Phát triển tư duy cho học sinh qua việc khai thác các bài toán cơ bản hình học 7

1. MỞ ĐẦU
- Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình THCS thì Toán học là một bộ môn đòi hỏi tư duy cao.
Đặc biệt là hình học, đây là môn học yêu cầu các em phải có khả năng lập luận,
tư duy tốt. Tuy nhiên đa phần học sinh lớp 7 rất sợ môn Hình học vì các em
không biết lí luận mà chỉ quen với việc quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để
đi đến kết quả, một lí do khác làm cho các em sợ học hình là đa số các tiết lí
thuyết vẫn được các em tiếp thu kiến thức mới theo kiểu lớp 6, ít được rèn tư
duy suy luận, nhưng sau bài Định lí thì lượng bài tập cần suy luận tăng rõ rệt.
Với học sinh lớp 7 mới được làm quen với nhiều khái niệm, định lí trong
hình học. Việc làm cho học sinh tiếp cận với kiến thức mới một cách hào hứng,
biết vận dụng những kiến thức lý thuyết đã học để chứng minh một bài toán hình
học, từ đó mở rộng, nâng cao bài toán là một yêu cầu cần thiết. Đặc biệt là thành
thạo các thao tác vẽ hình chính xác, lập luận dễ hiểu, chặt chẽ và logic. Đồng
thời làm cho học sinh thấy bản chất của các kiến thức đã học thông qua lời giải
từ một bài toán, cho học sinh nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để
thấy được sự phong phú của toán học và thêm yêu thích bộ môn là nhiệm vụ
không thể thiếu trong quá trình dạy học của giáo viên.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán 7 trong năm học 2014- 2015
tôi luôn băn khoăn, trăn trở và nhận thấy rằng, cần phải làm cho các em tự tin
hơn, không còn có cảm giác khó trong học hình học. Từ đó, không những học
sinh chủ động nắm được nội dung kiến thức cơ bản mà còn phải giúp học sinh
có được phương pháp học tập đúng đắn.
Nhận thức được tầm quan trọng của bộ môn, và sự cần thiết của việc rèn
luyện, phát triển tư duy cho học sinh qua việc khai thác các bài toán cơ bản.
Trong quá trình giảng dạy Hình học 7, tôi đã sử dụng một số bài toán điển hình
trong SGK và SBT, nhằm thông qua bài toán này giúp các em khắc sâu, ghi nhớ
các kiến thức và tìm ra mối quan hệ giữa các bài toán để từ bài toán cơ bản này
có thể chứng minh bài toán có các yếu tố tương tự khác. Đó là lí do tôi chọn đề
tài “Phát triển tư duy cho học sinh qua việc khai thác các bài toán cơ bản"
dành cho đối tượng học sinh lớp 7 bước đầu có hiệu quả cao.

- Mục đích nghiên cứu:
Mong muốn cùng bạn bè và đồng nghiệp khám phá những kiến thức phong
phú, đa dạng trên cơ sở nền tảng kiến thức cơ bản là SGK, SBT. Qua đó chúng
ta có cái nhìn sâu sắc, toàn diện hơn về toán học. Mặt khác đây cũng là cơ hội
bồi dưỡng năng lực phát hiện tìm tòi cách giải các bài toán, phát huy khả năng
tư duy, óc phán đoán, giúp các em học sinh hình thành tốt các kỹ năng giải toán,
và thêm yêu thích bộ môn.
Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh. Khơi dậy tính
sáng tạo và giải toán của học sinh.
Phát triển năng lực tự học, biết liên kết và mở rộng các bài toán từ đó
giúp các em hình thành phương pháp giải.


- Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này giúp khai thác các bài toán cơ bản, phát
triển tư duy, chủ động, sáng tạo trong giải toán Hình học cho học sinh lớp 7 năm
học 2014-2015- Trường THCS Quảng Phú.
- Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp thu thập thông tin, xử lí số liệu
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Đặc điểm của lứa tuổi học sinhTHCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu
trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn
sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn,
điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo. Hình thành tính tích
cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học của học là một quá
trình lâu dài, kiên nhẫn và phải có phương pháp. Tính tích cực, tự giác, chủ động
và năng lực tự học của học sinh được thể hiện một số mặt sau:
- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục
các tư tưởng rập khuôn, máy móc.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận
một vấn đề ở nhiều khía cạnh.

- Phải có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi tại sao? Do đâu? Như
thế
nào? Liệu có trường hợp nào nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận trên
có đúng nữa không? Và phải biết tổng hợp các bài toán liên quan.
- Tính chủ động của học sinh còn thể hiện ở chổ biết nhìn nhận vấn đề
và giải quyết vấn đề.
- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã biết.
Khi thấu hiểu bản chất nội dung kiến thức, thấy được sự đa dạng phong
phú của các bài toán Hình học thì các em cảm thấy yêu thích hơn, đi sâu nghiên
cứu hơn và sẽ giải được các bài tập một cách hiệu quả hơn.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua nhiều năm giảng dạy, tham khảo học hỏi các đồng nghiệp trong và
ngoài nhà trường, tôi nhận ra rằng:
- Học sinh yếu toán là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư
duy trong quá trình học tập.
- Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích cực,
độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng
tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.
- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù
hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa
cao.

