skkn hướng dẫn học sinh khá, giỏi giải các bài toán về dấu hiệu chia hết

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
TRƯỜNG TIỂU HỌC SAO ĐỎ 2

BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN
HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ, GIỎI GIẢI CÁC BÀI
TOÁN VỀ DẤU HIỆU CHIA HẾT
MÔN: TOÁN LỚP 4

Năm học 2014 - 2015


THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh khá, giỏi giải các bài toán về dấu hiệu
chia hết
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán lớp 4
3. Tác giả:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Phong

Nữ

- Sinh ngày: 01/10/1974
- Trình độ chuyên môn: Đại học
- Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên- Trường Tiểu học Sao Đỏ 2 - Thị
xã Chí Linh- Tỉnh Hải Dương
- Điện thoại: 0975526717
4 . Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Phong
5. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường Tiểu học Sao Đỏ 2
6 . Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
- Giáo viên phải nghiên cứu kĩ chương trình môn Toán của khối lớp 4,
5; cũng như các dạng bài tập về dấu hiệu chia hết…; phải xác định rõ mục
đích, yêu cầu, phương pháp và những kiến thức đã học có liên quan để chuẩn

bị bài chu đáo. Nắm chắc phương pháp giảng dạy của bộ môn, vận dụng linh
hoạt sao cho phù hợp với từng bài cụ thể để giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức
mới dưới sự hỗ trợ của giáo viên.
- Đối tượng học sinh lớp 4 học trên 5 buổi/tuần mới áp dụng được sáng
kiến này một cách triệt để.
7. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu:
- Tháng 9/2014 đăng kí, tháng 12 thực hiện, tháng 1 kiểm chứng và tiếp
tục áp dụng đến giờ.
HỌ TÊN TÁC GIẢ

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG
SÁNG KIẾN

Nguyễn Thị Phong

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

2


1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
- Học sinh làm các bài tập phải xét nhiều dấu hiệu chia hết cùng một
lúc hoặc các bài tập liên quan dấu hiệu chia hết cho 6, 10, 15 lúng túng.
- Một số học sinh làm các bài tập về rút gọn phân số, so sánh phân số
lúng túng không biết vận dụng dấu hiệu chia hết để rút gọn.
- Các em không tự phân được dạng toán về dấu hiều chia hết để giải.
- Các bạn đồng nghiệp cứ phải mày mò tìm cách giải từng bài toán khó
về dấu hiệu chia hết, mỗi người một cách, có khi còn nhầm lẫn.
- Nhiều đồng chí giáo viên ngại nên bỏ qua phần toán khó liên quan
đến dấu hiệu chia hết.

-> Vậy nảy sinh ý tưởng giới thiệu thêm dấu hiệu chia hết cho 6, 10,
15; phân dạng, tìm tòi cách giải các bài toán về dấu hiệu chia hết->học sinh có
cơ hội được phát triển năng lực phù hợp trình độ nhận thức từng em.
2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến
2.1. Điều kiện áp dụng sáng kiến
- Giáo viên: Nắm chắc hệ thống kiến thức toán học tiểu học; biết phân
loại mức độ dễ khó của các bài toán, phân loại cho đối tượng học sinh; tích
cực đổi mới phương pháp dạy học, lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp
đối tượng học sinh; tâm huyết, tận tụy với nghề, ham tìm hiểu, học hỏi.
- Học sinh: Hứng thú về toán học. Lên xếp lớp theo năng lực. Phải có
đủ sách vở, đồng dùng phục vụ cho việc học toán.
- Cơ sở vật chất: Phòng học rộng rãi, đủ ánh sáng; đủ bàn ghế…
2.2. Thời gian áp dụng sáng kiến
- Tháng 9/2014 đăng kí, tháng 12 thực hiện, tháng 1 kiểm chứng và tiếp
tục áp dụng đến giờ.
2. 3. Đối tượng áp dụng sáng kiến
- Học sinh lớp 4, 5, nhất là các em học sinh có năng lực về toán học.
3. Nội dung sáng kiến
3.1. Tính mới, tính sáng tạo của sáng kiến
Sáng kiến này lần đầu tiên được áp dụng trong khối lớp, trường tôi dạy,

3


trước đó chưa có tài liệu cụ thể nào được triển khai.
Tính sáng tạo của sáng kiến ở chỗ, giúp các em học sinh khá- giỏi biết
chia các bài toán về dấu hiệu chia hết thành các dạng cụ thể( 6 dạng), biết
cách phân tích tìm hướng giải với từng dạng một.
3.2. Khả năng áp dụng của sáng kiến
Khi các em gặp một bài toán liên quan đến dấu hiệu chia hết( một trong

6 dạng sẽ giới thiệu sau đây), các em sẽ tìm hiểu và phân bài toán đó vào một
trong 6 dạng đã học; nhớ lại cách phân tích, hướng giải của mỗi dạng, từ đó
áp dụng để giải chắc chắn hiệu quả sẽ cao.
3.3. Lợi ích thiết thực của sáng kiến
- Học sinh biết làm bài tập liên quan đến dấu hiệu chia hết cho 6, 10, 15
- Biết làm các bài tập về dấu hiệu chia hết liên quan đến 6 dạng.
- Rút gọn, so sánh phân số… nhanh và chính xác hơn.
4. Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến
Áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy, tôi thấy học sinh làm các bài
tập về dấu hiệu chia hết và các bài tập liên quan đến dấu hiệu chia hết một
cách chắc chắn, nhanh nhạy và thuần thục hơn; khả năng tư duy, khả năng
phân tích tổng hợp các dữ kiện bài toán tốt hơn và ít giải sai hơn.
5. Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến
Nên áp dụng sáng kiến này ngay khi học tới các bài toán về dấu hiệu
chia hết của lớp 4, lớp 5 tiếp tục ôn tập củng cố thường xuyên để khỏi quên.
Tuy nhiên muốn áp dụng được sáng kiến này một cách triệt để nên:
- Phân công giáo viên dạy chuyên sâu theo khối lớp.
- Các đồng chí giáo viên phải đầu tư thời gian nghiên cứu bài vở, đọc
thêm tài liệu để hiểu sâu sắc từng dạng toán về dấu hiệu chia hết, từ đó mới
truyền đạt tới học sinh được.
- Có thể mở chuyên đề trong tổ, khối để học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau.

