Xây dựng hệ thống câu hỏi định hướng để hướng dẫn học sinh lớp 10 giải các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

XÂY DỰNG HỆ THỐNG CÂU HỎI ĐỊNH HƯỚNG ĐỂ HƯỚNG DẪN
HỌC SINH LỚP 10 GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Nguyễn Hữu Các
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán Học

THANH HÓA, NĂM 2016


MỤC LỤC
Trang


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình hình học lớp 10 có một phần rất quan trọng của
hình học phổ thông đó là phần phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, đây là phần
thi nhằm đạt điểm 8 hoặc điểm 9 trong đề thi THPT quốc gia.
Tuy nhiên khi giải các bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng học sinh
thường không có được phương pháp suy luận cũng như định hướng giải rõ ràng,
cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh khi đi tìm lời giải cho bài toán
thường không biết bắt đầu từ đâu, không biết giải quyết bài toán như thế nào.
Thậm chí một bài toán tương tự nhau xuất hiện trong nhiều đề thi mà học sinh
vẫn làm miệt mài như lần đầu tiên giải nó, bởi không nhận biết được dạng toán

này đã từng làm. Từ đó dẫn đến hiệu quả học tập cũng như việc tiếp thu kiến
thức không cao, ảnh hưởng tới kết quả thi THPT quốc gia. Một phần nữa là vì
giáo viên khi dạy cũng không chú trọng khai thác các câu hỏi định hướng và
phương pháp suy luận, trang bị cho học sinh kỹ năng định hướng giải toán, do
đó hiệu quả giải toán không cao và sự phân loại dạng toán, phương pháp giải
toán cũng không rõ ràng.
Vì vậy, mục tiêu giảng dạy phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
hiện nay đang đặt ra những yêu cầu cần thiết phải trang bị cho học sinh một hệ
thống các câu hỏi định hướng giúp học sinh tìm lời giải cho dạng toán này.
Tuy vậy các tài liệu về dạng toán phương pháp tọa độ đang còn mang tính
hàn lâm, học sinh vẫn còn khó tiếp cận với phương pháp giải.Với ý định đó,
trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra hệ thống các câu hỏi định
hướng giúp học sinh định hình và tìm ra cách giải cho bài toán hình học toạ độ
trong mặt phẳng. Vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm :
“Xây dựng hệ thống câu hỏi định hướng để hướng dẫn học sinh lớp 10
giải các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích của đề tài là giúp học sinh trả lời câu hỏi: “Phải giải bài toán
về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng như thế nào ?”, giúp cho học sinh
có cách nhìn tổng quát về bài toán tọa độ trong mặt phẳng, biết cách xây dựng
và tìm tòi lời giải cho dạng toán này. Việc trải nghiệm tìm tòi lời giải thông qua
hệ thống các câu hỏi định hướng sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định
hướng và giải toán.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này thông qua một số ví dụ tôi sẽ đưa ra
một hệ thống các câu hỏi định hướng được áp dụng có hiệu quả trong việc định
hướng và tìm ra lời giải cho bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Xây dựng cơ sở lý thuyết thong qua các hoạt động
1. Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua quá trình

ôn tập dạng toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

1


2. Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh thông
qua hệ thống câu hỏi định hướng gợi mở.
3. Trong mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng đều yêu cầu học
sinh thực hiện phân tích bài toán để đưa ra hệ thống câu hỏi phù hợp để tìm tòi
ra lời giải cho bài toán.
2. NÔI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lý luận
Hệ thống các câu hỏi định hướng được xây dựng theo trình tự sau:
Bước 1. Làm quen với bài toán.
+ Em phải bắt đầu từ đâu ?. Hãy bắt đầu với đầu đề bài toán.
+ Em có thể làm gì ?. Phải thấy được toàn bộ bài toán, càng rõ ràng, sáng
sủa càng tốt. Lúc này đừng quan tâm tới những chi tiết.
+ Làm như thế, em được lợi gì ?. Em phải hiểu bài toán , làm quen với nó,
phải thấm nhuần bài toán. Sự chú ý vào bài toán sẽ làm cho trí nhớ thêm mạnh
và chuẩn bị cho việc tập hợp những vấn đề có liên quan.
Bước 2. Đi sâu vào nghiên cứ bài toán.
+ Em phải bắt đầu từ đâu ?. Hãy bắt đầu với đầu đề bài toán, và bắt đầu
cho tới khi nào bài toán trở nên khá rõ ràng, khá khắc sâu vào trí nhớ sao cho
em có thể không nghĩ đến nó trong một lát mà không sợ quên hết .
+ Em có thể làm gì ?. Tách ra những yếu tố chính của bài toán, những cái
đã cho biết và điều kiện của bài toán, thoạt đầu theo thứ tự lần lượt và sau đó,
xét tới tổ hợp của chúng, thiết lập mối quan hệ giữa các chi tiết trong bài toán.
+ Làm như thế, em được lợi gì ?. Chuẩn bị như vậy em có thể vạch ra
những chi tiết của bài toán mà sau này sẽ đóng một vai trò nhất định trong việc
tìm lời giải cho bài toán.

