CHƯƠNG 7 CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA ĐIỂM

Chương 7. CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA ĐIỂM

7.1. Các định nghĩa.
Trong thực tế ta còn gặp nhiều dạng chuyển động phức tạp của điểm: Điểm
chuyển động trên 1 vật, mà vật đó lại chuyển động đối với 1 vật khác. Ta gọi
chuyển động đó là chuyển động tổng hợp (phức hợp) của điểm.
Ví dụ 1: Người đi lại trên tàu, trong khi toa tàu đang chuyển động so với
đường ray.
Ví dụ 2: Một chiếc thuyền đang chuyển động so với mặt nước, trong khi mặt
nước lại chuyển động so với bờ sông.
Ví dụ 3: Động điểm M chuyển động trên thanh OA, trong khi thanh OA quay
quanh tâm O cố định.
Khảo sát chuyển động của điểm M so với hệ toạ độ Oxyz, trong khi hệ toạ độ
Oxyz lại chuyển động so với hệ toạ độ cố định khác O 1x1y1z1 (hình 7-2). Ta có
các định nghĩa sau:

Hình 7 - 2

z1

7.1.1. Định nghĩa 1:

Chuyển

z

động tuyệt đối

y

Là chuyển động của điểm M so

tốc và gia tốc của M so với hệ toạ độ
này là vận tốc tuyệt đối và gia tốc
tuyệt đối.

M

O

với hệ toạ độ cố định O1x1y1z1. Vận

O1

y1

x

x1

Ký hiệu : Va , Wa
Quỹ đạo của M trong hệ toạ độ này là quỹ đạo tuyệt đối.
B

v
Vt

M
V

v

A

1


ω

Vr
O

7.1.2. Định nghĩa 2: Chuyển động tương đối
H×nh 7.1a

H×nh 7.1b

H×nh 7.1c

Chuyển động tương đối là chuyển động của điểm M so với hệ động Oxyz.
Vận tốc và gia tốc của M so với hệ toạ độ này là vận tốc tương đối và gia tốc
tương đối.
Ký hiệu : Vr , Wr
Quỹ đạo của M trong hệ toạ độ này là quỹ đạo tương đối.
7.1.3. Định nghĩa 3: Chuyển động theo (Chuyển động kéo theo)
Chuyển động theo là chuyển động của hệ động Oxyz cùng với phần không
gian gắn với nó so với hệ cố định O1x1y1z1.
Vận tốc và gia tốc gọi là vận tốc theo và gia tốc theo.
Ký hiệu Ve , We
•

Phân tích chuyển động:

Ví dụ 1:
-

chuyển động tuyệt đối là chuyển động của người so với đường ray.

-

Chuyển động tương đối là chuyển động của người so với sàn tàu.

-

Chuyển động theo là chuyển động của tàu so với đường ray.

Ví dụ 2:
-

Chuyển động tuyệt đối là chuyển động của thuyền so với bờ sông

-

Chuyển động tương đối là chuyển động của thuyền so với mặt nước

-

Chuyển động theo là chuyển động của nước so với bờ sông.

Ví dụ 3:
-

Chuyển động tuyệt đối là chuyển động của M so với mặt phẳng cố định

chứa OA
-

Chuyển động tương đối là chuyển động của M dọc theo thanh OA
2


-

Chuyển động theo là chuyển động của OA quay quanh tâm O.

Thông thường ta hay gặp 2 loại bài toán:
-

Bài toán tổng hợp: Biết chuyển động tương đối và kéo theo của điểm, tìm

chuyển động tuyệt đối.
-

Bài toán phân tích chuyển động: Biết chuyển động tuyệt đối của điểm, tìm

2 chuyển động thành phần.

7.2. Định lý hợp vận tốc
7.2.1. Định lý:
Tại mỗi thời điểm, vận tốc tuyệt đối của động điểm bằng tổng hình học vận
tốc tương đối và vận tốc theo.
V a = V r + Ve

Thật vậy, giả sử trong khoảng thời gian

(a)

∆t, điểm M chuyển động trên quỹ đạo tương

M1

Mr

đối với véc tơ MM r (hình 7-3), cũng trong
thời gian đó điểm M chuyển động trên quỹ
đạo theo với véc tơ MM e . Do M thực hiện
đồng thời hai chuyển động nên sẽ thực hiện

Me

chuyển động tuyệt đối theo véc tơ MM 1 . Ta
có: MM e + M e M 1 = MM 1

M

(b)