2


- Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác,
không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết
tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo

bài toán trong các giờ luyện tập, tự chọn ...
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát
triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn
là nâng cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học
toán.
Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và
học sao cho phù hợp và có hiệu quả.
Để đạt được mục tiêu đó, mỗi thầy cô giáo chúng ta cần trang bị cho học
sinh không chỉ kiến thức, kỹ năng làm bài tập Toán mà còn phải khơi dậy ở các
em lòng say mê , tính tích cực, tự giác trong học tập. Đây không chỉ là vấn đề
của riêng ai. Nhưng làm thế nào để đạt được mục đích đó thì quả là không dễ
chút nào. Chính vì vậy, nhận thấy sự cần thiết phải rèn luyện cho các em năng lực
tư duy, độc lập sáng tạo càng khiến tôi tâm huyết tìm tòi nghiên cứu sáng kiến kinh
nghiệm này để khắc sâu lý thuyết, rèn kĩ năng giải toán đồng thời gây hứng thú
cho học sinh. Trong khi dạy hình học 7, tôi đã có một số cải tiến và cách làm để
khai thác bài toán cơ bản nhằm tìm ra lời giải hay, ngắn nhất và nhìn bài toán
dưới nhiều góc độ cho một bài toán hình học, cũng như việc khai thác các bài
toán xung quanh bài toán cơ bản đó hay phát triển mở rộng các bài toán tương
tự.
Kết quả khảo sát đầu năm khi chưa sử dụng đề tài:
Lớp
Kém
Yếu
TB
Khá
Giỏi
TB trở lên
SL %
SL %
SL %

SL %
SL % SL %
7A(45) 6
13,3 13 28,9 21 46,7 5
11,1 0
0 26
57,7
7B(44) 5
11,4 12 27,3 23 52, 4
9,1 0
0 27
61,3
2
2.3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
1. Tạo hứng thú khi giải các bài tập cơ bản trong SGK và khai thác các bài
toán tương tự.
Trước hết, trong giảng dạy chính khóa phải giúp học sinh nắm vững các kiến
thức cơ bản về các khái niệm, các tính chất hính học để vận dụng giải các bài
tập. Việc tạo được niềm say mê, hứng thú trong học tập, bằng cách này hay cách
khác chắc chắn sẽ đem lại kết quả học tập tốt hơn nhiều cho mỗi em. Có thể tự
tạo hứng thú từ những nhận xét, phát hiện “nho nhỏ” trong quá trình học toán,
nhất là các bài tập trong SGK.
Trong quá trình dạy toán, chắc rằng các thầy cô giáo đã có không ít lần gặp
các bài toán cũ mà cách phát biểu có thể hoàn toàn khác, hoặc khác chút ít.
Những bài toán tương tự, mở rộng, đặc biệt hóa hay lật ngược bài toán mà các

3


bài toán này có cùng phương pháp giải. Nếu giáo viên định hướng cho học sinh

kĩ năng thường xuyên liên hệ một bài toán mới với những bài toán đã biết như
bài toán đảo, bài toán tổng quát, bài toán đặc biệt...thì sẽ làm cho học sinh phát
hiện ra rằng bài toán đó không mới đối với mình nữa hoặc nhanh chóng xếp loại
được bài toán từ đó định hướng được phương pháp giải quyết một cách tích cực
và chủ động. Sau đây tôi sẽ đưa ra một số ví dụ để giải quyết thực trạng trên và
để thể hiện nội dung của đề tài. Ví dụ:
• Bài tập 13/SBT Toán 7 (tập 1, trang 99)
·
Trên hình vẽ có Ax song song với By, C· Ax = 50o, CBy
= 40o. Tính ·ACB bằng
cách xem nó là góc ngoài của một tam giác.” (xem hình 1)
x

A

A

500
?

?

C

C

400

400
B

x
500

H×
nh 1

B

y

1
D

H×
nh 1'

y

Lời giải tóm tắt: (xem hình 1’)
Kéo dài AC cắt By tại D. ·ACB là góc ngoài của tam giác BCD nên:
·ACB = B
µ +D
¶ = 400 + 500 = 900
1

*Bài toán 1: Bài tập 3/SGK Toán
7 (tập 2, trang 91) :
Xem hình 4, cho a // b, Cµ = 44o,
µ = 132o. Tính số đo góc COD.

D

C

a
440

O

?
1320

Hình 4

D

b

Chú ý : Tương tự học sinh có thể giải được một bài trong bài toán 5, trang
92, SGK Toán 7, tập 2.
A
a
• Bài tập 57/SGK Toán 7 (tập 1, trang 104)
380
Cho hình vẽ (a // b), hãy tính số đo x của góc O
x? O
(xem hình 3).
Gợi ý:
Sử dụng kết quả của bài toán 1, ta chỉ
1320

·
cần tính OBb .
B
b
b'
H×nh 3
Ở đây tôi muốn trao đổi một bài toán tổng quát hơn.

