Chuyên đề NGUYÊN hàm, TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 3
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Nguyên hàm

∫ f ( x)dx = F ( x) + C ⇔ F '( x) = f ( x)
1/ ∫ f '( x)dx = f ( x ) + C
2/ ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x )dx
3/ ∫ [f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x)dx

+ Định nghĩa :
+ Tính chất :

+ Bảng nguyên hàm

∫ dx = x + C
α
∫ x dx =

x
∫ a dx =

1

xα +1
+C
α +1

∫ cos x dx = t anx + C
2

dx

1

∫ x = ln x + C
∫ e dx = e + C
∫ cosxdx = s inx + C
x

2. Tích phân:
+ Định nghĩa :

ax
+ C (a > 0, a ≠ 1)
ln a

∫ sin x dx = − cot x + C
∫ 0dx = C
∫ s inxdx = −cosx + C
2

x

b

∫ f ( x)dx = F ( x)

b
a

= F (b) − F (a )

a

+ Tính chất :
a

1/ ∫ f ( x)dx = 0 ;
a

2/ ∫ kf ( x)dx = − ∫ f ( x )dx
a

b

b

a

a

a

4/ ∫ [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx

a

b

b

b

b

b

a

a

b

5/

∫
a

c

b

a

c

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ( a < c < b )

3/ ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x )dx

3. Các phương pháp tìm nguyên hàm, tính tích phân.
Dạng 1 : Tìm ngun hàm, tính tích phân bằng định nghĩa.
Dạng 2 : Xác định nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 3 : Xác định nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
+ Áp dụng ĐN, tính chất, bảng ngun hàm để tìm nguyên hàm, tính tích phân .
+ Áp dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp từng phần để tính tích phân


+ Sử dụng máy tính cầm tay để giải bài tập về nguyên hàm, tích phân
C. BÀI TẬP
Dạng 1: Áp dụng ĐN, tính chất, bảng ngun hàm để tìm ngun hàm, tính tích phân
Bài 1.Tìm ngun hàm của các hàm số.
a. f(x) =

1
( x 2 − 1) 2
2
=> f(x) = x − 2 + 2
2
x
x

ĐS. F(x) =
1
3

1
2

b. f(x) = x + x + x => f(x) =
x +x +x
3

1

c. f(x) =

x

4

−3

2

x −1

=> f(x) = x − 2 − 2 x − 3
x

3

=> f(x) = ( x − 1) . x

x

2
g. f(x) = 2 sin

−

ĐS. F(x) = 2 x − 33 x 2 + C
ĐS. F(x) = x − 4 x + ln x + C

1
3

5

2

ĐS. F(x) = x 3 − x 3 + C

x
=> f(x) = 1 - cosx
2

h. f(x) = tan2x => f(x) =

5

3
2
4
ĐS. F(x) = 2 x + 3 x + 4 x + C
3
4
5

1
−
1
( x − 1) 2
d. f(x) =
=> f(x) = 1 − 2x 2 +
x
x

e. f(x) =

4

3

1
4

1

1

x3
1
− 2x + + C
3
x

ĐS. F(x) = x – sinx + C

1
−1
cos 2 x

ĐS. F(x) = tanx – x + C

i. f(x) = e 2 x + 1

ĐS. F(x) =

1 2x
e + x+C
2

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a)

x5
3
2
∫ ( x − 3x + 2 x + 1) dx = ∫ x dx − 3∫ x dx + 2∫ xdx + ∫ dx = 5 − x + x + x + C

b)

∫ ( x + 1) ( x − 2)dx

4

c) ∫

2

4

=

∫( x

2

2

3
2
− x − 2 ) dx = x − x − 2 x + C

3

2

x−2
1
1
1
+C
dx = ∫ (
−
)dx = ln x − 2 − ln x − 1 + C = ln
x −1
x − 3x + 2

x − 2 x −1
2

 1

− 2 x + e x ÷dx = tanx − x 2 + e x + C
d) ∫ 
2
 cos x

e)

1

∫ ( cos3x − 5s inx ) dx = ∫ cos3xdx − 5∫ s inxdx = 3 s in3x + 5cosx + C
∫

x
2

2
g) sin dx =

∫

1 − cosx
x sinx
1 1

+C

.dx = ∫  − cosx ÷dx = −
2
2
2 2

2

Bài 3. Tìm hàm số f(x) biết:
a) f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
Ta có f ( x) =

∫ ( 2 x + 1) dx = x

2

+ x + C ; Vì f(1) = 5 nên C = 3; Vậy : f(x) = x2 + x + 3


(

)

b) f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3; Ta có: f(x) = ∫ 2 − x 2 dx = 2 x −

x3
+C
3

x3
Vì f(2) = 7/3 nên C = 1; Vậy: f(x) = 2 x −

+1
3
Bài 4. Tính các tích phân sau
1

∫

1

1

1

a) ( x − 1)dx = ∫ ( x − 1)dx = ∫ x dx − ∫ dx = (
3

3

3

0

0

0

0

x4
−3

− x) 10 =
4
4

2
 x2
2
x2 + 4 x
1
 11
dx = ∫ ( x + 4 ) dx =  + 4 x ÷ = ( 2 + 8 ) −  + 4 ÷ =
b) ∫
x
2
 2
 2
1
1
1
2

1

x
x
c) ∫ (e + 2)dx = ( e + 2 x )
0

1
= e + 2 −1 = e +1

0

Bài 5. Tính các tích phân sau:
a)

π
2

π
2

0

0

∫ (cosx − 3sinx)dx = ∫ (cosx − 3sinx)dx = ( s inx + 3cosx )

π
2
0

= −2

π
1
3π


b) (3+ cos2x).dx =  3 x + sin x ÷ 2 =
∫

2
2

0
π
2
0

π
π
1
c) ( 2 cos x − sin 2 x ) dx = 2 cos xdx + sin 2 xdx = 2sin x 2 + cos 2 x 2 = 1
∫0
∫0
∫0
2
0
0
π
2

π
2

π
2

π
 π2


2
1


d) sin3x cos xdx = 1 [ sin 4 x + sin 2 x ]dx =  ∫ sin 4 xdx + ∫ sin 2 xdx 
∫0
2 0
0
2 ∫0



π
2

π
2

1 1
1
1
1
 1  1
  1

− cos 4 x − cos 2 x  =  − cos 2π − cosπ ÷−  − cos 0 − cos 0 ÷

2 4
2
2

2
 2  4
  4


=

1 1 1 1 1 1
 − + + + ÷=
2 4 2 4 2 2

=

Bài 6. Tính các tích phân sau:


2
x3  1  x3
1 8
1
a) ∫ x − 1dx = ∫ − ( x − 1) dx + ∫ ( x − 1) dx =  x − ÷ +  − x ÷ = 1 − + − 2 − + 1 = 2
3 0  3
3 3
3

1
0
0
1
2

1

2

2

π
3

b)

∫

−

c)

π
2

π
2

2

π
3

π

1
3
sin x dx = ∫ − sin xdx + ∫ sin xdx = cos x π − cos x 3 = 1 − + 1 =
−
2
2
π
0
−
0
2
2
0

∫ ( cos x − sin x )
0

2

2

π
2

dx = ∫ cos x − sin x dx =
0

0

π

4

π
2

0

π
4

∫ ( cos x − sin x ) dx + ∫ ( sin x − cos x ) dx


π
π
2
= ( sin x + cos x ) 4 − ( cos x + sin x ) = 2 2 − 2
π
0
4

D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
2
Câu 1. Tìm nguyên hàm ∫ 4x dx .