Hình 7-3

Chia hai vế cho ∆t và lấy giới hạn khi ∆t →0, sẽ có:

lim

∆t →0

MM e
M M
MM 1
= lim
+ lim e 1
∆t
∆t
∆t
∆t →0
∆t →0

3


Theo định nghĩa: lim
∆t →0

Còn thành phần lim
∆t →0

MM 1 
= va ;
∆t

lim
∆t →0

MM e 

= ve ;
∆t

M eM1
MM r 
= lim
= vr ;
∆t
∆t
∆t →0

Kết quả: Va = Vr + Ve

vr

(hình 7-4)

va

α
ve

Hình 7-4

7.2.2. Ví dụ:
Ví dụ 1:
Thanh AB chuyển động theo phương đứng nhờ rãnh D với vận tốc không đổi
là V. Đầu A gắn với ống lồng vào thanh OC làm cho OC quay quanh tâm O.
Hãy xác định vận tốc của A so với OC và vận tốc, gia tốc góc của thanh OC.
Bài giải:

Chọn OC là hệ động và xét điểm A
chuyển động phức hợp.

va

Vr là vận tốc của A so với thanh OC

vr

Ve là vận tốc theo

ve

Va là vận tốc tuyệt đối.

ω

C

A

Áp dụng định lý hợp vận tốc :
Va = Vr + Ve , ta có :

ϕ

O

l

Vr = Va . sin ϕ = V sin ϕ

v

Ve = Va . cos ϕ = V cos ϕ
•

ω =ϕ =

Ve
V cos ϕ V
=
= cos 2 ϕ
OA l / cos ϕ
l

H×nh 75

4


ε=

•
dω
2V
V2
=−
cos ϕ sin ϕ ϕ = − 2 sin 2ϕ cos 2 ϕ
dt

l
l

Ví dụ 2:
Trong cơ cấu culit như hình vẽ, tay quay OC quay quanh trục nằm ngang O cố
định, con trượt A có thể trượt dọc theo OC đồng thời nó gắn với đầu thanh AB.
Thanh đó có thể trượt trong rãnh thẳng đứng K. Biết khoảng cách OK = a. Tìm
vận tốc chuyển động của con trượt A đối với tay quay OC phụ thuộc vào góc
quay ϕ và vận tốc ω của tay quay.
Bài giải:
Xét chuyển động phức hợp của con trượt A với hệ động là tay quay OC. Chuyển
động tương đối là chuyển động
a

của thanh A dọc theo thanh OC.

ve ϕ

Chuyển động theo là chuyển
động quay của OC đối với đất,

c

vr

A

phương của vận tốc của A
vuông góc với OC. Chuyển

ω

động tuyệt đối là chuyển động
thẳng của A theo phương thẳng

O

ϕ

K

đứng, đó cũng là phương của

B

vận tốc tuyệt đối của A.

Gọi ω là vận tốc góc của tay quay. Giả sử cố định điểm A vào tay quay thì vận
tốc của nó chính là vận tốc theo:

ve = OA.ω =

a.ω
cosϕ

với phương chiều như hình vẽ. Áp dụng định lý hợp vận tốc:
r r r
va = vr + ve .
r

Trong đó đã biết ve và phương của hai vận tốc còn lại. Dựng đường được hai véc
r

r

r

tơ va và vr bằng cách vẽ hình chữ nhật đường chéo là va và hai cạnh biểu thị hai
r

r

vận tốc vr và ve . Vận tốc tương đối của con trượt A dọc theo OC là:
5


vr = vetgϕ =

aω 2
sin ϕ
cos 2ϕ

7.3. Định lý hợp gia tốc
7.3.1. Định lý:
Tại mỗi thời điểm, gia tốc tuyệt đối của động điểm bằng tổng hình học của ba
thành phần: gia tốc tương đối, gia tốc theo và gia tốc Kôriôlít
W a = W r + We + W K

7.3.2. Cách xác định gia tốc Kôriôlít
- Công thức tổng quát:

WK = 2.ω e ∧ Vr
- Nếu hệ động ( chuyển động kéo theo) chuyển động tịnh tiến:
W K = 0 ⇒ W a = W r + We
- Nếu hệ động( chuyển động kéo theo) chuyển động quay quanh trục cố định

với véc tơ vận tốc góc ω e
•

Trường hợp ω e ⊥ Vr

(Hình 7- 6a):

quanh véc tơ ω e theo chiều
quay của nó một góc 90o được

Vr

ωe

WK = 2.ωe.Vr.
Phương, chiều: Quay Vr

Vr2 ωe

ωe

WK

vr

90o
H×nh 7-6
a

Vr1

Vr1

α

ωe
WK
90o

H×nh 76b

phương, chiều của WK
•

Trường hợp Vr và ω e hợp với nhau một góc α < 90 o ( Hình 7-6b):

