Dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 trường THPT quan sơn 2 với chuyên đề sử dụng phương pháp véctơ để giải một số bài toán hình học không gian

Sáng kiến kinh nghiệm

Nội dung

Trang

MỤC LỤC

1

PHẦN MỞ ĐẦU

2

1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng và phạm vi ngiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận
2. Thực trạng nghiên cứu
3. Giải pháp thực hiện
3.1. Các yêu cầu cơ bản khi giải bài toán hình học không gian bằng
phương pháp véc tơ
3.2.Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian bằng
phương pháp véctơ
3.3 Một số biện pháp để tổ chức thực hiện
3.4.Một số dạng toán sử dụng phương pháp
Dạng 1: Phần quan hệ song song:
Dạng 2: Phần khoảng cách và góc
Dạng 3: Phần quan hệ vuông góc

4. Hiệu quả của sáng kiến
PHẦN KẾT LUẬN
Kết luận
TÀI LIỆU THAM KHẢO
MỤC LỤC

2
2
3
3
4
4
4
6
6
6
6
6
7
10
14
16
18
18
19

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:

GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

1


Sáng kiến kinh nghiệm

Toán học là một môn khoa học công cụ. Tuy nó không trực tiếp sản xuất ra
vật chất nuôi sống con người nhưng là một môn khoa học công cụ nên bất kỳ
một môn khoa học nào cũng cần phải có Toán học.
Để học tốt bộ môn Toán học không phải là chuyện đơn giản. Có người
học rất nhiều, rất chăm nhưng chỉ giải được các bài toán thông thường, đơn giản,
quen thuộc mà thôi. Còn đứng trước một bài toán mới thì rất lúng túng, gặp
nhiều khó khăn. Phải chăng tư duy toán học còn hạn chế chưa chịu khó suy
nghĩ, chưa định hướng, linh hoạt áp dụng kiến thức, định lí vào giải toán.
Trong cải cách giáo dục phổ thông, một trong các nhiệm vụ cơ bản của
chương trình hình học là “Bồi dưỡng kỹ năng vận dụng phương pháp véctơ vào
việc nghiên cứu một số hình hình học, một số quan hệ hình học ...Việc sử dụng
vectơ để giải bài toán hình học”. Chính vì vậy, việc giáo viên hướng dẫn học
sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải bài toán là cần thiết và phù hợp với xu
thế cải cách giáo dục hiện nay.
Mặt khác khi đứng trước một bài toán hình học không gian thì học sinh mới
chỉ dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) và phương pháp toạ độ (lớp
12) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng.
Hơn nữa, năm học 2015- 2016 tôi được phân công dạy lớp 11A1 có tiết tự
chọn, được phân công dạy bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 qua thực tế giảng
dạy, tôi thấy có một số học sinh tư duy tốt. Với tư tưởng không chỉ dạy kiến
thức cho các em mà còn dạy hình thành ở các em phương pháp suy luận, khả
năng vận dụng, kết nối các kiến thức để đưa ra phương pháp giải mới cho các

bài toán. Giáo viên phải thực hiện điều đó và hướng dẫn học sinh ngay trong các
tiết học tự chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi. Vì lí do trên tôi chọn đề tài: Dạy
học Bồi dưỡng học sinh giỏi khối 11 Trường THPT Quan Sơn 2 với chuyên
đề: “Sử dụng phương pháp véc tơ để giải một số bài toán hình học không
gian”
2. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích của sáng kiến này là người viết muốn :
- Trang bị cho học sinh giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp
véc tơ.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó giúp học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo khi giải toán.
- Nâng cao chất lượng giáo dục mũi nhọn môn toán của nhà trường.

GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

2


Sáng kiến kinh nghiệm

- Phát triển ở học sinh những năng lực phẩm chất trí tuệ góp phần tích cực vào
việc giáo dục tư tưởng đạo đức thẩm mỹ của người công dân.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là học sinh khối 11
trường THPT Quan sơn 2.
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp quan sát (công việc dạy - học của giáo viên và học sinh).
- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…).

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của học sinh thông qua
trao đổi trực tiếp).
- Phương pháp thực nghiệm.

