33 Bài tập Thể tích khối lăng trụ (Phần 2)

33 bài tập - Thể tích khối lăng trụ (Phần 2) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của điểm A1 lên ( ABC )
trùng với trọng tâm tam giác ABC, AA1 =
A. VABC . A1B1C1

a3 6
=
12

C. VABC . A1B1C1 =

a3 3
12

2a 3
. Thể tích khối lăng trụ ABC. A1 B1C1 là:
3
B. VABC . A1B1C1

a3 6
=
6

D. VABC . A1B1C1 =

a3 3
4

Câu 2. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3 , cạnh bên có độ dài bằng
2a. Hình chiếu của điểm A1 lên ( ABC ) trùng với trung điểm của BC. Thể tích khối lăng trụ ABC. A1 B1C1
là:

A. VABC . A1B1C1 =
C. VABC . A1B1C1

3a 3 21
8

a 3 14
=
12

B. VABC . A1B1C1 =
D. VABC . A1B1C1

a 3 21
24

a 3 14
=
8

Câu 3. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3 . Hình chiếu của điểm A1
lên ( ABC ) trùng với trung điểm của BC, cạnh bên hợp với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ
ABC. A1 B1C1 là:
A. VABC . A1B1C1 =

a3 3
12

B. VABC . A1B1C1 =

3a 3 3
8

C. VABC . A1B1C1 =

9a 3
8

D. VABC . A1B1C1 =

27 a 3
8

Câu 4. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a 3 . Hình chiếu của điểm A1
lên ( ABC ) trùng với trung điểm của BC, mặt ( A1 AB ) hợp với mặt đáy một góc α thỏa mãn tan α =
Thể tích khối lăng trụ ABC. A1 B1C1 là:
A. VABC . A1B1C1

a3 3
=
24

C. VABC . A1B1C1 =

a3 6
12

B. VABC . A1B1C1

3a 3 3

=
8

D. VABC . A1B1C1 =

a3 6
9

2
.
3


Câu 5. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a . Hình chiếu
2
của điểm A1 lên ( ABC ) trùng với trung điểm của AC , S AA1C1C = a 2 . Thể tích khối lăng trụ ABC. A1 B1C1

là:
A. VABC . A1B1C1 =
C. VABC . A1B1C1

a3
2

B. VABC . A1B1C1 =

a3 2
=
3

D. VABC . A1B1C1

a3
6

a3 2
=
6

Câu 6. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a . Hình chiếu
của điểm A1 lên ( ABC ) trùng với trung điểm của AC, cạnh A1B hợp với đáy một góc 45°. Thể tích khối
lăng trụ ABC. A1 B1C1 là:
A. VABC . A1B1C1

a3 3
=
2

C. VABC . A1B1C1 =

a3 2
6

B. VABC . A1B1C1

a3 3
=
6

D. VABC . A1B1C1 =

a3 2
4

Câu 7. Cho lăng trụ ABC. A1 B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a . Hình chiếu
của điểm A1 lên ( ABC ) trùng với trung điểm của AC, mặt ( A1 AB ) hợp với đáy một góc 60°. Thể tích
khối lăng trụ ABC. A1 B1C1 là:
A. VABC . A1B1C1 =
C. VABC . A1B1C1

a3 3
4

a3 6
=
6

B. VABC . A1B1C1 =
D. VABC . A1B1C1

a3 3
6

a3 6
=
9

Câu 8. Cho lăng trụ ABCD. A1 B1C1 D1 có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Chân đường vng góc kẻ từ
A1 lên ( ABCD ) trùng với giao điểm của 2 đường chéo đáy, mặt ( AA1 B1 B ) hợp với đáy một góc 60°. Thể
tích khối lăng trụ ABCD. A1 B1C1 D1 là:

A. VABCD. A1B1C1D1

a3 3
=
3

C. VABCD. A1B1C1D1 =

a3 6
2

B. VABCD. A1B1C1D1

a3 3
=
2

D. VABCD. A1B1C1D1 =

a3 6
6

Câu 9. Cho lăng trụ ABCD. A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 120° . Biết A1. ABC là
hình chóp đều và A1D hợp với đáy một góc 45°. Thể tích khối lăng trụ ABCD. A1 B1C1D1 là:


A. VABCD. A1B1C1D1 =

a3 3
3

3
B. VABCD. A1B1C1D1 = a .

C. VABCD. A1B1C1D1 =

a3
3

D. VABCD. A1B1C1D1 =

a3 6
12

Câu 10. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' cạnh đáy a = 4 , biết diện tích tam giác A ' BC bằng 8.
Thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' bằng:
A. 4 3

B. 8 3

C. 2 3

D. 10 3

Câu 11. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác cân tại A, AB = AC = 2a , CAB = 120° . Góc
giữa ( AB ' C ) và ( ABC ) là 45°. Thể tích khối lăng trụ là:
A. 2a 3 3

B.

a3 3
3

C. 3a 3

D.

a3 3
2

Câu 12. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng

( A ' BC )
A. 3a

bằng

a 6
. Khi đó thể tích lăng trụ bằng:
2

3

a3 3
B.
3

C. a

3

3

a3 3
D.
2

Câu 13. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu của A ' lên ( ABC )
trùng với trung điểm của AB. Biết góc giữa ( AA ' C ' C ) và mặt đáy bằng 60°. Thể tích khối lăng trụ bằng:
A. 2a 3 3

B. 3a 3 3

C.

3a 3 3
2

D. a 3 3

Câu 14. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a tâm O. Khi đó thể tích khối tứ diện A. A ' BO là:
a3
A.
8

a3
B.
9

a3 2

C.
3

a3
D.
12

Câu 15. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vng góc
của A ' xuống mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của AB. Mặt bên ( AA ' C ' C ) tạo với đáy một góc 45°.
Tính thể tích khối lăng trụ.
A.

3a 3
32

B.

3a 3
4

C.

3a 3
8

D.

3a 3
16

Câu 16. Cho lăng trụ xiên tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là
a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60°. Tính thể tích lăng trụ.


3a 3 3
A.
8

B. Đáp án khác

2a 3
C.
9

D.

5a 3 3
8

Câu 17. Đáy của một hình hộp đứng là một hình thoi có đường chéo nhỏ bằng d và góc nhọn bằng α .
Diện tích của một mặt bên bằng S. Thể tích hình hộp đã cho là:
A. dS sin

α
2

B. dS sin α

C.

1
dS sin α
2

D. dS cos

α
2

Câu 18. Cho hình lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' có thể tích là V. Gọi I, J lần lượt là trung điểm cạnh
AA ' và BB ' . Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC ' bằng:
A.

3
V
5

B.

4
V
5

C.

3
V
4

D.

2
V
3

Câu 19. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình chữ nhật với AB = 3, AD = 7 . Hai mặt bên

( ABB ' A ')

và ( ADD ' A ') lần lượt tạo với đáy những góc 45° và 60°. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh
bên bằng 1.
A. 3

B. 6

C. 9

D. Đáp án khác

Câu 20. Khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng
đáy bằng 30°. Hình chiếu của đỉnh A ' trên mặt phẳng đáy ( ABC ) trùng với trung điểm của cạnh BC. Thể
tích của khối lăng trụ đã cho là:
A.

a3 3
4

B.

a3 3

3

C.

a3 3
12

D.

a3 3
8

Câu 21. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB ' D ' và khối hộp
ABCD. A ' B ' C ' D ' bằng:
A.

1
6

B.

1
2

C.

1
3

D.

1
4

Câu 22. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1 B1C1 mà mặt bên ABB1 A1 có diện tích bằng 4. Khoảng cách
giữa cạnh CC1 và mặt phẳng ( ABB1 A1 ) bằng 7. Khi đó thể tích khối lăng trụ ABC. A1 B1C1 là:
A. 28

B.

14
3

C.

28
3

D. 14

Câu 23. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' , M là trung điểm của AA ' . Mặt phẳng ( MBC ')
chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỷ số của hai phần đó bằng:
A.

