Rèn kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh lớp 8 trường THCS nga thắng

MỤC LỤC

1. Mở bài
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2. 1 .Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2.Thực trạng vấn đề
2.3. Các giải pháp để giải và tổ chức thực hiện
2.4. Kết quả
3. Kết luận và kiến nghị
3.1 Kết luận
3.2kiến nghị

Trang 1
Trang 1
Trang 1
Trang 2
Trang 2
Trang 14
Trang 15
Trang 15
Trang 15

1


1. MỞ ĐẦU
- Lý do chọn đề tài:
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học
hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,
… vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta
tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân

loại.
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng
thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy
và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học
tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả
năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện
và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực
tiễn.
Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân
tử là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú,
đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều
phân thức, giải phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất... Qua thực tế
giảng dạy cũng như qua việc theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh
lớp 8, việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều
học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phương
pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng
bài toán cụ thể.
- Mục đích nghiên cứu:
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo
gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng
cao chất lượng bộ môn nên Tôi đã chọn đề tài: “rèn luyện kĩ năng giải toán
phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh lớp 8 trường THCS Nga thắng”
- Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: Sách giáo khoa Toán 8, Sách giáo viên, Sách bài tập
toán tập 1, Sách tham khảo nâng cao…
Nhiệm vụ đề tài: “rèn luyện kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành
nhân tử của học sinh lớp 8 trường THCS Nga thắng”
- Phương pháp nghiên cứu:
+ Phương pháp điều tra.
+ Phương pháp thống kê.

+ Phương pháp quan sát.
+ Phương pháp thực hành.
+ Phương pháp thực nghiệm.
+ Phương pháp đàm thoại và nghiên cứu vấn đề.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

2


Trong hoạt động giáo dục hiện nay đòi hỏi học sinh cần phải tự học; tự
nghiên cứu rất cao.Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá
trình tự giáo dục. Như vậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo; tư
duy khoa học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội.
Một trong những phương pháp để học sinh đạt được điều đó đối với môn
toán (cụ thể là môn đại số lớp 8) đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một
lượng kiến thức các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan. Để làm
được như vậy thì giáo viên cần gợi sự say mê học tập; tự nghiên cứu, đào sâu
kiến thức của các em học sinh .
2.2.Thực trạng vấn đề:
*Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu
Tìm hiểu qua học sinh và đồng nghiệp, tôi pháp hiện một số nguyên nhân cơ bản
sau:
- Do học sinh chưa khai thác hết đề bài một cách triệt để,toàn diện.
- Chưa nắm được bản chất của một số bài toán cơ bản.
- Chưa chịu khó tìm tòi, sáng tạo khi làm bài.
- Đặc biệt các em chưa phát hiện ra cái mới qua những kiến thức đã biết vận
dụng đúng lúc đúng chỗ.
Từ những nguyên nhân trên, tôi thiết nghĩ:
Để phát huy khả năng tư duy của học sinh, người thầy phải giúp các em

nhìn nhận một số vấn đề dưới một góc độ khác nhau. Đặc biệt từ điều đúng đã
biết, bằng hình thức diễn tả khác nhau, rồi chọn hình thức phù hợp với trình độ
học sinh, yêu cầu học sinh giải bài tập đó hoặc từ khai thác tri thức đó tìm ra
tình huống áp dụng cụ thể bằng việc giải quyết các bài tập tương ứng, các nội
dung ấy lại chính từ sách giáo khoa,vì vậy tri thức ấy đã được khai thác sử dụng
hiệu quả nhất. Điều này được làm sáng tỏ qua một số khảo sát sau.
Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng toán trên, trước khi áp
dụng đề tài tôi đã ra một đề toán cho 23 em học sinh trong lớp 8A của trường
THCS Nga Thắng.
Với những bài tập tôi đưa ra, học sinh giải một cách độc lập và tự giác,
được thống kê theo bảng sau:
Số HS giải được theo các mức độ
Tổng
số HS
Loại yếu
Năm học
Loại giỏi
Loại khá
Loại TB
lớp
-kém
Chưa
8A
SL
% SL
%
SL
%
SL
%

áp
dụng
2016-2017
23
0
0
3 13,1 11 47,8 9 39,1
Qua việc kiểm tra đánh giá tôi thấy học sinh không có phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử đạt hiệu quả. Lời giải thường dài dòng, không chính
xác, đôi khi còn ngộ nhận.
2.3. Các giải pháp và tổ chức thực hiện:
2.3.1. Đề tài đưa ra các giải pháp như sau:

3


Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
* Củng cố kiến thức cơ bản cho học sinh yếu kém:
- Phương pháp Đặt nhân tử chung.
- Phương pháp Dùng hằng đẳng thức.
- Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử.
*Vận dụng và phát triển kỹ năng đối vơi học sinh đại trà:
- Phối hợp nhiều phương pháp.
- Rèn kĩ năng biến đổi cơ bản hoàn thiện cách tình bày lời giải.
- Giới thiệu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (nâng cao).
* Phát triển tư duy đối với học sinh giỏi: (Giới thiệu phương các pháp )
- Phương pháp tách môt hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
- Phương pháp đổi biến.

- Phương pháp dùng hệ số bất định.
2.3.2.Các phương pháp cơ bản:
a. Phương pháp đặt nhân tử chung
- Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng
tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
35a2b2 −21ab2 + 49a2b
Giải: 35a2b2 −21ab2 + 49a2b = 7ab(5ab − 3b + 7a)
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2x(y – z) + 3y(z –y )
Giải: 2x(y – z) + 3y(z –y ) = 2x(y −z) – 3y(y −z) = (y – z)(2x − 3y)
Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
xm + xm + 3
Giải: xm + xm + 3 = xm ( 1+x3 ) = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
Ví dụ 4. Chứng minh rằng 2018n+1 – 2018n chia hết cho 2017(với n là số tự
nhiên)
Giải: Ta có
2018n+1 – 2018n = 2018n (2018 – 1) = 2018n.2017 chia hết cho 2017.
Nên 2018n+1 – 2018n chia hết cho 2017(với n là số tự nhiên)
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a/15x2y – 25 xy2 + 40 x2y2 ; b/ 10x( x – y) – 8y( y – x).
c/ 9x( x – y) – 10( y – x)2 ; d/ 12x(x+y-z) – 42xy(x+y-z)
Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau:
a) x2 + xy + x
tại x = 77; y = 22
b) a (a – b) + b( b – a) tại a = 53 ; b =3
Bài 3: Tìm x biết:

a) x + 7x2 = 0 ; b) (x - 1) = ( x – 1)2

4


Bài 4: Chứng minh rằng:
a) 432 + 43.17 chia hết cho 60 ; b) 275 - 311 chia hết cho 80
b. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
−Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.
−Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức.
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
25x2 – 4
Giải: 25x2 – 4 = (5x)2 – 22 = ( 5x– 2)(5x + 2)
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
64 – 27a3b6
Giải: 64 – 27a3b6 = 43 – (3ab2)3 = (4 – 3ab2)( 16 + 12ab2 + 9a2b4)
Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
25x4 – 10x2y + y2
Giải: 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ta có
(4x + 3)2 - 25 chia hết cho 8.
Giải: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 ra thừa số
(4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + 3 + 5) (4x + 3 - 5)
= (4x + 8) (4x - 2) = 4 (x + 2) 2 (2x - 1) = 8 (x + 2) (2x - 1)
Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên
Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8. Ta suy ra ĐPCM.
*Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) (ab − 1)2 - (a + b)2 ;
b) x3 + 2x2 + 2x + 1;

c) x3 − 4x2 + 12x − 27 ;
d) (a + b)2 – (a – b)2
e) (a + b)3 – (a – b)3
Hướng câu d;e) Đặt (a + b)= x , (a – b) = y
f) a6 – b6
Hướng dẫn câu f )
a6 – b6 = ( a3 )2 – ( b3 )2
= ( a3 + b3 ) ( a3 - b3 )
= ( a + b )( a2 - ab + b2 )( a – b )( a2 + ab + b2 ).
Bài 2: Tính nhanh:
a) 352 - 252
;
b) 872 + 732 - 272 - 13
Bài 3: Tìm x biết:
a) x3 – 4x = 0
; b) x2 - 10x = -25
Bài 4: Chứng minh rằng:
a) 2110 – 1chia hết cho 200 ;
b) 3920 + 3913 chia hết cho 40
c) 260 + 530 chia hết cho 41 ;
d) 20052007 + 20072005 chia hết cho 2006
c. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
- Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng
thức.
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

