Phương pháp giải một số dạng toán về tương giao giữa parabol với đường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng học sinh thi vào THPT ở trường THCS nga an

MỤC LỤC
Trang
I. MỞ ĐẦU....................................................................................2
1. Lí do chọn đề tài...................................................................2
2. Mục đích nghiên cứu:...........................................................2
3. Đối tượng nghiên cứu...........................................................3
4. Phương pháp nghiên cứu.....................................................3
II- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.......................................3
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm..............................3
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề...................4
3.1. Kiến thức cơ bản:..........................................................4
3.2. Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đường
thẳng.....................................................................................5
3.3. Dạng 2:Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đường
thẳng.....................................................................................6
3.4. Dạng 3:Chứng minh về vị trí tương đối giữa Parabol và
đường thẳng..........................................................................8
3.5. Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm
trong mặt toạ độ giữa Parabol và đường thẳng..................10
3.6. Dạng 5: Biện luận số giao điểm của đường thẳng và
Parabol................................................................................11
3.7. Dạng 6: Lập phương trình tiếp tuyến...........................13
3.8. Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao giữa
đường thẳng và Parabol thỏa mãn điều kiện cho trước......15
3.9.Dạng 8: Xác định parabol..............................................18
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường......................19
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ............................................................20
1. Kết luận..............................................................................20
2. Kiến nghị............................................................................20

1


I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, một
môn học không thể thiếu được với mỗi chúng ta, là môn học trừu tượng và khó
cho người học cũng như người dạy. Với vai trò quan trọng của bộ môn có tính
quyết định đến chất lượng học tập các bộ môn khác. Trong môn toán 9, thì dạng
toán về tương giao giữa parabol và đường thẳng các em muốn giải được phải
nhớ được các kiến thức đại số, hình học của các lớp đã học. Chính vì vậy, khi
học dạng toán này học sinh rất lúng túng, khó tìm ra cách giải,.. dẫn tới ngại
học.
Trong dạng toán về tương giao giữa parabol và đường thẳng lại là một trơ
ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải
các loại toán này. Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó. Đặc biệt,
với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi, vào THPT thì đây là một
trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua.
Là một giáo viên giảng dạy toán bậc THCS, bản thân tôi lại được Nhà
trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán tham
dự kì thi các cấp huyện và tỉnh, tôi cũng rất trăn trơ về vấn đề này. Vấn đề đặt ra
là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các dạng toán về tương
giao giữa parabol và đường thẳng? Và khi gặp bất cứ một dạng toán nào về vấn
đề này các em cũng có thể tìm ra cách giải một cách tốt nhất?
Hiện tại chưa có tài liệu nghiên cứu sâu về dạng toán sự tương giao của
đường thẳng và parabol, cũng như chưa có đồng nghiệp nào có kinh nghiệm
giảng dạy tốt phần này. Để giúp các em học phần này có kết quả tốt, tôi mạnh
dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng toán về sự tương giao giữa
parbol và đường thẳng” giúp người giáo viên không chỉ nắm chắc được kiến
thức cơ bản phần này mà còn phải có phương pháp linh hoạt để truyền thụ kiến

thức một cách dễ hiểu nhất tới các em học sinh.
2. Mục đích nghiên cứu:
- Giúp giáo viên giảng dạy nâng cao chất lượng lớp mình, hạn chế những
sai sót của học sinh khi giải toán, tạo được hứng thú học toán của học sinh.
- Định hướng giải một bài toán, có phương pháp thích hợp với đề bài,
tổng kết được các dạng toán, có được niềm tin vững vàng khi giải toán.
- Học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh, nhận xét tương tự, trừu tượng
hoá, khái quát hoá để giải các bài toán từ đơn giản đến phức tạp.
- Lập kế hoạch giải một bài toán theo phương pháp tích cực.
Ngay từ khi là học sinh phổ thông các em cần thấy được vai trò to lớn của
toán học, giúp học sinh hoạt động hiệu quả trong mọi lĩnh vực nhờ kiến thức và
phương pháp toán học. Các bài toán về sự tương giao của hai đồ thị đặt ra cho
các em nhiều thách thức không nhỏ khi giải các dạng toán này.
Với ý nghĩa đó tôi muốn phân tích bài toán chỉ ra bản chất của vấn đề
giúp học sinh hiểu và từ đó giải được các bài toán dạng này để góp phần nâng

2


cao hiệu quả dạy và học toán ơ trường THCS. Đặc biệt nâng cao chất lượng thi
vào THPT của trường THCS Nga An.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Sáng kiến kinh ngiệm “ Một số dạng toán về tương giao giữa parabol và
đường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT của trường THCS Nga
An”. Nghiên cứu và tổng kết các biện pháp khi giảng dạy về các dạng toán
tương giao giữa parabol và đường thẳng trong chương trình toán 9.
Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 9A và 9B năm hoc 2014-2015 và
2015 -2016 của trường THCS Nga An, Nga Sơn
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu và sách báo liên quan tới đồ thị