PHẦN NỘI DUNG
GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

3


Sáng kiến kinh nghiệm

1. Cơ sở lý luận:
Một trong những phương thức phát triển năng lực tư duy sáng tạo trong
giải toán là rèn luyện khả năng phát hiện các ứng dụng đa dạng của hệ thống
kiến thức Toán được học trong nhà trường. Trong chương trình toán học phổ
thông, phương pháp vectơ đóng một vai trò quan trọng. Đó là một công cụ khá
mạnh và hữu hiệu để giải một số bài toán hình học một cách nhanh gọn và dễ
hiểu. Xét về mặt khoa học, phương pháp vectơ khá trừu tượng, có nhiều công
thức khó nhớ và nhiều bài toán khó hiểu. Cái khó hơn nữa là việc chuyển các sự
kiện hình học của bài toán được diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp sang
ngôn ngữ vectơ và ngược lại. Tuy nhiên, đây là một chủ đề khá “lôi cuốn”đối
với những học sinh đam mê toán học, bởi nó đòi hỏi người học phải tư duy, tìm
tòi và sáng tạo.
Việc nghiên cứu đề tài này là thực hiện yêu cầu của việc đổi mới phương
pháp dạy học nói chung, dạy học môn Toán trong chương trình Trung học phổ
thông nói riêng. Trong đó, việc phát huy tính chủ động tích cực và sáng tạo của
học sinh trong quá trình học tập có ý nghĩa rèn luyện các em trở thành những

con người năng động, có khả năng chủ động giải quyết được các vấn đề đặt ra
trong học tập cũng như trong cuộc sống sau này.
2. Thực trạng nghiên cứu:
Trong chương trình cải cách giáo dục, việc trình bày phương pháp vectơ
có liên quan mật thiết đến phương pháp toạ độ. Khái niệm trục toạ độ, hệ trục
toạ độ học sinh đã được làm quen trong chương trình toán cấp 2. Trong chương
trình hình học THPT, Ban cơ bản: Ở lớp 10 học sinh làm quen với phương pháp
véctơ, sau đó dùng véctơ để xây dựng hệ toạ độ trên mặt phẳng. Sang lớp 11 học
sinh được làm quen với véctơ trong không gian, sử dụng vectơ để nghiên cứu
quan hệ vuông góc trong không gian. Ở lớp 12 vectơ được sử dụng để nghiên
cứu một số quan hệ hình học và xây dựng hệ trục toạ độ trong không gian.
Nhưng chưa đi sâu vào việc trình bày lời giải các bài toán hình học không gian
bằng phương pháp véc tơ. Một số định lí đóng vai trò “bản lề ” trong việc
chuyển từ khái niệm vectơ sang khái niệm toạ độ: Định lí về hai véctơ cùng
phương; Định lí về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong
mặt phẳng; Định lí về phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng
trong không gian.

GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

4


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số người cho rằng giờ học tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi là chỉ
việc ra bài tập cho học sinh ngồi làm, mục đích là rèn luyện “kĩ năng giải toán
cho học sinh”. Việc dạy tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi không hoàn toàn như