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

4


1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
1.1. Từ thực tế giảng dạy trên lớp của bản thân
- Khi dạy đến loại toán về dấu hiệu chia hết, với từng trường hợp đơn

lẻ, học sinh làm khá thuần thục. Nhưng khi làm các bài tập đòi hỏi phải xét
nhiều dấu hiệu chia hết cùng một lúc thì các em lúng túng. Ngay bản thân
sách giáo khoa cũng không mở rộng ra các dấu hiệu chia hết cho 6, 10, 15…
Nên khi học sinh làm bài tập gặp các bài toán dạng này các em không làm
được, một số ít thì biết mày mò ra đáp án song rất chậm.
- Khi dạy tới phần phân số: Rút gọn phân số, so sánh phân số…học
sinh lúng túng không biết cả tử số và mẫu số cùng chia hết cho mấy để mà rút
gọn. Thực tế các em chỉ việc vận dụng các dấu hiệu chia hết vào để tìm là sẽ
biết.
- Mặt khác trên thực tế giảng dạy, bản thân tôi gặp rất nhiều bài toán
cần vận dụng các dấu hiệu chia hết vào để giải nhưng nó lại ở các dạng khác
nhau như: Tìm, viết các số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết nào đó; điền tiếp
chữ số vào một số nào đó để được số chia hết cho….; các bài toán vận dụng
tính chất chia hết của một tổng và một hiệu; các bài toán về phép chia có dư...
Nếu các bài toán này được tập hợp và phân dạng theo trình độ nhận thức từ dễ
đến khó, sau đó tìm cách giải với từng dạng thì tốt biết mấy. Học sinh sẽ được
luyện tập theo dạng và nắm cách giải với mỗi dạng đó. Trong quá trình được
học tập, được va chạm với những bài toán đó, các em học sinh có năng lực có
cơ hội được rèn luyện, được tư duy toán học, được phân tích, tổng hợp các dữ
kiện bài toán để tìm tòi ra đáp số…Từ đó năng lực toán học của các em sẽ
được phát triển.
1.2. Từ những khó khăn khi dạy các bài toán nâng cao về dấu hiệu chia
hết của đồng nghiệp
- Thực ra không phải ai cũng có nhiều thời gian để mày mò chứng
minh, tìm cách giải cho các bài toán khó. Bản thân giáo viên còn chưa nắm
được cách làm thì nói gì đến việc dạy cho học sinh.
- Từ đó dẫn đến việc ngại dạy toán khó cho các em -> Vậy nảy sinh ý

5

tưởng phân dạng các bài toán về dấu hiệu chia hết, tìm tòi cách giải để bản
thân và đồng nghiệp tiện lợi, tiết kiệm thời gian khi tìm tòi bài toán và tìm tòi
cách giải cho học sinh.
2. Cơ sở lí luận
Đầu tư cho giáo dục là đầu tư cho sự phát triển. Bất cứ một quốc gia
nào muốn phát triển thì đều phải có một nền giáo dục phát triển, bởi chính
nền giáo dục phát triển mới tạo ra người công dân mới cho xã hội mới. Vì
vậy, Đảng và Nhà nước rất coi trọng đổi mới giáo dục sao cho phù hợp với
thực tiễn đất nước.
Trong hệ thống giáo dục, giáo dục tiểu học đóng vai trò quan trọng
trong việc đặt nền móng cho sự phát triển đúng đắn và lâu dài về đức, trí, thể,
mĩ cho học sinh. Đó chính là mục tiêu, là nhiệm vụ của bậc tiểu học. Mục tiêu
này được cụ thể hóa thành các môn học và các hoạt động giáo dục khác.
Trong các môn học thì môn Toán có vị trí vô cùng quan trọng. Nó giúp
học sinh có những kiến thức, kĩ năng cơ bản ban đầu về số học, các đại lượng
thông dụng, hình học, các yếu tố thống kê, giải toán. Nó còn bước đầu phát
triển năng lực tư duy, khả năng suy luận hợp lý và diễn đạt đúng, cách phát
hiện và giải quyết vấn đề đơn giản, gần gũi trong cuộc sống, kích thích tư
tưởng, gây hứng thú học tập toán. Góp phần hình thành bước đầu phương
pháp tự học và làm việc có kế hoạch, khoa học chủ động, linh hoạt, sáng tạo
cho học sinh.
Chương trình toán lớp 4 mở đầu cho giai đoạn "Học tập sâu" - Trên cơ
sở kế thừa và phát triển những kết quả dạy học Toán lớp 1,2,3. Nhưng mức độ
trừu tượng và khái quát đã được nâng lên một bậc. Trong chương trình này,
sau khi tổng kết các kiến thức về số tự nhiên, học sinh được học các bài toán
về dấu hiệu chia hết, sau đó học đến chương phân số với việc học về rút gọn,
so sánh, tính toán với phân số, lên lớp 5, các em được học về số thập phân…
Như vậy việc học “ Các bài toán về dấu hiệu chia hết” ở lớp 4 là một trong
những cơ sở để học tiếp các bài toán về rút gọn phân số, so sánh phân số, tính