Bước 3. Tìm ý hay.
+ Em phải bắt đầu từ đâu ?. Em phải bắt đầu khảo sát những yếu tố chính
của bài toán, chỉ bắt đầu khi nào em đã hệ thống được trong đầu những yếu tố
chính đó và khi đã hiểu rõ những yếu tố chính đó.
+ Em có thể làm gì ?. Em hãy xét bài toán đó dưới nhiều khía cạnh khác
nhau và tìm điểm tiếp xúc với những kiến thức đã có. Hãy khảo sát những yếu
tố khác nhau, cũng như những yếu tố có liên quan tới bài toán. Tổ hợp các yếu
tố đó lại và bắt đầu nghiên cứu chúng trên nhiều mặt.
+ Làm như thế, em được lợi gì ?. Em có thể có may mắn tìm được một ý
hay để dẫn tới cách giải. Cũng có thể ý đó sẽ dẫn em tới những nhận xét khác,
có thể những nhận xét đi chệch đường. Tuy nhiên em không nên thất vọng vì có
thể những ý đó sẽ giúp em hiểu về bài toán đầy đủ hơn, hệ thống hơn, thuần
nhất hơn hay cân đối hơn.
Bước 4. Thực hiện chương trình.
+ Em phải bắt đầu từ đâu ?. Em hãy bắt đầu từ ý hay để dẫn em tới cách
giải. Hãy bắt đầu khi em tin chắc đã nắm được ý chính và đã cảm thấy tự mình
có khả năng phân tích mọi chi tiết có thể cần đến.

2


+ Em có thể làm gì ?. Hãy cũng cố những thành công bước đầu của em,
thực hiện một cách chi tiết những phép chứng minh hình học hay những phép
tính trên tọa độ mà em đã làm sơ bộ trước đây. Kiểm tra lại mỗi bước bằng suy
luận logic hay bằng trực giác. Nếu bài toán em gặp phải là bài toán khó, thì hãy
chia bài toán thành nhiều bước nhỏ để thuận tiện cho quá trình thực hiện.
+ Làm như thế, em được lợi gì ?. Em đã có trong tay một cách giải trong
đó mỗi bước giải có được chắc chắn là đúng.
Bước 5. Nhìn lại cách giải.
+ Em phải bắt đầu từ đâu ?. Bắt đầu với cách giải đầy đủ và đúng trong

mọi chi tiết.
+ Em có thể làm gì ?. Hãy xét những chi tiết của cách giải và cố làm cho
chúng thật đơn giản, cố gắng nhìn bao quát chúng.
Cố gắng hoàn thiện những phần nhỏ và phần lớn trong cách giải, hoàn thiện
cách giải và làm sáng sủa cách giải. Hãy xét kỹ lưỡng kết quả của bài toán để
có thể mang áp dụng vào những bài toán khác.
+ Làm như thế, em được lợi gì ?. Em có thể tìm thấy một cách giải khác
tốt hơn, phát hiện ra những vấn đề mới bổ ích hơn. Trong mọi trường hợp, nếu
em có thói quen xem lại kỹ cách giải, em sẽ thu được những kiến thức rất có hệ
thống và sẵn sang để đem ứng dụng và phát triển khả năng giải toán của mình.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
Đứng trước một bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng học sinh thường
lúng túng và đặt ra câu hỏi: “Phải giải bài toán về phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng như thế nào ?”.Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc
đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi sự thử nghiệm đó sẽ dẫn tới kết quả, tuy
nhiên hiệu suất giải toán như thế là không cao. Với tình hình ấy để giúp học
sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học toạ độ trong mặt
phẳng và chủ động hơn trong các bài toán, người giáo viên cần tạo cho học sinh
thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng
của bài toán theo hệ thống để tìm lời giải.Trong đó việc hình thành cho học sinh
khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải
nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng
và giải toán.
2.3. Các biện pháp thực hiện.
Sau đây là một số ví dụ áp dụng việc tìm tòi lời giải thông qua hệ thống các
câu hỏi định hướng.
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có
điểm C thuộc đường thẳng d : 2 x + y + 5 = 0 và A( - 4;8) . Gọi M là điểm đối
xứng của B qua C , N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD .
Tìm tọa độ điểm B và C , biết rằng N ( 5;- 4) .

Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1. Làm quen với bài toán
+ Bài toán này yêu cầu em làm gì ?
3


+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?
Bước 2. Đi sâu nghiên cứu bài toán
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài toán

+ Trong hai điểm B và C em sẽ ưu tiên tìm tọa độ điểm nào trước, vì sao ?
+ Căn cứ vào mối liên hệ của điểm C, I, N, A, B em có thể tìm được tọa độ điểm
C không ?
+ Căn cứ vào hình vẽ em có nhận xét gì về mối quan hệ của hai đường thẳng BN
và AC không ? Từ đó suy ra mối quan hệ giữa N và B
Bước 3. Tìm ý hay
+Em tìm tọa độ điểm C như thế nào ?
+ Khi nghiên cứu bài toán em sẽ tìm ra được “ BN ^ AC và CB = CN . Vậy B là
điểm đối xứng của N qua AC”
+ Khi đó em có thể tìm tọa độ điểm B như thế nào ?
Bước 4: Thực hiện chương trình
· Do C Î d nên C ( t ;- 2t - 5) . Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD, suy ra I là
æ
ö
t - 4 - 2t + 3 ÷
;
trung điểm của AC. Do đó: I ç
÷
ç

