SKKN Khai thac va phat trien bai toan.doc

Th viện SKKN của Quang Hiệu :
Trờng THCS Cẩm Giàng
tổ khoa học tự nhiên
chuyên đề
Khai thác và phát triển
các bài toán
từ một bài toán đơn giản
Môn: Toán 6
Ngời thực hiện: Phạm Văn Đại
1
Năm học: 2006 2007
A: lý do chọn đề tài
I. Cơ sở lý luận:
Môn toán là một môn khoa học ,những tri thức ,kỹ năng toán học
cùng với phơng pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học
tập những môn khoa học khác , môn toán là công cụ của nhiều ngành
khoa học .
Môn toán giúp cho học sinh hình thành và phát triển những phơng
pháp, phơng thức t duy và hoạt động nh toán học hoá tình huống thực
tế, thực hiện và xây dựng thuật toán ,phát hiện và giải quyết vấn đề .
Những kỹ năng này rất cần cho ngời lao động trong thời đại mới .
Môn toán góp phần phát triển nhân cách con ngời , ngoài việc cung
cấp những kiến thức , kỹ năng toán học, môn toán góp phần phát triển
năng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp , trừu tợng hoá , khái quát
hoá.
Ta thấy đợc môn toán có vai trò rất quan trọng trong đời sống và
trong kỹ thuật . Vì vậy ngời thầy phải có phơng pháp dạy học để phát
huy đợc tính tích cực học tập của học sinh ,nhất là học sinh giỏi .
Theo nh yêu cầu của bộ môn toán nói chung , môn toán 6 nói
riêng ,mỗi tiết học phải hạn chế lý thuyết kinh viện mà chủ yếu khai
thác sâu bài tập và thực hành . Trong mỗi bài tập , ngời thầy phải giúp

hoc sinh phân tích từng khía cạnh của bài toán , rồi khai thác phát triển
bài toán đó , thậm trí phải lật ngợc lại vấn đề . Nếu làm đợc việc đó thì
học sinh càng hiểu sâu sắc bài toán , dạng toán. Từ đó sẽ kích thích đ-
ợc tính tò mò , khơi dậy cho học sinh tính sáng tạo, khai thác đợc tiềm
năng về môn toán của học sinh .
Trong kho tàng toán học có vô vàn những bài toán hay trong đó có
hai bài toán tính tổng :
A=
100.99
1

3.2
1
2.1
1
+++
A=1.2+2.3+ +99.100.
Đợc áp dụng rộng rãi , nếu khai thác đợc bài toán này ta thấy đợc nhiều
điều thú vị .
Với lý do đó tôi chọn viết chuyên đề Khai thác và phát triển các bài
toán từ một bài toán đơn giản .
2
II Cơ sở thực tiễn :
a Đối với học sinh :
Đa số học sinh kể cả là học sinh giỏi khi giải xong bài toán là đã
bằng lòng với kết quả đó .Chính vì lý do đó nếu thay đổi một vài dữ
kiện thì học sinh lúng túng. Cụ thể bài toán tính tổng :
A=
.
100.99

1

3.2
1
2.1
1
+++
Nếu ta thay đổi 1.2=2;2.3=6; ;99.100=9900
Bài toán trở thành tính tổng A=
.
9900
1

6
1
2
1
+++
Thì học sinh lúng túng mặc dù đã biết cách giải bài toán trớc đó .
Trong thực tế nếu biết khai thác và phát triển bài toán này thì ta thấy
bái toán rất hay .
b Đối với bản thân :
Xuất phát từ việc giảng dạy hai bài toán tính tổng:
A=
.
100.99
1

