Khai thác và phát triển ứng dụng hệ thức viét trong đại số lớp 9 THCS Hồng Lý

cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt nam
Độc lập Tự do Hạnh phúc
==================

sáng kiến
dạy học bộ môn toán học

H
ọ và tên
: Nguyễn duy niệm
Phó Hiệu trởng
Trờng
: thcs hồng lý
Năm học 2006-2007

Tên đề tài:
Khai thác và phát triển ứng dụng
hệ thức viét trong đại số lớp 9
1
Phòng giáo dục hng hà Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trờng thcs tân lễ Độc lập - Tự do- Hạnh phúc
*****************

Bản thành tích cá nhân
Năm học 2006-2007

Họ và tên : Vũ trọng quyền.
Sinh ngày : 18 /3 /1981
Quê quán : Minh Quang - Vũ Th - Thái Bình.
Trình độ chuyên môn : Cao đẳng s phạm Toán - Lí.

Nơi công tác : Trờng THCS Tân Lễ - Hng Hà - Thái Bình.
2
Năm vào ngành : 2003.
I. Nhiệm vụ đợc giao
1/ Chuyên môn
- Dạy toán lớp 6B; 9A.
- Bồi giỏi môn toán lớp 6.
2/ Công tác chủ nhiệm
Chủ nhiệm lớp 6B.
II. Danh hiệu đạt đợc
1/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2003 - 2004
2/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2004 - 2005
3/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2005 2006
4/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2006 2007
III. Thành tích năm học 2007 - 2008
1/ T tởng đaọ đức chính trị
- Lập trờng t tởng, chính trị vững vàng, nghiêm túc thực hiện các chủ trơng
chính sách của Đảng, pháp luật của Nhà nớc, quy chế của ngành đề ra.
- Có ý thức tham gia đầy đủ vào các hoạt động chính trị, xã hội của đất nớc
và địa phơng, hoàn thành các nhiệm vụ đợc giao.
- Giữ gìn lối sống trong sáng lành mạnh, gây dựng mối đoàn kết nhất trí trong chi
bộ, trong cơ quan.
2/ Công tác chuyên môn
- Thực hiện đầy đủ quy chế chuyên môn của ngành cũng nh của nhà trờng đề
- Tìm tòi, học hỏi áp dụng phơng pháp dạy học bằng phơng tiện hiện đại vào
trong giờ học. Thực hiện đầy đủ có hiệu quả các chuyên đề giáo án điện tử của Phòng
cũng nh của trờng đề ra.
- Làm tốt công tác bồi giỏi, phụ kém, chất lợng học tập tăng.
- Chú ý rèn luyện ý thức đạo đức kỷ luật ý thức tự quản tự phấn đấu vơn lên trong
học tập, rèn luyện của học sinh.

- Chất lợng các công việc đợc giao đạt hiệu quả.
3/ Các công tác khác
Hoàn thành nhiệm vụ đợc giao. Có ý thức vì tập thể.
* Kết quả đạt đợc
3
- Chất lợng bộ môn phụ trách đạt kết quả cao.
- Kết quả bồi giỏi toán 6: Đạt 7 HSG cấp huyện trên tổng số 7 học sinh dự thi
trong đó:
+ 01 em đạt giải nhất.
+ 01 em đạt giải nhì.
+ 05 em đạt giải ba.
- Thi giáo viên dạy giỏi môn toán 9 (giáo án điện tử ) đạt:
Loại Giỏi: 18,5điểm.

Tân Lễ, ngày 20 tháng 05 năm 2008
Xác nhận và đề nghị của nhà trờng Ngời viết

ứng dụng của bất đẳng thức
trong giảI phơng trình

A. Đặt vấn đề
1. Giới thiệu
Từ yêu cầu đổi mới phơng pháp dạy học môn Toán hiện nay là tích cực
hoá hoạt động học tập của học sinh , khơi dậy và phát triển khả năng tự học
nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng
lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin, hứng thú học tập cho học
sinh .
Dạy học toán thực chất là dạy hoạt động toán học. Học sinh - chủ thể của
hoạt động dạy học - cần phải đợc cuốn hút vào những hoạt động học tập do

giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự lực khám phá những
điều mình cha biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt
sẵn.
Do đặc trng riêng của phân môn Đại số, việc dạy học Đại số cần đặc biệt
chú trọng các yêu cầu: Kết hợp mật thiết giữa ôn cũ và giảng mới, thực hiện
4
vừa giảng vừa luyện kết hợp với ôn tập hệ thống hoá từng bớc kiến thức, chú ý
rèn luyện các kĩ năng cơ bản
Qua việc giảng dạy chơng trình Đại số lớp 9, tôi thấy phần "Bất đẳng thức"
là một phần kiến thức rất quan trọng và có nhiều ứng dụng, rất cần sự khai
thác và phát triển cho học sinh nhiều hơn, tạo cho học sinh khả năng nâng cao
ứng dụng vào giải toán nh giải phơng trình, hệ phơng trình, tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất
Qua thực tế giảng dạy và kinh nghiệm của bản thân , tôi xin trình bày kinh
nghiệm : ứng dụng của bất đẳng thức trong giải phơng trình trong giảng
dạy, luyện tập , ôn tập học sinh lớp 9.
2. Thực tế
+ Với học sinh
Để giải toán nói chung, đơng nhiên các em cần phải biết vận dụng linh
hoạt, tổng hợp các kiến thức của mình, trong đó các kiến thức phức tạp đợc
hình thành từ chính các kiến thức đơn giản nhất, các kiến thức cơ bản, để giải
một bài toán khó đôi khi chỉ cần hoặc cần phải sử dụng đến những kiến thức cơ
bản. Tuy nhiên trong quá trình học, các em có thể gặp đây đó những bài toán
có vẻ lạ , không bình th ờng , những bài toán không thể giải bằng cách áp
dụng trực tiếp các quy tắc, các phơng pháp quen thuộc ( hay còn đợc gọi là
không mẫu mực). Những bài toán này có tác dụng không nhỏ trong việc rèn
luyện t duy toán học và thờng là sự thử thách đối với học sinh trong các kì thi
học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT, Khi gặp những bài toán này , các em th -
ờng lúng túng, mất phơng hớng trong việc tìm lời giải
Qua điều tra 40 học sinh lớp 9A Trờng THCS Tân Lễ, tôi thấy rằng: 38/40

học sinh (=95%) nắm đợc nội dung, cách chứng minh hai bất đẳng thức: x
2
0
và x + y x + y . Nhng sau đó giáo viên cho học sinh giải những phơng
trình có sử dụng các bất đẳng thức trên để giải thì chỉ có một số em giải đợc
những phơng trình dạng đơn giản, nếu cho những phơng trình dạng tổng quát
hơn, hoặc khác dạng (song vẫn cùng phơng pháp làm) thì các em không biết
cách giải.
+ Với giáo viên
Là một giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán 9, cùng với sự
nghiên cứu, chọn lọc trong quá trình giảng dạy ở trờng THCS tôi đa ra một số
ứng dụng của bất đẳng thức vào giải phơng trình, phù hợp với trình độ kiến
5
thức, khả năng t duy của học sinh THCS với mong muốn giúp học sinh sẽ hiểu
rõ hơn về BĐT, khắc phục sự bi quan, t tởng chán nản khi gặp loại toán có vận
dụng bất đẳng thức, từ đó rèn luyện và nâng cao khả năng t duy sáng tạo của
học sinh, kỹ năng giải bài tập của học sinh đặc biệt trong các dạng toán giải
phơng trình không mẫu mực.
3. Phạm vi đề tài
Trong phạm vi bài viết này, tôi muốn hớng dẫn các em học sinh lớp 9 biết
cách giải một số phơng trình nhờ ứng dụng của bất đẳng thức.
B. Nội dung
I. Chuẩn bị
Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn bám sát kiến thức cơ bản , trọng tâm và
lu ý học sinh:
- Nắm vững định nghĩa bất đẳng thức.
- Nắm vững các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
- Có kĩ năng vận dụng các bất đẳng thức quen thuộc vào giải phơng trình
- Biết trình bày bài toán giải phơng trình.
II. Hớng thực hiện

Ph ơng pháp chung:
- Đối với phơng trình một ẩn:
+) Biến đổi phơng trình về dạng h(x) = a ( với a là hằng số) mà ta luôn có
h(x) a hoặc h(x) a thì nghiệm của phơng trình là các giá trị của x làm cho
dấu đẳng thức xảy ra.
+) Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) m và g(x) m ( với
m là hằng số)
Nghiệm của phơng trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x) = m và
g(x) = m.
+) áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc:
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:

a + b a+b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0
Bất đẳng thức Côsi:
Với a
1
, a
2
, , a
n
không âm ta có:
6
a
1
+ a
2
+ + a
n

n
a a.a n.
n 21
với mọi n

Z
+
và n

2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= = a
n
Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
Với: a
1
, a
2
, , a
n
và b
1
, b
2