toán với phân số…( dựa vào dấu hiệu chia hết để rút gọn, tính nhanh, để so

6


sánh phân số…). Việc học tốt, học sâu các bài toán về dấu hiệu chia hết tạo
điều kiện, tiền đề, là bàn đạp cho các em học tốt các kiến thức về sau như đã
nói. Điều đó thể hiện sự sắp xếp khoa học và hợp lí của nội dung chương
trình, phù hợp với đặc điểm hoạt động nhận thức của học sinh tiểu học. Đồng
thời cũng thể hiện mức độ trừu tượng hóa, khái quát hóa cao của dạng toán về
dấu hiệu chia hết.
Đặc trưng của dạng toán này là học sinh phải nắm vững các dấu hiệu
chia hết từ những trường hợp đơn lẻ đến những dấu hiệu chia hết cho các số
cùng một lúc; nắm vững cách lập số, các tính chất của 4 phép tính (+, -, x, : số
tự nhiên); khả năng diễn đạt đúng, khả năng tư duy, khả năng suy luận lôgic,
khả năng tổng hợp, phân tích, khái quát… được rèn luyện ở mức cao, tạo điều
kiện cho các em, nhất là các em học sinh khá, giỏi phát huy khả năng sáng
tạo, năng khiếu toán học của mình. Đòi hỏi giáo viên phải có phương pháp
dạy học phù hợp.
3. Thực trạng của vấn đề
3.1.Việc dạy của giáo viên
-Trình độ giáo viên đáp ứng yêu cầu của cấp học, song một số giáo
viên đầu tư cho việc tìm hiểu, nghiên cứu nội dung, phương pháp dạy chưa
nhiều. Do vậy ở một số nội dung dạy, giáo viên không chuyển tải hết ý đồ của
bài tập trong sách giáo khoa.
-Một số giáo viên ngại đổi mới phương pháp giảng dạy, còn nặng về
giảng giải ít đưa ra các tình huống có vấn đề để kích thích hứng thú học tập,
tìm tòi kiến thức cho học sinh. Giáo viên còn nặng về việc cung cấp kiến thức
mà chưa chú trọng đến việc luyện tập thực hành của học sinh.
-Khi dạy về các dấu hiệu chia hết có thể chỉ rút ra những dấu hiệu chia

hết cho từng số đơn lẻ, không rút ra những quy tắc về dấu hiệu chia hết mở
rộng cho vài trường hợp một, không rút ra những quy tắc tổng hợp…để giúp
các em học sinh giỏi tổng hợp thành những dạng bài, từ đó dễ nhớ, dễ làm…
-Có giáo viên không dạy phân hóa đối tượng học sinh, không có các bài
tập khó cho học sinh khá, giỏi, dẫn đến học sinh ì trệ trong tư duy.

7


3.2.Việc học của học sinh
-Một số học sinh còn thụ động vào việc tiếp thu kiến thức, giáo viên
hỏi đến đâu trả lời đến đó, lười suy nghĩ khi không được giáo viên hướng dẫn.
-Chỉ nắm được các quy tắc có trong sách giáo khoa và làm được các bài
tập về dấu hiệu chia hết đơn giản, khi gặp các tình huống đòi hỏi sự tư duy,
liên kết các điều kiện thì lúng túng, không rút ra được dấu hiệu chung cùng
chia hết cho vài trường hợp, không biết phân dạng toán, đặc biệt không biết
cách giải với từng dạng cụ thể( các trường hợp nâng cao). Nói chung là khả
năng khái quát hóa chưa cao, ngôn ngữ nói viết còn hạn chế. Khi thay đổi dữ
kiện của bài toán học sinh còn lúng túng. Tôi đã tổng hợp kết quả của các em
khá, giỏi lớp 4 E, 4D thông qua bài khảo sát. Kết quả đạt được như sau:
Số HS

Điểm 9-10
Điểm 7-8
Điểm 5-6
Điểm dưới 5
SL
%
SL
%

SL
%
SL
%
khảo
4E
20
2
10%
7
35%
11
55%
0
0%
4D
20
3
15%
8
40%
9
45%
0
0%
Nhìn vào kết quả khảo sát tôi thấy trình độ, khả năng nhận thức của hai

Lớp

lớp là ngang nhau.

4. Các giải pháp, biện pháp thực hiện
4.1. Tìm hiểu và phân dạng toán về dấu hiệu chia hết
Giáo viên phải nghiên cứu kĩ sách giáo khoa để nắm vững đặc điểm,
mục tiêu của môn toán, dạng toán.
Tạm thời, chia các bài toán về dấu hiệu chi hết thành các dạng:
+ Dạng 1: Tìm các số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết.
+ Dạng 2: Viết các số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết.
+ Dạng 3: Dùng dấu hiệu chia hết để điền các chữ số chưa biết.
+ Dạng 4: Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và
một hiệu.
+ Dạng 5: Các bài toán về phép chia có dư.
+ Dạng 6: Giải các bài toán có lời văn theo dấu hiệu chia hết.
Lựa chọn phương pháp dạy học, hình thức tổ chức dạy học phù hợp với
từng dạng toán, từng đối tượng học sinh.

8


Giúp học sinh nhận dạng toán, phương pháp giải của từng dạng toán để
từ đó nắm chắc cách giải, phát triển năng lực học Toán cho học sinh.
4.2. Tìm phương pháp dạy học với từng dạng cụ thể
4.2.1. DẠNG 1: Tìm các số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết.
Dạng toán này nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức đã học về dấu
hiệu chia hết cho 2; 5; 3; 9 và giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 10; 6; 4; 15 …
qua thực hành.
Bài toán 1: Trong các số 35; 8; 57; 660; 945; 5553; 3000.
a. Số nào vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 2?
b. Số nào chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2?
Phân tích đề:
- Bài toán cho biết gì? (Cho các số 35, 8, 57; 660; 945; 5553; 3000).

Bài toán yêu cầu tìm gì? (Tìm số vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 2.
Số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho
2).
- Muốn tìm số vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 2 em làm như thế
nào?
(Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và dấu hiệu chia hết cho 5 để tìm số).
- Muốn tìm số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 em làm như
thế nào?
(Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5 để tìm số).
Bài giải
a. Theo đề bài, các số chia hết cho 2 có chữ số tận cùng bằng 0 và 8.
Các số chia hết cho 5 có chữ số tận cùng bằng 0; 5.
Vậy những số vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 phải có chữ số tận
cùng bằng 0.
Đó là các số: 660; 3000.
b. Số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 phải có chữ số tận
cùng bằng 5.
Đó là các số: 35, 945.

