Khai thác và phát triển kết quả một số bài toán trong tiết ôn luyện toán 8 trường THCS nga an

MỤC LỤC
Trang
1- MỞ ĐẦU...................................................................................................................................................2
1.1. Lí do chọn đề tài:..............................................................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu:......................................................................................................................3
1.3. Đối tượng nghiên cứu:.....................................................................................................................3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM....................................................................................................4
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:........................................................................................4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm........................................................4
2.3. Các giải pháp đã áp dụng để khắc phục thực trạng trên................................................................5
2.3.1. Bài toán 1...................................................................................................................................5
2.3.2. Bài toán 2...................................................................................................................................7
2.3.3. Bài toán 3................................................................................................................................10
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục của bản thân..........................14
3.1. Kết luận...........................................................................................................................................15
3.2. Kiến nghị.........................................................................................................................................15


1- MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Như chúng ta đã biết môn Toán trong trường phổ thông là một trong
những môn được phân phối thời lượng dạy học tương đối cao (4 tiết/ tuần),
ngoài ra trong nhà trường phổ thông môn Toán còn được Ban giám hiệu và tổ
chuyên môn phân phối thêm thời lượng để bồi dưỡng cho học sinh như: Dạy học
tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi, bồi dưỡng học sinh yếu kém ... Bởi lẽ môn
Toán là một môn học có tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng.
Không những thế môn Toán còn có tính lôgic và thực nghiệm, nó có một vị trí
rất quan trọng trong nhà trường phổ thông đó là môn học công cụ, môn học có
tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ và hình thành các phẩm chất trí tuệ cho học
sinh.
Trong quá trình giảng dạy việc định hướng, liên kết, mở rộng, khai thác và phát

triển kết quả một số bài toán là một vấn đề rất quan trọng, nó không chỉ giúp
cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán cơ bản mà còn nâng cao
tính khái quát hoá, đặc biệt hoá một bài toán để từ đó phát triển tư duy, nâng cao
tính sáng tạo cho các em học sinh. Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng và áp dụng
kết quả của các bài toán khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng sẽ giúp
cho học sinh hứng thú và phát triển năng lực tự học một cách khoa học khi học
toán. Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi được tiếp xúc với
rất nhiều đối tượng học sinh và thấy rằng đa số học sinh không nhớ những bài đã
làm, không biết cách khai thác kết quả của một số bài đã chí có những bài chỉ
khác nhau bởi lời văn nhưng nội dung lại hoàn giống với bài toán cũ. Đặc biệt là
các bài toán đảo và bài toán tổng quát học sinh thường không có kỷ năng nhận
ra. Chính vì vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận ra các bài toán cũ, bài toán đảo,
bài toán tổng quát…đồng thời góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học
theo hướng tích cực và bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh, rèn luyện khả
năng sáng tạo trong học toán cho học sinh cũng như muốn góp phần vào công
tác bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi Toán trường THCS Lê Lợi
Hầu hết các học sinh được hỏi đều có chung một ý kiến môn Toán là một
môn học “khó” nên dẫn tới rất ít học sinh có hứng thú say mê nghiên cứu sâu
môn Toán hoặc các em chỉ học một cách thụ động mà không biết cách khai thác
vận dung để giải quyết các bài toán khác - vấn đề Toán học khác. Từ thực tế như
thế mà người giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán trong nhà trường phổ
thông không khéo léo biết cách lồng ghép, khai thác trong quá trình giảng dạy
của mình để tạo ra hứng thú và sự say mê nghiên cứu Toán học cho học sinh, thì
càng làm cho các em xa dời môn Toán. Như vậy hoạt động dạy học môn Toán
trong trường phổ thông không đáp ứng được mục tiêu giáo dục của nó.