hàm số, phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn…
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin…
-Phương pháp nghiên cứu: Quan sát học sinh học tập.
+ Giáo viên chuẩn bị: Máy chiếu, bảng phụ ghi các bài tập, bài giải mẫu và
cách giải của từng dạng toán.
+ Học sinh: Cần nắm vững lí thuyết về phần quan hệ giữa Parapol và
đường thẳng.
+ Cho học sinh hệ thống lại kiến thức về quan hệ giữa Parapol và đường
thẳng.
+ Giáo viên chia ra các dạng bài tập và tổ chức cho học sinh giải các bài
toán mẫu.
+ Giáo viên tổ chức cho học sinh tự làm việc, tự kiểm tra đánh giá, sửa
chữa, giáo viên chốt lại vấn đề.
II- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Môn toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu
chung của trường THCS, đó là việc góp phần hình thành những con người có
trình độ học vấn phổ thông cơ bản, đó là những con người biết rèn luyện để có
tính độc lập, có tư duy sáng tạo, phẩm chất đạo đức để đáp ứng yêu cầu công
nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước hiện nay.
Để thực hiện thành công nhiệm vụ đó, người giáo viên phải có phương
pháp giảng dạy phù hợp, chắt lọc những kiến thức cơ bản với từng đối tượng
học sinh, biết rèn cho học sinh phương pháp học tập các môn nói chung cũng
như môn toán nói riêng.
Kiến thức môn toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các
kiến thức đó lại có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, do vậy khi học, các em cần
nắm vững kiến thức cơ bản, từ đó vận dụng linh hoạt vào giải các loại toán, bài
toán cụ thể.
Một trong các kiến thức cơ bản trong chương trình toán THCS là phần đồ
thị, hàm số, mối tương giao giữa các đường thẳng với nhau, giữa các đường

thẳng và parabol. Nhìn chung, ơ phần này, học sinh có khả năng tư duy tương

3


tượng chưa tốt nên giải loại toán này khá vất vả, trình bày không chặt chẽ, rõ
ràng dẫn đến điểm kém nên sợ hoặc không thích học phần đồ thị, hàm số. Khi
nghiên cứu việc học và giải toán của các em học sinh THCS, trao đổi với các
đồng nghiệp dạy toán ơ THCS mà đặc biệt là giáo viên dạy toán 9, tôi thấy loại
toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và
parabol vẫn thường được đề cập tới trong các đề thi vào THPT, mặt khác, đây là
loại toán mà các em phải nắm vững để chuẩn bị cho môn toán lớp 10 THPT.
Để giúp các em học phần này có kết quả tốt, tôi mạnh dạn đưa ra sáng
kiến kinh nghiệm “Phương pháp giải một số dạng toán về tương giao giữa
Parabol với đường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng học sinh thi vào THPT ơ
trường THCS Nga An” giúp người giáo viên không chỉ nắm chắc được kiến thức
cơ bản phần này mà còn phải có phương pháp linh hoạt để truyền thụ kiến thức
một cách dễ hiểu nhất tới các em học sinh.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy ơ trường THCS, tôi có nhiều trăn trơ về
những khó khăn, lúng túng của học sinh khi giải một số bài toán về sự tương
giao giữa Parabol và đường thẳng đây là loại toán phổ biến trong chương trình
Đại số 9 và thường xuyên xuất hiện trong các kì thi, đặc biệt là kì thi vào THPT.
Bơi sự đa dạng thú vị, là sự tổng hợp của các kiến thức trong cả chương trình
Đại số 9 liên quan tới nó, từ các kiến thức và kĩ năng tính toán đến việc lập luận
chặt chẽ về mối quan hệ giữa hàm số và đồ thị, cho tới sự vận dụng linh hoạt các
kiến thức của hệ thức Vi ét hay sự lồng ghép vào việc vận dụng các phương
pháp giải phương trình, hệ phương trình.
Kết quả - hiệu quả của thực trạng nghiên cứu trên:
Tôi được nhà trường phân công dạy 2 lớp 9, tôi đã trực tiếp giảng dạy và

ôn luyện phần sự tương giao giữa Parabol và đường thẳng. Tuy nhiên khi làm
bài kiểm tra mới biết học sinh còn nhiều lúng túng về cách phân loại để đưa ra
lời giải cho mỗi loại toán nói trên, còn nhiều nhầm lẫn giữa các dạng khác nhau
dẫn tới kết quả sai đáng tiếc.
Bảng thống kê về học lực của học sinh năm học 2013-2014
Lớp Phương pháp
9A Khi chưa áp dụng
9B Khi chưa áp dụng

Giải được
20%
15%

Có đường lối giải
40%
40%

Không giải được
40%
45%

Từ thực trạng trên để kết quả giảng dạy được hiệu quả hơn, tôi mạnh dạn
cải tiến cho học sinh năm học 2014-2015 và 2015-2016 là phân ra: Một số dạng
toán về sự tương giao giữa Parabol và đường thẳng.
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
3.1. Kiến thức cơ bản:
Cho Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng y = bx + c (d) khi đó:
Ta có: Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng

4

y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:
ax2 = bx + c
⇔ ax2 - bx – c = 0 (1)
- Parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung ⇔ phương trình
(1) vô nghiệm.
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có một điểm chung (tiếp xúc) ⇔ phương
trình (1) có nghiệm kép và hoành độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của
phương trình.
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng hai điểm chung (cắt nhau) ⇔
phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
3.2. Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng
3.2.1.Phương pháp giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng
y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:
ax2 = bx + c
⇔ ax2 - bx – c = 0 (1). Giải (1) ta tìm được hoành độ giao điểm.
3.2.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
y = 3x - 2
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
y = 3x - 2 là nghiệm của phương trình:
x2 = 3x - 2
⇔ x2 - 3x + 2 = 0
Vì: a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0 nên x1 = 1; x2 = 2
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P): y = x2 với đường thẳng (d): y = 3x + 2
là :1; 2

Ví dụ 2:
Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 - 4x + 3 với
(d): y = - 2x+ 6
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x 2 - 4x + 3 với đường
thẳng (d): y = - 2x+ 6 là nghiệm của phương trình:
x2 - 4x + 3 = - 2x+ 6
⇔ x2 - 2x - 3 = 0
Vì: a - b + c = 1 - (-2) + (-3) = 0 nên x1 = -1; x2 = 3
Vậy hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x 2 - 4x + 3 với đường thẳng (d):
y = - 2x + 6 là: -1; 3
3.2.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:
Mặc dù đây là dạng toán áp dụng công thức đơn giản nhưng trong quá
trình làm bài tập tôi nhận thấy các em vẫn mắc phải sai lầm như sau:

5


Học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm hoành độ giao điểm x tuy
nhiên gặp những bài khi x không là số nguyên thì tìm hoành độ bằng đồ thị sẽ
gặp khó khăn khi tìm chính xác giá trị của x.
Lưu ý: GV cần khắc sâu để học sinh tránh gặp sai lầm khi giải toán
3.2.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Dạng toán này chỉ việc áp dụng công thức là giải được nên dạng này học
sinh không gặp khó khăn khi giải. Do đó dạng này dùng cho mọi học sinh,
nhưng chủ yếu là củng cố kiến thức cho đối tượng học sinh trung bình, yếu.
3.2.5. Bài tập tương tự dạng này:
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đường thẳng (d) có
phương trình:(P): y=x2 ; (d): y =2(a-1)x+5-2a ; (a là tham số)
1. Với a = 2 tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P).

2. Chứng minh rằng với mọi a đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P) là x1, x2. Tìm a để
x12+x22 = 6.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng
(d ) : y = − x + 2 .
a) Hãy vẽ ( P) và (d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy .
b) Tìm hoành độ giao điểm của ( P) và (d ) .
c) Viết phương trình đường thẳng (d1 ) : y = ax + b . Biết rằng (d1 ) song song
với (d ) và cắt ( P) tại điểm A có hoành độ là 2 .
3.3. Dạng 2:Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng.
3.3.1.Phương pháp giải
Toạ độ giao điểm vừa phải thuộc (d), vừa phải thuộc (P) nên ta tìm hoành độ
giao điểm bằng phương trình hoành độ (1), sau đó thay hoành độ vào một trong
hai phương trình (d) hoặc (P) để tìm các tung độ giao điểm. Từ đó tìm toạ độ
giao điểm.
3.3.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d1):
y = 4x + 3 và (d2): y = 10x + 25
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d1):
y = 4x + 3 là nghiệm của phương trình:
-x2 = 4x +3 ⇔ x2 + 4x + 3 = 0
Vì: a - b + c = 1 - 4 +3 = 0 nên x1 = -1; x2 = -3
Từ đây ta có tung độ tương ứng là:
y1 = -x2 = -(-1)2 = -1
y2 = -x2 = -(-3)2 = -9
Vậy tọa độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng
(d1): y = 4x + 3 là: (-1; -1) và (-3; -9)

6


Tương tự ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x 2 với đường
thẳng (d2): y = 10x + 25 là nghiệm của phương trình:
-x2 = 10x +25
⇔ x2 + 10x + 25 = 0
Ta có ∆’ = 52- 25 = 0
⇒ x1 = x2 = -5
Từ đây ta có tung độ tương ứng là:
y1= y2 = -x2 = -(-5)2 = -25
Vậy tọa độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d2):
y = 10x + 25 là: (-5; -25)
Ví dụ 2:
Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x 2 + 3x - 2 với đường thẳng
(d): y = - 2x + 4
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x 2 + 3x - 2 với đường
thẳng (d): y = - 2x + 4 là nghiệm của phương trình:
x2 + 3x - 2 = - 2x + 4
⇔ x2 + 5 x - 6 = 0
Vì: a + b + c = 1 + 5 - 6 = 0 nên x1 = 1; x2 = - 6
Từ đây ta có tung độ tương ứng là:
y1= - 2 x1 + 4= - 2.1 + 4 = 2
y2= - 2 x2 + 4= - 2.(- 6 ) + 4 = 16
Vậy tọa độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 + 3x -2 với đường thẳng
(d): y = - 2x + 4 là: (1; 2 ) và (- 6 ; 16)
3.3.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:
Gặp dạng toán này học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ
độ giao điểm (x; y), tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì

tìm toạ độ bằng đồ thị sẽ khó tìm chính xác giá trị của x; y. Hơn nữa các em vẽ
đồ thị lại thiếu độ chính xác, thiếu thẩm mỹ.
3.3.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Giáo viên (GV) hướng dẫn học sinh (HS) giải như các ví dụ trên. Đối với
dạng toán này, nếu là đề thi vào THPT thì phương trình hoành độ giao điểm
thường là những phương trình bậc 2 có thể nhẩm được nghiệm. Giáo viên khắc
sâu kỹ năng giải phương trình bậc 2 cho HS.
3.3.5. Bài tập tương tự dạng này:
Bài 1:(Thi vào THPT-TPHCM 2013-2014)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x 2 và đường thẳng (D): y = − x + 2 trên
cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ơ câu trên bằng phép tính
Bài 2:(Thi vào THPT-Hải Phòng 2013-2014)
. Cho đường thẳng (d): y = 4 x −3 và parabol (P): y = x 2 . Tìm tọa độ các giao
điểm của (d) và (P) bằng phép toán.
Bài 3:(Thi vào THPT-Long An 2014-2015)

7


Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol ( P) : y = x 2 và đường thẳng
(d ) : y = − x + 2 .
a) Hãy vẽ ( P) và (d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy .
b) Tìm tọa độ giao điểm của ( P) và (d ) .
c) Viết phương trình đường thẳng (d1 ) : y = ax + b . Biết rằng (d1 ) song song
với (d ) và cắt ( P) tại điểm A có hoành độ là 2 .
Bài 4. :(Thi vào THPT- Khánh Hòa 2015-2016)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = - x2
1) Vẽ parabol (P).
2) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của đường thẳng (d): y = -x – 2 và