Ta phân tích Vr thành Vr 1 và Vr 2 sao cho Vr 1 ⊥ ω e , Vr 2 // ω e
6


WK = 2.ωe.Vr. sinα.
Phương, chiều: Quay Vr 1 quanh véc tơ ω e theo chiều quay của nó một góc 90o
được phương, chiều của WK
7.3.3 V í d ụ:
Ví dụ 1:

Xe con A của cần trục chuyển động với vận tốc không đổi V r= 2 m/s. Cần trục
quay quanh trục Oz với vận tốc góc không đổi n =

30
vg / ph .
π

Hãy xác định gia tốc tuyệt đối của xe A khi OA = 2 m.
Bài giải:
Hệ động là cần trục chuyển động quay.
Áp dụng định lý hợp gia tốc:
W a = W r + We + W K

Trong đó:
n
2
¦ We = ¦ Wen ; ¦ We = OA.ω e
¦ Weτ = 0 do ω = const

¦ Wr = 0 vì Vr là hằng số. ¦ WK = 2ω e ∧ Vr = 2ω e .Vr
z
vr
O

ωe
WK

ω2

We

vr

H×
nh 10.6

⇒ ¦ Wa = ¦ WA = ¦ Wen + ¦ WK
¦ Wa = (OA.ω e2 ) 2 + (2ω e .Vr ) 2 = 4,12 m/s2.

Ví dụ 2:

7


at 2
(a=const
2

Máy bay lên thẳng A bay theo phương thẳng đứng theo quy luật z =

> 0), cánh quạt có chiều dài OM = R quay theo quy luật j = kt2/2 (k=const > 0).
Tìm vận tốc tuyệt đối, gia tốc tuyệt đối của đầu M của cánh quạt.
Bài giải:
Phân tích chuyển động:
Xét chuyển động phức hợp của điểm
We

M, hệ động được chọn là thân máy
bay. Chuyển động tương đối là

O

ϕ(t)

R

W rτ

ve

n

Wr

M

vr

chuyển động tròn tâm O bán kính R
A

của điểm M đối với thân máy bay.
Chuyển động theo là chuyển động
tịnh tiến của thân máy bay với đất.

z(t)

Xác định vận tốc:
Áp dụng định lý hợp vận tốc:
r r r

va = vr + ve

Chuyển động tương đối là tròn, vận tốc tương đối có trị số bằng:
vr = s&= Rϕ&= Rkt

Có phương tiếp xúc với quỹ đạo và chiều như hình vẽ.
Chuyển động theo là tịnh tiến. Giả sử điểm M dừng lại đối với thân máy bay
(cánh quạt không quay nữa), vận tốc của M chính là vận tốc theo:
ve = z&= at
r r

Có phương thẳng đứng và chiều như hình vẽ. Vì hai véc tơ vr , ve vuông góc với
nhau, nên vận tốc tuyệt đối có trị số bằng:
va = vr2 + ve2 = t R 2 k 2 + a 2

Xác định gia tốc:
Áp dụng định lý hợp gia tốc, khi chuyển động theo là chuyển động tịnh tiến:
r
r
r
wa = wr + we

Chuyển động tương đối là tròn, gia tốc tương đối có hai thành phần:
8


wτr = &
s&= Rk ; w nr =

vr2

= Rk 2t 2
R

r

Véc tơ wτr tiếp xúc với đường tròn và có chiều theo chiều chuyển động vì cánh
r

quạt quay nhanh dần, còn w nr hướng vào trục quay.
Chuyển động theo là chuyển động tịnh tiến thẳng, gia tốc theo có trị số bằng
we = &
z&= a , có phương thẳng đứng và theo chiều chuyển động của máy bay vì

máy bay chuyển động nhanh dần.
r

r

r

Ba véc tơ wτr , w nr và w e vuông góc với nhau từng đôi một nên gia tốc tuyệt đối
có trị số bằng:
w a = (wτr ) 2 + (w nr ) 2 + (w e ) 2 = R 2 k 2 (1 + k 2t 4 ) + a 2