3.2
1

2.1
1
+++

A=1.2+2.3+ +99.100.
Là những bài toán đợc áp dụng rộng rãi trong toàn cấp học . Mặt khác
hai bài toán này còn có sự tơng đồng về cách khai thác và phát triển .
Nếu càng khai thác ta càng thấy nhiều bài toán có nhiều cách giải độc
đáo ,các cách giải này lại có mối quan hệ dàng buộc lẫn nhau .
3
b biện pháp thực hiện
Để đạt đợc hiệu quả cao trong dạy và học cụ thể là đối với các bài
toán này , một trong các biện pháp thực hiện tốt nhất là phải xây dựng
hệ thống các bài tập hợp lô gíc . Ta phải khai thác bài toán theo từng
mảng ,mỗi mảng ta lại chia thành từng phần ,sao cho mỗi phần có sự
liên kết chặt chẽ với nhau về cấu trúc của bài toán cũng nh về phơng
thức giải toán .
Đối với mỗi bài toán sau khi giải đều có phần nhận xét về thể loại và
hớng phát triển .Để thấy đợc sự tơng tự trong các bài toán hoặc thêm
một vài dữ kiện , hoặc lật ngợc vấn đề để có đợc bài toán mới có nội
dung phong phú và phù hợp hơn .
Biện pháp cụ thể:
a:bài toán I:
Tính tổng :
A=
.
100.99
1

3.2

1
2.1
1
+++
Trong phần này có 9 bài toán đựơc khai thác từ bài toán I
b:bài toán ii :
Tính tổng :
A=1.2+2.3+ +99.100.
Trong phần này cũng có 9 bài toán đợc khai thác từ bài toán II.
Hai bài toán I và II đều thuộc dạng dẫy các phép toán viết theo quy
luật . Ta cũng có thể coi bài toán II là bài toán khai thác từ bài toán I vì
ta chỉ cần nghịch đảo mỗi số hạng của tổng A trong bài toán I là ta đợc
bài toán II. Hai bài toán này khi giải ta đều phải tách mỗi số hạng trong
tổng thành hai số hạng có dấu khác nhau.
Hai bài toán này ta thấy nhiều sự tơng đồng về cấu trúc ,cũng nh về
cách khai thác.
bài toán I
Tính tổng
A=
100.99
1

3 2
1
2.1
1
+++
4
Hớng dẫn:
Ta có:

2
1
1
1
2.1
1
=

3
1
2
1
3.2
1
=


100
1
99
1
100.99
1
=
Vậy
A=1-
100
1
99

1

3
1
2
1
2
1
+++
A=1-
100
1
A=
100
99
Tổng quát :
B=
1)1(
1

3.2
1
2.1
1
+
=
+
+++
n
n

nn
Nếu số hạng đẫu tiên của B không phải là
2.1
1
mà bắt đầu từ
)1(
1
+kk
.
Thì
C=
)1(
1

)1(
1
+
++
+ nnkk
:
C=
)1(
1
+
+
nk
kn
với
nk
*Nhận xét :

Ta thấy:
1.2=2
2.3=6
3.4=12
.
. 99.100=9900
Vậy ta có bài toán :
Bài toán 1:
Hãy tính tổng :
5
D=
9900
1

12
1
6
1
2
1
++++
Híng dÉn :
D=
+++
4.3
1
3.2
1
2.1
1

+
100.99
1
D=
100
99
* NhËn xÐt :
NÕu ta coi bµi to¸n I lµ bµi to¸n xu«i th× ta còng suy ra bµi to¸n ng-
äc
Bµi to¸n :2
T×m sè tù nhiªn a biÕt

1 1 1 1 99

1.2 2.3 3.4 .( 1) 100a a
+ + + + =
+
Híng dÉn :

++
3.2
1
2.1
1
+
1)1(
1
+
=
+ a

a
aa
Nªn
100
99
1
=
+a
a
VËy a=99
*NhËn xÐt:
Ta thÊy :

50
2.1
1
2
2.3
3
2
3.4
6
2

99.100
49
2
=
=
=

=
Vµ tÊt nhiªn cã bµi to¸n :
6
Bài toán 3: Tính tổng :
F=
4950
1

3
1
1
1
+++
Hớng dẫn
F=
100.99
2

3.2
2
2.1
2
+++

50
99
100
99
.2
)

100.99
1

3.2
1
2.1
1
.(2
=
=
+++=
F
F
F
* Nhận xét :
Ta thấy
100
99
không là số nguyên từ đó có đợc bài toán
Bài toán 4 :Chứng minh rằng :
A=
100.99
1

3.2
1
2.1
1
+++
không là số nguyên .