5
6

B.

1

3

C. 1

D.

2
5


Câu 24. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có thể tích là V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Khi đó thể tích của khối chóp C ' AMN là:
A.

V
3

B.

V
12

C.

V
6

D.

V

4

Câu 25. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh BB ' và CC ' . Mặt
phẳng ( AMN ) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số
A.

1
3

B.

1
2

VA ' B ' C '. NMA
.
VA. BCNM

C. 2

D. 1

Câu 26. Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A ' lên ( ABC ) trùng
a3 3
với trung điểm của BC. Thể tích của khối lăng trụ là
, độ dài cạnh bên của khối lăng trụ là:
8
A. a

B. 2a

C.

a 6
2

D. a 6

Câu 27. Đáy của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên với mặt đáy
của lăng trụ là 30°. Hình chiếu vng góc của A ' xuống đáy ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh BC.
Thể tích của khối lăng trụ là:
2a 3
3

A.

3a 3
8

B.

2a 3
C.
12

3a 3
4

D.

Câu 28. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ', O là giao điểm của AC và BD. Tỷ số thể tích của khối chóp
O. A ' B ' C ' D ' và khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' là:
A.

1
2

B.

1
6

C.

1
3

D.

1
4

Câu 29. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' , I là trung điểm của BB ' . Mặt phẳng ( DIC ') chia khối
lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:
A.

1
3

B.

7
17

C.

4
14

D.

1
2

Câu 30. Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có thể tích bằng V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
BB ' và CC ' . Thể tích của khối ABCMN bằng:
A.

V
2

B.

V
3

C.

2V
3

D.

V
4


Câu 31. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Mặt phẳng ( BDC ') chia khối lập phương thành 2 phần
có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:
A.

1
2

B.

1
5

C.

1
3

D.

1
4

Câu 32. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có thể tích là V. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

A ' B ' và B ' C ' thì thể tích khối chóp D '.DMN bằng:
A.

V
2

B.

V
16

C.

V
4

D.

V
8

Câu 33. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, A ' A = A ' B = A ' C , cạnh A ' A tạo
với mặt đáy một góc 60°. Tính thể tích lăng trụ.
A.

a3 3
3

B.

a3 3
2

C. Đáp án khác

D.

a3 3
4


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án D

Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC
2 a 3 a 3
Ta có: AH = .
=
3 2
3
Khi đó A1H = A1 A2 − AH 2 =

4a 2 a 2
−
=a
3
3

Do đó VABC . A1B1C1 = S ABC . A1H =

a2 3
a3 3
.
.a =
4
4

Câu 2. Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm của BC khi đó AH =
Mặt khác A1H = AA12 − AH 2 = 4a 2 −

Suy ra V

ABC . A1B1C1

= S ABC

( a 3)
.A H =
1

2

4

( a 3) .

3

2

=

3a
2

9a 2 a 7
=
4
2

3 a 7 3a 3 21
.
.
=
2
8

Câu 3. Chọn đáp án D

Gọi H là trung điểm của BC khi đó AH =

( a 3) .
2

3

=

3a
2

Lại

có:

(·AA , ( ABC ) ) = ·A AH = 60° ⇒ A H = AH tan 60° = 3a2 3
1

Suy ra V

1

ABC . A1B1C1

= S ABC . A1H =

1

(

a 3

)

4

2

3 3a 3 27 a 3
.
.
=
2
8


Câu 4. Chọn đáp án B

Gọi H trung điểm của BC khi đó AH =

( a 3) .
2

3

=

3a
2

Dựng HK ⊥ AB lại có A1H ⊥ AB do đó ( A1 KH ) ⊥ AB
a 3
3a
·
Suy ra ·A1KH = α . Lại có HK = HB sin HBK
=
.sin 60° =
2

4
Do đó A1H = HK tan α =

Suy ra V

ABC . A1B1C1

3a 2 a
. =
4 3 2

= S ABC . A1H =

(

a 3

)

