BÀI TẬP CHƯƠNG 3 PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG ĐẤT

chơng 3: phân bố ứng suất trong

đất

chơng 3
phân bố ứng suất trong đất
ví dụ minh hoạ

Bi tp 1
Các lớp đất tại một công trờng gồm có:
0ữ 4m cát chứa cuội

( bh = 20kN/m3; = 19.2kN/m3)

4ữ 9m đất sét

( = 18.0kN/m3)

Vẽ sơ đồ ứng suất hiệu quả; ứng suất tổng từ 0 ữ 9m , khi mặt nớc ngầm ở trên
đỉnh lớp sét 1m.
Bài giải:
Lớp cát chứa cuội ở dới mực nớc ngầm là
bão hoà và có trọng lợng đơn vị tự
nhiên là 20kN/m3, cho nên độ tăng ứng
suất tổng theo độ sâu là:

z = bhz = 20*z

(kN/m2)

X

57.6

3

Trên mặt nớc ngầm, đất không bão hoà
có trọng lợng đơn vị là 19.2kN/m3 và

z = z = 19.2*z

'z; uz (kN/m3)

0

9.8

4

(kN/m2)

Trong lớp sét, vì có tính thấm nhỏ kết
hợp với độ hút ẩm cao nên luôn tạo ra sự
bão hoà ở trên mặt nớ ngầm.

z

ứng suất hiệu quả tại độ sâu đã cho:

9

Z = Z uZ
Biểu đồ ứng suất tổng, ứng suất có
hiệu và áp lực nớc lỗ rỗng thể hiện trên
hình VD23.

mực nuớ c ngầm
77.6

'z

uz

z
167.6

58.8

Z

Hình VD23

Các tính toán đợc xếp vào trong bảng dới đây:

ứng suất (kN/m2)
Độ sâu
(m)

0
3
4

ứng suất tổng

z

z

0
19.2x3 =
57.6
20.0x1 =

0
57.6
77.6

ứng suất nớc lỗ
rỗng

ứng suất
hiệu quả

uz

z = z - uz

0
0
9.81x1 = 9.8

0
57.6
67.8

125


chơng 3: phân bố ứng suất trong

đất

9

20.0
18.0x5 =
90.0

167.6

9.81x6 =
58.8

108.8

Bi tp 2
(Tính ứng suất trong nền đất có bão hoà bằng nớc mao dẫn) Tại một công trờng,
lớp cát bụi trên mặt dày 5m nằm trên lớp bùn sét dày 4m, phía dới là đá không
thấm. Hãy vẽ sơ đồ ứng suất hiệu quả, ứng suất tổng cho các điều kiện sau
đây, biết trọng lợng đơn vị của cát bụi là 18.5kN/m3; của sét là 17.7kN/m3;
a) Mực nớc ngầm bằng mặt đất.

b) Mực nớc ngầm ở độ sâu 2.5m, lớp cát bụi ở trên nớc ngầm đợc bão hoà bằng nớc
mao dẫn.
Bài giải:
a) Khi mặt nớc ngầm bằng mặt đất
Toàn bộ đất bị ngập nớc, khi đó trọng lợng đơn vị = bh và áp lực nớc lỗ rỗng u =
n.z
Kết quả tính toán đợc xếp thành bảng dới đây:

ứng suất (kN/m2)
Độ sâu
(m)

0
5
9

ứng suất tổng

z

z

0
18.5x5 =
92.5
17.7x4 =
70.8

0
92.5

163.3

ứng suất nớc lỗ
rỗng

ứng suất hiệu
quả

uz

z = z - uz

0
9.81x5 = 49.1
9.81x9 = 88.3

0
43.4
75.0

b) Khi mặt nớc ngầm ở độ sâu 2.5m
Lớp đất nằm trên mực nớc ngầm đã bão hoà và áp lực nớc lỗ rỗng sẽ âm. Dới mực nớc ngầm, áp lực nớc lỗ rỗng sẽ dơng: uz = n .(z - 2.5). Các tính toán đợc xếp trong
bảng dới đây:

126


chơng 3: phân bố ứng suất trong

đất

ứng suất (kN/m2)
Độ sâu
(m)