5

2x3 – 3x2 + 2x – 3
Giải: 2x3 – 3x2 + 2x – 3 = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1)
= ( x2 + 1)( 2x – 3)
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x2 – 2xy + y2 – 16
Giải: x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 −42 = ( x – y – 4)( x –y + 4)
Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
x2 – 2x – 4y2 – 4y
Giải: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
Ví dụ 4. Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức:
x2 – 2xy– 4z2 + y2 tại x = 6 ; y =-4 ; z = 45
Giải: Ta có x2 – 2xy– 4z2 + y2 = (x2 – 2xy+ y2) – 4z2
= (x –y)2- (2z)2
=(x – y + 2z)(x – y – 2z)
Thay x = 6; y = -4; z = 45 vào biểu thức ta được giá trị cần tìm là – 8000.
*Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x2 – xy + x – y
; b) x2 – 2x + 1 – 4y2
c) x4 + x3+2x2 +x +1 ; d) x4 + 2x3+2x2 +2x +1
Bài 2: Tính nhanh giá trị mỗi đa thức sau:
a ) x2 – 2xy - 4z2 + y2 tại x =6 ; y= - 4 ; z = 45
b) 3( a – 3)( a + 7 ) + (a – 4)2 + 48 tại x = 0,5
Bài 3: Tìm x biết:
5x – 5x2 + 2x - 2x2 = 0
d. Phối hợp nhiều phương pháp
− Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên.
− Đặt nhân tử chung.

− Dùng hằng đẳng thức.
− Nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3xy2 – 12xy + 12x
Giải: 3xy2 – 12xy + 12x = 3x(y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Giải: 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
= 3xy(x2 – 2x – y2 – 2ay – a2 + 1)
= 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)]
= 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)]
= 3xy( x –1 – y – a)(x – 1 + y + a)
Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

6


x4 – 9x3 + x2 – 9x
Giải: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)]
= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x2 + 1)
Ví dụ 4. Cho a + b + c = 0 Chứng minh a3 + b3 + c3 =3abc
Giải : Thay a3 + b3 = (a+ b)3 - 3ab(a+ b) và a + b = - c, ta được
a3 + b3 + c3 = (a+ b)3 - 3ab(a+ b) + c3 = - c3 – 3ab.(-c) + c3 = 3abc
Vậy đẳng thức được chứng minh
*Bài tập áp dụng:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a ) a4 + 2a3 + a2

; b ) 5x2 - 10xy + 5y2 - 20z4
c ) 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 ; d)a2 - b2 - 2a + 2b
e ) ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3
Hướng dẫn giải câu e)
( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3
= [( x + y ) + z]3 – x3 – y3 – z3
= ( x + y )3 + z3 + 3z( x + y )( x + y + z ) – x3 – y3 – z3
= [( x + y )3 – x3 – y3 ] + 3z( x + y )( x + y + z )
= 3xy( x + y ) + 3( x + y)( xz + yz + z2 )
= 3( x + y )( xy + xz + yz + z2 )
= 3( x + y )( y + z )( x + z )
Bài 2: Tìm x biết:
a) 5x(x – 1) = x -1
; b) 2(x + 5) = x2 + 5x
Bài 3: Chứng minh biểu thức n3 (n2 - 7)2 – 36n luôn chia hết cho 7 với mọi
số nguyên n.
e. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
e.1)Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
*Cách 1 (tách hạng tử bậc nhất bx):
Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng
mọi cách.
a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = a i.ci
với b = ai + ci
Bước 3: Tách bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân
tích tiếp.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.
Hướng dẫn
- Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
- Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).

- Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Lời giải
3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2)
= (x + 2)(3x +2)

7


*Cách 2 (tách hạng tử bậc hai ax2)
- Làm xuất hiện hiệu hai bình phương :
f(x)= 3x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x + 4) – x2
= (2x + 2)2 – x2
= (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)
= (x + 2)(3x + 2)
- Tách thành 4 số hạng rồi nhóm :
f(x) =3x2 + 8x + 4 = 4x2 – x2 + 8x + 4
= (4x2 + 8x) – ( x2 – 4)
= 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(3x + 2)
2
Hoặc f(x) =3x + 8x + 4 =12x2 – 9x2 +8x + 4
= (12x2 + 8x) – (9x2 – 4)
= 4x(3x+2) – (3x-2)(3x+2)
=(3x+2)(4x-3x+2)
= (x + 2)(3x + 2)
*Cách 3 (tách hạng tử tự do c)
- Tách thành 4 số hạng rồi nhóm thành hai nhóm:
f(x)=3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 8x + 16 – 12
= (3x2 – 12) + (8x + 16)
= 3(x2- 4) + 8(x+2)