ç
è 2
ø
2 ÷
· Tam giác BDN vuông tại N nên IN = IB . Suy ra: IN = IA. Do đó ta có
phương trình:
2
2
2
2
æ t - 4ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
2
t
+
3
t
4
2
t
+
3
÷
÷
÷

÷
ç
ç
ç
ç
5- 4- 48÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
÷ +è
÷= è
÷+è
÷ Û t =1 .
ç
ç
ç
ç
è
2 ø
2 ø
2 ø
2 ø
Suy ra: C ( 1;- 7)
· Do M đối xứng với B qua C nên CM = CB . Mà CB = AD và CM || AD nên
tứ giác ACMD là hình bình hành. Suy ra AC || DM . Theo giả thiết, BN ^ DM ,
suy ra BN ^ AC và CB = CN . Vậy B là điểm đối xứng của N qua AC

· Đường thẳng AC có phương trình: 3 x + y + 4 = 0 .
Đường thẳng BN qua N và vuông góc với AC nên có phương trình:
x - 3 y - 17 = 0 . Do đó: B ( 3a +17; a)
4


ổ
3a +17 + 5 ử
a- 4
ữ
+
ữ
ữ 2 + 4 = 0 a =- 7
ố
ứ
2

ã Trung im ca BN thuc AC nờn: 3ỗ
ỗ
ỗ
ã Vy B ( - 4;- 7)

Bc 5: Nhỡnh li cỏch gii
+ bi toỏn ny em tỡm tỡm ta im C trc vỡ cú gi thit C ẻ d .
+Mi quan h BN ^ AC cú c t trc quan hỡnh v v d oỏn.
Vớ d 2. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho hỡnh thang cõn ABCD cú hai
ng chộo vuụng gúc vi nhau v AD = 3BC . ng thng BD cú phng
trỡnh x + 2 y - 6 = 0 v tam giỏc ABD cú trc tõm l H ( - 3;2) . Tỡm ta cỏc
nh C v D.
H thng cõu hi nh hng:

Bc 1: Lm quen vi bi toỏn
+ Bi toỏn ny yờu cu em lm gỡ ?
+ Cn c vo gi thit em cú th tỡm c ta im no, vit c phng
trỡnh ng thng no ?
Bc 2: i sõu nghiờn cu bi toỏn
+ Em hóy v hỡnh phõn tớch bi toỏn

+ Trong hai im C v D em s u tiờn tỡm ta im no trc, vỡ sao ?
+ Em hóy thit lp mi liờn h gia cỏc im C, I (I l giao im ca AC v
BD), H, B ?
+ Cn c vo hỡnh v em cú nhn xột gỡ v mi quan h ca hai ng thng IB
v IC khụng ? T ú suy ra mi quan h gia I, H v C
Bc 3: Tỡm ý hay
+ Khi nghiờn cu bi toỏn em s tỡm ra c I l trung im ca on thng
HC
+ Khi ú em cú th tỡm ta im C nh th no ?
+ Em hóy thit lp mi liờn h gia im C v im D ?. C th, em hóy tớnh
di on thng CD.
+ Khi ú em s tỡm ta im D nh th no ?
Bc 4: Thc hin chng trỡnh
ã Gi I l giao im ca AC v BD ị IB = IC . M IB ^ IC nờn D IBC vuụng
ã
cõn ti I ị ICB
= 450
5


BH ^ AD ị BH ^ BC ị D HBC vuụng cõn ti B ị I l trung im ca
on thng HC
ã Do CH ^ BD v trung im I ca CH thuc BD nờn ta im C tha món

ùỡù 2( x + 3) - ( y - 2) = 0
ù
h ớ x - 3
Do ú C ( - 1;6)
ổy + 2 ữ
ử
ùù
+ 2ỗ
6
=
0
ữ
ỗ
ỗ
ùùợ 2
ố 2 ữ
ứ
ã Ta cú
IC IB BC 1
CH 10
=
=
= ị ID = 3IC ị CD = IC 2 + ID 2 = IC 10 =
=5 2
ID ID AD 3
2
ột =1
2
2
ờ

D
6
2
t
;
t
7
2
t
+
t
6
=
50

(
)
) (
)
Do
v CD = 5 2 suy ra: (
ờ
ởt = 7
ã Vy D ( 4;1) hoc D ( - 8;7) .
Bc 5: Nhỡnh li cỏch gii
+ bi toỏn ny nu em tỡm ta im D trc thỡ ú s l mt sai lm.
+ Ghi nh cỏch khai thai tớnh cht ca mi hỡnh thang cõn, ú l D IBC cõn ti I
Vớ d 3. Trong mt phng vi h ta vuụng gúc Oxy , cho tam giỏc ABC cú
trung im ca cnh BC l im M ( 3; 1) , ng thng cha ng cao k t
nh B i qua im E ( 1; 3) v ng thng cha cnh AC i qua im