4


A

·
· Ax ,
* Bài toán 2 : Hình 2 cho biết CAB
>C
Ax // By. Chứng minh rằng:
·ACB = C
· Ax + CBy
·

m

x

1
2

C

Lời giải : Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa
y
tia CB, vẽ tia Cm // Ax. Vì Ax // By => Cm //
B
H×
nh 2
·
¶ (so le trong).
=C
By => C· Ax = Cµ1 ; CBy
2
·
µ +C
¶ (1).
=C
Vậy: C· Ax + CBy
1
2
·
µ hay tia Cm nằm giữa hai tia CA và CB,
·
·
>C
Theo giả thiết, CAB > CAx => ACB
1
·
µ
¶
do đó : ACB = C1 + C2 (2).

·
Từ (1) và (2) suy ra ·ACB = C· Ax + CBy
Nhận xét :
·
+ Bài toán 2 cho biết mối quan hệ giữa hai góc C· Ax, CBy
với ·ACB ,
không phụ thuộc vào số đo của các góc như ở bài toán đặt vấn đề.
+ Mấu chốt của lời giải là việc kẻ thêm đường phụ Cm song song với Ax.
+ Đối với học sinh lớp 7 mới được tập dượt chứng minh hình học, nhất là
với kiến thức ở chương I - Đường thẳng vuông góc - Đường thẳng song song, thì
đây là một bài toán khá hay. Khai thác bài toán, ta có nhiều bài toán tương tự
khá thú vị.
A
x'
*Bài toán 3: Cho hình 5,
1
biết Ax // By và C· Ax + ·ACB > 180o. Chứng
C
minh rằng:
· Ax + ·ACB + CBy
·
C
= 360o.
1
Gợi ý :
y'
+ Kẻ tia đối Ax’ của tia Ax và tia đối By’
B
Hình
5

của tia By. Sử dụng kết quả của bài toán 1
+ Cách khác: Kẻ Cm // Ax và chứng minh tương tự bài toán 2

x

y

2. Giúp học sinh chủ động, sáng tạo khi giải toán hình học
Sau khi giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản sách giáo khoa sau
đó suy nghĩ đến vấn đề là làm thế nào để học sinh chủ động, sáng tạo khi giải
các bài toán hình học thông qua các buổi dạy bồi dưỡng. Cách tôi đã làm là đưa
ra các bài tập toán với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kiểm tra
năng lực toán học. Đồng thời phù hợp phương pháp dạy học đổi mới theo định
hướng tích cực, độc lập, sáng tạo.
Câu trả lời đã trở nên rõ ràng nếu chú ý nhận xét tính đa dạng và phong
phú của hệ thống bài tập trong sách giáo khoa. Trong khuôn khổ bài viết này, tôi
xin trình bày thông qua hai ví dụ về bài tập hình học 7 mà tôi đã tiến hành dạy
trong một tiết dạy học theo chủ đề tự chọn.

5


Ví dụ 1: Bài tập kích thích mạnh mẽ tư duy học sinh - loại bài tập tình
huống. Ta hãy xét bài tập sau:
Cho điểm M trên trang giấy và hai
đường thẳng d, d’ cắt nhau nhau ngoài trang
d
M
giấy. Hãy vẽ đường thẳng d’’ đi qua điểm M
và giao điểm của d, d’. Nói cách vẽ và giải

thích vì sao vẽ được như vậy.
d'

Tình huống của bài tập này là: Học sinh phải vẽ một đường thẳng đi qua
hai điểm, trong đó một điểm đã cho trước, còn điểm thứ hai thì chưa xác định
được.
Hướng giải quyết bài toán không phải là vẽ giao điểm của hai đường
thẳng d và d’ mà là tìm quan hệ giữa đường thẳng phải vẽ (đường thẳng d’’ đi
qua điểm M) với những đường thẳng khác có thể vẽ được trên trang giấy.
Quá trình mò mẫm dẫn đến cấu hình ba đường cao đồng quy trong tam
giác, từ đó suy ra cách vẽ.
Lời giải (tóm tắt):
Cách vẽ : Vẽ đường thẳng a đi qua M và
a
vuông góc với d’, a cắt d tại A. Vẽ đường thẳng
A
b đi qua M và vuông góc với d, b cắt d’ tại B.
d
M
Vẽ đường thẳng d’’ đi qua M và vuông góc với
AB, d’’ là đường thẳng phải vẽ, nó đi qua giao
d''
điểm của d và d’ (giao điểm này nằm ngoài
B
trang giấy) vì ba đường cao d, d’, d’’ của tam
d'
b
giác MAB đồng quy.
Cũng có thể giải thích như sau :
Giả sử giao điểm của d và d’ là C (nằm ngoài trang giấy). Trong tam giác

ABC, hai đường cao a và b cắt nhau tại M. Thế thì đường thẳng d’’ đi qua M
(trực tâm của tam giác ABC) và vuông góc với AB phải là đường cao thứ ba,
vậy d’’ đi qua C.
Ví dụ 2 : Ta hãy xét bài tập sau.
D
Trên hình vẽ, người ta đã cho biết : AE = CE,
·
BE // CD, ·ABE = 88o, BCE
= 31o.
E
a) Tính số đo góc ECD.
b) Tính số đo góc EDC
c) Trong tam giác CDE thì cạnh nào lớn nhất ?
880
310
A

B

C

Đây là một bài tập dễ, vận dụng nhiều kiến thức và có nhiều cách giải
khác nhau. Nếu đề kiểm tra cuối năm phần hình học lớp 7 được ra theo kiểu này
thì chắc chắn học sinh sẽ bộc lộ rõ ràng mức độ nắm vững kiến thức cơ bản, kĩ

6


năng cơ bản của mình và ngay cả học sinh trung bình, yếu cũng hi vọng giải
được hầu hết các câu hỏi của bài toán.