2


Chính vì lẽ đó tôi xin được trình bày một kinh nghiệm nhỏ của mình về

dạy học giải bài tập Toán trong trường THCS : "Khai thác và phát triển kết quả
một số bài toán trong tiết ôn luyện Toán 8" trường THCS Nga An.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
* Trong quá trình dạy học toán để giúp HS khối THCS học tốt môn Toán và
biết cách khai thác kết quả của một bài tập Toán thì người giáo viên ngoài việc
không ngừng tìm tòi và vận dụng các phương pháp dạy học tích cực phù hợp với
đặc trưng bộ môn mà ngoài ra còn phải truyền đạt được cho các em phương
pháp giải bài tập Toán bằng cách khai thác và sáng tác bài tập tương tự.
- Từ phương pháp dạy học giải bài tập Toán bằng cách khai thác và sáng tác
bài tập tương tự, học sinh sẽ vận dụng vào khai thác kết quả của một bài tập
Toán và sáng tác ra các bài tập tương tự, tích luỹ thêm vốn kiến thức giải toán
cho bản thân để giải được các bài toán tương tự, tích luỹ và rèn luyện kĩ năng
giải toán cho bản thân mình.
- Chính vì thế mà bản thân tôi mới mạnh dạn nghiên cứu và vận dụng vào
trong quá trình dạy học Toán kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài tập Toán
trong trường THCS thông qua phát triển kết quả của một bài toán trong tiết ôn
luyện Toán 8.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Phương pháp hình thành tính tích cực, chủ động và năng lực suy luận của học
sinh
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Đọc và nghiên cứu tài liệu
- Trao đổi với đồng nghiệp từ các buổi sinh hoạt chuyên môn
- Các phương pháp phân tích tổng hợp, phương pháp suy diễn lôgic, phương
pháp vấn đáp gợi mở.
- Phương pháp chọn lọc và thử nghiệm thực tế.

3

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Ở trường THCS, đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ
yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường THCS là một phương tiện rất
có hiệu quả và không thể thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức,
phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng Toán học vào
thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích
dạy học Toán ở trường THCS. Vì vậy, tổ chức tốt và có hiệu quả việc dạy giải
bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán.
Trong dạy học môn Toán, mỗi bài tập toán được sử dụng với những dụng
ý khác nhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, gợi động cơ để làm việc với
nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra …Tất nhiên, việc giải một bài tập cụ
thể thường không chỉ nhằm một dụng ý đơn giản nào đó mà thường bao hàm
những ý đồ nhiều mặt như đã nêu.
Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập
chứa đựng tường minh, hay tiềm ẩn những chức năng khác nhau (chức năng dạy
học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra, …). Những
chức năng này đều hướng tới việc thực hiện mục đích dạy học.
Dạy học giải bài tập Toán là quá trình suy luận, nhằm khám phá ra quan
hệ lôgíc giữa cái đã cho (giả thiết) với cái phải tìm (kết luận). Nhưng các qui tắc
suy luận chưa được dạy tường minh. Do đó, học sinh thường gặp nhiều khó
khăn khi giải bài tập. Thực tiễn dạy học cũng cho thấy với những học sinh khá giỏi thường tự đúc kết những tri thức những phương pháp cần thiết cho mình
bằng con đường kinh nghiệm, còn học sinh trung bình hoặc yếu kém còn gặp
nhiều lúng túng.
Để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập. Tuy rằng, không
phải cứ giải nhiều bài tập là có kỹ năng. Thực tế qua những năm trực tiếp giảng
dạy môn Toán ở trường THCS tôi nhận thấy rằng: Việc luyện tập giải bài tập
toán sẽ có hiệu quả, nếu như giáo viên biết khéo léo khai thác kết quả của một
bài tập này sang bài tập khác một cách tương tự, nhằm vận dụng một tính chất
nào đó, nhằm rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó.