=3(x+2)(x-2) +8(x+2)
=(x+2)(3x-6+8)
= (x + 2)(3x + 2)
*Cách 4 (tách 2 số hạng, 3 số hạng)
f(x) =3x2 + 8x + 4
=3x2 + 12x – 4x +12 - 8
= (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8)
= 3(x + 2)2 – 4(x + 2)
= (x + 2)(3x – 2)
f(x) =3x2 + 8x + 4
= x2 + 2x2 + 4x + 4x +4
= (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x)
= (x+2)2 +2x (x +2)
= (x + 2)(3x + 2)
Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c thì ta tách như sau :
f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Ví dụ 2. Phân tích đa thức f(x) = 4x2 −4x − 3 thành nhân tử.
Hướng dẫn
Ta thấy 4x2 − 4x = (2x)2 − 2.2x. Từ đó ta cần thêm và bớt 12 = 1 để xuất hiện
hằng đẳng thức.
Lời giải
f(x) = 4x2 − 4x −3 = 4x2 −4x +1 − 4

8


= (4x2 – 4x + 1) – 4
= (2x – 1)2 – 22
= (2x – 3)(2x + 1)
Ví dụ 3. Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – 5 thành nhân tử.

Lời giải
Cách 1 : f(x) = 9x2 + 12x – 5 = 9x2 – 3x + 15x – 5
= (9x2 – 3x) + (15x – 5)
= 3x(3x –1) + 5(3x – 1)
= (3x – 1)(3x + 5)
Cách 2 : f(x) = 9x2 + 12x – 5
= (9x2 + 12x + 4) – 9
= (3x + 2)2 – 32
= (3x – 1)(3x + 5)
*Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x2- 6x + 8 ; b) 9x2+6x-8
c) x2 –x – 6 ; d) 4x2 – 4x - 3
e.2) Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên
Trước hết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau :
Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0. Khi đó, f(x) có một nhân tử là x –
a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)
Lúc đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân tử
là x – a. Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là một
ước của hệ số tự do.
Thật vậy, giả sử đa thức
anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ... + a1x + a0 ví i an, an−1,..., a1,a0 nguyên, có nghiệm
nguyên x = a. Thế thì:
anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ... + a1x + a0 = (x − a)(bn−1xn−1 + bn−2xn−2 + ... + b1x + b0 )
, trong đó bn−1, bn−2,..., b1, b0 là các số nguyên. Hạng tử bậc thấp nhất ở vế phải
là – ab0, hạng tử bậc thấp nhất ở vế trái là a 0. Do đó – ab0 = a0, suy ra a là ước
của a0.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhân tử.
Lời giải
Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, ± 4, ta thấy f(–2) = (–2) 3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa
thức f(x) có một nghiệm x = –2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2. Từ đó, ta

tách như sau
Cách 1 : f(x) = x3 + x2 + 4 = x3 + 2x2 – x2 + 4
= (x3 + 2x2) – (x2 – 4)
= x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 2 : f(x) = x3 + x2 + 4
= (x3 + 8) + (x2 – 4)
= (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).

9


Cách 3 : f(x) = x3 + x2 + 4
= x3 + 4x2 + 4x– 3x2 - 6x+ 2x + 4
= (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 4 : f(x) = x3 + x2 + 4 = x3 – x2 + 2x2+ 2x – 2x + 4
=(x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4)
= x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Từ định lí trên, ta có các hệ quả sau :
Hệ quả 1. Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1. Từ
đó f(x) có một nhân tử là x – 1.
Chẳng hạn, đa thức f(x) = x 3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1
là một nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x – 1. Ta phân tích như
sau :
f(x) = x3 – 5x2 + 8x – 4
= x3 – x2 – 4x2 + 8x – 4
= (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4)