Lời giải (tóm tắt) :
·
a) BCD = ·ABE = 88o (hai góc đồng vị).
·
·
·
= 88o - 31o = 57o
ECD
= BCD
− BCE
·
·
b) Vì tam giác EAC cân nên EAB
= 31o. Trong tam giác ABE :
= ECB
·AEB = 180o - 88o + 31o = 61o.
o
·
EDC
= ·AEB = 61 (hai góc đồng vị).
·
c) Trong tam giác CDE : DEC
= 180o - (57o + 61o) = 620
Vậy cạnh CD lớn nhất.
Cách giải khác :
·
·
a) Vì tam giác EAC cân nên EAB
= 31o. Trong tam giác AEB : ·AEB = 61o.
= ECB

·
Với tam giác BEC : ·ABE = 88o là góc ngoài ở đỉnh B nên BEC
= 88o - 31o = 57o.
·
·
Vì BE // CD nên ECD
= 57o (hai góc so le trong)
= BEC
o
·
b) Vì BE // CD nên EDC
= ·AEB = 61 (hai góc đồng vị)
·
c) Trong tam giác CDE : DEC
= 180o - (57o + 61o) = 62o
Vậy cạnh CD lớn nhất.
Khi học sinh đã biết cách chủ động trong việc giải các bài tập toán thì cần
cho học sinh phát triển các tư duy đó dưới dạng tổng quát để có thể suy luận làm
các bài tập từ rất dễ đến khó hơn, từ đơn giản đến phức tạp hơn, tôi xin trình bày
chủ đề khai thác yếu tố trung điểm của đoạn thẳng mà tôi đã tiến hành trong một
buổi dạy ôn tập tổng hợp cho học sinh.
Để làm được các dạng toán này học sinh cần nhớ khái niệm trung điểm của
đoạn thẳng và nhận ra một điểm là trung điểm của đoạn thẳng trên hình vẽ.
Ngoài ra phải có khả năng tổng hợp các kiến thức đã học để chứng minh một
vấn đề. Xuất phát từ bài toán cơ bản sau:
• Bài toán 1: Cho hình vẽ.
M
a- Có nhận xét gì về điểm H và thử
chứng minh nhận xét đó.
b- Hãy đặt một đề toán.

c- Từ đó suy ra cách dựng trung điểm
của đoạn thẳng AB cho trước.
B
Với bài tập này học sinh dễ dàng làm A
H
được theo các yêu cầu trên.
N

* Cách làm trên không những bồi dưỡng cho HS óc quan sát, nhận xét,
phán đoán mà còn giúp các em chủ động đặt và giải quyết vấn đề.
- Rèn luyện ngôn ngữ, cách lập luận hình học và năng lực tư duy sáng tạo.
- Rõ ràng so với dạy đại trà thì yêu cầu đã cao hơn ở chỗ:

7


+ HS phải sử dụng nhiều kiến thức và kĩ năng như hai tam giác bằng nhau, trung
điểm của đoạn thẳng, đường trung trực, đường tròn, kĩ năng sử dụng thước, com
pa và tính chính xác trong sử dụng cụ.
+ HS phải vận dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau để chứng minh được
điểm đã dựng chính là trung điểm của AB.
+ Học sinh phải vẽ đoạn thẳng AB trước rồi mới dựng trung điểm của nó.
A
B
• Bài toán 2: Gọi I là trung điểm
chung của hai đoạn thẳng AC và BD.
Chứng minh AB = CD và AB // CD.
I
C
D

* Chú ý:
- Trong hai kết luận nên đưa kết luận hai đoạn thẳng bằng nhau lên trước
thì HS dễ định ra hướng giải quyết hơn.
- Việc HS vẽ hai đoạn thẳng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn là
không dễ, vì vậy nên hướng dẫn HS cách vẽ, vừa rèn luyện kĩ năng sử dụng
dụng cụ, vừa định hướng tư duy cho HS trong quá trình xem xét bài toán (Hầu
hết các bài toán hình học, khi có quá trình vẽ hình đúng thì cũng có nghĩa là một
ý nào đó của lời giải cũng đã xuất hiện ).
Sau khi học sinh làm xong bài tập 3, giáo viên đưa ra củng cố theo sơ đồ
phân tích ngược:
AB // CD

⇑
µB = D
µ ;AB = CD
⇑

Xét sự bằng nhau của hai tam giác chứa chúng
Sử dụng dấu hiệu I là trung điểm của AC và BD = 2.BI, hướng dẫn học
sinh tìm hiểu bài toán 3.
• Bài toán 3: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông trung tuyến ứng
với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
* ý tưởng của bài là ở chỗ:
- HS phải chuyển bài toán sang bài toán với kí hiệu toán học (Toán học
hoá lời văn ).
- Suy nghĩ điều kiện tồn tại, dấu hiệu đặc biệt.
- HS vẽ nhiều hình để chọn cách vẽ phù hợp.
- Kiểm tra sự vận dụng các bài toán trên vào việc tìm lời giải bài toán.
- HS xây dựng lược đồ chứng minh.