vậy. Nếu trong các tiết học theo phân phối chương trình, thầy và trò cần trao đổi,
truyền đạt các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa để học sinh thu lượm được
kiến thức và kỹ năng giải toán một cách tốt nhất thì trong giờ học tự chọn, bồi
dưỡng học sinh giỏi, người thầy cần định hướng giúp học sinh tìm ra những
phương pháp giải mới, hay nhằm phát huy tính sáng tạo, khả năng học tập ở các
em. Để làm được điều này, người thầy cần phải chuẩn bị bài giảng một cách
công phu và tổ chức các hoạt động dạy học tích cực để học sinh có thể hiểu sâu
hơn các kiến thức cơ bản, hình thành kỹ năng giải toán và kích thích niềm yêu
toán.
Việc hướng dẫn các em nắm chắc kiến thức cơ bản, biết liên kết, móc nối
các bài toán nhằm giúp các em hiểu sâu và nhớ lâu, từ đó mở rộng bài toán, đi
tìm kiến thức mới. Đó chính là cách tốt nhất để hình thành năng lực học toán
cho các em.
Việc hình thành cho học sinh phương pháp học và tự học Toán là nhiệm
vụ của người giáo viên Toán. Cụ thể là dạy học sinh cách tìm tòi, dự đoán, tự đi
tìm kiến thức mới, biết so sánh, đối chứng, biết lật lại vấn đề, biết suy xét tính
chân thực của bài toán ..., giúp các em có trí tưởng tượng phong phú, lập luận
lôgic, trình bày khoa học và một thế giới quan duy vật biện chứng.
Trường THPT Quan sơn 2 là trường ở vùng cao biên giới phía tây tỉnh
Thanh Hóa. Hiện nay, chất lượng học tập của đa số học sinh còn thấp. Các em
chưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương trình phân hoá học sinh. Nhà trường
chưa có điều kiện tốt để học sinh khá giỏi, học sinh yếu kém phát triển nhận
thức phù hợp với từng đối tượng học sinh. Học sinh hổng kiến thức từ lớp dưới
rất lớn. Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy học theo phương pháp mới. Đặc
biệt lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với học sinh vùng sâu vùng xa. Cho nên
việc nâng cao chất lượng đại trà là nhiệm vụ trong tâm của nhà trường. Việc bồi
dưỡng học sinh giỏi được chú ý nhưng chưa được đề cao, chưa tạo được hứng
thú với nhiều học sinh.
Có lẽ ai cũng nhận thấy điều đó. Đội ngũ giáo viên của trường đang trực
tiếp giảng dạy, các cấp lãnh đạo, các ngành đã làm gì để khắc phục tình trạng đó.

Theo tôi, đây là vấn đề hạn chế đang tồn tại, nếu ta không có giải pháp hợp lí.
3. Giải pháp thực hiện:

GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

5


Sáng kiến kinh nghiệm

3.1. Các yêu cầu cơ bản khi giải bài toán hình học không gian bằng
phương pháp véc tơ:
- Học sinh cần nắm chắc được một số định lí: Định lí về hai véctơ cùng phương;
Định lí về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong mặt
phẳng; Định lí về phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng trong
không gian...
- Học sinh cần có kỹ năng biến đổi các biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo
hệ véc tơ cho trước và ghi nhớ một số bài toán cơ bản...
3.2. Quy trình chung để giải bài toán hình học không gian bằng
phương pháp véctơ:
Bước 1.Lựa chọn một số véctơ mà ta gọi là “ hệ véctơ cơ sở’’; “phiên
dịch” các giả thiết, kết luận của bài toán hình học không gian đã cho ra
“ngôn ngữ” véctơ .
Bước 2. Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành
các phép biến đổi các hệ thức véctơ theo hệ vectơ cơ sở.
Bước 3. Chuyển các kết luận vectơ sang các tình chất hình học không
gian tương ứng.
3.3 Một số biện pháp để tổ chức thực hiện:

3.3.1. Hình thức luyện tập trên lớp có sự hướng dẫn của giáo viên:
- Thực hiện trong phạm vi một số buổi chữa bài tập của các buổi học chính khoá
, tự chọn với các bài tập ở mức độ vừa phải. Giáo viên đưa ra phương pháp giải,
ví dụ mẫu và hệ thống bài tập, học sinh nêu các lời giải có thể có được của bài
toán. Sau đó cho học sinh tìm tòi, phát hiện một số vấn đề xung quanh bài giải ở
mức độ đơn giản.
- Thực hiện một số buổi trong công tác bồi dưỡng đối với những học sinh khá
hơn ở mức độ những bài toán cao hơn.
3.3.2.Hình thức tự nghiên cứu các bài toán có sự hướng dẫn của giáo
viên:
Hình thức này cũng cần thực hiện liên tục trong quá trình học tập của học
sinh, làm cho khả năng tư duy, tính sáng tạo của học sinh ngày càng được tăng
lên.
3.4.Một số dạng toán sử dụng phương pháp:
Chúng ta biết rằng không có một chìa khoá vạn năng nào có thể dùng để
mở khoá “giải” mọi bài toán. Vì vậy trong đề tài này tôi đã phân chia, sắp xếp
các bài tập thành những dạng khác nhau, và trong mỗi dạng đó tôi cố gắng lựa
chọn các ví dụ, bài tập điển hình nhất, qua đó nhằm rèn luyện cho học sinh các
GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

6


Sáng kiến kinh nghiệm

kĩ năng biến đổi vectơ đơn giản làm tiên đề cho các kĩ năng chuyển các sự kiện
của bài toán diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ vectơ và
ngược lại.