(P). Tìm toạ điểm M trên (P) sao cho tam giác MAB cân tại M.
3.4. Dạng 3:Chứng minh về vị trí tương đối giữa Parabol và đường thẳng.
3.4.1.Phương pháp giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng
y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:
ax2 = bx + c
⇔ ax2 - bx – c = 0 (1)
- Parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung ⇔ phương trình
(1) vô nghiệm ( giải ∆’<0 hoặc ∆ <0 )
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có một điểm chung (tiếp xúc) ⇔ phương
trình (1) có nghiệm kép và hoành độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của
phương trình ( giải ∆’=0 hoặc ∆ = 0 )
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng hai điểm chung (cắt nhau) ⇔
phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ( giải ∆’>0 hoặc ∆ >0 )
3.4.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Chứng tỏ Parabol (P): y = - 4x2 luôn tiếp xúc với đường thẳng (d):
y = 4m x + m2 khi m thay đổi.
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = - 4x2 với đường thẳng (d):
y = 4m x + m2 là nghiệm của phương trình:
- 4x2 = 4m x + m2
⇔ 4x2 + 4m x +m2= 0
Vì có ∆’=(2m)2 - 4m2 = 0 với mọi m, nên phương trình có nghiệm kép.
Do đó Parabol (P): y = - 4x 2 luôn tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 4m x + m 2
khi m thay đổi.
Ví dụ 2:
Chứng tỏ Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = (m+1)x - m luôn có
điểm chung khi m thay đổi.

8


Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
y = (m+1)x - m là nghiệm của phương trình:
x2 = (m+1)x - m
⇔ x2 - (m+1)x + m = 0
Vì có ∆= [ − (m + 1)] 2 - 4m = (m - 1)2 ≥ 0 với mọi m, nên phương trình luôn có
nghiệm với mọi m.
Do đó Parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = (m+1)x - m luôn có điểm
chung khi m thay đổi.
Ví dụ 3:
Cho Parabol (P): y = x2 - 6x + 5 và đường thẳng (d): y = mx +1- 2m.
Chứmg minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định I và cắt (P) tại hai điểm M
và N
Lời giải:
Phương trình đường thẳng (d) có thể viết như sau:
y= (x - 2)m + 1
⇔ y - 1 = (x - 2)m (2)
Để (d) luôn đi qua I(x;y) cố định, nghĩa là (d) qua I với mọi giá trị của m thì ta
phải có: (2) thoả mãn ∀ m ∈ R
x − 2 = 0
x = 2
⇔
⇔
y −1 = 0
y = 1

Vậy (d) luôn đi qua I(2;1)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
x2 - 6x + 5 = mx +1- 2 m
⇔ x2 - (m+6)x + 2 m +4= 0 (3)
Ta có: ∆ = (m + 6)2 - 4(2m + 4)
= m2 + 4m + 20
= (m + 2 )2 + 16 > 0 với ∀ m ∈ R
Do đó phương trình (3) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2
Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm M và N có hoành độ x1 và x2
3.4.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:
Học sinh không đưa phương trình hoành độ giao điểm về phương trình
tổng quát rồi mới tính ∆ hoặc ∆’. Học sinh nhầm lẫn về phương trình bậc nhất
trong trường hợp có nghiệm duy nhất và vô số nghiệm.
3.4.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Giáo viên cần củng cố cho học sinh về kỹ năng lập phương trình hoành độ
giao điểm, biến đổi đưa về phương trình bậc hai dạng tổng quát, Khi đó xác định
vị trí tương đối giữa Parabol và đường thẳng trơ thành bài toán biện luận số
nghiệm của phương trình bậc 2, về tính chất nghiệm của phương trình bậc 2, kết
hợp với tư duy của hình học để có lời giải cho bài toán phù hợp.
3.4.5. Bài tập tương tự dạng này:
Bài 1:(Thi vào THPT-Đà Nẵng 2015-2016) Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P)

9


1) Vẽ đồ thị (P)
2) Cho các hàm số y = x + 2 và y = - x + m ( với m là tham số) lần lượt có đồ thị
là (d) và (dm). Tìm tất cả các giá trị của m để trên một mặt phẳng tọa độ các đồ
thị của (P) , (d) và (dm) cùng đi qua một điểm
Bài 2:(Thi vào THPT-Thái Bình 2013-2014)
x2

Cho Parabol (P): y = và đường thẳng (d): y = mx + m + 5 (m là tham số)
2

1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì:
a. Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó.
b. Đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
2) Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M(1; 5)
Bài 3:(Thi vào THPT-BìnhThuận 2015-2016)
Vẽ đồ thị ( P) của hàm số y = x2
Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y = kx + 1 luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm
phân biệt với mọi k .
3.5. Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt toạ độ
giữa Parabol và đường thẳng.
3.5.1.Phương pháp giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng
y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:
ax2 = bx + c
⇔ ax2 - bx – c = 0 (1). Tính chất, vị trí của (d) và (P) phụ thuộc vào tính chất
nghiệm của (1).
3.5.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Chứng tỏ Parabol (P): y = x2 cắt đường thẳng (d): y = - 5 x - 6 tại hai
điểm nằm cùng phía với trục tung
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
y = - 5 x - 6 là nghiệm của phương trình:
x2 = - 5 x - 6
⇔ x2 + 5 x + 6 = 0
Vì có ∆= 1 nên phương trình có hai nghiệm là:
x1= -2; x2= - 3

Ta thấy hai nghiệm này cùng âm, suy ra hoành độ giao điểm đều âm. Do đó
giao điểm của chúng nằm ơ cùng phía đối với bên trái của trục tung
Ví dụ 2:
Chứng tỏ Parabol (P): y = - x2 cắt đường thẳng (d): y = 2 x - 2008 tại hai
điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = - x2 với đường thẳng (d):