Hớng dẫn :
Ta tính A=
100
99
Tổng quát :
B=
)1(
1

3.2
1
2.1
1
+
+
+
+
nn
cũng không là số nguyên
* Nhận xét :
Ta thấy
1.2=2!
2.3=3!
3.4<4!
4.5<5!

99.100<100!
và đơng nhiên ta có bài toán
7
Bµi to¸n 5: Chøng minh r»ng :

G=
1
!100
1

!4
1
!3
1
!2
1
<++++
Híng dÉn :
Ta cã :
G<
100.99
1

4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++
VËy G<1
Tæng qu¸t :

1,,
!

1

!3
1
!2
1
<+++
n
Còng t¬ng tù ta cã bµi to¸n :
Bµi to¸n 6: Chøng minh r»ng :

1
100
1

3
1
2
1
222
<+++=
I

Híng dÉn :
I<
++
3.2
1
2.1
1

+
100
99
100.99
1
=
VËy I<1
Tæng qu¸t :

1
1

3
1
2
1
222
<+++
n
* NhËn xÐt :
Khai th¸c bµi to¸n nµy ta cã :

10000
9999
100
1
1

9
8

3
1
1
4
3
2
1
1
2
2
2
=−
=−
=−
Mµ
1
100
1

3
1
2
1
222
<+++
nªn ta cã bµi to¸n :
Bµi to¸n 7: Chøng minh r»ng :
8

98

10000
9999

9
8
4
3
>+++
Hớng dẫn :
Ta có :

98199)
100
1

3
1
2
1
(99
100
1
1
3
1
1
2
1
1
1000

9999

9
8
4
3
222
222
=>+++=
+++=+++
* Nhận xét :
Cũng từ việc
1
100
1

3
1
2
1
222
<+++=I
ta đợc bài toán :
Bài toán 8: Chứng minh rằng :

222
100
1

3

1
2
1
+++=I
không phải là số nguyên .

Tổng quát :

222
1

3
1
2
1
n
+++
không phải là số nguyên .
* Nhận xét :
Ta thấy với 100 số tự nhiên lớn hơn 1 khác nhau
10021
, ,, aaa

2222
100
2
2
2
1
100

1

3
1
2
11

11
+++<+++
aaa
giúp ta tìm ra bài toán .
Bài toán 9:
Tìm các số tự nhiên lớn hơn1 khác nhau
10021
, ,, aaa
sao cho :

1
1

11
2
100
2
2
2
1
=+++
aaa
Hớng dẫn :

Ta có :

1
100
1

3
1
2
11

11
0
2222
100
2
2
2
1
<++++++<
aaa
vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn điều kiện của đầu bài .
*Nhận xét :
9
Nếu ta nghịch đảo mỗi số hạng của bài toán I ta đợc bài toán mới.
bài toán II
Tính tổng :
A=1.2+2.3+3.4+ +99.100.
Hớng dẫn :
3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+ +99.100.3.

