BÀI TẬP TÍCH 1 SỐ VỚI VECTO

PHÉP NHÂN
VECTƠ VỚI MỘT SỐ
r
1) Định nghĩa: Cho r ≠ r , 0≠k ∈R ta có

a 0

+

r
c

c

=k r (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó:

a

cùng phương r

a

r
c

+

cùng hướng r khi k>0

a

+

r
c

ngược hướng r khi k<0

a

r
c

+ | |=| k r |=|k|.| r |

a

a

r
0

r r
0 0

Quy ước: 0 r = ; k =

a

* Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:

uuur uuur
uuu
r
MA + MB = 2MI

* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ∆ABC, với mọi M ta có:

uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
MA + MB + MC = 3MG

3) Điều kiện
r để hai vectơ cùng
r phương
r

b

∀ r , ; r cùng phương
a
a

r r
b b

(∀ r , ;

a

b 0

≠ ⇔ ∃ 0≠k ∈R : r =k

r
b

a

r
0

cùng phương r ≠ ⇔ ∃ 0≠k ∈R :

a

r
b

=k r )

a

4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
⇔

uuu
r
AB

cùng phương

uuur
AC

⇔∃ 0≠k ∈R :

uuu
r
uuur
AB = k AC

PHẦN TỰ LUẬN
BÀI TẬP
Bài 1: Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.

→
→
→
AM BN CP 0
a/ CMR :
+
+
=


→

OA

b/ CMR :

→

→

OB

+

+

OC

→

=

→

OM

+

→

ON

+

OP
→

→

Bài 2: Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi M∈BC sao cho
→

→

AB

a/ CMR :

+2

→

AC

=2

MC

→

=3

AM

→

→

MA

BM

→

MC

MB

MG

b/ CMR :
+
+
=3
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
→

→

AD

a/ CMR :

+

→

OA

b/ CMR :
c/ CMR :

=2

→

+

+

OC

MB

+


0

→

+

OD

→

→

+

EF

→

OB

→

MA

→

BC

MC

=

→

→

+

MD

=4

MO
−→

MA

(với M tùy ý)
−→

−→

−→

MB MC MD

d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho
+
+
+
 nhỏ nhất
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.

→
→
→

→
BG
CH
0
AF
DE
a/ CMR :
+
+
+
=
→

→

→

→

→

→

→

→

MA MB MC MD ME MF MG MH
b/ CMR :
+

+
+
=
+
+
+
→

→

AB + AC

→

→

AG

AD

c/ CMR :
+
=4
(với G là trung điểm FH)
Bài 5: Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
→

AD

→

BE

→

→

CF

GH

CMR :
+
+
=3
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :

→
→
→
→
OA OB OC OD 0
a/
+
+
+
=
→

b/

EA

→

→

+

EB

+2

EC

→

=3

→

AB

c/

EB

→

+2

EA

→

→

+4

ED

=

EC

PHẦN TRẮC NGHIỆM
I.3. Tích vectơ với một số
1. Cho ∆ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC. Đẳng thức nào đúng?
a)

uuu
r
uur
GA = 2GI
uuur uuur
uur
GB + GC = 2GI

b)

uur
r
1 uu
IG = − IA
3

uuur uuur uuu
r
GB + GC = GA

c)
d)
2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây
là sai?


a)

uuur 2 uuuur
AG = AM
3
uuur uuur uuur
GA = BG + CG

b)

uuur uuur
uuur
AB + AC = 3AG
uuur uuur uuuur

GB + GC = GM

c)
d)
3. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào đúng?
uuur uuur
uuur
uuur uuur
a)

AC + BD = 2 BC

b)

uuur uuur
uuur
AC − BD = 2CD

uuur
AC + BC = AB

uuur uuur uuur
AC − AD = CD

c)
d)
4. Cho ∆ABC vuông tại A với M là trung điểm của BC . Câu nào sau đây đúng:
a)

uuuur uuur uuuu

r
AM = MB = MC

b)

uuur uuuu
r
MB = MC

c)

uuur
uuuu
r
MB = − MC

d)

uuur
uuuur BC
AM =
2

5. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Trong các

mệnh đề sau tìm mệnh đề sai :
uuur
uuur
AC = 2 NC

uuur
uuuur
AB = 2 AM

uuur
1 uuur
CN = − AC
2

uuur
uuuu
r
BC = −2 MN

a)
b)
c)
d)
6. Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai
a)
c)

uuur uuur
uuur
AB + AD = 2 AO

b)

uuu
r uuur 1 uuu

r
OA + OB = CB
2

d)

uuur uuur
r
1 uuu
AD + DO = − CA
2
uuur uuur
uuur
AC + DB = 4 AB

7. Cho tam giác ABC, có bao nhiêu điểm M thoả mãn :

uuur uuur uuuu
r
MA + MB + MC

=1

a) 0
b) 1
c) 2
d) vô số
8. Cho hình bình hành ABCD, có M là giao điểm của hai đường chéo. Trong các
mệnh
đề sau, tìm mệnh đề sai:

uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
a)

AB + BC = AC

uuu
r uuur
uuuu
r
BA + BC = 2 BM

b)

AB + AD = AC

uuur uuur uuuu
r uuuu
r
MA + MB = MC + MD

c)
d)
9. Cho G là trọng tâm của tam giác ABC. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh
đề đúng :
a)
c)

uuur uuur 2 uuur
AB + AC = AG

3

uuu
r uuu
r uuur
CA + CB = CG

b)
d)

uuu
r uuur
uuur
BA + BC = 3BG
uuur uuur uuur r
AB + AC + BC = 0

10.Cho tam giác ABC điểm I thoả:

a)
c)

uuu
r uuu
r
uur CA − 2CB
CI =
3

uur

uuu
r
uuu
r
CI = −CA + 2CB

uu
r
uur
IA = 2 IB

b)
d)

. Chọn mệnh đề đng:

uuu
r uuu
r
uur CA + 2CB
CI =
3
uuu
r uuu
r
uur CA + 2CB
CI =
−3

11.Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a . Độ dài của

a) 2a
12.Cho ∆ABC. Đặt
r
r r r
2a + b , a + 2b

a)

r uuur r uuur
a = BC , b = AC

b) a

c)

a 3

uuur uuur
AB + AC

d)

bằng

a 3
2

. Các cặp vectơ nào sau cùng phương?

r r r
r
a − 2b , 2a − b

b)

c)

r
r r
r
5a + b , −10a − 2b

d)

r r r r
a + b, a − b