F ( 1;3) . Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC , bit rng im i xng ca
nh A qua tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l im D ( 4; 2 ) .
H thng cõu hi nh hng:
Bc 1: Lm quen vi bi toỏn
+ Bi toỏn ny yờu cu em lm gỡ ?
+ Cn c vo gi thit em cú th tỡm c ta im no, vit c phng
trỡnh ng thng no ?
Bc 2: i sõu nghiờn cu bi toỏn
+ Em hóy v hỡnh phõn tớch bi toỏn
A

H
F

O
E
B

C

M

D

+ Trong ba im A, B v C em s u tiờn tỡm ta im no trc, vỡ sao ?
+ Em hóy thit lp mi liờn h gia cỏc im B, C, D, H v M ?
6


+ Căn cứ vào hình vẽ em có nhận xét gì về tứ giác BDCH ?. Từ đó suy ra

phương trình đường thẳng AC, DC.
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài toán em sẽ tìm ra được “tứ giác BDCH là hình bình hành”
+ Khi đó em có thể tìm tọa độ điểm C như thế nào ?
+Em hãy thiết lập mối liên hệ giữa điểm C và điểm A, B ?.
+Khi đó em sẽ tìm tọa độ các điểm A, B như thế nào ?
Bước 4: Thực hiện chương trình
· Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , ta chứng minh được BDCH là hình
bình hành nên M là trung điểm của HD suy ra H ( 2;0 ) . Đường thẳng có
phương trình x − y − 2 = 0
· Do AC vuông góc với BH nên phương trình AC : x + y − 4 = 0
Do AC vuông góc với CD nên phương trình DC : x − y − 6 = 0 .
⇒ C ( 5; −1)
· Do M là trung điểm của BC nên B ( 1; −1) . AH vuông góc với BC nên
AH : x − 2 = 0 ⇒ A ( 2;2 ) .
· Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là A ( 2; −2 ) , B ( 1; −1) , ( 5 − 1)
Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Ở bài toán này tìm được tọa độ điểm C trước là một may mắn vì giả thiết bài
toán chưa nhấn mạnh vai trò của điểm C.
+ Mấu chốt của bài toán là việc chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.
+ Việc phát hiện điều này dựa vào trực quan hình vẽ và mối liien hệ của các
điểm, đường thẳng.
Ví dụ 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông tại A
và D; AB = 2 AD, CD = 3 AD . Đường thẳng BD có phương trình x − 2 y + 1 = 0 ,
đường thẳng AC đi qua điểm M ( 4;2 ) . Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích
ABCD bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2.
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1: Làm quen với bài toán
+ Bài toán này yêu cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương

trình đường thẳng nào ?
Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài toán
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài toán

7


+ Để tìm tọa độ điểm A em hãy viết phương trình một đường thẳng đi qua A,
theo em đó là đường thẳng nào ?
+ Em hãy thiết lập mối liên hệ giữa đường thẳng AC và đường thẳng BD ?
+ Em sẽ khai thác diện tích hình thang vuông ABCD như thế nào ?.
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài toán em sẽ “tính được góc giữa hai đường thẳng AC và
đường thẳng BD”?
+ Khi đó em có thể viết phương trình đường thẳng AC như thế nào ?
+ Em hãy tính độ dài đoạn thẳng ID ?
Bước 4: Thực hiện chương trình
· Gọi I = AC I BD , H là hình chiếu của B trên CD.
1 1
+
tan D1 + tan C1
2
3 = 1 ⇒ ·AID = 450 .
·
=
Ta có tan AID = tan ( D1 + C1 ) =
1
1 − tan D1 tan C1 1 − . 1
2 3
· Đường thẳng AC có dạng:

a( x − 4) + b( y − 2) = 0 ⇔ ax + by − 4a − 2b = 0 (a 2 + b 2 > 0) .
a − 2b
0
⇔ 3a 2 + 8ab − 3b 2 = 0
Góc giữa AC và BD bằng 450 nên cos 45 =
2
2
a +b . 5
1
Chọn b = 1 ta được a = ; a = −3 .
3
Từ đó suy ra phương trình AC là x + 3 y − 10 = 0 hoặc 3 x − y − 10 = 0 .
BE AB
IA AD 3
· Gọi E = BH I AC , ta có
=
=2⇒
=
= .
EH CH
IE BE 2
( 2 AD + 3 AD ) . AD = 10 ⇔ AD = 2 . Từ đó tìm được AI = 4 10 .
Ta có S ABCD =
5
2
 17 11 
· * Nếu AC : x + 3 y − 10 = 0 , suy ra I  ; ÷.
 5 5
2
2

4
10
17
11
32
7




Gọi A ( 10 − 3t ; t ) do AI =
⇒ 10 − 3t − ÷ +  t − ÷ =
⇔ t = 3; t =
5
5 
5
5
5

 29 7 
Suy ra A ( 1;3) ; A  ; ÷Do x A < 2 ⇒ A ( 1;3) .
 5 5
8


 21 13 
* Nếu AC : 3 x − y − 10 = 0 , suy ra I  ; ÷. Gọi A ( t ;3t − 10 ) thì từ
 5 5
2
2

13  32
17
4 10
 21  
ta có  t − ÷ +  3t − 10 − ÷ =
⇔ t = 5; t =
(không thỏa
AI =
5
5
5
5
5

 

mãn x A = t < 2 ).Vậy điểm A cần tìm là A ( 1;3) .
Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Ở bài toán này mấu chốt là việc viết phương trình AC.
+ Em có thể tính góc giữa AC và BD bằng nhiều cách.
+Ghi nhớ việc tìm tọa độ một điểm thông thường trước hết ta phải viết được một
phương trình đi qua điểm đó.
Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC.
Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt
có phương trình là 3 x + 5 y − 8 = 0, x − y − 4 = 0 . Đường thẳng qua A vuông góc
với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là
D ( 4; −2 ) . Viết phương trình các đường thẳng chứa AB, AC; biết rằng hoành độ
của điểm B không lớn hơn 3.

Hệ thống câu hỏi định hướng:

Bước 1: Làm quen với bài toán
+ Bài toán này yêu cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?
Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài toán
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài toán
A

H

B

K

M

C

D

+ Để viết phương trình đường AB và AC em sẽ tìm những yếu tố nào, vì sao ?
+Em hãy thiết lập mối liên hệ giữa các đường và các điểm đã cho trong bài toán.
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài toán em sẽ “chuyển bài toán về việc tìm tọa độ các điểm
A, B, C”
9


+ Khi đó em có thể tìm tọa độ điểm A như thế nào ?
+ Em hãy “chứng minh tứ giác HKCE nội tiếp, sau đó chứng minh cho K là

trung điểm của HD” ?.
+Khi đó em sẽ tìm tọa độ điểm B, C như thế nào ?
Bước 4: Thực hiện chương trình
· Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của
BC và AD, E là giao điểm của BH và AC. Do M là giao điểm của AM và BC
7 1
nên ta có: M  ; − ÷
2 2
· AD vuông góc với BC suy ra phương trình của AD x + y − 2 = 0 . Do A là giao
điểm của AD và AM nên ta có A ( 1;1) . Do K là giao điểm của BC và AD nên ta
có K ( 3; − 1)
·
·
·
·
· Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHK
, mà KCE
(nội tiếp chắn
= KCE
= BDA
·
·
cung »AB ) Suy ra BHK
, vậy K là trung điểm của HD nên H ( 2;4 ) .
= BDK
· Do B thuộc BC ⇒ B ( t ; t − 4 ) , kết hợp với M là trung điểm BC suy ra

C ( 7 − t ;3 − t ) .
uuur
uuur

HB (t − 2; t − 8); AC (6 − t ;2 − t ) . Do H là trực tâm của tam giác ABC nên
uuur uuur
t = 2
HB. AC = 0 ⇔ ( t − 2 ) ( 6 − t ) + ( t − 8 ) ( 2 − t ) = 0 ⇔ ( t − 2 ) ( 14 − 2t ) = 0 ⇔ 
t = 7
Do t ≤ 3 ⇒ t = 2 ⇒ B ( 2; −2 ) , C ( 5;1) . Ta có
uuu
r
uuur
uuur
uuur
AB = ( 1; −3) , AC = ( 4;0 ) ⇒ n AB = ( 3;1) , n AC = ( 0;1)
Suy ra AB : 3x + y − 4 = 0; AC : y − 1 = 0.
Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Ở bài toán này nếu em tìm tìm tọa độ điểm B trước thì đó sẽ là một sai lầm,
tuy đề bài có gợi ý về tọa độ điểm B.
+Ghi nhớ mối liên hệ giữa các điểm H, K, D.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp trong
đường tròn tâm I, có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x + y - 2 = 0, D(2; -1) là chân
đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A. Gọi điểm E(3; 1) là chân đường
vuông góc hạ từ B xuống đoạn AI; điểm P(6;-1) thuộc đường thẳng AC. Tìm tọa
độ các đỉnh của tam giác ABC.
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1: Làm quen với bài toán
+ Bài toán này yêu cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?
Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài toán
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài toán

10


+ Trong các điểm A, B, C em ưu tiên tìm tọa độ điểm nào trước, vì sao ?
+ Em hãy tìm mối quan hệ của hai đường thẳng DE, AC ?
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài toán em định hướng được sẽ tìm tọa độ điểm A trước
+ Em hãy “chứng minh DE ⊥ AC ” ?. Sau đó em hãy tìm tọa độ điểm A.
+ Em hãy viết phương trình đường chứa điểm B, C sau đó tìm tọa độ điểm B, C.
Bước 4: Thực hiện chương trình
·
·
·
· Gọi M là điểm đối xứng của A qua I. Ta có BCM
(Do tứ giác
= BAM
= EDC
ABDE nội tiếp). Từ đó suy ra DE / /MC mà MC ⊥ AC ⇒ DE ⊥ AC .
· Phương trình AC : 1( x − 6) + 2( y + 1) = 0 ⇔ x + 2 y − 4 = 0 . Ta có { A} = d ∩ AC . Tọa
 x + 2y − 4 = 0
x = 0
⇔
⇒ A ( 0; 2 ) .
x + y − 2 = 0
y = 2

độ của A thỏa hệ phương trình 

· Phương trình BE : 3 ( x − 3) − ( y − 1) = 0 ⇔ 3x − y − 8 = 0 .