3A=1.2.3+2.3(4-1)+3.4(5-2)+ +99.100(101-98).
3A=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101- 98.99.100.
3A=99.100.101.
A=99.100.101:3.
A=333300.
Tổng quát :
1.2+2.3+3.4+ +n(n+1)=n(n+1)(n+2):3
Nếu tổng B có số hạng đầu tiên không phải là 1.2mà là k.(k+1) ta
có :
C=k(k+1)+(k+1)(k+2)+ +n(n+1)(n+2) =[n(n+1)(n+2)- k(k+1)
(k+2)]:3
với n
k

.
*Nhận xét :
Ta thấy :
1.2= 2
2.3=6
3.4=12

99.100=9900
Vậy ta có đợc bài toán khó hơn .
Bài toán 1:
Tính tổng :
D=2+6+12+ +9900.
Hớng dẫn :
D=1.2+2.3+3.4+ +99.100
D=333300.
Nhận xét :

Ta coi bài toán II là bài toán thuận thì ta cũng suy ra bài toán đảo .
Bài toán 2:
10
T×m sè nguyªn a biÕt :
1.2+2.3+ +a(a+1)=333300.
Híng dÉn :
Ta cã : 1.2+2.3+ +a(a+1) = a(a+1)(a+2):3
nªn a(a+1)(a+2):3=333300.

.101.100.99999900)2)(1(
3.333300)2)(1(
==++
=++⇒
aaa
aaa
VËy a=99
*Nh©n xÐt :
Ta thÊy:

4950
2
100.99

6
2
4.3
3
2
3.2
1

2
2.1
=
=
=
=
VËy ta ®îc bµi to¸n :
Bµi to¸n 3: TÝnh tæng :
E=1+3+6+ +4950.
Híng dÉn :

.166650
333300
2
1
)100.99 4.33.22.1(
2
1
2
100.99

2
4.3
2
3.2
2
2.1
=
×=
++++=

++++=
E
E
E
E
*NhËn xÐt :
Ta thÊy :
11

2
100.99
100 321

2
4.3
321
2
3.2
21
2
2.1
1
=++++
=++
=+
=
Vậy ta phát triển từ bài toán trên thành bài toán
Bài toán 4: Tính tổng :

100.99 4.33.22.1

)100 321( )321()21(1
++++
+++++++++++
=
F
Hớng dẫn :

2
1
100.99 3.22.1
2
100.99

2
3.2
2
2.1
=
+++
+++
=
F
F
*Nhận xét :
Do:
1+(1+2)+(1+2+3)+ +(1+2+3+ +100)
=1.100+2.99+3.98+ +99.2+100.1
Ta lại phát triển bài toán thành bài toán khác .
Bài toán 5:
Chứng minh rằng:

100.99 3.22.1
1.100 97.399.2100.1
+++
++++
=
G
có giá trị bằng 1
Cách giải tơng tự .
* Nhân xét :
. Hơn nữa :
2.99=2(100-1)=2.100-1.2
3.98=3(100-2)=3.100-2.3
12

100.1=100(100-99)
Vậy ta hình thành nên bài toán
Bài toán 6:
Tính tổng :
I=1.100+2.99+3.98+ +100.1
Hớng dẫn:
I=1.100+2.99+3.98+ +100.1
=1.100+2.100-1.2+3.100-2.3+ +100.100-99.100
=100(1+2+3+ +100)-(1.2+2.3+3.4+ +99.100)

171700
333300505000
333300
2
100.101

.100
=
=
=
* Nhận xét :

99100.99)1100(9999.9999

22.1)13(22.22
.12.1)12.(11.11
2
2
2
===
===
===
Vâỵ ta lập đơc bài toán mới thông qua bài toán II.
Bài toán 7:
Tính tổng:
H =
2222
99 321 ++++
Hớng dẫn:
H =1.(2-1)+2.(3-1)+ +99(100-1)
=1.2-1+2.3-2+ +99.100-99
= 1.2+2.3+ +99.100- (1+2+3+ +99)
=333300 -
2
100.99
= 333300-4950

=328350
*Nhận xét :
Ta đã thấy :
13

32835099 21
222
=+++=H
Vậy
2222
198 642 ++++=K
bằng bao nhiêu ?
Bài toán 8: Tính tổng :

2 2 2
2 4 198K
= + + +

Hớng dẫn :

