skkn hướng dẫn học sinh lớp 5 giải các bài toán về phân số

UBND THỊ XÃ CHÍ LINH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
----------------------------

BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 5
GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN SỐ
MÔN : TOÁN
Khối : 5

Năm học 2014-2015


THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1.Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh lớp 5 giải các bài toán về phân số
2.Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán lớp 5
3.Tác giả:
Họ tên: Vũ Thị Liễu

Nữ

Ngày tháng sinh: 07/4/1974
Trình độ chuyên môn: CĐSP
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường Tiểu học Thái Học
Điện thoại: 01 263 353 638
4. Đồng tác giả:

Không

5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

(Không )

6. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
- Giáo viên có trình độ năng lực sư phạm đạt chuẩn, có khả năng dạy tốt
môn Toán, nhiệt huyết, yêu nghề, đam mê công việc
- HS : Đối tượng lớp 4 -5 có năng lực học đạt từ trung bình trở lên.
- Nhà trường tạo điều kiện để giáo viên được mạnh dạn, năng nổ và
nghiên cứu, thực nghiệm.
- Phụ huynh hs hỗ trợ về cơ sở vật chất và quan tâm tới con em
7. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu:
Sáng kiến được áp dụng lần đầu tiên trong thực tế: Từ tháng 9 năm 2014
đến tháng 2 năm 2015.
HỌ TÊN TÁC GIẢ
(Kí tên)

XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN
ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Vũ Thị Liễu

2


TÓM TẮT SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
Từ lâu, giải toán đã trở thành một hoạt động trí tuệ sáng tạo và hấp dẫn đối
với nhiều học sinh, các thầy cô giáo và các bậc phụ huynh. Vấn đề quan trọng đặt
ra trong hoạt động giải toán là nhận dạng bài toán và lựa chọn phương pháp giải
thích hợp. Chính vì vậy qua thực tế dạy học sinh giải toán nói chung và dạy - học

các bài toán về phân số nói riêng của giáo viên và học sinh, tôi thấy còn nhiều
vấn đề phải quan tâm đó là:
Nội dung dạy học sinh các bài toán về phân số trong các tiết tăng, tiết ôn tập
chưa đảm bảo logic, giáo viên khi nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy bài nào
hay thì chọn để dạy cho học sinh chứ chưa phân được dạng, loại trong mỗi mạch
kiến thức. Về phương pháp giảng dạy các bài toán đó chưa hợp lí, có những
phương pháp giải chưa phù hợp với đặc điểm tâm lý và khả năng tiếp thu của
học sinh
Các em học sinh rất thích học toán, nhưng các em cũng rất ngại khi va
chạm với những bài toán khó ở dạng chưa tường minh. Nhiều bài toán nâng cao
được cho dưới dạng tính nhanh với các phân số lớn hay các bài toán cho hay ẩn
một giữ kiện nào đó. Thì các em còn nhầm lẫn giữa dạng toán này sang dạng
toán khác dẫn đến chất lượng chưa được cao. Đây là một trong những khó khăn
đối với tôi cũng như những giáo viên giảng dạy lớp 4-5 khác. Để giúp các bạn
cùng tháo gỡ khó khăn này góp phần nâng cao chất lượng dạy học, tôi đã nghiên
cứu và tìm hiểu và áp dụng sáng kiến “Hướng dẫn học sinh lớp 5 giải các bài
toán về phân số” vào giảng dạy.
2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến
Sáng kiến này áp dụng cho học sinh lớp 5 trong các trường Tiểu học có đủ khả
năng nhận thức để học tập.
Sáng kiến này tôi áp dụng thực hiện lần đầu tiên trong năm học 2014- 2015 cho
học sinh lớp 5 của nhà trường. Các nội dung bài tập được tôi đưa vào áp dụng ở
các tiết toán tăng. Hay các
3


3. Ni dung sỏng kin
+ Tớnh mi, tớnh sỏng to ca sỏng kin
Sỏng kin Hng dn hc sinh lp 5 gii cỏc bi toỏn v phõn s ca tụi đã
giỳp giỏo viờn v hc sinh tìm ra những khó khăn vớng mắc, v nhng li mà

học sinh hay mắc phải khi học nội dung này và tìm hiểu nguyên nhân, để đa ra
biện pháp dy hc mi theo tng dng bi phự hp vi thc tin ging dy giúp
học sinh khắc phục kịp thời những khó khăn, hạn chế đó, tạo không khí học toán
thoải mái, sáng tạo, tự tin, nhằm nâng cao chất lợng học tập môn toán. T ú cỏc
em nm bi v yờu thớch mụn hc hn.
+ Kh nng ỏp dng ca sỏng kin
Phn ni dung ca sỏng kin mụ t rừ 3 bin phỏp giỳp cho c giỏo viờn v
hc sinh gii quyt nhng khú khn thng mc phi trong cụng tỏc ging dy.
Sỏng kin ó a ra cỏc dng bi toỏn t n gin n phc tp, t ú giỳp hc
sinh nhn dng toỏn v gii c bi toỏn nhanh nht. i vi mi dng bi toỏn
cú phn ni dung kin thc cn ghi nh v cỏc vớ d minh ha, hng dn
phng phỏp phõn tớch i n li gii hp lớ. Sau mi dng bi l h thng
cỏc bi tp t luyn. Khi cỏc em hiu kin thc v phõn s mt cỏch cú h thng
ri t ú vn dng vo tng dng bi tp mt cỏch d dng.
+ Li ớch thit thc ca sỏng kin
Sau mt thi gian ỏp dng sỏng kin vo dy cho hc sinh cỏc dng toỏn
liờn quan n phõn s, kt qu cho thy: hc sinh c cng c vng chc hn
cỏc kin thc v phõn s so vi lỳc trc cha ỏp dng sỏng kin. Khi cỏc em
hiu kin thc v phõn s mt cỏch cú h thng ri t ú vn dng vo tng dng
bi tp mt cỏch d dng. Gii c cỏc bi tp khú m khụng ngi, khụng s. K
nng gii cỏc bi toỏn c hỡnh thnh qua nhiu bi luyn tp nh tỡm hiu bi
toỏn, phõn tớch cỏc d kin u bi, lp k hoch gii toỏn v trỡnh by li gii rt
nhanh, rt khoa hc. Ngoi ra cỏc em cũn rt hng thỳ v yờu thớch hc toỏn,
nht l cỏc bi toỏn v phõn s, nhiu em cú k nng, k xo gii toỏn tt.