Các bài toán minh hoạ cho các dạng toán:
Dạng 1. Phần quan hệ song song:
Bài toán 1. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi
uuur
uuur
và chỉ khi AB = kCD .
r r

Bài toán 2. Cho hai a, b không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB
uuur

r

r

không thuộc (P) . Khi đó :AB//(P) ⇔ AB = xa + yb .
Bài toán 3. Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) và (MNP).
Khi đó: (ABC) / / ( MNP )

uuu
r
uuuu
r
uuur
 AB = xMN + yMP
⇔  uuur
uuuu
r
uuur .
 AC = x1 MN + y1 MP

Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N, E, F lần lượt là trọng
tâm của các tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1. Chứng minh : MN // EF.
Lời giải:
Bước1:Chọn hệ véc tơ cơ sở
uuur

r uuur r uuur

r

{ AA = a, AB = b, AC = c}
1

Theo bài ra:
+M là trọng tâm của tam giác
AA1B1:
uuuu
r 1 uuur uuur
AM = ( AA1 + AB1 )
3

B1

N

A1

(1)

C1

M

+N là trọng tâm của tam giác
A1B1C1:
uuur 1 uuur uuur uuuu
r
AN = ( AA1 + AB1 + AC1 )
3

F

(2)

B

+E là trọng tâm của tam giác ABC:
uuur 1 uuur uuur
AE = ( AB + AC )
3

E

(3)
C

A

+F là trọng tâm của tam giác BCC1:

uuur 1 uuu
r uuur uuuu
r
AF = ( AB + AC + AC1 )
3
uuuu
r
uuur
+ MN / / EF ⇔ MN = k EF

(4)

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ

GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

7


Sáng kiến kinh nghiệm
uuuu
r uuur uuuu
r 1 r r
a + c (5)
3
uuur uuur uuur 1 r r
Từ (3), (4): EF = AF − AE = a + c (6)
3

uuuu
r uuur
Từ (5), (6): MN = EF (7)

(

Từ (1), (2): MN = AN − AM =

)

(

)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (7) : MN // EF.
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N lần lượt là trung điểm
các cạnh AA1, B1C1. Chứng minh: MN // (DA1C1).
Lời giải:
Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở
B1

{

N

C1

uuur r uuur r uuuur r
DA = a, DC = c, DD1 = b

}

uuuur 1 uuur uuuu
r
+ M là trung điểm AA1: DM = DA + DA1
2
uuur 1 uuuu
r uuuur
+ N là trung điểm B1C1: DN = DB1 + DC1
2
uuuu
r
uuuur
uuuu
r
+ MN / / ( DA1C1 ) ⇔ MN = xDC1 + yDA1

(

)

(

(1)

)

(2)
(3)

M

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
uuuu
r uuur uuuur

(

)

(

Suy ra:

uuuu
r uuuur 1 uuuu
r
MN = DC1 − DA1
2

C

B

1 r r r
− a + 2c + b
2
1 r r r r
= c−a+c+b

2

Từ (1), (2): MN = DN − DM =

D1

A1

A

D

)
(4)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
Từ (4) : MN // (DA1C1).
Ví dụ 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
các cạnh AA1, CC1 và G là trọng tâm của tam giác A1B1C1.
Chứng minh: (MGC1) // (AB1N).
Lời giải:
uuur

r uuur r uuur

r

Bước 1: Chọn hệ véc tơ cơ sở { AA1 = a, AB = b, AC = c}
uuuu
r

1 uuur
2

+M là trung điểm AA1: AM = AA1

GV Phan Thị Quỳnh

(1)

Trường THPT Quan Sơn 2

8


Sáng kiến kinh nghiệm
uuur

+ N là trung điểm CC1: AN =

r
1 uuur uuuu
AC + AC1
2

(

)