)99 21(2
2222
+++=
K
K=4.328350
K=1313400
* Nhận xét :
Ta chia H cho 4 đợc

222

222
2
2
2
2
2
2
)5,45( 1)5,0(
)
2
99
( )
2
2
()
2
1
(
2
99

2
2
2
1
+++=
+++=
+++=
M
M

M
Bài toán 9:
Hãy tính :

222
)5,45( 1)5.0( +++=M
Đáp số=328350:4=8285,5
G điều kiện áp dụng
Để áp dụng chuyên đề này tôi thấy cần phải đảm bảo những điều
kiện sau:
+Đối với học sinh :
Phải nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng linh hoạt vào các bài toán
khác .
Phải có lòng say mê học tập không ngại khó không ngại khổ ,đợc đầu
t thời gian , thờng xuyên đọc các tài liệu tham khảo .
+Đối với giáo viên :
Cần có nhiều thời gian và các tài liệu tha khảođểnghiên cứu và áp
dụng vào các bài toán dạng toán cụ thể.
14
Phải có trìng độ chuyên môn vững vàng để không những có nhữnh lời
giải hay mà còn khai thác và phát triển các bài toán thành những bài
toán hay hơn ,đa dạng hơn .
kết luận
Trên đây là toàn bộ kinh nghiệm của tôi đó là những ý kiến nhỏ đợc
rút ra từ việc học hỏi và giảng dạy .Với thời gian nghiên cứu có hạn nên
mức độ nghiên cứu cha sâu nên bản kinh nghiệm này còn nhiều hạn
chế . Tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để bản
kinh nghiệm đợc hoàn thiện và áp dụng có kết quả tốt .
C. Nhận xét góp ý
15

dù giê minh ho¹
16
17
rót kinh nghiÖm thùc hiÖn chuyªn ®Ò
18
Bµi to¸n 1: H·y tÝnh tæng :
D=
9900
1

12
1
6
1
2
1
++++
Bµi to¸n : 2 T×m sè tù nhiªn a biÕt

1 1 1 1 99

1.2 2.3 3.4 .( 1) 100a a
+ + + + =
+
Bµi to¸n 3: TÝnh tæng :
F=
4950
1

3

1
1
1
+++
Bµi to¸n 4 :Chøng minh r»ng :
B=
)1(
1

3.2
1
2.1
1
+
+
+
+
nn
kh«ng lµ sè nguyªn .
Bµi to¸n 5: Chøng minh r»ng :
G=
1
!100
1

!4
1
!3
1
!2

1
<++++
Bµi to¸n 6: Chøng minh r»ng :

1
100
1

3
1
2
1
222
<+++=
I

Bµi to¸n 7: Chøng minh r»ng :

98
10000
9999

9
8
4
3
>+++
Bµi to¸n 8: Chøng minh r»ng :
222
1

3
1
2
1
n
+++
kh«ng ph¶i lµ sè nguyªn
Bµi to¸n 9:
19
Tìm các số tự nhiên lớn hơn1 khác nhau
10021
, ,, aaa
sao cho

1
1

11
2
100
2
2
2
1
=+++
aaa
Bài toán 1:
Tính tổng :
D=2+6+12+ +9900.

Bài toán 2:
Tìm số nguyên a biết :
1.2+2.3+ +a(a+1)=333300.
Bài toán 3: Tính tổng :
E=1+3+6+ +4950.
Bài toán 4: Tính tổng :

100.99 4.33.22.1
)100 321( )321()21(1
++++
+++++++++++
=
F
Bài toán 5:
Chứng minh rằng:

100.99 3.22.1
1.100 97.399.2100.1
+++
++++
=
G
có giá trị bằng 1
Bài toán 6: Tính tổng :
I=1.100+2.99+3.98+ +100.1
Bài toán 7:
Tính tổng:
H =
2222
99 321 ++++

Bài toán 8: Tính tổng :

2 2 2
2 4 198K
= + + +

Bài toán 9: Hãy tính :
20

222
)5,45( 1)5.0(
+++=
M
21