9


Giáo viên giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 10: Một số vừa chia hết cho
2,
vừa chia hết cho 5 thì chia hết cho 10. (Vì 10 = 2x5).
Bài toán 2: Tìm x biết: 230 < x < 250, x chia hết cho 3 và 5.
Phân tích đề:
- Bài toán cho biết gì? (230 < x < 250, x chia hết cho 3 và 5).
- Bài toán hỏi gì? (Tìm x).
- Muốn tìm xem cần chú ý điều gì? Và ?

(Xác định x nằm trong khoảng 230 < x < 250).
Vận dụng dấu hiệu chia hết cho 3 và 5 để tìm x).
Bài giải
Ta có 230 < x < 250
Nên ta có thể là 231; 232; 233; 234; 235; 236; 237; 238; 239; 240; 241;
242; 243; 344; 345; 346; 247; 248; 249.
Mà x chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng của x bằng 0 hoặc 5.
Vậy x = 235; 240; 245.
Mặt khác, x chia hết cho 3 nên tổng các chữ số x chia hết cho 3.
Số 240 chia hết cho 3 vì 2 + 4 + 0 = 6; 6 chia hết cho 3.
Vậy số tìm được thỏa mãn điều kiện đầu bài là 240.
Sau bài này, giáo viên giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 15: Một số chia
hết cho cả 3 và 5 thì chia hết cho 15 (Vì 15 = 3x5).
Tương tự, một số chia hết cho cả 2 và 3 thì chia hết cho 6 (vì 6 = 2x3).
Một số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4.
4.2.2. DẠNG 2: Viết các số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết.
Đây là dạng bài tập cho sẵn một số chữ số, yêu cầu học sinh viết số
theo dấu hiệu chia hết.
Để làm tốt dạng bài tập này, học sinh phải nắm vững cách lập số, các
dấu hiệu chia hết đã học.
Bài toán 3: Cho các chữ số: 0; 1; 3; 5. Có thể lập được bao nhiêu số có
4 chữ số khác nhau:

10


a. Chia hết cho 2?
b. Chia hết cho cả 5 và 9?
Phân tích đề:
- Bài toán cho biết gì? (Cho các chữ số: 0; 1; 3; 5).

- Bài toán hỏi gì? (Lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau: Chia
hết cho 2, chia hết cho cả 5 và 9).
- Muốn lập được các số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2; 5; 9 em
làm như thế nào?
(a. Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 để chọn chữ số tận cùng. Lập số.
b. Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5 để chọn chữ số tận cùng. Sau đó
vận dụng dấu hiệu chia hết cho 9 để lập số).
Bài giải
a. Số chia hết cho 2 có chữ số tận cùng bằng 0; 2; 4; 6; 8.
Theo đầu bài, mỗi số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2, nên chữ số
tận cùng của số đó phải bằng 0.
Các số có 4 chữ số khác nhau lập được là:
1350

3150

5130

1530

3510

5310

b. Số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 và 9 có chữ số tận cùng
bằng 0; 5 và tổng các chữ số này chia hết cho 9.
Ta có: 1 + 0 + 3 + 5 = 9; 9 chia hết cho 9.
Vậy các số lập được là:
1035

3015

5310

1350

3105

5130

1305

3150

1530

3510

Bài toán 4: Hãy viết các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số 2; 3; 4; 5.
Thỏa mãn điều kiện:
a. Chia hết cho 3.
b. Chia hết cho 9.

11


c. Chia hết cho 3 và 5.
Phân tích đề:
- Đọc đề xác định yêu cầu của đề.
- Muốn viết được các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho thỏa

mãn điều kiện: Chia hết cho 3, chia hết cho 9, chia hết cho 3 và 5 em phải làm
gì?
(Vận dụng dấu hiệu chia hết cho 3; 9 để lập số).
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5 để chọn chữ số tận cùng. (Kết hợp với
kết quả ở phần a để lập số).
Bài giải
a. Số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số đó phải chia hết cho 3.
Ta có:
2 + 3 + 4 = 9; 9 chia hết cho 3.
4 + 5 + 3 = 12; 12 chia hết cho 3.
Vậy các số lập được thỏa mãn điều kiện đầu bài là:
234

345

243

354

324

435

342

453

432

543

423

534

b. Số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của số
đó phải chia hết cho 9.
Ta có: 2 + 3 + 4 = 9; 9 chia hết cho 9.
Vậy các số lập được thỏa mãn điều kiện đầu bài là:
234

324

432

243

342

423

c. Số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 thì số đó phải có chữ số tận
cùng bằng 5.
Các số đó là: 235; 245; 325; 345; 425; 435.

12


Mặt khác các số này phải chia hết cho 3.
Trong các số: 235; 245; 325; 345; 425; 435, có số 345 và 435 chia hết

cho 3 (Vì tổng các chữ số của 2 số đó là: 3 + 4 + 5 = 12; 12 chia hết cho 3)
Vậy các số chia hết cho 3 và 5 lập được là: 345; 435.
4.2.3. DẠNG 3: Dùng dấu hiệu chia hết để điền các chữ số chưa biết
trong 1 số.
Đây là dạng bài tập cho một số mà trong đó có một, hai, ba … chữ số
chưa biết. Yêu cầu học sinh tìm các chữ số đó dựa vào dấu hiệu chia hết.
Để làm dạng bài tập này, yêu cầu học sinh phải biết kết hợp giữa dấu
hiệu chia hết với phương pháp loại trừ để làm bài. Qua đó phát triển tư duy
lôgic, óc tưởng tượng sáng tạo cho học sinh.
Bài toán 5: Thay x, y vào trong số A =