, , b
n
ta có:
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
a
b
n
)
2

(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
a + a + +a b +b + + b
n n
1 2 1 2

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
n
b

n
a

2
b
2
a
1
b

1
a
===
.
-Đối với phơng trình nhiều ẩn: về phơng pháp tơng tự nh phơng trình một
ẩn.
ứ ng dụng cụ thể:
1. ứng dụng bất đẳng thức A
2
0 ()
Đây là một bất đẳng thức cơ bản, nhng nó lại là công cụ rất quan trọng để
giải toán. các bài toán sau sẽ cho ta thấy tầm quan trọng của bất đẳng thức
A
2
0 với mọi A.
Bài toán 1:
Giải phơng trình:
2x+2 4 2 1
3 + 3 6 7 1 2.3
x

x x
+
+ = +

Bài giải:
Ta có:
2x+2 4 2 1
3 + 3 6 7 1 2.3
x
x x
+
+ = +


2x+2 1 4 2
3 -2.3 +1+ 3( 2 1) 4 2
x
x x
+
+ + =


1 2 2 2
(3 -1) + 3( 1) 4 2
x
x
+
+ =
(1)
Ta thấy

1 2
(3 -1) 0
x
+

và
2 2
3( 1) 4 2x
+

1 2 2 2
(3 -1) + 3( 1) 4 2
x
x
+
+
nên

x+1
x+1
2
3 -1= 0
3 =1
(1) x = -1
(x -1)(x +1) = 0
-1= 0x

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1
Bài toán 2: Giải phơng trình:
7

x + 2 2 1x x
=

Bài giải: Điều kiện x 2
Ta có:
( )
2
2
1 x -1 - 2 x -1 + 1+ x - 2 =0
( x -1 - 1) + x - 2 = 0
x -1 - 1= 0
(Do( x -1 - 1) 0; x - 20)
x - 2 = 0

x = 2 (TMĐK)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
Nhận xét: ở bài toán này, ta vận dụng thêm bất đẳng thức
A 0

với mọi A 0.
Nhờ bất đẳng thức này, ta có bài toán khó sau:
Bài toán 3: ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2006-2007)
Giải phơng trình:

( x +9 + 3)( x + 1 + 2 x - 7) = 8x
(1)

Bài giải: Điều kiện x 7
Ta có:

2
(1) ( x+9 - 3)( x +9 + 3)( x + 1 + 2 x - 7) = 8x( x + 9 - 3)
x( x + 1 + 2 x - 7) = 8x( x + 9 - 3)
x + 1 + 2 x - 7 = 8( x + 9 - 3)
x + 1 + 2 x - 7 8 x +9 24 0
(x + 9 8 x +9 16)+ 2 x - 7 0
( x +9 4) + 2 x - 7 0
x +9 4 0
2 x - 7 0



+ =
+ =

=

=



=


8
(Vì
2
( x +9 4) 0; 2 x - 7 0

)
x = 7(TMĐK)
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 7.
Nhận xét: Nếu ta kết hợp bất đẳng thức () và bất đẳng thức
2 2
A +m m

với m
là hằng số không âm và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0, ta có bài toán
sau:
Bài toán 4: Giải phơng trình:

2 2 2
3x +6x+7 + 5x +10x+14 =4 -2x - x
(1)
Bài giải:

(1)
2 2 2
3(x+1) 4 + 5(x+1) 9 =5-( 1)x
+ + +


2 2 2 2 2
3(x+1) 2 + 5(x+1) 3 =5-( 1)x
+ + +
Mà
2 2 2 2
3(x+1) 2 + 5(x+1) 3 2 3 =5
+ + +
và 5 (x +1)
2
5
Nên ta có (x + 1)
2
= 0 x + 1 = 0
x = -1
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1.
Bài toán 5:
Giải phơng trình: 2008x
2
+ y
2
- 2xy - 4014x + 2007 = 0
Hớng dẫn:
Đây là phơng trình nhiều ẩn, ta có thể biến đổi vế trái thành tổng bình phơng
các biểu thức còn vế phải bằng 0, rồi áp dụng bất đẳng thức ().