10


y =2 x - 2008 là nghiệm của phương trình:
- x2 = 2 x - 2008
⇔ x2 + 2 x – 2008 = 0
Vì có a.c = 1.(- 2008) < 0 nên phương trình trên có hai nghiệm trái dấu
Do đó giao điểm của chúng nằm ơ hai phía đối với trục tung.
3.5.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:
Ở dạng toán này học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm tọa độ
giao điểm (x; y) tuy nhiên gặp những bài khi x, y không là số nguyên hoặc quá
xa gốc tọa độ thì tìm hoành độ, tung độ bằng đồ thị sẽ gặp khó khăn khi tìm
chính xác giá trị của (x; y).
3.5.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Giáo viên cần củng cố cho học sinh về kỹ năng tìm hoành độ giao điểm,
tọa độ giao điểm, kỹ năng về giải phương trình bậc 2, về tính chất nghiệm của
phương trình bậc 2, kết hợp với tư duy của hình học để có lời giải cho bài toán
phù hợp.
3.5.5. Bài tập tương tự dạng này:
Bài 1:(Thi vào THPT-Bến Tre 2013-2014)
Cho các hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và y = 2x + 3 có đồ thị là (d).
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc (đơn vị trên

các trục bằng nhau).
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
c) Tìm các điểm I thuộc (P) và I cách đều các trục tọa độ Ox, Oy (I khác gốc
tọa độ O)
Bài 2:(Thi vào THPT chuyên Lê Hồng Phong -Nam Định 2013-2014)
Trong mặt phẳng Oxy cho đồ thị (P) của hàm số y= -x 2 và đường thẳng (d) đi
qua điểm A(-1; -2) có hệ số góc k.
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của k đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại
2 điểm A, B. Tìm k cho A, B nằm về hai phía của trục tung.
2. Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ của các điểm A, B nói trên tìm k cho tổng
S = x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn nhất.
3.6. Dạng 5: Biện luận số giao điểm của đường thẳng và Parabol.
3.6.1. Phương pháp giải
Tương tự như ơ dạng 3.
3.6.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2m x +m - 6 tìm m để:
a). (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b). (d) tiếp xúc với (P)
c). (d) không cắt (P)
Lời giải:

11


Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
y =2m x +m - 6 là nghiệm của phương trình:
x2 =2m x +m - 6
⇔ x2 - 2m x -m + 6 = 0 (4)
Ta có ∆’ = m2 + m - 6 = (m - 2) (m + 3)

a). (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
⇔ phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ > 0 ⇔ m< - 3 hoặc m > 2
b) (d) tiếp xúc với (P)
⇔ phương trình (4) có hai nghiệm kép
⇔ ∆’ = 0 ⇔ m= - 3 hoặc m = 2
c) (d) không cắt (P)
⇔ phương trình (4) vô nghiệm
⇔ ∆’ < 0 ⇔ - 3 < m < 2
Ví dụ 2:
Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 4 x + 2m tìm m để:
a). (d) tiếp xúc với (P)
b). (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm toạ độ giao điểm khi m =

3
2

Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
y = 4 x + 2m là nghiệm của phương trình:
x2 = 4 x + 2m
⇔ x2 - 4 x -2m = 0 (5)
Ta có ∆’ = 4 + 2m
a). (d) tiếp xúc với (P)
⇔ phương trình (5) có nghiệm kép
⇔ ∆’ = 0 ⇔ 4 + 2m = 0 ⇔ m = - 2
b). Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
⇔ phương trình (5) có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ > 0 ⇔ 4 + 2m > 0 ⇔ m > - 2
khi m =

3
thì hoành độ giao điểm A, B là nghiệm của phương trình :
2

x2 - 4 x - 3 = 0
Ta có ∆’ = 4 + 3 = 7
Do đó x1=2 + 7 ; x2=2 - 7
Thay x1, x2 vào y = x2 ta được tung độ tương ứng là:
y1= x21 =(2 + 7 )2 =11 + 4 7
y2= x22 =(2 - 7 )2 =11 - 4 7
Vậy tọa độ giao điểm A, B giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
y = 4x + 3 là: A(2 + 7 ;11 + 4 7 ) và B(2 - 7 ;11 - 4 7 ).
3.6.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:

12


Học sinh không đưa phương trình hoành độ giao điểm về phương trình
bậc hai tổng quát rồi mới tính ∆ hoặc ∆’.
3.6.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Giáo viên cần củng cố cho học sinh về kỹ năng lập phương trình hoành độ
giao điểm, biến đổi đưa về phương trình bậc hai dạng tổng quát. Khi đó xác định
vị trí tương đối giữa Parabol và đường thẳng trơ thành bài toán biện luận số
nghiệm của phương trình bậc 2, về tính chất nghiệm của phương trình bậc 2, kết
hợp với tư duy của hình học để có lời giải cho bài toán phù hợp.
3.6.5. Bài tập tương tự dạng này:
3
4

Bài 1: (Thi vào THPT- Bà Rịa Vũng Tàu 2013-2014) Cho parabol (P): y= x2 và
đường thẳng (d): y= x + m (với m là tham số)
1.Vẽ parabol (P)
2. Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Bài 2:(Thi vào THPT- Đà Nẵng 2014-2015)
Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và hàm số y = 4x + m có đồ thị (dm)
1)Vẽ đồ thị (P)
2)Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (dm) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt,
trong đó tung độ của một trong hai giao điểm đó bằng 1.
3.7. Dạng 6: Lập phương trình tiếp tuyến
3.7.1.Phương pháp giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng
y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:
ax2 = bx + c
⇔ ax2 - bx – c = 0 (1). (d) là tiếp tuyến của (P) khi (1) có nghiệm kép ( giải
∆’=0 hoặc ∆ = 0 )
3.7.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Cho đường thẳng (d): y = a x + b .Tìm a, b biết:
a) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng 2y + x = - 4 và tiếp xúc Parabol
(P): y = -