để được số chia hết cho

2, 5, 9.
Phân tích đề:
- Bài toán cho biết gì? (Cho A =

)

- Bài toán hỏi gì? (Thay x, y để được số chia hết cho 2, 5, 9)
- Muốn thay x, y để được số chia hết cho 2, 5, 9 em làm như thế nào?
(Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, 5 để xác định chữ số tận cùng y.
Dùng phương pháp loại trừ và dấu hiệu chia hết cho 9 để tìm chữ số x).
Bài giải
Ta có A vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 5 nên y = 0.
Ta được số A = 6 x80
A chia hết cho 9 nên (6 + x + 8 + 0) chia hết cho 9.
Hay (14 + x) chia hết cho 9.
Suy ra x = 4. Vậy số phải tìm là: 6480.
Bài toán 6: Viết thêm vào bên phải và bên trái số 15 mỗi bên một chữ

số để được số mới vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 6.
Phân tích đề:
- Bài toán cho biết gì? (Cho số 15)

13


- Bài toán hỏi gì? (Viết thêm vào bên phải và bên trái số 15 mỗi bên
một chữ số để được số mới vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 6).
- Để được số mới em làm như thế nào? (Dựa vào dấu hiệu chia hết cho
5; 6 để xác định chữ số viết thêm).
Bài giải
Gọi 2 chữ số viết thêm là a và b. Ta có số a15b (a ≠ 0).
chia hết cho 6 thì

phải chia hết cho cả 2 và 3 (Vì 6 = 2x3).

chia hết cho 2 và 5 thì b = 0.
Ta có số: a150
a150 chia hết cho 3 thì (a + 1+ 5 + 0) chia hết cho 3.

Hay (a + 6) chia hết cho 3.
Suy ra: a có thể là 3; 6; 9.
Với a = 3 ta có số 3150.
Với a = 6 ta có số 6150.
Với a = 9 ta có số 9150.
Vậy các số tìm được thỏa mãn bài ra là: 3150; 6150; 9150.
4.2.4. DẠNG 4: Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng
và một hiệu.
Đây là các bài toán cho dưới dạng biểu thức của một tổng hoặc một

hiệu. Yêu cầu học sinh không cần làm tính mà chỉ cần vận dụng tính chất chia
hết của một tổng hoặc một hiệu để làm bài.
Một số tính chất:
1. Nếu a và b đều chia hết cho 3 thì:
a+ b chia hết cho 3.
a – b chia hết cho 3.
2. Nếu a chia hết cho 3 nhưng b không chia hết cho 3 (hoặc b chia hết
cho 3 nhưng a không chia hết cho 3 thì:
a+ b không chia hết cho 3.
a – b không chia hết cho 3.

14


Các trường hợp chia hết cho 2; 5; 9;… tương tự.
Bài toán 7: Không làm phép tính, hãy xem xét các tổng và hiệu dưới
đây có chia hết cho 3 hay không?
a. 7461 + 8574
b. 454 + 3210
c. 5481 – 4326
d. 63174 – 11430 – 2514
Phân tích:
Nhận xét tổng các chữ số của mỗi số trong từng biểu thức xem các số
đó có chia hết cho 3 hay không, từ đó rút ra kết luận.
Bài giải
a. Ta có: 7461 và 8574 đều chia hết cho 3.
(Vì 7 + 4+ 6 + 1 = 18; 18 chia hết cho 3.
8 + 5 + 7 + 4 = 24; 24 chia hết cho 3).
Nên (7461 + 8574) chia hết cho 3.
b. Ta có 321 chia hết cho 3.

(Vì 3 + 2 +1 = 6; 6 chia hết cho 3).
Nhưng 454 không chia hết cho 3.
(Vì 4 + 5 + 4 = 13; 13 không chia hết cho 3)
Nên (454 + 321) không chia hết cho 3.
c. Tương tự, ta có 5481 và 4320 đều chia hết cho 3.
Nên (5481 -4326) chia hết cho 3.
d. Ta có: 63174; 11430; 2514 đều chia hết cho 3.
Nên (63174 – 11430 – 2514) chia hết cho 3.
Bài toán 8: Tổng kết hội khỏe phù đổng ở một trường Tiểu học, liên
đội dự định thưởng vở cho các học sinh đạt giải nhất, nhì, ba. Biết rằng, mỗi
học sinh đạt giải nhất được thưởng 10 quyển vở, mỗi học sinh đạt giải nhì
được thưởng 8 quyển vở, mỗi học sinh đạt giải ba được thưởng 6 quyển vở.
Bạn liên đội trưởng nhẩm tính phải mua 245 quyển vở mới đủ phát thưởng.
Hỏi bạn liên đôi trưởng tính đúng hay sai? Giải thích vì sao?

15


Phân tích đề:
- Bài toán cho biết gì? (Mỗi học sinh đạt giải nhất được thưởng 10
quyển vở, đạt giải nhì được thưởng 8 quyển vở, mỗi học sinh đạt giải ba được
thưởng 6 quyển vở. Bạn liên đội trưởng nhẩm tính phải mua 245 quyển vở
mới đủ phát thưởng).
- Em có nhận xét gì về số vở mỗi bạn đạt giải được thưởng? (Số vở đó
là những số chẵn chia hết cho 2).
- Bài toán hỏi gì? (Bạn liên đội trưởng tính đúng hay sai? Giải thích?).
- Muốn biết bạn liên đội trưởng tính đúng hay sai em làm như thế nào?
(Dựa vào số vở của mỗi học sinh được thưởng, vận dụng dấu hiệu chia
hết cho 2 để biết số vở bạn liên đôi trưởng cần mua đúng hay sai. Rút ra kết
luận).