8


A

B

A

M

C

B

C

M

K

* Lược đồ tìm lời giải: AM =

1
.BC <= BC = 2.AM (AM = BM = MC)
2

Tạo ra một đoạn thẳng bằng 2.AM <= Liên tưởng đến bài toán trên.
* Phương pháp vẽ đường phụ khi có dấu hiệu trung điểm của đoạn thẳng bằng
cách sau: “ Tạo ra AK = 2.AM ” đối với các tam giác vuông, nhọn, tù.

3. Hướng dẫn học sinh khai thác các cách giải khác nhau của một bài tập
hình học.
Để khắc sâu lý thuyết, rèn kĩ năng giải toán đồng thời gây hứng thú cho học
sinh trong khi học hình học 7, tôi đã có một số cải tiến và cách làm để khai thác
bài toán nhằm tìm ra lời giải hay, ngắn nhất và nhìn bài toán dưới nhiều góc độ
cho một bài toán hình học.
• Bài toán:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC), Từ B, C kẻ
các đường thẳng song song với AH chúng cắt đường thẳng thẳng đi qua A lần
lượt tại M và N. CMR: AM= AN.
- Trước hết giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi GT, KL của bài toán:
∆ABC có AB=AC
N
GT AH ⊥ BC (H∈ BC)
BM //AN; CN // AH
A
KL AM= AN
Nhìn nhận của giáo viên:
Nhìn trên hình vẽ BMNC là hình thang
do BM //CN (vì cùng song song với AH) và H
là trung điểm BC nên AH là đường trung bình

M

B

H

C

của hình thang BMNC. Song việc khai thác chứng minh A là trung điểm của
MN đối với học sinh lớp 7 khi chưa học vê tính chất hình thang thì quả là một
điều không dễ và rất thú vị. Dưới đây là cách nhìn nhận, hướng dẫn học sinh giải
quyết bài toán này:
Định hướng giải quyết bài toán theo phương pháp tạo ra hai tam giác
chứa hai đoạn thẳng AM và AN sau đó chứng minh hai tam giác đó bằng
nhau.
* Một cách nhìn nhận trực tiếp:

9


Cách 1:
* Hạ ME ⊥ AH ( E ∈ AH) AF ⊥ CN (F ∈ CN)
Ta có ME=BH ; AF=HC (1) Mà BH = HC (2)
(1) và (2) => ME= AF
· AF = ·AME
⇒ ∆ANF = ∆MAF
LạicóAF//ME ⇒ N
⇒ AM=AN

N

A

F

M

E

C

H

B

F

N

Cách 2:
A

* Hạ ME ⊥ AH ( E ∈ AH) NF ⊥ CN (F ∈ AH)
Từ đó chứng minh cho 2 tam giác vuông NAF
và MAE bằng nhau suy ra MA= NA

M

E

C

H

B

Hình 2
Cách 3: (xem hình 3)

Qua A kẻ EF//BC dẫn đến  AME =  ANF => AM=AN
Cách 4: Xem hình 4)
Kẻ AE ⊥ BM (E ∈ BM); NF ⊥ AH( F ∈ AH);
Suy ra AEM = NFA( g.c.g).
suy ra AM = AN (2 cạnh tương ứng)
F

N

A
E

F

N

A

E

M

M

B

H

C

Hình 3

B

H

C

Hình 4

+ Một cách nhìn nhận gián tiếp:

10


Cách 1:
Kẻ BE// MN; HF// MN
Dễ dàng chứng minh được:
BE = MA ; HF = AN(1)
Ta chứng minh:
BEH = HFC(g.c.g)
⇒ BE=HF(2).
Từ (1) và (2) có AM=AN

N

A

M
F

E

C

H

B

Cách 2:
Qua H kẻ EF //MN
(E ∈ BM; F ∈ CN).
Dễ chứng minh được
EH = AM ; HF = AN (1)
có BEH= CFH( g.c.g)
⇒ HE = HF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM=AN.

N

A

M
F

B

C

H

E

Cách 3:
Kẻ BE // MN( E ∈ AH)
CF // MN (F ∈ AH)
Dễ chứng minh được:
BE = AM; CF= AN (tính chất đoạn
chắn) (1)
Ta chứng minh:
 BEH= CFH (g.c.g).
⇒ HE = HF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM=AN.