Việc dạy học khai thác kết quả của một bài tập toán trong các tiết luyện
tập, cũng như trong các buổi phụ đạo bồi dưỡng HS khá - giỏi, giúp học sinh
đúc rút kinh nghiệm, phương pháp giải toán, để giải các bài tập tương tự củng
như có kĩ năng rất quan trọng trong giải toán đó là " Quy lạ về quen " và sáng
tác được các bài tập tương tự hoặc tự các em có thể đưa ra bài toán tổng quát
cho dạng toán vừa thực hiện giải. Làm giàu thêm tri thức Toán học và các
phương pháp giải toán cho mình.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
74 em học sinh lớp 8A và 8B (Lớp 8A - 39 em, lớp 8B - 35 em) trường
THCS đầu năm học 2016 - 2017 được hỏi có thích học Toán và giải Toán không
thì có 12 em thích (16,2%), 43 em không thích (58,1%), còn 19 em không trả lời
(25,7%).
4


Kết quả điều tra trả lời câu hỏi: Khi giải một bài toán em có thường đặt ra
những câu hỏi nào? thì 100% học sinh đều có chung một câu trả lời: Không đặt
ra câu hỏi nào.
Chính vì thế mà các em đã không thể định hướng cho mình cách giải một
số bài tập đặc biệt là các em học sinh khá giỏi khi giải những bài tập nâng cao.
2.3. Các giải pháp đã áp dụng để khắc phục thực trạng trên.
Để hình thành kĩ năng giải bài tập cho học sinh phải thông qua quá trình
ôn luyện. Tuy nhiên không phải cứ giải nhiều bài tập là học sinh có kỹ năng giải
toán. Việc ôn luyện sẽ có hiệu quả nếu như giáo viên biết khéo léo khai thác kết
quả của một bài toán để hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho các bài toán mới mà
học sinh có thể " quy lạ về quen" hoặc sáng tác những bài toán tương tự và có
thể phát biểu nên bài toán tổng quát. Qua yêu cầu học sinh trả lời một số câu
hỏi trước khi giải một bài toán đó là:
- Hệ thống câu hỏi 1:
+ Qua bài tập này đã củng cố cho ta được kiến thức Toán học nào?

+ Từ kết quả của bài tập này em hãy sáng tác ra các bài tập có cách giải
tương tự.
+ Từ kết quả của bài tập này em hãy đặt một bài toán lật ngược vấn đề với
bài toán đó?
+ Em hãy nêu bài toán tổng quát của dạng bài toán trên.
- Hệ thống câu hỏi 2:
+ Em đã gặp bài toán này lần nào chưa ? Hay đã gặp bài toán này ở dạng
khác ?
+ Em có biết một bài toán nào có liên quan không ? Một định lí có thể
dùng được không ?
+ Đây là một bài toán có liên quan mà em đã giải rồi. Có thể sử dụng nó
không ? Có thể sử dụng kết quả của nó không ? ...
Sau đây tôi đưa ra một số bài toán mà trong quá trình dạy học tôi đã thực
hiện hướng dẫn học sinh khai thác kết quả của bài toán:
2.3.1. Bài toán 1
Cho a, b là hai số bất kì. Chứng minh rằng: a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
Giải:
* Chứng minh:
Ta có: (a + b)3 − 3ab(a + b) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 − 3a 2b − 3ab 2 = a 3 + b3
=> (đ.p.c.m)
Từ kết quả bài toán trên giáo viên có thể phát triển thành các bài toán sau:
Bài toán 1.1:
Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc
Giải:
Vì a + b + c = 0 => a + b = −c , thay vào a 3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)

5


a 3 + b3 = −c3 − 3ab(−c ) => a 3 + b 3 + c 3 = 3abc => (đ.p.c.m)

Bài toán 1.2:
3
3
3
3
Cho a+b+c+d =0 chứng minh rằng : a + b + c + d = 3 ( c + d ) ( ab − cd )
Giải:
Vì:
a+b+c+d = 0
=> a + b = −(c + d ), do a 3 + b3 = ( a + b ) − 3ab(a + b)
3

=> a 3 + b3 = −(c + d )3 + 3ab(c + d ) = −c 3 − d 3 − 3c 2 d − 3cd 2 + 3ab(c + d )
=> a 3 + b3 + c 3 + d 3 = 3ab(c + d ) − 3cd (c + d ) = 3(c + d )(ab − cd )

Vậy: a + b + c + d = 3 ( c + d ) ( ab − cd )
*Từ bài toán 1.1 giáo viên có thể sử dụng và khai thác kết quả bài toán đó
cho các bài toán sau:
Bài toán 1.3:
2
Cho ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 và a, b, c ≠ 0
3

