bai tap phep bien hinh nang cao

A. Bài tập: Phép tịnh tiến:
Bài 1. Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O). Điểm A di động trên (O).
Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một
đường tròn cố định.
uuur r
·
BAC
=α
BC = v
Bài 2. Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, góc
không đổi và
không đổi.
Tìm tập hợp điểm B.
Bài 3. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên (O), một điểm B di động trên (O). Các tiếp
tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C. Tìm quỹ tích trực tâm của tam giác ABC.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(4;5), B(-4;1)
uuur và C(5;-2).
AB
Tìm ảnh của trực tâm H của tam giác ABC qua phép tịnh tiến vectơ
.
Viết
phương
trình
đường
thẳng
(d)
là
ảnh
của
đường
thẳng

AB
qua
phép
tịnh tiến theo vectơ
r uuur uuur
v = AB + 2 AC
Viết phương trình đường
tròn
(I’)
r uuu
r u
uur là ảnh
uuu
r của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép
u = AB + 2 BC + 3CA
tịnh tiến theo vectơ
Bài 5. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân tại
A là BAE và CAF. Gọi I, M và J lần lượt là trung điểm của EB, BC và CF. Chứng minh rằng:
tam giác IMJ vuông cân.
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d:3x-5y+3=0 và d’:3x-5y+24=0.
r
r
v
= 13
Tr (d ) = d '
v
v

Tìm tọa độ vectơ biết
và

.
Bài 7. Cho đoạn thẳng AB cố định và một đường tròn cố định (O). Gọi C là điểm di động trên
(O). Vẽ hình bình hành ABCD.
Tìm tập hợp những điểm D. Vẽ hình tập hợp này.
Vẽ tam giác đều CDE. Tìm tập hợp những điểm E này và vẽ tập hợp này.
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm trong tam giác MBD. Giả sử
·
·
·AMD = BMC
·
MBC
= MDC
. Chứng minh rằng
Bài 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm. Gọi A là một giao điểm. Một
đường thẳng (d) di động qua A và gặp lại hai đường tròn trên tại M và N. Trên hai tia AM và
uuuu
r
uuu
r uuur MN
BA = AC =
2
AN lấy hai điểm B và C sao cho
. Tìm tập hợp các điểm B và C.
Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P, trên tia đối của tia CD
lấy điểm Q. Hãy xác định điểm M trên BC và điểm N trên AD sao cho MN//CD và PN+QM
nhỏ nhất.
Bài 11. Cho đoạn thẳng AB và đường tròn(O;r) nằm về một phía của AB. Lấy M trên (O).
Dựng ABMM’ là hình bình hành. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (O).
Bài 12. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) và AD=R. Dựng các hình bình hành
DABM, DACM. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nằm trên đường

tròn (O;R).
Bài 13. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’, lấy hai điểm A và B không thuộc hai đường
thẳng đó sao cho đường thẳng AB không song song với d và d’. Hãy tìm M trên d và M’ trên
d’ sao cho tứ giác ABMM’ là hình bình hành.


Bài 14. Biết rằng tồn tại một phép tịnh tiến biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’) với
(C ) : x 2 + y 2 − 4 x + 2my + m 2 − 1 = 0
(C ') : x 2 + y 2 + 2(m − 2) − 6 y + 12 + m 2 = 0
và
. Tìm m để
có phép tịnh tiến đó.
PE ⊥ AB, PF ⊥ AC
Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm P thay đổi trên BC vẽ
.
ME 1
=
MF 3
Tìm tập hợp điểm M sao cho
.
Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1;2), đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán
2
2
kính R=3uuvà
uu
r đường
uu
r tròn (C’):x +y -2x-4=0. Tìm các điểm M và N lần lượt trên (C) và (C’)
MN = IA
sao cho

.
Bài 17. Cho hai địa điểm A và B ở hai bên bờ của một dòng sông có hai bờ song song với
nhau. Hãy dựng cây cầu MN vuông góc với bờ song sao cho quãng đường từ A đến B là ngắn
nhất.
Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho d:3x-y-9=0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có giá
song song hoặc trùng với trục hoành để biến d thành d’ đi qua gốc tọa độ. Viết phương trình
d’.
Bài 19. Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác một hình chữ nhật BCDE. Các đường
cao xuất phát từ D và E lần lượt vuông góc với AB và AC và cắt nhau tại I. Chứng minh rằng
AI và BC vuông góc nhau.
Bài 20. Cho tam giác ABC. Gọi A1, B2 và C3 lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB. Gọi
O1, O2, O3 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và I 1, I2, I3 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp
của các tam giác AB1C1, BA1C1, CA1B1. Chứng minh rằng hai tam giác O 1O2O3 và I1I2I3 bằng
nhau.
∆
∆
Bài 21. Cho hai đường tròn (O,R),
(O’,R’)
và
đường
thẳng
.
Dựng
d//
cắt (O) tại B vàC,
uuur uuuuu
r r r
BC − B ' C ' = v v
∆
cắt (O’) tại B’ và C’ sao cho

( cho trước và có giá song song với ).
Bài 22. Cho tam giác tam giác ABC có trực tâm H. Vẽ hình thoi BCDE. Gọi D 1, E1 lần lượt là
hình chiếu của D, E lên AB,uuAC.
uur Gọi
r M là giao điểm của DD1 và EE1.
DM = v
a. Chứng minh rằng:
không đổi.
b. Tìm tập hợp điểm M.
Bài 23. Cho đường
tròn
hai
uuu
uur (O)
uuurvà u
uur điểm A, B không đổi. Điểm M chạy trên (O). Tìm quỹ tích
MM ' + MA = MB
điểm M’ sao cho
.
Bài 24. Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,
DA. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
1
PM + NQ = ( AB + BC + CD + DA)
2
.
Bài 25. Cho hình bình hành ABCD, biết AB cố định. Dựng tam giác đều MBC. Tìm quỹ tích
M biết:
a. C chạy trên một đường thẳng cố định.
b. C chạy trên một đường tròn.

Bài 26. Cho hai đường tròn bằng nhau (O,R) và (O’,R) và cắt nhau
A và B. Một đường
uuur tại u
ur
CD
EF
thẳng d vuông góc với AB , cắt (O) tại C, D, cắt (O’) tại E, F với
và
cùng phương.
·CAE
a. Chứng minh rằng độ lớn của
không phụ thuộc vào vị trí của d.
b. Tính độ dài đoạn CE theo R.
Bài 27. Cho đường thẳng d cố định, hai điểm B và C cố định nằm cùng phía của d và không
thuộc d. Tìm quỹ tích điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành với A di động trên d.
Bài 28. Cho hai đường thẳng d:x+y+6=0 và d’:x+y-4=0. Biết rằng tồn tại một phép tịnh tiến
có giá của vectơ tịnh tiến song song hoặc trùng với đường thẳng m:x-y=0. Tìm vectơ của
phép tịnh tiến đó.
B. Bài tập: Phép quay:
Bài 1. Chứng minh rằng hợp thành của hai phép quay có cùng tâm quay là một phép quay.
Bài 2. Cho tam giác ABC. Gọi P và Q làuuu
hai
r điểm di động trên AB và AC sao cho AP=CQ.
uuur
CQ
AP
a. Xác phép quay biến
thành
.

b. Chứng minh rằng đường tròn (APQ) luôn đi qua một điểm cố định khác A.
Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Cho biết BC cố định, A di động trên cung
lớn BC. Trên tia CA lấy đoạn CM=BA. Tìm tập hợp điểm M.
Bài 4. Cho đường tròn tâm A bán kính R và một điểm cố định O. Ứng với mỗi điểm M lưu
động trên (A;R) ta dựng tam giác đều OMN theo chiều dương. Tìm tập hợp điểm N.
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là A(a;0) và B(0;a) với a>0 cho
trước. Trên tia Ox lấy điểm M, trên tia Oy lấy điểm N sao cho OM+ON=2a.
a. So sánh AM và BN.
b. Chứng minh rằng trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định I. Tam
giác IMN là tam giác gì? Vì sao?
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định là A(a;0) và B(0;a) với a>0 cho
trước. Một đường thẳng lưu động song song với AB cắt Oy tại N và cắt đường thẳng có
phương trình y=a tại M. Chứng minh rằng đường cao xuất phát từ M trong tam giác AMN đi
qua một điểm cố định.
Bài 7. Cho tam giác đều ABC. Từ một điểm M thuộc miền trong của tam giác này kẻ các
đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC và cắt các cạnh tại P, L, N, Q, H, K
∈
∈
∈
∈
∈
∈
với PL//AB, P AC, L BC, QH//AC, Q AB, H BC, NK//BC, N AC, K AB.
a. Chứng minh rằng QL=KH
∩
b. Gọi I=QL HK. Chứng minh rằng tứ giác BKIL nội tiếp đường tròn.
Bài 8. Cho tam giác giác ABC có các đỉnh được kí hiệu theo hướng âm, dựng bên ngoài tam
giác này hai hình vuông ABDE và BCKF. Gọi P là trung điểm cạnh AC, H là điểm đối xứng
của D qua B, M là trung điểm đoạn FH.uuu
r

uuu
r
BA
BP
a. Xác định ảnh của hai vectơ
và
qua phép quay tâm B góc quay 900.
b. Chứng minh rằng DF=2BP và DF vuông góc với BP.
Bài 9. Cho hai đường thẳng d1 và d2, hai điểm A và G không thuộc d1, d2. Hãy dựng tam giác
ABC có trọng tâm G và hai đỉnh B, C lần lượt nằm trên d1, d2.
Bài 10. Về phía ngoài hình bình hành ABCD dựng các hình vuông có cạnh lần lượt là AB,
BC, CD, DA. Chứng minh rằng bốn tâm của hình vuông đó là bốn đỉnh của một hình vuông.


Bài 11. Cho
đường
uuuuhai
r uu
uuu
r tròn (O1;R) và (O2;R). M và N lưu động lần lượt trên (O 1;R) và (O2;R)
(O1M , O2 M ) = α
sao cho
(theo chiều dương). Chứng minh rằng trung trực MN qua một điểm
cố định.
Bài 12. Cho tam giác ABC đều. Lấy E trên cạnh AB, F trên cạnh AC sao cho AE=CF. Hãy
dùng phép quay biến AE thành CF. Chứng minh rằng trung trực của EF luôn đi qua một điểm
cố định.
Bài 13. Cho tam giác ABC. Vẽ phía ngoài tam giác này hai tam giác vuông cân tại A là ABE
và ACF. Gọi M là trung điểm của BC và AM cắt EF tại H. Chứng minh rằng AH là đường
cao của tam giác AEF.

Bài 14. Cho đường tròn (O), đường thẳng d và điểm I. Tìm điểm A trên (O) và điểm B trên d
sao cho I là trung điểm AB.
Bài 15. Cho tam giác ABC. Dựng bên ngoài tam giác này hai hình vuông ABDE và ACMN.
Kẻ trung tuyến AF của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
⊥
a. AF MN
b. NE=2AF
Bài 16. Cho hai tam giác vuông cân là OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên
đoạn AB’ và nằm ngoài đoạn thẳng A’B. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác
OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng GOG’ là tam giác vuông cân.
Bài 17. Cho hai tam giác OAB và OA’B’ vuông cân tại O. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm
của tam giác OAA’ và OBB’. Chứng minh rằng OG=OG’.
Bài 18. Trên các cạnh của tam giác ABC dựng các tam giác đều BAC’ và CAB’ nằm ngoài
của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a. AA’=BB’=CC’
b. Ba đường AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O.
Bài 19. Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C với điểm B nằm giữa A và C. Dựng về một phía của
đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.
a. Chứng minh rằng AF=EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC là 600.
b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AE và FC. Chứng minh rằng tam giác
BMN đều.
Bài 20. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC. Điểm A chạy trên nữa đường tròn này.
Dựng phía ngoài tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa
đường tròn cố định.
Bài 21. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông BCIJ, ABEF,
ACMN và gọi O, P, Q lần lượt là tâm của chúng. Gọi D là trung điểm AB.
a. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D
⊥
b. Chứng minh rằng AO PQ và AO=PQ
Bài 21. Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm A nằm trên a ta

dựng tam giác ABC có trọng tâm G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên a.
Bài 22. Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b, C<120 0. Tìm điểm M nằm trong tam giác ABC
sao cho MA+MB+MC nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 23. Cho tam giác ABC. Vẽ bên ngoài tam giác các hình vuông ABDK, BCEF, CAGH lần
lượt có tâm O1, O2, O3.
⊥
a. Chứng minh rằng BG=KC và BG KC.
b. Chứng minh rằng IO1=IO3 ( I trung điểm BC )
⊥
c. Chứng minh rằng AE=BH và AE BH.


»AB

Bài 24. Điểm M chạy trên cung lớn
của đường tròn tâm O, với A và B cố định. Trên
đoạn BM lấy N sao cho BN=AM. Tìm quỹ tích điểm N.
Bài 25. Cho hình vuông ABCD và M nằm trên AB. Đường thẳng qua C vuông góc với CM,
cắt AB và AD tại E và F. Gọi N là giao điểm của CM và AD. Chứng minh rằng:
a. CM+CN=EF
1
1
1
+
=
2
2
CM
CN
AB 2

b.
∆
∆
Bài 26. Cho đường thẳng và một điểm A cố định, A không nằm trên . M là điểm di động
∆
trên , dựng tam giác AMN vuông cân tại A. Tìm quỹ tích điểm N.
Bài 27. Về phía ngoài tam giác ABC vẽ các hình vuông BCMN và ACPQ có tâm O và O’.
a. Chứng minh rằng khi cố định điểm A, B và cho điểm C thay đổi thì đường thẳng
NQ luôn đi qua một điểm cố định.
b. Gọi I là trung điểm AB. Chứng minh rằng IOO’ là tam giác vuông cân.
Bài 28. Cho tam giác đều ABC. Gọi QA, QB là các phép quay góc 600 lần lượt có tâm ở A và
B. Gọi F là hợp thành của QA, QB.
a. F biến các điểm A, B, C thành các điểm nào ?
b. F là phép gì ?
ϕ
Bài 29. Cho tam giác ABC có góc A= và một điểm M nằm trên cạnh AB. Hãy dựng trên
các đường thẳng BC, CA các điểm N, P tương ứng sao cho MP=MN và đường tròn đi qua A,
M, P tiếp xúc với MN.
Bài 30. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(1;2), B(3;4) và
3
3
cos A =
, cos B =
5
10
Bài 31. Cho tam giác đều ABC. Tìm tập hợp điểm M trong tam giác ABC sao cho
MA2+MB2=MC2.
Bài 32. Cho hai đường tròn đồng tâm. Hãy dựng hình vuông sao cho hai đỉnh liên tiếp của nó
nằm trên đường tròn thứ nhất và hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn thứ hai.
Bài 33. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O. Lấy M thuộc cung nhỏ BC. Chứng

minh rằng AM=MB=MC.
Bài 34. Cho tam giác ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P sao
AM BN CP
=
=
MB NC PA
cho:
. Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của AN và CM , AN và BP, MC và
BP. Chứng minh rằng IJK là tam giác đều.
Bài 35. Cho hình vuông ABCD có tâm O. Lấy M và N sao cho MA=MB, NO=NA. Tìm ảnh
của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc quay 900.
Bài 36. Cho đường tròn O có đường kính AB cố định và đường kính MN thay đổi. Các
đường thẳng AM, AN cắt các tiếp tuyến tại B lần lượt tại P, Q. Tìm quỹ tích trực tâm các tam
giác MPQ và NPQ.
Bài 36. Cho hình bình hành ABCD. Hai đỉnh A, B cố định, tâm I thay đổi di động trên đường
tròn (K). Tìm quỹ tích trung điểm M của BC.