= x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1)
= (x – 1)( x – 2)2
Hệ quả 2. Nếu f(x) có tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các
hệ số của các luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) có một nghiệm x = –1. Từ đó f(x) có một
nhân tử là x + 1.
Chẳng hạn, đa thức f(x) = x 3 – 5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 là một
nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x + 1. Ta phân tích như sau :
f(x) = x3 – 5x2 + 3x + 9
= x3 – 6x2 + x2 - 6x + 9x + 9
= (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9)
= x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1)
= (x + 1)( x – 3)2
f (1)
Hệ quả 3. Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì
và
a− 1
f (−1)
đều là số nguyên.
a+ 1
Chứng minh
Đa thức f(x) có nghiệm x = a nên f(x) có một nhân tử là x – a. Do đó f(x) có
dạng :
f(x) = (x – a).q(x)
(1)
Thay x = 1 vào (1), ta có : f(1) = (1 – a).q(1).
f (1)
Do f(1) ≠ 0 nên a ≠ 1, suy ra q(1) = −
. Vì các hệ số của f(x) nguyên nên
a− 1
f (1)

các hệ số của q(x) cũng nguyên. Do đó, q(1) là số nguyên. Vậy
là số
a− 1
nguyên.

10


f (−1)
là số nguyên.
a+ 1
Ví dụ 2. Phân tích đa thức f(x) = 4x3 −13x2 + 9x −18 thành nhân tử.
Hướng dẫn
Các ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18.
f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải là nghiệm của f(x).
−18
−18 −18
−18
Dễ thấy
,
,
,
không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ±
−3− 1 ±6 − 1 ±9 − 1 ±18− 1
18 không là nghiệm của f(x). Chỉ còn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của
f(x). Do đó, ta tách các hạng tử như sau :
f(x) = 4x3 −13x2 + 9x −18
f(x) = 4x3 − 12x2 − x2 + 3x + 6x − 18 = 4x2(x − 3) − x(x − 3) + 6(x − 3)
= (x – 3)(4x2 – x + 6)
Hệ quả 4. Nếu f(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + ... + a1x + a0

p
( ví i an, an−1,..., a1,a0 là các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = , trong đó p, q ∈
q
Z và (p , q)=1, thì p là ước a0, q là ước dương của an .
Chứng minh
p
Ta thấy f(x) có nghiệm x = nên nó có một nhân tử là (qx – p). Vì các hệ số
q
của f(x) đều nguyên nên f(x) có dạng:
f(x) = (qx – p) (bn−1xn−1 + bn−2xn−2 + ... + b1x + b0)
Đồng nhất hai vế ta được qb n–1 = an , –pb0 = ao. Từ đó suy ra p là ước của a 0,
còn q là ước dương của an (đpcm).
Ví dụ 3. Phân tích đa thức f(x) = 3x3 −7x2 + 17x −5 thành nhân tử.
Hướng dẫn
Các ước của –5 là ± 1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy các số này không là
1 5
nghiệm của f(x). Như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Xét các số ± , ± , ta
3 3
1
thấy là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân tử là 3x – 1. Ta phân
3
tích như sau :
f(x) = 3x3 −7x2 + 17x −5
= (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5)
= (3x – 1)(x2 – 2x + 5).
e.3)Đối với đa thức nhiều biến
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a)
2x2 − 5xy + 2y2 ;
b)

x2(y − z) + y2(z − x) + z2(x − y).
Hướng dẫn
a)Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c.
Thay x = –1 vào (1) và chứng minh tương tự ta có

11


Ta tách hạng tử thứ 2 :
2x2 − 5xy + 2y2 = (2x2 − 4xy) −(xy − 2y2) = 2x(x −2y) −y(x − 2y)
= (x −2y)(2x −y)
b)Nhận xét z −x = −(y −z) − (x −y). Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức:
x2(y − z) + y2(z − x) + z2(x − y) = x2(y − z) −y2(y −z) − y2(x − y) + z2(x − y)
= (y −z)(x2 − y2) −(x − y)(y2 −z2)
= (y −z)(x −y)(x + y) − (x −y)(y −z)(y + z)
= (x −y)(y −z)(x −z)
Chú ý :
1) Ở câu b) ta có thể tách y −z = − (x −y) − (z −x)
(hoặc z − x= − (y −z) − (x −y))
2) Đa thức ở câu b) là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt. Khi ta
thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0.
*Bài tập áp dụng:
Bài tập1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x3 −x2 – 4
; b) x3 − 5x2 + 8x– 4
c) 4x3 − 13x2 + 9x– 18 ; d) 3x3 −7x2 + 17x– 5
Bài tập2: Giải phương trình:
x3 − 4x2 - 9x + 36 =0
f. Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
f.1)Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương

Ví dụ 1. Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 2 : x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1)
= x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 3 : x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1)
= x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Ví dụ 2. Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 : x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2
= (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Cách 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)
Ví dụ 3. Phân tích đa thức x4 + 64 thành nhân tử
Lời giải
x4 + 64 =( x2)2 + 82 + 2.x2.8 – 16x2
= ( x2 + 8)2- (4x)2
=( x2 + 8+4x)( x2 + 8 - 4x)
= ( x2+4x +8)(x2 - 4x+8)

12


f.2)Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức x5 + x − 1 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1.
x5 + x −1 = x5 −x4 + x3 + x4 −x3 + x2 − x2 + x − 1

= x3(x2 −x + 1) −x2(x2 − x + 1) − (x2 − x + 1)
= (x2 − x + 1)(x3 −x2 −1).
Cách 2. Thêm và bớt x2 :
x5 + x −1 = x5 + x2 − x2 + x − 1 = x2(x3 + 1) − (x2 − x + 1)
= x2 (x + 1) (x2 − x + 1) - (x2 − x + 1)
= (x2 −x + 1)[x2(x + 1) −1] = (x2 − x + 1)(x3 −x2 −1).
Ví dụ 2. Phân tích đa thức x7 + x + 1 thành nhân tử
Lời giải
x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)
= x(x3 + 1)(x −1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x5 − x4 – x2 − x + 1)
Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đều chứa
nhân tử là x2 + x + 1.
Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x4 + x2 + 1 (Tách x2 thành 2x2 – x2
b) x5 + x4 + 1 (Thêm x3 và bớt x3)
c) x4 + 4 (thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 4x2 )
d) 64a2 + b4 (ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2)
g. Phương pháp đổi biến.
Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp
cơ bản.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Lời giải
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128= x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
= (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :
(y − 12)(y + 12) + 128 = y2 − 16 = (y + 4)(y −4)
= (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8)

= (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành đa
thức bậc 2 đối với y.
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = x4 + 6x3 + 7x2 − 6x + 1.
Lời giải
A = x4 + 6x3 + 7x2 − 6x + 1.
= x4 + 6x3 −2x2 + 9x2 − 6x + 1

13


= x4 + (6x3 −2x2) + (9x2 −6x + 1)
= x4 + 2x2(3x −1) + (3x −1)2
= (x2 + 3x − 1)2.
*Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) (x2 + 2x) (x2 + 2x + 4) + 3
b) (x2 + 4x + 8)2 +3x(x2 + 4x + 8)2 +2x2
c) (a + b + c )3- 4(a3 + b3+ c3 ) – 12abc (gợi ý đặt a + b = m ; a - b = m)
h). Phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
x4 − 6x3 + 12x2 −14x − 3
Lời giải
Thử với x= ± 1; ± 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm
nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy đa thức trên phân tích được
thành nhân tử thì phải có dạng:
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd
= x4 − 6x3 + 12x2 − 14x + 3.
Đồng nhất các hệ số ta được :

a + c = -6 và ac + b + d =12 và ad + bc = -14 và bd = 3
Xét bd= 3 với b, d ∈ Z, b ∈ {± 1, ± 3}. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trên
trở thành:
a + c = -6 và ac = 8 và a + 3c =-14
⇒ 2c = −14 −(−6) = −8. Do đó c = −4, a = −2.
Vậy x4 − 6x3 + 12x2 −14x + 3 = (x2 −2x + 3)(x2 − 4x + 1).
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
A = x4 −3x3 + 6x2 − 5x + 3
Lời giải
Dễ thấy sau khi phân tích thì A có dạng
(x2 + ax + 1)(x2 + bx + 3) hoặc (x2 + ax -1)(x2 + bx – 3).
Trường hợp hai hạng tử bậc hai của mỗi tam thức là - x 2 và x2 thì ta chỉ cần đổi
dấu cả hai tam thức.
Xét trường hợp A = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 3)
x4 − 3x3 + 6x2 −5x + 3 = x4 + (a+b)x3 + (ab +4)x2 + (3a + )x + 3
Hai đa thức trên đồng nhất với nhau nên ta có :
a + b=-3 (1) và ab + 4 = 6 (2) và 3a + b = -5 (3)
Từ đây suy ra a = -1; b = -2
Vậy A = (x2 - x + 1)(x2 - 2x + 3)
Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.(Dùng phương pháp hệ số
bất định):
a) A = 3x4 + 11x3 - 7x2 - 2x + 1 ;
b) b) B = x4 − 6x3 + 11x2 −6x + 1 ;
c) C = x4 – x3 +2x2 −11x -5 ;