3

3

chứng minh rằng :

3

1 1 1
3
+ 3+ 3=
3
a b c
abc

Nhận xét: Điều cần chứng minh ở đây tương tự đối với vế sau của bài toán 1
1 1 1
nhưng để vận dung cần phải có thêm điều kiện + + = 0 , vậy ta có cách giải
a b c
quyết một số bài toán như sau:
Giải:
Từ : ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2
2

=> a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca ) = a 2 + b 2 + c 2
=> ab + bc + ca = 0 vì a, b, c ≠ 0 nên ta có
ab + bc + ca
1 1 1
= 0 => + + = 0
abc
a b c
1 1 1
Do + + = 0
a b c
1 1 1
1 1 1
3

Áp dụng kết quả bài toán I.1 ta được 3 + 3 + 3 = 3. . . =
a b c
a b c abc
Bài toán 1.4:
Cho

1 1 1
yz xz yz
+ + = 0 Tính giá trị biểu thức B = 2 + 2 + 2
x
y
x
x y z

Giải:
Từ

1 1 1
+ + =0
x y z

6


1

1

1

xyz

xyz

xyz

1 1 1

3

=> x 3 + y 3 + z 3 = 3. x . y . z = xyz
yz

xz

xy

=> x 3 + y 3 + z 3 = 3 => x 2 + y 2 + z 2 = 3
=> B = 3
Bài toán 1.5
Cho x + y + z = 0 và x, y, z ≠ 0.
x2
y2
z2
+
+
Tính C = 2
x − y2 − z2 y2 − z2 − x2 z2 − x2 − y2

Giải

Từ x + y + z = 0 => x = − ( y + z ) => x 2 − y 2 − z 2 = 2 yz
z = −( y + x ) => z 2 − y 2 − x 2 = 2 xy
y = −( z + x) => y 2 − z 2 − x 2 = 2 xz
⇒ C=

x2
y2
z2
x3 + y 3 + z 3
+
+
=
2 yz 2 xz 2 xy
2 xyz

Do x + y + z = 0 => x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz
3 xyz 3
=
Vậy C =
2 xyz 2
2.3.2. Bài toán 2
a + b + c = 9
Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn:  2 2 2
 a + b + c = 53
Tính giái trị biểu thức A = ab + bc + ca.
Nhận xét: Trong bài này học sinh chỉ cần tìm mối liên hệ giữa giả thiết và biểu
thức cần tìm giá trị đó là hằng đẳng thức thì các em có cách giải quyết bài toán
như sau:
Giải:
Từ a + b + c = 9 => (a + b + c ) 2 = 81

a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca ) = 81
kết hợp với a 2 + b 2 + c 2 = 53 => 2(ab + bc + ca ) = 28
=> ab + bc + ca = 14
Vậy A = 14
* Từ bài toán 2 giáo viên có thể khai thác và phát triển kết quả bài toán
đó cho một số bài toán sau:
a + b + c = 7
Bài toán 2.1: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn: 
 ab + bc + ca = 9
Tính giá trị biểu thức B = a 2 + b 2 + c 2

7


Nhận xét: Bài toán này và bài toán 2 chỉ đổi một phần giả thiết cho kết luận còn
kết luận thành giả thiết, nên học sinh có thể áp dụng cách giải bài toán 2 vào giải
bài toán 2.1 một cách dễ dàng như sau:
Giải:
Từ a + b + c = 7 => (a + b + c ) 2 = 49

=> a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca ) = 49
Kết hợp với ab + bc + ca = 9 => a 2 + b 2 + c 2 = 31 .
Vậy B = 31.
a + b + c = 0
Bài toán 2.2: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn:  2
2
2
a + b + c = 14
Tính gía trị biểu thức: C = a 4 + b 4 + c 4

Giải:
Từ: a 2 + b 2 + c 2 = 14 => (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 196

a 4 + b 4 + c 4 + 2(a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) = 196 (1)
Do a + b + c = 0 => (a + b + c ) 2 = 0

