất thỏ pm | a.
ng kí hiệu 𝒫(a) = {p1, …, pk} l tập các ước nguyên tố

T

a.

Định lý
Cho a l một s nguy n dƣơng Khi ó s nguy n dƣơng d l ƣớ
a khi v

hỉ khi

 p  𝒫(d) : deg(p, d)  deg(p, a)
Định lý tr n ho t

hệ quả s u

y:

Hệ quả 1
S ƣớ

s t nhi n a l tí h

bậ + 1

∏ (

( )

ƣớ nguy n t

a,

)

 𝒫( )

Thí dụ, s 72 = 2332 ó 12 ƣớ nhƣ s u :
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Hệ quả 2
Ƣớ
tố chung

hung lớn nhất

h i s t nhi n a v b l tích các ước nguyên

h ng với s m nhỏ nhất

Hệ quả 3
Bội hung nhỏ nhất
tố chung và riêng

h i s t nhi n a v b l tích các ước nguyên

h ng với s m lớn nhất.
8


Thí dụ, s 72 = 2332 v 20 = 225 cho ta :

(72, 20) = 22 = 4
[72, 20] = 23325 = 360.
Định lí đồng dư Trung Hoa [3]
Cho k s nguy n dƣơng lớn hơn 1 v
..., nk Gọi N l tí h

h ng Biết

i một nguy n t

ng nh u, n1,

s nguy n kh ng m a1, ..., ak thỏ

i u kiện 0 ≤ ai < ni, 1  i  k Khi ó tồn tại duy nhất một s nguy n x, 0
≤ x < N thỏ hệ th

x mod ni = ai, 1  i  k.

1.3 Sự phân bổ của số nguyên tố [3]
Thoạt nh n,

s nguy n t dƣờng nhƣ ƣợ ph n b một

lộn xộn Ví dụ trong 100 s
nguy n t

h kh

ng s t trƣớ 10000000 (mƣời triệu) ó hín s

l

trong khi một tr m s s t s u 10000000 hỉ ó h i s nguy n t l

Legendre v G uss ã tính to n mật ộ
nói r ng bất

s nguy n t

G uss ã

khi n o ng ó ít ph t rảnh rỗi ng sẽ d nh thời gi n ó ho

việ tính s nguy n t

Đến u i ời ng ho biết m nh ã tính ƣợ tất ả

s nguy n t trong giới hạn khoảng 3000000 (b triệu) Cả Legendre v
Gauss
n l

ng kết luận r ng,

i với n

lớn, mật ộ

s nguy n t nhỏ hơn

1/log n. Với s t nhi n n t kí hiệu π(n) l s lƣợng

nhỏ hơn ho

b ng n. Legendre ã phỏng o n
9

s nguy n t


π (n)  n / (log(n)  1.08366).
Trong su t thế kỉ th 19 ngƣời t
tr n v

ã ạt ƣợ một s kết quả
ng b kết quả s u

gắng ể h ng minh hệ th

ng khí h lệ, iển h nh l

Chebyshev v Riemann. Cu i
n m 1896 ã

ã

ng tr nh

ng, H d m rd v Del V llee Poussin,
y:

Định lý

Khi n tiến

ến v

ng th

π(n) v

xấp xỉ nh u :

( )

Bảng 1.1 Minh họ tính
Bảng 1.1

ng ắn

ịnh lý n y

Phân bố số nguyên tố
( )

n

π(n)

103

168

144,8

1,106

104

1229

1085,7

1,132

105

9592

8685,9

1,104

106

78498

72382,4

1,085

107

664575

620420,7

1,071

108

5761455

5418681,0

1,061

109

50847534

48254942,4

1,054

1010

455052512

434294481,9

1,048

1011

4118054133

394813663,7

1,043

1012

37607912018

36191206825,3

1,039

1013

3460665535898

33407267837,1

1,036

10

Từ l u ngƣời t

ã biết r ng, trong dãy n s nguy n li n tiếp k + 1, k +

2, ..., k + n với k nhỏ th ó nhi u s nguy n t , nhƣng với s k kh lớn th lại
hiếm s nguy n t . Với s k