B1

(2)

+ G là trọng tâm của tam giác A1B1C1:
uuur 1 uuur uuur uuuu
r
AG = ( AA1 + AB1 + AC1 )
3
uuuu
r
uuur
uuur
 MG = x AB1 + y AN
(MGC1 ) / / ( AB1 N ) ⇔  uuuur
uuur
uuur
 MC1 = x1 AB1 + y1 AN

G

(3)
(4)

M

Bước 2: Biến đổi các biểu thức véc tơ
Ta có:

N

B

uuuu
r uuur uuuu
r 1 r 1r 1r
MG = AG − AM = a + b + c
(5)
2
3
3
uuuu
r
uuur
uuuu
r
r
r
1 r
MG = x AG − y AM = ( x + y )a + xb + yc
(6)
2
r r r
Từ (5) và (6) , do a, b, c không đồng phẳng nên ta

A
C

1
1
2 = x + 2 y


1
 =x
3
1
3 = y


có:

⇒x= y=

C1

A1

r 1 uuur 1 uuur
1 uuuu
⇒ MG = AB1 + AN
3
3
3

(7)

Ta có:
uuuur uuuu
r uuuu
r r r 1r 1r r
MC1 = AC1 − AM = a + c − a = a + c

2
2
uuur uuur uuur 1 r r
AN = AC + CN = a + c
2
uuuur uuur
Từ (8) và (9): MC1 = AN

(

)

(8)
(9)

(10)

Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học không gian
uuuu
r 1 uuur 1 uuur
3
3
uuuur uuur
Từ (10) : MC1 = AN ⇒ MC1 / / mp( AB1 N )

Từ (7) : MG = AB1 + AN ⇒ MG//mp(AB1 N )

(11)
(12)

Từ (11) và (12) : mp( MGC1 ) / / mp( AB1 N )
Bài tập vận dung:
Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Giả sử E là tâm của mặt ABB 1A1;
N, I lần lượt là trung điểm của CC1 và CD . Chứng minh : EN//AI.

GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

9


Sáng kiến kinh nghiệm

Bài 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N lần là trọng tâm
các tam giác ABA1 và ABC . Chứng minh : MN//(AA1C1).
Bài 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Giả sử M, N, E lần lượt là
trung điểm BB1, CC1, AA1. G là trọng tâm tam giác A1B1C1.
Chứng minh: (MGC1)//(BA1N)
Dạng 2. Phần góc và khoảng cách:
Bài toán 4. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo công thức:
uuur uuur
AB.CD
cosϕ = uuu
r uuur
AB . CD
uuur

uuur2

Bài toán 5. Khoảng cách giữa hai điểm A và B là : AB = AB = AB
r

Bài toán 6. Cho điểm M và đường thẳng l có véc tơ chỉ phương a , điểm A thuộc
l. Tính khoảng cách từ M đến l.
Phương pháp giải:
uuuur ur
Đặt AM = m , gọi N là hình chiếu của M lên l.
uuuu
r uuur uuuu
r

uuuu
r

r ur

r

r ur r

Khi đó: MN = AN − AM = xa − m và MN ⊥ a ⇔ ( xa − m ) a = 0
uuuu
r

Khoảng cách cần tìm : MN =

r ur

( xa − m )

2

Bài toán 7. Cho (ABC), điểm M không thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến
(ABC) và góc giữa MA và (ABC).
Phương pháp giải:
uuuur ur uuur r uuur r
Đặt AM = m , AB = a, AC = b , gọi N là hình chiếu của M lên (ABC).
uuuu
r uuur uuuu
r

r

r ur

Khi đó : MN = AN − AM = xa + yb − m

Do MN ⊥ ( ABC ) nên 


r
r ur r
( xa + yb − m)a = 0
r ur r
 r
( xa + yb − m)b = 0

Khi cho biết x,y ta tìm được khoảng cách từ M đến (ABC) bằng
r

r

r

ur

r

r

r

r

( xa + yb − m )

2

.Nếu xa + yb ≠ 0 thì góc giữa AM và (ABC) bằng góc giữa m và xa + yb , còn
r
r r
xa + yb = 0 thì AM ⊥ (ABC).