14


2.4) Kết quả:
Sau khi triển khai đề tài trong quá trình bồi dưỡng học sinh lớp 8 của trường tôi

thấy so với trước khi triển khai đề tài học sinh có một số tiến bộ sau:
- Học sinh đã biết sử dụng phương pháp tìm phân tích đa thức thành nhân tử
(đặc biệt là các phương pháp cơ bản).Và cũng dần tiếp cận với các phương pháp
nâng cao mà tôi đã triển khai.
- Học sinh giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách nhanh
hơn, xác định ngay được hướng làm và lựa chọn cách trình bày đơn giản nhất.
Với những kinh nghiệm vừa trình bày ở trên, sau nhiều năm dạy toán 8, bản
thân tôi nhận thấy: Khi dạy học sinh làm bài tập phân tích đa thức thành nhân tử,
học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Học sinh
phân biệt và nhận dạng được các bài toán liên quan đến phân tích đa thức thành
nhân tử và từ đó có thể giải được hầu hết các bài tập phần này, xóa đi cảm giác
khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc tổng quát. Qua đó, rèn luyện cho
học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác và học sinh cũng
thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu. Điều đó giúp cho
học sinh hứng thú hơn khi học bộ môn toán.
* Kết quả cụ thể: Với những bài tập tôi đưa ra, học sinh giải một cách độc lập
và tự giác, được thống kê theo bảng sau:

Năm học

2016-2017

Tổng
số
HS
Đã
lớp
áp
dụng 8a
đề tài

23

Số HS giải được theo các mức độ
Loại yếu
Loại giỏi
Loại khá
Loại TB
-kém
SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

2

8,7

5

21,7

13

56,5

3

13,1

Phần “rèn luyện kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của
học sinh lớp 8 trường THCS Nga thắng” ở lớp 8 là một nội dung quan trọng bởi
kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến
thức về sau và đặc biệt nó có ứng dụng rất nhiều. Do vậy, trước hết chúng ta cần
cho học sinh nắm thật vững các nhận xét các dấu hiệu nhận dạng đề bài để lựa
chọn phương pháp một cách nhanh nhất và đặc biệt là khả năng quan sát, nhận
xét các vấn đề khó, suy luận logic và phán đoán… là rất cần thiết bởi vì các
phương pháp này rất hay sử dụng trong giải các dạng toán rút gọn, quy đồng...
Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần liên hệ những
kiến thức đã biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống bài tập theo
mức độ tăng dần từ dễ đến khó. Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau đó
mới bắt tay vào giải theo nhiều cách (nếu có thể) chứ không nhất thiết phải giải
nhiều bài tập. Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải và cách lập
luận trình bày của học sinh.

15


3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ:
3.1. Kết luận:

Trên đây là kinh nghiệm “rèn luyện kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức
thành nhân tử của học sinh lớp 8 trường THCS Nga Thắng ” mà tôi đã áp dụng
giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trường THCS Nga Thắng trong quá trình ôn
luyện, bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề, mỗi chuyên đề
toán học chúng ta đều dạy theo từng dạng, đi sâu mỗi dạng và tìm ra hướng tư
duy, hướng giải và phát triển bài toán. Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh
phân biệt dạng và tìm ra cách giải một cách phù hợp cho mọi bài thì chắc chắn
học sinh sẽ nắm vững vấn đề.Và tôi xin chắc chắn toán học sẽ là niềm say mê
với tất cả học sinh.Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều
hiệu quả trong việc giải các bài toán có liên quan và giải các bài toán thuộc dạng
này. Phần đông các em đều có hứng thú làm bài tập nếu như bài tập có phương
pháp giải hoặc vận dụng các phương pháp giải của một loại toán khác.
Đối với học sinh đại trà thì việc học của các em chính là những vấn đề xung
quanh SGK nếu nhận được sự dìu dắt tận tình cụ thể của giáo viên thì việc học
của các em đỡ vất vã hơn có hứng thú hơn. Đây là dạng toán cần quan tâm nó đa
dạng và phong phú đề cập đến kiến thức trong trường phổ thông nó có tính tổng
hợp, cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức cùng một lúc để giải quyết vấn
đề.Với cách hướng dẫn học sinh làm như vậy không những nâng cao kiến thức
cho các em mà còn là hình thức cũng cố, khắc sâu kiến thức cho học sinh.
Tôi cùng các đồng nghiệp đã thu được kết quả sau:
+ Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học tập
và yêu thích bộ môn toán.
+ Học sinh tránh được những sai sót cơ bản, biết lựa chọn lời giải ngắn gọn
và có kĩ năng vận dụng thành thạo cũng như phát huy được tính tích cực của học
sinh.
+ Học sinh có được cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán đã được học và tự
hình thành cho mình một phương pháp mới.
Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi người giáo viên
cần xây dựng cho học sinh từ kiến thức cũ đến kiến thức mới từ cụ thể đến tổng
quát, từ dễ đến khó và phức tạp, tạo cho học sinh cách tiếp cận một bài toán phù