4

2

3 a 3a 3 3
.
. =
2
8

Câu 5. Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm của AC, ta có A1H ⊥ ( ABC ) ; AC = a 2
2
Khi đó A1H ⊥ AC ⇒ S ACC1 A1 = A1 H . AC = a 2 ⇒ A1H = a

Do vậy VABC . A1B1C1

a2
a3
= S ABC . A1 H = .a = .
2
2

Câu 6. Chọn đáp án D

Gọi

H

là

trung

điểm

của

AC,

A1H ⊥ ( ABC ) ; AC = a 2

Khi đó ·A1BH = (·A1B, ( ABC ) ) = 45°
Mặt khác BH =

AC a 2
a 2
=
⇒ A1H =
2
2
2

Do vậy VABC . A1B1C1 = S ABC . A1H =

a 2 a 2 a3 2
.
.
=
2 2
4

ta

có


Câu 7. Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm của AC, ta có A1H ⊥ ( ABC ) ; AC = a 2
Dựng HK ⊥ AB lại có A1H ⊥ AB do đó ( AKH ) ⊥ AB
⇒ (·

( A1 AB ) , ( ABC ) ) = ·AKH = 60° .
Mặt khác HK =

BC a
a 3
= ⇒ A1H = HK tan 60° =
2
2
2

Do vậy VABC . A1B1C1 = S ABC . A1H =

a 2 a 3 a3 3
.
.
=
2 2
4

Câu 8. Chọn đáp án B

Gọi O là tâm mặt đáy ABCD
OH ⊥ AB ,
Dựng
A1O ⊥ AB ⇒ ( A1 HO ) ⊥ AB

lại

có

Do đó ·A1HO = (·
( A1 AB ) , ( ABC ) ) = 60°
Suy ra A1O = OH tan 60° =
Do đó VABCD. A1B1C1D1 = S ABCD . A1O = a 2 .

AD
a 3
tan 60° =
2
2

a 3 a3 3
.
=
2
2

Câu 9. Chọn đáp án B

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC đều
Khi đó A1H ⊥ ( ABC ) (do A1 ABC là khối chóp
đều)
Ta có: ·A1DH = (·A1D, ( ABC ) ) = 45° ⇒ A1H = HD
Lại
HD =

có
2
2a 3
BD; BD = a 3 ⇒ HD = A1H =

3
3


Do đó VABCD. A1B1C1D1 = S ABCD . A1O = 2 S ABC . A1H
= 2.

a 2 3 2a 3
.
= a3 .
4
3


Câu 10. Chọn đáp án B

 AM ⊥ BC
⇒ A ' M ⊥ BC
Gọi M là trung điểm của BC suy ra 
AA
'
⊥
BC

Do đó S A ' BC =

1
A ' M .BC = 8 ⇒ A ' M = 4
2

Lại có: AM =

a 3
= 2 3 ⇒ A ' A = A ' M 2 − AM 2 = 2
2

Suy ra VABC . A ' B ' C ' = S ABC . A ' A =

42 3
.2 = 8 3 .
4

Câu 11. Chọn đáp án C
Dựng BH ⊥ AC lại có BB ' ⊥ AC suy ra ( B ' AB ) ⊥ AC
Do đó (·
( AB ' C ) , ( ABC ) ) = B· ' AB = 45°
·
Lại có BAH
= 180° − 120° = 60° ⇒ BH = AB sin 60° = a 3
Suy ra BB ' = a 3; S ABC =

1
BH . AC = a 2 3
2

Do đó VABC . A ' B ' C ' = S ABC .BB ' = a 2 3.a 3 = 3a 3 .
Câu 12. Chọn đáp án A

Gọi H là trung điểm của BC suy ra AH ⊥ BC
Lại có AA ' ⊥ BC suy ra ( A ' AH ) ⊥ BC

a 6
Dựng AF ⊥ A ' H ⇒ AF ⊥ ( A ' BC ) khi đó AF =
; AH = a 3
2
Mặt khác

1
1
1
+
=
⇒ AA ' = a 3 .
2
2
AA '
AH
AF 2

Suy ra VABC . A ' B ' C ' = S ABC

( 2a )
.A ' A =

2

4

3

.a 3 = 3a 3 .