A.

3 2
x +C
4

B.

3 3
x +C
4

4 2
x +C
3

C.

D.

4 3
x +C .
3

2
Câu 2. Nguyên hàm ∫ 5(x − 2x + 3)dx bằng

A. 5x3 − 10x2 + 15x.
C.

B. 5x3 − 10x2 + 15x + C.

5 3
x − 5x2 + 15x + C
3

D.

5 3
x − 10x2 + 15x + C .
3

2
2
Câu 3. Nguyên hàm ∫ 5(3x − 1) dx bằng

A. 9x5 − 10x3 + 5x + C
B. 9x5 + 10x3 − 5x + C
C. 15x5 − 10x3 + 5x + C
D. 15x5 + 10x3 − 5x + C .
Câu 4. Nguyên hàm ∫ (cos x + sin x)dx bằng
A. sinx + cosx + C
B. sinx – cosx + C
C. –sinx + cosx + C
D. –sinx – cosx + C.
4
Câu 5. Nguyên hàm ∫ (x2 − 2x + )dx bằng
x
3
x
x3
A.
B.
− x2 + 4ln| x | +C
− x2 + 4ln x + C

3
3
3
x
x3
C.
D.
− x2 − 4ln| x | +C
− x2 − 4ln x + C .
3
3
x2 + 2x3 + x2 + 1
dx bằng
Câu 5. Nguyên hàm ∫
x2
x3
1
x3
3
A.
B.
+ x2 + x − + C
+ x2 + 2x − + C
3
x
3
x
3
3
2x

2
x
1
C.
D.
+ x2 + x − + C
− 3x2 + x − + C .
3
x
3
x
Câu 6. Nguyên hàm

∫(

)

x + 3 x + 5 x4 dx bằng

3 23 4 43 9 95
x + x + x +C
2
3
5
4
3
2
3
5 9
C. x2 + x3 + x5 + C

3
4
9
(x2 + 1)2
dx bằng
Câu 7. Nguyên hàm ∫
x2
2x3
2
A.
+ 3x − + C
3
x
A.

3 23 3 43 9 95
x + x + x +C
2
4
5
2
3
2 3 3 4 5 59
D.
x + x + x +C .
3
4
9
B.

B.

x3
3
− 3x + + C
3
x


2x3
3
+ 2x − + C
3
x
x 2x
Câu 8. Nguyên hàm A = ∫ 2 .3 dx bằng
C.

D.

x3
1
+ 2x − + C .
3
x

12x
14x
16x
18x

A.
B.
C.
D.
+C
+C
+C
+C .
ln12
ln14
ln16
ln18
2
Câu 9. Nguyên hàm ∫ cot xdx bằng
A. tanx + x + C
B. –tanx + x + C
C. –cotx – x + C
D. cotx + x + C.
2
Câu 10. Nguyên hàm ∫ tan xdx bằng
A. cotx – x + C
B. cotx + x + C
C. tanx – x + C
D. tanx + x + C
x
Câu 11. Nguyên hàm ∫ 3sin2 dx bằng
2
3
3
3

x
A. (x − sin x) + C
B. x − sin x + C C. xsin x + C
D. sin3 + C
2
2
2
2
Câu 12. Giả sử

∫

5

1

dx
= lnc . Giá trị của c là
2x − 1

A. 3
Câu 13. Tích phân
A.

2

1

B.

∫

6

2

∫

0

5
3

B.

16
3

5
8

x
dx bằng
x+ 1
A. ln2
B. ln3
1 2x + 9
Câu 17. Tích phân ∫
dx bằng
0 x+ 3

A. ln2 – ln3
B. ln3 – ln2
1
x
dx bằng
Câu 18. Tích phân ∫
0 4 − x2
4
3
A. ln
B. ln
3
5
Câu 19. Tích phân

∫

7
3

C.

17
3

C.

7
8

D.

8
.
3

D.

18
.
3

D.

9
.
8

1

0

π
2
0

∫

A. 0
Câu 20. Tích phân

C.

dx
bằng
(1+ x)3

3
8

Câu 16. Tích phân

D. 16.

x − 2 dx bằng

B.
1

C. 9

(x2 − 2x + 3)dx bằng

14
3

Câu 15. Tích phân
A.

∫

4
3

Câu 14. Tích phân
A.

B. 4

π

0

D. 1 – ln3.

C. 6ln3 – 3ln2

D. 3 + 6ln2 – 3ln3.

C. ln

3
4

3
D. ln .
5

cosxdx bằng
B. 1

∫

C. 1 – ln2

cosxdx bằng

C.

π
2

D. π


A. 0

B. 1

C.

π
2

D. π

π
2

Câu 21: Giả sử I = sin 3 x sin 2 xdx = (a + b) , Khi đó giá trị a+b là:

∫
0

A.

2
5

B.

∫

3
10

C. −

2
5

D.

1
5

2

Câu 22. Tính cos xdx .

1

sin 2 x 
x
+

÷+ C.
4
2 
1
C. ( x + sin 2 x ) + C .
2
ln x
dx .
Câu 23. Tính ∫
x

1
( 2 x + sin 2 x ) + C.
4
1
1
D. ( x + sin 2 x ) + C.
2
2

A.

A. ln ln x + C.

B.

B.

x2
( ln x − 1) + C.
2

C.

1 2
ln x + C.
2

D. ln

x2
+ C.
2

Câu 24. Giá trị m để hàm số F(x) =mx3 +(3m+2)x2-4x+3 là một nguyên hàm của hàm số
f ( x ) = 3x 2 + 10 x − 4 là:
A. m = 3.
B. m = 0.
C. m = 1.
D. m = 2.
Câu 25. Nếu
A. 2.

dx

a

∫ x 4 = − bx3 + C thì b − a bằng:
B. -2.

C. 1 .

D. -1.


BUỔI 2
DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Nguyên hàm
Tính I =

∫ f [u( x)].u' ( x)dx

bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx
I=

b

∫ f [u( x)].u' ( x)dx = ∫ f (t )dt

∫ f[ϕ (x)]ϕ '(x)dx bằng phương pháp đổi biến.

