Âp dụng quy tắc đếm để giải bài toán tính tổng trong đại số tổ hợp

Mục lục

Mục
Trang

1.
2.
3

2.1

Phần mở đầu

2

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

Ap dụng quy tắc đếm chứng minh
công thức Van- Đec- Mon

3

2.2

2.3

Ap dụng quy tắc đếm để tính tổng
3

Kết hợp cấp số cộng và công thức Van-Đec-Mon
để tính tổng

2.4

Các bài tập đề nghị

3.

Kết luận

1

14

15

16


4.

1.

Tµi liÖu tham kh¶o

18

MỞ ĐẦU
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình Đại số và giải tích lớp 11 Đại số tổ hợp là phần kiến thức

cơ sở hết sức quan trọng . Phần này không những có tác dụng rèn luyện tư duy
trừu tượng cho học sinh mà còn là kiến thức cơ sở cho việc hình thành phẩm
chất tư duy trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật và kinh tế sau này.
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: Học sinh gặp nhiều khó khăn, chưa chủ
động và thiếu tự tin trong quá trình học Đại số tổ hợp. Đặc biệt học sinh gặp
khó khăn nhất khi gặp những bài toán tính tổng. Loại toán này lại thường xuất
hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi và thi đại học. Để giúp học sinh chủ
động và tự tin hơn trong quá trình học và làm bài tâp về dạng toán này, tôi xin
đề xuất một phương pháp tính tổng thông qua bài viết : “Áp dụng quy tắc đếm
để giải bài toán tính tổng trong đại số tổ hợp ”.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nhằm giúp học sinh chủ động tự tin hơn trong khi giải bài toán tính tổng trong
các kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi các cấp.
Đây là phần kiến thức khó trong khi học sinh kỹ năng tư duy logic chưa tốt,
nên cần phải có một phương pháp tính tổng để chuyển một bài toán khó thành
một bài toán quen biết và dễ hơn. Và thông qua phương pháp này học sinh có
thể tự ra đề toán và giải bài toán đó một cách chủ động.
ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11qua các khóa trực tiếp
giảng dạy.

2


Thông qua việc tìm mối quan hệ giữa một tổng cần tính với một bài toán Đếm
và giải bài toán đó bằng hai cách mà trong đó có một cách làm xuất hiện tổng
cần tính.
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu là xây dựng cơ sở lý thuyết, thống kê, tổng hợp ,khái
quát hóa và đưa ra bài toán tổng quát.

2.
2.1

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NHIỆM
ÁP DỤNG QUY TẮC ĐẾM ĐỂ
CHỨNG MINH CÔNG THỨC VAN-ĐEC-MON

Bài toán : Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn k học
sinh vào đội cờ đỏ (k ≤ n; k ≤ m)
Giải bài toán này bằng hai cách.
Cách 1:

Ta có C mk + n cách chọn

Cách 2:
TH1 : Chọn 0 bạn nam và k ban nữ ta có Cn0Cmk

cách chọn

TH2 : Chọn 1 bạn nam và k-1 ban nữ ta có C n1 C mk −1 cách chọn
TH3: Chọn 2 bạn nam và k-2 ban nữ ta có C n2 C mk −2 cách chọn
………………………………………………..
THk: Chọn k bạn nam và 0 ban nữ ta có C nk C m0 cách chọn
0
k
1
k −1
2
k −2

k
0
Theo quy tắc cộng ta có C n C m + C n C m + C n C m + ... + C n C m cách chọn

Từ hai cách giải trên ta có công thức Van Đéc Mon sau

3


Cn0Cmk + Cn1C mk −1 + Cn2 Cmk −2 + ... + C nk Cm0 = Cmk +n

Áp dụng công thức Van- Đec-Mon cho trường hợp n = m = k ta có:

(C ) + (C ) + (C )
0 2
n

2.2

1 2
n

2 2
n

( )

+ ... C nn

2

= C 2nn

ÁP DỤNG QUY TẮC ĐẾM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN
TÍNH TỔNG

Tính tổng sau
S1 = Cn1Cmk −1 + 2Cn2Cmk −2 + 3Cn3Cmk −3 + ... + kCnk Cm0

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 1: Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn k học
sinh vào đội cờ đỏ (k ≤ n; k ≤ m) sao cho trong đó có một bạn nam làm đội
trưởng
Cách 1:

Ta có nC mk −+1n−1 cách chọn

Cách 2:
TH1 : Chọn 1 bạn nam và có 1 cách chọn 1 nam để làm tổ trưởng và k-1 ban nữ
ta có C n1 C mk −1 cách chọn

TH2: Chọn 2 bạn nam và có 2 cách chọn 1 trong 2 nam để làm tổ trưởng và k-2
ban nữ ta có 2C n2 C mk −2 cách chọn
………………………………………………..
THk-1: Chọn k bạn nam và có k cách chọn 1 trong k nam để làm tổ trưởng và 0
ban nữ ta có kC nk C m0 cách chọn
1
k −1
2
k −2

k
0
Theo quy tắc cộng ta có Cn C m + 2C n Cm + ... + kCn C m cách chọn

Từ hai cách giải trên ta có S1 = nC mk −+1n−1
Tính tổng sau
4


S 2 = Cii C ni Cmk −i + Cii+1C ni +1C mk −i −1 + Cii+2Cni +2Cmk −i −2 + ... + Cki C nk Cm0 ; (i ≤ k )

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách
Bài toán 2 : Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn k học
sinh vào đội cờ đỏ (k ≤ n; k ≤ m) sao cho trong đó có i bạn nam làm quản lý.
(i ≤ k )

Cách 1:

Ta có C ni C mk −+in−i cách chọn

Cách 2:
TH1 : Chọn i bạn nam và có Cii cách chọn i nam để làm quản lý và k-i bạn nữ
trong m bạn nữ , vậy ta có Cii C ni C mk −i cách chọn
TH2: Chọn i+1 bạn nam và có Cii+1 cách chọn i nam để làm quản lý và k-i-1
bạn nữ trong m bạn nữ , vậy ta có Cii+1C ni +1C mk −i −1 cách chọn
………………………………………………..
THk-i-1: Chọn k bạn nam và có C ki cách chọn i nam để làm quản lý vậy ta có
C ki C nk C m0 cách chọn

Theo quy tắc cộng ta có

Cii Cni Cmk −i + Cii+1C ni +1C mk −i −1 + Cii+2Cni +2Cmk −i −2 + ... + Cki C nk Cm0 ; (i ≤ k ) cách
chọn
Từ hai cách giải trên ta có S 2 = C ni C mk −+in −i
Tính tổng sau
S 3 = Cii C kj−i C ni C mk −i + Cii+1C kj−i −1C ni +1C mk −i −1 + Cii+2 Ckj−i −2 C ni C mk −i −2 + ... + Cki − j C jj C nk − j C mj ; (i + j ≤ k )

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách
Bài toán 3: Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn k học
sinh vào đội cờ đỏ (k ≤ n; k ≤ m) sao cho trong đó có i bạn nam và j bạn nữ
làm quản lý. (i + j ≤ k )
Cách 1:

i
j
k −i − j
Ta có C n C m C m+n−i − j cách chọn

5


Cách 2:
i
i
TH1: Có Cn cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có Ci cách chọn i bạn
k −i

nam làm nhiệm vụ quản lý và có Cm

cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có

Ckj−i cách chọn j bạn nữ làm nhiệm
i +1

TH2: Có Cn

i
cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có Ci +1 cách chọn i
k −i −1

bạn nam làm nhiệm vụ quản lý và có Cm

cách chọn ban nữ trong m bạn nữ

j
và có Ck −i −1 cách chọn j bạn nữ làm nhiệm vụ quản lý Vậy ta có

Cii+1Ckj−i −1Cni +1Cmk −i −1 cách chọn

………………………………………………..
k− j

TH k-i-j+1: Có Cn

i
cách chọn k-j bạn nam trong n bạn nam và có Ck − j
j

cách chọn i bạn nam làm nhiệm vụ quản lý và có Cm cách chọn ban nữ trong m
j
bạn nữ và có C j cách chọn j bạn nữ làm nhiệm vụ quản lý Vậy ta có