4. Khng nh giỏ tr, kt qu t c ca sỏng kin
4


Sau khi áp dụng sáng kiến có hiệu quả tôi đã triển khai đưa vào áp dụng

cho các lớp cùng khối trong trường kết quả chất lượng học sinh giải các bài toán
về phân số được nâng cao nhiều em làm bài và trình bày bài giải tốt.
5. Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến.
Sáng kiến này không những dành cho các thầy cô giáo, các em học sinh lớp 4-5
áp dụng dạy và học trong các tiết toán tăng mà còn giúp cho các bậc phụ huynh
làm tài liệu để hướng dẫn và kèm cặp việc học toán của con em mình. Trong nhà
trường có thể dùng làm tài liệu phục vụ cho việc học toán của đông đảo học sinh,
đặc biệt là bồi dưỡng học sinh có năng khiếu.

5


MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1.

Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến.

Tiểu học là cấp học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành và phát
triển toàn diện nhân cách của con người. Trên cơ sở cung cấp những kiến thức
cơ bản ban đầu về tự nhiên xã hội, tạo cho trẻ phát triển năng lực nhận thức, tạo
tiền đề cơ bản để nâng cao trí nhớ và trẻ trở thành người công dân mang trong
mình những phẩm chất tốt. Đó là trí tuệ phát triển, ý chí cao, tình cảm đẹp.
Muốn phát triển được phẩm chất trên thì phải thông qua các môn học bắt buộc ở
Tiểu học đặc biệt là môn Toán. Môn Toán có vị trí vô cùng quan trọng ở Tiểu
học, nó chiếm thời lượng lớn trong chương trình học. Qua việc học Toán sẽ rèn
luyện cho học sinh phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp
giải quyết vấn đề. Toán sẽ bồi dưỡng cho trẻ tính chính xác, đức tính trung thực,
cẩn thận và hăng say lao động, Toán góp phần phát triển trí tuệ, trí thông minh,
cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo ở học sinh. Từ đó giúp các em phát
triển toàn diện nhân cách con người mới xã hội chủ nghĩa. Môn Toán ở Tiểu học

gồm 4 mạch nội dung (Số học; Đo lường; Yếu tố hình học; Giải toán có lời văn)
các kiến thức và kĩ năng được sắp xếp theo kiểu “đồng tâm mở rộng” từ đơn
giản đến phức tạp hơn, trừu tượng, khái quát hơn. ở từng lớp học sinh được tích
luỹ, mở rộng kiến thức phù hợp với đặc điểm tâm sinh lí, phù hợp với kinh
nghiệm sống của các em.
Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy: Nội dung về phân số, các phép tính,
các bài toán có nội dung về phân số là một nội dung khó. Các bài tập này hầu
hết học sinh đều khó khăn trong cách giải hoặc nhiều học sinh không giải quyết
nổi. Việc vận dụng các tính chất của phân số. Các tính chất của các phép tính về
phân số trừu tượng, nhiều học sinh khó nhận biết mối quan hệ giữa các thành
phần trong các phép tính về phân số, nhiều học sinh không phát hiện được do
khả năng quan sát chưa nhanh. Qua các bài tập, phần nhiều học sinh không giải
quyết được bài toán có nội dung về phân số, giải sai về cách giải hoặc không
chính xác về kết quả. Vì vậy việc nâng cao chất lượng “ Hướng dẫn - học sinh
6


lớp 5 giải các bài toán về phân số” là rất quan trọng. Tôi đưa ra sáng kiến “
Hướng dẫn - học sinh lớp 5 giải các bài toán về phân số” mục đích giúp học
sinh giải toán nói chung và giải các bài toán về phân số nói riêng là một việc làm
rất cần thiết, giúp học sinh phát huy khả năng của mình, tự mình tìm ra nhiều
cách giải khác nhau.
2. Cơ sở lí luận
Nâng cao chất lượng dạy và học là một những mục tiêu phấn đấu của nhà
trường. Vì vậy muốn có trò giỏi phải có thầy vững vàng về chuyên môn và
phương pháp giảng dạy tốt. Từ đó những người làm công tác giảng dạy phải biết
tìm tòi và sáng tạo để học sinh có chất lượng đạt kết quả cao.
Phương pháp dạy làm sao cho phù hợp với đối tượng học sinh ở từng
miền. Với xu hướng chung của sự đổi mới phương pháp dạy học ở Tiểu học là
làm sao giáo viên không chỉ là người truyền thụ kiến thức mà là người tạo ra