Bài toán 8. Cho đường thẳng chéo nhau, d1 đi qua A1 và có véc tơ chỉ phương
ur
uu
r
a1 ; đường thẳng d2 đi qua A2 và có véc tơ chỉ phương a2 .

Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng trên.
Phương pháp giải:

GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

10


Sáng kiến kinh nghiệm
ur uu
r
a1.a2
+ Góc giữa hai đường thẳng : cosϕ = ur uur
a1 . a2

+Đoạn vuông góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), khi đó:
uuuu
r ur
 P1 P2 .a1 = 0
uuuu
r
ur ur
uu
r
⇒ x, y
r uu
r
P1 P2 = xa1 + m + ya2 . Do  uuuu

 P1 P2 .a2 = 0
uuuu
r
ur ur
uu
r
Khoảng cách cần tìm: P1 P2 = ( xa1 + m + ya2 )2

Ví dụ 4: Cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 bằng a, các điểm O và
O1 tương ứng trọng tâm của các dáy ABC và A 1B1C1.Độ dài hình chiếu của đoạn
thẳng AO1 trên đường thẳng B1O bằng
Lời giải:
Chọn hệ véc tơ cơ sở

5a
.Hãy tính đường cao của lăng trụ.
4
A1

uuuur

ur uuu
r r uuur ur
= m, AB = n, AC = p .
ur
Giả sử h = m

{ AA

}

1

C1
O1

B1

Ta có:
uuuu
r 1 uuuur uuur uuuu
r 1 ur r ur
AO1 = AA1 + AB1 + AC1 = 3m + n + p
3
3
uuur uuur uuur 1
ur r ur
B1O = AO − AB1 = −3m − 2n + p
3

(

)

(

(

)
A

)

C

O

B

Suy ra:
uuuu
r uuur 1
AO1 = B1O =
9h 2 + 3a 2
3
uuuu
r uuur
1
6h 2 + a 2
AO1.B1O = − ( 6h 2 + a 2 ) , cosϕ =
6
2 ( 3h 2 + a 2 )
uuuu
r

Vì: AO1 .cosϕ =
nên

5a
4

9h 2 + 3a 2 (6h 2 + a 2 ) 5a
a 6
=
⇒h=
2
2
6(3h + a )
6
3

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA=4.Điểm D nằm trên cạnh
SC, CD=3, còn khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2. Tính thể tích của
hình chóp.
Lời giải:
uur r uur r uuu
r r
SA
=
a
,
SB
=
b
,
SC
=c
Chọn hệ véc tơ cơ sở

{

}

Đặt ϕ là góc phẳng ở đỉnh của hình chóp.
GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

11


Sáng kiến kinh nghiệm

N là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng BD.
uuur uuur uuur
uuur uuur
r
r
r
AN = DN − DA = xDB − DA = − a + xb) + (1 − x )c Do

AN ⊥ DB

S

uuur uuur
r
r
r r r
⇒ AN .DB = 0 ⇔ −a + xb + (1 − x)c (b − c) = 0

(

)

D

⇔ (17 x − 1) − 8( x + 1)cosϕ = 0

(1)

Mặt khác:

C

A

uuur 2
AN = 2 ⇔ AN = 4 ⇔ 17 x 2 − 2 x + 13 − 8( x + 1) 2 cos ϕ = 0 (2)
7
9

Từ (1) và (2) ta được x = .Vì vậy : cosϕ =
uuur 2

N

55
64

B

Mặt khác: AN = 2 ⇔ AN = 4 ⇔ 17 x 2 − 2 x + 13 − 8( x + 1) 2 cos ϕ = 0 (2)
7
9

Từ (1) và (2) ta được x = .Vì vậy : cosϕ =

55
64

Ta tính độ dài đường cao của hình chóp SO.
Vì
O
là
trọng
tâm
của

tam

giác

ABC

nên

uuu
r 1 uur uur uuu
r 1 r r r

SO = SA + SB + SC = a + b + 4c
3
3
uuu
r 1 r r r 2 1
1
⇒ SO =
a + b + 4c =
48 + 96cosϕ =
58
3
3
2
uuur 2 r r 2 9
AB = b − a =
2
uuur 2
AB 3 uuu
r 3 174
1
Vậy: VS . ABC =
.
. SO =
3
4
16