1 2
x
4

b) Đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng x - 2y + 1= 0 và tiếp xúc
Parabol (P): y = - x2
c) Đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P): y = x2 tại điểm A(- 1; 1)
Lời giải:

1
2

a) Ta có 2y + x = - 4 ⇔ y = - x -2
1
2

1
2

(d) song song với đường thẳng y = - x -2 nên (d) có dạng y = - x + b
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :
x2 - 2x + 4b = 0 (6)

13


Đường thẳng (d) tiếp xúc Parabol (P): y = ⇔ phương trình (6) có nghiệm kép
1
⇔ ∆’ = 0 ⇔ 1- 4b = 0 ⇔ b =
4

1 2
x
4

1
2

Vậy đường thẳng (d) có phương trình là: y = - x +

b) Ta có x - 2y + 1= 0 ⇔ y =

1
1
x+
2
2

(d) vuông với đường thẳng có phương trình y =
⇔ a.

1
4

1
1
x+
2
2

1
= - 1 ⇔ a= - 2 nên phương trình đường thẳng (d) có dạng
2

y=-2x+b
Tương tự như phần a ta tìm được b = 1
Vậy đường thẳng (d) có phương trình là: y = - 2 x + 1
c) Ta có A( -1; 1 ) ∈ (d) ⇔ 1= - a + b ⇔ b = a + 1
Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = a x + a + 1
Tương tự như phần a ta tìm được a = - 2

Với a = - 2 ⇒ b = - 1
Vậy đường thẳng (d) có phương trình là: y = - 2 x -1
Ví dụ 2: Cho Parabol (P): y = x2 - 4x + 3
a) Xác định phương trình tiếp tuyến (d) của (P) song song với đường thẳng
(l): y = - 2 x -1
b)Xác định các tiếp tuyến của (P) xuất phát từ gốc O
Lời giải:
a) Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = a x + b và (d) song song với (l)
nên (d) và (l) có hệ số góc bằng nhau
⇒ a = - 2 .Do đó (d) có dạng y = - 2 x + b
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x 2 - 4x + 3 với đường thẳng (d):
y = -2 x + b là nghiệm của phương trình:
x2 - 4x + 3 = - 2 x + b
⇔ x2 - 2 x + 3 - b = 0 (7)
Vì đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P) ⇔ (7) có nghiệm kép
⇔ ∆’ = 1 - (3 - b ) = 0 ⇔ b = 2
Vậy phương trình tiếp tuyến (d) của (P) song song với (l) là: y = -2 x + 2
b) Phương trình đường thẳng qua O có dạng y = a x (d)
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x 2 - 4x + 3 với đường thẳng
(d):y = a x là:
x2 - 4x + 3 = a x
⇔ x2 - (a+4) x + 3 = 0 (8)
Vì đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P) ⇔ (8) có nghiệm kép
⇔ ∆ = (a + 4 )2 - 12 = 0 (9)

14


Phương trình (9) có nghiệm là a1= - 4 + 2 3 , a2= - 4 - 2 3
Vậy qua O có hai tiếp tuyến với (P) :(d1): y = - 2(2 - 3 )x

(d2): y = - 2(2 + 3 )x
3.7.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:
Đối với dạng toán này học sinh hay bị nhầm lẫn về vị trí tương đối giữa
đường thẳng với đường thẳng, đường thẳng với parabol...
3.7.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Gặp dạng toán này GV phải làm cho HS hiểu được rằng đường thẳng
(d) tiếp xúc với parabol (P) tại một điểm thì điểm đó phải là nghiệm của hai
phương trình, vậy để chứng minh được bài toán này thì phương trình hoành độ
giao điểm bắt buộc phải có nghiệm kép. Hơn nữa giáo viên phải củng cố thêm
kiến thức về vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng, đặc biệt là 2 đường thẳng
vuông góc “có tích hệ số góc bằng -1”.
3.7.5. Bài tập tương tự dạng này:
Bài 1:(Thi vào THPT- Vĩnh Long 2014-2015) Cho parabol (P) : y = x2
a). Vẽ đồ thị (P)
b). Xác định m để đường thẳng ( d) : y = mx – 4 tiếp xúc với (P)
1
4

Bài 2. Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol (P): y = x 2 và đường thẳng (d):
1
y = − x+ 2.
2

1. Vẽ (P) và (d).
2. Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
3. Tìm tọa độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P)
song song với (d).
3.8. Dạng 7: Tìm giá trị tham số để vị trí tương giao giữa đường thẳng và
Parabol thỏa mãn điều kiện cho trước
3.8.1. Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) với đường thẳng
(d) (giải ∆’ hoặc ∆ ) để tìm điều kiện của tham số.
- Vận dụng định lí Vi ét và tính chất nghiệm của phương trình bậc hai để
giải.
3.8.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = - x2 và đường thẳng
(d): y= mx - 1
a) Chứng minh rằng với mọi m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b) Gọi hoành độ của A, B là x1, x2 . Chứng minh rằng x1 − x2 ≥ 2
c) Chứng minh rằng ∆OAB vuông
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = - x2 với đường thẳng (d):
y = mx - 1 là nghiệm của phương trình:

15


- x2 = mx - 1
⇔ x2 + m x - 1 = 0 (10)
a) Phương trình (10) có ∆ = m2 + 4 > 0 nên có hai nghiệm phân biệt
⇒ đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b) Ta có x1, x2 nghiệm của phương trình (10) nên theo định lí Vi ét ta có :
x1. x2 = - 1
⇒ x1 − x 2 = x1 +
x1 +

1
x1

1

1
≥2
= x1 +
x1
x1

1

Vì x1 và x cùng dấu nên
1
x1 .