ứng suất tổng

z
0
2.5
5
9

0
18.5x2.5 =
46.25
18.5x2.5 =
46.25
17.7x4 =
70.8

ứng suất nớc lỗ
rỗng

ứng suất hiệu
quả

z

uz

z = z - uz

0
46.25
92.5
163.3

-9.81x2.5 =
-24.5
0
9.81x2.5 =
24.5
9.81x6.5 =
63.7

-24.5
46.25
68.0
99.6

Đồ thị biểu diễn các ứng suất đợc thể hiện trên hình VD24.

mực nuớ c ngầm

0

'z; uz (kN/m3)

'z; uz (kN/m3)

0

-24.5

X

X
46.3

49.1

5
uz

z

92.5

88.3

9

24.5

5

'z

uz

z

163.3

Z

a) Khi MNN ngang mặt đất

mực nuớ c ngầm

92.5

'z

63.8

9

163.3

Z

b) Khi MNN nằm sâu 2.5m

Bi tp 3
Tính ứng suất z tại M, N do tải trọng tập trung thẳng đứng trên bề mặt đất
(Hình vẽ VD23). Có thể dùng bảng tra hoặc công thức trực tiếp.
Bài giải:

127


chơng 3: phân bố ứng suất trong

đất

P =500 kN

1. Tính trực tiếp theo công thức

X
0

* Tại điểm M:

3P z M3
3P
Z =
. 5 =
.
2 R
2

ZM

3 * 500
=
.
2 * 3.14

[x

z3
2

+ y2 + z2

[2

33
2

+2 +3
2

]

2 5

]

X0 =2 m
Y 0 =2 m
Z0 =3 m

Y

5

N

M

(0, 0, Z0)

= 5.41 kN/m2

(X 0 , Y0 , Z0)

Z

Hình VD23
* Tại điểm N:

ZN

3 * 500
=
.
2 * 3.14

[0

33
2

+0 +3
2

]

2 5

= 24.875 kN/m2

2. Tính theo bảng tra
* Tại điểm M:

ZM =

K M P 0.09735 * 500
=
= 5.1 kN/m2
Z M2
32

Tra từ bảng 3-1 đợc KM = 0.09735 với tỷ lệ r =

z

x2 + y2
22 + 22
=
= 0.943
z
3

* Tại điểm N:

ZN =

K N P 0.47755 * 500
=
= 21.875 kN/m2
Z N2
32

Tra từ bảng 3-1 đợc KN = 0.47755 với tỷ lệ r =

z

x2 + y2
=
z

02 + 02
=0
3

Bi tp 4
Xác định ứng suất z tại điểm M nằm dới trọng tâm của tam giác đều ABC do
các lực tập trung thẳng đứng tác dụng tại các đỉnh của tam giác (hình VD24).
Điểm M nằm ở độ sâu zM = 2m.
Bài giải:
Ta nhận thấy rằng khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đều đến 3 đỉnh
của nó là bằng nhau, điều này có nghĩa là khoảng cách từ trục đi qua các lực
đến điểm M đều bằng nhau (r 1 = r2 = r3), do đó ứng suất tại M có thể đợc tính
nh sau:

128


chơng 3: phân bố ứng suất trong

đất

ZM =

K ( P1 + P2 + P3 )
Z2

P2
B

0.11789 * (100 + 200 + 500)
22
= 23.578 kN / m 2

ZM =
ZM

(

P1

)

A
P3

Tra từ bảng 3-1 đợc K=0.11789, với tỷ
lệ

A B =AB =BC =2 m
ZM =2 m
P1 =100kN
P2 =200kN
P3 =300kN

r a / 3 3/ 3
=
=
= 0.866
z
2
2

C

M

Bi tp 5
Dùng phơng pháp điểm góc xác
định ứng suất z tại điểm M (với
chiều sâu của điểm M là Z M = 2m)
do tải trọng phân bố đều trên hai
móng hình chữ nhật gây ra (Hình
vẽ VD25).
Bài giải:

Nhận xét thấy rằng, điểm M đã cho nằm tại trung điểm cạch BC. Sử dụng phơng pháp điểm góc để tính ứng suất tại M do tải trọng phân bố đều trên 2
hình chữ nhật gây nên, ứng suất tổng cộng tại điểm M sẽ là tổng ứng suất các
hình chữ nhật thành phân gây nên. Để tiện tính toán, đặt tên các điểm nh
hình vẽ (hình VD25).
p2

p1

A

6m

B

2m

F

4m

G

2m
M

N

I

K

2m

D

C

E

H

Hình VD25
1. ứng suất tại M do hình chữ nhật ABCD
Do M nằm trên cạnh BC nên qua M kẻ đờng thẳng // AB cắt AD tại N. Lúc này M
nằm tại góc của hai hình chữ nhật thành phần ABMN và CDNM, chú ý tới tính
chất đối xứng của tải trọng có thể tính ứng suất tại M nh sau:

129


chơng 3: phân bố ứng suất trong

đất

M ( ABCD ) = M ( ABMN ) + M ( CDNM ) = 2 * Kg ( ABMN ) * p1
Để tra Kg(ABMN) phải dựa vào các tỷ lệ của hình ABMN nh sau:

L 6
= = 3 và
B 2

ZM 2
= = 1.
B
2
Tra bảng 3-3 với các tỷ lệ trên đợc KM(ABMN) = 0.20355. Vậy ứng suất tại M do hình
ABCD sẽ là:

M ( ABCD ) = 2 * Kg ( ABMN ) * p1 = 2 * 0.20355 *100 = 40.71 (kN/m2)
2. ứng suất tại M do hình chữ nhật EFGH
Do M nằm ngoài hình EFGH nên tởng tợng tải trọng hình này kéo dài tới M (chú ý
tải trọng ảo thể hiện bằng nét đứt). Bây giờ M sẽ nằm trên cạnh BC nên qua M kẻ
đờng thẳng // FG cắt EF tại I và GH tại K. Lúc này M nằm tại góc của hai hình
chữ nhật thành phần MBGK và MCHK. Nhng do có phần tải trọng ảo nên phải trừ
đi ứng suất của hai hình MBFI và MCEI, chú ý tới tính chất đối xứng của tải
trọng có thể tính ứng suất tại M nh sau:

M ( EFGH ) = M ( MBGK ) + M ( MCHK ) M ( MBFI ) M ( MCEI ) = 2.( Kg ( MBGK ) Kg ( MBFI ) ). p2

Để tra Kg(MBGK) phải dựa vào các tỷ lệ của hình MBGK nh sau:

L 6
= = 3 và
B 2

ZM 2
= = 1.
B
2
Tra bảng 3-3 với các tỷ lệ trên đợc Kg(MBGK) = 0.20355.

Để tra Kg(MBFI) phải dựa vào các tỷ lệ của hình MBFI nh sau:

L 2
= = 1 và
B 2

ZM 2
= = 1.
B
2
Tra bảng 3-3 với các tỷ lệ trên đợc Kg(MBFI) = 0.1752.
Vậy ứng suất tại M do hình EFGH sẽ là:

M ( EFGH ) = 2.( Kg ( MBGK ) Kg ( MBFI ) ). p 2 = 2 * ( 0.20355 0.1752 ) * 200 = 11 .34 (kN/m2)

3. Tổng ứng suất tại M do 2 hình chữ nhật ABCD và EFGH sẽ là

ZM = M ( ABCD ) + M ( EFGH ) = 40.71 + 11 .34 = 52.05 (kN/m2)

130


chơng 3: phân bố ứng suất trong

đất

Bi tp 6
p =25

Hãy tính ứng suất z tại điểm M (với chiều

sâu của điểm M là ZM = 1m) do tải trọng
phân bố đều trên hình đa giác ABFCD
gây ra (Hình vẽ). Biết cờng độ tải trọng p
= 25 kN/m2.

A

a=5m

B
45

a=5m

Bài giải:

M
F

Để tiện tính toán, đặt tên các điểm nh
hình VD26.

45

Chia tải trọng phân bố trên hình đa giác
ABFCD thành hai hình: hình chữ nhật
ABCD và hình tam giác BFC.

D

C

A

a=5m

* Với hình chữ nhật ABCD

M ( ABCD ) = M ( ABMG ) + M ( CMGD ) = 2 Kg ( ABMG ) p

90

a=5m

Nhận thấy điểm M nằm tại trung điểm
cạch BC. Từ M kẻ đờng thẳng // AB cắt AD
tại G. Lúc này M nằm tại góc của hai hình
chữ nhật nhỏ là ABMG và CMGD . Bằng phơng pháp điểm góc và chú ý đến tính
chất đối xứng của tải trọng có thể tính ứng
suất tại M nh sau:

B

G

E

b=
3.
53

m

M
F
90

D

C

Hình VD26

Để tra Kg(ABMG) phải dựa vào các tỷ lệ của
hình

ABMG

nh

sau:

L
5
=
=2
B 2.5

và

ZM

1
=
= 0.4 .
B
2.5
Tra bảng 3-3 với các tỷ lệ trên đợc Kg(ABMG) = 0.0979.
Vậy ứng suất tại M do hình ABCD sẽ là:

M ( ABCD ) = 2 Kg ( ABMG ) p = 2 * 0.0979 * 25 = 4.9 (kN/m2)
* Với hình tam giác BFC
Nếu tởng tợng có một hình tam giác BEC đối xứng qua BC thì lúc này ta nhận
thấy điểm M sẽ nằm tại tâm của hình vuông BECF. Nh vậy có thể tính ứng suất
tại M khi M nằm tại trục tâm của hình vuông này, chú ý tải trọng BEC là ảo còn

131


chơng 3: phân bố ứng suất trong

đất

BFC là thật, và do tính chất đối xứng của tải trọng thì ứng suất tại M có thể
tính nh sau:

M ( BFC ) =

1`
* Ko( BECF ) * p
2

Để tra Ko(BECF) phải dựa vào các tỷ lệ của hình BECF với cạnh b =
sau:

a
. 2 = 3.53m nh
2

Z
L
1
= 1 và M =
= 0.2833 . Tra bảng 3-2 với các tỷ lệ trên và nội suy tuyến
B
B
3.53

tính đợc Ko(BECF) = 0.8711.
Vậy ứng suất tại M do hình BFC sẽ là:

1`
1
M ( BFC ) = * Ko( BECF ) * p = * 0.8711 * 25 = 10.9 (kN/m2)
2
2

* Tổng ứng suất tại M do hình chữ nhật ABCD và hình tam giác BFC sẽ
là

ZM = M ( ABCD ) + M ( BFC ) = 4.9 + 10.9 = 15.8 (kN/m2)
Ví dụ minh hoạ

b =8m

Bi tp 7

p2
=120kN/m2

p1
=50kN/m2

Xác định ứng suất z tại M, N do tải
trọng phân bố hình thang nh hình vẽ
bên.

x

O
N(5,2)
M(0,3)

Bài giải:
Trớc hết chia tải trọng thành hai bài toán cơ bản: tải trọng hình băng phân bố
đều và hình băng phân bố tam giác (hình VD27). Sau đó tính ứng suất tại M
và N do riêng từng tải trọng sinh ra, cuối cùng sử dụng phơng pháp cộng ứng suất
để tính tổng ứng suất tại M và N.

p1

p2

p1

0

N
M

0

(p2 - p1 )

0

=

N

+

N

M
Z

M
Z

Hình VD27

132

chơng 3: phân bố ứng suất trong

đất

1. Tính ứng suất tại điểm M
ứng suất tại M do hai loại tải trọng gây ra (hình VD27), ta có công thức tính nh
sau:

zM = k1( M ) . p1 + k1t ( M ) .( p2 p1 )
Để tra K1(M) phải dựa vào các tỷ lệ của hình băng rải đều nh sau:

x 0
= = 0 và
b 8

zM 3
= = 0.375 . Tra bảng 3-5 với các tỷ lệ trên đợc K1(M) = 0.92.
b 8
Để tra K1t(M) phải dựa vào các tỷ lệ của hình băng tam giác nh sau:

x 4
= = 0.5 và
b 8

zM 3
= = 0.375 . Tra bảng 3-6 với các tỷ lệ trên đợc K1(M) = 0.445.
b 8
Vậy ứng suất tại M sẽ là:

zM = 0.92 * 50 + 0.445 * (120 50) = 76.8 kN/m2
2. Tính ứng suất tại điểm N
Tơng tự nh tính ứng suất điểm M, ta có công thức tính ứng suất cho điểm N
nh sau:

zN = k1( N ) . p1 + k1t ( N ) .( p2 p1 )
Để tra K1(N) phải dựa vào các tỷ lệ của hình băng rải đều nh sau:

x 4
= = 0.5 và
b 8

zN 2
= = 0.25 . Tra bảng 3-5 với các tỷ lệ trên đợc K1(N) = 0.5.
b 8
Để tra K1t(N) phải dựa vào các tỷ lệ của hình băng tam giác nh sau:

x 8
= = 1 và
b 8

zN 2
= = 0.25 . Tra bảng 3-6 với các tỷ lệ trên đợc K1(N) = 0.223.
b 8
Vậy ứng suất tại M sẽ là:

zM = 0.5 * 50 + 0.223 * (120 50) = 40.61 kN/m2
Bi tp 8
Xác định ứng suất z đối với điểm M1 và M2 (hình VD28) do tải trọng hình

thang gây nên.

133


chơng 3: phân bố ứng suất trong

đất

b

4
2

2

1

3

2

b1

b2

a

m

l

k

n
b''

a

M1

M2
b'

Hình VD28: Ví dụ tính toán với tải trọng phân bố dạng hình thang

Bài giải

(a) Tính ứng suất tại điểm M1 ( z1)
-

-

-

Khi tải trọng tác dụng từ phía trái:

at a 2
= = = 1 và
z

z 2

bt b1 1
= = = 0.5
z
z 2

ap

bp

It = 0.397

Khi tải trọng tác dụng từ phía phải:

Nh vậy:

z

=

a 2
= = 1 và
z 2

z

=

b2 3

= = 1.5
z 2

Ip = 0.478

z1 = ( I t + I p ). p = (0.397 + 0.478). p = 0.875. p

(b) Tính ứng suất tại điểm M2 (z2)
Để xác định ứng suất nén z2 (hình 3-27), chúng ta đặt vào tải trọng ảo
(klmn).
-

Tính với tải trọng toàn phần (kể cả phần ảo klmn)

ap
-

a 2
= = = 1 và
z
z 2

Tính phần tải trọng ảo:

ap
z
-

=

a 2
= = 1 và
z 2

bp

b' 8
= = =4
z
z 2

bp
z

=

Ip = 0.499

b '' 2
= = 1 Ip = 0.455
z 2

Thay các giá trị và xét đến tính ảo của tải trọng ta đợc:

z 2 = ( I p + I 'p ). p = (0.499 0.455). p = 0.044. p

Bi tp 9
134

chơng 3: phân bố ứng suất trong

đất

Hãy tính và vẽ biểu đồ phân bố ứng suất dới đáy móng nông sau. Biết N0 =
3000kN; HX0 = 50kN; MY0 = 200kN.m; ex = 0.3m.
Bài giải:
* Xác định trục trọng tâm của móng nh nh trên hình VD29.
* Chuyển tải trọng về trọng tâm:

N = 3000kN
H X = H X 0 = 50kN

M Y = N .e X M Y 0 H x ( L0 + h ) = 3000 * 0.3 200 50 * ( 0.5 + 2.5) = 550kN .m
* Tính ứng suất dới đáy móng:
Do e =

MY
550
=
= 0.183m < , nên công thức tính ứng suất nh sau:
N
3000

N M Y 3000 550
+
=
+
= 244kN / m 2
2

F Wy 3 * 5 3 * 5
6
N M
3000 550
= Y =

= 156kN / m 2
F Wy 3 * 5 3 * 5 2
6

max =

min

Kết quả cho thấy cả ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất đều dơng (chú ý đất chỉ
chịu nén, và khi đất chịu nén ứng suất sẽ mang dấu +), vì vậy biểu đồ phân
bố ứng suất dới đáy móng có dạng hình thang.

h =2.5m

L O =0.5m

H X0

N0

N

M Y0

MY

HX

min =156



0

max = 244

eX
3m

x0

2.5m



2.5m

y0

5m

Hình VD29: Bố trí móng và phân bố ứng suất dới đáy móng

135