(

)

(

(

)

)

Ví dụ 6: Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC cạnh bằng 4 2 , cạnh
bên SC vuông góc với đáy và có độ dài bằng 2. M,N lần lượt là trung điểm BC,
AB.Hãy tìm số đo của góc và khoảng cách giữa SM và CN.
Lời giải:

GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Ta chọn hệ véc tơ cơ sở

{

S

uuu

r r uuu
r r uuu
r r
CA = a, CB = b, CS = c

}

+Ta tìm góc ϕ giữa SM và CN?
Ta có:

P

C

uuur uuuu
r uuu
r 1 r r
SM = CM − CS = (b − 2c)
2
uuur 1 r r
CN = (a + b)
2

A
Q

M

N

Khi đó:

B

uuur uuur
SM .CN
2
cosϕ = uuur uuur =
⇒ ϕ = 450
2
SM . CN

+Tính khoảng cách giữa SM và CN?
Gọi P thuộc SM và Q thuộc CN. Khi đó:
uuur
uuur
uuur uuu
r 1 r
r
r
PQ = xSM + yCN + SC =  ya + ( x + y ) b − ( 2 x + 2 ) c 
2

Do PQ là đoạn vuông góc chung của SM và CN nên:
2

uuur uuur r
x=−

 PQ.SM = 0

3 x + 3 y = −1 
3
⇔
 uuur uuur r ⇔ 
x + 2 y = 0
y = 1
 PQ.CN = 0

3
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
⇒ PQ = a − b − 2c ⇒ PQ =
a − b − 2c
6
6

(

)

(

)

2

=

2 3
3

Ví dụ 7: Đáy của hình chóp S.ABC là tam giác đều ABC với cạnh bằng 1, cạnh
SA vuông góc vuông góc với đáy, SA = 3 . Mặt phẳng ( α ) song song với các
đường thẳng SB và AC, mặt phẳng ( β ) song song với các đường thẳng SC và
AB. Tính giá trị của góc giữa hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
Lời giải:

GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

13


Sáng kiến kinh nghiệm

Chon

hệ

véc

uuu
r r uuu
r r uuur

r

tơ

cơ

{ AS = a, AB = b, AC = c} .
ur r

sở

A

r

Giả sử m, n là các véc tơ bất kì khác 0 ,
tương ứng vuông góc hai mặt phẳng ( α )

C

và ( β ) ,
còn ϕ góc hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) .
ur r
m.n
Thế thì: cosϕ = ur r
m.n
ur
r
r r
Đặt m = xa + yb + zc

Ta có:

S

B

r r r
r r
uur ur
 b − c xa + yb + zc = 0
ur
 SB.m = 0
m ⊥ ( α ) ⇔  uuur ur
⇔ r r
r r
c ( xa + yb + zc ) = 0
 AC.m = 0

(

)(

 y = −23
6 x − 2 y − z = 0

⇔

1
 y + 2z = 0
 x = − 2 z

)

ur

Số phương trình bé hơn số ẩn, điều đó chứng tỏ m ⊥ ( α ) không được xác định
duy nhất.
ur r
r r
Chọn z = −1 ⇒ x = 1, y = 4 nên m = a + 4b − 2c là một trong các véc tơ vuông góc
với ( α )
uuu
rr
1

r r
r r
 SC.n = o
t = − u
⇔
2
Tương tự : n = ta + ub + vc ⊥ ( β ) ⇔  uuur r
v = −2u
 AB.n = 0
r r r r
Chọn : u = −2 ⇒ v = 4, t = 1 ⇒ n = a − 2b + 4c
ur r
m.n
1
Khi đó : cosϕ = ur r = .
m.n 5

Bài tập vân dụng.
Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c. Tính cosin

của góc giữa các cạnh đối diện.
Bài 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A 1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h.
Tính cosin của góc:
1.Giữa AB1 và BC1.
Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

14


Sáng kiến kinh nghiệm

Bài 4. Cho tứ diện đều SABC cạnh bằng 1. BD là đường cao của tam giác ABC
Tam giác đều BDE nằm trong mặt phẳng tạo với cạnh AC góc ϕ , biết rằng các
điểm S và E nằm về một phía đối với mặt phẳng (ABC). Tính SE.
Dạng 3. Phần quan hệ vuông góc:
Bài toán 9. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD vuông góc với nhau khi và chỉ
uuur uuur
khi AB.CD = 0 .
r r

Bài toán 10. Cho hai a, b không cùng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không
uuur r
 AB.a = 0
thuộc (P) . Khi đó :AB ⊥ (P) ⇔  uuur r
.