=> a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca ) = 0
=> (ab + bc + ca) = −7
=> (ab + bc + ca) 2 = 49
=> a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 2(ab 2c + a 2bc + abc 2 ) = 49
=> a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 + 2abc (a + b + c ) = 49, do a + b + c = 0

=> a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 = 49 , thay vào (1) ta được:
a 4 + b 4 + c 4 + 2.49 = 196 => a 4 + b 4 + c 4 = 98
Vậy C = 98.
a + b + c = abc

Bài toán 2.3: Cho a, b, c
thỏa mãn:  1 1 1
+ + =2

a b c
1 1 1
Tính giá trị biểu thức: D = 2 + 2 + 2
a b c
Nhận xét: Sau khi đã thực hiện được bài toán II.1 thì học sinh dễ dàng thực hiện
tiếp được bài toán II.3. Bởi vì giữa hai bài toán này ta chỉ thay đổi a, b, c thành
1 1 1
, ,
a b c

Giải:

8


1 1 1
1 1 1
+ + = 2 => ( + + ) 2 = 4
a b c
a b c
1 1 1
2
2 2
=> 2 + 2 + 2 +
+ +
= 4 (2)
a b c
ab bc ca
1
1
1
+ +
= 1 thay vào (2),
Do a, b, c
và a + b + c = abc ⇒
ab bc ca
1 1 1
ta được: 2 + 2 + 2 = 2
a b c
Vậy: D = 2

Từ

Bài toán 2.4:
x y z
+ + =1

a b c
Cho a, b, c, x, y, z khác không thỏa mãn:  a b c
 + + =0

x y z

x2 y 2 z 2
Tính giá trị biểu thức E = 2 + 2 + 2
a
b
c
Nhận xét: Áp dụng cách giải quyết bài toán 2.2 mà học sinh có thể giải quyết
bài toán 2.3 một cách dễ dàng như sau:
Giải:
2
x2 y 2 z 2
 xy yz zx 
x y z
x y z
=>
+ 2 + 2 + 2  + + ÷= 1
+
+

=
1
=>
+
+
=
1
Từ:
2

÷
a b
c
a b c
 ab bc ca 
a b c
x2 y2 z2
xyc + yza + zxb
=> 2 + 2 + 2 + 2.
= 1 (3)
a
b
c
abc
a b c
yza + xzb + xyc
=0
Do + + = 0 =>
x y z
xyz

⇒

2
2
2
ayz + byz + cxy = 0 , thay vào (3) ta được x 2 + y2 + z 2 = 1
a
b
c

Bài toán 2.5: Cho x, y, z

⇒ E = 1.

x + y + z = 1

thỏa mãn:  1 + 1 + 1 = 0
x y z


Tình giá trị biểu thức F =
Nhận xét: Cách giải quyết bài toán này cũng gần giống như cách giải quyết bài
toán 2.2
Giải:
2
Từ x + y + z = 1 => ( x + y + z ) = 1
⇒

x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + yz + zx ) = 1 (4)

9


1
x

Do +

1 1
xy + yz + zx
+ = 0 =>
= 0 => xy + yz + zx = 0 , thay vào (4), ta được
y z
xyz

F = 1.

x + y + z = a
 2
2
2
2
Bài toán 2.6: Cho:  x + y + z = b Tính x3+ y3+ z3 theo a, b, c.
1 1 1 1
 + + =
 x y z c

Giải:
Áp dụng hằng đẳng thức: x3+ y3+ z3 -3xyz = (x+ y+ z)(x2+ y2+ z2-xy- yz- xz)
⇒ x3+ y3+ z3 = 3xyz+ a[ b2- (xy+ yz+ zx)]

Ta cần tính xy+ yz+ zx và xyz theo a, b, c
Ta có a2= (x+ y+ z)2 = x2+ y2+ z2+2( xy+ yz+ zx)
a2 − b2
2
1 1 1 1
xy + yz + zx 1
= ⇒ xyz = c( xy+ yz+ zx)
Từ x + y + z = c ⇒
xyz
c
2
2
a −b
⇒ xyz = c.
2
 2 a 2 − b 2  3c( a 2 − b 2 ) + a (3b 2 − a 2 )
a2 − b2
⇒ x3+ y3+ z3 =3c.
+ a.  b −
÷=
2 
2
2