một môi trường khuyến khích từng học sinh hoạt động, chủ động học tập và đem
lại kết quả cao nhất cho từng học sinh là phương châm chủ đạo của việc đổi mới
phương pháp dạy và học ở Tiểu học. Học sinh là nhân vật trung tâm trong quá
trình dạy và học. Trong quá trình đó "Giáo viên tổ chức và hướng dẫn từng học
sinh, mọi học sinh đều hoạt động học tập và được phát triển cao nhất" Ngoài
việc cung cấp kiến thức, kỹ năng giáo viên còn phải dạy cho học sinh biết cách
học tập, có năng lực linh hoạt sáng tạo, có lòng tự tin, tự trọng. Giáo viên được
quyền và có trách nhiệm lựa chọn nội dung và phương pháp dạy từng bài thích
hợp cho học sinh "Giáo viên cần đưa ra những dạng bài tập, những hoạt động
mới thích hợp với học sinh lớp mình. Đối với học sinh chậm tiến cần có sự giúp
đỡ riêng để đạt được yêu cầu. Đối với học sinh có năng khiếu cần có yêu cầu
cao hơn, bổ sung bài tập khó hơn để các em có cơ hội bộc lộ kết quả và khả
năng của mình"
Trong điều kiện phát triển của xã hội hiện nay, khoa học - công nghệ ngày
càng phát triển và mở rộng, các ngành khoa học do đó cũng phát triển theo.Toán
học - một ngành học không chỉ có ứng dụng trong chuyên môn mà còn ứng
dụng rộng rãi trong thực tiễn đời sống.Toán học rất quan trọng trong việc cung
7


cấp những tri thức khoa học ban đầu, trang bị những phương pháp và kĩ năng về
các hoạt động nhận thức, trên cơ sở đó bồi dưỡng trí thông minh, sự sáng tạo,
chuẩn bị điều kiện để bước vào hoạt động thực tiễn.
Các bài toán về ph©n số là một trong những mạch kiến thức quan trọng
trong môn Toán nội dung này có rất nhiều ứng dụng thiết thực trong đời sống,
rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, diễn đạt đúng. Từ đó
góp phần rèn luyện phương pháp học tập, làm việc khoa học và linh hoạt sáng
tạo trong cuộc sống.
3. Thực trạng của vấn đề dạy học sinh lớp 5 giải các bài toán về phân số.
Trong thực tế giảng dạy học sinh lớp 5, tôi nhận thấy khi dạy đến phần

“ Các bài toán về phân số”. Nếu giáo viên chỉ cung cấp cho học sinh một số tính
chất cơ bản của phân số, cách so sánh hai phân số, cách cộng, trừ, nhân, chia
phân số thường gặp như trong sách để học sinh học thuộc thì học sinh chỉ làm
được những bài tập có dạng tương tự hoặc những bài tập dễ. Còn đối với những
bài tập khó hơn thì học sinh không tìm được cách làm hoặc là có tìm được thì
mất rất nhiều thời gian. Ngay đầu năm học tôi đã tiến hành khảo sát học sinh lớp
5 giải các bài tập này ở các tiết tăng ( Bài khảo sát số 1- Phần phụ lục cuối sáng
kiến) và thu được kết quả như sau.
Sĩ số

Hoàn thành
Chưa hoàn thành
Hoàn thành tốt
SL
%
SL
%
SL
%
20
19
95
1
5
7
35
Qua giảng dạy, chấm bài học sinh, tôi thấy còn một số hạn chế sau:
- Học sinh chưa nắm chắc qui trình giải của các bài toán.
- Việc tư duy, vận dụng các dạng toán điển hình vào giải các bài toán
còn lúng túng. Còn đối với bài toán nâng cao có một trong hai dữ kiện của bài

toán bị “ẩn” thì các em rất khó phát hiện ra dạng toán. Các em chưa biết lập luận
để tìm ra dữ kiện bị “ẩn”. Chính vì vậy mà ít em có thể làm được những bài toán
nâng cao liên quan đến phân số.
- Cách trình bày các bài toán chưa logic, lí luận chưa chặt chẽ.
* Nguyên nhân của các hạn chế trên:
- Giáo viên:
8


+ Nghiên cứu nội dung các bài toán chưa sâu, chưa hệ thống kiến thức để
đưa về dạng toán cơ bản.
+ Việc vận dụng các phương pháp vào giải các bài toán chưa hợp lí, chưa
phù hợp với đặc điểm tâm, sinh lí và khả năng tiếp thu của học sinh.
- Học sinh:
+ Chưa chịu khó suy nghĩ để tìm ra lời giải phù hợp, logíc.
+ Việc vận dụng các dạng toán đã học để giải các bài toán chưa tốt.
Từ các nguyên nhân và thực trạng trên, tôi đã nghiên cứu, tìm tòi để
hướng dẫn các em cách giải các bài toán về phân số để từng bước nâng cao chất
lượng giảng dạy.
Qua giảng dạy và áp dụng tôi thu được một số kết quả khá khả quan ( học
sinh dễ dàng tìm được cách giải ) và vận dụng làm tốt các bài toán về phân số.
4. Các giải pháp, biện pháp thực hiện
4.1. Biện pháp thứ nhất: Dạy tốt chương trình toán chính khóa.
Muốn cho học sinh nắm vững dạng toán này, trước hết phải dạy tốt
chương trình toán chính khóa.
Các bài toán chủ yếu dạng đơn giản giúp nên giáo viên cần giúp các em
làm quen với dạng toán này. Đầu tiên phải giúp học sinh nắm chắc khái niệm
“Phân số các phép toán và các bài toán về phân số”. Tiếp theo giúp học sinh rèn
luyện, củng cố các bước giải từng bài toán về phân số. Khi học sinh đã nắm
được các bước giải một cách thành thạo ta có thể nâng cao dần dần lên vào các