hợp với trình độ nhận thức của học sinh.
Người thầy cần phát huy chú trọng tính chủ động tích cực và sáng tạo của
học sinh từ đó các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hướng giải toán
đúng đắn. Làm được như vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lượng giáo
dục trong nhà trường.
3.2.Kiến nghị:
Để thực hiện đề tài này ngày càng có hiệu quả hơn tôi xin mạnh dạn nêu
một số đề xuất, kiến nghị sau:
*Đối với nhà trường:
-Tiếp tục đẩy mạnh phong trào tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên.
-Tiếp tục chỉ đạo, kiểm tra, đánh giá việc thực hiện các chuyên đề của tổ
chuyên môn.

16


-Thường xuyên giao lưu liên trường để giáo viên có điều kiện trao đổi, học
hỏi kinh nghiệm giảng dạy của đồng nghiệp.
Có thể nói với cách làm trên đây, tôi đã chuẩn bị tạo tình huống, dẫn dắt
học sinh học tập bằng cách tự học là chính. Thông qua đó phát huy tính tích cực
chủ động của học sinh. Tuy nhiên để làm được điều đó phải tốn không ít thời
gian cho việc chuẩn bị nội dung và phương pháp giảng dạy của mình. Nhưng
theo tôi một trong những phương pháp giúp chất lượng học tập của học sinh
ngày một nâng cao là phải làm như vậy.
Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi dạy
phần “rèn luyện kĩ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học
sinh lớp 8 trường THCS Nga thắng ” ở lớp 8. Trong khi vấn đề bồi dưỡng học
sinh giỏi toán đối với giáo viên THCS còn nhiều trăn trở thì bản thân tôi muốn
đóng góp một kinh nghiệm nhỏ của mình. Mặc dù đề tài đã đạt được một số kết
quả nhất định, song không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Rất mong

nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để đề tài thêm phong
phú và có hiệu quả hơn, trong năm học tới bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả
cao hơn hơn.
Nga Thắng,ngày 10 tháng 4 năm 2017
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết không sao chép nội dung của người khác

Người thực hiện

Dương Thị Hoa

17


TÀI LIỆU THAM KHẢO
123456-

Sách giáo khoa và sách bài tập Toán 8. Nhà xuất bản giáo dục.
Nâng cao và phát triển Toán 8 Tác giả: Vũ Hữu Bình
Tuyển tập các đề thi HSG Toán THCS.Nhà Xuất bản giáo dục
Tuyển tập các tập chí của Toán tuổi thơ các số. Nhà Xuất bản giáo dục
Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8 Tác giả: Bùi Văn Tuyên
Các loại tài liệu khác.....

18

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
CỦA HỌC SINH LỚP 8 TRƯỜNG THCS NGA THẮNG

Người thực hiện: Dương Thị Hoa
Chức vụ : Giáo Viên
Đơn vị công tác : Trường THCS Nga Thắng
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2017

19


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ tên tác giả: Dương Thị Hoa
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Nga Thắng
Cấp đánh Kết quả
Năm học
TT
giá xếp
đánh giá

đánh gia
Tên đề tài SKKN
loại
xếp loại
xếp loại
(Phòng, A, B hoặc
Sở,
C
Tỉnh.......)
Một số phương pháp giải phương
1
trình bậc cao
Phòng
C
2008-2009
Rèn luyện kỹ năng giải toán chia
Phòng
B
2010-2011
2
hết
Rèn luyện kĩ năng giải toán tìm chữ
Phòng
A
2012-2013
3
số tận cùng của một lũy thừa
Rèn luyện kĩ năng giải toán tìm chữ
Tỉnh
C

2012-2013
4
số tận cùng của một lũy thừa

20