Hệ thống bài tập về phương trình và hệ phương trình

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
- Trong quá trình giảng dạy việc đánh giá chất lượng, năng lực tư duy,
hay khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh đối với bộ môn Toán chủ yếu
thông qua giải bài tập. Thông qua việc giải bài tập nhằm củng cố hoàn thiện
khắc sâu nâng cao những nội dung kiến thức đã học, rèn luyện kĩ năng,
thuật giải, nguyên tắc giải toán. Đối với học sinh, ngoài việc truyền đạt
những kiến thức, kĩ năng toán học theo yêu cầu của nội dung chương trình
giáo khoa đại trà chúng ta còn rất cần đầu tư bồi dưỡng cho một bộ phận
học sinh khá, giỏi đây là một việc rất cần thiết và phải được tiến hành
thường xuyên ở trong các nhà trường THCS. Nhằm tạo điều kiện để cho học
sinh phát huy được năng lực trí thông minh sáng tạo, giúp nâng cao chất
lượng mũi nhọn, bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi các cấp, phát triển nhân tài
cho đất nước.
- Một trong những vấn đề kiến thức quan trọng đối với học sinh THCS
cần nắm vững đó là giải các bài tập về “phương trình và hệ phương trình”
nhưng nội dung chương trình sách giáo khoa mới chỉ quan tâm hướng dẫn
học sinh cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai, hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn, những phương trình và hệ phương trình khác thì còn ít dạng, bài tập
còn ít và dễ do các yêu cầu về nội dung chương trình khung của Bộ giáo dục
đề ra. Chưa đáp ứng được yêu cầu học tập nâng cao tri thức, kĩ năng của
những em học sinh có năng lực học tập khá, giỏi. Vì vậy, chúng ta cần quan
tâm đến việc hướng dẫn, bồi dưỡng cho học sinh cách giải các dạng phương
trình và hệ phương trình. Bởi vì dạy giải các dạng phương trình và hệ
phương trình này là vấn đề giải các bài tập có đặc thù riêng. Lí thuyết chỉ
dạy về phương trình bậc nhất, bậc hai, hệ phương trình bậc nhất nhưng ở
đây dạy giải những phương trình, hệ phương trình ở các dạng khác có thể

Sv Trần Thị Thu Hằng

1

Toán – Tin K13


đưa về các dạng trung gian đã gặp trong chương trình lớp 8, lớp 9, những
bài toán hay và khó đặc biệt thường gặp trong việc thi chọn học sinh giỏi,
thi vào trường chuyên.
- Về hệ thống bài tập về phương trình và hệ phương trình trong sách giáo
khoa, sách bài tập có nhiều đề cập tới nhưng chưa nhiều, chưa đa dạng, chưa
có sự hướng dẫn cụ thể nên chưa thực sự thuận lợi cho người dạy và người
học tiếp thu và nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Đóng góp tích cực vào việc cải tiến, đổi mới phương pháp dạy học. Góp
phần rèn luyện các hoạt động trí tuệ của học sinh như phân tích, tổng hợp,…
Hệ thống hóa, phân loại các dạng phương trình và hệ phương trình.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tóm tắt lý thuyết cơ bản về phương trình và hệ phương trình.
- Một số dạng bài tập về phương trình và hệ phương trình.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nội dung phương trình và hệ phương trình trong chương trình Toán ở
THCS.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận.
- Tham khảo thu thập tài liệu.
- Nghiên cứu phân tích, tổng hợp.
6. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, mục lục, đề tài có cấu trúc:
Chương 1. Lý thuyết về phương trình và hệ phương trình
Chương 2. Hệ thống các dạng bài tập về phương trình và hệ phương trình

Sv Trần Thị Thu Hằng

2

Toán – Tin K13


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH
1.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình và hệ phương trình
a) Phương trình
Cho hai hàm số của n biến phức x1 , x2 ,..., xn là f ( x1 , x2 ,..., xn ) và
g ( x1 , x2 ,..., xn ) . Ta gọi tập hợp n số phức x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ C n là một điểm
trong không gian phức n chiều C n . Khi đó các hàm số f ( x1 , x2 ,..., xn ) và
g ( x1 , x2 ,..., xn ) được xem là các hàm một biến f ( x ) , g ( x ) trong C n . Giả sử
f ( x ) có miền xác định là D1 ∈ C n , g ( x ) có miền xác định là D2 ∈ C n .
Ta định nghĩa phương trình
f ( x) = g ( x)

(1)

là kí hiệu của hàm mệnh đề “giá trị của hai hàm số f ( x ) và g ( x ) là bằng
nhau”.
Ta gọi x là ẩn của phương trình (1); nếu coi f và g là hàm của n biến
x1 , x2 ,..., xn trong không gian C thì (1) là phương trình của n ẩn x1 , x2 ,..., xn .
Tập hợp các giá trị thừa nhận được của các đối số được gọi là miền xác định
(tập xác định) của phương trình (1), đó là tập S = D1 ∩ D2 .
Nếu x lấy giá trị a ∈ S mà f ( a ) = g ( a ) là một đẳng thức đúng thì a
được gọi là một nghiệm của phương trình (1), hoặc a thỏa mãn phương

trình (1), hoặc phương trình (1) được thỏa mãn với x = a .
* Có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau đây:
i.

Phương trình vô nghiệm: Trong trường hợp này, không có giá trị a
nào của S sao cho f ( a ) và g ( a ) bằng nhau, tức là f ( a ) = g ( a ) là

Sv Trần Thị Thu Hằng

3

Toán – Tin K13


một mệnh đề sai với mọi a ∈ S . Nói khác đi, tập nghiệm của M của
phương trình (1) là rỗng: M = ∅ .
Bất kì giá trị a nào của x ( a ∈ S ) cũng thỏa mãn phương trình, tức là

ii.

M = S. Trong trường hợp này phương trình là hằng đẳng trên S.
Có ít nhất một giá trị (nhưng không phải mọi giá trị) a ∈ S thỏa mãn

iii.

phương trình ( M = ∅, M ⊂ S ).
Trong hai trường hợp ii. và iii. ta nói rằng phương trình có nghiệm.
Giải một phương trình là tìm tập hợp nghiệm M của nó. Nếu M được
biểu thị bởi một hay nhiều công thức thì chúng được gọi là nghiệm tổng
quát của phương trình. M có thể là một tập hữu hạn hay vô hạn.

Trong tất cả các định nghĩa trên, thay cho trường C, ta có thể lấy một
trường số K bất kì (có thể là Q, R) làm trường cơ sở. Khi đó cần chú ý rằng
tập hợp nghiệm của phương trình phụ thuộc vào trường cơ sở.
2
2
Ví dụ. Phương trình: ( x − 3) ( x + 4 ) = 0

vô nghiệm trên Q, tập nghiệm trên R là

{

{

}

3, − 3 , tập nghiệm trên C là

}

3; − 3;2i; −2i .

b) Phân loại phương trình
Nếu cả hai biểu thức f ( x ) và g ( x ) đều là biểu thức đại số thì (1) là
phương trình đại số, trong trường hợp trái lại thì (1) là phương trình siêu
việt.
Nếu cả hai biểu thức f ( x ) và g ( x ) đều là biểu thức đại số hữu tỉ (đa
thức hoặc phân thức hữu tỉ) thì (1) được gọi là phương trình đại số hữu tỉ.
Đặc biệt, nếu f ( x ) và g ( x ) đều là đa thức (biểu thức hữu tỉ nguyên) thì (1)
được gọi là phương trình đa thức hoặc phương trình đại số nguyên. Nếu trái
lại, ít nhất một trong hai biểu thức f ( x ) hoặc g ( x ) là phân thức hữu tỉ

Sv Trần Thị Thu Hằng

4

Toán – Tin K13


thực sự và biểu thức còn lại là đa thức thì (1) được gọi là phương trình phân
thức.
Nếu ít nhất một trong hai biểu thức f ( x ) hoặc g ( x ) là đại số vô tỉ (tức
là có chứa căn số của ẩn) và biểu thức còn lại là hữu tỉ thì (1) được gọi là
phương trình vô tỉ.
Ví dụ.

- Phương trình đa thức: x 2 n + x n + 1 = x 2 + 1 .
- Phương trình phân thức:
- Phương trình vô tỉ:

x −1
= 3x − 1 .
x + x +1
2

x2 − 2 = 2x + 4 .

- Phương trình siêu việt: sin x + cos x = 1 .
c) Phương trình chứa tham số
Cho hàm số f ( x ) , ngoài đối số ra còn có các chữ a, b, c, …Nếu trong
việc khảo sát và nghiên cứu, ta xem các chữ a, b, c, … như là đã biết thì

chúng được gọi là tham số, hay thông số, hay tham biến.
Phương trình f ( x, a, b,..., c ) = 0 với ẩn số x ∈ C n và các tham số a, b,
…, c được gọi là phương trình chứa tham số.
Ví dụ. Phương trình: 1 − a 2 x 2 + ( b − a ) x + b 2 − a 2 = 0
chứa các tham số a, b.
d) Hệ phương trình
Cho m phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) , f 2 ( x ) = g 2 ( x ) ,..., f m ( x ) = g m ( x ) ,
miền xác định lần lượt là S1 , S2 ,..., S m .
Hệ m phương trình
 f1 ( x ) = g1 ( x )

 f2 ( x ) = g2 ( x )

......................
 f ( x) = g ( x)
m
 m

Sv Trần Thị Thu Hằng

(*)

5

Toán – Tin K13


trong đó mỗi phương trình đều được xét trên miền xác định chung của hệ (
m

S = I Si ) là kí hiệu của hàm mệnh đề: “Giá trị tại x của hai hàm số trong
i =1

từng phương trình là bằng nhau”.
Một giá trị a ∈ S của x làm cho từng phương trình đều trở thành đẳng
thức đúng: f i ( a ) = gi ( a ) , i = 1,2,..., m , được gọi là một nghiệm của hệ (*).
Trong trường hợp này , ta nói hệ phương trình có nghiệm. Nếu mỗi phương
trình f i ( x ) = g i ( x ) có tập hợp nghiệm là M i , thì tập hợp nghiệm của hệ là
m

M = I M i ; do đó nếu có một phương trình của hệ là vô nghiệm thì hệ là vô
i =1

nghiệm.
Ví dụ. Giải hệ phương trình trên R
 x2 − 5x + 6
= 0(1)

 x+3
 x 2 + x − 6 = 0(2)

Ta thấy S1 = R \ { −3} , S 2 = R , vậy S1 ∩ S 2 = S1 . Tập nghiệm của (1) là
M 1 = { 2;3} , của (2) là M 2 = { −3;2} . Vậy M = M 1 ∩ M 2 = { 2} .
1.2. Sự tương đương giữa các phương trình và hệ phương trình
a) Các định nghĩa
Định nghĩa 1. P2 ( x ) được gọi là hệ quả của P1 ( x ) trên S nếu tập
nghiệm M 1 của P1 ( x ) là tập can của tập nghiệm M 2 của P2 ( x ) ,
M1 ⊆ M 2 .
Ta kí hiệu P1 ( x ) ⇒ P2 ( x ) (trên S).

Sv Trần Thị Thu Hằng

6

Toán – Tin K13


Định nghĩa 2. P1 ( x ) và P2 ( x ) được gọi là tương đương nếu M 1 = M 2 .
Nói khác đi, P1 ( x ) và P2 ( x ) là tương đương trên S khi và chỉ khi P1 ( x ) và
P2 ( x ) là hệ quả của nhau.
Ta kí hiệu bởi: P1 ( x ) ⇔ P2 ( x ) hoặc P1 ( x ) ~ P2 ( x ) .
b) Các định lí về phương trình tương đương
Định lí 1. Cho phương trình f ( x ) = g ( x ) . Nếu h ( x ) có nghĩa trong
miền xác định của phương trình đã cho thì:
f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x) + h( x) = g ( x) + h( x) .
Định lí 2. Cho phương trình f ( x ) = g ( x ) . Nếu biểu thức h ( x ) có
nghĩa và khác không trong miền xác định của phương trình đã cho thì:
f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) .h ( x ) = g ( x ) .h ( x ) .
Định lí 3. Nếu nâng hai vế của một phương trình lên lũy thừa bậc lẻ thì
ta được một phương trình tương đương với phương trình đã cho (trên trường
số thực).
* Hai quy tắc cơ bản biến đổi tương đương phương trình:
• Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một
hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
• Quy tắc nhân với một số:
o Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một
số khác 0.
o Hoặc: Trong một phương trình, ta có thể chia cả hai vế cho
cùng một số khác 0.
* Chú ý: Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hoặc quy tắc nhân

với một số, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với
phương trình đã cho.
* Các phép biến đổi phương trình khác:

Sv Trần Thị Thu Hằng

7

Toán – Tin K13


Muốn giải phương trình, ta phải biến đổi phương trình đó thành các
phương trình tương đương với nó. Tuy nhiên, nhiều khi để giải phương
trình, ta phải thực hiện những phép biến đổi khác. Do đó cần chú ý có
những phép biến đổi có thể làm mất nghiệm hoặc làm xuất hiện thêm
nghiệm (nghiệm ngoại lai) của phương trình. Các phép biến đổi không
tương đương đó cùng với cách giải quyết được hệ thống ở bảng sau:
Những phép biến đổi

Cách giải quyết

không tương đương
Bỏ đi ở 2 vế của

Phải đặt điều kiện cho

phương trình cùng một

phân thức có nghĩa (tìm

phân thức mà mẫu chứa ĐKXĐ của phương
ẩn

trình), hoặc thử lại giá

Nhân 2 vế của phương

trị tìm được của ẩn
Phải đặt điều kiện cho

trình với cùng một đa

đa thức khác 0, hoặc

thức chứa ẩn

thử lại giá trị tìm được

Bình phương (hoặc lấy

của ẩn
Phải thử lại giá trị tìm

lũy thừa chẵn) hai vế

được của ẩn

Phép biến đổi có thể
làm xuất hiện nghiệm
ngoại lai

của phương trình
Chia 2 vế của phương

Phải đặt điều kiện cho

trình cho cùng một đa

đa thức khác 0, rồi xét

thức chứa ẩn

trường hợp đa thức
bằng 0, hoặc đưa về

Phép biến đổi có thể
làm mất nghiệm

Bỏ lũy thừa chẵn (hoặc

phương trình tích
Phải thay bằng hai

khai căn bậc chẵn) của

phương trình

phương trình dạng

Sv Trần Thị Thu Hằng

8

Toán – Tin K13


 f ( x )  =  g ( x ) 
2n

2n

thành f ( x ) = g ( x )

 f ( x) = g ( x)
, hoặc

 f ( x ) = − g ( x )
đưa về phương trình
tích

c) Các định lí về hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có
cùng tập nghiệm.
Định lí 1. Nếu F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 ⇔ x1 = f ( x2 ,..., xn ) thì
 x1 = f1 ( x2 ,..., xn )
 F1 ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0


F
x

,
x
,...,
x
=
0
 F2 ( f1 ( x2 ,..., xn ) , x2 ,..., xn ) = 0
(
)
⇔ ( II ) 
( I )  2 1 2 n
..............................
...........................................
 F ( x , x ,..., x ) = 0
 F f ( x ,..., x ) , x ,..., x = 0
n
n
2
m)
 m 1 2
 m( 1 2
Định lí 2.
 F1 = 0
 F1 = 0
F = 0
n F + n F = 0
2

 12 1 22 2
( I )  F3 = 0 ⇔ n13 F1 + n23 F2 + n33 F3 = 0

..........
.................................


 Fm = 0 n1m F1 + n2 m F2 + ... + nmm Fm = 0
( nik có thể là các số, có thể là hàm số của các ẩn, n22 , n33 ,..., nmm ≠ 0 trong
miền xác định của (I)).

Sv Trần Thị Thu Hằng

9

Toán – Tin K13


CHƯƠNG 2. HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG
TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH
2.1. Phương trình bậc nhất một ẩn
2.1.1. Giải và biện luận phương trình
ax + b = 0
* Phương pháp giải:
Viết lại phương trình dưới dạng:
ax + b = 0

(1)

- Nếu a = 0
(1) ⇔ 0 = −b ⇔ b = 0
• Nếu b = 0 , phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R .

• Nếu b ≠ 0 , phương trình vô nghiệm.
- Nếu a ≠ 0
(1) ⇔ x =

−b
: phương trình có nghiệm duy nhất.
a

Kết luận:
 Với a ≠ 0 , phương trình có nghiệm duy nhất x =

−b
.
a

 Với a = b = 0 , phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R .
 Với a = 0 và b ≠ 0 , phương trình vô nghiệm.
Ví dụ. Giải và biện luận phương trình:
m 2 x + 6 = 4 x + 3m.
Giải:
Sv Trần Thị Thu Hằng

10

Toán – Tin K13


Viết lại phương trình dưới dạng:
(m 2 − 4) x = 3m − 6

(1)

- Nếu m 2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2.
• Với m = 2 , ta được:
(1) ⇔ 0 x = 0.
Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R .
• Với m = −2 , ta được:
(1) ⇔ 0 x = −12.
Vậy phương trình vô nghiệm.
- Nếu m 2 − 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 và m ≠ −2
(1) ⇔ x =

3
.
m+2

Kết luận:
 Với m ≠ ±2 , phương trình có nghiệm duy nhất x =

3
.
m+2

 Với m = 2 , phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R .
 Với m = −2 , phương trình vô nghiệm.
* Chú ý:
- Trong quá trình biến đổi:
+ Chuyển vế một hạng tử phải đổi dấu.
+ Chỉ được cùng nhân hoặc cùng chia với một số khác 0.
2.1.2. Phương trình bậc nhất một ẩn thỏa mãn điều kiện K

* Phương pháp giải:
Cho phương trình:
f ( x, m) = 0 .

(1)

Giả sử điều kiện cho ẩn số (nếu cần) là K, khi đó ta có miền xác định D.
Biến đổi phương trình về dạng

Sv Trần Thị Thu Hằng

11

Toán – Tin K13


ax = −b.

(2)

Khi đó:
i.

Phương trình (1) vô nghiệm
a = 0 & b ≠ 0

a≠0
⇔  

b

 x = − ∉ D
a


ii.

Phương trình (1) có nghiệm
a = b = 0

a≠0
⇔  

−b
∈D
 x =
a


iii.

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
a ≠ 0

⇔
−b
 x = a ∈ D

iv.

Phương trình (1) có nghiệm với ∀x ∈ D

⇔ a = b = 0.

Ví dụ. Tìm m để phương trình sau có tập nghiệm là R
m(m 2 x − 1) = 1 − x.

(1)

Giải:
Viết lại phương trình dưới dạng:
(m3 + 1) x = m + 1.
Do đó (1) có tập hợp nghiệm là R
m3 + 1 = 0
⇔
⇔ m = −1.
m
+
1
=
0

Vậy với m = −1 phương trình (1) có tập nghiệm là R.
2.2. Phương trình bậc hai một ẩn

Sv Trần Thị Thu Hằng

12

Toán – Tin K13

2.2.1. Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn
ax 2 + bx + c = 0.

(1)

* Phương pháp giải:
Trường hợp 1. Với a = 0
Phương trình có dạng:
bx + c = 0 ⇔ bx = −c.

(2)

- Nếu b = 0
(2) ⇔ 0 = −c ⇔ c = 0.
• Nếu c = 0 , phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R .
• Nếu c ≠ 0 , phương trình vô nghiệm.
- Nếu b ≠ 0
c
(2) ⇔ x = − : phương trình có nghiệm duy nhất.
b
Trường hợp 2. Với a ≠ 0
Ta tính biệt thức ∆ = b 2 − 4ac (hoặc nếu b = 2b′ tính ∆′ = (b′) 2 − ac ).
- Nếu ∆ < 0 (hoặc ∆′ < 0 ).
Phương trình (1) vô nghiệm.
- Nếu ∆ = 0 (hoặc ∆′ = 0 )
Phương trình (1) có nghiệm kép x0 = −

b
b′
(hoặc x0 = − ).

2a
a

- Nếu ∆ > 0 (hoặc ∆′ > 0 ).
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x1,2 =

−b ± ∆
−b′ ± ∆′
(hoặc x1,2 =
).
2a
a

Kết luận:
 Với a = b = c = 0 , phương trình nghiệm đúng với mọi x .
 Với a = b = 0 và c ≠ 0 , phương trình vô nghiệm.
c
 Với a = 0 và b ≠ 0 , phương trình có nghiệm duy nhất x = − .
b
Sv Trần Thị Thu Hằng

13

Toán – Tin K13


 Với a ≠ 0 và ∆ < 0 , phương trình vô nghiệm.
 Với a ≠ 0 và ∆ = 0 , phương trình có nghiệm kép:
x0 = −

b
b′
(hoặc x0 = − ).
2a
a

 Với a ≠ 0 và ∆ > 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1,2 =

−b ± ∆
−b′ ± ∆′
(hoặc x1,2 =
).
2a
a

Ví dụ. Giải và biện luận phương trình:
x 2 − 2mx + 2m 2 = 0.

(1)
Giải:

Ta có:
∆′ = m2 − 2m 2 = − m 2 ≤ 0, ∀m.
• Với m = 0 ⇒ ∆′ = 0 , do đó phương trình có nghiệm kép x = 0 .
• Với m ≠ 0 ⇒ ∆′ < 0 , do đó phương trình vô nghiệm.
2.2.2. Dùng đồ thị để giải phương trình bậc hai
Bài toán: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
f ( x, m) = 0.

* Phương pháp giải:
Chuyển phương trình về dạng:
ax 2 + bx = g (m)
Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của Parabol (P):
y = ax 2 + bx và đường thẳng y = g (m).
Ví dụ. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x 2 − 4 x − m = 0.
Giải:
Chuyển phương trình về dạng:
x2 − 4x = m
Sv Trần Thị Thu Hằng

14

Toán – Tin K13


Khi đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm của Parabol (P):
y = x 2 − 4 x và đường thẳng (d): y = m .
Ta được:
 Với m < −4 , phương trình vô nghiệm.
 Với m = −4 , phương trình có nghiệm kép x0 = 2 .
 Với m > −4 , phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2.2.3. Định lý Viet và các ứng dụng
Định lí Viet. Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (
a ≠ 0 ) thì
x1 + x2 = −

b
c

; x1 x2 =
a
a

Đảo lại, nếu hai số x, y thỏa mãn x + y = S và xy = P thì x, y là nghiệm
của phương trình bậc hai X 2 − SX + P = 0 .
Hệ quả. 1) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm bằng 1, và
nghiệm kia bằng

c
.
a

2) Nếu a − b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm bằng -1 và nghiệm kia
c
bằng − .
a
Dạng 1. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
* Phương pháp giải:
Muốn xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ta chuyển bài
toán về việc xét dấu của ∆ .

Sv Trần Thị Thu Hằng

15

Toán – Tin K13


-

Muốn chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm, có hai nghiệm
phân biệt, vô nghiệm ta chứng minh ∆ luôn không âm, luôn dương,
luôn âm.

-

Muốn tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm, vô nghiệm ta
giải bất phương trình.

Ví dụ. Tìm m để phương trình:
mx 2 + 2(m − 1) x − 2 = 0
có nghiệm duy nhất.
Giải:
Xét hai trường hợp của m.
Trường hợp 1. Với m = 0
Phương trình có dạng:
−2 x − 2 = 0 ⇔ x = −1.
Trường hợp 2. Với m ≠ 0
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
⇔ ∆′ = 0 ⇔ ( m − 1) 2 + 2m = 0 ⇔ m 2 + 1 = 0 vô nghiệm.
Vậy với m = 0 phương trình có nghiệm duy nhất.
Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình
ax 2 + bx + c = 0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x1 và
x2 .
* Phương pháp giải:
- Kiểm tra điều kiện có nghiệm. Tính tổng và tích hai nghiệm theo Viet.
- Biến đổi biểu thức về dạng toàn tổng và tích hai nghiệm.
Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2

theo S và P, ví dụ:
Sv Trần Thị Thu Hằng

16

Toán – Tin K13


• x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = S 2 − 2 P .
•

1 1 x1 + x2 S
+ =
= .
x1 x2
x1 x2
P

• x13 + x2 3 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3 − 3SP .
3

•

1
1
x12 + x2 2 S 2 − 2 P
+
= 2 2 =
.
x12 x2 2

x1 x2
P2

* Chú ý:
- Nếu gặp hiệu, căn thì tính bình phương rồi suy ra.
- Nếu biểu thức không đối xứng thì có thể dùng

.

ax12 + bx1 + c = 0; ax2 2 + bx2 + c = 0
- Nếu mũ quá lớn thì có thể nhẩm nghiệm.
- Ngoài ra ở những bài khó cần khéo léo vận dụng linh hoạt.
Ví dụ. Giả sử phương trình
x 2 − ax + 1 = 0
Có hai nghiệm x1 , x2 . Tính tổng S3 = x13 + x23 .
Giải:
Phương trình x 2 − ax + 1 = 0 có hai nghiệm x1 , x2 , ta có:
 S = x1 + x2 = a

 P = x1 x2 = 1
Ta có:
S2 = x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = a 2 − 2 .
2

S3 = x13 + x2 3 = ( x1 + x2 )3 − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = a 3 − 3a .
Dạng 3. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham
số
* Phương pháp giải:

Sv Trần Thị Thu Hằng

17

Toán – Tin K13


Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số (giả
sử tham số là m), ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm
x1 , x2 .
a ≠ 0
⇔
∆ ≥ 0(∆′ ≥ 0)
Bước 2. Tính tổng và tích hai nghiệm theo Viet
 S = x1 + x2 = f (m)

 P = x1.x2 = g (m)
Bước 3. Rút tham số từ tổng thay vào tích hoặc ngược lại.
* Chú ý:
Nếu bậc của tham số ở tổng và tích đều là hai trở lên ta phải khử bậc cao
trước bằng cách như phương pháp cộng trong giải hệ phương trình.
Ví dụ. Cho phương trình:
(m − 1) x 2 − 2(m − 4) x + m − 5 = 0 .
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc
vào m.
Giải:
• Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 là:
a ≠ 0
m − 1 ≠ 0
11

⇔
⇔1≠ m ≤ .


2
∆′ ≥ 0 2m − 11 ≤ 0
• Theo Viet phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn:
2(m − 4)

S
=
x
+
x
=
1
2

m −1

P = x x = m − 5
1 2
m −1

• Rút m từ tổng ta thay vào tích được hệ thức: 2S − 3P = 1
Hay 2( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 = 1

Sv Trần Thị Thu Hằng

18

Toán – Tin K13


Đây chính là hệ thức cần tìm.
Dạng 4. Tìm tham số biết một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm
* Phương pháp giải:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1. Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x1 , x2 .
a ≠ 0
⇔
∆ ≥ 0
Bước 2. Tính tổng và tích hai nghiệm theo Viet, ta được:
 S = x1 + x2 = f (m)

 P = x1.x2 = g (m)
Bước 3. Biến đổi tương đương hệ thức về dạng toàn tổng và tích hai
nghiệm. Nếu không được thì giải hệ.
* Chú ý:
- Phải đối chiếu với điều kiện có nghiệm.
- Nếu hệ thức chứa hiệu, căn thì có thể bình phương; chứa dấu giá trị
tuyệt đối thì có thể thành hai phần.
Ví dụ. Cho phương trình:
(m + 1) x 2 − 2( m − 1) x + m − 2 = 0 .
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn

.

4( x1 + x2 ) = 7x1 x2 .
Giải:

Phương trình có hai nghiệm x1 và x2 :
a ≠ 0
m + 1 ≠ 0
⇔
⇔
⇔ −1 ≠ m ≤ 3 .
′
∆
≥
0
3
−
m
≥
0



(*)

Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn:

Sv Trần Thị Thu Hằng

19

Toán – Tin K13




2 ( m − 1)
x
+
x
=
 1 2
m +1
.

m
−
2
x x =
 1 2 m + 1
Suy ra:
4( x1 + x2 ) = 7x1x2 ⇔ 4.

2(m − 1)
m−2
= 7.
⇔ m = −6 thỏa mãn (*).
m +1
m +1

Vậy với m = −6 thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Dạng 5. Tìm hai số biết tổng và tích
* Phương pháp giải:
Nếu hai số u và v có:
u + v = S


u.v = P
thì u, v là nghiệm của phương trình t 2 − St + P = 0.

(1)

* Chú ý:
Nếu (1) có hai nghiệm t1 , t2 (điều kiện S 2 − 4 P ≥ 0 ) thì ta được:
u = t1vàv = t2
u = t vàv = t

2
1
Ví dụ. Tìm hai cạnh của hình chữ nhật biết chu vi bằng 6 m và diện tích
bằng 2 m 2 .
Giải:
Gọi u, v là hai cạnh của hình chữ nhật (u > 0, v > 0), ta có:
2u + 2v = 6 u + v = 3
⇔

uv = 2
uv = 2
thì u, v là nghiệm của phương trình
t = 1
t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔  1
.
t 2 = 2
Vậy độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là 1m và 2m.
Sv Trần Thị Thu Hằng

20

Toán – Tin K13


Dạng 6. Xét dấu các nghiệm của phương trình
* Phương pháp giải:
Xét phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0. ( a ≠ 0 ). Có
∆ = b 2 − 4ac
S = x1 + x2 = −
P = x1 x2 =

b
a

c
a

Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc hai
với một số cho trước hoặc xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai mà
không cần giải phương trình đó ta có thể ứng dụng định lí Viet.
• Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0 .
∆ ≥ 0
• Phương trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔ 
.
P > 0
∆ ≥ 0

• Phương trình có hai nghiệm dương 0 < x1 ≤ x2 ⇔  P > 0 .
S > 0


∆ ≥ 0

• Phương trình có hai nghiệm âm x1 ≤ x2 < 0 ⇔  P > 0 .
S < 0

Nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc hai có ít nhất
một nghiệm không âm. Thường có hai cách giải:
Cách 1: Có P < 0 (trường hợp này có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm).
Hoặc P = 0 (trường hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0).
∆ ≥ 0

Hoặc  P > 0 (trường hợp này thì 2nghiệm đều dương).
S > 0


Sv Trần Thị Thu Hằng

21

Toán – Tin K13


Cách 2: Trước hết phải có ∆ ≥ 0 , khi đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm
không âm nếu:
S > 0 (trường hợp này tồn tại nghiệm dương).
Hoặc S = 0 (trường hợp này tồn tại nghiệm không âm).
Hoặc S < 0, P ≤ 0 (trường hợp này tồn tại 1 nghiệm bằng 0).
Tùy theo đầu bài mà chọn cách xét P hay S.
Ví dụ. Cho phương trình
x 2 − 2( m + 1) x − m + 1 = 0

Xác định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
Giải:
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0 < x1 < x2
  m < −3

2
∆′ > 0 m + 3m > 0   m > 0



⇔  P > 0 ⇔ 1 − m > 0
⇔ m < 1 ⇔ 0 < m < 1 .
S > 0
2(m + 1) > 0
m > −1




Vậy với 0 < m < 1 phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
Dạng 7. Nghiệm chung của hai phương trình
Ví dụ. Cho hai phương trình
x2 + x + a = 0
x 2 + ax + 1 = 0
Với giá trị nào của a thì hai phương trình có nghiệm chung?
Giải:
Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x0 , khi đó:
x0 2 + x0 + a = 0

(1)

x0 2 + ax0 + 1 = 0

(2)