tiết tăng của buổi học.
4.2. Biện pháp thứ hai: Giúp học sinh nắm vững một số kiến thức cần ghi
nhớ và đưa ra hệ thống bài tập phù hợp, hợp lí.
Khi dạy các bài toán về phân số, giáo viên cần giúp học sinh nắm vững
một số kiến thức cần ghi nhớ ở mỗi dạng bài sau đó lựa chọn đưa ra những bài
tập có tính hệ thống, tức là những bài tập đó được nâng cao mở rộng dần từ dễ
đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ quen đến lạ,...Bài tập sau phải dựa trên cơ
sở của bài tập trước. Nội dung bài tập phải từ bài các em đã học rồi, sau đó giáo
mới tìm nội dung bài tập cao hơn để các em được mở rộng kiến thức. Có như thế
9


HS mới phát huy được tính sáng tạo, năng lực tư duy cho học sinh. Từ đó các
em mới co thể giải được các bài tập cuối cùng của mỗi tiết học trong các vở ôn
luyện và kiểm tra hoặc các bài tập cuối tuần, hay trong các bài kiểm tra.
Các bài tập về phân số thì có rất nhiều và cũng rất đa dạng, phong phú.
Vì thế phải dạy trong nhiều tiết mới có thể hướng dẫn học sinh giải được kiểu
bài này. Trong quá trình dạy tôi đã cố gắng đưa ra nhiều kiểu bài tập từ đơn giản
đến phức tạp, từ dễ đến khó, từ quen đến lạ. Sau mỗi buổi học, tiết học, tôi đưa
ra một số bài tập cho học sinh tự luyện (có thể ở tiết tự học, đầu giờ truy bài).Vì
thế, hệ thống bài tập tự luyện đưa ra cần phải phù hợp, nghĩa là vừa có kiểu
tương tự đồng thời phải có sự sáng tạo.
Sau đây là một số bài tập tôi đã hướng dẫn cho học sinh giải .Vì thời gian
có hạn nên trong phần trình bày cách hướng dẫn học sinh giải bài tập, tôi không
ghi những câu hỏi thông thường, quen thuộc dùng chung cho tất cả bài toán như:
Bài toán cho biết gì? Bài toán hỏi gì? Bài toán thuộc dạng gì?...Tôi chỉ trình bày
cách hướng dẫn riêng của từng bài tập
4.2.1 Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số
4.2.1.1 Các kiến thức cần ghi nhớ
- Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành

phân số, tử số là số bị chia, MS là số chia a : b =

a
( với b ≠ 0 )
b

- Mẫu số b chỉ số phần = nhau lấy ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần lấy đi.
- Mỗi số tự nhiên có thể viết thành phân số có mẫu số là 1:

a=

a
1

- Phân số nào có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1; phân số nào có tử số lớn
hơn mẫu số thì lớn hơn 1, và phân số nào có tử số bằng mẫu số thì bằng 1
- Nếu nhân cả tử số và mẫu số của 1 phân số với một số tự nhiên khác 0
thì được phân số bằng phân số đã cho :

axn a
= (n ≠ 0 )
bxn b

- Nếu chia cả tử số và mẫu số của phân số đã cho với 1 số tự nhiên ≠ 0
( gọi là rút gọn phân số ) thì được phân số bằng phân số đã cho.
10


a:m a
= (m≠0)

b:m b
- Nếu cộng cả tử số và mẫu số của phân số với cùng 1 số (hoặc trừ cả tử số và
mẫu số ) cùng một số thì hiệu giữa mẫu số và tử số không thay đổi.(với phân số
<1)
4.2.1.2 Các ví dụ
Ví dụ 1 : Rút gọn các phân số sau
a.

23 x 101 23
2323
=
=
25 x 101 25
2525

b.

123123 123 x 1001 123 41
=
=
=
345 x 001 345 115
345345

Vídụ 2 : Cho phân số

14
. Hỏi phải cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số
39

đó với 1 số tự nhiên nào để ta được phân số mới sau khi rút gọn là

4
9

Giải
Hiệu giữa mẫu số và tử số của phân số 14 là :
39

39 – 14 = 25
Khi cộng thêm vào tử số và mẫu số với cùng 1 số thì ta được một phân số
mới có hiệu của mẫu số và tử số vẫn bằng 25
Mà hiệu giữa mẫu số và tử số của phân số mới là
9- 4 = 5
Số lần giản ước ở phân số đã cho là :
25 : 5 = 5
Phân số mới khi chưa rút gọn là:
4 x5
20
=
9 x5
45

Số cùng phải thêm vào tử số và mẫu số là:
20 – 14 ( hoặc 45 – 39 = 6)
Đáp số 6
11


Hoặc có thể hướng dẫn HS đưa về dạng toán Hiệu- tỉ để giải

Ví dụ 3 : Cho phân số

11
.Tìm phân số bằng phân số đã cho biết rằng mẫu số
14

của phân số đó lớn hơn tử số của nó là 1995 đơn vị.
Giải
Nếu ta coi mẫu số của phân số phải tìm là 14 phần thì tử số của phân số đó
là 11 phần như thế.
Hiệu số phần bằng nhau là : 14 - 11 = 3 (phần)
Tử số của phân số phải tìm là : 1995 : 3 x 11 = 7315
Mẫu số là : 1995 + 7315 = 9310
Vậy phân số phải tìm là :

7315
9310

4.2.1.3 Các bài luyện tập
Bài 1: Rút gọn các phânsố sau :
a.

123123
363363

b.