Ví dụ 3:
Tay quay OA = r quay quanh trục cố định O với vận tốc góc ωo và gia tốc góc εo
như hình vẽ. Đầu A của thanh cớ gắn bản lề với con trượt, con trượt có thể trượt
dọc theo thanh O1B = l, quay quanh trục cố định tại O1. Tại vị trí tay quay OA
vuông góc với đoạn OO1 và góc OAO1 = a, tìm vận tốc và gia tốc của điểm B
của thanh O1B.

z
B

εο

O

ωο

v

A

r

vr

α

α ve
va

WC
B

O

ωο

y

ω1
A

n
Wa

vr

B
τ

W Bn

WB

90°
τ
We

n

ω1

W e W aτ

ε1

O1
O1

x

ω1

Bài giải:
Xét chuyển động phức hợp của con trượt A, chọn hệ động là thanh O1B. Chuyển
động tương đối là chuyển động thẳng của điểm A dọc theo O1B. Chuyển động
9


theo là chuyển động của thanh O1B đối với mặt đất. Tại vị trí đã cho, vận tốc
theo có phương vuông góc với O1B. Chuyển động tuyệt đối là chuyển động tròn
tâm O bán kính r của điểm A đối với mặt đất.
Áp dụng định lý hợp vận tốc:
r
r r
v =v +v
a
r e

Vận tốc tuyệt đối của điểm A có phương vuông góc với OA. Chiều theo chiều ω0
r

và có trị số va = rωo. Phân tích véc tơ va thành hai thành phần nằm trên phương
r

r

của các vận tốc vr và ve ta được trị số của hai vận tốc đó.

vr = va .sin α = rωosinα ; ve = va .cosα = rωo cosα
r
Biết vận tốc ve ta tìm được vận góc ω1 của O1B tại thời điểm đã cho:

ω1 =

ve
rω cosα
= o
= ω0 cos 2α
r
O1A
cosα

Vận tốc của đầu B có phương chiều như hình vẽ, với trị số bằng:
vB = O1 B.ω1 = lωo cos 2α

Áp dụng định lý hợp gia tốc:
r
r
r
r
Wa = Wr + We + Wc

Theo giả thiết ta tìm được gia tốc tuyệt đối của điểm A:
Wan = rωo2 ; Waτ = rε o

Với phương chiều như hình vẽ.
Chuyển động tương đối là chuyển động thẳng của điểm A dọc theo thanh O1B,
r

W
do đó gia tốc tương đối chỉ có một thành phần r nằm dọc theo O1B với chiều

giả thiết như hình vẽ.
r

r

r r
Để tìm gia tốc Côriôlis Wc = 2ω × vr , trước tiên phải tìm véc tơ vận tốc góc ω1 .
r

Véc tơ ω1 nằm trên trục quay O1 vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai thanh OA
r

và O1B và có chiều như hình vẽ. Nhấc véc tơ ω1 đặt vào A, chọn trục Ax chứa
r

r

r

véc tơ ω1 . Chọn mặt phẳng tọa độ Axy chứa các véc tơ ω1 và vr , trục Ay phải
r

nằm dọc theo thanh O1B. Từ đó chọn trục Az chứa véc tơ Weτ .
10


r

r

r
Vì hai véc tơ ω và vr nằm trong mặt phẳng tọa độ Axy, do đó gia tốc Wc phải

nằm trên trục Az với chiều hướng theo chiều dương của trục Az, thì đứng theo
r
r
véc tơ We sẽ thấy véc tơ ω quay ngược chiều kim đồng hồ 900 để trùng với véc
r

tơ vr . Trị số của gia tốc Côriôlis là:
Wc = 2ω1vr sin 900 = 2rω02 cos 2α sin α = rω02 cosα sin 2α .

Gia tốc tuyệt đối của điểm A có thể viết như sau:
r
r
r
r
r
r
Wan + Waτ = Wr + Wen + Weτ + Wc

Trong phương trình gia tốc trên có hai thành phần chưa biết trị số là Wr và Weτ .
Chiếu phương trình véc tơ trên xuống hai trục tọa độ, ta sẽ được hai phương
trình đại số để tìm hai ẩn số đó.
Để tìm gia tốc góc ε1 của thanh BO1, ta chiếu phương trình véc tơ xuống trục Az.
Wan sin α − Waτ cosα = − Weτ + We

Giải ra ta được:
Weτ = Waτ cosα − Wan sin α + We
= rε 0cosα − rω 2 sin α + rω 2cosα sin 2α

Gia tốc của thanh BO1 bằng:
ε1 =

Weτ
ω2
= ε 0 .cos 2α + 0 sin 4α
AO1
4

Từ đó tìm được gia tốc của điểm B:

11