Bài giải:
Ta có: 2008x
2
+ y
2
- 2xy - 4014x + 2007 = 0
(2007x
2
- 4014x+ 2007) + (x
2
- 2xy + y
2
)= 0
2007(x - 1)
2
+ (x - y)
2
= 0 (1)
Vì 2007(x - 1)
2
0 x và (x - y)
2
0 x, y nên

( )
( )
2
2
2007 x -1 = 0
x -1= 0

(1) x = y =1
x - y = 0
x - y = 0








9
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = y = 1
Bài toán 6: Giải phơng trình:
(16x
4
+ 1)(y
4
+ 1) = 16x
2
y
2
(1)
Bài giải: Phơng trình (1) tơng đơng với
16x
4
y
4
+ 16x
4

+ y
4
+ 1 - 16x
2
y
2
= 0
(4x
2
y
2
- 1)
2
+ (4x
2
- y
2
)
2
= 0 (2)
Vì (4x
2
y
2
- 1)
2
0 x,y và (4x
2
y
2

)
2
0 x, y nên

2 2 4
2 2 2 2
1
4x y -1= 0 16x =1
x =
(2)
2
4x -y = 0 y = 4x
y =1









Vậy có tất cả 4 cặp số (x , y) là nghiệm của phơng trình (1)


1 1 1 1
( ;1) ; ( ;1) ; ( ; 1) ; ( ; 1)
2 2 2 2

Nhận xét: ở bài toán trên, ta đã tách hạng tử của đa thức để đa về hằng đẳng

thức bình phơng của một tổng ( hoặc hiệu). Tuy nhiên, trong một số bài toán,
việc tách và nhóm các hạng tử để làm xuất hiện hằng đẳng thức lại là rất khó,
ví dụ nh bài toán sau:
Bài toán 7: Giải phơng trình:
2x
2
+ 2xy +y
2
-2x + 2y + 5 = 0
Bài giải: Phơng trình đã cho tơng đơng với
(x
2
+y
2
+1 +2xy + 2x + 2y) + (x
2
4x + 4) = 0
(x + y + 1)
2
+ (x - 2)
2
= 0 (1)
Vì (x + y + 1)
2
0 x,y và (x - 2)
2
0 x nên

x + y + 1= 0 x =2
(1)

x - 2 = 0 y = - 3




Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2 ; 3)
2. ứng dụng bất đẳng thức
a + b a+b

()
Bài toán 8:
Giải phơng trình:
2 2
x 2007 2006 x 2007 2008 4014x x
+ + =
(1)
Bài giải:
10
Ta có:
(1)
2 2 2 2
x 2007 2006 -x 2007 2008 x 2007 2006 (-x 2007 2008)x x x x
+ + + + = + + + +
(x
2
- 2007x +2006)(-x
2
+ 2007x + 2008) 0 (áp dụng BĐT ())
(x - 1)(x - 2006)(x + 1)(x-2008) 0
-1 x 1 hoặc 2006 x 2008

Vậy nghiệm phơng trình đã cho là: -1 x 1 hoặc 2006 x 2008
Bài toán 9:
Giải phơng trình:
3 4 1 8 6 1 1x x x x
+ + + =

Hớng dẫn: Nếu ta để ý kỹ biểu thức dới dấu căn lớn là bình phơng của một biểu
thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức
2
A A
=
và áp dụng BĐT ().
Bài giải: Điều kiện x 1
Ta có:
3 4 1 8 6 1 1x x x x
+ + + =

2 2
( 1 2) ( 1 3) 1x x
+ =

1 2 1 3 1x x
+ =

1 2 3 1 1 2 3 1x x x x
+ = +

( 1 2)(3 1) 0x x

2 1 3 5 10x x

(TMĐK)
Vậy nghiệm phơng trình đã cho là: 5 x 10
3. ứng dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki.
Bài toán 10:
Giải phơng trình:
2 2 2
3 3,5 ( 2 2)( 4 5)x x x x x x
+ = + +

Bài giải:
Ta có: x
2
- 2x +2 =(x-1)
2
+1 > 0
x
2
- 4x +5 =(x-2)
2
+1 > 0
11
Mà
2 2
2
( 2 2) ( 4 5)
3 3,5
2
x x x x

x x
+ + +
+ =
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x
2
- 2x +2 và x
2
- 4x +5 ta có:

2 2
2 2
( 2 2) ( 4 5)
( 2 2)( 4 5)
2
x x x x
x x x x
+ + +
+ +
Hay
2 2 2
2 3,5 ( 2 2)( 4 5)x x x x x x
+ + +
Dấu = xảy ra x
2
- 2x +2 = x
2
- 4x +5
x = 1,5
Vậy nghiệm phơng trình đã cho là: x = 1,5
Bài toán 11:

Giải phơng trình:
2 2 2 2 2 2
13[( 3 6) ( 2 7) ] (5 12 33)x x x x x x
+ + + = +
(1)
Hớng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 4 số
(a
2
+ b
2
)(c
2
+ d
2
) (ac + bd)
2

Dấu = xảy ra ad = bc
Với a = 2; b = 3; c = x
2
3x + 6; d = x
2
2x + 7
Bài giải:
Ta có phơng trình (1) tơng đơng với
2
2 2 2 2 2 2 2 2
(2 3 )[( 3 6) ( 2 7) ] 2( 3 6) 3( 2 7)x x x x x x x x

+ + + + = + + +

(2)
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 4 số
2
2 2 2 2 2 2 2 2
(2 3 )[( 3 6) ( 2 7) ] 2( 3 6) 3( 2 7)x x x x x x x x

+ + + + + + +

Do đó phơng trình (2) 3(x
2
- 3x + 6) = 2(x
2
2x + 7)
x
2
- 5x + 4 = 0
x
1
= 1; x
2
= 4
Vậy nghiệm phơng trình đã cho là: x
1
= 1; x
2
= 4
Bài toán 12:
Giải phơng trình: 2007x

2008
-2008x
2007
+1 = 0 (1)
12
Bài giải:
Ta có phơng trình (1) tơng đơng với
2007x
2008
+1 = 2008x
2007
Ta thấy phơng trình trên có 2007x
2008
+1 > 0 nên 2008x
2007
> 0 x > 0
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2008 số dơng gồm số 1 và 2007 số x
2008
ta
có:

( )
2007
2008 2008 2008 2008 2008
2008
2007 1 1 2008 1.x x x x x
+ = + + + +
1 4 4 4 4 2 4 4 4 43
2007s/h
=2008x

2007
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x
2008
=1 mà x > 0 nên x = 1
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1
Trên đây là một số bài toán giải phơng trình bằng cách áp dụng bất đẳng
thức. Đặc biệt lu ý với các em học sinh, muốn giải đợc những bài toán khó thì
càng không nên coi nhẹ kiến thức cơ bản. Trớc khi kết thúc bài viết, tôi xin đa
ra một số bài tập tơng tự để các em luyện tập.
Bài 1: Giải phơng trình:
a)
2
4 5 2 2 3x x x
+ + = +
(TS lớp 10-THPT chuyên Thái Bình 2006)
b)
2
2
2
6 15
6 18
6 11
x x
x x
x x
+
= +
+
c)
2 2 2

4
6 11 6 13 4 5 3 2x x x x x x
+ + + + + = +
d)
8
2
4
2 2
16
x
y
x
+
=
Bài 2:(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT- chuyên ngoại ngữ Hà Nội năm học 2005)
Tìm cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thoả mãn:
x
2
+ 5y
2
+ 2y -4xy -3 = 0
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
a) x
2
-25 = y(y + 6)
b) x
2
+ x + 6 = y
2

c) 3x
2
- 12y
2
= 2x + 664
Bài 4: Giải phơng trình:
a)
2
6 11 2 4x x x x
+ = +

13
b)
2
10 27 4 6x x x x
+ = +
c)
2 2
2 5 2 10 29x x x x
+ + + + =
d)
4
4 2
2 3 3x x x
= +

III. Kết quả đạt đợc
Việc khai thác và đa ứng dụng của bất đẳng thức vào giải phơng trình trong
quá trình giảng dạy bộ môn Toán lớp 9 nh trên , tôi thấy học sinh nắm đợc kiến
thức cơ bản và vận dụng vào làm bài tập một cách chủ động, tích cực và đạt

kết quả cao. Rèn luyện đợc cho học sinh kỹ năng giải các loại toán và đặc biệt
là rèn luyện học sinh khả năng t duy toán học, hình thành các phơng pháp giải
toán cơ bản.Từ đó tạo sự hứng thú cho học sinh khi học tập bộ môn, nâng cao
khả năng tự học, tự nghiên cứu toán học , nâng cao năng lực giải quyết tình
huống do thực tế tạo ra.
Trong quá trình thực hiện theo sáng kiến kinh nghiệm trên, tôi thờng xuyên
kiểm tra mức độ tiếp thu của học sinh trong từng giai đoạn:
- Đợt 1: Kiểm tra kiến thức cơ bản về bất đẳng thức .
- Đợt 2: Kiểm tra kỹ năng giải phơng trình có ứng dụng bất đẳng thức trong
bài tập đơn giản.
- Đợt 3: Kiểm tra khả năng giải phơng trình có ứng dụng bất đẳng thức trong
bài tập nâng cao.
- Trong mỗi đợt có 2 bài khảo sát trớc và sau khi thực hiện đề tài.
Kết quả thu đợc nh sau:
Số TT
Số HS
tham dự
kiểm tra
Số HS đạt từ điểm 5 trở lên
Số % tăng so với tr-
ớc khi thực hiện
đề tài
Trớc Sau
Đợt 1 40 20/40 = 50% 35/40 = 87,5% 37,5%
Đợt 2 40 18/40 =45 % 34/40 = 85% 40%
Đợt 3 40 4/40 =10% 17/40 = 42,5% 32,5%
Những bài học rút ra:
Dạy toán là dạy học sinh giải toán, giúp nâng cao khả năng t duy của
học sinh . Vậy để học sinh biết cách giải toán , nâng cao đợc khả năng t duy
14

đòi hỏi ngời giáo viên phải biết lựa chọn phơng pháp dạy học phù hợp, thiết kế
bài dạy theo một trình tự t duy hợp lý , tổ chức học sinh học tập tích cực, chủ
động . Biết tổng hợp , khai thác , phát triển từ những vấn đề cơ bản.
Trong giai đoạn hiện nay, việc thực hiện đổi mới chơng trình giáo dục phổ
thông nhằm đào tạo ra những con ngời năng động sáng tạo đáp ứng yêu cầu
của thời đại mới, thời đại công nghiệp hoá , hiện đại hoá đất nớc.Mỗi ngời giáo
viên chúng ta cần nắm vững chơng trình đổi mới, nghiên cứu kỹ chơng trình và
tích cực đổi mới phơng pháp dạy học, lấy học sinh làm nhân vật trung tâm, tổ
chức hớng dẫn học sinh chủ động trong lĩnh hội kiến thức.
C. Kết luận
Trên đây là một kinh nghiệm nhỏ đợc đúc rút từ kinh nghiệm của bản thân,
sự học hỏi các đồng nghiệp, từ đặc điểm của chơng trình sách giáo khoa mới
và thực trạng học sinh đồng thời dựa trên đặc điểm của môn học.
Kinh nghiệm này đã mang lại cho tôi kết quả tốt trong quá trình giảng dạy,
ôn luyện thi cho học sinh đặc biệt là ôn thi vào lớp 10- THPT . Học sinh tiếp thu
kiến thức chủ động và có hiệu quả cao. Từ đó tạo nên kết quả kiểm tra và chất
lợng thi tốt.
Tôi rất mong có sự đóng góp của các đồng nghiệp và bên chuyên môn để
sáng kiến kinh nghiệm này đạt kết quả cao hơn nữa.
15
T©n LÔ, th¸ng 4 n¨m 2008
Ngêi viÕt:
Vò Träng QuyÒn
16
NhËn xÐt ®¸nh gi¸ cña Ban gi¸m hiÖu
Trêng THCS T¢N LÔ:
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
NhËn xÐt , ®¸nh gi¸ cña héi ®ång thi ®ua cÊp huyÖn:
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………

17
bỏ phần dới
Bài 1: Tìm x để biểu thức

2
4
2
2
++
++
=
xx
xx
y
nhận giá trị nguyên.
ở bài này học sinh đọc lớt qua thấy thật là dễ ?
Rất nhiều học sinh đã giải:
2
2
1
2
++
+=
xx
y
và yêu cầu (x
2
+ x + 2) là ớc của 2
Mà quên mất rằng x

R thì biểu thức x
2
+ x + 2 không phải lúc nào cũng có giá
trị nguyên.