Cki − j C jj Cnk − j Cmj cách chọn

Theo quy tắc cộng ta có
Cii C kj−i C ni Cmk −i + Cii+1C kj−i −1C ni +1C mk −i −1 + Cii+2 C kj−i −2 C ni C mk −i −2 + ... + C ki − j C jj C nk − j Cmj ; (i + j ≤ k )
cách chọn
i
j
k −i − j
Từ hai cách giải trên ta có: S 3 = C n C m C m + n −i − j

Tính tổng sau
S 4 = A22Cn2Cmk −2 + A32 Cn3Cmk −3 + ... + Ak2Cnk Cm0

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 4: Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn k học
sinh vào đội cờ đỏ (k ≤ n; k ≤ m) sao cho trong đó có một bạn nam làm đội
trưởng và có một bạn nam làm đội phó.
Cách 1:

2
k −2
Ta có An Cm+n−2 cách chọn

6


Cách 2:
2

TH1: Có Cn cách chọn 2 bạn nam trong n bạn nam và có A22 cách chọn một
k −2
nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có Cm cách chọn ban nữ

vậy ta có A22 C n2 C mk −2 cách chọn
3
2
TH2: Có Cn cách chọn 3 bạn nam trong n bạn nam và có A3 cách chọn một
k −3
nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có Cm cách chọn ban nữ

vậy ta có A32 C n3C mk −3 cách chọn
………………………………………………..
k
2
TH k-1: Có Cn cách chọn k bạn nam trong n bạn nam và có Ak cách chọn một

nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó vậy ta có Ak2 C nk C m0 cách chọn
2
2
k −2
2
3
k −3
2
k
0
Theo quy tắc cộng ta có A2 C n C m + A3 C n C m + ... + Ak C n C m cách chọn

2

k −2
Từ hai cách giải trên ta có : S 4 = An C m +n −2

Tính tổng sau
S 5 = Aii Cni Cmk −i + Aii+1Cni +1Cmk −i −1 + Aii+2Cni +2Cmk −i −2 + ... + Aki Cnk Cm0
Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 5: Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học
sinh vào đội cờ đỏ (k ≤ n; k ≤ m) sao cho trong đó có i bạn nam mỗi bạn nhận
một nhiệm vụ trong i nhiệm vụ khác nhau quản lý đội (i ≤k )
Cách 1:

i
k −i
Ta có An Cm+n−i cách chọn

Cách 2:
i
i
TH1: Có Cn cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có Ai cách chọn mỗi

bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau và có

Cmk −i cách chọn ban nữ trong m bạn nữ
Vậy ta có Aii C ni C mk −i
7


i +1

TH2: Có Cn

i
cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có Ai +1 cách chọn

mỗi bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau
k −i −1

và có Cm

cách chọn ban nữ trong m bạn nữ vậy ta có Aii+1C ni +1C mk −i −1 cách chọn

………………………………………………..
k
i
TH k-j+1: Có Cn cách chọn k bạn nam trong n bạn nam và có Ak cách chọn

mỗi bạn nam để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau
0
và có Cm cách chọn ban nữ trong m bạn nữ vậy ta có Aki C nk C m0 cách chọn

Theo quy tắc cộng ta có
Aii Cni Cmk −i + Aii+1Cni +1Cmk −i −1 + Aii+2Cni +2C mk −i −2 + ... + Aki Cnk Cm0 cách chọn
i
k −i
Từ hai cách giải trên ta có : S 5 = An Cm+n−i

Tính tổng sau
S 6 = Aii Akj−i C ni C mk −i + Aii+1 Akj−i −1C ni +1C mk −i −1 + Aii+2 Akj−i −2 Cni +2 Cmk −i −2 + ... + Aki − j A jj C nk − j Cmj

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:

Bài toán 6: Một lớp học có n nam và m nữ. Có bao nhiêu cách chọn k học
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam, mỗi bạn nam nhận một
nhiệm vụ trong i nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nam và có j bạn
nữ , mỗi bạn nữ nhận một nhiệm vụ trong j nhiệm vụ khác nhau để quản
lý các bạn nữ (i + j ≤k ; k ≤n; k ≤m)
i
j
k −i − j
Ta có An An C m +n −i − j cách chọn

Cách 1:
Cách 2:

i
i
TH1: Có Cn cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có Ai cách chọn mỗi

bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau quản lý các
k −i

bạn nam và có Cm

j
cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có Ak −i cách chọn

mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau quản lý
các bạn nữ .Vậy ta có Aii Akj−i C ni C mk −i