2. Tính tích phân

a

Bước 1: Đặt t = ϕ (x) ⇒ dt = ϕ '(x). dx
Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = ϕ (a) ; x = b ⇒ t = ϕ (b)
Bước 3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được .
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
+ Biết cách đặt ẩn phụ
+ Biết biểu diễn nguyên hàm theo ẩn phụ, đổi cận đối với tích phân.
+ Biết sử dụng tính chất, cơng thức vào giải tốn.
C. BÀI TẬP
1. NGUYÊN HÀM
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

∫

a)

b)

2

∫( x

=>

1
du
2

3
2

1
x + 1.xdx = u . 1 du = 1 u du = 1 u . 2 = u + C =
3

∫

=>

2
Đặt u = x + 1 => du = 2 xdx => xdx =

x 2 + 1.xdx

3

∫( x

∫

+ 5 ) x 2 dx

3

4

+ 5)

4

1
2

2

2∫

1
2

3
2

2

3

3

3
2
2
Đặt u = x + 5 => du = 3 x dx => x dx =

(x

2

+ 1) + C
3

1
du
3

1
1
1 u5
u5
x3 + 5)
x dx = ∫ u 4 du = ∫ u 4 du = . + C = + C = (
+C
3
3
3 5
15
15
5

2

x
1
2
dx
Đặt u = x + 5 => du = 2 xdx => xdx = du
2
+5
x
1 1

1
1
dx = ∫ . du = ln u + C = ln ( x 2 + 5 ) + C
=> ∫ 2
2 u
2
2
x +5
c)

∫x

d) ∫
=> ∫
e)

2

dx

Đặt u = 2x-1=>du = 2dx

2x −1
dx
2x −1

∫ ( x − 1) e

=

1
1 − 12
1 12
2
u
du
=
.2
u
+
C
=
u
+ C = u + C = 2x −1 + C
2∫
2

x 2 − 2 x +3

dx ; Đặt u = x 2 − 2 x + 3 => du = 2( x − 1)dx => ( x − 1) dx =

du
2


=>

∫ ( x − 1) e

x2 − 2 x +3

dx =

1

1

∫ 2 .e du = 2 e
u

u

1 2
+ C = e x −2 x +3 + C
2

Bài 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

sin x
∫ cos5 xdx Đặt u = cos x => du = − sin xdx
sin x
du
u −4
1
1
−5
dx = − ∫ 5 = − ∫ u du =
=> ∫
+C = 4 +C =
+C

5
u
4
4u
4cos 4 x
cos x
a)

b) ∫ cot xdx = ∫

∫

=> cot xdx =
c) ∫
=> ∫
d)

sin x
3

sin x

2
3

cos x

−

2

dx = ∫ sin x.cos 3 xdx Đặt u = cos x => du = − sin xdx

2
3

1
3

dx = − ∫ u du = −3u + C = −3 3 cos x + C

2

cos x
2

∫ ( 1 + cot

1

sin x

−

∫ ( 1 + cot

=>

cos x

Đặt u = sinx => du = cosxdx

∫ sin x dx = ∫ u du = ln u + C = ln sin x + C

dx = ∫

cos 2 x

3

cos x
dx
sin x

2 x ) ecot 2 x dx Đặt u = cot 2 x => du = −

2

2 x ) e cot 2 x dx = −

2
2

sin 2 x

dx => du = −2(1 + cot 2 2 x)dx

1 u
1
e du = − ecot 2 x + C

∫
2
2

2. TÍCH PHÂN
Bài 1. Tính các tích phân sau :
1

∫

2
a) A = x 1 + x dx
0

Đặt t = 1 + x 2 => dt = 2 xdx ; Đổi cận: Khi x = 0=> t = 1; Khi x = 1=> t = 2
2

1
=> A = ∫
2
1

2
2 1
1 12
1 2 23 2 1
tdt = ∫ t dt = . t
= t t = 2 2 −1
1 3
21

2 3 1 3

1

(

)

3
4
b) B = ∫ x ( x − 1) dx
5

0

Đặt t = x 4 − 1 => dt = 4 x 3 dx ; Đổi cận: Khi x = 0 => t = -1; x = 1 => t = 0
0

15
1 t6 0
1 60
1
=
t
=−
=> B = ∫ t dt = .
4
4 6 −1 24 −1
24
−1

2

e x dx
;
ex −1
1

c) C = ∫

Đặt t = e x − 1 => dt = e x dx Đổi cận: Khi x = 1=> t = e – 1;Khi x = 2=> t = e 2 − 1
=> C =

e 2 −1

∫

e −1

e2 −1
dt
e2 − 1
= ln t
= ln ( e 2 −1) − ln ( e −1) = = ln
= ln ( e + 1)
t
e −1
e −1


2

2
d) D = ∫ 4 − x xdx

2
Đặt t = 4 − x => dt = −2 xdx => xdx = −

0

dt
2

Khi x = 0=> t = 4 ; x = 2 => t = 0
4
4 1
1
1 12
1  2 23  4 1
8
tdt = ∫ t dt =  t ÷ = t t
= ( 4.2 − 0 ) =
=> D = ∫ −
0 3
2
20
23  0 3
3
4
0

4

∫

e) E =

e

1

( )

x

x

Đặt t = x => dt =

dx

1
2 x

dx =>

dx
= 2dt
x

2

t
t
Khi x = 1=> t = 1 ; x = 4 => t = 2 ; => E = ∫ 2.e dt = 2e
1

π
2

sin 2 x
f) F =
∫0 1 + sin2 xdx

2
= 2 ( e2 − e )
1

Đặt t = sin 2 x => dt = 2sin x cos xdx = sin 2 xdx

Khi x = 0 => sin 2 0 = 0 => t = 0; x =

π
π
=> sin 2 = 1 => t = 1
2
2

1

1

dt
= ln 1 + t = ln 2 − ln1 = ln 2
0
1+ t
0

=> F = ∫

ln 2

∫ (e

g) G =

x

0

Đặt

− 1) .e x dx ( Đề thi TN năm 2011-2012)
2

t = e x − 1 => dt = e x dx ; Đổi cận : Khi x = 0 => t = 0 ; x = ln 2 => t = 1
1

=> G =

2
∫ t dt =

0

t3
3

1
0

=

1
3

D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
5
Câu 1. Nguyên hàm ∫ (5x + 3) dx bằng

A.

x6
+C
30

B.

x5
+C
25

C.

x4
+C
24

D.

x3
+C .
20

4
. osx dx bằng
Câu 2. Nguyên hàm ∫ sin xc

A.

cos5 x
+C
5

Câu 3. Nguyên hàm
A. lnex + C
Câu 4. Nguyên hàm

B.

sin5 x
+C
5

C. cos5 x + C

D. sin5x + C.

C. ln(ex – 1)

D. ln(ex + 1).

ex
∫ ex + 1dx bằng
B.

ln x
+C
lnex

x3
∫ (6x4 + 5)5 dx bằng


A.