tỉ th

20 s nguy n li n tiếp mới ó một s

nguy n t

1.4 Số giả nguyên tố [3]
Định lí Fermat nhỏ
Nếu p l s nguy n t th với mọi s nguy n b t

ó

bp  b (mod p)
Thí dụ, với p = 7, b = 2, t

ó

27 mod 7 = 128 mod 7 = 2
Nói ri ng, nếu b kh ng hi hết ho p th
bp1  1 (mod p)
Thí dụ tr n ho t
26 mod 7 = 64 mod 7 = 1
Định lí Fermat nhỏ l một trong những ơ sở lí thuyết qu n trọng phụ

vụ ho việ giải b i to n kiểm ịnh tính nguy n t

s t nhi n

Theo ịnh lý Ferm t nhỏ, nếu n l s nguy n t v b l s nguy n t y ý
th bn

b (mod n), do ó nếu với s t nhi n n > 1, tồn tại s t nhi n b sao

cho bn

b (mod n) th n phải l hợp s
Trong nhi u ng dụng t

ho

kiểm ịnh một s t

Tiế r ng mệnh

ảo

ần ến

nhi n ho trƣớ

thuật to n sử dụng s nguy n t
ó phải l s nguy n t h y kh ng

ịnh lí Ferm t nhỏ l kh ng

t nhi n n s o ho với mọi s t nhi n b nguy n t

ng Tồn tại v s s

ng nh u với n t lu n ó

bn1  1 (mod n)
Số giả nguyên tố
Cho h i s nguy n dƣơng b v p. Nếu p l hợp s , b nguy n t
ng nh u với p v
11


bp1  1 (mod p)
th t nói p l số giả nguyên tố cơ sở b.
Thí dụ (F S rrus, 1820), p = 341 = 11  31 l s giả nguy n t
Thật vậy, vận dụng ịnh lí ồng dƣ Trung Ho , t

ơ sở 2

ó

2340  (210)34  102434  1 (mod 11)
2340  (25)68  1 (mod 31)
Từ ó suy r 2340  1 ( mod 341).
Tƣơng t , t

ó với s p = 561 = 31117
2560  (22)280  1 ( mod 3)

2560  (210)56  1 ( mod 11)
2560  (216)35  1 ( mod 17)

Từ ó suy r 2560  1 (mod 561).
Nói hung

s giả nguy n t “ít hơn nhi u” so với

s nguy n t

Chẳng hạn ó tất ả 455052512 s nguy n t bé hơn 1010, nhƣng hỉ
14884 s giả s nguy n t

ó

ơ sở h i

Định lý
Có v s s giả nguy n t

ơ sở 2.

Nhƣ vậy, ể kiểm tr một s
t xem nó ó l giả nguy n t
tr

i với

ơ sở ó l

ơ sở kh

ó phải l nguy n t h y kh ng trƣớ ti n

ơ sở 2 h y kh ng, s u ó ó thể tiếp tụ kiểm

Tuy nhi n, tồn tại

s giả nguy n t

i với mọi

s C rmi h el

Số Carmichael [13]
S giả nguy n t p theo mọi ơ sở nguy n t

ng nh u với p ƣợ gọi

l s Carmichael.
Mọi s nguy n dƣơng p thỏ

ẳng th

12

dƣới

y

u l s Charmichael.


(∑
Có v s

)

s Ch rmi h el, dƣới

y liệt k 7 s

ầu ti n:

561 = 31117
1105 = 51317
1729 = 71319
2465 = 51729
2821 = 71331
6601 = 72341
8911 = 71967

1.5 Số Mersenne [13]
Định nghĩa
Cho s nguy n dƣơng k. Khi ó s Mk = 2k – 1 ƣợ gọi l số
Mersenne bậc k. Nếu p l s nguy n t v Mp

ng l s nguy n t , th Mp

ƣợ gọi l số nguyên tố Mersenne bậc p.