ở đây x
2
+ x + 2 > 0 nên các em thử dùng miền giá trị để xét xem y có thể nhận
những giá trị nguyên nào nhé!
Giải :
2
2
1
2
4
22
2
++
+=
++
++
=
xxxx
xx
y
nhận giá trị nguyên khi
2
2
2
++
xx
nhận giá trị nguyên . Mà x
2
+ x + 2
4

7
=>
7
8
2
2
0
2

++
<
xx
Vậy giá trị nguyên của
2
2
2
++
xx
là 1

1
2
2
2
=
++
xx
=> x
2
+ x + 2 = 2

=> x
1
= 0 ; x
2
= - 1
Khi đó y
1
= y
2
= 1 + 1 = 2

Vậy giá trị cần tìm của x là : 0 , -1 khi đó giá trị nguyên của y là 2
Bài 2: Cho biểu thức C =
1x
1x
.
1x
3
1x
x
+
+






+

+
Rút gọn biểu thức
Tìm x để C nhận giá trị nguyên.
Ta dễ dàng thu đợc kết quả rút gọn C =
1x
3x
+

( x

0)
18
Khi đó C = 1 -
1x
4
+
nhận giá trị nguyên khi
1x
4
+
nhận giá trị nguyên. Mà x

0
nên
0 <
1x
4
+
4
. vậy các giá trị nguyên có thể có của

1x
4
+
là 1, 2, 3, 4.
*)
1x
4
+
=1

x =3 khi đó C=0
*)
1x
4
+
=2

x = 1 khi đó C = -1
*)
1x
4
+
=3

x =
3
1
khi đó C = -2
*)
1

4
+x
= 4

x = 0 khi đó C = -3
Vậy các giá trị nguyên của C là 0, -1,-2, -3 tại giá trị tơng ứng của x
là 3, 1,
3
1
, 0.
Ngoài việc tìm giá trị nguyên của biểu thức ra phải tìm miền giá trị
của hàm số còn giúp cho chúng ta tìm cực trị của biểu thức.
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:

1x
x4
y
2
+
=
Giải: Giả sử y
0
là một giá trị của hàm số, tồn tại giá trị của x để
y
0
=
1x
x4
2
+

phơng trình y
0
x
2
- 4x +y
0
= 0 có nghiệm

*)Xét y
0
=0 phơng trình có nghiệm x = 0.
*)Xét y
0


0 phơng trình có nghiệm

'

=4 -y
0
2


0


-2
2y

0

(y
0


0)
Vậy giá trị của y để phơng trình có nghiệm là -2
2y



y
min
= -2, y
max
=2.

Trớc khi kết thúc bàiviết tôi đa ra một số bài tập để các em luyện tập:
Bài 1: Tìm x

Z để biểu thức nhận giá trị nguyên.

3
2

+
=
x
x

A

2
452
2
+
++
=
x
xx
C

1
4
2
3
+
+
=
xx
x
E

3
12
2
+
+
=
x

x
B

3
12
+

=
x
x
D

532
45
2
2
+
+
=
xx
xx
F
Bài 2: Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên:
a)
3
1
+

=
x

x
y
b)
1xx
1xx
y
2
2
++
+
=
b)
32
21
+

=
x
x
y
d)
1xx2
1xx3
y
2
2
++
+
=
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

a)
2
2
1
12
x
x
y


=
b)
2
x
1x
y

=
19
c)
x
xx
y
21
1
2
+
++
=
d)

1x
2x2x
y
2
2
+
+
=
III. Kết luân :
Với những suy nghĩ và thực hiện nh trên khi hớng dẫn học sinh trên lớp tôi
thấy các em hào hứng và say mê giải các bài tập dạng tơng tự một cách linh
hoạt và sáng tạo .Trớc những bài toán về giá trị nguyên của biểu thức , các em
không tỏ ra lúng túng nh trớc mà bình tĩnh biến đổi biểu thức và sử dụng thành
thạo các phơng pháp đã học để làm .
Trên đây là một số trao đổi nhỏ của tôi với các đồng nghiệp về bài toán
giá trị nguyên của biểu thức . Rất mong sự góp ý , giúp đỡ từ các đồng nghiệp
để tôi hoàn thiện mình hơn và có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy .
Tôi xin chân thành cảm
ơn
Tháng 4/2006
Nhận xét của ban giám hiệu Ngời viết :


Vũ Trọng Quyền
20