⇒ xy+ yz+ zx=

2.3.3. Bài toán 3.
1 1 1
1
+ + =

a b c a+b+c
Chứng minh rằng: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 0 .
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán như sau:
1 1 1
1
Từ + + =
a b c a+b+c
1
1 1 1

⇒  + ÷+  −
÷= 0
 a b c a+b+c 
a+b
a+b
+
=0
⇒
ab c ( a + b + c )

Cho a, b, c khác không thỏa mãn:

⇒

( a + b ) 

1
1
+
2

 ab ac + bc + c


÷= 0


ab + ac + bc + c 2
=0
⇒ ( a + b)
ab ac + bc + c 2

(

)

10


⇒

( a + b)
⇒

⇒

a ( b + c) + c ( b + c)

(

ab ac + bc + c 2

( a + b) ( b + c) ( c + a)

(

ab ac + bc + c 2

( a + b) ( b + c) ( c + a ) = 0

)

)

=0

=0

⇒ (đ.p.c.m)

Nhận xét: Từ bài toán 3 ta suy ra:
Hoặc a + b = 0, hoặc b + c = 0, hoặc c + a = 0
* Từ đó giáo viên có thể khai thác kết quả bài toán 3 cho các bài toán sau:
1 1 1
1
Bài toán 3.1: Cho a, b, c khác không thỏa mãn: + + =
a b c a+b+c
2013
2013
2015
Tính giá trị biểu thức M = (a + b )(b + c2015)(c2017 + a2017) + 2016.

Nhận xét: Biểu thức cần tính giá trị trong bài toán này nhìn phức tạp vì có số
mũ lớn nên học sinh thường ngại nhưng nếu các em đã được tiếp cận bài toán 3
thì các em sẽ tự giải quyết bai toán rất dễ dàng như sau:
Giải:
1 1 1
1
Từ giả thiết bài toán + + =
=> ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 0
a b c a+b+c
* Hoặc a + b = 0 => a = - b => a2013 = - b2013 => a2013 + b2013 = 0
=> M = 2016.
* Hoặc b + c = 0 => b = - c => b2015 = - c2015 => b2015 + c2015 = 0
=> M = 2016.
* Hoặc c + a = 0 => c = - a => c2017 = - a2017 => c2017 + a2017 = 0
=> M = 2016.
Vậy M = 2016.
a + b + c ≠ 0

Bài toán 3.2. Cho ba số a, b, c khác không thỏa mãn:  1 1 1
1
 a + b + c = a + b + c
1
1
1
1
Chứng minh rằng: 2015 + 2015 + 2015 = 2015 2015 2015
a
b
c
a

+b +c
Nhận xét: Cũng như bài toán 3.1 ở bài toán này học sinh có thể tự giải quyết
như sau:
Giải:
1 1 1
1
Từ giả thiết bài toán: + + =
=> ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 0
a b c a+b+c
 a 2015 + b 2015 = 0

* Hoặc a + b = 0 => a = - b => a2015 = - b2015 =>  1
1
 2015 + 2015 = 0
b
a
11


Nên:

1
a

2015

+

1
b

+

2015

1
c

2015

1
a
=>

1
a

2015

2015

+

+b

1
b

2015

2015

+

+c

1
c

2015

2015

=

=

1
c

=

2015

1
c

2015

1

a

2015

+b

2015

+ c 2015

=> (đ.p.c.m)

* Từ bài toán 3.2 học sinh dễ dàng phát biểu bài toán tổng quát và chứng minh.
Bài toán tổng quát:
a + b + c ≠ 0

Cho ba số a, b, c khác không thỏa mãn:  1 1 1
1
+
+
=

a b c a + b + c
1
1 1
1
Chứng minh rằng: n + n + n = n n n với mọi n N và n lẻ.
a b c
a +b +c
Bài toán III.3: Cho ba số thực a, b, c trong đó: a > 0 và b, c khác không và đôi