Câu 13. Chọn đáp án C

Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Kẻ ( d ) đi qua H và vng góc với
K ⇒ HK ⊥ AC .

AC

tại

A ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ A ' H ⊥ AC ⇒ AC ⊥ ( A ' HK ) .
Suy ra (·
( AA ' C ' C ) , ( ABC ) ) = (·A ' K , HK ) = ·A ' KH = 60° .
Ta có HK =

1
a 3
3a
.
BM =
⇒ A ' H = tan 60°.HK =
2
2
2

Thể tích khối lăng trụ là
VABC . A ' B ' C ' = A ' H .S ∆ABC =

3a 2
3a 3 3
.
.a 3 =
2
2

Câu 14. Chọn đáp án D
1
1 a 1
a3
VAA ' BO = VO. ABA ' = .d ( O, ( ABB ' A ' ) ) .S ∆ABA ' = . . .a 2 = .
3
3 2 2
12
Câu 15. Chọn đáp án A

Đặt AA ' = x , tam giác A ' AC vuông tại A ⇒ A ' C = x 2 + 16 .
Và A ' B = A ' C ⇒ ∆A ' BC cân tại A ' .
Gọi M là trung điểm của BC ⇒ A; M ⊥ BC .
⇒ A ' M = A ' C 2 − MC 2 = x 2 + 16 − 4 = x 2 + 12 .
1
1
⇒ S ∆A ' BC = . A ' M .BC = .4.. x 2 + 12 = 8 ⇔ x = 2 .
2
2
Thể tích khối lăng trụ là V = AA '.S ∆ABC = 2.

42 3
=8 3.

4

Câu 16. Chọn đáp án A
Gọi H là hình chiếu của A ' trên mặt phẳng ( ABC ) .
⇒ AH là hình chiếu của AA ' trên mặt phẳng ( ABC ) .


⇒ (·AA ', ( ABC ) ) = (·AA ', AH ) = ·A ' AH = 60° .
Tam giác A ' AH vng tại H, có sin ·A ' AH =

A' H
3a
⇒ A ' H = sin 60°.a 3 =
.
AA '
2

Thể tích khối lăng trụ là VABC . A ' B ' C ' = A ' H .S ∆ABC

3a a 2 3 3a 3 3
.
= .
=
2
4
8

Câu 17. Chọn đáp án D
Gọi hình hộp đứng là ABCD. A ' B ' C ' D ' với ABCD là hình thoi, ·ABC = α , AC = d .
Diện tích một mặt bên là AA ' B ' B có diện tích S và AA ' = h .

Gọi cạnh của hình thoi là x ⇒ S = x.h ⇒ h =

S
. Diện tích hình thoi là S ABCD = x 2 .sin α
x

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, có AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2. AB.BC.cos ·ABC .
⇔ 2 x 2 − 2 x 2 .cos α = d 2 ⇔ 2 x 2 ( 1 − cos α ) = d 2 ⇔ 4 x 2 .sin 2

α
d
= d2 ⇔ x =
α .
2
2sin
2

Câu 18. Chọn đáp án D
1
Gọi K là trung điểm của CC ' ⇒ VABC . IJK = VABC . A ' B ' C ' .
2
1
1 1
1
Và VC '.IJK = .d ( C ', ( IJK ) ) .S ∆IJK = . .d ( C ', ( ABC ) ) .S ∆ABC = VABC . A ' B ' C '
3
3 2
6
1
1

2
Vậy VABCIJC ' = VABC .IJK + VC '. IJK = VABC . A ' B ' C ' + VABC . A ' B ' C ' = V .
2
6
3
Câu 19. Chọn đáp án A
Kẻ A ' H ⊥ ( ABCD ) , HM ⊥ AB, HN ⊥ AD .
⇒ A ' M ⊥ AB, A ' N ⊥ AD (định lý ba đường vng góc).
⇒ (·
( ABB ' A ') , ( ABCD ) ) = ·A ' MH = 45°
Và (·
( ADD ' A ') , ( ABCD ) ) = ·A ' NH = 60° .