8

i +1

TH2: : Có Cn

i
cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có Ai +1 cách chọn

mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau quản lý
k −i −1

các bạn nam và có Cm

j
cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có Ak −i −1 cách

chọn mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau
quản lý các bạn nữ .Vậy ta có Aii+1 Akj−i −1C ni C mk −i −1 cách chọn
………………………………………………..
k− j

TH k-i-j+1: Có Cn

i
cách chọn k-j bạn nam trong n bạn nam và có Ak − j

cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác
j

nhau để quản lý các bạn nam và có Cm cách chọn ban nữ trong m bạn nữ và có

A jj cách chọn mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác
i
j
k− j
j
nhau để quản lý các bạn nữ .Vậy ta có Ak − j A j C n C m cách chọn

Theo quy tắc cộng ta có
Aii Akj−i Cni Cmk −i + Aii+1 Akj−i −1Cni +1Cmk −i −1 + Aii+2 Akj−i −2Cni +2C mk −i −2 + ... + Aki − j A jj Cnk − j Cmj

cách chọn
i
j
k −i − j
Từ hai cách giải trên ta có : S 6 = An AmCm+n−i − j

Tính tổng sau:

( )

S 7 = C n1

2

( )

+ 2 C n2

2

( )

+ ... + n C nn

2

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 7: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có 1 bạn nam làm đội trưởng
Cách 1: Ta có

nC 2nn−−11 cách chọn

Cách 2:
TH 1 : Chọn 1 bạn nam và có 1 cách chọn 1 nam để làm tổ trưởng và Cnn −1 cách
chọn n-1 ban nữ, vậy ta có C n1 C nn −1 = ( C n1 ) cách chọn
2

TH 2: Chọn 2 bạn nam và có 2 cách chọn 1 trong 2 nam để làm tổ trưởng và có

( )

2

Cnn −1 cách chọn k-2 ban nữ , vậy ta có 2C n2 C nn −2 = 2 C n2 cách chọn

9

………………………………………………..
TH n: Chọn n bạn nam và có n cách chọn 1 trong n nam để làm tổ trưởng và 0
ban nữ ta có nC nn C n0 = n( C nn ) cách chọn
2

Theo quy tắc cộng ta có ( C n1 ) + 2( C n2 ) + ... + n( C nn ) cách chọn
2

2

2

Từ hai cách giải trên ta có: S 7 = nC 2nn−−11
Tính tổng sau

( )

S 8 = C kk C nk

2

(

+ C kk+1 C nk +1

)

2

( )

+ ... + C nk C nn

2

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 8: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có k bạn nam làm nhiệm vụ quản lý
đội. (k ≤n)
Cách 1: Ta có

C nk C 2nn−−kk cách chọn

Cách 2:
TH 1 : Chọn k bạn nam và có C kk cách chọn k nam để làm quản lý và C nn −k cách
chọn n-k ban nữ, vậy ta có C kk C nk C nn −k = C kk ( C nk ) cách chọn
2

TH 2: Chọn k+1 bạn nam và có C kk+1 cách chọn k nam để làm quản lý và C nn −k −1
cách chọn n-k-1 ban nữ, vậy ta có C kk+1C nk +1C nn −k −1 = C kk+1 ( C nk +1 ) cách chọn
2

………………………………………………..
TH n-k+1: Chọn n bạn nam và có C nk cách chọn k trong n nam để làm quản lý
và 0 ban nữ ta có C nk C nn C n0 = C nk ( C nn ) cách chọn
2

Theo quy tắc cộng ta có C kk ( C nk ) + C kk+1 ( C nk +1 ) + ... + C nk ( C nn ) cách chọn
2

2

2

Từ hai cách giải trên ta có: S 8 = C nk C 2nn−−kk
Tính tổng sau

( )

S 9 = C ii C nj−i C ni

2

(

+ C ii+1C nj−i −1 C ni +1

)

2

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:

10

(

+ ... + C ni − j C jj C nn − j

)

2


Bài toán 9: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam và j bạn nữ làm nhiệm vụ
quản lý đội. (i +j ≤n)
Cách 1:

C ni C nJ C 2nn−−i −i −j j cách chọn

Ta có

Cách 2:
TH 1 : Chọn i bạn nam và có Cii cách chọn i nam để làm quản lý và C nn−i cách
chọn n-i ban nữ và có C nj−i cách chọn j nữ để làm quản lý vậy ta có

( )

C ii C nj−i C ni C nn −i = C ni − j C jj C ni

2

cách chọn

TH 2 : Chọn i+1bạn nam và có Cii+1 cách chọn i nam để làm quản lý và C nn−i −1
cách chọn n-i-1 ban nữ và có C nj−i −1 cách chọn j nữ để làm quản lý vậy ta có

(

C ii+1C nj−i −1C ni +1C nn −i −1 = C ii+1C nj−i −1 C ni +1

)

2

cách chọn

………………………………………………..
i

TH n-k-j +1: Chọn n-j bạn nam và có C n− j cách chọn i nam để làm quản lý và có
C nj cách chọn j ban nữ và có C jj cách chọn j nữ để làm quản lý vậy ta có

(

C ni − j C jj C nn − j C nj = C ni − j C jj C nn − j

)

2

cách chọn

Theo quy tắc cộng ta có C ni − j C jj ( C ni ) + Cii+1C nj−i −1 ( C ni +1 ) + ... + C ni − j C jj ( C nn − j )
2

2

2

cách

chọn
i
J
n −i − j
Từ hai cách giải trên ta có: S 9 = C n C n C 2 n−i − j

Tính tổng sau

( )

S10 = A22 C n2

2

( )

+ A32 C n3

2

( )

+ ... + An2 C nn

2

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:

Bài toán 10: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có một bạn nam làm đội trưởng và có
một bạn nam làm đội phó.
Cách 1:

2
n −2
Ta có An C 2 n−2 cách chọn

11


Cách 2:
2

TH1: Có Cn cách chọn 2 bạn nam trong n bạn nam và có A22 cách chọn một
n −2
nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có Cn cách chọn ban nữ

vậy ta có A22 ( C n2 ) cách chọn
2

3
2
TH2: Có Cn cách chọn 3 bạn nam trong n bạn nam và có A3 cách chọn một
n −3
nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có Cn cách chọn ban nữ

vậy ta có A32 ( C n3 ) cách chọn
2

………………………………………………..
n
2
TH k-1: Có Cn cách chọn n bạn nam trong n bạn nam và có An cách chọn một
0
nam để làm tổ trưởng và một nam để làm tổ phó và có Cn cách chọn ban nữ

vậy ta có An2 ( C nn ) cách chọn
2

Theo quy tắc cộng ta có A22 ( C n2 ) + A32 ( C n3 ) + ... + An2 ( C nn ) cách chọn
2

2

2

2
n−2
Từ hai cách giải trên ta có : S10 = An C2 n−2

Tính tổng sau

( )

S11 = Aii C ni

2

(

+ Aii+1 C ni +1

)

2

( )

+ ... + Ani C nn

2

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 11: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam mỗi bạn nhận một nhiệm
vụ trong i nhiệm vụ khác nhau quản lý đội (i ≤n)
Cách 1:

i
n −i
Ta có An C2 n−i cách chọn

Cách 2:

12


i

i

TH1: Có Cn cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có Ai cách chọn mỗi bạn
nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau và có

Cnn−i cách chọn ban nữ trong n bạn nữ
Vậy ta có Aii ( C ni ) cách chọn
2

i +1

TH1: Có Cn

i
cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có Ai +1 cách chọn

mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau
n −i −1

và có Cn

cách chọn ban nữ trong n bạn nữ .Vậy ta có Aii+1 ( C ni +1 ) cách chọn
2

……………………………………………..
n
i
TH n-i+1: Có Cn cách chọn n bạn nam trong n bạn nam và có An cách chọn

mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ quản lý khác nhau
và có Cn cách chọn ban nữ trong n bạn nữ .Vậy ta có Ani ( C nn ) cách chọn
0

2

Theo quy tắc cộng ta có Aii ( C ni ) + Aii+1 ( C ni +1 ) + ... + Ani ( C nn ) cách chọn
2

2

2

i
n−i
Từ hai cách giải trên ta có : S11 = An C2 n−i

Tính tổng sau

( )

S12 = Aii Anj−i C ni

2

(

+ Aii+1 Anj−i −1 C ni +1

)