1
=2
x1

Vậy x1 − x2 ≥ 2
c) Ta có phương trình đường thẳng OA là y = - x1.x, phương trình đường thẳng
OB là y = - x2.x Vì - x 1.( - x 2) = x1. x2 = - 1
⇒ đường thẳng OA và OB vuông góc với nhau nên ∆OAB vuông.
Ví dụ 2: Cho Parabol (P): y =

x2
2

và đường thẳng (d): y = m x - m + 2 ( m là

tham số)
a) Tìm m để (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân

biệt
c) Giả sử (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ giao điểm của (P) và (d). Chứng minh rằng
y1+ y2 ≥ ( 2 2 - 1)(x1+ x2)
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P) với đường thẳng (d) là nghiệm
của phương trình:
x2
=mx-m+2
2
⇔ x2 - 2m x + 2m - 4 = 0 (11)

a) Để (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4 thì x = 4 phải là nghiệm của
phương trình (11). Từ đó ta có m = 2
Vậy m = 2 thì (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4
b) Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
⇔ phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt
⇔ ∆’ = m2 - 2m + 4 = (m - 1 )2 + 3 > 0 với ∀ m
Vậy (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt .
c) Ta có (x1; y1) và (x2; y2) là toạ độ giao điểm của (P) và (d) nên x1, x2 là nghiệm
của phương trình (11)
⇒ x1+ x2 = 2m
y1+ y2 = mx1 - m + 2 + mx2 - m + 2
= m(x1+ x2) - 2m + 4
= 2m2 - 2m + 4

16


= ( 2m - 2)2 + (2 2 - 1). 2m ≥ ( 2 2 - 1)(x1+ x2) .
Ví dụ 3: Cho Parabol (P): y =

x2
2

và đường thẳng (d): y = 2 x - m + 1 ( m là

tham số). Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và
(x2; y2) sao cho x1 x2(y1+ y2) = -48
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của Parabol (P) với đường thẳng (d) là:
x2
= 2 x - m + 1 ⇔ x2 - 4x + 2m - 2 = 0 (12)
2

∆’ = 6- 2m
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔ ∆’> 0 ⇔ 6- 2m >0 ⇔ m< 3
Khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình (12), ta có:
 x1 + x2 = 4
 y1 = 2 x1 − m + 1

và 
 x1 x2 = 2(m − 1)
 y2 = 2 x2 − m + 1
Ta có: x1 x2(y1+ y2) = -48 ⇔ x1 x2(2x1 - m+1+ 2x2 - m +1) = -48
⇔ x1 x2 [ 2(x1 + x2 ) -2m + 2

] = -48

⇔ 2(m-1) [ 8-2m +2 ] = - 48 ⇔ m2 - 6m -7 = 0
⇔ m = -1(chọn) hoặc m = 7 (loại)

Vậy m = -1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) và
(x2; y2) thỏa mãn x1 x2(y1+ y2) = - 48
3.8.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:
Học sinh không đưa phương trình hoành độ giao điểm về phương trình
tổng quát rồi mới tính ∆ hoặc ∆’. Học sinh hay quên không giải điều kiện của
∆>0 hoặc ∆’>0 để tìm điều kiện của tham số, không biết vận dụng hệ thức Vi ét
để giải toán…
3.8.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Giáo viên hướng dẫn học sinh giải dạng toán này theo cấu trúc như các ví
dụ trên, Củng cố cho học sinh kỹ năng sử dụng hệ thức Vi ét. Giáo viên nhấn
mạnh cho học sinh biết rằng, đây là dạng toán trọng tâm trong kì thi vào THPT ơ
tỉnh Thanh Hóa, người ra đề rất quan tâm.
3.8.5. Bài tập tương tự dạng này:
Bài 1:(Thi vào THPT- Thanh Hóa 2013-2014) Cho đường thẳng d : y = 2bx + 1 và
2
parabol ( P ) : y = −2 x .
a) Tìm b để d đi qua B ( 1;5 ) .
b) Tìm b để đường thẳng d cắt parabol ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành
2
2
độ lần lượt là x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 + 4 ( x1 + x2 ) + 4 = 0 .
Bài 2:(Thi vào THPT- Thanh Hóa 2014-2015) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
đường thẳng (d): y = mx - 3 tham số m và Parabol (P): y = x 2 .
1. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0).

17


2.

Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có
hoàng độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn x1 - x 2 = 2
Bài 3:(Thi vào THPT- Thanh Hóa 2015-2016) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
đường thẳng (d) : y = x + n – 1 và parabol (P) : y = x2
1. Tìm n để (d) đi qua điểm B(0;2)
2. Tìm n để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành
1

1

độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn: 4  + ÷− x1 x2 + 3 = 0
 x1 x2 
Bài 4:(Thi vào THPT- Thanh Hóa 2005-2006) Cho parabol (P) và đường thẳng
(d) có phương trình:(P): y=

x2
; (d): y = mx- m+2 (m là tham số).
2

1. Tìm m để đường thẳng (d) và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ bằng x= 4.
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2
điểm phân biệt.
3. Giả sử (x1;y1) và (x2;y2) là toạ độ các giao điểm của đường thẳng (d) và (P).
Chứng minh rằng y1 + y 2 ≥ ( 2 2 − 1)( x1 + x 2 ) .
Bài 5:(Thi vào THPT- Cần Thơ 2015-2016) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,
cho (P): y =

−1 2
x
2

a) Vẽ đồ thị của (P).
b) Gọi A(x1, y1) và B(x2;y2) là tọa độ giao điểm của (P) và (d): y = x – 4.
Chứng minh: y1 + y2 − 5( x1 + x2 ) = 0
3.9.Dạng 8: Xác định parabol.
3.9.1.phương pháp giải
Vận dụng các tính chất về phương trình đường thẳng, và các dạng toán
trên để giải.
3.9.2.Các ví dụ:
Ví dụ: Xác định Parabol (P):y = ax2+bx+c thoả mãn:
a) (P) tiếp xúc với đường thẳng (d) :y= -5x+15 và đi qua hai điểm (0 ; -1) và
(4 ; -5).
b) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và cắt đường thẳng (d) :
y = x - 1 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3.
Lời giải:
a) (P) đi qua hai điểm (0 ; -1) và (4 ; -5)
− 1 = c

