Rèn kỹ năng giải một số bài toán chia hết trên tập hợp số tự nhiên cho học sinh lớp 6 trường THCS phạm văn hinh năm học 2014 2015

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH LỘC

TRƯỜNG THCS PHẠM VĂN HINH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TÍNH CHIA HẾT
TRONG TẬP HỢP SỐ NGUYÊN CHO HỌC SINH LỚP 6,
TRƯỜNG TRUNG HỌC SƠ SỞ PHẠM VĂN HINH

Người thực hiện: Lê Văn Thạnh
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Phạm Văn Hinh
Huyện Vĩnh Lộc
SKKN thuộc môn: Toán

VĨNH LỘC, NĂM 2016

1


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình trung học cơ sở (THCS), môn Toán có vai trò hết sức
quan trọng, không những giúp học sinh có được những kiến thưc toán học phổ
thông cơ bản để tiếp tục học lên, mà còn góp phần để học sinh học tốt các môn
khoa học tự nhiên khác, từng bước hình thành, phát triển nhân cách, tư duy sáng
tạo, hoàn thiện năng lực bản thân. Dạy học như thế nào để học sinh không
những nắm vững kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn phát triển năng
lực tư duy sáng tạo để học sinh có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà

mỗi giáo viên luôn đặt ra cho mình trong quá trình dạy học Toán.
Thực tế dạy học Toán cho thấy, để học sinh học tốt môn Toán thì người
giáo viên phải nắm vững đặc điểm tâm, sinh lý lứa tuổi học sinh, hiểu, cảm
thông, chia sẻ điều kiện, hoàn cảnh học sinh nơi mình dạy, từ đó biết chắt lọc nội
dung kiến thức, vận dụng linh hoạt, sáng tạo phương pháp dạy học, tìm mọi cách
đơn giản hoá các vấn đề phức tạp để học sinh chủ động, tự giác tiếp cận, nghiên
cứu và chiếm lĩnh kiến thức; Làm như vậy sẽ giúp học sinh tự tin hơn, mạnh dạn
hơn, hứng thú hơn, tư duy sáng tạo từ đó cũng được hình thành và phát triển.
Thiết nghĩ, nếu giáo viên có quá trình nghiên cứu cụ thể và toàn diện
chương trình, nội dung sách giáo khoa, sách bài tập, biết lựa chọn hệ thống các
bài tập từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, đặc biệt là những bài tập có tính
khái quát cao, có khả năng khai thác sâu; Mặt khác giáo viên cần có phương
pháp hướng dẫn học sinh phương pháp nghiên cứu, khai thác bài toán, phương
pháp kiểm tra, “cân, đong, đo, đếm" khả năng tư duy của học sinh, thì học sinh
sẽ chủ động, say mê, tìm tòi, khám phá, những kỹ năng cơ bản sẽ được rèn
luyện, học sinh sẽ từng bước biết sáng tạo trong học toán.
Đối với học sinh khi tiếp cận với môn Toán thì tất yếu phải hình thành kỹ
năng giải toán đối với một kiến thức nhất định. Có được kỹ năng giải toán nghĩa
là đã tự mình vận dụng lý thuyết vào giải quyết bài tập một cách có khoa học.
Trong chương trình và sách giáo khoa (SGK) Toán 6 THCS hiện hành, một số
chủ đề kiến thức tuy lý thuyết cơ bản không khó, nhưng khả năng vận dụng
trong giải toán lại rộng, phong phú, đa dạng không chỉ ở cấp THCS; Một trong
những chủ đề ấy là dạng toán chia hết trong tập hợp số nguyên.
Trong nhiều năm qua, không chỉ các bài kiểm tra định kỳ trong chương
trình chính khoá, các bài kiểm tra cuối kỳ, cuối năm mà trong các đề thi học sinh
giỏi toán các cấp thường xuất hiện các bài toán về vận dụng tính chia hết. Theo
dõi kết quả làm bài của học sinh, Tôi nhận thấy hầu hết học sinh không giải
quyết được hoặc giải quyết không trọn vẹn, nhiều học sinh mất phương hướng
khi xem xét bài toán. Theo Tôi một trong những nguyên nhân dẫn đến tình trạng
nêu trên là: Kiến thức về tính chia hết chủ yếu được học ở lớp 6; Trong khi đó

các phép biến đổi toán học chủ yếu lại được học lớp các lớp trên; Tài liệu tham
khảo tuy nhiều và phong phú nhưng lại thiếu sự gợi ý về phương pháp nghiên
cứu, chủ yếu là trình bày lời giải; Đa số giáo viên khi dạy về dạng toán chia hết
thì chưa quan tâm củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu kiến thức trọng tâm, chưa
2


chú ý đến việc xây dựng cho học sinh phương pháp suy nghĩ, nghiên cứu, khai
thác bài toán.
Từ những lý do nêu trên, Tôi đi sâu nghiên cứu, rút ra kết luận và triển
khai áp dụng đề tài “Kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về
tính chia hết trong tập hợp số nguyên cho học sinh lớp 6, Trường THCS
Phạm Văn Hinh”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu kiến thức về tính chia hết
trong tập hợp số nguyên.
- Hướng dẫn học sinh phương pháp suy nghĩ, nghiên cứu, phương pháp
giải một số loại toán về chia hết.
- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng kiến thức, kỹ năng giải một số
loại toán về chia hết.
- Bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi lớp 6 năng lực suy luận, tính linh hoạt,
phát triển năng lực tư duy logic, tính sáng tạo cho học sinh.
- Góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi lớp 6 và chất lượng môn
Toán 6 THCS.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong đề tài này tôi chủ yếu nghiên cứu quy trình giải một bài toán đặc biệt
là một bài toán chia hết trong tập hợp số nguyên, các phương pháp giải và một
số dạng toán nhằm tạo điều kiện cho đối tượng học sinh khá giỏi lớp 6 có một
cách nhìn tổng quan cũng như là kỹ năng giải các dạng toán này.
- Nội dung, chương trình, sách giáo khoa Toán 6 THCS.