N

A

M

E

B

H

C

F

11


Cách 4:
Kẻ HE // MN( E ∈ BM)
CF // MN( F ∈ AH)
HE = MA; CF = AN (1)
Ta chứng minh được:
BEH = HFC( g.c.g).
⇒ HE = HF(2).
Từ (1) và (2) suy ra: AM=AN

N

A

M

B

H

E

C

F

Nếu khai thác bài toán theo khía cạnh sử dụng định lí “ đường thẳng
đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi

qua trung điểm của cạnh thứ ba" thì bài toán có thể giải quyết theo 7 cách nữa.
Tuy nhiên ở lớp 7 học sinh chưa học định lí này, nhưng vẫn có thể chứng minh
được, việc đưa vào để khai thác hay không là tùy thuộc giáo viên và thời lượng
buổi dạy.
Một điều cần phải nói thêm rằng: Có các cách giải sẽ là tương tự của
nhau, nhưng tôi vẫn đưa ra để giúp học sinh khai thác bài toán một cách triệt để.
• Bài tập tham khảo.
• Bài 1: Cho góc xAy bằng 600, Az là tia phân giác của góc xAy. Từ điểm B
trên Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Vẽ BD vuông góc
với Ay (D ∈ Ay). Chứng minh rằng BD =

1
AC
2

• Hướng dẫn:
Chứng minh một đoạn thẳng có độ dài bằng một nửa độ daiof của đoạn thẳng
khác có các cách giải sau:
Cách 1: Chia đôi đoạn thẳng dài rồi chứng minh một trong hai đoạn thẳng
này bằng đoạn thẳng ngắn.
Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AC. Cần chứng minh AE hoặc EC bằng
BD. Điều này có được nhờ ∆ ADB = ∆ BEA.
Cách 2: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn được đoạn thẳng mới và chứng minh đoạn
thẳng này bằng đoạn thẳng dài.
(trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = DB và tìm cách chứng minh
rằng AC = BF, nhận ra rằng ∆ ABC = ∆ BAF cho ta điều đó !)
Bài 2. Cho ABC, đường cao AH, BK cắt nhau tại E ; O là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a, Khoảng cách từ O tới AC bằng nửa khoảng cách từ E tới B
b, Khoảng cách từ O tới BC bằng nửa khoang cách từ E tới A

Hướng dẫn:
*Cách 1: Lấy I,J lần lượt là trung điểm EA và EB
*Cách 2: Lấy R, S sao cho R, S lần lượt là điểm đối xứng của O qua AC và BC

12


*Cách 3: KẻBx//AE và Ay//BE , Bx cắt Ay tại Q (hoặc lấy Q sao cho Q là điểm
đối xứng của C qua O).
* Cách 4: Lấy D là trung điểm của EC.
Bài 3: Cho ABC; AB =AC ; M ∈ AB; N thuộc tia đối của tia CA sao cho MB
= CN; MN cắt BC tại I. Chứng minh: IM=IN.
Hướng dẫn:
* Cách 1: Kẻ Mx // AC cắt BC tại D.
MDI=  NIC (g.c.g)
* Cách 2: Từ N kẻ Nx // AB ắt tia đối của tia CB tại E; MBI= INE(g.c.g)
* Cách 3: Từ M kẻ Mx // BC cắt AC tại D ; My// AC cắt BC tại E
NDM có CD = CN ; CI // MD ⇒ IM = IN
* Cách 4: Từ N kẻ Nx//BC cắt tia đối của tia BA tại E; từ B kẻ By //AC cắt Nx
tại D.
* Cách 5: Từ M kẻ MH ⊥ BC ; NK ⊥ BC.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, Kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB).
1·
·
= BAC
CMR: BCH
2

Hướng dẫn:
·

·
* Cách 1: Nối A với trung điểm M của BC sau đó chứng minh BCH
và MAB
là
hai góc có cặp cạnh tương ứng vuông góc và cùng nhọn.
* Cách 2: Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HB= HD sau đó chứng
·
·
minh BCD
= BAC
1·
·
= BAC
* Cách 3: Từ B kẻ Bx //CH sau đó chứng minh CBx
.
2
1·
·
= BAC
* Cách 4: Từ H kẻ HN// BC sau đó chứng minh NHC
2

* Cách 5: Từ A kẻ Ax // HC. Tính cụ thể góc BCH và góc BAC rồi so sánh
* Cách 6: Từ B kẻ Bx ⊥ AB (chứng minh tương tự cách 3).
Bài 5: Cho ABC; AB> AC; A=α , trên AB lấy D sao cho AC = BD. lấy E là
· EF ?
trung điểm của BC ; F là trung điểm của AD. Tính D
Hướng dẫn:
* Cách 1: Nối AE , lấy A' sao cho E là trung điểm AA'.
* Cách 2: Lấy D' sao cho E là trung điểm của DD'

* Cách 3: Nối D với C , lấy I là trung điểm của DC...
* Cách 4: Lấy C' sao cho F là trung điểm CC'.
* Cách 5: Lấy K là trung điểm AB.
4. Hướng dẫn học sinh khai thác các bài tập nâng cao
Các bài toán nâng cao rất rất đa dạng, xuất hiện nhiều trong các kì thi.
Trong bài viết này, tôi xin đưa ra một số bài toán về tính số đo góc và cạnh
Bài toán 1:

13


Cho ∆ ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy
điểm D sao cho AM = MD. Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B
và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC.
a.Chứng minh rằng BI = CK và BK // CI.
b.Chứng minh KN < MC
c. ∆ ABC thỏa mãn thêm điều kiện gì để AI = IM = MK = KD.
d.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống BC. Chứng minh rằng các
đường thẳng BI, DH, MN đồng quy.
B
D
K
M
I
A