−6
+C
85(6x4 + 5)4

B.

C.

−1
+C
96(6x4 + 5)4

D.

Câu 5. Nguyên hàm
A. −
C.

∫

B. −

1
(2cos x − 1)3 + C
3

A. −

A. −

D.

1
(3cos x − 2)3 + C
3

1

(3cos x − 2)3 + C .
3

cos x
dx bằng
2
x

∫ sin

1
+C
cos x

Câu 7. Nguyên hàm

1
+C.
75(6x4 + 5)4

2cos x − 1.sin xdx bằng

1
(2cos x − 1)3 + C
3

Câu 6. Nguyên hàm

−2
+C

55(6x4 + 5)4

B. −

1
+C
sin x

C.

1
+C
sin x

D.

1
+C .
cos x

C.

1
+C
sin x

D.

1
+C .

cos x

C.

1 3
tan x + C
3

sinx

∫ cos x dx bằng
2

1
+C
cos x

B. −

1
+C
sin x

3
Câu 8. Nguyên hàm ∫ (tan x + tan x)dx bằng

A.

1 2
tan x + C

2

B. tan2 x + C

D. tan3 x + C .

4 3
Câu 9. Nguyên hàm ∫ [x(3− x )] dx bằng

A.

3− x4
+C
16

x4 − 3
+C
16

B.
1

Câu 10. Nguyên hàm

∫

A. −e x + C

B. e x + C

Câu 11. Nguyên hàm

∫ x lnxdx bằng

A.

A.

43
7

D.

(3− x4 )4
+C .
16

e x dx bằng
C. 2e x + C

1
ln x2 + C
2

B.

∫

(3− x4 )4
+C

16

D. 3e x + C .

1

1 2
ln x + C
2

Câu 12 . Tích phân

x

C. −

2

0

1 2 2
ln x + C
2

D. lnx2 + C .

x2 x3 + 1.dx bằng
47
8

B.

Câu13. Tính tích phân

C.

∫

0

−1

x3 x + 1.dx.

C.

52
9

D.

57
.
10


A. −

9
28

B. −

Câu 14. Tính tích phân
A.

5 5− 4 3
5

A. −

5 5
3

∫ (x + 1)(x

2

0

1

64
15
3
2

∫

B. −

Câu 17. Tính tích phân

(

∫

C. −

(

C. −

4 − x2
dx.
x

2

1

)

B.

)
dx

∫

x x2 + 4

5

Câu 19. Tính tích phân

∫

B.
1

Câu 20. Tích phân

∫

0

 e+ e2 + 1 
÷
A. ln
 1+ 2 ÷



5 5 64
.
+
3 15

19

24

(

D. −

19
.
22

)

3 − 2ln 2 + 3

)

.

1 3
ln
4 5

B.

A. 0

5 5− 3 2
.
5

D. − 3 + 2ln 2 + 3
2 3

1 5
ln
4 3

D.

D. −

(

3 + 2ln 2 + 3

Câu 18. Tính tích phân
A.

25 5 − 4 2
5

5 5 64
−
3 15

21
23

A. − 3 − 2ln 2 + 3
C.

C.

x3 − 2x
dx.
2
1− x

0

21
25

9
.
17

D.

x3 x2 + 4 dx.

0

B.

5
12

+ 2x + 2) x2 + 2x + 2 dx.

25 5 − 3 2
5

∫

Câu 16. Tính tích phân

A. −

C.

1

B.

Câu 15. Tính tích phân

7
15

2

−2

C. 4ln

3
5

D. 4ln

5
3

x2 4 − x2 dx.

15
19
ex

ex + e− x

C.

21
28

D. 2π

dx bằng

 e− e2 + 1 
÷
B. ln
 1+ 2 ÷



 e+ e+ 1 
÷

C. ln
÷
1
+
2



 e− e+ 1 
÷
D. ln
÷
1
+
2



2

2
Câu 21. Cho ∫ 2 x x − 1dx và u = x 2 − 1 . Chọn khẳng định sai?
1

2

A. I = ∫ udu
1

3

B. I = ∫ udu
0

2
C. I = 27
3

3 3

2
D. I = u 2
3

0


a

Câu 22: Biết ∫ sin x cos xdx =
o

A.

π
2

B.
3

Câu 23. Biết
A. S = −2.

∫x

2

2

C.

2017

π
4

D.

π
3

D. S = 1.

2017

ò f ( x)dx = 2, ị g( x)dx =- 5. Tìm J = ò [ 2 f ( x) + g ( x)] dx .
1

1

A. J =- 1.
Câu 25. Giả sử
A. 5.

2π
3

1
dx = a ln 2 + b ln 3 .Tìm giá trị S = a + b .
−x
B. S = 0.
C. S = 2.

2017

Câu 24. Cho

1
. Tìm giá trị của a.
4

∫

2

0

1

B. J = 1.

C. J = 0.
D. J = 2.
x −1
dx = a ln 5 + bln 3 , với a, b ∈ Q . Khi đó a – b bằng:
x2 + 4x + 3
B. - 1.
C. - 5.
D. 1.


BUỔI 3
DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Nguyên hàm
Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx
Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
b

2. Tính tích phân từng phần :

∫ u( x)v'(x)dx = u( x)v( x)
a

b
a

b

− ∫ v( x)u '( x)dx
a

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
+ Phân dạng
β

Dạng 1:

∫

α

u = f ( x)
du = f '( x)dx


sin ax 
sin ax 


Đặt 

 ⇒


dv =  cos ax  dx v = ∫ cosax  dx


 eax 

 eax 



sin ax 


f ( x) cosax dx
eax 

dx

u = ln(ax)
 du = x
⇒
Đặt 
dv = f ( x)dx v = f ( x)dx
∫


β

Dạng 2:

∫ f ( x) ln(ax)dx

α

β

u = e x
sin ax 
Dạng 3: ∫ e . 
dx đặt: dv = sin axdx
cosax



α
ax

C. BÀI TẬP
1.NGUYÊN HÀM
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

∫ x. sin xdx

=>
b)

c)

