Cách giải một số bài toán dựa vào phương trình bậc hai trong chương trình toán lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN QUAN SƠN
PHÒNG GD&ĐT HUYỆN QUAN SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DỰA VÀO PHƯƠNG
CÁCH
GIẢIHAI
MỘT
SỐ BÀICHƯƠNG
TOÁN DỰA
VÀOTOÁN
PHƯƠNG
TRÌNH BẬC
TRONG
TRÌNH
LỚP 9
TRÌNH BẬC HAI TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN LỚP 9

Người thực hiện: Lê Thị Duyên
Người
thựcGiáo
hiện:viên
Lê Thị Duyên
Chức vụ:
Chức
Giáo

Đơn vịvụ:
công
tác:viên
Trường PTDT BT THCS Trung Hạ
Đơn vị công tác: Trường PTDT BT THCS Trung Hạ
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2017
THANH HOÁ NĂM 2017


Mục
A. Phần mở đầu
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Đối tượng nghiên cứu
IV. Phương pháp nghiên cứu
B. Giải quyết vấn đề
I. Cơ sở lý luận
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu.
III. Các giải pháp thực hiện
IV. Ứng dụng vào công tác giảng dạy
1.Quá trình áp dụng của bản thân
2. Kết quả thu được
C. Kết luận và kiến nghị
I. Kết luận
II. Kiến nghị
Tài liệu tham khảo
Danh mục đề tài SKKN được công nhận

Trang
1
1
2
2
2
2
2
3
4
15
15
15
16
16
16
17
18


A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Toán học là một môn học chiếm vị trí quan trọng trong trường phổ thông.
Dạy toán tức là dạy phương pháp suy luận. Học toán tức là rèn luyện khả năng
tư duy lôgic. Các bài toán là một phương tiện tốt trong việc giúp học sinh nắm
vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ sảo.
Để chất lượng học sinh ngày càng được nâng cao yêu cầu người giáo viên
phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong

phú đối với mọi đối tượng học sinh.
Theo hướng đó, sách giáo khoa Toán mới cung cấp cho học sinh những
kiến thức cơ bản cần lĩnh hội theo yêu cầu của chương trình, đồng thời cũng
giúp cho học sinh hiểu được các quá trình dẫn đến kiến thức, cách thức làm việc,
các hình thức hoạt động để tự khám phá, lĩnh hội các kiến thức đó.
Và dạy như thế nào để học sinh đại trà có thể nắm chắc kiến thức cơ bản
một cách có hệ thống mà những học sinh mũi nhọn phải được nâng cao để các
em có hứng thú, say mê học tập không bị nhàm chán là một câu hỏi mà mỗi thầy
cô chúng ta luôn đặt ra cho mình.
Muốn giải quyết nhiệm vụ quan trọng này, trước hết Thầy, Cô giáo chúng
ta ai cũng phải xây dựng cho mình một phương pháp dạy thật tốt và thường
xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp với từng nội dung, điều kiện
giảng dạy vào các đối tượng tham gia học tập, nhằm tạo tiền đề vững chắc, lâu
bền trong việc tiếp nhận tri thức, nề nếp và thái độ học tập của các em ở nhà
trường.
Là giáo viên dạy Toán trong các trường THCS tôi nhận thấy phần đông
các em học sinh học yếu môn toán vì các lí do sau :
- Các em chưa nắm chắc được những kiến thức cơ bản.
- Chưa phân dạng được các bài toán và đưa ra cách giải cho từng dạng toán cụ
thể.
Trong quá trình giảng dạy lớp 9 và thực hiện công tác ôn luyện học sinh
mũi nhọn trong 5 năm liền tôi nhận thấy các em hiểu được các công thức cơ bản
về phương trình bậc hai nhưng việc vận dụng các công thức đó vào giải bài tập
chỉ mang tính máy móc, và chỉ thực hiện đối với các bài toán đơn giản đôi khi
chưa biết vận dụng linh hoạt phương trình bậc hai vào giải quyết các bài toán
khác, chưa khai triển hết các dạng bài tập dó đó các e có học lực khá giỏi chưa
đi sâu phát triển kiến thức nâng cao qua các dạng toán về phương trình bậc hai.
Và đây cũng là một trong những dạng toán không thể thiếu trong các chuyên đề
bồi dưỡng học sinh giỏi.
Qua tìm tòi, nghiên cứu tài liệu tham khảo tôi rút ra được một số kinh

nghiệm nhỏ để giảng dạy về vấn đề này giúp cho các em nhận dạng và vận dụng
linh hoạt vào giải toán từ đó nâng cao kiến thức nên tôi mạnh dạn chọn đề tài "
Cách giải một số bài toán dựa vào phương trình bậc hai trong chương trình
toán lớp 9 ". Vì thời gian giảng dạy chưa nhiều nên chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu

1


sót rất mong các đồng nghiệp góp ý để sau mỗi lần viết "Sáng kiến kinh
nghiệm" được hoàn thiện hơn và giúp tôi học hỏi thêm được nhiều vấn đề mới.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :

Trong khuôn khổ đề tài này bản thân tôi sẽ trình bày một vài kinh nghiệm
giúp học sinh lớp 9 giải một số dạng bài tập dựa vào phương trình bậc hai. Cụ
thể là :
- Hệ thống và phân loại một số bài toán dựa vào phương trình bậc hai để giải.
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức để giải một số bài toán dựa vào phương
trình bậc hai.
- Củng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :

- Cách giải một số bài toán dựa vào phương trình bậc hai trong chương trình
toán lớp 9.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu thực tiễn.
- Sưu tầm tài liệu nghiên cứu trên cơ sở lý thuyết và vấn đề tự học.
- Tiến hành điều tra thực tiễn kết quả học tập của học sinh.
- Phương pháp trò chuyện phỏng vấn.
- Phương pháp truyền thụ kiến thức của giáo viên .