- Học sinh lớp 6 và giáo viên dạy Toán 6 ở trường THCS Phạm Văn Hinh,
huyện Vĩnh Lộc.
- Quá trình dạy và học của giáo viên và học sinh trường THCS Phạm Văn
Hinh, huyện Vĩnh Lộc.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin;
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
- Phương pháp thực nghiệm, kiểm nghiệm, đối chứng, so sánh.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực,
chủ động, tự lực, sáng tạo của học sinh; tăng cường kỹ năng thực hành, vận
dụng kiến thức, kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn góp phần hình thành
và phát triển năng lực học sinh; đa dạng hóa các hình thức học tập, chú trọng các
hoạt động trải nghiệm sáng tạo, nghiên cứu khoa học của học sinh; đẩy mạnh
ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học; Khắc phục lối
truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc; Tập trung dạy cách học, cách
nghĩ, khuyến khích tự học; bảo đảm cân đối giữa trang bị kiến thức, rèn luyện kỹ
năng và định hướng thái độ, hành vi cho học sinh; chú ý việc tổ chức dạy học
3


phân hoá theo năng lực của học sinh dựa theo chuẩn kiến thức, kỹ năng của
Chương trình giáo dục phổ thông; Đẩy mạnh việc vận dụng dạy học giải quyết
vấn đề, các phương pháp thực hành, dạy học theo dự án trong các môn học; tích
cực ứng dụng công nghệ thông tin phù hợp với nội dung bài học.
Môn Toán 6 THCS hiện hành bao gồm 5 chương, được bố trí trong 140
tiết; trong đó số tiết lý thuyết:100; số tiết luyện tập, thực hành, ôn tập:48; số tiết
kiểm tra: 10. Chuyên đề tính chia hết trong tập hợp số nguyên được bố trí trong

Chương I và Chương II, bao gồm 25 tiết; trong đó số tiết lý thuyết:15; số tiết
luyện tập, thực hành, ôn tập:8; số tiết kiểm tra: 2
Rõ ràng đối với môn Toán 6 THCS nói chung, chuyên đề tính chia hết
trong tập hợp số nguyên nói riêng thì số tiết luyện tập, thực hành được ưu tiên
đáng kể; Tính chia hết trong tập hợp số nguyên là trọng tâm của chương trình
Toán 6 hiện hành; trong đó việc phát huy tính tích cực, chủ động, tự lực, sáng
tạo của học sinh, tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ năng
vào giải quyết các vấn đề thực tiễn góp phần hình thành và phát triển năng lực
học sinh cần phải được quan tâm đúng mức.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
Vĩnh Long là xã miền núi, địa bàn dân cư rộng, dân số nhiều nhất huyện,
kinh tế thuần nông, điều kiện đi lại, học tập của học sinh gặp rất nhiều khó khăn;
Tỷ lệ học sinh thuộc hộ nghèo và cận nghèo nhiều; Sự quan tâm của cha mẹ học
sinh đối với sự học trong những năm gần đây tuy đã có sự chuyển biến tiến bộ
nhưng vẫn thiếu sự theo dõi, sâu sát, định hướng cụ thể.
Đa số học sinh của trường chăm ngoan, có sự cố gắng trong học tập và
rèn luyện; Tuy nhiên điều kiện học tập chưa tốt; Số học sinh có khả năng tiếp
thu bài tốt còn quá ít; Phương pháp học tập của học sinh chủ yếu dựa vào sự ghi
chép từ bài dạy của giáo viên, khả năng nghiên cứu quá hạn chế; Học sinh khi
giải bài tập thường không biết bắt đầu từ đâu, định hướng giải như thế nào;
Nhiều học sinh không biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập, không
biết cách trình bày lời giải; khả năng ghi nhớ và vận dụng là rất hạn chế. Khi
học về “Phép chia hết trong tập hợp số nguyên” nhiều học sinh lúng túng chưa
xác định đúng hoặc hiểu sai kiến thức, không xác định được dạng bài và hướng
giải hoặc các bước giải, trình bày bài giải chưa khoa học, thậm chí là cả những
học sinh khá, giỏi cũng thấy khó khăn khi gặp phải.
Việc đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá vẫn còn chậm và
chưa đồng bộ. Giáo viên và học sinh vẫn chưa khắc phục được nhận thức, thói
quen dạy học nặng về lý thuyết, nhẹ về thực hành, ít liên hệ kiến thức toán học
với thực tiễn và các môn học khác. Lối dạy học theo kiểu truyền thụ một chiều

vẫn còn khá phổ biến.
Chương trình, sách giáo khoa môn Toán đã tạo điều kiện ban đầu thuận
lợi cho giáo viên thực hiện các phương pháp dạy học, tích cực hóa hoạt động
học tập của học sinh. Nhiều chủ đề kiến thức trong sách giáo khoa thể hiện tính
liên thông kiến thức giữa các lớp trong bậc học, được vận dụng rất nhiều trong
4


các phân môn Số học và Đại số; Sách tham khảo tuy phong phú nhưng chủ yếu
là cung cấp bài tập và lời giải, gây khó khăn cho học sinh khi nghiên cứu.
Kết quả kiểm tra định kỳ thời lượng 45 phút, lớp 6A, 6B năm học 20142015, Chương II tính chia hết trong tập hợp số nguyên:
Lớp

Tổng số HS

6A

35

6B

37

0–2
3
8,6%
5
13,5%

Điểm

3-4
5 -6
13
14
37,1% 40,0%
18
11
48,7% 29,7%

7- 8
5
14,3%
3
8,1%

9 -10
0
0%
0
0%

Rõ ràng khả năng giải bài tập vận dụng tính chia hết trong tập hợp các số
nguyên của học sinh lớp 6 còn quá hạn chế; Tỷ lệ yếu kém quá cao; Tỷ lệ học
sinh giỏi quá thấp.
Từ cở sở lý luận và thực trạng nêu trên, cần có những giải pháp phù hợp
để rèn luyện kỹ năng giải toán chia hết trong tập hợp số nguyên cho học sinh lớp
6 THCS, góp phần nâng cao chất lượng môn Toán nói chung và môn Toán 6 nói
riêng, tạo cơ sở cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6 đạt kết quả cao.
2.3. Giải pháp thực hiện
2.3.1. Củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu cho học sinh các kiến thức cơ

bản về tính chia hết trong tập hợp số nguyên; Qua đó hướng dẫn học sinh
phương pháp suy nghĩ và khai thác kiến thức.
2.3.1.1. Định nghĩa: Cho hai số nguyên a và b (b ≠ 0), nếu có số nguyên q
sao cho b.q = a thì ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. (kí hiệu: a b; b  a).
+ Cho a, b là các số nguyên:
- Nếu a = bq (với q ∈ Z) thì a b; a q.
- Nếu a b (hoặc b  a) thì a = bq, với q ∈ Z.
- Muốn chứng minh a b, ta chứng minh cho a = bq, với q ∈ Z.
+ Cho a và b là các số nguyên; Nếu tồn tại hai số nguyên q và r (với 0
≤ r ≤ b ) sao cho a = bq + r thì ta nói q là thương và r là số dư trong phép chia a
cho b. Từ đó ta có:
- Với hai số nguyên a và b bao giờ ta cũng có: a = bq + r với q và r là các
số nguyên, 0 ≤ r ≤ b .
- Hiệu a – b chia hết cho m (m ∈ Z) khi và chỉ khi a và b có cùng số dư
khi chia cho m.
2.3.1.2. Tính chất của quan hệ chia hết
Trong tập hợp các số nguyên ta có:
+ Số 0 chia hết cho mọi số a khác 0.
+ Số a chia hết cho a với mọi a khác 0.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b.
5


+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) =1 thì a chia hết cho b.c
+ Nếu ab chia hết cho m và (b, m) = 1 thì a chia hết cho m.
+ Nếu ab chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b
chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho m thì (a ± b) chia hết cho m.