− 5 = 16a + 4b + c

c = −1
⇔
b = −1 − 4a

Do đó Parabol (P) là đồ thị của hàm số y = ax2 - (1 + 4a)x - 1.
Hoành độ điểm chung của (d) và (P) là nghiệm phương trình :
ax2 - (1 + 4a)x - 1 = -5x + 15 ⇔ ax2 - 4(a - 1)x - 16 = 0 (15)

18

Đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) ⇔ Phương trình (15) có nghiệm kép
⇔ ∆’ = 0 ⇔ 4(a - 1)2 - 16a = 0 ⇔ (a + 1)2 = 0 ⇔ a = -1.
Do đó : a = -1 ; b = 3 và c = -1.
Vậy (P) là đồ thị hàm số y = - x2 + 3x - 1.
b) Parabol (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và (P) đi qua điểm
(0 ; 2). (P) cắt đường thẳng (d) : y = x - 1 tại hai điểm có hoành độ là 1 và 3 ⇔
Giao điểm của (P) với đường thẳng (d) là :(1 ; 0) và (3; 2).
Vậy parabol (P) đi qua ba điểm (0 ; 2) ; (1 ; 0) và (3 ; 2) khi và chỉ khi
2 = c
c = 2
c = 2



0 = a + b + c ⇔ a + b = −2 ⇔ a = 1
2 = 9a + 3b + c
3a + b = 0
b = −3




Do đó a = 1 ; b = -3 và c = 2.
3.9.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:
Học sinh không biết cách lập ra hệ phương trình, cách giải phương trình
để tìm ra hệ số.
3.9.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Hướng dẫn cho học sinh biết vận dụng các dạng trên một cách linh hoạt,
để giải dạng toán này.

3.9.5. Bài tập tương tự dạng này:
Trong cùng hệ trục tọa độ, cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) và đường thẳng
(d): y = kx + b.
1. Tìm k và b cho biết (d) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; -1).
2. Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (d) vừa tìm được ơ câu 1).
3. Vẽ (d) và (P) vừa tìm được ơ câu 1) và 2).


4. Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm C  ; −1÷ và có hệ số góc m.
2

a. Viết phương trình đường thẳng của (d).
b. Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc với (P)
(ơ câu 2) và vuông góc với nhau.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường
3

+Thống kê kết quả học lực của học sinh ngày 10 tháng 4 năm 2015
Có đường lối
Không
Lớp
Phương pháp
Giải được
giải
giải được
9A Khi đã áp dụng
85%
13%
2%

9B Khi đã áp dụng
80%
17%
3%
+ Kết quả thi vào THPT theo Phòng GD Nga Sơn công bố:
Năm học
Phương pháp
Xếp hạng toàn huyện của trường
THCS Nga An
2013-2014
Khi chưa áp dụng SKKN
22
2014-2015
Khi áp dụng SKKN
14

19


Như vậy thông qua bảng thống kê chúng ta thấy được tính ưu việt của
việc sử dụng phân loại toán về: Sự tương giao giữa Parabol và đường thẳng.
Tính ưu việt đó thể hiện ơ những vấn đề sau:
- Học sinh nắm vững kỹ năng hiểu, nhớ và vận dụng kiến thức trong làm toán.
- Thuận lợi cho việc nắm kiến thức cơ bản của một loại toán.
- Biện pháp khắc phục học sinh yếu kém.
- Số học sinh khá, giỏi ngày càng tăng và số học sinh yếu kém ngày càng giảm.
- Kết quả thi vào THPT của trường THCS Nga An tăng lên rõ rệt.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Trên đây tôi đã giới thiệu cùng các đồng nghiệp về tám dạng toán về sự

tương giao giữa Parabol và đường thẳng trong chương trình Đại số 9 mà tôi đã
nghiệm được trong quá trình giảng dạy. Các bài toán về dạng này rất phong phú
và đa dạng. Song do thời gian nghiên cứu chưa nhiều, bài viết có thể còn thiếu
sót, tôi rất mong được sự trao đổi, góp ý của các đồng nghiệp về vấn này để
việc dạy Toán nói chung và toán 9 nói riêng đạt được hiệu quả cao hơn, góp
phần giúp các em học sinh có thêm kiến thức, kĩ năng, hứng thú… trong giải
toán để chuẩn bị hành trang thật tốt cho kì thi tuyển sinh vào các trường THPT
đạt hiệu quả cao.
2. Kiến nghị
Trên đây là SKKN đổi mới phương pháp của tôi, rất mong được sự giúp
đỡ của ban giám hiệu nhà trường và các cấp quản lý giáo dục về tinh thần, cơ sơ
vật chất cũng như đóng góp của đồng nghiệp cho kế hoạch của tôi được đi vào
thực hiện. Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN
Nga Sơn, ngày 8 tháng 4 năm 2016
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Phùng Văn Đông

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa và sách bài tập Toán 9, tập 1 và tập 2 của NXBGD năm 2012
2. Tạp chí toán học và tuổi trẻ NXBGD: Đặc san số 12, bài viết của tác giả
Phùng Văn Đông

20

3.Tạp chí toán tuổi thơ 2 NXBGD: Số 134, bài viết của tác giả
Phùng Văn Đông
4. Tạp chí giáo dục
5. Tạp chí thế giới trong ta
6. Tạp chí dạy và học ngày nay.
7. Đề thi vào THPT của các tỉnh, thành phố

21