Lấy (1) – (2), ta được:
Sv Trần Thị Thu Hằng

22

Toán – Tin K13


a = 1
(1 − a )( x0 − 1) = 0 ⇔ 
 x0 = 1
• Với a = 1, dễ thấy cả hai phương trình đều vô nghiệm. Do vậy a = 1
loại.
• Với x0 = 1 , thay vào (1) ta được a = −2 .
Khi đó hai phương trình có dạng:
x2 + x − 2 = 0 .
x2 − 2x + 1 = 0 .
và dễ thấy chúng chỉ có một nghiệm chung là x = 1 .
Dạng 8. Hai phương trình tương đương
Học sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm ra hai phương trình vô
nghiệm thường vội kết luận ngay là hai phương trình đó không tương đương
với nhau.
Ví dụ . Tìm m để hai phương trình
x 2 − mx + 2m − 3 = 0

(1)

x 2 − ( m2 + m − 4 ) x + 1 = 0

(2)

tương đương.
Giải:
Hai phương trình trên tương đương trong hai trường hợp:
• Trường hợp 1: Phương trình (1) và phương trình (2) vô nghiệm
2 < m < 6

m − 8m + 12 < 0
∆1 < 0
−3 < m < 2
⇔
⇔ 2
⇔ 
2
∆
<
0
 2
( m + m − 4 ) − 4 < 0   m < −2
  m > 1

2

(không xảy ra).

Sv Trần Thị Thu Hằng

23

Toán – Tin K13


• Trường hợp 2: Phương trình (1) và phương trình (2) cùng có nghiệm
x1 , x2 thì theo định lí Viet ta có:
 x1 + x2 = m = m 2 + 4m − 4 m 2 − 4 = 0
 m = ±2
⇔
⇔
⇔m=2

 2m − 4 = 0  m = 2
 x1 x2 = 2m − 3 = 1
Thử lại với m = 2 thì hai phương trình tương đương vì chỉ có một
nghiệm x = 1 .
Vậy với m = 2 thì 2 phương trình đã cho tương đương với nhau.
 Với loại toán này ta cần lưu ý học sinh: Khi cả hai phương trình vô
nghiệm thì hai phương trình đó cũng là hai phương trình tương đương. Cho
nên với một số bài toán ta phải xét hai trường hợp, trường hợp cả hai
phương trình vô nghiệm và trường hợp cả hai phương trình có cùng một tập
hợp nghiệm.
Dạng 9. Giải bài toán hàm số
Ví dụ. Cho Parabol (P) có phương trình

( P ) : y = x2 .
Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1, 2. Viết phương

trình đường thẳng AB.
Giải:
Cách 1. Cách giải thông thường
Từ giả thiết, ta được: A (-1, 1) và B(2, 4).
Phương trình đường thẳng AB được cho bởi:
quaA(−1,1)
x +1 y −1
⇔ ( AB ) :
=
⇔ ( AB ) : x − y + 2 = 0 .
(AB): 
quaB
(2,4)
2
+
1
4
−
1

Cách 2. Ứng dụng định lí Viet
Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b
Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là:
x 2 = ax + b ⇔ x 2 − ax − b = 0
Sv Trần Thị Thu Hằng

24

Toán – Tin K13

Ta có: x A = −1 và xB = 2 là nghiệm của phương trình và theo Viet ta được:
 x A + xB = a a = 1
⇒
.

b = 2
 x A .xB = −b
Vậy phương trình (AB): y = x + 2 .

2.3. Phương trình tích
- Phương trình tích là phương trình có một vế bằng không, vế còn lại là
một tích của các nhân tử chứa ẩn.
* Cách giải:
 A1 ( x ) = 0 ( 1)

 A2 ( x ) = 0 ( 2 )
Áp dụng công thức: A1 ( x ) . A2 ( x ) ... An ( x ) = 0 ⇔ 
.................

 An ( x ) = 0 ( n )
(Trong đó: A1 ( x ) , A2 ( x ) ,..., An ( x ) là các đa thức bậc không lớn hơn 2).
Ta giải n phương trình (1), (2), …, (n) rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.
Ví dụ. Giải các phương trình
b) ( 2 x 2 + x − 4 ) = 4 x 2 − 4 x + 1
2

a) (3x 2 − 5 x + 1)( x 2 − 4) = 0
Giải:

 x = ±2
2

x
−
4
=
0
⇔
a) (3x 2 − 5 x + 1)( x 2 − 4) = 0 ⇔  2
5 ± 13 .

3 x − 5 x + 1 = 0  x =
6


5 − 13 5 + 13 
;
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S = −2;2;
.
6
6 


Sv Trần Thị Thu Hằng

25

Toán – Tin K13