2

(

+ ... + Ani − j A jj C nn − j

)

2

Ta tính tổng trên thông qua giải bài toán sau bằng 2 cách:
Bài toán 12: Một lớp học có n nam và n nữ. Có bao nhiêu cách chọn n học
sinh vào đội cờ đỏ sao cho trong đó có i bạn nam, mỗi bạn nam nhận một
nhiệm vụ trong i nhiệm vụ khác nhau để quản lý các bạn nam và có j bạn
nữ , mỗi bạn nữ nhận một nhiệm vụ trong j nhiệm vụ khác nhau để quản
lý các bạn nữ (i + j ≤ n)
Cách 1:

i
j
n −i − j
Ta có An An C 2 n−i − j cách chọn

Cách 2:

13


i

i
TH1: Có Cn cách chọn i bạn nam trong n bạn nam và có Ai cách chọn mỗi

bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau để quản lý
n −i

j
cách chọn ban nữ trong n bạn nữ và có An−i cách chọn

các bạn nam và có Cn

mỗi bạn nữ để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau để quản lý
các bạn nữ .Vậy ta có Aii Anj−i ( C ni )
i +1

TH2: : Có Cn

2

i
cách chọn i+1 bạn nam trong n bạn nam và có Ai +1 cách chọn

mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác nhau để quản
n −i −1

lý các bạn nam và có Cn

j
cách chọn ban nữ trong n bạn nữ và có An−i −1

cách chọn mỗi bạn nữ để làm 1 nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác nhau
để quản lý các bạn nữ .Vậy ta có Aii+1 Anj−i −1 ( C ni +1 ) cách chọn
2

………………………………………………..
n− j

i
cách chọn n-j bạn nam trong n bạn nam và có An− j

TH k-i-j+1: Có Cn

cách chọn mỗi bạn nam để làm một nhiệm vụ quản lý trong i nhiệm vụ khác
j

nhau để quản lý các bạn nam và có Cn cách chọn j ban nữ trong n bạn nữ và có

A jj cách chọn mỗi bạn nữ để làm một nhiệm vụ quản lý trong j nhiệm vụ khác
nhau để quản lý các bạn nữ .Vậy ta có Ani − j A jj ( C nn− j ) cách chọn
2

Theo quy tắc cộng ta có Aii Anj−i ( C ni ) + Aii+1 Anj−i −1 ( C ni +1 ) + ... + Ani − j A jj ( C nn − j ) cách
2

2

2

chọn
i

j
n −i − j
Từ hai cách giải trên ta có : S12 = An An C2 n−i − j

2.3

KẾT HỢP CẤP SỐ CỘNG VỚI CÔNG THỨC
VAN- ĐEC- MON ĐỂ TÍNH TỔNG

Tính tổng sau

( )

S13 = 2 C n0

2

( )

− 3 C n1

2

( )

− 8 C n2

2

( )

− 13 C n3

2

( )

− ... + (2 − 5n) C nn

2

Giải: Nhận thấy 2; -3; -8; -13;...;2-5n là một cấp số cộng với công sai là d = -5
Ta có

( )

S13 = 2 C n0

2

( )

− 3 C n1

( )

2

− 8 C n2
14

2

( )

− ... + (2 − 5n) C nn

2


( )

S13 = (2 − 5n) C nn

(

2

+ (7 − 5n) C nn −1

)

(

2

+ (12 − 5n) C nn −2

)

2

( )

− ... + 2 C nn

2

k
n−k
Cộng vế hai đẳng thức trên và để ý rằng C n = C n ta có

( )

2 S13 = (4 − 5n) C n0

2

((

⇔ 2 S13 = ( 4 − 5n ) C n0

(

+ (4 − 5n) C nn −1

)

(

2

+ ( 4 − 5n) C nn − 2

) + (C ) + (C )
2

n −1 2
n

n−2 2
n

⇔ 2 S13 = ( 4 − 5n ) C 2nn Vậy S13 =

( )

− ... + C nn

)

2

( )

2

− ... + (4 − 5n) C nn

2

)

1
( 4 − 5n ) C 2nn
2

Tính tổng sau

( )

S14 = U 1 C n0

2

( )

+ U 2 C n1

2

( )

+ U 3 C n2

2

( )