Tổng quát: Nếu các số nguyên a1, a2,…, an cùng chia hết cho số nguyên m
±
thì a1 a2 ± … ± an chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m và b không chia hết cho m thì (a ± b) không chia
hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m thì a n chia hết cho m (n ∈ N).
+ Nếu a chia hết cho b thì a n chia hết b n (n∈ N).
2.3.1.3. Các dấu hiệu chia hết xét trong tập hợp các số tự nhiên
* Lưu ý học sinh: Xét số tạo bởi các chữ số tận cùng theo thứ tự của
số tự nhiên A.
+ Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25:
- Nếu A chia hết cho 2 thì chữ số tận cùng của A cũng chia hết cho 2;
- Nếu chữ số tận cùng của A chia hết cho 2 thì A chia hết cho 2.
- Nếu kí hiệu A = Ba (a là chữ số tận cùng) thì hai mệnh đề trên được viết
như sau: A = Ba  2 ⇔ a  2. (Kí hiệu “ ⇔ ” đọc là: “khi và chỉ khi”.
- Dấu hiệu chia hết cho 5:
A = Ba  5 ⇔ a  5
- Nhận xét: 2.5 = 21.51 = 10 và A = Ba  2; 5 ⇔ a  2; 5
Từ đó ta cũng có: A = Bab  4; 25 ⇔ ab  4; 25
Tổng quát: A = Ba...b  4; 25 ⇔ a...b  2n; 5n (Xét số tạo bởi n chữ số tận
cùng của số A).
* Lưu ý học sinh: Xét tổng hoặc hiệu các chữ số của số tự nhiên A.
- Dấu hiệu chia hết cho 3(hoặc 9).
a1 a 2 ...a n  3; 9 ⇔ (a1 + a2 + … + an)  3; 9
Chú ý:
a1 a 2 ...a n và (a1 + a2 + … + an) có cùng số dư khi chia chia cho 3 hoặc 9.
- Dấu hiệu chia hết cho 11.
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và
các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.
Sau khi học sinh đã nắm vững lý thuyết thì việc vận dụng lý thuyết vào

giải bài tập là rất quan trọng, do vậy giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời
giải mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý
để giải bài toán. Tuy nhiên khi giải bài tập dạng này tôi không muốn dừng lại ở
những bài tập SGK mà muốn giới thiệu thêm một số bài tập điển hình và một số
phương pháp giải các bài tập đó.
2.3.2. Làm cho học sinh nắm vững quy trình giải một bài toán.
6


- Để giải một bài toán, đặc biệt là bài toán chưa có thuật giải, ngoài việc
nắm vững kiến thức yêu cầu người giải phải có phương pháp suy nghĩ khoa học
và kinh nghiệm giải. Phương pháp suy nghĩ và kinh nghiệm giải được hình
thành qua quá trình học tập, rèn luyện và tích luỹ.
- Để học sinh trình bày được lời giải bài toán một cách rõ ràng, chính xác
và khoa học, khi giảng dạy ta cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán theo
4 bước sau:
a. Tìm hiểu đề toán;
b. Tìm hướng giải;
c. Thực hiện lời giải;
d. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Vì vậy, ở mỗi bước, giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh hiểu cần phải làm
gì? Suy nghĩ như thế nào?
* Cụ thể:
a. Tìm hiểu đề toán:
- Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và phải có hứng thú giải
bài toán đó, bởi vậy để học sinh hiểu rõ bài toán ta nên yêu cầu học sinh phải
đọc kĩ đề toán, nhìn bài toán một cách tổng quát, gạt đi những yếu tố, những cái
không bản chất và hướng dẫn học sinh phân tích đề toán bằng cách trả lời những
câu hỏi sau:
+ Bài toán cho ta biết yếu tố nào?

+ Yếu tố nào chưa biết, phải tìm?
+ Yếu tố đã biết, chưa biết có mối liên hệ gì?
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (m5 – m)  30 với mọi m ∈ Z.
Học sinh phải trả lời được:
+ Bài toán cho biết biểu thức: m5 – m với m ∈ Z.
+ Bài toán yêu cầu chứng minh: (m5 – m)  30 với mọi m ∈ Z.
b. Tìm hướng giải:
- Tìm hướng giải là một hoạt động quan trọng trong giải toán, nó quyết
định thành công hay không thành công trong việc giải toán. Điều quan trọng là
tìm ra con đường đi đúng; Muốn vậy cần hướng cho học sinh suy nghĩ.
- Có thể dùng các bài toán đã giải, hoặc những bài toán tương tự (có thể
sử dụng về phương pháp, về kết quả hoặc kinh nghiệm).
- Có thể phải biến đổi bài toán để tạo ra những bài toán mới, khả năng
mới có liên quan đến bài toán đã giải.
- Đôi khi phải mò mẫm, dự đoán bằng cách thử các trường hợp có thể xảy
ra, xét trường hợp đặc biệt, xét trường hợp tổng quát của bài toán.
- Trở lại ví dụ 1: Cần hướng dẫn học sinh suy nghĩ: Để chứng minh được
ta làm thế nào? Có dấu hiệu chia hết cho 30 không? Một số chia hết cho 30 thì
phải đồng thời chia hết cho những số nào? Từ đó học sinh phải suy nghĩ tách
được bài toán về 3 bài toán đơn giản hơn.
1) (m5 – m)  2
2) (m5 – m)  3
7


3) (m5 – m)  5
Để chứng minh (m5 – m)  2 thì hướng giải quyết là gì?
Đến đây đòi hỏi học sinh phải nghĩ đến: Không thể sử dụng dấu hiệu chia
hết cho 2 mà phải biến đổi (m5 – m) thành tích chứa nhân tử chia hết cho 2 hoặc
m5 và m có cùng số dư khi chia cho 2.

c. Thực hiện lời giải:
- Việc thực hiện lời giải là khâu cuối cùng của quá trình giải toán. Khi
thực hiện lời giải kết hợp rèn luyện cho học sinh cách trình bày lời giải đầy đủ,
chính xác, logic, mạch lạc, chặt chẽ, làm rõ sự liên hệ giữa các bước với toàn bộ
bài toán.
Với ví dụ 1: Để chứng minh (m5 – m)  30 với mọi m ∈ Z, học sinh cần chứng
minh 3 bài toán:
1) (m5 – m)  2
2) (m5 – m)  3
3) (m5 – m)  5
- Nhận xét:
+ m5 – m = m.m4 – m.1 = m(m4 - 1).
+ Một số chính phương chia cho 2 có thể dư 0 hoặc 1, chia cho 3 có thể dư 0
hoặc dư 1, chia cho 5 có thể dư 0, dư 1 hoặc dư 4.
- Chứng minh: (m5 – m)  2 (1)
Nếu m  2 thì m(m4 - 1)  2 ⇒ (m5 – m)  2
Nếu m không chia hết cho 2 thì m4 chia cho 2 dư 1 ⇒ (m4 - 1)  2
⇒ m(m4 - 1)  2 ⇒ (m5 – m)  2.
Vậy (m5 – m)  2 với mọi số tự nhiên m
- Chứng minh: (m5 – m)  3 (2)
Nếu m  3 ⇒ m(m4 - 1)  3 Vậy (m5 – m)  3
Nếu m không chia hết cho 3 thì m2 chia cho 3 dư 1 ⇒ m4 : 3 dư 1 ⇒
(m4 - 1)  3.
Vậy với mọi giá trị của m thì (m5 – m)  3.
- Chứng minh: (m5 – m)  5 (3)
Nếu m  5 ⇒ m(m4 - 1)  5 Vậy (m5 – m)  5
Nếu m không chia hết cho 5 thì m2 : 5 dư 1 hoặc dư 4
m2 chia cho 5 dư 1 ⇒ m4 : 5 dư 1 ⇒ (m4 - 1)  5
m2 chia cho 5 dư 4 ⇒ m4 : 5 dư 1 ⇒ (m4 - 1)  5
Vậy với mọi giá trị của m thì (m5 – m)  5.

- Vì 2, 3, 5 là ba số nguyên tố cùng nhau nên từ (1), (2), (3) ta có :
(m5 – m)  2.3.5 hay (m5 – m)  30.
d. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
Đây là việc làm cần thiết và bổ ích nhưng nhiều học sinh khi giải toán
chưa thực hiện bước này. Trong quá trình thực hiện rất có thể mắc nhiều sai sót,
nhầm lẫn, việc kiểm tra lại quá trình giải giúp học sinh sửa chữa được sai sót đó.

8


Mặt khác, nhìn lại cách giải, phân tích lại kết quả và các bước đã giải, để
tìm kiếm những lời giải khác cho bài toán, hay đưa đến bài toán tổng quát, từ đó
học sinh có thể củng cố và phát triển khả năng giải toán.
Khi giảng dạy cho học sinh, sau mỗi bài làm cần yêu cầu học sinh kiểm
tra lại lời giải từ lý luận đến tính toán. Đối với học sinh khá giỏi có thể yêu cầu
học sinh nghiên cứu lời giải để khai thác, phát triển bài toán.
Với ví dụ 1: Kiểm tra lại lời giải.
Trong quá trình giải đã phân tích m 5 – m = m(m4 - 1) và sử dụng các tính
chất a  c và b  c thì (a + b)  c; nếu có a  m thì a(a+b)  m. Nếu nghiên cứu kĩ lời
giải có thể tìm ra được điều kiện của m để biếu thức (m5 – m)  120.
2.3.3. Hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu và tìm phương pháp giải
một số loại toán về chia hết.
2.3.3.1. Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết.
Để chứng minh số nguyên a chia hết cho số nguyên b (b ≠ 0) ta biểu diễn a
dưới dạng tích của hai số nguyên, trong đó có một thừa số bằng b (hoặc chia hết
cho b).
* Ví dụ 2: Cho n∈ N, chứng minh rằng (5n) 100 chia hết cho 125
+ Hướng dẫn học sinh phân tích:
- Ta có thể viết 125 = 53
- Có thể phân tích (5n) 100 thành tích của các lũy thừa, trong đó có chứa 53

+ Lời giải :
Ta có : (5n) 100 = 5 100 . n 100 = 53.597.n100 = 125.597.n100 M
125
100
Vậy (5n) chia hết cho 125.
+ Kiểm tra và nghiên cứu phát triển bài toán:
Học sinh kiểm tra lại lời giải và có thể chứng minh dạng tổng quát hơn:
Chứng minh rằng (a.b) m chia hết cho a n với a, b, m, n là các số nguyên, m ≥ n.
Cách làm tương tự đối với các bài sau:
* Ví dụ 3: Chứng minh rằng số abcabc chia hết cho 143.
+ Hướng dẫn học sinh phân tích:
abcabc =1001. abc = 7.11.13. abc
143 =11.13
+ Giải: Ta có: abcabc = 1001. abc = 7.11.13. abc =143.(7 abc ) M143.
Vậy abcabc chia hết cho 143.
* Ví dụ 4: Chứng minh rằng: S = 5 + 52 + 53 + ... + 599 + 5100 chia hết cho 6.
+ Hướng dẫn học sinh phân tích: Ta thấy tổng S ở đây có các số hạng là
các lũy thừa của cùng cơ số 5; mặt khác có thể viết 6 = 1+ 5. Do đó nếu nhóm 2
số hạng liền nhau rồi đặt thừa số chung sẽ xuất hiện (1 + 5) ở mỗi nhóm.
+ Lời giải :

9


S = 5 + 52 + 53 + ... + 599 + 5100
= (5 + 52 ) + (53 + 54 ) + ... + (599 + 5100 )
= 5(1 + 5) + 53 (1 + 5) + ... + 599 (1 + 5)
= 5.6 + 53.6 + ... + 599.6
= 6.(5 + 53 + ... + 599 )M
6

+ Kiểm tra và nghiên cứu phát triển bài toán:
Dạng toán này gặp rất nhiều trong các đề thi, tùy vào mỗi bài ta phải tìm
được mối liên hệ giữa số chia và cơ số của số hạng trong tổng để nhóm hai, ba,
…số hạng cho hợp lí (số số hạng phải chia hết cho số nhóm).
2.3.3.2. Phương pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết.
* Dùng tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu.
- Để chứng minh số nguyên a chia hết cho số nguyên b khác không ta biểu
diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng (mỗi số hạng là một số nguyên) rồi
chứng minh tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b.
- Để chứng minh số nguyên a không chia hết cho số nguyên b khác không
ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng (mỗi số hạng là một số
nguyên) rồi chứng minh có một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số
hạng còn lại đều chia hết cho b.
* Ví dụ 5: Chứng minh rằng: Tổng của 3 số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 3
nhưng không chia hết cho 6.
+ Hướng dẫn học sinh phân tích:
- Ba số lẻ liên tiếp có dạng như thế nào ?
- Hãy tính tổng của chúng.
- Các số hạng của tổng có chia hết cho 3, cho 6 không ?
+ Lời giải: Gọi 3 số lẻ liên tiếp là: 2n+1; 2n+3 ; 2n+5 (n ∈ N)
Tổng của 3 số đó là: a = (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) = 6n+ 9 = 6(n + 1) + 3
Suy ra a chia hết cho 3 (vì 2 số hạng của a đều chia hết cho 3).
Mặt khác: 6(n + 1) M6 và 3 không chia hết cho 6, do đó a không chia hết
cho 6.
Vậy tổng của 3 số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6.
+ Kiểm tra và nghiên cứu phát triển bài toán:
Kiểm tra lại các phép biến đổi .
Phát triển: Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp, tổng của 4 số tự nhiên liên
tiếp, tổng của n số tự nhiên liên tiếp thì như thế nào?
* Ví dụ 6: Tìm số nguyên n sao cho:

a) n + 2 chia hết cho n – 1
b) 2n + 1 chia hết cho 6 – n
+ Hướng dẫn học sinh phân tích câu a:
- Khi nào thì (n + 2) chia hết cho (n – 1)?
HS: (n + 2) chi hết cho (n – 1) khi (n + 2) = (n – 1)q với q là số nguyên
hoặc n + 2 = A + B trong đó A và B là các số nguyên chia hết cho (n – 1).
10


- Hãy phân tích (n + 2) thành tổng hai số nguyên, trong đó có ít nhất một
số hạng chia hết cho n – 1?
HS: n + 2 = (n – 1) + 3;
- Để (n + 2) chia hết cho (n – 1) cần có điều kiện gì?
HS: 3 chia hết cho n – 1.
+ Lời giải:
a) Ta có: n + 2 = (n – 1) + 3;
Do n là số nguyên nên (n + 2) và (n – 1) là các số nguyên với n khác 1;
Mặt khác (n – 1)  (n – 1) nên (n + 2)  (n – 1) ⇔ 3  (n – 1) Hay (n – 1) là
ước của 3;
Mà Ư(3) = {1; 3; -1; -3} nên n - 1 = 1 hoặc n - 1 = 3 hoặc n - 1 = -1 hoặc
n - 1 = -3
n-1=1 ⇔ n=2
n–1=3 ⇔ n=4
n – 1 = -1 ⇔ n = 0
n – 1 = -3 ⇔ n = -2
Vậy với n ∈ { −2;0;2;4} thì (n + 2) chia hết cho (n – 1).
+ Hướng dẫn học sinh phân tích câu b:
- Theo câu a, ta phải biến đổi 2n + 1 về dạng nào?
HS: 2n + 1 = (6 – n)q + B;
- Muốn biến đổi như trên ta phải tìm q? Muốn vậy phải làm gi?

(HS: 2n + 1 = (6 – n)q + B = 6q – qn + B; Chọn q = 2)
- Hãy biến đổi (2n + 1)?
HS: 2n + 1 = - (- 2n - 1) = - [- 2n + 12 - 13] = - [2(6 – n) - 13] ;
- Đến đây học sinh tự trình bày lời giải.
Ta có: 2n + 1 = - (- 2n - 1) = - [- 2n + 12 - 13] = - [2(6 – n) - 13]
Do n là số nguyên nên (2n + 1) và (6 – n) là các số nguyên với n khác 6;
Mặt khác 2(6 – n)  (6 – n) nên (2n + 1)  (6 – n) ⇔ 13  (6 – n)
Hay (6 – n) là ước của 13;
Mà Ư(13) = {1; 13; -1; -13} nên 6 - n = 1 hoặc 6 - n = 13 hoặc 6 - n = -1
hoặc 6 - n = -13
6-n=1 ⇔ n=5
6-n=3 ⇔ n=3
6 - n = -1 ⇔ n = 7
6 - n = -3 ⇔ n = 9
Vậy với n ∈ { 3;5;7;9} thì (2n + 1) chia hết cho (6 – n).
+ Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
Có thể áp dụng lời giải này cho bài toán cùng loại. Cũng có thể vận dụng
bài toán cho bài toán tìm điều kiện để một phân số là phân số tối giản.
* Dùng tính chất chia hết của một tích.

11


+ Để chứng minh số nguyên a chia hết cho số nguyên b (b ≠ 0) ta có thể
biểu diễn số b dưới dạng 1 tích của hai hay nhiều số nguyên; chẳng hạn b = m.n,
với m và n là hai số nguyên;
- Nếu (m, n) = 1 thì tìm cách chứng minh a Mm và a Mn lúc đó a Mm.n tức là
aMb;
- Nếu (m, n) ≠ 1 thì ta biểu diễn số a thành tích a = a 1 a 2 rồi chứng minh a
m; a 2 Mn thì a 1 a 2 Mm.n tức là a Mb.

1M
* Ví dụ 7: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết
cho 8.
+ Ở trên học sinh đã làm quen với cách biểu diễn các số nguyên liên tiếp;
Nên giáo viên yêu cầu học sinh tự nghiên cứu và tìm hướng giải.
+ Lời giải:
Gọi hai số chẵn liên tiếp là: 2n, 2n + 2 (n ∈ N)
Khi đó tích của hai số chẵn liên tiếp sẽ là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1).
Vì n và n+ 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n+ 1) M2.
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n+1) M(4.2)
Hay 4n.(n+1) M8.
Suy ra 2n.(2n + 2) M8.
Vậy tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
* Vận dụng dấu hiệu chia hết liên quan đến các số nguyên tố, các số
nguyên tố cùng nhau.
+ Nếu tích ab Mm mà (b, m) =1 thì a Mm.
+ Nếu a Mm; aMn và (m, n) =1 thì a Mmn.
+ Nếu a n Mp (p là số nguyên tố) thì a Mp.
* Ví dụ 8: Cho a, b là các số tự nhiên, n ≠ 0, biết a n M7.
Chứng minh rằng: (a 2 + 98b) M49
+ Học sinh vận dụng phương pháp trên, tự nghiên cứu và tìm lời giải.
+ Lời giải:
Ta có a n M7; mà 7 là số nguyên tố nên a M7 ; Suy ra a 2 M7 2 hay a 2 M49
Mặt khác: 98bM49 nên (a 2 + 98b) M49 (tính chất chia hết của một tổng).
2.3.3.3. Phương pháp 3: Vận dụng dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9;
11;… hoặc có thể xét chữ số tận cùng khi chứng minh chia hết cho 2, cho 5,
cho 10.
+ Giáo viên hướng dẫn học sinh: Sử dụng phương pháp này khi các số
đã cho trong bài toán có thể biểu diễn được dưới dạng các chữ số của nó.
* Ví dụ 9: Tìm các chữ số x và y để số 41x5 y chia hết cho các số 2, 3, 5.

+ Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán:
- Yêu cầu của bài toán là gì?
- Có thể vận dụng phương pháp nào?
+ Học sinh trình bày lời giải:
Đặt A = 41x5 y ; Ta có A chia hết cho 2 và 5 khi và chỉ khi y = 0;
12


A chia hết cho 3 khi và chỉ khi (4 + 1 + x + 5 + y) chia hết cho 3;
hay (10 + x + y) chia hết cho 3; Nhưng y = 0 nên (10 + x) chia hết cho 3;
Mặt khác x ∈ N và 0 ≤ x ≤ 9, nên 10 ≤ 10 + x ≤ 19 ⇒ x = 2; 5; 8.
Vậy với x ∈ { 2;5;8} và y = 0 thì 41x5 y chia hết cho các số 2, 3, 5.
+ Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
Trong quá trình giải đã sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5. Yêu cầu
học sinh kiểm tra kỹ lưỡng bước giải: Từ suy luận đến cách trình bày và kết quả.
áp dụng cách giải cho bài toán cùng loại
* Ví dụ 10: Cho n∈ N .Chứng minh A = (3 4 n+1 +7) M10
+ Hướng dẫn học sinh nghiên cứu bài toán:
- Ta phải chứng minh điều gì?
- Có nhận xét gì về chữ số tận cùng của một số chia hết cho 10?
- Từ đó có nhận xét gì về chữ số tận cùng của số 3 4 n+1 ?
- Hãy viết 3 4 n+1 về dạng tích của hai lũy thừa?
+ Học sinh trình bày lời giải:
Ta có 34 có chữ số tận cùng là 1 nên với n ∈ N thì 34 n có chữ số tận cùng
là 1, do đó 3 4 n+1 = 3. 34 n có chữ số tận cùng là 3, suy ra A có chữ số tận cùng là
10; Vậy AM10.
2.3.3.4. Phương pháp 4: Dùng định lý về phép chia có dư.
+ Giáo viên hướng dẫn học sinh rút ra kết luận:
- Gọi r là số dư trong phép chia số nguyên a cho số nguyên b (b ≠ 0) thì r
nhận một trong các giá trị: 0; 1; 2;…; b – 1.

- Để chứng minh số nguyên a chia hết cho số nguyên b (b ≠ 0) ta xét mọi
trường hợp về số dư khi chia a cho b.
* Ví dụ 11: Chứng minh rằng:
a) Tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 3 ;
b) Tích của 4 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 4.
+ Hướng dẫn học sinh nghiên cứu bài toán :
- Hãy biểu diễn tích của ba số nguyên liên tiếp ?
- Số nguyên n khi chia cho 3 có thể xảy ra bao nhiêu trường hợp về số
dư ?
- Hãy xét bài toán cho mỗi trường hợp.
+ Học sinh giải:
a) Gọi 3 số nguyên liên tiếp là: n; n+ 1; n+ 2 ; thì tích của chúng sẽ là:
A = n(n + 1)(n + 2).
Gọi r là số dư trong phép chia n cho 3 ; ta xét 3 trường hợp sau :
+ Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 ⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 ;
+ Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k ∈ Z) ⇒ n + 2 = 3k + 1+ 2 = (3k + 3) chia hết
cho 3 ⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3.
+ Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k ∈ Z) ⇒ n + 1 = 3k + 2+ 1 = (3k + 3) chia hết
cho 3 ⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3.
Vậy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 với mọi số nguyên n.
13


b) Học sinh tự chứng minh: n(n + 1)(n +2)(n+ 3) chia hết cho 4 với mọi số
nguyên n.
+ Hướng dẫn học sinh tổng quát bài toán :
- Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số nguyên liên tiếp luôn
chia hết cho n.
- Lưu ý học sinh: Phương pháp này sử dụng khi chứng minh một biểu
thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có 1 chữ số. Khi chứng minh một

biểu thức chia hết cho số tự nhiên có 2 chữ số trở nên ta không sử dụng phương
pháp này vì phải xét nhiều trường hợp đối với số dư.
2.3.3.5. Phương pháp 5: Vận dụng phương pháp chứng minh phản
chứng và Nguyên lý Diricle.
* Ví dụ 12: Một lớp học có 38 học sinh, chứng minh rằng có ít nhất 4 học
sinh có tháng sinh giống nhau.
+ Hướng dẫn học sinh :
- Hãy xác định các điều đã biết và điều cần tìm trong bài toán ?
HS: Điều đã biết: Số học sinh của một lớp: 38; Số tháng trong một năm: 12;
Điều cần tìm: Chỉ ra “có ít nhất 4 học sinh” có cùng tháng sinh.
- Lưu ý học sinh : Mỗi học sinh chỉ tương ứng với một tháng sinh trong
12 tháng.
- Hãy giải thích cụm từ “có ít nhất 4 học sinh” có cùng tháng sinh ?
- Lưu ý học sinh : Trong trường hợp này ta thường đặt vấn đề : Giả sử
trong mỗi tháng có nhiều nhất 3 học sinh có cùng tháng sinh ; Khi đó ta biết
được điều gì ?
+ Lời giải:
Một năm có 12 tháng, ta phân chia 38 học sinh vào 12 tháng trong một
năm, nếu mỗi tháng có không quá 3 học sinh được sinh ra trong tháng đó thì số
học sinh của lớp không quá 3.12 = 36; Điều này không xảy ra vì lớp có 38 học
sinh. Vậy tồn tại 1 tháng có ít nhất 4 học sinh; Nghĩa là có ít nhất 4 học sinh có
cùng tháng sinh.
+ Hướng dẫn học sinh khai thác bài toán:
- Trong bài toán có hai đối tượng: Học sinh, số lượng: 38; Tháng sinh, số
lượng: 12; Số học sinh nhiều hơn số tháng sinh của một năm;
- Nếu coi mỗi học sinh như là “1 thỏ” và coi mỗi tháng sinh của một năm
như là “1 lồng nhốt thỏ” thì ta có “38 thỏ” và “12 lồng” (Số thỏ nhiều hơn số
lồng); Ta phải “nhốt” hết 38 “thỏ” vào trong 12 “lồng”;
- Giải sử trong mỗi “lồng” ta “nhốt” không nhiều hơn 3 “thỏ”; Thế thì số
“thỏ” được “nhốt” không nhiều hơn 36 “thỏ”; Vậy có ít nhất 2 “thỏ” không được

“nhốt”; Vậy phải tồn tại 1 “lồng” “nhốt” nhiều hơn 3 “thỏ”; Nghĩa là tồn tại 1
“lồng” “nhốt” ít nhất 4 “thỏ”.
* Ví dụ 13: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 2
số có hiệu chia hết cho 5.
+ Học sinh tự giải:
Một số tự nhiên bất kỳ chia cho 5 chỉ có 1 trong 5 số dư: 0; 1; 2; 3; 4;
14


Vì khi chia 6 số tự nhiên bất kỳ cho 5 ta được 6 số dư tương ứng là r 1; r2; r3;
r4; r5; r6 là một trong các số 1, 2, 3, 4, 0, nên tồn tại 2 số trong các số r 1; r2; r3; r4; r5;
r6 phải bằng nhau; Nghĩa là trong 6 số tự nhiên bất kỳ luôn tìm được 2 số có hiệu
chia hết cho 5.
* Sau khi học sinh đã nắm vững một số phương pháp nêu trên, giáo viên
có thể đưa ra một số dạng bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh khắc sâu kiến
thức một cách có hệ thống.
2.3.4. Hướng dẫn học sinh thực hành giải một số dạng toán
Học sinh tự nghiên cứu và đề xuất hướng giải các bài toán sau:
2.3.4.1. Dạng 1: Điền chữ số vào dấu “*” để được số chia hết cho một số.
* Bài 1: Điền chữ số vào dấu “*” để số 35 *
a) chia hết cho 2
b) chia hết cho 5
c) chia hết cho cả 2 và 5
Đây là dạng toán hết sức cơ bản; khi gặp dạng toán này thì đương nhiên
giáo viên phải cho học sinh tái hiện lại dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 và chia hết
cho cả 2 và 5.
* Bài 2: Điền chữ số vào dấu “*” để
a) 3*5M
3
b) 7 * 2M

9
Tương tự như bài toán 1, học sinh có thể vận dụng trực tiếp dấu hiệu chia
hết cho 3 và cho 9 để làm.
2.3.4.2. Dạng 2: Tìm các chữ số chưa biết của một số.
* Bài 3: Tìm chữ số a, b sao cho a63b đồng thời chia hết cho 2,3,5,9.
+ Lập luận: Đầu tiên phải đề cập đến phép chia hết cho 2 và 5 vì nó liên
quan đến chữ số tận cùng;
Sau đó, khi đã có chữ số tận cùng, ta xét tổng các chữ số vì nó liên quan
đến chia hết cho 9. Ở đây ta không cần quan tâm đến chia hết cho 3, vì số chia
hết cho 9 thì đương nhiên chia hết cho 3.
* Bài 4: cho số 76a 23
a) Tìm a để 76a 23M
9
b) Trong các giá trị vừa tìm được của a có giá trị nào làm cho số 76a 23
chia hết cho 11 không ?
+ Hướng dẫn
a) Tính tổng các chữ số của số 76a 23 ta được
( a + 18) M9 do đó a ∈{ 0;9}
b) với a = 0 thì số 76023 có (7 + 0 + 3) – (6 + 2 ) = 2 M11
Tương tự với a = 9 ta có (7 + 9 + 3) – ( 6 + 2) = 11 M11
Vậy a = 9 thì 76a 23M
11
* Bài 5: Tìm a, b sao cho b851a chia hết 3 và 4?
+ Lập luận chia hết cho 4 trước ta được a = 2 và a = 6;
15


+ Thay a = 2 vào số b851a ta được số b8512 . Xét tiếp dấu hiệu chia hết
cho 3 bằng cách tính tổng các chữ số.
b851aM

3 ⇔ ( b + 8 + 5 + 1 + 2) M
3
⇔ ( b + 16 ) M
3

⇔ b ∈ { 2;5;8}

+ Lập luận tương tự với a = 6 ta được b ∈ { 1;4;7}
* Bài 6: Thay các chữ số x, y bằng chữ số thích hợp để cho số 275x chia
hết cho 5, cho 25, cho 125
* Bài 7: Tìm chữ số a để số 1aaa1 chia hết cho 11?
Hướng dẫn: Tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a.Tổng các chữ số hàng chữ là 2a.
Nếu 2a ≥ a + 2 thì a ≥ 2 , suy ra 2a – (a + 2) = a -2 ≤ 9 – 2 = 7
mà (a - 2) 11 nên a - 2 = 0 suy ra a = 2;
Nếu 2a ≤ a + 2 thì a < 2, suy ra (a + 2) - 2a = 2 - a mà 2 hoặc 1 không chia
hết cho 11.Vậy a = 2.
2.3.4.3. Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số
* Bài 8: Cho M = 7.9.11.13 + 2.3.4.7; N = 16 354 + 675 41
Chứng tỏ rằng: M chia hết cho 3; N chia hết cho 5.
+ Ta có: 7.9.11.13 M3( vì 9M3 ); 2.3.4.7 M3 (vì 3 M3)
⇒ 7.9.11.13 + 2.3.4.7 M
3; Vậy M chia hết cho 3
Ta có giá trị của tổng (16354 + 67541) có chữ số tận cùng là 5 nên chia
hết cho 5; Vậy N chia hết cho 5.
* Bài 9: Chứng minh rằng 995 – 984 + 973 – 962 chia hết cho 2 và 5.
+ Đặt A = 995 – 984 + 973 – 962 thì chữ số tận cùng (CSTC) của A là chữ số
tận cùng của tổng B = 9 – 6 + 3 – 6 = 0; Vậy A chia hết cho 2 và 5.
2.3.4.4. Dạng 4: Chứng minh tổng, tích các số liên tự nhiên liên tiếp chia
hết cho một số
Để làm dạng toán này ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp. Tuy

nhiên, khi dạy lớp 6 ta nên hướng dẫn học sinh xét các trường hợp bẳng mệnh
đề: “ Nếu…thì …”.
* Bài 10: Chứng tỏ rằng tích hai số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 2.
+ GV lưu ý học sinh:
- Phải chứng minh kết luận đúng với mọi cặp số nguyên liên tiếp chứ
không phải chỉ ra hai số nguyên liên tiếp cụ thể; Muốn vậy phải làm gì?
HS: Biểu diễn hai số nguyên liên tiếp dưới dạng tổng quát.
- Bài toán xét phép chia cho 2 nên ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia
một số nguyên cho 2. Có mấy trường hợp xảy ra?
+ Học sinh tự giải bài toán:
Gọi hai số nguyên liên tiếp là: a và a+1; Đặt A = a(a + 1)
- Nếu a M2 thì A M2;
- Nếu a chia cho 2 dư 1 thì a + 1 = 2q + 1 + 1 = 2q + 2 chia hết cho 2 nên
A M2;
16


Trong mọi trường hợp ta đều có A M2.
* Bài 11: Chứng tỏ rằng tích ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3.
+ Học sinh tự nghiên cứu và giải bài toán.
+ Hãy tổng quát bài toán?
HS: Tích của n số nguyên liên tiếp thì chia hết cho n.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với việc dạy học, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường.
+ Học sinh có sự chuyển biến tiến bộ: Nền nếp học tập tốt hơn; Học sinh
có hứng thú học tập, phần lớn học sinh có sự say mê trong học tập, tích cực suy
nghĩ trước những bài toàn khó; Tinh thần và ý thức học tập tiến bộ rõ rệt;
+ Hiệu quả của quá trình dạy học được nâng lên: Chất lượng học tập môn
Toán tăng cao; Học sinh có thái độ đúng mực trong học tập các môn học khác;
Chất lượng học của học sinh khá giỏi tiến bộ rõ nét.

Trong phạm vi đề tài này, tôi đã áp dụng quy trình giảng dạy như đã làm ở
trên thì học sinh đã sắn sàng tiếp cận với dạng bài tập có vận dụng “Tính chia
hết”; Kỹ năng giải các dạng toán chia hết khá tốt và áp dụng linh hoạt các
phương pháp đã học như phương pháp quy nạp toán học, tính chất chia hết của
một tổng, hiệu, tích…để giải quyết các dạng toán liên quan tới dạng toán “chia
hết”; Học sinh không còn cảm thấy “sợ” những bài toán về chia hết. Tinh thần
học của học sinh thể hiện rõ ràng hơn, học sinh tự tin hơn, trình bày lời giải rõ
ràng, lí luận chặt chẽ, xuất hiện nhu cầu tự tìm tòi, nghiên cứu; Một bộ phận học
sinh bắt đầu có tính mạnh dạn trong việc đề xuất hướng nghiên cứu, đề xuất
thêm nhiều bài toán mới; Một số học sinh đã giải quyết được một số bài toàn mà
các em đưa ra; Chất lượng môn Số học được nâng lên đáng kể.
Sau khi triển khai và áp dụng đề tài, vốn kiến thức của bản thân cũng
được nâng lên, góp phần bổ sung kinh nghiệm cho việc giảng dạy của bản thân
và đồng nghiệp; Đề tài đã được Tổ chuyên môn đưa vào nội dung sinh hoạt
chuyên môn; Tập thể giáo viên dạy Toán của trường đã nghiên cứu và triển khai
áp dụng đề tài trong phạm vi trường; Kết quả là: Phương pháp dạy học nêu trên
phù hợp với việc dạy học bám sát đối tượng và phát hiện đối tượng học sinh khá
giỏi, có khả năng phân loại học sinh để bồi dưỡng học sinh khá giỏi và phụ đạo
học sinh yếu kém, chất lượng dạy học toán có nhiều tiến bộ, học sinh yếu kém
giảm, học sinh khá giỏi tăng, nhiều giáo viên được công nhận giáo viên có giờ
dạy giỏi cấp huyện.
Kết quả kiểm tra định kỳ thời lượng 45 phút, lớp 6A, 6C năm học 20152016, Chương ... tính chia hết trong tập hợp số nguyên:
Lớp

Tổng số HS

6A

33

0

6C

38

0

0–2

3-4
1
3,0%
3
7,9%

Điểm
5 -6
13
39,4%
12
31,6%

7- 8
12
36,4%
18
47,3%

9 -10

7
21,2%
5
15,2%
17


So với trước khi áp dụng đề tài thì số lượng học sinh làm được bài tập
tăng lên, tỷ lệ học sinh khá giỏi tăng đáng kể, tỷ lệ học sinh yếu giảm rõ rệt;
Trong hai năm 2014 – 2015 và 2015-2016 đội tuyển học sinh giỏi lớp 6, lớp 7
do tôi phụ trách đã đạt nhiều giải trong Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện:
Năm học 2014-2015: Tổng số: 3 giải; trong đó:: Giải ba: 1; Giải khuyến
khích: 2 ;
Năm học 2015-2016: Tổng số: 6 giải; trong đó: Giải nhì:1; Giải ba: 1;
Giải khuyến khích: 4 ;
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận:
Nghiên cứu và triển khai áp dụng đề tài trong phạm vi nhà trường, Tôi đã
thu được những kết quả đáng phần khởi. Để việc rèn luyện kỹ năng giải bài toán
chia hết trong tập hợp các số nguyên cho học sinh lớp 6 đạt hiệu quả cao, theo
Tôi cần thực hiện tốt các giải pháp sau:
1. Củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu cho học sinh các kiến thức cơ bản về
tính chia hết trong tập hợp số nguyên; Qua đó hướng dẫn học sinh phương pháp
suy nghĩ và khai thác kiến thức.
2. Làm cho học sinh nắm vững quy trình giải một bài toán.
3. Hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu và tìm phương pháp giải một số
loại toán về chia hết.
4. Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức để thực hành giải toán chia hết.
Muốn vậy giáo viên cần lưu ý một số nội dung như sau:
- Nắm vững nội dung chương trình sách giáo khoa, sách bài tập, yêu cầu

về chuẩn kiến thức, kỹ năng để quán triệt trong dạy và học Số học.
- Nghiên cứu cụ thể nội dung, cấu trúc của các bài tập trong sách giáo
khoa, sách bài tập để thiết kế dạy học theo hướng mở.
- Coi trọng năng lực tư duy sáng tạo, kỹ năng giải toán theo định hướng
phát triển năng lực của học sinh.
- Lồng ghép nhiều dạng bài tập chia hết vào các tiết luyện tập, tự chọn.
- Cần xây dựng một hệ thống bài tập đặc trưng nêu được những tính chất
cơ bản của nội dung cần rèn luyện và hệ thống bài tập tự thực hành.
-Việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh phải được thực hiện
thường xuyên, liên tục xuyên suốt quá trình dạy học trong cả năm học.
3.2. Kiến nghị đề xuất.
Đề nghị triển khai và áp dụng đề tài trong dạy học Toán 6 nói riêng và
môn Toán THCS nói chung.
Bản thân đã có nhiều cố gắng trong nghiên cứu và áp dụng thành công đề
tài, nhưng chắc chắn vấn đề đưa ra còn có thể có nhiều giải pháp khác. Hy vọng
kinh nghiệm nêu trên sẽ giúp cho các bạn đồng nghiệp có thêm tư liệu trong quá
trình dạy học.
Rất mong các bạn đồng nghiệp trao đổi, góp ý để vấn đề đưa ra ngày càng
hoàn thiện và đạt hiệu quả cao trong hoạt động chuyên môn.
18


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Vĩnh Lộc, ngày 15 tháng 4 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội
dung của người khác.
Người viết SKKN:

Lê Văn Thạnh

XÁC NHẬN CỦA PHÒNG GD&ĐT

19