Đặt A ' H = x . Khi đó A ' N =

2x
3 − 4x2
.
⇒ AN = HM =
3
3

3 − 4x2
3
Mà HM = x 
.
→
=x⇔x=
3

7
⇒ VABCD. A ' B ' C ' D ' = AB. AD. A ' H = 3. 7.

3
= 3.
7

Câu 20. Chọn đáp án D
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) .
⇒ AH là hình chiếu của A ' A trên mặt phẳng ( ABC ) .
⇒ (·AA ', ( ABC ) ) = (·A ' A, AH ) = ·A ' AH = 30° .
A' H
a
⇒ A' H = .
Tam giác A ' AH vng, có ·A ' AH =
AH
2
a a 2 3 a3 3
Thể tích lăng trụ là V = A ' H .S ∆ABC = .
.
=
2 4
8
Câu 21. Chọn đáp án C
4
Ta có VABCD. A ' B ' C ' D ' = VA. A ' B ' D ' + VC .B ' C ' D ' + VB '. ABC + VD '. ADC + VACB ' D ' = VABCD . A ' B ' C ' D ' + VACB ' D '
6
2
1
VACB ' D '

1
⇒ VABCD. A ' B ' C ' D ' = VABCD . A ' B ' C ' D ' + VACB ' D ' ⇒ VACB ' D ' = VABCD. A ' B ' C ' D ' ⇒
= .
3
3
VABCD . A ' B ' C ' D ' 3
Câu 22. Chọn đáp án D
Ta có CC1 / / ( ABB1 A1 )
⇒ d ( CC1 , ( ABB1 A1 ) ) = d ( C , ( ABB1 A1 ) ) = 7
Bài ra S ABB1 A1 = 4 ⇒ S A1 AB = 2
⇒ VABC . A ' B ' C ' = 3VA1 . ABC = 3VC . A1 AB
1
= 3. d ( C , ( ABB1 A1 ) ) .S A1 AB = 7.2 = 14 .
3
Câu 23. Chọn đáp án C


Lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C '
⇒ A ' A ⊥ ( ABC ) và ∆ABC đều.
Đặt AB = BC = CA = x và A ' A = h .
Kẻ BP ⊥ AC ( P ∈ AC ) .
 BP ⊥ AC
1
⇒ BP ⊥ ( ACC ' A ') ⇒ VB. ACC ' M = BP.S ACC ' M
Ta có 
3
 BP ⊥ A ' A
2
1 AB 3 1
x2 3  h

 xh 3
= .
. AC. ( AM + CC ') =
.
 + h ÷=
3
2
2
12  2
8


Lại có VABC . A ' B ' C ' = A ' A.S ABC

1 2
x2h 3
= h. x sin 60° =
2
4

⇒ VA ' B ' C ' BM = VABC . A ' B ' C ' − VB. ACC ' M =

x2h 3 x 2h 3 x 2h 3
V
−
=
⇒ A ' B ' C ' BM = 1 .
4
8
8

VB. ACC ' M

Chọn C.
 Nhận xét
Bản chất là như vậy, ta có thể tư duy nhanh như sau:
1
1
Ta có VB . ACC ' M = d ( B, ( ACC ' M ) ) .S ACC ' M và VC '. A ' B ' BM = d ( C ', ( A ' B ' BM ) ) .S A ' B ' BM
3
3
Rõ ràng với lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C ' thì
d ( C ', ( A ' B ' BM ) ) = d ( B, ( ACC ' M ) )
V
⇒ B. ACC ' M = 1 .