Bài giải
Ta thấy, số vở phát thưởng cho mỗi học sinh đạt giải nhất, nhì, ba là 10;
8; 6. Những số này đều chia hết cho 2.
Vì vậy số vở phát thưởng cho mỗi loại giải phải là một số chia hết cho
2.
Suy ra, tổng số vở phát thưởng cũng là một số chia hết cho 2.
Mà 245 không chia hết cho 2. (Vì chữ số tận cùng bằng 5).
Vậy bạn liên đội trưởng đã tính sai.
4.2.5. DẠNG 5: Các bài toán về phép chia có dư.
Để làm được các bài tập ở dạng này học sinh phải nắm được các tính
chất về phép chia có dư kết hợp với suy luận loogic để làm.
Giáo viên giới thiệu một số tính chất về phép chia có dư:
1. Nếu a chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải là 1; 3; 5; 7 hoặc
9.
2. Nếu a chia cho 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của a phải là 1 hoặc 6.
Tương tự, trường hợp dư 2 thì chữ số tận cùng phải là 2 hoặc 7.
Trường hợp dư 3 thì chữ số tận cùng phải là 3 hoặc 8.
Trường hợp dư 4 thì chữ số tận cùng phải là 4 hoặc 9.

16


3. Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì a-b chia hết cho 2.
Tương tự, ta có trường hợp chia hết cho 3; 4; 5; hoặc 9.
4. Nếu a chia cho b dư b-1 thì a + 1 chia hết cho b.
5. Nếu a chia cho b dư 1 thì a – 1 chia hết cho b.
Bài toán 9: Cho B =

. Hãy thay x, y bởi những chữ số thích hợp

để khi B chia cho 3; 2; 5 đều dư 1.
Phân tích đề:
- Bài toán cho biết gì? (Cho B = 5x4y).
- Em có nhận xét gì về số dư? (Đều dư 1)
- Muốn thay x, y bởi những chữ số thích hợp để khi B chia cho 3; 2; 5;
đều dư 1 em làm như thế nào?
(Dựa vào tính chất chia cho 2; 5 dư 1 để xác định chữ số tận cùng y.
Dùng phương pháp loại trừ và dấu hiệu chia hết cho 3 để tìm x).
Bài giải
B chia cho 5 dư 1 nên y có thể là 1; 6.
Mặt khác, B chia cho 2 dư 1 nên y có thể là 1; 3; 5; 7; 9.
Suy ra, B chia cho 2 và 5 dư 1 nên y có thể là 1.
Số phải tìm B =

.

B chia cho 3 dư 1 thì (5 + x + 4 + 1) chia cho 3 dư 1.
Hay (10 + x) chia cho 3 dư 1.
Vậy x chia hết cho 3. Suy ra x có thể là 0; 3; 6; 9.
Với x = 0 ta có số 5041.
Với x = 3 ta có số 5341.
Với x = 6 ta có số 5641.
Với x = 9 ta có số 5941.
Các số phải tìm là: 5041; 5341; 5641; 5941.
4.2.6. DẠNG 6: Giải các bài toán có lời văn theo dấu hiệu chia hết.
Dạng toán này tổng hợp các kiến thức về dấu chia hết: Đòi hỏi học sinh

17

phải vận dụng tất cả các thao tác của tư duy vào giải toán.
Bài toán 10: Loan có ít hơn 20 quả táo. Biết rằng, nếu Loan đem số táo
đó chia đều cho 5 bạn hoặc chia đều cho 2 bạn thì cũng vừa hết. Hỏi Loan có
bao nhiêu quả táo?
Phân tích đề:
- Bài toán cho biết gì? (Loan có ít hơn 20 quả táo, số táo đó chia đều
cho 5 bạn hoặc chia đều cho 2 bạn thì cũng vừa hết).
- Số táo đó chia đều cho 5 bạn hoặc chia đều cho 2 bạn thì cũng vừa hết
nghĩa là thế nào? (Số táo đó vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5).
- Bài toán hỏi gì? (Loan có bao Nhiêu qủa táo?).
- Muốn biết Loan có bao nhiêu quả táo em làm như thế nào?
(Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và 5, xác định chữ số tận cùng, xác
định số táo cụ thể).
Bài giải
Theo đề bài, số táo của Loan chia đều cho 5 bạn hoặc 2 bạn thì cũng
vừa hết nên số táo đó phải có tận cùng là chữ số 0.
Mặt khác số táo đó nhỏ hơn 20 quả.
Vậy số táo đó là 10 hoặc 0 quả.
Nếu là 0 quả thì không có số táo để chia.
Vậy số táo của Loan là 10 quả.
Đáp số 10 quả.
Bài toán 11: Trong dịp đầu xuân, cô giáo chia kẹo cho các bạn lớp 4A.
Biết rằng cô có nhiều hơn 150 cái kẹo nhưng chưa đầy 180 cái. Cô tính, nếu
chia cho mỗi em 5 cái kẹo thì thiếu 15 cái. Nếu chia cho mỗi em 4 cái kẹo thì
thừa 20 cái. Hỏi số kẹo cô mang đến lớp là bao nhiêu cái?
Phân tích đề:
- Bài toán cho biết gì? (Cô có nhiều hơn 150 cái kẹo nhưng chưa đầy
180 cái. Nếu chia cho mỗi em 5 cái kẹo thì thiếu 15 cái. Nếu chia cho mỗi em
4 cái thì thừa 20 cái).
- Nếu chia cho mỗi em 5 cái kẹo thì thiếu 15 cái. Nếu chia cho mỗi em

18


4 cái thì thừa 20 cái nghĩa là thế nào? (Nếu số kẹo đó cộng thêm 15 thì chia
hết cho 5. Nếu số kẹo đó trừ đi 20 thì chia hết cho 4).
- Muốn biết số kẹo cô mang đến lớp là bao nhiêu cái em làm thế nào?
(Vận dụng dấu hiệu chia hết cho 5 để tìm số kẹo nhiều hơn 150 cái và ít
hơn 180 cái. Áp dụng dấu hiệu chia hết cho 4 để tìm số kẹo cụ thể).
Bài giải
Gọi số kẹo của cô giáo là A. Thỏa mãn: 150 < A < 180.
Nếu A + 15 thì chia hết cho 5.
Vậy A chia hết cho 5.
Suy ra A có chữ số tận cùng bằng 0; 5.
A = 155; 160; 165; 170; 175.
Mặt khác, A - 20 thì chia hết cho 4.
Vậy A chia hết cho 4. Tức là 2 chữ số tận cùng của A phải là chia hết
cho 4.
Suy ra A = 160.
Vậy số kẹo mà cô giáo mang đến lớp là 160 cái.
Đáp số: 160 cái kẹo.
4.2.7: Một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Điền vào chỗ chấm số thích hợp để chia hết cho 3:
360 < … < … < … < 370.
Bài 2:
a. Viết 5 số có 5 chữ số chia hết cho 9.
b. Viết 5 số có 5 chữ số sao cho mỗi số đó vừa chia hết cho 5 vừa chia
hết cho 9.
Bài 3:
Với các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4.

a. Hãy viết các số tròn chục có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
b. Hãy viết các chữ số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 2; 5; 9.
Bài 4: Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho cả 3 và 5, khi
đọc xuôi cũng như đọc ngược số đó đều có giá trị như nhau.

19


Bài 5: Viết chữ số thích hợp vào dấu * để được số:
a. 743* là số chẵn và chia hết cho 3.
b. 16** chia hết cho các số 2; 3; 5.
Bài 6: Cho

là số chẵn có 5 chữ số, trong đó a và b là 2 chữ số

khác nhau. Tìm a và b để

chia hết cho các số 2; 3; 5.

Bài 7: Viết thêm vào bên phải số 31 hai chữ số để được số.
a. Chia hết cho 6.
b. Chia hết cho 10.
c. Chia hết cho 15
Bài 8: không tính giá trị của biểu thức ,có thể nói chắc chắn giá trị của
mỗi biểu thức sau chia hết cho số nào trong các số 2;3;5;9? Vì sao?
a. 475+25.17

b. 414+4.36

c.318+912x8

d.417x7936

Bài 9: có thể điền dấu (+) hoặc (-) vào mỗi ô trống sau để được một
phép tính có kết quả là số chẵn lớn nhất.
117 ¨ 116 ¨ 115 ¨ 114 ¨ 113 ¨
Bài 10: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó chia cho 2 dư 1, chia
cho 5 dư 2 và chia hết cho 9.
Bài 11: Tìm số có 2 chữ số, biết rằng chia số đó cho 2; 3; 4; 5 thì lần
lượt được số dư là 1; 2; 3; 4.
Bài 12: Trong buổi đồng diễn thể dục của trường, học sinh tham gia có
nhiều hơn 200 học sinh nhưng ít hơn 300 học sinh. Biết rằng khi xếp thành 2
hàng hoặc thành 3 hàng hoặc thành 4 hàng thì vừa vặn không thừa, không
thiếu bạn nào. Tìm số học sinh tham gia buổi đồng diễn thể dục.
Bài 13: Trong buổi liên hoan lớp 4A, bạn Mai và bạn Dung được phân
công đi mua quýt. Hai bạn đã mua nhiều hơn 50 quả và ít hơn 60 quả. Các
bạn tính nhẩm:
Nếu chia đều số quýt vào 5 bàn thì thừa 4 quả, nếu chia đề số quýt vào
9 bàn thì vừa đủ.

20


a. Tìm số quýt mà bạn Mai và bạn Dung đã mua.
b. Tính số học sinh của lớp 4A. Biết rằng nếu chia đều các bạn vào 9
bàn thì mỗi bạn được 1 quả và mỗi bàn còn thừa đúng 2 quả?
Bài 14: Đặt một đề toán theo một trong 6 dạng và giải.
5. Kết quả đạt được
Để kiểm chứng lại quá trình nghiên cứu của mình, tôi tiến hành dạy
thực nghiệm( Giáo án- Phần phụ lục)

-Lớp thực nghiệm: 4D
-Lớp đối chứng: 4E
Bài dạy: Dấu hiệu chia hết cho 3.
Sau một thời gian dạy thực nghiệm. Tôi đã tiến hành khảo sát chất
lượng học sinh khá - giỏi của 2 lớp: Lớp 4D do tôi dạy thực nghiệm, lớp 4E là
lớp đối chứng.
Tôi ra một đề kiểm tra cho học sinh khá, giỏi hai lớp như sau:
*Bài 1: Điền vào chỗ chấm số thích hợp để chia hết cho 3:
350 < … < … < … < 360.
*Bài 2:
a. Viết 3 số có 5 chữ số chia hết cho 9.
b. Viết 3 số có 5 chữ số sao cho mỗi số đó vừa chia hết cho 5 vừa chia
hết cho 9.
*Bài 3: Không làm phép tính, hãy xem xét hiệu dưới đây có chia hết
cho 3 hay không?
5481 – 4326
Kết quả đạt được
Điểm 9-10
Điểm 7-8
Điểm 5-6
Điểm dưới 5
em
%
em
%
em
%
em
%
HS

4D
20
10
50%
7
35%
3
15%
0
0%
4E
20
2
10%
7
35%
11
55%
0
0%
Tôi thấy tỉ lệ học sinh của lớp 4D làm bài đạt điểm từ 7 trở lên tăng lên

Lớp

Số

rõ rệt. Chứng tỏ học sinh đã nắm được các dạng toán về dấu hiệu chia hết.
Giải được các bài toán ở mức cơ bản một cách thành thạo, chính xác( Bài 1);