∫ x. sin xdx = -xcosx + ∫ cosxdx = − x cos x + sin x + C

x
∫ ( x − 1) e dx

=>

u = x
du = dx
=> 
 dv = sin xdx
v = − cos x

Đặt 

u = x − 1
du = dx
=>
Đặt 

x
x
dv = e dx
v = e

∫ ( x − 1) e dx = (x-1). e x - ∫ e dx = ( x − 1) e

∫ x ln xdx

x

x

x

− e x + C = e x ( x − 2) + C

1

du = dx

u = ln x

x
=> 
Đặt 
2
dv = xdx
v = x


2


=>
d)

x2
x2 1
x2
1
x2
x2
ln x − ∫ . dx = ln x − ∫ xdx = ln x − + C
2
2 x
2

2
2
4

∫ x ln xdx =

∫ ( 1 − x ) cos xdx

=>

u = 1 − x
du = −dx
=> 
 dv = cos xdx
v = sin x

Đặt 

∫ ( 1 − x ) cos xdx = ( 1 − x ) sin x + ∫ s inxdx = ( 1 − x ) sin x − cos x + C

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

=>

b)

u = 1 − 2 x
 du = −2dx
=>

Đặt 

x
x
 dv = e dx
v = e

x
∫ ( 1 − 2 x ) e dx

∫ ( 1 − 2 x ) e dx = ( 1 − 2 x ) e + ∫ 2e dx = ( 1 − 2 x )e
x

∫

=>

x

x

+ 2e x + C = e x ( 3 − 2 x ) + C

1

du
=
dx
u = ln x
x


=> 
Đặt 
3
dv = xdx
v = 2 x 2

3

x ln xdx

∫

x

2 32
2 32 dx 2 32
2 12
x ln xdx = x ln x − ∫ x . = x ln x − ∫ x dx =
3
3
x 3
3

2 32
2 2 3
2 3
4 3
x ln x − . x 2 + C = x 2 ln x − x 2 + C
3

3 3
3
9
u = x
du = dx

=> 
Đặt 
1
v = −cotx
dv = sin 2 x dx

xdx
dx
c) ∫
sin 2 x
=>
d)

xdx
cos x
dx = − x cot x + ln sin x + C
dx = -xcotx + ∫
2
sin x
x

∫ sin

∫ ( 2 x + 3) e

−x

u = 2 x + 3
 du = 2dx
=> 
Đặt 
−x
−x
dv = e dx
v = −e

dx

−x
−x
−x
−x
−x
=> ∫ ( 2 x + 3) e dx = −e ( 2 x + 3) − ∫ −e .2dx = −e ( 2 x + 3) + ∫ 2e dx
−x
−x
−x
= −e ( 2 x + 3) − 2e + C = −e ( 2 x + 1) + C

2. TÍCH PHÂN
Bài 1. Tính các tích phân sau:
π
2

u = x
du = dx
⇒
Đặt : 
 dv = cosx.dx v = sin x

∫

a/ I= x.cos x.dx
0

Vậy : I = x sinx

π
2
0

π
2

π
- sin x.dx = + cosx
∫
2
0

π
2
0

=

π
-1
2

=


du = 1 .dx

u = ln x
x
⇒
Đặt : 
2
dv = x.dx v = x

2

e

.
b/ J= ∫ x.ln xdx
1

x2
Vậy : J = lnx.
2

e

x2 1
e2 1
e2 1 2 e e2 + 1
.
dx
=
−
xdx
=
− x =
∫1 2 x
2 2 ∫1
2 4 1
4

du = dx
=>

x
x
dv = e dx
v = e

x
∫ x.e dx

Đặt 

0

1

Vậy :

e

u = x

1

c)

e
1

∫ x.e dx = x.e
x

1

x 1
0

0

−∫ e x dx = e − e x 10 = e − (e − 1) = 1
0

Bài 2. Tính các tích phân sau:
π
4

xdx
a )A=
∫0 cos 2 x
π
4

u = x
du = dx

Đặt 
dx => 
v = tan x
dv = cos 2 x

xdx =
( x tan x )
2

∫ cos x

π
4
0

π
4

− ∫ tan xdx =
0

0

π
4
0

π
= + (ln cos x )
4
1

b) B =

∫ x.e

2x

dx

0

1

∫ x.e

2x

dx

0

π
2

π
4

π
sin x
−∫
dx
4 0 cos x

 π
π 
2
2
+  ln
− ln1÷
=
+
ln
÷ 4
4 
2
2



=

 du = dx
u = x

=> 
Đặt 
1 2x
2x
dv = e dx
v = 2 e

1 2x
= x.e
2

1

1
0

1
1
1
− ∫ e2 x dx = x.e2 x 10 − e 2 x
20
2
4

1
0

1 2 1 2 1 1 + e2
= e − e + =
2
4
4
4

u = x 2
du = 2 xdx
=> 
c) C = x cos xdx Đặt 
∫0
v = sin x
 dv = cos xdx
2

π
2

2
2
∫ x cos xdx = x sin x

0

* Tính : I =

π
2

∫ xsinxdx
0

π
2
0

π
2

− 2 ∫ x sin xdx =
0

π
2

π
− 2 ∫ x sin xdx
4
0
2

u = x
du = dx
=> 
dv = sin xdx

v = − cos x

Đặt 


I=

π
2

∫ xsinxdx = − x cos x

π
2
0

π
2

Thế I = 1 vào C ta được :

π
2
0

+ ∫ cos xdx = − x.cos x + sin x = 1
0

0

π
2

π
2
0

π2
=
−2
x cos xdx
4

∫

2

0

D. CÂU HỎI TRÁC NGHIỆM KHÁCH QUAN

∫ xln xdx .

Câu 1. Tìm nguyên hàm
A.

1 2
1
x ln x − x2 + C
2

4

B. x2 ln x −

1 2
x +C
4

C.

1 2
1
x ln x − x2 + C
3
2

D. x2 ln x −

1 2
x +C .
2

x
Câu 2. Nguyên hàm ∫ x.2 dx bằng

A.

2x
1
− 2 .2x + C

ln2 ln 2

B.

x.2x
1
− 2 .2x + C
ln2 ln 2

C.

2x
1
+ 2 .2x + C
ln2 ln 2

D.

x.2x
1
+ 2 .2x + C .
ln2 ln 2

Câu 3. Nguyên hàm

∫

x.ln xdx bằng

A.

2
4
x ln x − x x + C
3
9

B.

2
4
x ln x − x x + C
3
9

C.

2
4
x x ln x − x x + C
3
9

D.

2
4
x x ln x + x x + C .
3
9

Câu 4. Nguyên hàm ∫ x ln(x + 2)dx bằng
x2
A. x ln(x + 2) − − 2x + 4ln(x + 2) + C
2
2


x2
1  x2
ln(x + 2) −  − 2x + 4ln(x + 2) + C
2
2 2


C.

Câu 5. Nguyên hàm ∫ x.e
A.

B. e x

3
2

( ln x )

3

+C

Câu 7. Nguyên hàm

∫


1  x2
D. ln(x + 2) −  − 2x + ln(x + 2) + C
2 2


dx bằng:

1 x2 +1
e +C
2

Câu 6. Nguyên hàm
A.

x 2 +1


x2
1  x2
ln(x + 2) −  + 4ln(x + 2) + C
B.
2
2 2


2

+1

+C

C. 2e x

2

+1

D. x 2 .e x

+C

2

+1

+C

ln x
dx bằng:
x

( ln x )

B. 2

1

∫ x.ln

5

x

3

+C

dx bằng:

C.