Phương trình BD : 2 ( x − 2 ) − 3 ( y + 1) = 0 ⇔ 2x − 3y − 7 = 0 . { B} = BE ∩ BD

17

x=

3x − y − 8 = 0

 17 5 
7
⇔
⇒ B ; − ÷ .
Tọa độ của B thỏa hệ phương trình 
7
 7
 2x − 3y − 7 = 0
y = − 5

7
· Ta có { C} = AC ∩ BD , nên tọa độ của điểm C thỏa hệ phương trình
26

x=

x
+
2y
−
4
=

0


 26 1 
7
⇔
⇒ C ; ÷ .

 7 7
2x − 3y − 7 = 0
y = 1

7
 17 5 
 26 1 
Vậy A ( 0; 2 ) , B  ; − ÷, C  ; ÷.
7
 7
 7 7

Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Ở bài toán này có giả thiết về đường cao, do vậy em nên tập trung khai thác
giả thiết về quan hệ vuông góc.
+Việc phát hiện ý hay DE ⊥ AC xuất phát từ yêu cầu của bài toán và trực quan.

11


Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD với hai
đáy AD, BC. Biết B ( 2;3) và AB = BC , đường thẳng AC có phương trình

x − y − 1 = 0 , điểm M ( −2; −1) nằm trên đường thẳng AD. Viết phương trình
đường thẳng CD.
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1: Làm quen với bài toán
+ Bài toán này yêu cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?
Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài toán
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài toán

+ Để viết phương trình đường thẳng CD em cần tìm những yếu tố nào ?
+Nghiên cứu mối quan hệ giữa các điểm và đường mà giả thiết đã cho, thiết lập
mối liên hệ giữa chúng ?
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài toán em sẽ “chuyển bài toán về việc tìm tọa độ các điểm
C, D”
+ Khi đó em có thể tìm tọa độ điểm C, D như thế nào ?
·
+ Em hãy “chứng minh AC là đường phân giác của góc BAD
”.?
+Khi đó em sẽ tìm tọa độ điểm A như thế nào ?
+Sau đó em hãy tìm tọa độ điểm C, D
Bước 4: Thực hiện chương trình
· Vì ABCD là hình thang cân nên nội tiếp trong một đường tròn. Mà BC = CD
·
nên AC là đường phân giác của góc BAD
.Gọi B ' là điểm đối xứng của B qua
AC. Khi đó B ' ∈ AD .Gọi H là hình chiếu của B trên AC. Suy ra H ( 3;2 ) .
Vì B’ đối xứng với B qua AC nên H là trung điểm của BB’. Do đó B ' ( 4;1) .
· Đường thẳng AD có phương trình x − 3 y − 1 = 0 . Vì A = AC ∩ AD nên tọa độ

uuu
r uuuur
điểm A là A ( 1;0 ) .Ta có ABCB’ là hình bình hành nên AB = B ' C . Do đó,
C ( 5;4 ) . Gọi d là đường trung trực của BC, suy ra d : 3 x + y − 14 = 0 .

12


 43 11 
; ÷.
 10 10 

· Gọi I = d ∩ AD , suy ra I là trung điểm của AD. Tọa độ điểm I là, I 

 38 11 
Do đó, D  ; ÷.Vậy phương trình đường thẳng CD là 9 x + 13 y − 97 = 0 .
 5 5
Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Ở bài toán này mấu chốt là em phải chứng minh AC là đường phân giác của
·
góc BAD
.
+ Việc tìm ra mối quan hệ này dựa trên tính chất của hình thang cân và trực
quan.

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh
A thuộc
đường thẳng d1 : 2 x − y+ 2 = 0 đỉnh D thuộc đường thẳng
d 2 : x − y − 5 = 0 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD. Điểm
9 2

M( ; ), N(9;2) lần lượt là trung điểm của BH và CD. Xác định tọa độ các đỉnh
5 5
của hình chữ nhật ABCD biết điểm D có tung độ dương.
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1: Làm quen với bài toán
+ Bài toán này yêu cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?
Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài toán
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài toán

+ Trong bốn
điểm A, B, C, D
em sẽ tìm tọa độ điểm nào trước, vì sao ?
+ Em hãy nghiên cứu mối quan hệ giữa các điểm và đường mà giả thiết đã cho,
thiết lập mối liên hệ giữa chúng ?
+ Em sẽ khai thác tọa điểm M, N như thế nào ?
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài toán em sẽ thấy được nên tìm tọa độ các điểm A trước.
+ Em hãy chứng minh AM ⊥ MN bằng cách chứng minh tứ giác EMND là hình
bình hành.
13


+ Em có nhận xét gì về mối quan hệ của 3 điểm A, N, D.
+ Em tìm tọa độ điểm D như thế nào ?. Từ đó nêu ra cách tìm tọa độ điểm C.
+ Em hãy tọa độ điểm H từ đó suy ra tọa độ điểm B
Bước 4: Thực hiện chương trình
· Gọi E là trung điểm của AH, ta có ME ⊥ AD ⇒ E là trực tâm tam giác ADM
suy ra DE ⊥ AM. Mặt khác tứ giác EMND là hình bình hành nên DE PMN , do

