gửi bạn triệu minh đáp án bđt

Cho a,b,c là 3 số dương. CMR:
a3
b3
c3
ab + bc + ca
+
+
≥3
2
2
2
2
2
2
b − bc + c c − ac + a
a − ab + b
a+b+c

Đáp án :
Ta thấy b 2 − bc + c 2 > 0, c 2 − ac + a 2 > 0, a 2 − ab + b 2 > 0 ∀a, b, c
Áp dụng bất đẳng thức bunhia cho 2 dãy :
Dãy 1 :

a3
b3
c3
,
,
b 2 − bc + c 2 c 2 − ac + a 2 a 2 − ac + c 2

Dãy 2 : a(b2 − bc + c 2 ), b(c 2 − ac + a 2 ), c(a 2 − ab + b 2 )

Ta có:
 a (b 2 − bc + c 2 ) + b

a3
b3
c3
( 2
+
+
)
≥ (a 2 + b 2 + c 2 )2

2
2
2
2
2
2
2
2
2 
b − bc + c c − ac + a a − ab + b (c − ca + a ) + c(a − ab + b ) 

Từ đó suy ra :
a3
b3
c3
(a 2 + b 2 + c 2 ) 2
+
+

≥
b 2 − bc + c 2 c 2 − ac + a 2 a 2 − ab + b 2 ab 2 + ac 2 + bc 2 + ba 2 + ca 2 + cb 2 − 3abc
a3
b3
c3
=
=
Dấu bằng xảy ra khi 2
b − bc + c 2 c 2 − ac + a 2 a 2 − ab + b 2

Ta có a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ac (bạn tự chứng minh)
(=) (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
(=) a + b + c ≥

3(ab + bc + ca )
(1)
a+b+c

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
Xét hiệu :

a 2 (a − b) 2 + (a − b) 2 (a + b)(b − c ) + c 2 (c − a )(c − b) ≥ 0

(=)

a 4 − 2a 3b + a 2b 2 + a 3b − a 3c + a 2b 2 − a 2bc − 2a 2b 2 + 2a 2bc − 2ab 3 + 2ab 2c + b 3a − b 2ac + b 4 − b 3c + c 4 − c 3b − c 3a + c
(=) a 4 + b 4 + c 4 + abc(a + b + c) ≥ ab3 + ac 3 + bc 3 + ba 3 + ca 3 + cb3 (2)

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
Từ (1) và yêu cầu đề bài , ta cần chứng minh :

(a 2 + b 2 + c 2 )2
≥ a+b+c
ab 2 + ac 2 + bc 2 + ca 2 + cb 2 − 3abc


(=)
a + b 4 + c 4 + 2(a 2b 2 + a 2c 2 + b 2c 2 ) ≥ 2(a 2b 2 + a 2c 2 + b 2c 2 ) + ab 3 + ac 3 + bc 3 + ba 3 + ca 3 + cb 3 − ab 2c − a 2bc − abc 2
(=) a 4 + b 4 + c 4 + abc(a + b + c) ≥ ab3 + ac 3 + bc 3 + ba 3 + ca 3 + cb3 (chứng minh trên)
4

=> đpcm dấu “=” xảy ra khi a=b=c