2
3

( ln x )

3

+C

D. 3

( ln x )

3

+C


ln 4 x
+C
4
Câu 8. Nguyên hàm
A. −

4
+C
ln 4 x
∫ x cos xdx bằng:
B. −

C.

1
+C
4 ln 4 x

D. −

x2
A.
sin x + C
2

B. x sin x + cosx + C

C. x sin x − sinx + C

D.

x2
cosx + C .
2

B.

( x + 3) e 3 + C

D.

x
1
3
x
+
3
e
(
) +C
3

Câu 9: Nguyên hàm

x

∫ xe 3 dx bằng:
x

A. 3 ( x − 3) e 3 + C
x
1
3
x
−
3
e
(
) +C
3
x2 − 2 x +3
dx.
Câu 10. Tìm nguyên hàm ∫ ( x − 1) e

C.

 x2
 x2 − 2 x +3
+C
A.  − x ÷e
 2

1 x2 −2 x
+C
C. e
2

x

1 3 2
x − x +3 x
3

B.

( x − 1) e

D.

1 x2 −2 x +3
e
+C
2

+C

1

Câu 11. Tích phân

∫ xe dx bằng:
x

0

A. e

Câu 12. Tích phân

B. e − 1
π
4

∫ xcos2 xdx

C. 1

D.

1
e −1 .
2

bằng:

0

A.

π −2
8

B.

π −1
4

C. 3 −

π
2

D. 2 −

π
.
2

3

Câu 13. Tích phân

∫ ( x + 1) ln ( x + 1) dx bằng:
0

3
A. 6 ln 2 −
2

B. 10 ln 2 +
1

Câu 14. Tích phân

∫ x ln ( x

2

0

A.

1
ln 2 − 1
2

16
5

C. 8ln 2 +

7
2

D. 16 ln 2 −

+ 1) dx bằng:
1
2

D.

1
( ln 2 − 1) .
2

3e3 + 2

8

D.

2e 2 + 3
.
3

C. ln 2 −

B. ln 2 − 1
e

Câu 15. Tính tích phân

∫x

2

ln xdx.

1

A.

e2 + 1
4

B.

2e3 + 1
9

C.

π
2

Câu 16. Tìm tích phân (2x − 1) cos xdx.
∫
0

A. π − 3

15
.
4

B. π + 3

C. 2π − 3

D. 2π − 3 .

1
+C
4 ln 4 x


π

2

Câu 17. Tính tích phân (x + 1) sin 2xdx.
∫
0

A.

π
−1
4

B.

π
+1
4

π
+2
4

D.

C.

5
9

D. − .

C.

π2 1
+
32 2

D.

C.

π
−2.
4

π
2

Câu 18. Tính tích phân I = (2x − 1) sin 3xdx.
3
∫
0

A.

9
5

B. −

Câu 19. Tính tích phân

9
5

5
9

π
4

∫ x(1 + sin 2x)dx.
0

π2 1
+
32 4

A.

B.

Câu 20. Tích phân

π
2

∫x

2

π2 1
−
32 4

π2 1
− .
32 2

s inxdx.

0

A. π − 1

C. π − 3

B. π − 2

D. π − 4

1

∫

x
Câu 21. Tính tích phân I = xe dx.
0

A. I = 1.

Câu 22. Giả sử

B. I = 2.

∫

2

0

A. 5.

C. I = 3.

D. I = 4.

x −1
dx = a ln 5 + bln 3 , với a, b ∈ Q . Khi đó a – b bằng:
x + 4x + 3
B. - 1.
C. - 5.
D. 1.
2

1

−x
Câu 23. Tính tích phân I = ∫ x.e dx.
0

2
B. 1 − .
e

A. 1.

C.

2
.
e

D. 2e − 1 .

2

2
Câu 24. Tính tích phân I = ∫ ( x − 1) ln xdx.

A. I =

1

2 ln 2 + 6
.
9

B. I =
π

Câu 25. Tích phân

∫e

x

6 ln 2 + 2
.
9

C. I =

2 ln 2 − 6
.
9

cos xdx = a.e π + b . Khi đó tổng S = a + b bằng:

0

1
A. S = − .
2

B. S = −1 .

1
C. S = .
2

D. S = 1.

D. I =

6 ln 2 − 2
.
9


BUỔI 4
CHỦ ĐỀ 2. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Diện tích hình phẳng
+ Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành, và hai đường
b

thẳng x = a, x = b được tính theo công thức S = ∫ f ( x) dx (1)
a

+ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=f1(x), y = f2(x) liên tục trên [a;b] và các
b

đường thẳng x = a; x = b là:

S=

∫

f1 ( x) − f 2 ( x) dx

(2)

a

c

+ Chú ý:

∫
a

c

f1 ( x) − f 2 ( x) dx = ∫ [f1 ( x) − f 2 ( x)]dx
a

2. Thể tích vật thể
Cho vật thể (T) giới hạn bởi 2 mp song song (α), (β). Xét hệ tọa độ Oxy sao cho Ox vng góc với
(α), (β). Gọi giao điểm của (α), (β) với Ox là a, b (a(T) theo một thiết diện có diện tích S(x).
b

Giả sử S(x) là hàm liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích của (T) là : V =

∫ S ( x)dx

(3)

a

3. Thể tích khối trịn xoay quay quanh trục Ox
b

V =π∫ f

2

( x ) dx

(4)

a

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
+Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong, hai đường cong, ba đường cong;
+Tính thể tích vật thể trịn xoay;
+ Giải một số bài toán thực tế.
C. BÀI TẬP
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
a) Đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành và hai đường thẳng x = -2, x = 2
Ta có trên [-2;0], x 3 ≤ 0 . Trên [0; 2], x 3 ≥ 0
2

S=

∫

−2

0

2

x4
x dx = ∫ ( − x ) dx + ∫ x dx = −
4
−2
0
3

3

3

0
−2

x4
+
4

2
0

1
1
= − . ( −16 ) + .16 = 8 ( ĐVDT)
4
4

b) Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = 1 và x = 2
 x2
2
1
1
3

Ta có: S = ∫  x + ÷dx =  + ln x ÷ 1 = 2 + ln 2 − − ln1 = − ln 2
x
2
2
 2

1
2

c) Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1


1

x
x
Ta có: S = ∫ ( e + 1) dx = ( e + x )

1
0

= e +1 −1 = e

0

d) Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 4

 x4
2 4
Ta có: S = ∫ ( x − 4 x ) dx =  − 2 x ÷ 2 = 36 (ĐVDT)
 4

2
4

3

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi.
a) Đồ thị hàm số y = x3 - x; y = x - x2 .Đặt f1(x) = x3 - x, f2(x) = x - x2
Ta có f1(x) - f2(x) = 0 <=> x3 + x2 - 2x = 0 có 3 nghiệm x = -2; x = 0 ; x = 1
Vậy : Diện tích hình phẳng đã cho là :
1