H
N

C

O
Lời giải:
*Cách 1:
a) Hướng dẫn chứng minh BK = CI
Chỉ ra ∆ BMI = ∆ CMK
⇒ BI = CK
Chỉ ra ∆ BIK = ∆ CKI
⇒ BK = CI
*Chứng minh BK //CI
Cách 1: ∆ BIK = ∆ CKI
·
·
⇒ BKI
= CIK
(vị trí so le trong )
⇒ BK//CI
Cách 2: BI ⊥ AK
CK ⊥ AK
·
·
⇒ BI // CK ⇒ MBI
= MCK
·
·
·
·
⇒ KBC
Mà KBI
= ICK

= BCI
(so le trong)
⇒ BK // CI
1
b) MC = BC
2

Chỉ ra AN = NC và KN < MC
c) AI = IM ⇒ ∆ BAM cân tại A
⇒ AB = BM
Mà BM =

1
1
BC ⇒ AB = BC
2
2

d) O là giao điểm của BI và DH
MN ⊥ AC ⇒ MN ⊥ BD (1)

14


Xét ∆BOD có BH ⊥ OD
DI ⊥ BO
Mà BH I DI = { M }
⇒ M là trực tâm của ∆BOD ⇒ MO ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra M,N,O thẳng hàng
⇒ MO đi qua N

⇒ BI, DH, MN đi qua O hay BI, DH, MN đồng quy.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 20 0. Trên AB lấy điểm D sao cho
·
AD = BC. Tính BDC
.
Lời giải :
* Cách 1: Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng
tam giác đều BCE (hình 1).
Vì tam giác ABC cân tại A, Â = 200 nên
A
·ABC = ·ACB = 800. Vậy E thuộc miền trong tam giác
ABC, suy ra ·ACE = 200 (1).
D
·
·
Dễ thấy ∆ABE = ∆ACE (c.c.c) nên BAE
= CAE
=
 / 2 = 100 (2).
E
Từ (1) suy ra  = ·ACE = 200
B
suy ra ∆DAC = ∆ECA (c.g.c), kết hợp với (2)
C
0
·
·
suy ra ACD = CAE = 10 .
Hình 1
0

·
·
·
·
Ta có BDC là góc ngoài của ∆DAC, nên BDC = DAC + DCA = 20 + 100 = 300.
A

* Cách 2 : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB,
chứa điểm C, dựng tam giác đều ABI (hình 2).
D
Vì ∆ABC cân tại A, Â = 200 nên AI = AB = AC ;
·
·
= 400 ; IBC
= 200 suy ra ·ACI = 700 (∆ACI cân tại A)
CAI
I
·
suy ra BCI
= 1500
Lại có: ∆ADC = ∆BCI (c.g.c)
C
B
Hình 2
·
·
Suy ra ·ADC = BCI
= 1500 suy ra BDC
= 300.
• Bài toán 3: Cho tam giác ABC cân

·
·
tại A, Â = 800. Ở miền trong tam giác lấy điểm I sao cho IBC
= 100 ; ICB
= 300.
Tính ·AIB .
Lời giải :
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam
giác đều BCE (hình 3).

15


Vì ∆ABC cân tại A, nên  = 800 nên
·ABC = ·ACB = 500 suy ra ·ABE = ·ACE = 100 ; điểm
A thuộc miền trong tam giác BCE.
Dễ dàng chứng minh được ∆AEB = ∆ICB
(g.c.g) suy ra BA = BI suy ra ∆ ABI cân tại B, có
·ABI = 500 - 100 = 400 suy ra ·AIB = 700.

E

A

I
B

C
Hình 3

Nhận xét: Các bài toán trên cho ta thấy chúng có mối quan hệ mật thiết với
nhau. Vì vậy nếu trong khi dạy toán mà chúng ta biết hệ thống và liên kết chúng
thì được một hệ thống bài tập không những giúp cho việc giảng dạy thêm phần
sinh động mà còn giúp cho học sinh cảm thấy hứng thú và chủ động đồng thời
nắm bắt được kiến thức một cách vững vàng hơn.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân.
Sau khi vận dụng các ví dụ minh họa cho việc đổi mới phương pháp dạyhọc theo hướng tích cực nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy, sáng tạo và phát
triển năng lực tự học của học sinh trong học tập môn Toán. Từ những bài toán
không mới, giáo viên đã biến nó thành cái mới và sắp xếp chúng theo một hệ
thống nhất định, bước đầu giúp học sinh tiếp thu bài nhanh hơn,vững vàng hơn
và hứng thú hơn. Thực tế trong năm học 2014-2015 tôi đã sử dụng đề tài trong
các giờ luyện tập, chủ đề tự chọn và các buổi ôn tập, thì kết quả cho thấy học
sinh đều có ý thức thi đua nhau, rất hào hứng phát biểu các cách làm của mình.
Và một điều quan trọng hơn cả là sau khi áp dụng cách khai thác các bài toán
này tôi thấy tinh thần học tập, khả năng tự nghiên cứu toán học của các em
được phát huy một cách tích cực không những nắm vững kiến thức trong SGK
các em còn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài toán khó trong sách nâng
cao. Kết quả đạt được như sau:
Lớp
Kém
Yếu
TB
Khá
Giỏi
TB trở lên
SL %
SL %
SL %
SL %