21

có sáng tạo, linh hoạt hơn ở các bài toán khó và khả năng diễn đạt lưu loát
hơn( Bài 2,3). Các em rất tự tin khi gặp các bài toán thuộc dạng này.
Về phía giáo viên: Nắm chắc các dạng toán về dấu hiệu chia hết, có
phương pháp giải một cách khoa học hợp lôgic.
Dựa trên kết quả này, tôi mạnh dạn đánh giá rằng sáng kiến đưa ra đã
có hiệu quả thực sự, góp phần nâng cao chất lượng dạy học sinh khá-giỏi( học
sinh có năng lực). Với sáng kiến đưa ra, sau khi học xong về các dấu hiệu
chia hết, học sinh đã tổng hợp được các bài toán về dấu hiệu chia hết thành
từng dạng bài với các cách giải cho từng dạng, học sinh đã mở rộng thêm
được nhiều dấu hiệu chia hết khác mà trong sách giáo khoa không đề cập đến.
Trên cơ sở đó học sinh học tiếp sang phần phân số, số thập phân sẽ thuận lợi
hơn nhiều.
6. Điều kiện để sáng kiến nhân rộng:
+ Lớp học trên 5 buổi /tuần sẽ thuận lợi hơn.
+ Đối tượng học sinh nhận thức đồng đều, nhất là các lớp có năng lực
học tập khá( lớp đội tuyển).
+ Phân công giáo viên dạy chuyên sâu theo khối lớp.
+Giáo viên phải đầu tư thời gian nghiên cứu bài vở, đọc thêm tài liệu
để hiểu sâu sắc từng dạng toán về dấu hiệu chia hết.

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận:

22


Khi chưa được phân dạng toán về các dấu hiệu chia hết và chưa được
hướng dẫn cách giải từng dạng, học sinh chỉ nắm được các quy tắc có trong

sách giáo khoa và làm được các bài tập về dấu hiệu chia hết đơn giản, khi gặp
các tình huống đòi hỏi sự tư duy, liên kết các điều kiện thì lúng túng, không
rút ra được dấu hiệu chung cùng chia hết cho vài trường hợp, không biết phân
dạng toán, đặc biệt không biết cách giải với từng dạng cụ thể( các trường hợp
nâng cao). Nói chung là khả năng khái quát hóa chưa cao, ngôn ngữ nói viết
còn hạn chế. Khi thay đổi dữ kiện của bài toán học sinh còn lúng túng.
Xuất phát từ thực tế giảng dạy, tôi thấy có một vài kinh nghiệm nhỏ
trong dạy học toán nói chung và trong dạy học học sinh khá-giỏi giải các bài
toán về dấu hiệu chia hết cho học sinh lớp 4 nói riêng như sau:
-Giáo viên phải nắm chắc chương trình SGK, yêu cầu của môn học
cũng như hiểu được tầm quan trọng của môn học. Nắm chắc các loại toán,
dạng toán cơ bản.
-Phải xác định được yêu cầu của từng tiết học, bài học; yêu cầu cần đạt
đối với từng đối tượng học sinh trong tiết học, bài học đó. Từ đó, có hình thức
tổ chức và phương pháp dạy học sao cho phù hợp.
-Xác định được công việc cần làm của giáo viên và học sinh trong tiết
học, bài học:
+ Giáo viên cần giao việc ngắn gọn, rõ ràng; tổ chức các hình thức hoạt
động đa dạng, phong phú; kiểm tra đánh giá kịp thời, sát đối tượng.
+ Học sinh tìm hiểu đề; lập kế hoạch giải; trình bày bài giải, kiểm tra
đánh giá bài của mình, của bạn.
-Chọn ra những bài toán giải theo phương pháp tương tự nhau để đưa
vào từng nhóm, từng dạng. Các dạng toán đưa ra đảm bảo mức độ từ dễ đến
khó. Kiến thức bài trước là cơ sở, tiền đề để học bài sau. Cụ thể đã chia các
bài toán về dấu hiệu chia hết thành các dạng:
+ Dạng 1: Tìm các số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết.
+ Dạng 2: Viết các số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết.
+ Dạng 3: Dùng dấu hiệu chia hết để điền các chữ số chưa biết.

23

+ Dạng 4: Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và
một hiệu.
+ Dạng 5: Các bài toán về phép chia có dư.
+ Dạng 6: Giải các bài toán có lời văn theo dấu hiệu chia hết.
-Xét mối liên quan giữa dạng toán này với một số dạng toán khác để từ
đó củng cố kiến thức từng phần cho học sinh.
-Động viên khuyến khích học sinh nhằm khơi dậy lòng ham học, tính
tích cực, tự giác học của học sinh. Tạo cho lớp học không khí thi đua học tập.
-Giáo viên kết hợp với các lực lượng giáo dục khác trong dạy học nhằm
đạt kết quả cao.
Kết quả áp dụng các giải pháp trên, các em giải các bài tập về dấu hiệu
chia hết nhanh nhạy và thuần thục hơn, khả năng tư duy, khả năng phân tích
tổng hợp các dữ kiện bài toán tốt hơn và ít giải sai hơn.
2. Khuyến nghị:
2.1. Đối với giáo viên:
Tâm huyết với nghề.
Thường xuyên học tập nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ.
2.2. Đối với nhà trường:
Áp dụng tốt các chuyên đề của Sở, Phòng. Hàng tháng tổ chức các
chuyên đề để giáo viên trao đổi kinh nghiệm trong tổ chuyên môn, trong
trường, để các đồng chí chưa có kinh nghiệm dạy học sinh giỏi được học hỏi,
giao lưu với các đồng chí có kinh nghiệm nhằm trau dồi năng lực bản thân.
Nên phân công giáo viên có năng lực dạy chuyên các môn: dạy theo
lớp để có điều kiện theo dõi, điều chỉnh, phát huy năng lực học tập của học
sinh.
2.3. Đối với phòng giáo dục:
Cần tổ chức chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá-giỏi theo định hướng
mới để giáo viên các trường có điều kiện trao đổi, tọa đàm về phương pháp

dạy hoc, nhằm giúp giáo viên học tập được các phương pháp, hình thức tổ
chức dạy học hay của trường bạn vận dụng linh hoạt với đơn vị mình. Cung

24


cấp tài liệu chuyên san đổi mới kịp thời cho giáo viên nghiên cứu học tập.

MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO

25