∫x

S=

0

3

+ x − 2 x dx =
2

−2

∫(x

3

1

+ x − 2 x ) dx +

∫ (x

2

−2

+ x 2 − 2 x ) dx =

2

0

b) Đồ thị hàm số y = cosx, y = sinx , đường thẳng x =
Ta có f1(x) - f2(x) = 0 <=> cosx - sinx = 0 <=> x =

37
12

π

3π
;x =
. Đặt f1(x) = cosx, f2(x) =sinx ;
2
2

5π  π 3π 
∈ ;
4  2 2 

Diện tích hình phẳng đã cho là:
3π
2

∫

S=

cosx-sinx dx =

π
2

=

5π
4

∫

sinx-cosx dx +

π
2

5π
4

3π
3

π
2

5π
4

∫ ( sinx-cosx ) dx + ∫ ( cosx-sinx ) dx

3π
2

∫

cosx-sinx dx

5π
4

= − ( cos x + sin x )



2
2
2
2
−
= −  −
−
+ 1 + ( −1) −  −
÷
÷
÷
2 ÷
2 
 2

 2

=

5π
4
π
2

+ ( sin x + cos x )

3π

2
5π
4

=

2 + 1 + −1 + 2 = 2 2

 y = x 3 − 3x 2 + 3x − 1

c) Đồ thị hàm số (H) :  y = 1 − x
 x = 0, x = 2

2

∫

2

S(H)= ( x − 3 x + 3 x − 1) − (1 − x) dx = ∫ x − 3 x + 4 x − 2 dx
3

2

3

2

0

0

2

∫ (x

3

− 3x 2 + 4 x − 2)dx

1

1

2

 x4
  x4

3
2
+ x − 2x + 2x ÷ + 
− x3 + 2 x 2 − 2 x ÷
=−
 4
÷  4
÷

0 
1

1

3
2
= ∫ (− x + 3 x − 4 x + 2) dx +
0


 1
 
1
 3 3 3
=  − + 1 − 2 + 2 ÷+ ( 4 − 8 + 8 − 4 ) −  − 1 + 2 − 2 ÷ = + =
 4
 
4
 4 4 2
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
2x +1
(Đề thi TN năm 2004-2005)
x +1

a)Trục tung, trục hoành và đồ thị hàm số : y =

 1 
Đồ thị giao với trục hoành tại điểm  − ;0 ÷ trục tung : x = 0.
 2 
0

2x +1
Diện tích hình cần tìm là S = ∫ x + 1 dx =
1
−

= ( 2 x − ln x + 1 )

2

0

0

1 
 2x + 2 − 2 +1 

∫1  x + 1 ÷dx = ∫1  2 − x + 1 ÷ dx
−
−
2

2

1

= −  −1 − ln ÷ = 1 + ln1 − ln 2 = 1 − ln 2 (ĐVDT)
2


0

1
−
2

b) Đồ thị các hàm số : y = e x ; y = 2 và đường thẳng x=1 (Đề thi TN năm 2005-2006)
Giải PT : e x = 2 ⇔ x = ln 2 ; Diện tích hình phẳng cần tìm là :
1

S =

∫

1

e − 2 dx =
x

∫ (e

ln 2

ln 2

x

− 2 ) dx = ( e x − 2 x )

1
ln 2

= ( e − 2 ) − ( eln 2 − 2 ln 2 )

= ( e − 2 ) − ( 2 − 2 ln 2 ) = e + 2 ln 2 − 4 (ĐVDT)
Bài 4. Tính thể tích khối trịn xoay khi quay quanh Ox
a) Đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành, đường thẳng x =
π

π
, x =π
2

π

π
π 1
 π π  π  π2
Ta có: V = π ∫ sin xdx = 2 ∫ ( 1 − cos 2 x ) dx =  x − sin 2 x ÷ π =  π − ÷ =
(ĐVTT)
π
π
2 2
 2 2 2 4
2

2

2

b) Đồ thị hàm số y = cosx, y = 0, x = 0 , x =
π

4

π
4

π
4

π

4
Ta có: V = π cos 2 xdx = π (1 + cos 2 x)dx = π  x + 1 sin 2 x ÷ = π  π + 1 ÷(ĐVTT)
∫0
2
2
0 2  4 2
2 ∫0

c) Đồ thị hàm số y = x.e x , y = 0, x = 0, x = 1
1

Ta có : V =

π ∫ x e dx
2

0

2x

du = 2 xdx
u = x 2

⇒
Đặt : 
1 2x
2x
v
=
e
dv = e dx

2

1
1
π 2 2x 1
π 2
x
xe
− π ∫ xe dx = .e − π ∫ x.e 2 x dx
V=
0
2
2
0
0

1

Tính I =

∫ x.e
0

2x

dx

du = dx
u = x

=>
Đặt 

1 2x
2x
 dv = e dx
v = 2 e


x 2x
=> I = e
2

1

1
0

−

1 2x
1
1
1
1
1
e dx = e2 − e 2 x 10 = e 2 − e 2 +
∫
20
2
4
2
4
4

1
π 2
 e2 e2 1  π 2
π e2
2x
.
e
−
π
x
.
e
dx

−
π
Thay I vào V ta có : V =
=
 − + ÷ = ( e − 1) (ĐVTT)
∫0
2
2
 2 4 4 4

1 3
2
d) Đồ thị hàm số : y = x − x và các đường y = 0, x = 0, x = 3.
3
2

3
3
 x 7 x 6 x 5  3 81π
1 3
1 6 2 5
2
4
π
π
x
−
x
dx
=

π
x
−
x
+
x
dx
V = ∫
÷

÷ =  63 − 9 + 5 ÷ 0 = 35 ( ĐVTT)
∫
3
9
3






0
0

D. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Cho hình (H) giới hạn bởi y = sin x; x = 0; x = π và y = 0. Tính thể tích vật thể trịn xoay khi
quay hình (H) quanh trục Ox.
A. V = π/2
B. V = π²/2
C. V = 2π

D. V = π²/4
Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x²; x = 1; x = 2 và y = 0.
4
8
7
A.
B.
C.
D. 1
3
3
3
Câu 3. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f1 ( x ) , y = f 2 ( x ) liên tục và
hai đường thẳng x = a , x = b(a < b) được tính theo cơng thức:
b

A. S = ∫ f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx .

b

B. S =

a

b

C. S = ∫  f1 ( x ) − f 2 ( x )  dx .
a

Câu 4. Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y =

quay hình (H) quanh trục Ox.
A. π/6
B. π/3

∫ f ( x ) − f ( x ) dx .
1

2

a
b

b

a

a

D. S = ∫ f1 ( x ) dx − ∫ f 2 ( x ) dx .
x và y = x. Tính thể tích vật thể trịn xoay khi

C. π/2

D. π

Câu 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 1 và đồ thị hàm số
y = x 2 − 3.
A. 6
B. 4
C. 2