1 1 1
1
một khác nhau thỏa mãn: + − =
. Chứng minh b < 0.
a b c a+b−c
Giải: Tương tự bài toán 3 ta có:
1 1 1
1
1 1 1
1
=0
Từ + − =
=> + − −
a b c a+b−c
a b c a+b−c
1 1
1
1
) = 0 => (a + b)(b - c)(c - a) = 0
=> ( + ) − ( +
a b
c a+b−c
Do a, b, c đôi một khác nhau nên b - c và c - a khác 0
=> a + b = 0 => b = -a, vì a > 0 => b < 0 => (đ.p.c.m).
a + b + c = 2016

Bài toán 3.4: Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn:  1 1 1
1
+ + =


 a b c 2016
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số đối nhau.
Nhận xét: Từ giả thiết của bài toán học sinh có thể đưa về dạng quen thuộc của
bài toán 3 từ đó các em có thể giải bài toán dễ dàng như sau:
Giải:
1 1 1
1
1 1 1
1
Từ a + b + c = 2016 và + + =
=> + + =
,
a b c 2016
a b c a+b+c
Áp dung kết quả bài toán 3 => (a + b)(b + c)(c + a) = 0
Từ đó ta có:
* Hoặc a + b = 0 => a = -b
* Hoặc b + c = 0 => b = - c
* Hoặc c + a = 0 => c = - a
Vậy trong ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện bài toán thì tồn tại hai số đối nhau.
12


Chú ý: Cũng từ bài toán 3.4 có thể yêu cầu học sinh chứng minh trong ba số a,
b, c tồn tại ít nhất một số bằng 2016.
Thật vậy từ kết quả biến đổi của bài toán 3.4 ta có:
* Hoặc a = - b, thay vào một trong hai giả thiết của bài toán => c = 2016
* Hoặc b = - c, thay vào một trong hai giả thiết của bài toán => a = 2016
* Hoặc c = - a, thay vào một trong hai giả thiết của bài toán => b = 2016.
Vậy trong ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện bài toán thì có ít nhất một số bằng

2016.
 x + y + z = 3 (5)

1 1 1 1
(6)
Bài toán 3.5: Tìm các số x, y, z khác 0 biết:  + + =
x
y
z
3

2 x 2 + y = 1 (7)

Nhận xét: Từ giả thiết (5) và (6) học sinh có thể áp dụng kết quả bài toán 3 để
tìm mối liên hệ giữa x, y, z từ đó có hướng giải quyết bài toán như sau:
Giải:
1 1 1 1
Từ x + y + z = 3 và + + =
x y z 3
1 1 1
1
=> ( x + y )( y + z )( z + x) = 0
=> + + =
x y z x+ y+ z
* Nếu x + y = 0 => x = - y thay vào (3) => 2x2 - x - 1 = 0
<=> (2x + 1)(x - 1) = 0 <=>

−1

x = 2

<=> 
x =1

−1
1
=> y = , thay x va y vào (1) => z = 3
2
2
- Với x = 1 => y = -1, thay x và y vào (1) => z = 3
* Nếu y + z = 0 <=> y = -z, thay vào (1) => x =3, thay x = 3 vào (3)
=> y = -17 => z = 17
* Nếu z + x = 0 <=> z = -x, thay vào (1) => y = 3, thay y = 3 vào (3)
=> 2x2 + 3 = 1 <=> x2 = -1 vô lí.
 −1 1 
Vậy (x, y, z) nhận các giá trị:  ; ;3 ÷, ( 1; −1;3 ) , ( 3; −17;17 ) .
 2 2 
Bài toán 3.6:
Giải phương trình

- Với x =

1
1
1
1
+
=
−
.
4 x − 2006 5 x + 2004 15 x − 2007 6 x − 2005

Giải :