199619961996
194719471947

c.

1818181818
8181818181

Bài 2 : Tìm phân số biết tổng của tử số và mẫu số bằng 40 và rút gọn phân số đó
thì được

3
.
5

Gợi ý
- Coi tử số của phân số phải tìm là 3 phần thì mẫu số là 5 phần
- Áp dụng dạng toán tìm 2 số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó để tìm tử số và
mẫu số của phân số mới.
Bài 3 : Cho phân số

Đáp số :

15
25

211
. Trừ cả tử số và mẫu số của phân số đó cho cùng 1 số
313

tự nhiên ta được phân số bằng

3

. Tìm số đó.
5

Gợi ý : - Khi trừ cả tử số và mẫu số của phân số
mẫu số và tử số không thay đổi.
12

211
đi cùng 1 số thì hiệu của
313


- Tìm hiệu của mẫu số và tử số của phân số

211
313

- Coi tử số của phân số mới là 3 phần thì mẫu số là 5 phần .
Áp dụng bài toán tìm 2 số khi biết hiệu và tỷ số của 2 số để tìm tử số (hoặc
mẫu số). Lấy tử số cũ trừ đi tử số mới ta được số phải tìm.
Đáp số : 28
Bài 4: Cho phân số

35
. Cộng vào tử số 1 số nào đó và mẫu số trừ đi số đó ta
49

được phân số bằng

3

. Tìm số đó ?
4
Đáp số : 1

Bài 5: Hãy tìm một số nào đó sao cho khi tử số và mẫu số của phân số

trừ đi số đó thì được phân số mới bằng

29
cùng
64

2
.
9
Đáp số : 19

Bài 6 : Tìm một số sao cho cả tử số và mẫu số của phân số

thì được phân số mới bằng

35
cùng trừ đi số đó
49

1
.
3
Đáp số : 28

Bài 7 : Tìm 1 phân số bằng

7
sao cho mẫu số của nó lớn hơn tử số 114 đơn vị
13

(Giải tương tự ví dụ 3)
Bài 8 : Tìm 1 phân số bằng

Đáp số :

133
247

 133 : 19 7 
= 

 247 : 19 13 

9
sao cho tổng của tử số và mẫu số của phân số ấy
16

bằng 1000.
(HD tương tự bài 2)
Đáp số :
13

360  360 : 40 9 
= 


640  640 : 40 16 


Bài 9 : Tìm 1 phân số bằng

21
; biết rằng khi ta cộng thêm vào tử số và mẫu số
23

của phân số đó với cùng 1 số tự nhiên ta được phân số
HD : Nhận xét

66
.
72

66
là phân số chưa tối giản ta phải rút gọn
72
66 33 11
=
=
72 36 12

Áp dụng giải như ví dụ 2

Đáp số : 1

Bài 10 : Tìm phân số bằng phân số

15
, biết rằng khi ta trừ cả tử và mẫu của
19

phân số đó đi cùng 1 số tự nhiên ta được phân số bằng
Gợi ý : Xét hiệu của mẫu số và tử số của phân số

21
.
37

15
(bằng 4)
19

Xét hiệu số phần bằng nhau giữa mẫu số và tử số của phân số mới là :
37 - 21 = 16. Ta thấy hiệu của mẫu số và tử số của phân số

15
nhỏ hơn hiệu số
19

phần số lần là :
16 : 4 = 4 ( lần )
Vậy phân số phải tìm là :

15 x 4 60
=
19 x 4 67

Số trừ đi là : 60 - 21 =39 hoặc 76 - 37 = 39
4.2.2. Dạng 2 : Các bài toán về so sánh phân số
4.2.2.1 Kiến thức cần ghi nhớ
+ Muốn quy đồng mẫu số của 2 phân số, ta nhân cả tử số và mẫu số của phân số
thứ nhất với mẫu số của phân số thứ 2. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ
hai với mẫu số của phân số thứ nhất.Áp dụng tìm mẫu số chung nhỏ nhất để
quy đồng các phân số.

14


+ Quy đồng tử số: Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ nhất với tử số của
phân số thứ hai. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với tử số của phân
số thứ nhất.
+ Khi so sánh 2 phân số :
- Có cùng mẫu số : Ta so sánh 2 tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn
hơn.
- Không cùng mẫu số : Trước hết ta qui đồng mẫu số rồi so sánh như trường hợp
trên.
+ Các phương pháp sử dụng so sánh phân số
- Vận dụng quy tắc so sánh ở phần 3.
- Nếu 2 phân số có cùng tử số phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì lớn hơn.
- So sánh qua 1 phân số trung gian.
a c
c e
a e
< và < thì <
b d
b f

d f
- So sánh hai phần bù với 1 của mỗi phân số
1-

a
c
a c
< 1- thì >
b
b d
d

- So sánh " phần hơn " với 1 của 1 phân số
a
c
a c
− 1< − 1 thì <
b d
b
d
4.2.2.2 Các ví dụ
Ví dụ 1 : So sánh 2 phân số

7
5
và
9
7

Giải :

Cách 1: Quy đồng mẫu 2 phân số
5 45
=
7 63

;

7 49
=
;
9 63

45 49
7
5
<
. Vậy :
<
9
63 63
7

Cách 2: Quy đồng tử số 2 phân số:
7 35
5 35
=
;
=
9 45
7 49

;

35
35
<
49
45

Vậy :

Cách 3: Tìm và so sánh phần bù tới 1của hai phân số;
15

7
5
<
9
7


5
2
=
;
7
7

1-

7
2
=
9
9

1-

mà

2
7
2
5
>
nên
<
9
9
7
7

Ví dụ 2 :Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
1 28 3 24 3 42
=
; =
; =
2 56 7 56 4 56

Cách 1: Quy đồng mẫu số:

24
28
<
56
56

42
56

<

Cách 2: Quy đồng tử số:
Mà
Cách 3:

1-

1 1
=
2 2
Mà

Cách 4: Lấy phân số
3 1
<
7 2

Ta có:

1 3 3
; ;
2 7 4

nên

3
1
3
<
<
.
7
2
4

9
1
3
9
3
9
= ;
= ;
=
18 7 21 4 12
2
9
9
9

3 1 3
<
<
nên < < .
18 12
21
7 2 4
;

1-

3 4
=
7 7

;

1-

3 1
=
4 4

1 1 4
3 1 3
< < nên < <
4 2 7
7 2 4

1

làm phân số trung gian :
2

;

3 1
>
4 2

nên

3 1 3
< <
7 2 4

Ví dụ 3: Hãy Tìm 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số :
a.

2
3
và
5
5

b.

1995
1995
và
1997

1996

Giải
a. Ta có :
Vậy
b. Ta có :

2
12
3
18
=
,
=
5
30
5
30
2
12
13
14
15
16
17
18
3
=
<
<

<
<
<
<
=
5
30
30
30
30
30
30
30
5
1995 x 6
1995
11970
=
=
;
1997 x 6
1997
11982

Vậy :

16

1995 x 6 11970
1995

=
=
1996 x 6 11976
1996


1995 11970 11970 11970 11970 11970 11970
11970 1995
=
<
<
<
<
<
<
=
1997 11982 11981 11980 11979 11978 11977
11976 1996
4.2.2.3 Các bài luyện tập
Bài 1. Hãy so sánh các phân số sau bằng nhiều cách:
a.

4
3
và
5
4

b.

8
6
và
9
7

Bài 2. Hãy so sánh các phân số sau bằng cách nhanh nhất:
a.

15
16
và
;
29
27

b.

1995
1996
và
;
1996
1997

c.

327
326
và

326
325

Bài 3. Xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
a.

1 9 2 4 8 5 7 3 7
; ; ; ; ; ; ; ; .
2 10 3 5 9 6 8 4 8

b.

1992 1993 1994 1995 1996
;
;
;
;
.
1991 1992 1993 1994 1995

c.

7 17 57 97
;
;
;
.
8 18 58 98

Bài 4. Xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần:

a.

5 6 7
; ; .
7 9 9

b.

7
80
750
;
.
.
10 100 1000

Bài 5. Hãy chứng tỏ các phân số sau đều bằng nhau:
a.

23 2323 232323 23232323
;
;
;
31 3131 313131 31313131

b.

1995 19951995
1234 2468
8638

;
; c.
;
;
.
1996 19961996
5678 11356 39746

Bài 6. Hãy viết 10 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số:
a.

100
101
và
101
102

b.

1996
1993
và
1995
1992

Bài 7. Hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa hai phân số :
a.

999
1001

và
1001
1003

b.

9
11
và
10
13

4.2.3 Dạng 3: Thực hành các phép tính trên phân số.
4.2.3.1. Kiến thức cần ghi nhớ :
+ Phép cộng : Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với
nhau và giữ nguyên mẫu số.
17


a
c
a+c
+
=
b
b
b
Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi cộng hai phân số
đó .

cxb
axd
a
c
+
=
+
bxc dxb
b
d

+ Phép trừ (tương tự như phép cộng)
+ Phép nhân: Muốn nhân hai phân số, ta nhân tử số với tử số, mẫu số nhân với
mẫu số
axc
a
c
x
=
bxd
b
d
+ Phép chia: Muốn chia một phân số cho một phân số, ta lấy phân số thứ nhất
nhân với phân số thứ hai đảo ngược .
axd
a
c
a d
:
= x =

bxc
b
d
b c
+ Các tính chất của phép tính trên phân số .
a. Tính chất giao hoán
a
c
c
a
+
=
+
;
b
d
d
b

a
c
c
a
x
= x
b
d
d b

b. Tính chất kết hợp:

a c
e
a c e
 +  + =
+ +  ;
f
b d f 
b d

a c  e a c e
 x x = x  x 
b d  f b d f 

c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
c e
a
a
c
a
e
x  +  =
x
+
x
b
b
d
b
f
d f 

4.2.3.2. Các ví dụ
Ví dụ 1
Tính giá trị của các biểu thức sau đây bằng cách nhanh nhất:
a.

3
7
2 16 19
1995 1990 1997 1993 997
6
+
+
+ +
+
; b.
x
x
x
x
5 11 13 5 11 13
1997 1993 1994 1995 995
18


HD : Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng , phép nhân phân số
Giải.
3
7
2 16 19
 3 2   6 16   7 19 

6
+
+
+ +
+
= +  + + + + 
5 11 13 5 11 13
 5 5   11 11   13 13 

a.