- Kiểm nghiệm, đối chứng giữa lý thuyết và thực tiễn từ đó rút ra bài học trong
công tác nghiên cứu .
- Học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp

B . PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN :

1. Kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai : 1 [1]
a) Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn ( nói gọn là phương trình bậc hai )
là phương trình có dạng :
ax2 + bx + c = 0
Trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.
b) Công thức nghiệm :
Đối với phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức ∆
= b2 – 4ac.
• Nếu ∆ > 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
x1,2 =
•

−b ± ∆
.
2a

Nếu ∆ = 0 thì phương trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 = −

b
.
2a

• Nếu ∆ < 0 thì phương trình bậc hai vô nghiệm.

c) Công thức nghiệm thu gọn :
Đối với phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’;
∆ ' = b'2 − ac .
• Nếu ∆ ' > 0 ’ thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
1

Trong phần B nội dung : Mục 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 1.

2


x1,2 =
•

−b ' ± ∆ '
.
a

Nếu ∆ ' = 0 thì phương trình bậc hai có nghiệm kép x1 = x2 = −

• Nếu ∆ ' < 0 : phương trình bậc hai vô nghiệm.
d) Định lý VI-ÉT:2

b'
.
a

- Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) thì :
b


 x1 + x2 = − a

x x = c
 1 2 a

- Trường hợp đặc biệt :
* Nếu a + b + c = 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
x1= 1, x2 =

c
a

* Nếu a - b + c = 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
x1= -1, x2 =

−

c
a

2. Một số dạng bài Toán dựa vào phương trình bậc hai để giải:
2.1. Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng:
2.1.1. Hệ phương trình đối xứng loại 1: Là hệ phương trình mà nếu ta hay
đổi vai trò của x, y thì từng hệ phương trình vẫn không thay đổi.
2.1.2. Hệ phương trình đối xứng loại 2: Là hệ phương trình mà nếu ta hay
đổi vai trò của x, y thì phương trình này trở thành phương trình kia.
2.2. Dạng 2: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0 ) và

y = ax 2 ( a ≠ 0 ) : Để xác định được số giao điểm của hai đồ thị này thì cần phải

tìm số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị mà đó chính
là tìm số nghiệm của phương trình bậc hai.
2.3. Dạng 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: Có rất nhiều dạng về
phương trình nghiệm nguyên, tuy nhiên trong khuôn khổ đề tài này chỉ đề cập
đến những phương trình mà ẩn có số mũ cao nhất là mũ 2 để áp dụng cách giải
phương trình bậc hai vào giải các phương trình này.
2.4. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số: Đây
là dạng Toán rất hay gặp trong các đề thi HSG và đề thi vào lớp 10, để giải dạng
bài tập này cần xác định được khoảng giá trị của biểu thức đại số từ đó chỉ ra
được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
2.5. Dạng 5: Phương trình đối xứng bậc bốn : Đối với phương trình bậc bốn
thì không có công thức nghiệm và phương pháp giải cụ thể tuy nhiên có thể giải

2

Trong trang này : Mục 2 là “của” tác giả.

3


các phương trình bậc bốn đối xứng bằng cách biến đổi chúng về dạng phương
trình bậc hai để giải.
Qua đó nhận thấy để giải được một số dạng Toán trên thì đòi hỏi bản thân
học sinh cần nhận dạng đúng, phân tích đề bài và có thể đưa ra được cách giải
cho từng dạng Toán cụ thể mà trong đó sử dụng phương trình bậc hai để giải là
cách giải thường được áp dụng, mang lại hiệu quả cao và dễ dàng áp dụng.
Dó đó khi xây dựng được những cách giải cụ thể cho từng dạng Toán này
sẽ giúp cho học sinh hình thành được kĩ năng vận dụng linh hoạt phương trình
bậc hai vào giải.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU:

1. Thực trạng : Qua thực tế giảng dạy bộ môn Toán 9 tại trường PTDT Bán trú
THCS Trung Hạ tôi nhận thấy:
1.1 Đối với giáo viên :
Với kinh nghiệm của bản thân qua nhiều năm liền giảng dạy lớp 9, bồi
dưỡng học sinh giỏi cũng như trực tiếp ôn thi vào lớp 10, đối với các dạng Toán
áp dụng phương trình bậc hai vào giải sử dụng trong chương trình Toán 9 rất đa
dạng và phức tạp, để xây dựng phương pháp giải chung cho các dạng bài toán đó
là điều không thể. Song chúng ta có thể đưa ra một số dạng và cách giải cụ thể
dựa trên những kiến thức về phương trình bậc hai mà các em đã được học trong
chương trình SGK Toán 9, qua đó có thể giúp các em hình thành định hướng và
cách thức cho việc giải các dạng Toán này.
1.2 Đối với học sinh :
Thực tế giảng dạy và qua tìm hiểu tại đơn vị công tác bản thân tôi thấy rằng
chất lượng học tập môn Toán nhất là các dạng Toán mang tính chất cần phải suy
luận để tìm ra cách giải chưa cao.
Cụ thể là ở chương trình Toán 9 các em còn lung túng trong việc nhận dạng
và đưa ra cách giải đối với một số dạng Toán đòi hỏi sự tư duy và vận dụng linh
hoạt các công thức giải phương trình bậc hai vào giải. Chính vì vậy dẫn đến thái
độ học tập của học sinh đối với các dạng Toán này chưa tích cực, ngại nghiên
cứu ảnh hưởng sâu sắc đến hiệu quả và chất lượng quả việc dạy và học.
2. Kết quả của thực trạng :
2.1 Bảng khảo sát học sinh trước khi nghiên cứu đề tài tại trường
PTDT Bán Trú THCS Trung Hạ - Quan Sơn - Thanh Hoá.
Mức độ hiểu bài của học sinh
TT
Lớp
Sỉ số
Khá - Giỏi
TB

Yếu - Kém
Sl
%
Sl
%
Sl
%
1
9A
25
4
16%
11
44%
10
40%
2
9B
22
8
36.4%
5
22.7%
9
40.9%
2.2 Nguyên nhân :
- Học sinh chưa có định hướng phương pháp để giải bài tập mà không có dạng
tổng quát được giới thiệu trong SGK Toán 9.
- Chưa biết phân tích một cách logic toán học để đưa các bài tập này về dạng
Toán đã có cách giải cụ thể trong SGK Toán 9.

4


- Đa số các em chưa có định hướng hướng chung về phương pháp học lý thuyết,
và vận dụng lý thuyết vào thực hành giải các bài tập Toán.
- Ý thức tự học, tự nghiên cứu của một số học sinh còn hạn chế, chưa tích cực
chủ động tìm tòi đối với các dạng Toán cần sự tư duy, logic, suy luận Toán học.
III. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN :

Dạng 1: Giải hệ phương trình đối xứng: 3
1.1 Hệ phương trình đối xứng loại 1: Nếu ta hay đổi vai trò của x, y thì
từng hệ phương trình vẫn không thay đổi.
* Phương pháp giải : [4]
S = x + y
với điều kiện S 2 ≥ 4 P .
 P = xy

- Đưa về hệ phương trình theo hai biến mới là : 

- Khi đó x, y là nghiệm của phương trình : X 2 − SX + P = 0 . (1)
- Giải phương trình (1) và kết luận nghiệm.
Chú ý : Hệ phương trình đối xứng có vai trò x, y như nhau nên khi (x,y) là
nghiệm của hệ phương trình thì (y,x) cũng là nghiệm của hệ phương trình.
x + y = 1

Bài tập 1 : Giải hệ phương trình : (I) 

3
3
2

2
x + y − 2 = x + y

[4]

* Phân tích : Nhận dạng được đây là hệ phương trình đối xứng loại 1.
Theo phương pháp giải đối với hệ này chúng ta phương trình thứ nhất đã có
dạng x+y, cần biến đổi phương trình thứ hai có dạng x+y và xy để tìm x, y dựa
vào giải phương trình bậc hai.
Giải
 x + y = 1
I
⇔
( ) 
3
2
( x + y ) − 3 xy ( x + y ) − 2 = ( x + y ) − 2 xy

x + y = 1
x + y = 1
⇔
⇔
 xy = −2
1 − 3 xy − 2 = 1 − 2 xy
⇒ x, y là nghiệm của phương trình : X 2 − X − 2 = 0 (1)
Giải phương trình (1), hệ phương trình có nghiệm là : (-1;2); (2;-1).
 x 2 + y 2 − x − y = 12
Bài tập 2 : Giải hệ phương trình : (I) 
[6]
 x + y + xy = 9

( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm học 2011 – 2012 ).

Giải:
( x + y ) 2 − 2 9 − ( x + y )  − ( x + y ) = 12


( x + y ) − 2 xy − ( x + y ) = 12 ⇔ 
I
⇔
( ) 
 xy = 9 − ( x + y )
( x + y ) + xy = 9
2

( x + y ) 2 + ( x + y ) − 30 = 0 ( *)
⇔
 xy = 9 − ( x + y ) ( **)
3

Trong trang này : Mục Phương pháp giải và Bài tập 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4. Bài tập 2
được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 6.

5


Đặt ( x + y ) = X thay vào phương trình (*) ta được : X 2 + X − 30 = 0 (1)
Giải phương trình (1) ta có nghiệm : X 1 = 5 ; X 2 = −6
x + y = 5
 xy = 4

+) Với X 1 = x + y = 5 thay vào (**) ta được : 

⇒ x, y là nghiệm của phương trình : X 2 − 5 X + 4 = 0 (2)

Giải phương trình bậc hai (2), hệ phương trình có nghiệm là : (1;4) và (4;1).
 x + y = −6
.
 xy = 15

+) Với X 1 = x + y = - 6 thay vào (**) ta được : 

⇒ x, y là nghiệm của phương trình: X 2 + 6 X + 15 = 0 (phương trình vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là : (1;4) và (4;1).
* Bài tập vận dụng : 4 Giải hệ phương trình
 xy = 1
 x 2 + xy + y 2 = 3
a)  3
b) 
3
2
2
 x + y = −1
 x + y = x y + xy

[5]

 x 2 y + xy 2 = 6
Bài tập 3: Giải hệ phương trình : (I) 
 xy + x + y = 5

* Phân tích : Đối với hệ phương trình này chúng ta cần biến đổi cả hai
phương trình của hệ để đưa hệ về hai biến mới là S = x+y và P = xy. Tìm S, P
sau đó mới tìm được nghiệm x, y của hệ phương trình.
Giải :

 xy ( x + y ) = 6
 x 2 y + xy 2 = 6
⇔
(I) 
 xy + ( x + y ) = 5
 xy + x + y = 5
S = x + y
 SP = 6
Đặt : 
( S 2 ≥ 4 P ) , hệ trở thành 
( Đây là hệ đối xứng loại 1 với
 P = xy
S + P = 5

ẩn là S, P )
⇒ S, P là nghiệm của Phương trình bậc hai sau : X 2 − 5 X + 6 = 0 (1)
Giải phương trình (1) ta được :
S = 3
( t/m điều kiện) ;

P = 2

S = 2
( không t/m điều kiện ).


P = 3

Khi đó x, y lại là nghiệm của phương trình bậc hai sau : X 2 − 3 X + 2 = 0 (2)
Giải phương trình (2) suy ra hệ phương trình có nghiệm là : (1;2) ; (2;1). [4]
* Bài tập vận dụng : Giải hệ phương trình
 x 2 + xy + y 2 = 3
 x 2 + y 2 = 5
a) 
b)  4 2 2 4
[4]
 x − x y + y = 13
 x + xy + y = −1
1.2 Hệ phương trình đối xứng loại 2: Nếu ta hay đổi vai trò của x, y thì
phương trình này trở thành phương trình kia.
* Phương pháp giải : Trừ hai phương trình với nhau để nhận được phương
mới có dạng tích số.[4]
4

Trong trang này : Được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5 và số 4.

6


Chú ý : Hệ phương trình đối xứng loại 2 sau khi biến đổi thường đưa về dạng x
= y hoặc x = -y. Nếu hệ phương trình có nghiệm (x,y) thì hệ phương trình cũng
có nghiệm (y,x).[4]
 x 2 + 2 y = 8 ( 1)
Bài tập 1: Giải hệ phương trình : (I)  2
[5]

 y − 2 x = 8 ( 2 )

* Phân tích : Đây chính là hệ phương trình đối xứng loại 2, áp dụng
phương pháp giải đã có chúng ta giải hệ phương trình trên.
Giải :
Trừ hai phương trình của hệ với nhau ta được :

(x

2

+ 2 y ) − ( y2 − 2x) = 0 ⇔

( x + y ) ( x − y + 2) = 0

x + y = 0
 y = −x
⇔
⇔
x − y + 2 = 0
y = x + 2

+) Với y = - x thay vào phương trình (1) ta được : x 2 − 2 x − 8 = 0 (*)
Giải phương trình (*) ta có nghiệm là : x1 = 4 ; x2 = −2
Hệ phương trình có nghiệm là : (4;-4); (-2;2).
+) Với y = x + 2 thay vào phương trình (1) ta được : x 2 + 2 x − 4 = 0 (*)
Giải phương trình (*) ta có nghiệm là : x1 = −1 − 5 ; x2 = −1 + 5
Hệ phương trình có nghiệm là : ( −1 − 5;1 − 5 ) ; ( −1 + 5;1 + 5 )

Vậy hệ phương trình có nghiệm là : (4;-4); (-2;2);

( −1 +

)

( −1 −

)

5;1 − 5 ;

5;1 + 5 .

8

2 + 3x = y 3

Bài tập 2: 5 Giải hệ phương trình : 
 x3 − 2 = 6 .

y

[8]

( Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2012 – 2013 ).

* Phân tích : Nhận thấy hệ phương trình này chưa phải hệ phương trình
đối xứng loại 2 đối với ẩn x và y. Tuy nhiên chúng ta có thể biến đổi để hệ
2

phương trình trở thành hệ phương trình đối xứng loại 2 với hai ẩn x và y . Để
2

giải hệ phương trình này chúng ta đặt z = y và đưa hệ phương trình về dạng đối
xứng loại 2.
Giải :
2
Điều kiện y ≠ 0. Đặt z = y ta được hệ :

3

2 + 3x = z ( 1)

3

2 + 3 z = x ( 2 )

Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta đươc :
5

Trong trang này: Được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 4; số 5 và số 8.

7


x − z = 0
( x − z )( x 2 + xz + z 2 + 3) = 0 ⇔  2
2
 x + xz + z + 3 = 0
z 2

3z 2
+ 3 > 0 với mọi x, z ).
) +
2
4

( Mà x2 + xz + z2 +3 = (x +

Xét x – z = 0 ⇔ x = z thay vào phương trình (1) của hệ ta được :
x3 – 3x – 2 = 0 ⇔ (x+1)2(x - 2) = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 2.
Với x = z = −1 ⇒ y = −2 ⇒ nghiệm (x ; y ) của hệ là (-1,-2)
Với x = z = 2 ⇒ y = 1 ⇒ nghiệm (x ; y ) của hệ là (2,1).
Vậy nghiệm (x ; y ) của hệ là (−1; −2) và (2,1).
* Bài tập vận dụng : Giải hệ phương trình

y2 + 2
3
y
=

x2

a) 
2
3 x = x + 2

y2

2
 2

 x + xy + x = 2007
b) 
. [5]
 y 2 + xy + 2 = 2007
y


Dạng 2: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số (d) y = ax + b ( a ≠ 0 )
2
và (P) y = a ' x ( a ' ≠ 0 ) .

* Phương pháp giải :
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (d) y = ax + b ( a ≠ 0 )
2
và (P) y = a ' x ( a ' ≠ 0 ) là :

a ' x 2 = ax + b

⇔

a ' x 2 - ax - b = 0 (1)

Phương trình (1) là một phương trình bậc hai, số giao điểm của hai đồ thì
hàm
số chính là số nghiệm của phương trình.
+ Nếu phương trình ( 1) có hai nghiệm thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm.
+ Nếu phương trình ( 1) có nghiệm kép thì (d) và (P) cắt nhau tại một điểm ( hay
tiếp xúc nhau ).
+ Nếu phương trình ( 1) vô nghiệm thì (d) và (P) không cắt nhau.
1

4

Bài tập 1 : 6Trên mặt phẳng tọa độ Oxy có parabol (P) : y = x 2 và đường thẳng
(d) : y = mx +1, m ∈ Z. Chứng minh rằng với mọi m ∈ Z thì đường thẳng (d)
luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. [8]
( Đề thi HSG Tỉnh Gia Lai năm học 2009 – 2010 )

* Phân tích : để giải bài toán này trước hết cần viết được phương trình
hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ( đó chính là phương trình bậc hai ),
số giao điểm của hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình đó. Để
chứng tỏ đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phải
chứng tỏ phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ∈ Z.
Giải :
6

Mục phương pháp giải lag “của” tác giả. Bài tập vận dụng được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5. Bài tập 1
được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 8.

8


Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :
1 2
x = mx + 1
4

⇔ x 2 − 4mx − 4 = 0 (1)

Xét : ∆ ' = b'2 − ac = 4m 2 − (−4) = 4m2 + 4 > 0 ( với mọi m ∈ Z )
⇒ Đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

Bài tập 2 :7 Trong cùng một hệ tọa độ, cho đường thẳng (d) : y = x – 2 và
parabol (P) : y = - x 2 . Gọi A và B là giao điểm của (d) và (P).
a) Tính độ dài AB.
b) Tìm m để đường thẳng (d’) : y = - x + m cắt (P) tại hai điểm C và D sao
cho CD = AB. [6]
( Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2011 – 2012 )

* Phân tích : Đối với câu a để tìm độ dài đoạn thẳng AB trước tiên chúng
ta cần tìm được tọa độ của A, B bằng cách giải phương trình bậc hai chính là
phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P).
Giải :
a) Hoành độ giao điểm A ; B của (d) và (P) là nghiệm của phương trình :
- x2 = x – 2
⇔ x 2 + x – 2 = 0 (*)
Giải phương trình (*) ta có nghiệm là : x = 1 hoặc x = -2 thay vào phương
trình đường thẳng (d) ta có : ( x; y ) = (1; − 1) hoặc ( x; y ) = (− 2; − 4) .
AB = 9 + 9 = 3 2
b) Xét phương trình ( hoành độ giao điểm của ( P) và d ' ):
− x 2 = − x + m ⇔ x 2 − x + m = 0 (1).
Xét : ∆ = 1 - 4m
Tồn tại C và D, khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 phân
biệt:
∆ = 1 - 4m > 0 ⇔ m <

1
(*).
4

 x1 + x2 = 1
Áp dụng định lý vi - ét ta có : 

(**)
 x1 x2 = m
Khi đó, toạ độ của C và D là: C ( x1 ; y1 ) và D( x2 ; y2 ) .
Với: y1 = − x1 + m và y2 = − x2 + m .
CD 2 = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 = 2( x1 − x2 ) 2 = 2 ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2  . (2)
Thay (**) vào (2) ta suy ra: CD 2 = 2(1 − 4m) .
Mà : CD = AB ⇔ 2(1 − 4m) = 18
⇔ m = − 2 , thoả mãn (*).
Vậy giá trị cần tìm của m là: m = − 2 .

* Bài tập vận dụng :
7

Trong trang này : Bài tập 2 được tham khảo từ tài lieu tham khảo số 6.

9


1
2

Cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = mx – m + 2 ( với m là
tham số ).
a) Tìm m để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ là x = 4.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt. [8]
( Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn năm học 2011 – 2012 )

Dạng 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
*Phương pháp giải : Để giải dạng toán này chúng ta đưa về biện luận biệt thức

∆ của phương trình bậc hai. Phương trình có nghiệm nguyên khi ∆ là một số
chính phương từ đó xét các trường hợp có thể xảy ra và kết luận nghiệm của
phương trình.
Bài tập 1 : 8Tìm các số nguyên n để các nghiệm của phương trình sau là những
2
số nguyên : x − ( n + 4 ) x + 4n − 25 = 0 . [8]
* Phân tích : Đây là một phương trình bậc hai ẩn x, xét biệt thức ∆ sao
cho đó ∆ là một số chính phương khì phương trình mới có nghiệm nguyên, từ
đó nhận xét, đánh giá rồi rút ra nghiệm của phương trình.
Giải :
2
Ta có : x − ( n + 4 ) x + 4n − 25 = 0 (1)
2
Xét : ∆ = ( n + 4 ) − 4 ( 4n − 25 ) = n 2 − 8n + 116
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì ∆ phải là một số chính
phương.
Đặt : ∆ = k 2 ( k ∈ N ) . Hay n 2 − 8n + 116 = k 2 ⇔ n 2 − 8n + 16 − k 2 = −100
⇔

( n − 4 − k ) ( n − 4 + k ) = −100

Ta nhận thấy n − 4 + k > n − 4 − k nên ta có các trường hợp sau :
 n − 4 + k = 50
 n = 28
⇔ 
 n − 4 − k = −2
 k = 26

+ Trường hợp 1 : 

Thay n = 28 vào phương trình (1) và giải ta được : x1 = 29; x2 = 3
n − 4 + k = 2
 n = −20
⇔ 
 n − 4 − k = −50
 k = 26

+ Trường hợp 2 : 

Thay n = -20 vào phương trình (1) và giải ta được : x1 = 5; x2 = −21
 n − 4 + k = 10
n = 4
⇔ 
 n − 4 − k = −10
 k = 10

+ Trường hợp 1 : 

Thay n = 4 vào phương trình (1) và giải ta được : x1 = 9; x2 = −1
Vậy với n ∈ { 28; −20; 4} thì phương trình (1) có nghiệm nguyên.
Bài tập 2 : Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : [7]
x2 − 2x + 1 = y2

8

Trong trang này : Được tham khảo từ tài lieu tham khảo số 8 và số 7.

10

* Phân tích : Để giải bài toán này chúng ta biến đổi về dạng phương
trình bậc hai có ẩn là x. Sau đó xét biệt thức ∆ phải là số chính phương đó
chính là điều kiện cần để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.
Giải :
Viết thành phương trình bậc hai đối với x :
2
2
x 2 − 2 x + 1 = y 2 ⇔ x − 2 x − ( 11 + y ) = 0 (2)
Ta có :
∆ ' = 1 + 11 + y 2 = 12 + y 2
Xét :
Điều kiện cần để (2) có nghiệm nguyên là : ∆ ' là một số chính phương
12 + y 2 = k 2 ( k ∈ N )
Đặt :
⇔ k 2 − y 2 = 12 ⇔ ( k + y ) ( k − y ) = 12
Giả sử y ≥ 0 thì k + y ≥ k − y và k + y ≥ 0
Xét : ( k + y ) − ( k − y ) = 2 y nên k + y và k − y cùng tính chẵn lẻ và phải cùng chẵn.
k + y = 6
y = 2
⇔ 
Từ nhận xét trên ta có : 
k − y = 2
k = 4

Thay y = 2 vào phương trình (2) ta được : x 2 − 2 x − 15 = 0 (**)
Giải phương trình bậc hai (**) ta có nghiệm là : x1 = 5 ; x2 = −3
Vậy phương trình có nghiệm là : ( 5; 2 ) ; ( 5; −2 ) ; ( −3; 2 ) ; ( −3; −2 ) .
9
Bài tập 3 : Tìm số nguyên tố p, biết rằng x 2 + px − 12 p = 0 có hai nghiệm đều là
những số nguyên. [8]

* Phân tích : Trước tiên chúng ta xét biệt thức ∆ của phương trình bậc
hai với ẩn x, dựa vào tính chất của số nguyên tố p để nhận xét đưa ra giá trị
giới hạn của p và tìm được giá trị của p, thay p vào phương trình ban đầu để
tìm nghiệm nguyên.
Giải :
2
x + px − 12 p = 0 (1)
Ta có :
2
∆ = p + 48 p = p ( p + 48 ) Mp
Xét :
⇒ p + 48 M p ⇒ 48Mp

Mà : p là số nguyên tố nên p ∈ { 2;3}
+ Trường hợp 1 : Xét p = 2 thay vào phương trình (1) ta được : x 2 + 2 x − 24 = 0 (*)
Giải phương trình (*) ta có : x1 = 4; x2 = −6
+ Trường hợp 2 : Xét p = 3 thay vào phương trình (1) ta được : x 2 + 3x − 36 = 0 (**)
Giải phương trình (**) ta có : x1 =

−3 + 3 17
−3 − 3 17
; x2 =
( không thỏa mãn)
2
2

Vậy với p = 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm đều là những số
nguyên.
* Bài tập vận dụng : Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức. [7]
a) x 2 + xy + y 2 − x 2 y 2 = 0

b) x 2 + 2 y 2 + 3xy − x − y + 3 = 0

9

Bài tâp 3 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 8. Bài tập vận dụng được tham khảo từ tài liệu tham khảo số
7.

11


* Gợi ý cách giải : chúng ta coi x ( hoặc y ) là ẩn, biến đổi biểu thức về
dạng phương trình bậc hai ẩn x ( hoặc y ), sau đó nhận xét đánh giá biệt thức ∆
của phương trình và tìm ra nghiệm thỏa mãn. (tương tự bài tập 2).
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.10
* Phương pháp giải : Thường sử dụng phương pháp miến giá trị để
giải cụ thể là : Giả sử ta phải tìm cực trị của một hàm số f(x) có miền giá trị D.
Gọi y0 là một giá trị nào đó của f(x) với x ∈ D. Điều này có nghĩa là phương
trình f(x) = y0 phải có nghiệm với x ∈ D.
Sau khi giải phương trình điều kiện có nghiệm thường dẫn đến bất đẳng
thức:
m ≤ y0 ≤ M
Từ đó suy ra: Min f(x) = m và Max f(x) = M. [8]
Bài tập 1 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

x +1
[5]
x + x +1
2

* Phân tích : Để sử dụng phương pháp miền giá trị trước tiên chúng ta

biến đổi biểu thức về dạng phương trình bậc hai, sau đó nhận xét về dấu của
biệt thức ∆ .
Giải
2

Ta có :

1 3

x + x + 1 =  x + ÷ + > 0 ⇒ TXĐ : R
2 4

2

Xét : A =

x +1
⇔ A. x 2 + x + 1 = x + 1
x + x +1

(

2

)

⇔ Ax 2 + ( A − 1) x + A − 1 = 0 (1)

- Nếu A = 0 thì x = -1.
- Nếu A ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai, có

∆ x = ( A − 1) − 4 A( A − 1) = −3 A2 − 2 A + 1 ≥ 0 ⇒ −1 ≤ A ≤
2

Từ đó suy ra : MaxA =

1
3

1
khi x = 1 Và MinA = -1 , khi x = -1.
3

Bài tập 2 : Trong mọi cặp nghiệm của phương trình sau hãy tìm cặp nghiệm
(x,y) sao cho y lớn nhất : x2 – ( x2 + 1 )y + 8x + 7 = 0
(1)
[8]
* Phân tích : Chúng ta có thể biến đổi phương trình (1) trở thành phương
trình bậc hai ẩn x, sử dụng phương pháp miền giá trị để giải bài toán này bằng
cách nhận xét dấu của biệt thức ∆ .
Giải :
2
⇔
Trước hết: (1) (1 - y)x + 8x + 7 – y = 0 (2)
+ Nếu 1 – y = 0 ⇒ y = 1 ⇒ x = -

3
4

+ Nếu 1 – y ≠ 0 ⇒ y ≠ 1 ⇒ ∆’ = 16 - ( 7 – y )( 1 – y )
⇒ ∆’ = - y2 + 8y + 9 = ( 1 + y )( 9 – y )

10

Trong Dạng 4 : Bài tập 1 được tham khảo từ tài liệu tham khảo số 5. Bài tập 2 được tham khảo từ tài liệu tham
khảo số 8.

12


Vì (x,y) là nghiệm của phương trình (1) cho nên phương trình (2) phải có
nghiệm.
Do đó : ∆’ ≥ 0 ⇔ ( 1 + y )( 9 – y ) ≥ 0 ⇔ - 1 ≤ y ≤ 9
Suy ra: max y = 9 khi đó ∆’ = 0; x = 1.
Vậy cặp nghiệm thoả mãn bài toán là (1; 9).
* Bài tập vận dụng :11 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của :
a) A =

x2 − x + 1
x2 + x + 1

b) B =

x2 + 2x + 2
[5]
x2 + 1

Dạng 5 : Giải Phương trình đối xứng bậc bốn
* Phương pháp giải : Dạng tổng quát của phương trình này là
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ( a ≠ 0 ) . (1)
- Xét x = 0 có phải là nghiệm của phương trình hay không.
- Xét x ≠ 0 . Chia cả hai vế của phương trình (1) cho x 2 ta được :

1  
1
1
1

ax 2 + bx + c + b. + a. 2 = 0 ⇔ a  x 2 + 2 ÷+ b  x + ÷+ c = 0 (*)
x  
x

x
x
2

1
1
1
1

Đặt : t = x + ⇒ t 2 =  x + ÷ = x 2 + 2 + 2 ⇒ x 2 + 2 = t 2 − 2
x
x
x
x


( t ≥ 2)

Phương trình (*) trở thành: a. ( t − 2 ) + bt + c = 0 ⇔ at 2 + bt + c − 2a = 0 ( a ≠ 0 ) (**)
Nhận thấy phương trình (**) là phương trình bậc hai ẩn t. Giải phương trình tìm
được ẩn t từ đó tìm ẩn x của phương trình (1). [5]

2

Chú ý : Nếu m là nghiệm của phương trình đối xứng thì

1
cũng là nghiệm của
m

phương trình đó.
Bài tập 1 : Giải phương trình sau : x 4 − 2 x3 − x 2 − 2 x + 1 = 0 (1) [5]
* Phân tích : Nhận thấy đây là phương trình đối xứng bậc bốn, áp dụng
phương pháp giải bình thường. Chú ý điều kiện khi đặt ẩn và kết luận nghiệm
của phương trình.
Giải :
- Xét x = 0 Không phải là nghiệm của phương trình.
- Xét x ≠ 0 . Chia cả hai vế của phương trình (1) cho x 2 ta được :
1  
1
2 1

x 2 − 2 x − 1 − + 2 = 0 ⇔  x 2 + 2 ÷− 2  x + ÷− 1 = 0 (*)
x  
x

x x
2

Đặt : t = x +

1

1
1
1

2
2
(2) ⇒ t 2 =  x + ÷ = x 2 + 2 + 2 ⇒ x + 2 = t − 2
x
x
x
x


( t ≥ 2)

Phương trình (*) trở thành : ( t − 2 ) − 2t − 1 = 0 ⇔ t 2 − 2t − 3 = 0 (**)
Giải phương trình bậc hai (**) ta có nghiệm : t1 = −1 (loại ), t2 = 3 ( thõa mãn đk)
2

Thay t = 3 vào (2) ta được : 2 = x +

11

1
⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 (3)
x

Trong trang này : Được tham khảo từ tài lieu tham khảo số 5.

13

3+ 5
3− 5
; x2 =
.
2
2
3+ 5
3− 5
Vậy phương trình có nghiệm là : x1 =
; x2 =
.
2
2

Giải phương trình (3) ta có nghiệm là : x1 =

* Bài tập vận dụng :12 Giải các phương trình sau
a) x 4 − 10 x 3 + 26 x 2 − 10 x + 1 = 0
b) x 4 + x3 − 4 x 2 + x + 1 = 0
c) 2 x 4 + x 3 − 11x 2 + x + 2 = 0
d) x 4 − 7 x 3 + 14 x 2 − 7 x + 1 = 0 [5]
* Chú ý : Phương trình đối xứng bậc năm có dạng :
ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ( a ≠ 0 )

Bao giờ cũng nhận -1 là một nghiệm, do đó ta có thể phân tích đưa về
dạng đối xứng bậc bốn.
Bài tập 2 : giải phương trình sau : 6 x5 − 11x 4 − 11x + 6 = 0 (1)
* Phân tích : Chúng ta nhận thấy đây là dạng phương trình đối xứng bậc

năm, luôn nhận -1 là một nghiệm, sử dụng phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử để đưa về dạng phương trình tích trong đó có một phương trình
đối xứng bậc bốn.
Giải :
5
4
Ta có :
6 x − 11x − 11x + 6 = 0
⇔

x +1 = 0

( x + 1) ( 6 x 4 − 17 x3 + 17 x 2 − 17 x + 6 ) = 0 ⇔ 

4
3
2
6 x − 17 x + 17 x − 17 x + 6 = 0

+ Trường hợp 1 : x + 1 = 0 ⇔ x = -1
+ Trường hợp 2 : 6 x 4 − 17 x3 + 17 x 2 − 17 x + 6 = 0 (*)
Phương trình (*) là dạng phương trình đối xứng bậc bốn, chúng ta giải
giống bài tập 1. Nghiệm của phương trình (*) là x1 = 2 ; x2 =
Vậy phương trình có nghiệm là : -1 ; 2 ;

1
2

1
. [5]

2

* Nhận xét : Cách chia hai vế cho x 2 cũng có thể được sử dụng đối với phương
2
trình có dạng : ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = mx . Trong đó ad = bc, ta nhóm
( x + a ) ( x + d )  ( x + b ) ( x + c )  = mx 2

- Xét x = 0 có phải là nghiệm của phương trình hay không.
- Xét x ≠ 0 . Chia cả hai vế của phương trình (1) cho x 2 và đặt ẩn phụ để đưa
phương trình về dạng phương trình bậc hai với ẩn vừa đặt và giải. [5]
2
Bài tập 3 : Giải phương trình : 4 ( x + 5) ( x + 6 ) ( x + 10 ) ( x + 12 ) = 3x
* Phân tích : Nhận thấy phương trình này có 5.12 = 6.10 nên áp dụng
nhận xét trên ta giải bài toán này.
Giải :
4 ( x + 5 ) ( x + 6 ) ( x + 10 ) ( x + 12 ) = 3 x 2
Ta có :
⇔ 4 ( x + 5 ) ( x + 12 )  ( x + 6 ) ( x + 10 )  = 3 x 2 (2)
12

Trong trang này : Được tham khảo từ tài lieu tham khảo số 5.

14


- Xét x = 0. Không phải là nghiệm của phương trình.
- Xét x ≠ 0 . Chia cả hai vế của phương trình (1) cho x 2 ta được :
60 
60 


(2) ⇔ 4  x + 17 + ÷ x + 16 + ÷ = 3 (*)
x 
x 


60
= t (**)
x
Phương trình (*) trở thành : 4t ( t + 1) = 3 ⇔ 4t 2 + 4t − 3 = 0

Đặt: x + 16 +

1
3
; t2 = −
2
2
−15 −35 + 265 −35 − 265
Thay t1 và t2 vào (**) ta tìm được x là : −8;
;
;
2
4
4
−15 −35 + 265 −35 − 265
Vậy phương trình có nghiệm là : −8;
;
;
. [5]
2

4
4

Giải phương trình bậc hai ẩn t ta có nghiệm là : t1 =

13

* Bài tập vận dụng : Giải các phương trình sau
2
2
2
2
a) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) ( x + 6 ) = x
b) 4 ( x + 11x + 30 ) ( x + 22 x + 120 ) = 3x
* Gợi ý cách giải câu b : Chúng ta nhận thấy phương trình này không có dạng
giống các phươg trình có cách giải cụ thể như trên, tuy nhiên qua một vài bước
biến đổi có thể đưa về dạng đã được học như sau :
4 ( x 2 + 11x + 30 ) ( x 2 + 22 x + 120 ) = 3x 2
Ta có :
⇔ 4 ( x + 5 ) ( x + 6 ) ( x + 10 ) ( x + 12 ) = 3x 2 . [5]

( Đây chính là bài tập 3, đã có cách giải cụ thể. )
IV . ỨNG DỤNG VÀO CÔNG TÁC GIẢNG DẠY:

1. Quá trình áp dụng của bản thân
Sau khi nghiên cứu xong đề tài này bản thân tôi đã thấy mình hiểu sâu sắc
hơn cách giải một số bài toán dựa vào phương trình bậc hai. Trong khi giảng dạy
chuyên đề này cho 3 đối tượng học sinh Khá Giỏi, Trung bình, Yếu kém tuỳ
từng đối tượng mà tôi chọn bài cho phù hợp thì thấy đa số các em tiếp thu nội
dung trong chuyên đề một cách dễ dàng, không còn lúng túng trong việc phân

dạng bài toán và đây cũng là những dạng toán thường hay gặp trong kì thi học
sinh giỏi và thi tuyển sinh vào lớp 10.
2 . Kết quả thu được . Bảng khảo sát học sinh sau khi nghiên cứu đề tài tại
trường PTDT Bán Trú THCS Trung Hạ - Quan Sơn - Thanh Hoá.
Mức độ hiểu bài của học sinh
TT
Khối
Sỉ số
Khá - Giỏi
Trung Bình
Yếu - Kém
Sl
%
Sl
%
Sl
%
1
9A
25
10
40%
9
48%
6
12%
2
9B
22
12

54.5%
6
36.4%
4
9.1%
* Nhận xét :
- Khá Giỏi : Tăng 21,3 %
- Trung Bình : Giảm 2,1%
13

Trong trang này : Được tham khảo từ tài lieu tham khảo số 5.

15


- Yếu Kém : Giảm 19.2 %
Qua kết quả khảo sát tôi tin rằng kết quả của năm học tiếp theo sẽ cao hơn
nữa. Nói như thế để chứng tỏ rằng áp dụng chuyên đề “Cách giải một số bài
toán dựa vào phương trình bậc hai trong chương trình toán lớp 9” trong công
tác ôn thi HSG Toán và ôn thi vào lớp 10 rất quan trọng, mang lại kết quả rất
khả quan.
Những kinh nghiệm này đã được kiểm nghiệm ở trường PTDT Bán trú
THCS Trung Hạ. Bản thân tôi thấy rất hiệu quả qua thời gian tôi công tác, và sẽ
áp dụng sáng kiến này vào các năm học tiếp theo.

C . PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN :

Qua việc phân loại một số dạng bài toán áp dụng phương trình bậc hai
trong việc phân tích để tìm ra hướng giải của từng bài toán tôi thấy : Nhìn chung

các em học sinh lớp tôi giảng dạy đã biết phân dạng cụ thể và có hướng giải cho
bài toán đó, còn đối với học sinh khá giỏi thì các em còn biết vận dụng khai thác
sâu bài toán để tìm ra cách giải nhanh, biết tự đặt ra các bài toán mới và rút ra
được những chú ý cho từng bài.
II. KIẾN NGHỊ :

Đối với Giáo viên cần tích cực nghiên cứu tìm tòi ra các phương pháp hay
có hiệu quả cho việc dạy và học, cần nghiên cứu nhiều tài liệu nhất là các tài liệu
liên quan đến đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Đối với học sinh cần chủ động linh hoạt tích cực, say mê tìm tòi khám phá
tri thức.
Đối với các cấp quản lý giáo dục cần khuyến khích và tạo mọi điều kiện
để giáo viên và học sinh được tiếp cận với các phương pháp dạy học mới, tài
liệu mới, được có thời gian để nghiên cứu
Trong khuôn khổ đề tài này, tôi hy vọng giúp các em học sinh tự tin hơn
và nhận dạng nhanh các bài toán có thể áp dụng phương trình bậc hai vào giải.
Tuy nhiên, trong khi trình bày đề tài của mình không tránh khỏi những khiếm
khuyết, mong bạn đọc và đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài hoàn
chỉnh và đạt hiệu quả cao./.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hoá, ngày 20 tháng 04 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người khác
( Ký và ghi rõ họ tên )

TÀI LIỆU THAM KHẢO
16

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Sách giáo khoa Toán 9 – Nhà xuất bản giáo dục.
Sách giáo viên Toán 9 – Nhà xuất bản giáo dục.
Sách bài tập Toán 9 – Nhà xuất bản giáo dục.
Sách Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán: Đại số 9 - Nhà xuất bản Đại học
Quốc Gia Hà Nội.
Sách Nâng cao và phát triển Toán 9 – Nhà xuất bản giáo dục.
Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi – Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà
Nội.
Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên - Nhà xuất bản giáo dục.
Tài liệu trên mạng Internet.
- Nguồn : .
- Nguồn :

DANH MỤC
17


CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Thị Duyên
Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên Trường PTDT BT THCS Trung Hạ

TT
1.
2.
3.
4.
5.

Tên đề tài SKKN
Cách giải một số bài toán so
sánh phân số
Cách giải một bài toán dựa vào
tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng
nhau
Cách giải một số bài toán về
phép chia hết
Cách giải một số bài toán về
lũy thừa trong chương trình
Toán 6, 7
Cách giải một số bài toán về
lũy thừa trong chương trình
Toán 6, 7

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá
giá xếp loại
xếp loại

(Phòng, Sở,
(A, B,
Tỉnh...)
hoặc C)
Phòng GD
& ĐT Quan
C
sơn
Phòng GD
& ĐT Quan
C
sơn
Phòng GD
& ĐT Quan
B
sơn
Phòng GD
& ĐT Quan
A
sơn
Sở GD &
ĐT Thanh
C
Hóa

Năm học
đánh giá
xếp loại
2009-2010

2010 - 2011

2011 - 2012

2013 - 2014

2014 - 2015

* Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ khi tác giả được tuyển dụng vào
Ngành cho đến thời điểm hiện tại.

18