+ ... + U n +1 C nn

2

Trong đó : U1 ; U 2 ;…; U n ; U n +1 là một cấp số cộng công sai là d ≠ 0
Giải:
Ta có

( )

S14 = U 1 C n0

2

( )

S14 = U n +1 C nn

( )

+ U 2 C n1
2

( )

2

+ U 3 C n2

(

+ U n C nn −1

)

2

(

( )

2

+ U n −1 C nn − 2

+ ... + U n +1 C nn

)

2

( )

+ ... + U 1 C n1

2

2

k
n−k

Cộng vế hai đẳng thức trên và để ý rằng C n = C n và

U 1 + U n +1 = U 2 + U n = U 3 + U n −1 =…= U n +1 + U 1

( )

2 S14 = (U 1 + U n +1 ) C n0

2

(

+ (U 2 + U n ) C nn −1

⇔ 2 S14 = (U 1 + U n +1 )C 2nn Vậy S14 =

2.4

)

2

ta có

(

+ (U 3 + U n −1 ) C nn − 2

)

2

( )

+ ... + (U n +1 + U 1 ) C nn

2

1
(U 1 + U n +1 )C 2nn .
2

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Tính các tổng sau:
1
2013
2
2012
3
2011
2014
0
S1 = C 2015
C2016
+ 2C2015
C2016
+ 3C2015
C 2016
+ ... + 2014C2015

C2016
10 10
2000
10 11
1999
10 12
1998
10
2010
0
S 2 = C10
C2015C2016
+ C11
C2015C2016
+ C12
C2015C2016
+ ... + C2010
C2015
C2016
10 20
10
2000
20
10 20
10
1998
10
20 1990 20
S 3 = C10
C 2000 C 2015

C 2016
+ C1110 C1999
C n11C m1999 + C12
C1998C 2015
C 2016
+ ... + C1990
C 20
C 2015 C 2016

15


2
1998
3
1997
2
2000
0
S 4 = A22C2015
C2016
+ A32C2015
C2016
+ ... + A2000
C2015
C2016
10 10
1990
10 11
1989

10 12
1988
10
2000
0
S 5 = A10
C 2015C2016
+ A11
C 2015C2016
+ A12
C2015C2016
+ ... + A2000
C2015
C2016
10
20
10
1990
10
20
11
1989
10
20 1980
20
S 6 = A10
A1990
C2015
C2016
+ A11

A1989
C 2015
C2016
+ ... + A1980
A20
C2015 C 2016

(

1
S 7 = C 2016

)

2

(

(

)

10
S 8 = C1010 C 2016

2

(

)

(

)

10
S11 = A1010 C 2016

2

2

)

2

11
+ A1110 C 2016

)

(

( )

S14 = 5 C n1

( )

− 5 C n1

2

2

2

12
+ C1210 C 2016

2

2

2

2

2

10
2016
+ ... + A2016
C 2016

)

(

( )

− 17 C n3

( )

+ 15 C n3

2

2

)

2

(

)

2

(

)

2

10
1996
+ ... + C1996
C 2020 C 2016

2

2

2

(

)

)

)

10
2016
+ ... + C 2016
C 2016

(

(

( )

)

)

2

2016
+ ... + A2016
C 2016

20
i +1
+ A1110 A2005
C 2016

− 11 C n2

( )

+ 10 C n2

(

2016
+ ... + 2016 C 2016

(

2

)

)

2

20
11
+ C1110 C 2005
C 2016

(

(

2

)

)

(

2

3
+ A32 C 2016

20
10
S12 = A1010 A2006
C 2016

( )

(

3
+ 3 C 2016

(

(

2
S10 = A22 C 2016

2

11
+ C1110 C 2016

20
10
S 9 = C1010 C 2006
C 2016

S13 = C n0

)

2
+ 2 C 2016

2

10
1996
+ ... + A1996
A2020 C 2016

( )

− ... + (7 − 6n) C nn

( )

+ ... + (5n − 5) C nn

2

2

-------------------------------------------------------------------------------------

3.