=

5
26
22
+
+
= 1 + 2 + 2= 5
5
13
11

1995 1990 1997 1993 997
x
x
x
x
1997 1993 1994 1995 995

b.

 1995   1997   1990 1993  997
x
x 
 x
x
 1997   1994   1993 1995  995

=

 1995 1990  997
x
=
x
 1994 1995  995

=

1990 997
995 x 2 x 1997
x
=
=1
1994 995
997 x 2 x 1995

c.

1988 x1996 + 1997 x11 + 1985 1988 x1996 + (1996 + 1) x11 + 1985

=
1996 x(1997 − 1995)
1997 x1996 − 1995 x1996
=

1988 x1996 + 1996 x11 + 11 + 1985 1999 x1996 + 1996
=
1996 x 2
2 x1996
=

(1999 + 1) x1996 2000 x1996
=
= 1000
2 x1996
2 x1996

Ví dụ 2
Tính nhanh.
a/

2 1 3 2
x + x
5 4 4 5

b/

6 2 5 2
: + :
11 3 11 3

Giải

a/

2
2 1 3 2 2 1 3 2
x + x = x +  = x 1 =
5
5 4 4 5 5 4 4 5

b/

2
3 3
6 2 5 2 6 5 2
: + : =  +  : = 1: = 1 x =
3
2 2
11 3 11 3  11 11  5

Ví dụ 3
 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1
Tính nhanh hiệu sau:  + + + + +  −  + + + + + 
2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8
19


 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1
 + + + + + − + + + + + 
2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8

Giải
=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 3
+ − + − + − + − + − −
= − =
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
2 8 8

Ví dụ 4: Điền dấu ( < , = , > ) vào ô trống:
1 1
−
2 3

1
;
2x3

1 1
−
2 3

1 1
+
2 4

1−

1
6

1 1
−
3 4

;

1 1 1
3
; + +
2 4 8
4

1
4

1
12
1−

1
8

=
=

1
12

1
3x4

Giải
1 1
−
2 3

=
=

1
2x3

1 1
+
2 4

= 1− 1 =
=
4 =

;

1 1
−
2 3

=

=

1
6

3 ; 1 1 1
+ +
2 4 8
4

;
=
=

1−

1 1
−
3 4

=
=

1
3x4

1
8

Ví dụ 5: Tính nhanh:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x + x + x + x + x + x + x + x
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
HD. Phân tích:
Vậy:

1 1
1
1 1
x =
= − ;
2 3 2x3 2 3

1 1
1
1 1
x =
= − …
3 4 3x4 3 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x + x + x + x + x + x + x + x
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
− + − + − + − + − + − + − + −
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

=

1 1 4 2
− = =
2 10 10 5

Ví dụ 6: Tính nhanh tổng sau:
1 1 1 1 1 1
+ + + + +
2 4 8 16 32 64
HD: Dựa vào ví dụ 3 để phân tích và giải

20


Ta thấy:

1
1
1 1 3
1
= 1−
+ = = 1−
;
;
2
2
2 4 4
4

1 1 1 7
1
+ + = = 1 − ...
2 4 8 8
8

Từ các kết quả trên suy ra
1 1 1 1 1 1
1 63
+ + + + + = 1− =
2 4 8 16 32 64
64 64
4.2.3.3. Các bài luyện tập.
Bài 1: Tính nhanh
a/

1 2 3
7 8 9
+ + + ... + +
48 48 48
48 48 48

c/

1 4 7 10 13 16 19
+ + + + + +
70 70 70 70 70 70 70

b/

1
3
5
7
9
+
+
+
+
100 100 100 100 100

Bài 2. Tính nhanh.
a/

2 3 3 2
: x : + 1999 =
5 7 7 5

b/

1 2 5 5
x : x =
2 3 6 6

c/

2 4 5 7
: : : =
3 5 6 8

Bài 3. Tính bằng cách thuận tiện nhất.
a/

5 1 1 2
x + x
7 4 4 7

b/

18 2 2 7
x − x
11 3 3 11

Bài 4. Tính nhanh các dãy tính sau:
a/

1
1
1
1
1
+
+
+
+
2 X 3 3X 4 4 X 5 5X 6 6 X 7

b/

1 1 1 1 1

1
1
+ + + + +
+
30 42 56 72 90 110 132

Gợi ý: phân tích các mẫu số thành tích 2 số tự nhiên liền nhau:
Chẳng hạn: 30 = 5 x 6; 42 = 6 x 7; 56 = 7 x 8…
c/

2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
1 x 3 3 x 5 5 x 7 7 x 9 9 x 11 11x 13 13 x 15

Gợi ý:

2
1
= 1−

1x 3
3

;

2
1 1
= −
3x5 3 5
21


4.2.4 Dạng 4: Các bài toán điển hình về phân số:
Với các bài toán điển hình về phân số, tôi hướng dẫn học sinh cách giải
các bài toán từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó.
4.2.4.1. Các bài toán cơ bản
Bài toán 1. Lớp 4A có 16 học sinh nam và số học sinh nữ bằng

9
số học sinh
8

nam.
Hỏi lớp 4A có bao nhiêu học sinh nữ ?
Ở dạng bài toán này học sinh rất hay nhầm với dạng toán tìm hai số khi
biết tổng và tỉ số của hai số đó. Vì vậy giáo viên cần giúp các em phân tích đề
bài để nắm được bài toán cho biết số học sinh nam là 16 em và 16 em đó sẽ ứng
với 8 phần bằng nhau, còn số học nữ thì ứng với 9 phần bằng nhau phải đi tìm.
Chứ 16 em không phải là tổng số học sinh nam và nữ. Khi hướng dẫn các em
tìm hiểu kĩ đề bài rồi thì chúng ta sẽ hướng dẫn học sinh trình bày bài giải.

Bài giải :

Số học sinh nữ của lớp 4A là:
16 x

9
= 18 (học sinh)
8

Đáp số: 18 học sinh
Bài toán 2. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài là 120m.Chiều rộng
bằng

3
chiều dài.
4

a.Tính chu vi thửa ruộng
b.Tính diện tích thửa ruộng đó
c.Biết rằng cứ 50m2 thì thu hoạch được 60 kg thóc. Hỏi cả thửa ruộng thì
thu hoạch được bao nhiêu kg thóc?
Bài giải
Chiều rộng của thửa ruộng là: 120 x
Chu vi thửa ruộng là:

3
= 90 (m)
4

(120 + 90 ) x 2= 420 (m)

Diện tích của thửa ruộng là :

120 x 90 = 10800 (m2)

22


10800m2 gấp 50m2 số lần là : 10800 : 50 = 216 (lần)
Cả thửa ruộng thu hoạch được số thóc là:
216 x 60 = 12960 (kg)
Đáp số : 12960 (kg)
Bài toán 2. Một mảnh đất hình thang có đáy bé là 150m, đáy lớn bằng
bé, chiều cao bằng

5
đáy
3

2
đáy lớn. Hỏi diện tích mảnh đất bằng bao nhiêu mét
5

vuông, bao nhiêu héc - ta?
Bài giải
Độï dài đáy lớn của mảnh đất hình thang là:
150 x

5
= 250 (m)

3

Chiều cao của mảnh đất hình thang là:
250 x

2
= 100 (m)
5

Diện tích mảnh đất hình thang là:
(150 + 250) x 100 : 2 = 20 000 (m2)
20 000 m2

= 2 ha

Đáp số: 20 000 m2 ; 2 ha
Bài toán 3. Một vòi nước vòi thứ nhất chảy được
được

1
bể, giờ thứ hai chảy tiếp
4

2
3
bể. Hỏi nếu đã dùng hết số nước đó thì số nước còn lại được mấy
3
4

phần bể ?

Hướng dẫn giải.
- Tìm số nước sau 2 giờ chảy vào bể.
- Tìm phân số chỉ số nước đã dùng hết .
- Tìm số nước còn lại chiếm bao nhiêu phần bể.
Giải
Sau 2 giờ vòi nước chảy được số phần bể là :

23


1 2 11
+ =
(bể )
4 3 12

Phân số chỉ số nước đã dùng là :
11 3 11
x = ( bể )
12 4 16

Số nước còn lại chiếm số phần bể là :
11 11 11
−
=
( bể )
12 16 48

Đáp số :

11

18

bể

4.2.4.2. Các bài toán phức tạp hơn.
Vídụ 1: Trung bình cộng của 3 phân số =

13
. Trung bình cộng của phân số thứ
36

5
7
, của phân số thứ hai và phân số thứ ba là
.
12
24

nhất và phân số thứ hai là
Tìm 3 phân số đó.

H/dẫn giải: Vận dụng kiến thức về số trung bình cộng để giải.
Tổng của 3 phân số là

13
39 13
x3 = =
36
36 12

Tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai là:
Phân số thứ 3 là:

5
10
x 2=
12
12

13 12 1
− =
12 12 4

Tổng của phân số thứ hai và phân số thứ ba là:
Phân số thứ nhất là:
Phân số thứ hai là:

13 7 1
− =
12 12 2

7 3 1
− =
12 12 3
Đáp số:

1
1 1
, và
2 3

4

24

7
70
x 2=
22
12


Vídụ 2: Một người bán cam, lần thứ nhất người đó bán

bán

1
số cam. Lần thứ hai
3

2
số cam thì còn lại 12 quả. Hỏi người đó đem bán bao nhiêu quả cam?
5
H/dẫn giải:
1 2 11
Cả hai lần người đó bán số phần cam là: + =
(số cam)
3 5 15
12 quả cam ứng với số phần cam là: 1 −
Người đó đem bán số quả cam là: 12 :

11 4
=
(số cam)
15 15

4
= 45 (quả cam)
15

Đáp số: 45 quả cam.
Vídụ 3: Người công nhân thứ nhất sửa xong một đoạn đường trong 4 giờ. Người
công nhân thứ hai có thể sửa xong đoạn đường đó trong 6 giờ. Nếu hai công
nhân cùng làm thì đoạn đường được sửa xong trong bao lâu?
H/dẫn giải:
- Tìm số phần đường sửa được của mỗi người trong 1 giờ
- Cả hai người sửa trong một giờ được bao nhiêu phần đường?
- Tìm thời gian để hai người sửa xong đoạn đường.
Giải
Trong một giờ, công nhân thứ nhất sửa được là: 1: 4 =

1
(đoạn đường).
4

Trong một giờ , công nhân thứ hai sửa được là : 1: 6 =

1
(đoạn đường).
6

1 1 5
Trong một giờ , cả hai công nhân sửa được là: + =
(đoạn đường).
4 6 12
Thời gian để hai công nhân cùng sửa xong là: 1:

5 12
=
( giê )
12 5

12
giờ = 2 giờ 24 phút
5
Đáp số: 2 giờ 24 phút.
25