Ví dụ
M 2 = 22  1 = 3
M 3 = 23  1 = 7
M5 = 25  1 = 31
M7 = 27  1 = 127
l
hợp s

s nguy n t Mersenne, trong khi ó M11 = 211  1 = 2047 = 23  89 l
Có nhi u ịnh lý kh

nh u ể x

Chẳng hạn nhờ v o ịnh lý s u
nguy n t Mersenne d

y, t

v o dạng

ịnh s nguy n t Mersenne

ó thể kiểm ịnh nhanh hóng s
ƣớ

nó.

Định lý
Nếu p  2 l một s nguy n t , th mọi ƣớ nguy n t
Mp

u ó dạng 2kp + 1, trong ó k l s nguy n dƣơng
13

s Mersenne


Ví dụ
s M13 = 213 – 1 = 8191 ta hỉ ần

Để kiểm ịnh tính nguy n t
kiểm tr xem M13 ó
kh

ƣớ nguy n t kh ng vƣợt qu

theo ịnh lý tr n, mọi ƣớ nguy n t

M13

√

90 M t

u phải ó dạng 26k + 1.

nhƣ vậy hỉ ần thử với h i s 53 (k = 2) v 79 (k = 3). T thấy
8191 mod 53 = 29
8191 mod 79 = 54
vậy 8191 kh ng hi hết ho 53 v 79, do ó M13 l s nguy n t

Có nhi u thuật to n

biệt ể kiểm tr tính nguy n t

s

Mersenne Nhờ ó, ngƣời t ph t hiện ƣợ những s nguy n t rất lớn S
nguy n t Mersenne t m ƣợ gần

y nhất (Old Magnar Strindmo, 2009) l

s M42643801 gồm 12837064 hữ s thập ph n.
Giả thuyết s u vẫn l b i to n mở:
Giả thuyết
Tồn tại v hạn s nguy n t Mersenne.
B n s nguy n t Mersenne ầu ti n M2 = 3, M3 = 5, M5 = 31, M7 =
127 ã ƣợ biết từ ổ xƣ

S th n m l M 13 = 8191 ƣợ t m thấy v o

trƣớ n m 1641, h i s tiếp theo M17 v M19 ƣợ Cataldi t m thấy v o n m
1588 S u hơn một thế kỷ M31 ƣợ Euler x

ịnh v o n m 1750 S tiếp

theo l M127 , do Lu s t m thấy v o n m 1876 s u ó M 61 ƣợ Pervushin
ph t hiện v o n m 1883 H i s nữ M89 v M207 ƣợ Powers t m thấy v o
n m 1911 v 1914
Từ thế kỷ th 17

s n y ƣợ m ng t n nh to n họ Ph p M rin

Mersenne, ngƣời ã h ng minh tính nguy n t
Mersenne với s m l n ến 257 D nh s h
gần nhƣ b o gồm ả M76, M257 tuy nhi n hƣ
14

một loạt
kết quả

s nguy n t
ng ã liệt k

ó M61, M89 v M107.


Phƣơng ph p t t nhất ể kiểm tr tính nguy n t
d

v o tính to n

một dãy tuần ho n, do Luk s

s Mersenne
xuất n m 1878 v

Lehmer h ng minh v o những n m 1930 Hiện n y phƣơng ph p n y ƣợ
gọi l kiểm định Lucas – Lehmer ho

s nguy n t Mersenne Đ

ó thể h ng minh r ng (với n > 2) Mn = 2n – 1 l s nguy n t khi v

biệt, t
hỉ khi

Mn hi hết ho Sn – 2 trong ó S0 = 4, v Sk = S2k-1 – 2 với k > 0.
C

si u m y tính ã trợ gi p ắ l

ho việ t m

s nguy n t

Mersenne lớn. N m 1952 s nguy n t Mersenne M52 ƣợ Lehmerm v
Robinson tính to n tr n m y tính Western US National Bureau of Standards
(SWAC) tại Instute for Numeri l An lysis thuộ Đại họ C liforni , Los
Angeles Đó l s nguy n t Mersenne ƣợ ph t hiện s u 38 n m S tiếp
theo M607 ã ƣợ t m thấy tr n m y tính n y s u gần h i giờ hạy m y B
s tiếp theo M1279 , M2203, M2281 ã ƣợ t m thấy với
s u nhi u th ng nữ