KẾT LUẬN

3.1 Kết quả thực nghiệm
3.1.1 Kết quả kiểm tra
Lớp

Sỹ số

Điểm TB

SL

%

Điểm Khá

Điểm giỏi

Đạt yêu cầu

SL

SL

SL

%
16

%

%


11B3

44

18

41

14

32

8

18

40

90

11B7

42

20

48

12

29

5

12

37

88

11B10

45

24

53

10

22

4

8

38

84

3.1.2 Kt qu chung
Qua thực tế giảng dạy ở các lớp 11B3 - 11B7 - 11B10 của trờng THPT Hàm Rồng, khi áp dụng đề tài này tôi thấy học sinh
chủ động chuyển Lạ thành Quen và giải quyết một mảng
bài tập lớn về tính tổng một cách chủ động, tự tin và hứng thú
học tập phần toán tính tổng.Đặc biệt từ phơng pháp này học
sinh còn có thể tự ra những bài toán tính tổng lý thú và đa

dạng.
3.2 Bi hc kinh nghim
T thc t ỏp dng ti ny vo ging dy, mt kinh nghim c rỳt ra l
trc ht hc sinh phi nm vng cỏc quy tc m v cỏc khỏi nim trong i s
t hp cú th t ra mt bi toỏn m cú liờn quan n tng cn tỡm. Rốn
luyn k nng gii mt bi toỏn m bng nhiu cỏch khỏc nhau.
3.3 kt lun
3.3.1 u im
Trong phạm vi của bài viết này đã khẳng định đợc vai trò
quan trọng của quy tắc đếm trong việc tính tổng. Bằng phơng pháp này cho phép chúng ta thay thế việc tính một
tổng Phức tạp thành việc giải một bài toán Quen
Qua thực tế giảng dạy ở các lớp 11B3 - 11B7 - 11B10 của trờng THPT Hàm Rồng, khi áp dụng đề tài này tôi thấy học sinh
chủ động chuyển Lạ thành Quen và giải quyết một mảng
bài tập lớn về tính tổng một cách chủ động, tự tin và hứng thú
học tập phần toán tính tổng.Đặc biệt từ phơng pháp này học

17


sinh còn có thể tự ra những bài toán tính tổng lý thú và đa
dạng.
3.3.2 Hn ch
Phm vi ỏp dng phng phỏp cũn hp mi dng li mt s tng cú tớnh
cht c bit.
3.3.3 Hng phỏt trin ti
Kt hp quy tc m vi cp s nhõn v cỏc dóy s c bit m rng cỏc
dng tớnh tng hn na.
Trong thời gian tới rất mong đợc sự cộng tác của các đồng
nghiệp để chúng ta có thể đa ra những phơng pháp tính
tổng khác, nhằm chuyển hoá việc tính một tổng Khó thành

việc giải một bài toán Quen biết.
Điều mong muốn hơn cả là đợc lắng nghe sự góp ý chân
thành của các đồng nghiệp cho đề tài này . Một lần nữa xin
cảm ơn sự quan tâm đọc và góp ý của mọi ngời ./.

---------------------------------------------------------------

18


4.

tài liệu tham khảo

1. Sách giáo khoa đại số và giải tích nâng cao lớp 11 (SGK ĐSGT 11 NC)
2. Sách bài tập đại số và giải tích nâng cao lớp 11 (SBT ĐSGT 11 NC)
3. Sách giải toán đại số và giải tích 11 ,của tác giả Trần Thành
Minh viết cho học sinh các lớp chuyên và học sinh khá giỏi (Nhà
xuất bản giáo dục)
4. Đại số tổ hợp và các vấn đề liên quan của tác giả Lê Sáng
( Nhà xuất bản Đà Nẵng 1994 )
5. Báo toán học và tuổi trẻ
6. Tập các đề thi HSG của các trờng THPT trong cả nớc, đặc
biệt là tập đề thi của trờng THPT Hàm Rồng Thành phố Thanh
Hoá.
Nhân dịp hoàn thành bài viết. Tôi xin chân thành cảm ơn
tất cả các tác giả đã viết sách và xuất bản những tài liệu tham
khảo quý báu cung cấp cho bài viết này !
Tôi xin cam đoan SKKN này khôngphải là SKKN cũ hay là bản
sao chép của ngời khác, tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

nếu có sự man trá.

Trờng THPT Hàm Rồng ngày 10 Tháng
5 Năm 2016
Thủ trởng cơ quan

Ngời viết

19


NguyÔn Hång Quang

20