D. 8
Câu 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = –x³ + 3x + 1 và đường thẳng y = 3.
A. 57/4.
B. 27/4.
C. 45/4
D. 21/4.
Câu 7. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị hàm số y = x ln x, x = e , trục hồnh. Tính thể
tích V khối trịn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox.
5e3 − 2
5e3 − 2
A. V =
B. V =
π
27
27
3
5e + 2
5e3 − 2 2
C. V =
D. V =
π
π
27
27
2
Câu 8. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : y = x + 2 x ; y − x − 2 = 0 .
5
7
9
11

A.
B.
C.
D.
2
2
2
2


Câu 9: Cho hình thang cong ( H ) giới hạn bới các đường y = e x , y = 0, x = 0 và x = ln 4 . Đường
thẳng x = k (0 < k < ln 4) chia ( H ) thành hai phần có diện tích là S1 S 2 và như hình vẽ bên. Tìm
x = k để S1 = 2 S2 .
2
A. k = ln 4
3
8
C. k = ln
3

B. k = ln 2
D. k = ln 3

4
Câu 10. Với giá trị nào của m > 0 thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 và y = mx bằng
3
đvdt ?
A. m = 2
B. m = 1
C. m = 3

D. m = 4
2
Câu 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x.ln x ,trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x =
e.
1 2
1 2
1
2
A. S = (e + 1).
B. S = (e − 1).
C. S = (1 − e ).
D. S = (1 − e 2 ).
4
4
4
Câu 12. Tìm diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi y = − x 3 + 3 x 2 − 2 , hai trục tọa độ và đường
thẳng x = 2 .
19
5
1
9
A. S =
(đvdt)
B. S =
(đvdt)
C. S = (đvdt)
D. S = (đvdt)
2
2
3

2
3
2
Câu 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − 3 x + 4 và đường thẳng
x − y +1 = 0 .
A. 8 (đvdt).
B. 4 (đvdt).
C. 6 (đvdt).
D. 0 (đvdt).
2
Câu 14. Thể tích hình phẳng giới hạn bởi y = ( x − 2) , y = 0 ,x=0, x=2 khi xoay quanh trục hoành là.
32
32
A. V =
B. V = 32π
C. V = .π
D. 32
5
5
Câu 15. Thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng ( H ) giới hạn bởi y = x 2 ; y = x + 2 quanh trục
Ox là
72π
81π
81π
72π
A.
(đvtt).
B.
(đvtt).
C.

(đvtt).
D.
(đvtt).
5
10
5
10
Câu 16. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi y = 2 x − x 2 , y = 0 . Tính thể tích của khối trịn xoay thu
a 
được khi quay (H) xung quanh trục Ox ta được V = π  + 1÷ . Khi đó
b 
A. ab=15
B. ab=20
C. ab=28
D. ab =54
2
2
3x + 5 x − 1
Câu 17. Diện tích hình giới hạn bởi y =
, y = 0, x = 0, x = −1 bằng a ln + b . Khi đó,
3
x−2
a + 2b là:
61
A. 2
B. 40
C.
D. -2
2

Câu 18. Nếu f ( 1) = 12 , f ' ( x ) liên tục và
A. 29

B. 5

∫

4

1

f ' ( x ) dx = 17 . Giá trị của f ( 4 ) bằng
C. 15

D. 19

Câu 19. Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) . Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) la


0

A.

∫

−3

0

1

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

B.

4

0

0

∫

−3

4

−3

4

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
1

4

C. ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

D.

∫ f ( x ) dx

−3

Câu 20. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = 2 x − x 2 , y = x . Thể tích của khối trịn xoay thu
được khi quay hình này quanh trục trục Ox:
π
π
π
6π
A.
B.
C.
D.
25
6
5
5
2
2
Câu 21. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x , x = y . Thể tích của khối trịn xoay thu
được khi quay hình này quanh trục trục Ox:
8π
2π
π
3π
A.
B.
C.
D.

3
5
2
10

(

)

x
Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = ( e + 1) x và y = 1 + e x là:

e
3
−1
D. − 1
2
e
2
Câu 23. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = −2 x + x + 3 và trục hồnh là:
A. 2 −

A.

e
2

125
24

B. 2

B.

125
34

C.

C.

125
14

D.

125
44

Câu 24. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2 − x 2 , y = 1 − x 2 và trục hoành là:
A. 3 2 − 2π

B. 2 2 −

π
2

C.

8 2 π

−
3
2

D. 4 2 − π

Câu 25. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = mx cos x ; Ox ; x = 0; x = π bằng 3π . Khi
đó:
A. m = −3
B. m = 3
C. m = −4
D. m = ±3


KIỂM TRA 45 PHÚT
I. MA TRẬN ĐỀ
Nhận biết

Mức độ nhận thức
Thông hiểu
Vận dụng

Chủ đề hoặc mạch
kiến thức kĩ năng

Vận dụng

thấp
1
Câu 1,2,3,4

2
Câu 9,10,11,

3
Câu19,20,21

Tổng

cao
4
Câu 22

14

12, 13, 14
Tích phân

1,6
2,4

Ứng dụng hình học

Câu5,6,7,8

1,2

Câu15,16,17,18 Câu 23

0,4

Câu24,25

5,6
11

của tích phân
1,2
8

1,2
10

Tổng

0,4
4

3,2

4,0

0,8
3

1,6

4,4
25

1,2

10

II. ĐỀ KIỂM TRA
Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Giả sử F(x) là một ngun hàm của f(x) trên [a; b]. Khi

b

đó tích phân ∫ f ( x)dx là:

a

A. F(a)- F(b).

B. F(a)+ F(b).

C. F(b)- F(a).

d

b

b

a

d

a

D. - F(a)- F(b).

Câu 2. Nếu ∫ f ( x)dx = 5, ∫ f ( x)dx = 2 với a < d < b thì ∫ f ( x)dx bằng:
A. -3

B. 7

C. 3

6

6

6

2

2

2

D. -7

Câu 3. Cho ∫ f ( x)dx = 4, ∫ g ( x)dx = 2 . Tính ∫ ( f ( x) + g ( x))dx ?
A. 1

B. 7
C. 6
3
3

2
Câu 4. Nếu ∫ f ( x)dx = 5, ∫ f ( x) dx = 3 thì ∫ f ( x) dx bằng:
1
2
1

D. 2

A. -2
B. 2
C. 1
D. 5
Câu 5. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= - x2, trục Ox, hai đường thẳng x= 0,
x= 3.
3 2
3 2
3 4
2
A. S = − ∫ x dx.
B. S = ∫ x dx.
C. S = ∫ x dx.
D. S = π ∫ x dx.
0
0
0
Câu 6. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=f1(x), y = f2(x) liên tục trên [a;b]
và các đường thẳng x = a; x = b là: