Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS đông hương tìm tòi phương pháp giải toán thông qua cách nhìn sáng tạo

A- ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong chương trình môn đại số cấp THCS có những bài toán , dạng toán
mà đối với học sinh luôn mới mẻ và khó quá , khi các em gặp dạng này gần như
mất phương hướng giải và có cảm giác “ngợp” . Song nó cũng rất đơn giản nếu
ta như ta có cách nhìn thích hợp - khai thác các vai trò của các “chữ “ có mặt
trong bài toán đó, lúc đó ta sẽ tìm ra được những lời giải hết sức thú vị và phong
phú, và ta mới hiểu được sự đang dạng của mỗi bài toán. Hoặc có thể chúng ta
chú ý đến những trường hợp đặc biệt của một vấn đề nào đó trong chương trình
học , nó cũng có thể giúp ta khai thác được cách giải hợp lý cũng như đó là
đường lối làm bài toán hết sức thú vị.
Chẳng hạn, giải và biện luận phương trình: -2x3+(3-2m)x2+2mx+m2-1= 0
(x là ẩn). Nếu ta xem x là ẩn thì phương trình trên là phương trình bậc 3 đầy đủ
, cách giải hết sức khó khăn với cấp học THCS. Song ta nhìn vào các chức có
tham gia vào phương trình và các chức này có vai trò như nhau thì vấn đề giải
hết sức đơn giản.(Phần này sẽ được trình bầy kĩ hơn ở phần sau).
Thực ra lời giải bài toán có phong phú hay không là do cách nhìn bài toán
của chúng ta, có những nhà toán học thường nói có cái nhìn, góc nhìn “chết
người” và cũng có cái nhìn “nẩy lữa”. Song cũng có những quan điểm khác
nhau, có nhiều khi ta phải xuất phát từ những trường hợp “ hẩm hưu, bất hạnh” ,
ví dụ như: tìm nghiệm duy nhất của một hệ phương trình nào đó thì giã sử có
nghiệm là (x,y,z) là duy nhất thì bộ nghiệm (-x,-y,-z) cũng là nghiệm, nên có
x=-x,y=-y,z=-z hay x=y=z=0.
Trong chương trình cấp học THCS để đưa đến một cách giải hay , thì theo
bản thân tôi đều do bản thân có cách nhìn thích hợp, và quan niệm về các chữ có
mặt trong bài toán đều có vai trò như nhau. Đây là vấn đề hết sức chú ý cho học
sinh khi giải bài toán và theo tôi thiết nghĩ đó cũng có thể coi là một phương
pháp . Chính vì vậy tôi chọn đề tài Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS
Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán thông qua cách nhìn sáng tạo để
giải quyết những vướng mắc của học sinh, đồng thời tạo cho các em có một cách

nhìn toàn diện và khai thác triệt để những vấn đề được coi là đặc biệt.
II/ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:

Căn cứ vào những yêu cầu trên thì bản thân phải có những qui trình
giải một cách tổng quát, hoặc phải đưa ra được những ví dụ điểm hình để minh
chứng vấn đề mà bản thân đặt ra. Thực ra chúng ta phải cho học sinh nắm được
trong một biểu thức (phương trình) có chứa chữ thì vai trò của các chữ hay ẩn là
như nhau, tuỳ theo cách nghỉ của từng người, từng dạng bài toán, và đây là vấn
đề xem là then chốt - cũng có thể phải sử dụng vài tính chẵn lẻ của hàm số.
-------------------------------------------------------------------------------------- 1
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


Giúp học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, qua các bài tập rèn
luyện cho học sinh tính tư duy tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình
tìm tòi ra kiến thức mới, những phương pháp mới những thủ thuật đặc trưng để
giải toán từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê với môn học và phát
huy năng lực của các em khi giải toán.
Đào sâu hơn nội dung về phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp học
sinh nắm được các phương pháp phân tích, rèn kỹ năng áp dụng vào giải toán
loại có liên quan đến có liên
quan đến những trường hợp riêng, đặc biệt trong quá trình học, nhằm phát
triển năng lực tư duy, sáng tạo của học sinh.
Qua bài tập áp dụng rèn cho các em cách nhìn, góc nhìn và có thể quan
niện “thoáng” về các biến trong một biểu thức, phương trình, hệ phương trình….
nhằm phát huy trí tuệ của học sinh, kỹ năng vận dụng những kiến thức đã học và
những kiến thức tiếp theo, tư duy lôgic toán học từ đó nâng cao chất lượng giáo
dục để sau khi tốt nghiệp trung học cơ sở các em có một hành trang vững vàng
mọi mặt để bước tiếp con đường dẫn đến tương lai tươi sáng của các em góp

phần làm cho xã hội ngày càng phát triển đáp ứng được nhu cầu công nghiệp
hóa, hiện đại hóa của thế giới.
III/ PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI:

Do điều kiện về thời gian nghiên cứu , cho nên đề tài này đề cập đến
đối tượng học sinh khá giỏi ở khối 9.
IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Chủ yếu sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm .

-------------------------------------------------------------------------------------- 2
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


A- NỘI DUNG
I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Trong quá trình học tập về giải và biện luận phương trình bậc nhát một
ẩn ở môn đại số lớp 8 (Hoặc giải và biện luận hệ phương trình ở đại số 9 ).
Chúng ta có thể tóm tắt cách giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn
như sau:
Ta cho phương trình ax=b (1)
- Nếu a ≠ 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất: x=

b
a

- Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
- Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình (1) trở thành 0x = 0 và có vô số

nghiệm.
Ở trường hợp thứ ba này ta coi nó là trường hợp “hẩm hưu và bất
hạnh” nhất ví nó ít gặp và rất ít quan tâm. Những cũng chính trường hợp “
hẩm hưu và bất hạnh” này nếu ta suy rộng ra một chút , nhìn sâu hơn một
chút thì sự hẩm hưu” đó, “bất hạnh” đó trở nên một kết quả tuyết vời và hết
sức thú vị đến bất ngờ. Thực vậy khi a=0 và b=0 thì giá trị của x muốn lấy
bao nhiêu cũng được , hay nói cách khác đẳng thức (1) xẩy ra với mọi giá trị
x ∈ R.
Vâng ! quả vậy chúng ta đi theo trường hợp này, nếu ta thay a và b
bằng hai biểu thức chứa chữ ( hay chứa ẩn ) còn x ta coi như một biến số
tham gia và đẳng thức (1) thì ta sẽ thu được dạng mới là: m.A(x,y) +B(x,y) =
0 (2) . Cúng như đẳng thức trên ta thấy (2) sảy ra với mọi m khi và chỉ khi
 A( x, y ) = 0

 B ( x, y ) = 0

Đây chính là cơ sở khoa học khi ta giải bài toán tìm điểm cố định khi
một đường thẳng nào đó đi qua và cũng là bài toán giải phương trình “đặc
biệt” nào đó.
Cũng như vấn đè đặt ra, việc xem như a,b là chữ thay bằng biểu thức
chứa ẩn , còn x coi như một biến số . Đây cũng chính là việc quan niệm vai
trò của các chữ , các ẩn là bình đẳng , mà ta có thể coi đây là vấn đề tế nhị và
tinh tế.
II/ THỰC TRẠNG:
kết quả khảo sát học tập của học sinh trường THCS Đông Hương khi thực
hiện sáng kiến kinh nghiệm:

-------------------------------------------------------------------------------------- 3
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo

KẾT QUẢ XẾP LOẠI
Khối lớp

Tổng số
học sinh

Giỏi

Trung
bình

Khá

Yếu

TS

%

TS

%

TS

%

TS

%

9A

30

2

7

7

23

12

40

9

30

9B

29

1

1

6

20

13

45

10

34

III/ NHỮNG BÀI TOÁN CỤ THỂ ĐỂ MINH HOẠ:

Bài toán 1: Tìm tất cả giá trị của a và b để hệ phương trình sau có
nghiệm duy nhất:
 xyz + z = a
 2
 xyz + z = b
x2 + y 2 + z 2 = 4


Nếu như trong việc giải và biện luận hệ phương trình thì ta có thể sử dụng
tính chẳn lẻ của hàm số. Cụ thể trong bài này, không ít học sinh lúng túng và
không tìm ra hướng giải quyết. Song đây không phải là bài toán giả và biện
luận hệ bình thường mà để giải bài toán này ta phải suy luận chặt chẽ, và sử
dụng ngay tính chẳn lẽ của hàm số. Trước hết ta cần tìm a , b để hệ có
nghiệm day nhất
a, Điều kiện cần: Nếu (x0,y0,z0) là nghiệm của hệ thì (-x0,-y0,-z0) cũng là

nghiệm của hệ. Và hệ có nghiệm day nhất nên ta có: x 0=-x0; y0=-y0; z0=-z0
Thay vào hệ ta có
 z0 = a

z0= b
z = 4
 0

vậy z0=2 hoặc z0=-2 do đó (a,b)=(2,2) hoặc (a,b)=(-2,-2)

b, Thử điều kiện đủ:
-

 xyz + z = 2(*)
 2
Nếu a=2, b=2: ta có hệ  xyz + z = 2(*)
 x 2 + y 2 + z 2 = 4(*)


Hệ có nghiệm (0,0,2)
Từ (*) và (**) suy ra: xy(z 2-z)=0 Nếu x=0 thì từ (**) và (***) suy ra z=z và
y=0 . Đây là nghiệm đã biết. Nếu y=0 ta cũng suy ra được nghiệm đó bằng
cách lập luận tương tự.
-------------------------------------------------------------------------------------- 4
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


Bây giờ nếu z2-z=0 ⇔ z=0 hoặc z=1. Nhưng z=0 thì mâu thuẩn với (*) và
(**)

 xy = 1

Nếu z=1 ta có 

2
2
x + y = 3

⇔ a=b=2 không có nghiệm duy nhất.

- Nếu a=b=-2 ta có hệ:
 xyz + z = −2
 2
 xyz + z = −2
x2 + y 2 + z 2 = 4


hệ có nghiệm (0,0,-2)

Vậy lập luận tương tự ta suy ra hệ có nghiệm duy nhất (0,0,-2) khi a=b=-2
Bài toán 2:
Giải phương trình:
-2x3+(3-2m)x2+2mx+m2-1 = 0 (1)
Nếu ta xem x là ẩn thì đây là phương trình bậc 3 đầy đủ, cách giải rất khó
khăn đối với bậc học. Vậy ta nhìn vào vai trò của các chữ x, m trong phương
trình và quan niệm nó có vai trò như nhau , khi đó gọi m là ẩn ta có :
m2- 2(x2- x) m -2x3-1 = 0 (2) giải phương trình nay ta có:
∆ = (x2-1)2 khi đó m1,2= x2-x ± (x2-1)
. Nếu m = 1-x ⇔ x = 1 − m
. Nếu m = 2 x 2 − x − 1 ⇔ 2 x 2 − x − 1 − m = 0 ⇔ ∆ = 9 + 8m

−9
1 ± 9 = 8m
vây phương trình có nghiệm x1, 2 =
8
4
−9
1
Nếu ∆ = 0 ⇔ m =
phương trình có hai nghiệm kép x0 =
8
4
−9
Nếu ∆ < 0 ⇔ m <
Phương trình vô nghiệm.
8

- Nếu ∆ >0 ⇔ m >
-

Hai phương trình (1), (2) có nghiệm chung: 1-x=2x2-x-1 hay x2=1 nên x=
± 1 suy ra m=0 hoặc m=2.
−9
phương trình có hai nghiệm nếu m=0 hoặc m=2; phương
8
trình có 3 nghiệm khi m ≠ 0, m ≠ 2
−9
. Nếu m =
phương trình có 2 nghiệm
8
−9

. Nếu m <
phương trình có 1 nghiệm
8

Vậy: . m >

Bài toán 3: Giải và biện luận phương trình:
( x 2 − a ) 2 − 6 x 2 + 4 x + 2a = 0 (1)
Ta triển khai như sau: x 4 − 2ax 2 + a 2 − 6 x 2 + 4 x + 2a = 0 dây không phải là
phương trình trùng phương , mà phương bậc 4, quả là cách giải hết sức
khó khăn. Tương tự bài toán trên ta quan niệm ẩn của phương trình là a và
-------------------------------------------------------------------------------------- 5
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


x là tham số tham gia và phương trình như vậy ta viết phương trình (1)
dưới dạng sau: a 2 − 2( x 2 − 1)a + x 4 − 6 x 2 + 4 x = 0 (2)
2
∆' = (2 x − 1) 2 ⇔ a1, 2 = x − 1 ± ( 2 x − 1) và đưa đến giải hai phương trình
bậc hai: x 2 + 2 x − a − 2 = 0 (3) và x 2 − 2 x − a = 0 (4)
Điều kiện để (3) có nghiệm là 3 + a ≥ 0 ⇔ x1, 2 = −1 ± 3 + a
Điều kiện để (4) có nghiệm là 1 + a ≥ 0 ⇔ x3, 4 = 1 ± 1 + a
Kết quả: Nếu a<-3
(1) vô nghiệm
Nếu a=-3
(1) có một nghiệm x=-1
Nếu -3Nếu a=-1
(1) có ba nghiệm x1, 2 = −1 ± 2 và x3=1

Nếu a>-1
(1) có bốn nghiệm x1, 2 = −1 ± 3 + a ;
x3, 4 = 1 ± 1 + a

Bài toán 4: Chứng minh rằng các đường thẳng sau luôn đi qua một
điểm cố định khi a thay đổi: (a − 1) y − (a + 1) x + a + 5 = 0 (1)
Giả sử có điểm cố định M(x 0,y0) thoả mãn yêu cầu của đề bài toán thì
đẳng thức (a − 1) y0 − (a + 1) x0 + a + 5 = 0 (2) sẽ thoả mãn mọi giá trị của a.
Nếu coi a là ẩn của phương trình đó, ta cố gắng đưa về dạng
aA( x0 , y0 ) + B ( x0 , y0 ) = 0 phương trình này muốn có vô số nghiệm khi và chỉ
khi A( x0 , y0 ) = 0; B( x0 , y0 ) = 0 . Đó chính là hệ phương trình cho phép tìm
được điểm cố định , như vậy có tìm được điểm cố định hay không là ta
 A( x0 , y0 ) = 0
 B ( x0 , y0 ) = 0

phải nhờ vào việc hệ phương trình 

có nghiệm hay không.

Quả là thú vị khi tìm điểm cố định của mộ đường thẳng lại liên quan đến
nghiệm của hệ phương trình. Trở lại bài toán ta biến đổi:
(2) ⇔ ay0 − y0 − ax0 − x0 + a + 5 = 0 ⇔ a( y0 − x0 + 1) + (5 − y0 − x0 ) = 0
Như vậy ta giải hệ phương trình sau:
 y 0 − x0 + 1 = 0
 y 0 − x 0 = −1
 x0 = 3
⇔
⇔
⇔
vậy điểm cố định mà đồ

5 − y 0 − x 0 = 0
− y 0 − x 0 = −5
 y0 = 2

thị luôn đi qua là M(3,2).
Với cách làm trên thì ta xây dựng được phương pháp tìm điểm cố định
mà đồ thị hàm số đi qua.
Cũng như việc quan niệm trên về các chữ có mặt trong phương trình ,
ta làm bài toán sau:
Bài toán 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
P = 4 x 4 − x 2 y 2 + 2 x 2 y − x 2 + 2 xy − 2 x − 1

-------------------------------------------------------------------------------------- 6
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


Nếu ta để như thế này rất khó hình dung được, vì các số hạng không có
như tử chung. Ta dựa vào cách “nhìn” linh hoạt xem như bậc 2 đối với
biến y nên ta nghỉ ngay đến phương pháp phân tích thành nhân tử dựa vào
hằng đẳng thức. Thật vậy:
P = − x 2 y 2 + 2 x 2 y + 2 xy − ( x 2 + 2 x + 1) + 4 x 4 = − x 2 y 2 + 2 x( x + 1) y − ( x + 1) 2 + 4 x 4

Nhận thấy khi đó ba hạng tử đầu là hằng đẳng thức , vậy ta có thể làm
như
sau: P = −[( x 2 y 2 − 2 x( x + 1) y + ( x + 1) 2 ] + 4 x 4 = −( xy − x − 1) 2 + 4 x 4 Ta lại tiếp tục
dùng hằng đẳng: P = 4 x 4 − ( xy − x − 1) 2 = (2 x 2 − xy + x + 1)(2 x 2 + xy − x − 1)
Đến đây ta xem như phân tích đã xong, những còn vấn đề hai nhân tử
đó khi phân tích thì như thế nào ? Song việc hai tam thức bậc hai trên có
phải là bất khả qui trên trường số R hay chứa ? Việc đó trong đề tài này ta

chưa đề cập tới , hẹn dịp khác.
Bài toán 6: Chứng minh rằng hệ phương trình
 x k + y k = 931994

 xy = 199393

không có nghiệm ( k nguyên dương )
Riêng bài này ta dùng vào tính chẵn lẽ mà biện luận. Thực vậy ta có
199393 là một số lẽ, do vậy xy cũng lẻ , hay x và y lẽ , cho nên x k,yk là số
lẻ. Vì vậy
xk+yk là số chẵn trong khi đó 931994 là số lẻ. Mâu thuẩn. Vậy hệ phương
trình đã cho không có nghiệm.
Bài toán 7: Chứng minh rằng các đường parabol sau luôn đi qua
điểm cố định khi m thay đổi: y = x 2 + 2(m + 1) x + m − 5
Ta biến đổi x 2 + 2mx + 2 x + m − 5 − y = 0 ⇔ m(2 x + 1) + x 2 + 2 x − 5 − y = 0 ta
1

x
=
2 x + 1 = 0

2
⇔
có hệ phương trình sau:  2
Vậy điểm cố định
x + 2x − 5 − y = 0
 y = − 23

4
1 − 23

).
mà parabol đi qua là ( ,
2 4

Bài toán 8: Tìm tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
 y 2 = x 3 − 4 x 2 + ax
 2
 x = y 3 − 4 y 2 + ay

Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình, khi đó (y,x) cũng là nghiệm
của hệ phương trình đó. Do vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì x=y. Từ đó
say ra
-------------------------------------------------------------------------------------- 7
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


x 3 − 5 x 2 + ax = 0 ⇔ x( x 2 − 5 x + a) = 0 nên ta có x=0, hoặc x2-5x+a = 0 .

Nếu x=0 thì x=y=o. Muốn cho hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình
x2-5x+a = 0 (*) hoặc vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm bằng 0.
Ta có ∆ = 25 − 4a <0 ⇔ a >

25
phương trình (*) vô nghiệm
4

Với x=0 thì a=0 thì phương trình (*) có dạng x 2-5x=0 có nghiệm x=0;
x=5. Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi a>

25
.
4

Bài toán 9: Giải phương trình với ẩn là x:
(a-x)3+(b-x)3 = (a+b-2x)3
ở bài toán này , yêu cầu chúng ta phải có cách nhìn tinh tế và sâu sắc.
Nếu chúng ta chỉ nghỉ rằng phải khai triển thì chắc có lẻ rất rối rấm và
khó tìm lời giải. Song nếu ta có nhận xét như sau, ở vế phải có dạng (a+b2x) có liên quan gì đến vế trái hay không ? mà sự liên quan đó như thế
nào ? Thật vậy ta có (a-x) +(b-x) = (a+b-2x) , đây là mấu chốt của việc
giải phương trình này. Do đó phương trình đã cho viết thành:
(a − x)3 + (b − x)3 = [ (a − x) + (b − x)] = (a − x)3 + (b − x)3 + 3( a − x ) 2 (b − x) + 3(b − x) 2 (a − x)
a+b
hay 3(a − x)(b − x)(a + b − 2 x) = 0 ⇔ x1 = a; x2 = b; x3 =
.
2
Bài toán 10: Cho x 2 + y 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của
3

S = x+y.
Đây là bài tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất có điều kiện, vậy miền giá trị
của S chính là những giá trị của S thoả mãn hệ phương trình sau có
nghiệm
x2 + y 2 = 1
S 2 −1
2
2
2
⇔
x

+
y
=
(
x
+
y
)
−
2
xy
=
1
⇔
xy
=

. Khi đó x,y là
2
S = x + y

nghiệm của phương trình: X 2 − SX +

S 2 −1
= 0 có nghiệm.
2

hay
∆ ≥ 0 ⇔ ∆ = S 2 − 2( S 2 − 1) ≥ 0 ⇔ −S 2 + 2 ≥ 0 ⇔ S 2 ≤ 2 ⇔ − 2 ≤ S ≤ 2

Vậy S Max= 2 ; SMin= − 2 Khi đó ta tìm được x và y.
Bài toán 11: Giải phương trình
( x 2 − a ) 2 − 6 x 2 + 4 x + 2a = 0 (9)
Đây là phương bậc bốn đối với biến x, mặt khác chúng còn có thêm một
biến a: (9) ⇔ x 4 − (2a + 6) x 2 + 4 x + a 2 + 2a = 0 (9’)
-------------------------------------------------------------------------------------- 8
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


Nếu sử dụng phương pháp giải phương trình bậc bốn bằng cách phân
tích ra thừa số thì hết sức khó khăn.
Song chúng chú ý đến nếu chúng ta nhìn theo quan điểm đây là phương
trình bậc hai đối với biến a thì việc giải phương trình bậc hai lại trong “tầm tay”.
Như vậy ta viết phương trình (9) ⇔ a 2 − 2( x 2 − 1)a + x 4 − 6 x 2 + 4 x = 0 (9’’)
Lúc này phương trình (9’’) chính là phương trình bậc hai với ẩn là a. Với
cách nhìn này ta tìm được x theo x và có nghiệm là:
a1, 2 = x 2 − 1 ± x 4 − 2 x 2 + 1 − x 4 + 6 x 2 − 4 x = x 2 − 1 ± 4 x 2 − 4 x + 1 = x 2 − 1 ± ( 2 x − 1)

Như vậy ta lại giải phương trình bậc hai đối với x:
x 2 + 2 x − a − 2 = 0 (*) vµx 2 − 2 x − a = 0 (**) ta tìm được nghiệm của phương
trình (9).
Điều kiện để (*) có nghiệm là 3 + a ≥ 0 và các nghiệm của phương trình
(*) là: x1, 2 = −1 ± 3 + a
Điều kiện để (**) có nghiệm là 1 + a ≥ 0 và các nghiệm của phương trình
(**) là: x3, 4 = 1 ± 1 + a
Tổng kết:
a
Ph¬ng tr×nh (*)
2 nghiÖm

-3
V« mghiÖm

Ph¬ng tr×nh (**) V« nghiÖm
2 nghiÖm

-1
2 nghiÖm
V« nghiÖm

Như
vậy
với một
Ph¬ng tr×nh (9)
V« nghiÖm
2 nghiÖm
số vía
dụ ta giải
4 nghiÖm
được
phương trình bậc bốn nhờ biết biến đổi sáng tạo vế trái
của phương trình dễ dần tới việc giải các phương trình tích và phương trình quen
thuộc.
Bài toán 12: Cho phương trình
x 4 − 10 x 3 − 2(a − 11) x 2 + 2(5a + 6) x + 2a + a 2 = 0 (10)
a. Giải phương trình khi a = 2
b. Giải và biện luận theo tham số a
Đây là phương trình bậc 2 đối với x và có tham số a tham dự vào phương
trình.

-------------------------------------------------------------------------------------- 9
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


Trước hết ta xem xét câu a: ở đây ta chỉ việc thay a = 2 vào phương trình
x = 0

(10) ⇒ x − 10 x + 26 x − 8 x = 0 ⇔ x( x − 4)( x − 6 x + 2) = 0 ⇔  x − 4 = 0
khi
 x 2 − 6 x + 20 = 0

đó ta có nghiệm của phương trình như sau: x1 = 0; x2 = 4; x3 = 3 − 7 ; x4 = 3 + 7
như vậy phương trình (10) có 4 nghiệm khi a = 2
4

3

2

2

Câu b: Để giải và biện luận phương trình này, chúng ta chưa có đường lối
cụ thể với phương trình bậc bốn. Nhưng nhờ có cách nhìn sáng tạo và vai trò của
các chữ trong phương trình là như nhau nên ta có thể coi phương trình (10) dưới
phương trình ẩn là a và ta có: a 2 + 2(1 + 5 x − x 2 )a + ( x 4 − 10 x3 + 22 x 2 + 12 x) = 0 (10’)
Xem (10’) là phương trình bậc hai của a ta có:
∆' = (1 + 5 x − x 2 ) 2 − ( x 4 − 10 x 3 + 22 x 2 + 12 x) = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) 2

Suy ra phương trình (10’) phân tích được thành:
 x 2 − 6 x − a = 0 (*)
(a − x + 6 x)(a − x + 4 x + 2) = 0 ⇔  2
Khi này ta giải và
 x − 4 x − a − 2 = 0 (**)
2

2

biện luận các phương trình (*)và v (**) theo tham số a.t
a

-9

Ph¬ng tr×nh (*)
2 nghiÖm

V« mghiÖm

-6
2 nghiÖm

Ph¬ng tr×nh (**) V« nghiÖm
2 nghiÖm
4
3
2

V« nghiÖm

Ph¬ng tr×nh (10)
4 nghiÖm

2 nghiÖm

ax + bx + cx + dx + e = 0 (a ≠ 0)
V« nghiÖm

Tóm lại

thông qua sơ đồ sau:

ax 4 + cx 2 + e = 0 (*) ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ax 4 + bx 3 + cx 2 − bx + a = 0
()

Ph¬ng tr×nh ph¶n th¬ng lo¹i 1

Ph¬ng tr×nh ph¶n th

¬ng lo¹i 2
2

at + ct + e = 0 (**) a( x 2 + 12 ) + b( x + 1 ) + c = 0 a( x 2 + 12 ) + b( x − 1 ) + c = 0
x

x

x

x

-------------------------------------------------------------------------------------10
Ph­¬ng­tr×nh­(**)Ph­¬ng­
2
2
------tr×nh­(*)V«­nghiÖmV«­
at + bt + c = 0
at + bt + c = 0
Hướng
dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
nghiÖm2­nghiÖm­©mV«­
thông nghiÖmNghiÖm­kÐp­
qua cách nhìn sáng tạo
©mV«­nghiÖm­­­­­­1­
nghiÖm­d­¬ng2­nghiÖm2­
nghiÖm­d­¬ng4­nghiÖm
2­cÆp­nghiÖm­®èi­nhau

§Æt

§Æt


Bài toán 13: Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm
1999 x 4 + 1998 x 3 + 2000 x 2 + 1997 x + 1999 = 0 (11)
(Thi Học sinh giỏi quận i TPHCM 1998T-1999 )
Để chứng minh phương trình này vô nghiệm ta làm như thế nào? nên xuất
phát từ đâu? đâu có như các dạng phương trình đã được học.......Nhưng nếu ta
chọn một khoảng nào đó mà xét thì thấy nó cũng đâu là hướng đi thích hợp
chăng! Thật vậy ta có:

* Nếu x ≥ 0 : Thì vế trái là dương
* Nếu − 1 ≤ x < 0 : Vế trái lúc này vẫn dương nếu ta nhóm hợp lý
* Nếu x < −1 : Vế trái dương bằng cách nhóm hợp lý
Chỉ cần xét một khoảng hợp lý nào đó (như trên n) thì nhận thấy phương
trình (11) vô nghiệm ∀x .
Hay chúng ta đi xét một ví dụ về phương trình trùng phương sau:
Bài toán 14: Tìm điều kiện của a và b để phương trình sau đây có ba
nghiệm phân biệt: x 4 − 2(a 2 + b 2 − 1) x 2 + (a 2 − b 2 + 1) 2 − 4a 2 = 0 (12)
ở bài toán này thì ta đưa về phương trình bậc hai khi ta đặt t = x 2 ≥ 0 . Khi
đó phương trình (12) ⇔ t 2 − 2(a 2 + b 2 − 1)t + (a 2 − b 2 + 1) 2 − 4a 2 = 0 (12’)
Như thế, để cho phương trình (12) có ba nghiệm phân biệt thì phương
∆t > 0

trình (12’) phải có thoả mãn điều kiện: t1 = 0 thật vậy ta có:
t > 0
2
t1 = (a 2 + b 2 − 1) − 2ab = (a − b) 2 − 1
2
2
2
2
2
2
2
2 2
∆' = (a + b − 1) − (a − b + 1) + 4a = 4a b ⇔ 
2
2
2
t 2 = (a + b − 1) + 2ab = (a + b) + 1

-------------------------------------------------------------------------------------- 11
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


Do t2 > 0 với mọi a, b do đó để phương trình đã cho có ba nghiệm phân
a = b + 1
.
b = a + 1

2
biệt, thì t2 = 0 ⇔ (a − a) − 1 = 0 ⇔ (a − b − 1)(a − b + 1) = 0 ⇔ 

Ngoài ra còn một số cách nưa như giải phương trình bằng phương pháp
đồ thị thì ta chuyển phương trình: x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (I) bằng cách ta đặt
x 2 = y − mx khi đó ta được hệ phương trình:
a

4
 y = x + 2 x (*)

3
2
 x 2 + y 2 + ( a + a − ab + c) x + (b − a − 1) y + d

2 8
2
4

(**)

Hoành độ các giao điểm của parabol, đồ thị của (*)và của đường tròn đồ
thị v (**)là nghiệm của phương trình l (I). Hay chúng ta cũng có thể xây dựng
được công thức nghiệm.
Do thời gian không cho phép nên trong bài viết này tôi chỉ nêu ra hai
phương pháp để giải phương trình bậc bốn mà trong quá trình giảng bản thân đã
tích luỹ củng như thường xuyên phải sử lý bằng những cách giải trên là cơ bản.
Bài toán 16: Cho bốn số thực u, v,x,y sao cho u2 + v2 = 1 và x2 + y2 = 1
Chứng minh rằng: - 2 ≤ u ( y - x ) + v (x + y ) ≤ 2
Nếu ta đã quen biết với việc chứng minh bất đẳng thức , thì ta lại có thể có ý
nghĩ liên hệ khác . Ta lần lướt qua trong đầu các bất đẳng thức : Bất đẳng thức
Cô-si à ? Bất đẳng thức Cô-si chỉ phát biểu cho số dương thôi . ở đây u,v,x,y là
những số thực mà !
Thế thì còn bất đẳng thức nào nhỉ ?....
à ! bất đẳng thức Bunhiacôpxki thì có lẽ được , bởi nó phát biểu cho các số
thực ! Như thế nào nhỉ ?
Cho A,B,C,D là các số thực . Ta có : (A2+B2)(C2+D2) ≥ (AC + BD)2 Hay là
( A2 + B 2 )(C 2 + D 2 ) ≥ AC + BD ≥ - ( A2 + B 2 )(C 2 + D 2 )
Đến đây ta nhìn nó giông giống cái bất đẳng thức của ta ? Và ta đặt thử A = u, C
= y-x, B = v, D = y+x. Quả nhiên ta có lời giải thứ nhất:
Đặt như ta vừa nói, theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
(u 2 + v 2 )[( y − x) 2 + ( y + x) 2 ] ≥ P ≥ - (u 2 + v 2 )[( y − x) 2 + ( y + x) 2 ]
hay 1.( y 2 + x 2 + y 2 + x 2 ) ≥ P ≥ - 1.( y 2 + x 2 + y 2 + x 2 ) hay 2 ≥ P ≥ - 2
(đpcm)
Ta lại suy nghĩ về cái biểu thức P. Ta thử "phá ngoặc" ra xem sao:
P = uy - ux + vx + vy = (uy + vx) + (vy - ux)
Nếu ta đặt A = (uy + vx), B = (vy - ux) , ta có P = A + B.
Mà:
-------------------------------------------------------------------------------------- 12

------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


A2 + B2 = u2y2+v2x2+2xyuv + v2y2+u2x2 - 2xyuv = y2(u2+v2) +x2(u2+v2)
= y2+x2
Vậy ta phải chứng minh : - 2 A2 + B 2 ≤ A +B ≤ 2 A2 + B 2
⇔ (A + B)2 ≤ (A2+B2)2
⇔ (A.1 + B.1)2≤ (A2+B2)(12+12)
Lại dạng Bunhiacôpxki ! Ta chứng minh xong. Như vậy cho tới đây ta đã có
cách giải hai.
Nhưng từ đầu đến giờ , ta chưa để ý đến một vấn đề rất dể nhận thấy . Các số
u,v rồi lậi v,u....x,y rồi lại y,x . Nhìn kỹ các giả thiết ta thấy u,v có vai trò như
nhau , và x,y cũng không khác nhau về " địa vị" trong giả thiết . Tức là trong
phần kết luận ta có thể thay x cho y và ngược lại ; u cho v và ngược lại , thậm
chí thay cặp x,y cho cặp u,v cũng được . Từ cách nhìn ấy ta lại có nhiều cách
giải khác :
+ Cách giải thứ 3: Ta dùng phản chứng
Giả sử: u(y-x) + v(x+y) > 2 (1)
Thế thì do vai trò x,y như nhau ta có :
u(x-y) + v(x+y) > 2 (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2):
2v(x+y) ≥ 2 2 hay vx + vy > 2 (3)
Nhưng theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki
(vx + vy)2 ≤ ( v2+v2)(x2+y2) = 2v2 ≤ 2 ( vì -1≤ v<1)
Hay: - 2 ≤ vx + vy ≤ 2 (*)
Vậy (3) mâu thuẩn với (*). Suy ra (1) không xẩy ra , tức là:
P≤ 2
Giả sử u(y-x) + v(x+y) < - 2
Tương tự ta cũng có mâu thuẩn. Nên P ≥ - 2

Kết hợp lại: 2 ≥ P ≥ - 2 (đpcm)
+ Cách giải thứ 4:
Vẫn dùng phản chứng. Nhưng đổi vai trò của u,v
Giả sử u(y-x) + v(x+y) > 2 (1')
Thế thì v(y-x) + v(x+y) > 2 (2')
Do đó 2(uy+vy) > 2 2
yv + yu > 2
(3')
Tương tự cách giải 3 ta phải có
- 2 ≤ yv + yu ≤ 2
(**) ( dùng Bunhiacôpxki ). Vậy xẩy ra mâu
thuẩn giữa (3') và (**) ⇒ P 2 .
Vẫn đổi vai trò u,v ta cũng có P ≥ - 2
-------------------------------------------------------------------------------------- 13
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


Vậy 2 ≥ P ≥ - 2
+ Cách giải thứ 5:
Vẫn dùng phản chứng . Nhưng đổi x cho y và ngược lại , đồng thời đổi vai trò
của u,v .
Giả sử
u(y-x) + v(x+y) > 2 (1'')
Thế thì
v(x-y) + u(x+y) > 2 (2'')
Do đó
2uy + 2 vx > 2 2
uy + vx > 2
(3'')

Nhưng ta có :
(uy+vx)2 ≤ (u2+v2)(y2+x2)
- 2 ≤ uy + vx 2
(***)
Vậy (3'') mâu thuẩn với (***) . Suy ra P ≤ 2 .
Tương tự : P ≥ - 2 .
Vậy 2 ≥ P ≥ - 2 (đpcm)
Bài toán 17:
Từ bài toán tính tổng : S =
=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
=
10.11 11 .12 12.13
19.20
1 
1 1
1 1
1
 −  +  −  + ... +  − 
 11 12 
 19 20 
 10 11 

đến đây bài toán đã giải xong nhưng đối với học sinh có thói quen đào sâu suy
nghĩ ( nghiên cứu bài toán và bài giải ) sẽ nhận thấy :
1
1
1
=
n.( n + 1)
n n +1

Thế thì không thoả mãn , tiếp tục mỡ rộng bài toán cho n số hạng , học sinh phải
tìm ra bài toán khái quát:
1
d
d
nd
d
1
+
+....
+
+
=
a.(a + d )
(a + d )(a + 2d )
[a + (n − 1)d ][a + nd ] a a + nd
a (a + nd )

- Nét đặc trưng nhìn thấy vấn đề mới trong các điều kiện quen biết còn có thể
hiện ở năng lực nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết .
x

2

x

1

Bài toán 18: Tìm x,y,z biết y = ; = ; và x3 +y3 +z3 = 99
3 z 2
Với một số bài toán giải phương trình có dạng đặc biệt thì từ các tính chất quen
thuộc của tỷ lệ thức ta có thể có một cách giải đơn giản và độc đáo , cụ thể:
x

2

x

y

x

z

x

z

x

y

z

Từ y = ⇒ = ; tương tự = ⇒ = từ đó ta có: = = ⇒
3
2 3
1 2
2 4
2 3 4
99
x3
y3
z3
x3 + y 3 = z 3
⇒ x=2; y=3;z=4
=
=
=
=
3
3
3
3
3
3
99
2
3
4
2 +3 +4

-------------------------------------------------------------------------------------- 14
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


C. KẾT LUẬN
Trong học toán, cách giải bài tập là con đường đi từ những điều đã biết,
kết hợp các dữ kiện, các mối quan hệ giữa chúng để đạt được chân lý, hay tìm ra
đáp số đúng.
Việc phát hiện ý đồ của bài toán (cúng là ý đồ của người ra đề toán c) là
quan trọng. Quyết định lời giải đúng, ngắn nhất, logic chặt chẽ nhất,
Nếu chưa thể phát hiện được dấu hiệu bản chất vấn đề hãy tổng hợp các
dữ liệu, xây dựng mối liên hệ giữa chúng để được một kết quả ban đầu, từ đó
phát hiện ra hướng giải bài toán.
Trong hướng đi này, phải khai thác triệt để giả thiết mà đề bài đã cho, vì
nó là dấu hiệu giúp người giải toán nắm bắt ý định của người ra đề.
Hãy tôn trọng ý kiến của học sinh trong cách giải bài toán cho dù chưa sắc
sảo lắm, kể cả ý kiến có tính chất rời rạc để xây dựng lòng tin, sự quyết đoán
của học sinh .
Hãy giúp đỡ, góp ý cho dù các em lúc đầu gặp khó khăn khi suy luận toán
học. Có nhiều bài toán hay mang màu sắc thực tế gần gủi với đời sống, sản xuất
để kích thích lòng ham mê học toán của các em, làm cho các em thấy được vẻ
đẹp của toán học. Có như vậy người dạy toán mới hoàn thành nhiệm vụ.
-------------------------------------------------------------------------------------- 15
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


Như vậy để giải được phường trình bậc bốn, chúng ta có thể sử dụng

nhuần nhiễu các phương pháp cùng một lúc. Mà thực chất là chúng ta biến đổi
một cách sáng tạo, linh hoạt vế trái của phương trình về phương trình tích và
phương trình quen thuộc. Việc biến đổi này chủ yếu:
* Nếu dùng phương pháp phân tích ra thừa số cần chú ý:
- Dùng các phương pháp phân tích đã học lớp 8.
- Đặc biệt là phương pháp nhẫm nghiệm, phương pháp hệ số
bất định, Phương pháp tách một hay nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt, và
phương pháp nghiệm riêng..... để nhằm đưa vế trái của phương trình về dạng
tích và áp dụng giải phương trình tích.
* Nếu phương pháp sáng tạo, biến đổi hợp lý thì cần:
- Khai thác sâu đầu bài
- Coi các chữ có mặt trong phương trình là có vai trò như
nhau và ta cỏ thể xem chữ này là ẩn hoặc chữ kia là ẩn.
- Hoặc dùng cách đổi biến (đặt ẩn phụ) một cách hợp lý.
IV/ MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

Bài 1: Chứng minh các đường thăng sau đi qua một điểm cố định :
a, y = (2m − 1) x − 4m + 1993
b, y = (2m − 1) x + n − 1 với n+m = 1
Bài 2: Giải và biện luận phương trình: a, x 2 − a − x = a
b, x + a + x = a
c, Giải và biện luận hệ phương trình;
 x 2 + y 2 = bx + cy − az
 2
2
 y + z = ay + bz − cx
 z 2 + x 2 = cz +·−by


Bài 3: Giải và biện luận phương trình theo tham số b,c:

x 6 + (c 2 − b 2 ) x 2 − bc 2 = 0

V/ MỘT SỐ NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ:

Ta nhìn lại 10 bài toán trên, ta đã đưa ra được việc Hướng dẫn học sinh tìm
tòi phương pháp giải toán thông qua “cách nhìn” và qua đó rút ra một số điều
quan trọng và có ý nghĩa là:
Điều thứ nhất: trước hết khi làm một bài toán thì ta cần xem xét thật kĩ càng
và tìm ra được mối liên hệ giữa các chữ có trong bài toán.
Thứ hai là: phải chứng tỏ mình bằng những cách nhìn , góc độ nhìn khác nhau
trước các bài toán.
Thứ ba là: cần chú ý những trường hợp đặc biệt nhất và những điều mà mọi
người ít quan tâm.
-------------------------------------------------------------------------------------- 16
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


Qua việc nghiên cứu ở trên khi giả bài toán tìm điểm cố định mà đồ thị hàm
số đi qua cần chú ý rằng việc tìm được hay không là do ta có đưa về dạng
mA(x,y)+B(x,y)=0 hay không ? Ngoài ra nếu đưa được thì hệ phương trình sau
 A( x, y ) = 0
 B ( x, y ) = 0

có nghiệm hay không? 

- Nếu hệ phương trình vô nghiệm: thì không tìm được điểm cố định ấy,
nghĩa là đồ thị hàm số không đi qua điểm cố định nào
- Nếu hẹ phương trình vô số nghiệm: thì chúng ta lại càng không tìm được
, như vậy việc tìm được điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua phụ thuộc vào

hệ phương trình có nghiệm hay không và có nghiệm như thế nào.
Ngoài ra chúng ta hiểu rằng từ cách nhìn thích hợp với góc độ thích hợp thì
cho ta cách giải thích hợp , như vậy bản thân tôi nghỉ rằng “cách nhìn này”
cũng có thể xem như một phương pháp , ngược lại một phương pháp giải bài
toán hay là nhờ vào “cách nhìn này”. Đồng thời ở những trường hợp đặc biệt
nếu chúng ta khai thác đúng hướng và nhìn ở góc nhìn hợp lý lại cũng đưa ra
một phương pháp giải bào toán thú vị.
Như vậy ta có thể nói rằng: Từ cách nhìn phong phú , thích hợp thì có
cách giải phong phú hay nói cách khác nó cho ta một phương pháp giải một
số bài toán như đã gặp, hay chúng ta đã Hướng dẫn học sinh tìm tòi phương
pháp giải toán thông qua “cách nhìn sáng tạo”
Như vậy, ta có thể nói được rằng: nếu có cái nhìn thích hợp ở mọi góc
độ thì ta sẽ có phương pháp giải bài toán thích hợp và đây âu là một vấn đề
cần quan tâm khi giảng dạy cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng và gây
được
hứng thú cho học sinh để các em ham học tập và được thoải mái , không gò bó
khi gặp những bài toán khó.
Tóm lại một số biện pháp vừa kể trên là cơ sở " đơn giản" của quá trình
hoạt động sáng tạo trong dạy và học mà một khi đã trau dồi được thì học sinh có
đủ cơ sở để tự mình phát triển . Còn việc phát triển đến mức độ nào là do tư chất
và nhiết tình quyết tâm . Thực sự nghĩ rằng năng lực tư duy sáng tạo có thể bồi
dưỡng và phát triển được , quả vậy " phải dạy làm sao cho trí thông minh của
mỗi học sinh hoạt động và phát triển " theo lời nói của thủ tướng Phạm Văn
Đồng và đây là trách nhiệm của thầy giáo trong việc tích cực đổi mới phương
pháp dạy và học nhằm nâng cao chất lượng giáo dục học sinh.
Quá trình hoạt động sáng tạo của học sinh không thể lĩnh hội được , nếu
chỉ nghe thầy giáo giảng ( thông tin truyền miệng ) dù phương pháp có tốt đến
đâu và quá trình đó cũng không thể lập được thuật toán mà muốn rèn luyện
những biện pháp nêu trên của hoạt động sáng tạo , chúng ta không còn con
đường nào khác là hường tâm lý học sinh , lôi cuốn dẫn dắt học sinh tham gia

-------------------------------------------------------------------------------------- 17
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


vào các hoạt động tư duy sáng tạo thông qua việc giải các bài toán . Mặt khác
phải hướng học sinh vào hoạt động tự học ( độc lập nghiên cứu ) vì chỉ có tự học
mới là biện pháp tốt nhất để phát huy tư duy độc lập dẫn đến tư duy phê phán ,
năng lực phát hiện vấn đề mới rồi dến tư duy sáng tạo .
Qua 18 bài toán ở trên với sự khai thác ở từng khía cạnh khác nhau , dự
đoán kết quả , tìm tòi mò mẫm để tìm ra điểm xuất phát khi giải bài tập, đồng
thời rèn luyện cho các em có thói quen khai thác các điều kiện của bài toán và sử
dụng tốt ddặc biệt hoá ,( tổng quát hoá ) ; tương tự hoá để giải các bài toán cũng
như tự đặt dược những bài toán mới và đặt những vấn đề mơí, hay bài toán phụ .
Với thời gia có hạn , tôi chỉ hy vọng rằng qua một số ví dụ , những khía
cạnh khi cùng học sinh giải bài tập , một phần nào đó để rèn luyện cho các
em biết tư duy sáng tạo và độc lập nghiên cứu trong quá trình học tập
* KẾT QUẢ KHẢO SÁT HỌC TẬP CỦA HỌC SINH TRƯỚC THỰC
HIỆN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
KẾT QUẢ XẾP LOẠI
Khối lớp

Tổng số
học sinh

Giỏi

Trung
bình

Khá

Yếu

TS

%

TS

%

TS

%

TS

%

9A

30

2

7

7

23

12

40

9

30

9B

29

1

1

6

20

13

45

10

34

* KẾT QUẢ KHẢO SÁT HỌC TẬP CỦA HỌC SINH SAU KHI TRIỂN
KHAI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
KẾT QUẢ XẾP LOẠI
Khối lớp

Tổng số
học sinh

Giỏi

Trung
bình

Khá

Yếu

TS

%

TS

%

TS

%

TS

%

9A

30

6

20

10

33

10

33

4

14

9B

29

4

12

9

31

13

45

4

12

Kết quả so sánh.
Lớp
9A

Điểm TB trước tác động
70%

Điểm TB sau tác động
87%

-------------------------------------------------------------------------------------- 18
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


9B

68%

89%

-------------------------------------------------------------------------------------- 19
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


C- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHI
Trên đây chỉ mới là một số bài toán minh hoạ ở một số dạng thường gặp khi
vẽ hình phụ, tuy chưa được đầy đủ và phong phú nhưng đó là những ví dụ tiêu
biểu thể hiện cách dẫn dắt hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải từ những cách nhìn,
góc nhìn sang tạo.
Với kinh nghiệm trong quá trình dạy toán nói chung, dạy môn hình học nói
riêng, hướng cho học sinh tới việc tự tìm tòi nghiên cứu, sáng tạo, tư duy lôgíc
tìm ra hướng đi đúng đắn trong việc chứng minh một bài hình. Từ đó học sinh có
thể tự mình giải quyết được nhiều bài toán khó. Gây cho học sinh sự ham mê
thích thú với môn hình học đầy tính sáng tạo và không ít khó khăn phức tạp.
Không sợ sệt nản chí trước những bài hình hay và khó mà sẵn sàng vượt lên
chinh phục nó một cách nhẹ nhàng.
Tôi chỉ có tham vọng cho đề tài này để nói lên được hết những trường hợp “
hẩm hưu” và “ bất hạnh” trong chương trình dạy toán . Chỉ hy vọng rằng đây là
một số vấn đề mà tôi đã khai thác ở những khía cạnh đó và những trường họp đó.
Vì điều kiện thời gian nên tôi chưa xét đến những điều “hẩm hưu” và “ bất hạnh”
cũng như những trường hợp đặc biệt mà ít người quan tâm trong bộ môn hình
học ở cấp Tung học cơ sở - Hẹn dịp khác.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VI

Thanh Hoá, ngày 25 tháng 3 năm 2016

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
Người viết

Trương Mạnh Hùng

-------------------------------------------------------------------------------------- 20
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo


-------------------------------------------------------------------------------------- 21
------Hướng dẫn học sinh lớp 9 trường THCS Đông Hương tìm tòi phương pháp giải toán
thông qua cách nhìn sáng tạo