SL % SL %
7A(45) 1
2,2 8
17,8 20 44,4 13 28,9 3
6,7 36
80
7B(44) 0
0
6
13,6 24 54, 10 22,7 4
9,1 38
86,3
6
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
- Kết luận:
Qua quá trình nghiên cứu đề tài này tôi thấy, người dạy cần tạo cho học sinh
thói quen không chỉ dừng lại ở kết quả vừa tìm được mà phải phân tích, khai
thác nó để có những kết quả mới. Thông qua việc hướng dẫn học sinh tìm tòi,
sáng tạo các bài toán mới từ những bài toán đã học, đã gặp giúp học sinh tự tin
hơn trong giải toán, nhờ đó mà học sinh phát huy được tư duy và nâng cao năng

16


lực sáng tạo, bước đầu hình thành cho học sinh niềm say mê nghiên cứu khoa
học. Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng việc khai thác, liên kết, lật ngược...
bài toán rất quan trọng, nó không chỉ giúp cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức cơ
bản của một dạng toán mà còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá một bài
toán. Hơn nữa, việc liên kết các bài toán khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa
chúng sẽ giúp cho học sinh có hứng thú hơn khi học toán..

Đối với học sinh lớp 7, chứng minh hình học đối với các em còn mới lạ,
tương đối khó, đòi hỏi tư duy cao nên trong quá trình dạy tôi áp dụng các giải
pháp trên lúc đầu nhiều em còn rất ngại học hình, hầu như học sinh chỉ có ý thức
làm bài được một cách đã thoả mãn với chính mình, rất ngại khó khi suy nghĩ
cách khác hoặc tiếp thu cách của bạn. Các em chưa thấy được tác dụng mạnh
của việc nhìn bài toán dưới nhiều góc độ sẽ củng cố được kiến thức của mình,
rèn luyện được tính tư duy sáng tạo, tính kiên trì trong khi học toán. Đôi khi chỉ
dừng lại ở việc giải xong bài toán đó, không mấy khi suy nghĩ, tìm tòi khai thác
bài toán.
Song qua một thời gian kiên trì áp dụng cách khai thác các bài toán cơ bản và
dạy học sinh theo ý tưởng trên, đến nay hầu hết các em đã tham gia, hưởng ứng
một cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức khi làm thành thạo một số dạng
bài có liên quan từ dễ đến khó, các em nhìn nhận mỗi bài toán dưới nhiều khía
cạnh khác nhau. Từ đó kích thích được sự tò mò, sự sáng tạo, ham học hỏi,
khám phá cái mới lạ trong học tập môn Toán nói riêng và các môn khoa học
khác nói chung. Đặc biệt nhiều em học sinh đã vận dụng phương pháp khai thác
bài toán một cách hợp lý nên đã taọ ra được nhiều bài toán hay, bài toán khó và
cũng đã phát hiện nhiều cách giải độc đáo.
Sau một thời gian nghiêm túc thực hiện với cách "Phát triển tư duy cho
học sinh qua việc khai thác các bài toán cơ bản hình học 7" với mong muốn
tạo cho học sinh tính kiên trì và có khả năng sáng tạo khi làm bài và thấy được
sự phong phú, đa dạng của toán học.
- Kiến nghị: Qua thực tế tôi thấy, việc khai thác bài toán giúp cho học sinh
định hướng tìm ra lời giải 1 bài toán hình học, khai thác các bài toán đó là một
vấn đề rất quan trọng và không thể thiếu được trong khi giảng dạy môn hình học
lớp 7. Chính vì vậy tôi cũng xin mạnh dạn đề nghị PGD tổ chức nhiều hơn nữa
các chuyên đề cụm liên trường, các chuyên đề,....để giáo viên được trao đổi và
học hỏi kinh nghiệm, tạo hiệu quả giảng dạy - học tập cao nhất.
Trên đây là kinh nghiệm mà tôi rút ra được trong quá trình giảng dạy và tôi
đã có được phần thành công trong việc thay đổi phương pháp dạy và học tại

trường THCS Quảng Phú, đặc biệt là trong bồi dưỡng học sinh giỏi. Đề tài chắc
chắn không tránh khỏi thiếu sót rất mong nhận được sự góp ý giúp đỡ của quý
thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 14 tháng 4 năm 2016

17


Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Nguyễn Thị Hằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa toán 7
(NXB Giáo dục)
- Sách bài tập toán 7
(NXB Giáo dục)
- Sách nâng cao và phát triển toán 7
(Vũ Hữu Bình)
- Các dạng toán và phương pháp giải toán 7
(NXB Giáo dục)
- Tuyển tập các bài toán hay và khó lớp 7
(NXB Giáo dục)
- Ôn tập hình học 7 – Vũ Dương Thụy
(NXB Hà nội - 2004)

- Định lí hình học và phương pháp chứng minh – Hứa Thuần Phỏng – NXB Hà
nội – 1982.

18