Điều kiện x ≠

1003
2004
669
2005
;x ≠ −
;x ≠
;x ≠
.
2
5
5
6

13


Nhận thấy
(4x- 2006) +(5x+ 2004)+ (6x- 2005)= 15x- 2007
Ta đặt a= 4x- 2006 ; b= 5x+ 2004 ; c= 6x- 2005 (1) Thay vào phương trình đã
cho được :
1 1 1
1
+ + =
a b c a+b+c
1 1 1

1
Theo bài toán 3 ta có : + + =
a b c a +b+c
⇒ ( a + b) ( b + c) ( c + a) = 0 .
Từ đó ta có a+ b= 0 hoặc b+ c= 0 hoặc c+a= 0 thay vào (1) ta được:
2

x = 9
 4 x − 2006 + 5 x + 2004 = 0

5 x + 2004 + 6 x − 2005 = 0 ⇔  x = 1


11

6 x − 2005 + 4 x − 2006 = 0
 x = 4011

10

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục của
bản thân.
Trong quá trình dạy bồi dưỡng Toán 8 năm học 2016 - 2017 ở trường THCS
Nga An bản thân tôi đã áp dụng sáng kiến trên vào dạy học, lớp 8A và 8B đến
cuối tháng 3 năm 2017 đã có kết quả khả quan như sau:
* 63 em học sinh lớp 8A và 8B được hỏi có thích học Toán và giải Toán không
thì có 48 em thích (64,8%), 19 em không thích (25,7%), còn 7 em không trả lời
(9,5%).
* Kết quả điều tra trả lời câu hỏi: Khi giải một bài toán em có thường đặt ra
những câu hỏi nào? thì 54 em (72,9%) học sinh đều có thể trả lời được hệ thống

các câu hỏi định hướng để quy bài toán lạ về bài toán quen thuộc .
Đối với học sinh khá - giỏi sau khi làm một bài tập đa số các em có thể tự
rút ra cho mình bài toán tổng quát và phát biểu được các bài toán tương tự và
nắm chắc cách giải từng dạng toán.

14


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Ở trường THCS, dạy toán là dạy các hoạt động Toán học. Giải toán như
thế nào là vấn đề luôn được quan tâm, nghiên cứu của giáo viên dạy toán và các
nhà nghiên cứu Toán học, tuy nhiên chưa có câu trả lời cho mọi bài toán. Để
luyện tập và khắc sâu được kiến thức, trong mỗi tiết luyện tập, tiết phụ đạo giáo
viên đề nghị học sinh tự làm được mỗi bài tập thầy giáo ra. Qua mỗi bài tập giáo
viên yêu cầu học sinh khai thác kết quả của bài toán vào một số bài toán khác và
đề ra những bài tập tương tự, xây dựng nên bài tập tổng quát làm phong phú
thêm vốn kiến thức Toán học cho mình và tích luỹ thêm được kỹ năng giải toán.
Trong SKKN này, bản thân tôi đưa ra kinh nghiệm nhỏ về dạy học "Khai
thác và phát triển kết quả của bài toán" để có thể khai thác kết quả của bài toán
vừa giải tìm ra cách giải các bài toán mới cũng như sáng tác ra những bài tập
mới có cách giải tương tự được sử dụng kết quả của bài tập đã giải. Từ đó mà
học sinh đã nắm bắt được cách học và tích luỹ được kỹ năng thực hành giải toán
cho bản thân.
3.2. Kiến nghị
Trên đây là SKKN đổi mới phương pháp của tôi, rất mong được sự giúp
đỡ của ban giám hiệu nhà trường và các cấp quản lý giáo dục về tinh thần, cơ sở
vật chất cũng như đóng góp của đồng nghiệp cho kế hoạch của tôi được đi vào
thực hiện. Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Nga Sơn, ngày 08 tháng 4 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Mai Ngọc Thành

15


IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Lí luận - Phương pháp dạy học môn Toán - NXBGD
2. Sách giáo khoa Toán 8 tập 1 - NXBGD
3. Sách giáo khoa Toán 8 tập 2 - NXBGD
4. Bồi dưỡng năng lực tự học Toán 8 - NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM
5. 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp.
6. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 352

16