ng hƣơng tr nh tr n

M4253 l s nguy n t Mersenne ầu ti n si u lớn, tr n

1000 hữ s thập ph n, v M44497 l s nguy n t

ầu ti n ó tr n 10000 hữ

s thập ph n
S u n y, sử dụng tính to n lƣới tr n Internet
ịnh ƣợ s nguy n t

nh kho họ

243112609 – 1 v h ng loạt s kh

Bảng 1.2

Một vài số nguyên tố Mersenne

No

S nguy n t

Chữ s

Thời iểm

Mersenne 38

26972593 – 1

2098960`

1999

Mersenne 39

213466917 – 1

4053946

2001

Mersenne 40

220996011 – 1

6320430

2003

Mersenne 41

224036583 – 1

7235773

2004

Mersenne 42

225964951 – 1

7816230

2005

Mersenne 43

230402457– 1

9152052

2005

15

ãx


Mersenne 44

232582657– 1

9808358

2006

Mersenne 46

237156667 – 1

1185272

2008

Mersenne 47

242643801 – 1

12837064

2009

Mersenne 45

243112609– 1

12978189

2008

1.6 Số Fermat
Giữ thế kỷ 17 Fermat nghi n

u

s nguy n dạng [11]
,nℕ

Với n = 0, 1, 2, 3 v 4
Ferm t d

s dạng tr n

o n r ng mọi s dạng tr n

u l nguy n t

Tr n ơ sở ó

u l s nguy n t

Tuy nhi n ến n m 1732, Euler ã ph t hiện r F5 l hợp s
Đến n y ngƣời t vẫn hƣ t m r th m ƣợ s nguy n t dạng Ferm t
n o, trong khi ã khảo s t tr n 70 hợp s dạng Ferm t ã ƣợ kiểm h ng
Dƣới

y l một v i s Ferm t (

hợp s

ƣợ ghi h b ng dấu *)

F0 = 21 + 1 =

3

F1 = 22 + 1 =

5

F2 = 24 + 1 =

17

F3 = 28 + 1 =

257

F4 = 216 + 1 =

65 537

*F5 = 232 + 1 =

4 294 967 297

=

641 × 6 700 417

*F6 = 264 + 1 = 18 446 744 073 709 551 617
= 274 177 × 67 280 421 310 721

16


1.7 Các số nguyên tố lớn [13]
1.7.1 Các số nguyên tố sinh đôi
Nếu h i s

p v

p+2

u l nguy n t th t

ó cặp số nguyên tố sinh

đôi. Ng y 28 9 2002 D niel P pp ph t hiện r một s nguy n t sinh
51090 hữ s

Đó l s

p nguy n t sinh

333218925.2169690

1 Bảng dƣới

i ó

y liệt k một s

i
Bảng 1.3 Một số cặp nguyên tố sinh đôi
S nguy n t

No

Chữ s

Thời iểm

1

16869987339975.2171960  1

51779

2005

2

16869987339975.2171960 + 1

51779

2005

3

100314512544015.2171960  1

51780

2006

4

100314512544015.2171960 + 1

51780

2006

5

194772106074315. 2171960  1

51780

2007

6

194772106074315. 2171960 + 1

51780

2007

7

2003663613. 2195000  1

58711

2007

8

2003663613. 2195000 + 1

58711

2007

9

65516468355. 2333333  1

100355

2009

10

65516468355. 2333333 +1

100355

2009

1.7.2 Các số nguyên tố Sophie Germain [13]
Nếu p v 2p + 1 ồng thời nguy n t th p ƣợ gọi l số nguyên tố
Sophie Germain.
Ng y 18 1 2003, D vid Underb kko ã ph t hiện r s nguy n t Sophie
Germain ó 34547 hữ s (2540041185 2114729 – 1). S n y ƣợ m ng t n ng
Bảng dƣới

y liệt k một s s nguy n t Sophie Germ in ã biết
17