đó AM ⊥ MN.
Đường thẳng AM qua điểm M và vuông góc với MN có pt: 9x + 2y – 17 = 0 .
Do A là giao điểm của AM và d1 ⇒ A(1;4)
uuur uuur
· Theo giả thiết điểm D thuộc d2, giả sử D(d;d-5), do AD ⊥ DN nên DA.DN=0
 d = 9 ⇒ D(9;4)
⇔ (9 − d )(8 − 2d ) = 0 ⇔ 
.
d
=
4
⇒
D
(4;
−
1)

Vì điểm D có tung độ dương nên D(9;4)
Do N là trung điểm CD nên điểm C có tọa độ là: C(9;0)
· Phương trình đường thẳng AH: 2x + y – 6 = 0 .
Phương trình đường thẳng DM: x - 2y -1 = 0

13 4
; ) ⇒ B(1;0)
5 5

Do H là giao điểm của AH và DM nên ta có H(

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD là: A(1;4), B(1;0), C(9;0), D(9;4)
Bước 5: Nhình lại cách giải

+ Ở bài toán này nếu em tìm tìm tọa độ điểm D trước thì đó sẽ là một sai lầm,
tuy đề bài có gợi ý về tọa độ điểm D, đó là lý do vì sao em nên nhìn bài toán một
cách tổng thể.
+ Ý hay ở đây là việc tìm ra mối quan hệ AM ⊥ MN là mấu chốt của vấn đề, nó
được phát hiện dựa vào trực quan hình vẽ và sự phân tích đề bài.
Ví dụ 9. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có C(-1;-2) ngoại tiếp đường
tròn tâm I. Gọi M, N, H lần luợt các tiếp điểm của (I) với cạnh AB, AC, BC. Gọi
K(-1;-4) là giao điểm của BI với MN. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác
ABC, biết H(2;1).
Hệ thống câu hỏi định hướng:
Bước 1: Làm quen với bài toán
+ Bài toán này yêu cầu em làm gì ?
+ Căn cứ vào giả thiết em có thể tìm được tọa độ điểm nào, viết được phương
trình đường thẳng nào ?
Bước 2: Đi sâu nghiên cứu bài toán
+ Em hãy vẽ hình để phân tích bài toán
+ Trong hai điểm A, B em sẽ tìm tọa độ điểm nào trước, vì sao ?
+ Em hãy nghiên cứu mối quan hệ giữa các điểm và đường mà giả thiết đã cho,
thiết lập mối liên hệ giữa chúng ?

14


C'

A
K
N
M

I
J
C
B

H

+ Cách khai thác tọa điểm K, H như thế nào ?
Bước 3: Tìm ý hay
+ Khi nghiên cứu bài toán em sẽ thấy được nên tìm tọa độ các điểm B trước.
+ Em hãy chứng “minh tứ giác KNIC nội tiếp trong đường tròn đường kính IC”.
+ Em có nhận xét gì về mối quan hệ của 5 điểm K, N, I, H, C.
+ Em tìm tọa độ điểm I như thế nào ?. Từ đó nêu ra cách tìm tọa độ điểm B.
+ Em hãy viết phương trình AB, AC từ đó suy ra tọa độ điểm A
Bước 4: Thực hiện chương trình
·ABC ·ACB
·
BAC
·
·
·
· Ta có KIC
(1)
= IBC
+ ICB
=
+
= 900 −
2
2

2
·
BAC
0
·
·
·
Ta có KNC
(2)
= ANM = AMN = 90 −
2
·
·
Từ (1) và (2) suy ra KIC
nên tứ giác KNIC nội tiếp trong đường tròn
= KNC
đường kính IC. Mặt khác tam giác IHC nội tiếp trong đường tròn đường kính IC
Vậy 5 điểm K, N, I, H, C nằm trên đường tròn đường kính IC.
· Gọi J là trung điểm của IC nên J là tâm đường tròn đi qua 5 điểm trên.
Giả sử J(x;y) khi đó
2
2
2
2
 JC = JK
(−1 − x) + ( −4 − y ) = (−1 − x) + (−2 − y )
⇔
JC = JK = JH ⇒ 
2
2

2
2
JC
=
JH

(−1 − x) + (−4 − y ) = (2 − x) + (1 − y )
x = 3
⇒ J (3; −3) .
⇔
 y = −3

Vì J là trung điểm của IC nên I(7;-4). Từ đó suy ra BI có phương trình y + 4 = 0
BC đi qua H và C nên có phương trình x − y − 1 = 0 .
y + 4 = 0
⇒ B (−3; −4)
Do đó, B(x;y) là nghiệm của hệ 
x − y −1 = 0

·
·
· Vì INC
= 900 ⇒ NKC
= 900 Từ đó gọi C’ là điểm đối xứng của C qua đường

thẳng BI. Khi đó K là trung điểm của CC’ nên C’(-1;-6).
Đường thẳng AB qua B và C’ có phương trình là: x + y + 7 = 0
r
· Giả sử AC có VTPT n = ( a; b ),(a 2 + b 2 ≠ 0)
15

Khi đó AC có phương trình a( x + 1) + b( y + 2) = 0 ⇔ ax + by + a + 2b = 0
a
 b = −1
7 a − 4b + a + 2b
8a − 2b
=5 2 ⇔
=5 2 ⇔ 
Ta có d ( I , AC ) = IH ⇔
a 2 + b2
a 2 + b2
 a = 23
 b 7
a
+ = −1 chọn a = 1, b = -1 nên AC có phương trình x − y − 1 = 0 (trùng BC)
b
(loại).
a 23
+ =
chọn a = 23 ; b = 7 nên AC có phương trình 23 x + 7 y + 37 = 0
b 7
3

x
=

x + y + 7 = 0
4
· Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 

⇔
23 x + 7 y + 37 = 0  y = − 31

4
3 31
Vậy A( ; − )
4 4
Bước 5: Nhình lại cách giải
+ Đây là một bài toán khó vì mối quan hệ của các yếu tố trong giả thiết tương
đối xa lạ
+ Yếu tố em cần quan tâm nhất là mối quan hệ vuông góc, từ đó tìm ra ý hay là
chứng minh 5 điểm K, N, I, H, C nằm trên đường tròn đường kính IC.
Trên đây là một số ví dụ minh họa cho việc đưa ra hệ thống câu hỏi định hướng,
giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về bài toán phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng. Việc này phải được thực hiện thường xuyên trong suốt quá trình ôn
tập về dạng toán, dần dần hình thành kỹ năng giải toán cho học sinh.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, bản
thân đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này trong quá trình ôn tập, cũng như bồi
dưỡng học sinh giỏi đã thấy rõ được sự hứng thú của học sinh trong các tiết học,
học sinh đã chủ động hơn trong việc giải toán, đem lại hiệu quả cao trong từng
tiết học.
Khi áp dụng đề tài này trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường trung học
phổ thông Hoằng Hoá 4, sau một thời gian kiểm nghiệm trên các đối tượng học
sinh đặc biệt là nhóm học sinh giỏi thông qua những biện pháp đã được chỉ ra,
tôi nhận thấy học sinh đã có sự phát triển kỹ năng định hướng và phân tích bài
toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng rất rõ ràng trước khi giải và nhận xét
rồi tìm ra được những kinh nghiệm giải toán sau khi hoàn thành bài toán, học
sinh không còn giải bài toán một cách thụ động, mà đã có sự phân tích và tìm tòi
lời giải một cách khoa học. Điều đó phản ánh tính hiệu quả của hệ thống câu hỏi

định hướng trong việc định hướng giải toán cho học sinh. Thông qua nội dung
nhỏ này, nó như là một mẫu về cách học, cách dạy chủ đề phương pháp tọa độ
16


trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 cũng như học sinh ôn thi THPT Quốc Gia,
đã có rất nhiều học sinh tự tìm tòi sáng tạo, tìm kiếm các cách giải cho bài toán
và tìm hiểu sâu thêm các bài toán liên quan. Qua đó xây dựng được hệ thống các
bài tập cơ bản nâng cao sâu sắc- đặc trưng cho dạng toán. Đó cũng chính là mục
đích hiện thân của báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này.
Sáng kiến kinh nghiệm trên cũng đã góp phần vào phong trào thi đua dạy tốt,
học tốt của nhà trường, góp phần vào công tác giảng dạy nói chung và giảng dạy
môn toán nói riêng của nhà trường. Góp phần cho thành công chung của nhà
trường trong công tác giáo dục đặc biệt là thành tích thi học sinh giỏi cấp tỉnh
trong những năm học qua.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trong đề tài này với khả năng còn hạn chế và thời gian không cho phép,
giới hạn của đề tài không quá 20 trang, vì vậy tôi chỉ đưa ra cách xây dựng hệ
thống các câu hỏi định hướng, một số ví dụ minh họa cụ thể. Qua thực tế giảng
dạy, tôi thấy khi giới thiệu đề tài này cho học sinh thì các em tự tin trong việc
giải bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, góp phần cho học sinh đạt
kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia.
Đề tài có thể phát triển và bổ sung hệ thống các câu hỏi định hướng gợi
mở chi tiết hơn, nhằm hướng tới đối tượng là học sinh trung bình và học sinh
khá. Sáng kiến kinh nghiệm này cần được thực hiện trong toàn bộ quá trình
giảng dạy kiến thức mới, cũng như quá trình ôn tập cho học sinh, và cũng có thể
áp dụng cho việc giảng dạy các nội dung khác trong môn Toán.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do kinh nghiệm giảng dạy còn hạn chế nên
tôi tin chắc rằng trong đề tài này sẽ còn có những thiếu sót. Tôi rất mong được
sự nhận xét và góp ý chân thành của hội đồng khoa học ngành, các đồng chí

đồng nghiệp và các em học sinh để đề tài được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm
2016.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Hữu Các

TÀI LIỆU THAM KHẢO
17


1. Sáng tạo toán học (G. POLYA).
2. Toán học và những suy luận có lý (G. POLYA).
3. Giải bài toán như thế nào (G. POLYA).
4. Sách giáo khoa hình học lớp 10 (Nhà suất bản giáo dục và đào tạo).
5. Sách bài tập hình học lớp 10 (Nhà suất bản giáo dục và đào tạo).
6. Bí quyết đạt điểm 10 môn toán chuyên đề hình học (Nhà XB ĐH QG Hà Nội)
7. Các đề thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi và thi THPT Quốc gia các năm gần
đây.

18