VC '. A ' B ' BM
 S A ' B ' BM = S ACC ' M
Câu 24. Chọn đáp án B

Ta có S AMN =

1
1
1 1
V
S ABC ⇒ VC '. AMN = VC '. ABC = . V = .
4
4
4 3
12

Câu 25. Chọn đáp án C


Ta có

1
V2 = VA.BCNM = 2VA.BCM = 2VM . ABC = VB '. ACB = VABC . A ' B ' C '
3
2
⇒ V1 = VA ' B ' C '. NMA = VABC . A ' B ' C ' − VA.CNM = VABC . A ' B ' C '
3
⇒

V1
= 2.
V2

Câu 26. Chọn đáp án C
Gọi H là trung điểm của cạnh BC ⇒ A ' H ⊥ ( ABC )
⇒ VABC . A ' B ' C ' = A ' H .S ABC
⇒ A' H =

1 2
a3 3
= A ' H . a sin 60° =
2
8

a 3

AB 3 a 3
a 6
mà AH =
.
=
⇒ A' A =
2
2
2
2


Câu 27. Chọn đáp án B

Cạnh AH =

AB 3 a 3
.
=
2
2

A' H
1
·
=
Ta có ( A ' A, ( ABC ) ) = ·A ' AH = 30° ⇒ tan 30° =
AH
3
⇒ A' H =

a
a 1
a3 3
.
⇒ VABC . A ' B ' C ' = A ' H .S ABC = . a 2 sin 60° =
2
2 2
8

Câu 28. Chọn đáp án C
1

V
1
VO. A ' B ' C ' D ' = 3 d ( O, ( A ' B ' C ' D ' ) ) .S A ' B ' C ' D '
⇒ O. A ' B ' C ' D ' = .
Ta có 
VABCD . A ' B ' C ' D ' 3
VABCD. A ' B ' C ' D ' = d ( O, ( A ' B ' C ' D ' ) ) .S A ' B ' C ' D '

Câu 29. Chọn đáp án B
Mặt phẳng ( IDC ') cắt AB tại N, với NA = NB .
Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' bằng a.
Ta có
1
1
V1 = VC ' DAB ' IN = VC '. ADN + VC '. ANIB ' = CC '.S ADN + C ' B '.S ANID .
3
3

Mà S ADN

1 a a2
1 a a a2
= a. =
và S IBN = . . =
2 2 4
2 2 2 8

⇒ S ANIB ' =
⇒ V1 =

1 2 a 2 3a 2
5a 3
a −
=
⇒ VC ' DAB ' IN =
2
8
8
24

1 3 5a 3 7 a 3
a −
=
2
24
24

⇒ Phần còn lại V2 = a 3 −

7 a 3 17 a 3
V
7
=
⇒ 1 = .
24
24
V2 17


Câu 30. Chọn đáp án B

Ta có VA. BCNM = 2VA. BCM = 2VM . ABC = VB '. ABC =

V
.
3

Câu 31. Chọn đáp án B

Ta có

1
1
VC . BDC ' = VBCD.B ' C ' D ' = VABCD . A ' B ' C ' D '
3
6
5
⇒ Phần còn lại V2 = VABCD. A ' B ' C ' D '

6
⇒ Tỉ số cần tìm bằng

1
.
5

Câu 32. Chọn đáp án D
1
1

 S MNB ' = 4 S A ' B ' C ' = 4 S A ' C ' D '

1
1

Ta có  S NC ' D ' = S B ' C ' D ' = S A ' C ' D '
2
2

1
1

 S MA ' D ' = 2 S A ' B ' D ' = 2 S A ' C ' D '

3
1 1 1
⇒ S D ' MN = S A ' B ' C ' D ' −  + + ÷S A ' C ' D ' = S A ' C ' D '
4
4 2 2

3
⇒ VD. D ' MN = VD. A ' C ' D '
4

V
3
V
= .2 = .
4 3 8

Câu 33. Chọn đáp án D
Kẻ A ' P ⊥ ( ABC ) tại P.
Mà A ' A = A ' B = A ' C ⇒ P là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
A' P
·
= 3
Ta có ( A ' A, ( ABC ) ) = ·A ' AP = 60° ⇒ tan 60° =
AP


⇒ A ' P = AP 3 =

AB
. 3 = AB = a
3

1
a3 3
.
⇒ VABC . A ' B ' C ' = A ' P.S ABC = a. a 2 sin 60° =

2
4