 AB.b = 0

Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. M và N là các điểm thuộc các
đường chéo BA1 và CB1 sao cho:

BM 1 CN 2
= ,
= . Chứng minh rằng:
MA1 2 NB1 1

MN ⊥ BA1 , MN ⊥ CB1 .

Lời giải:

uuu
r r uuur

r uuur r

Chọn hệ véc tơ cơ sở { BA = a, BB1 = b, BC = c}
r

r

r

rr

rr

C1

D1

rr

Khi đó: a = b = c = a; a.b = c.b = a.c = 0

A1

B1

Theo bài ra :

N

uuuu
r 1 uuur 1
BM 1
= ⇒ BM = BA1 =
3
3
MA1 2
uuur 2 uuur 2
CN 2
= ⇒ CN = CB1 =
3
3
NB1 1

r r

( a + b)
(

r r
b−c

M
D

)

C

A
B

Mặt khác:
uuur uuur uuur 1 r r
BN = BC + CN = 2b + c
3
uuuu
r uuur uuuu
r 1 r r r
MN = BN − MN = −a + b + c
3

(

)

(

)

Do đó:
uuuu
r uuur 1 r r r
MN .BA1 = −a + b + c
3
uuuu
r uuur 1 r r r
MN .CB1 = − a + b + c
3

r r

(

) ( a + b ) = 0 ⇒ MN ⊥ BA

(

) ( b − c ) = 0 ⇒ MN ⊥ CB

1

r r

1

Ví dụ 9:
Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có các mặt là các hình thoi bằng nhau.Các góc
phẳng của góc tam diện đỉnh A1 bằng nhau.

GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

15


Sáng kiến kinh nghiệm

Chứng minh rằng: A1C ⊥ ( AB1D1 ) .
Lời giải:
Chọn
hệ
véc
tơ
cơ
uuur

r uuuur

r uuuur

sở

r

{ A A = a, A B = b, A D = c}
1

Theo

1 1

1

C1
O1

1

giả

D1

B1

A1

thiết

:

·AA D = D
· A B = ·AA B = ϕ

1 1
1 1 1
1 1

Gọi m là độ dài cạch hình hộp.
Ta có:

D

uuur r r r uuur uuur r r r r r
A1C = a + b + c ⇒ A1C . AB1 = (a + b + c ) b − a = 0A
uuur uuur
⇒ A1C ⊥ AB1
(1)
uuur uuuu
r r r r r r
A1C. AD1 = (a + b + c ) c − a = 0
uuur uuuu
r
⇒ A1C ⊥ AD1 (2)

(

(

)

C

B

)

Từ (1) và (2) suy ra A1C ⊥ ( AB1 D1 )
Bài tập vân dụng.
Bài 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M,N lần lượt là trung điểm
cạnh AD và BB’. Chứng minh : MN ⊥ A’C.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ (ABC), SA=a 3 , AC=2a, AB=a, ·ABC = 900 .
Gọi M và N là hai điếm sao cho:
uuur uuur r
3MB + MS = 0
uuu
r uuur r
4 NS + 3NC = 0

Chứng minh: SC ⊥ (AMN).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC là tam giác cân tại A.
Vẽ SO ⊥ (ABC), D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ADC.
Chứng minh: DC ⊥ (SOE)).
4. Hiệu quả của sáng kiến:
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10 tôi thấy khi hướng dẫn học sinh sử dụng
véc tơ để giải các bài toán hình học phẳng, các bài toán về đại số thì học sinh
vận dụng rất tốt và hứng thú. Từ thực trạng trên trong quá trình dạy lớp 11 tôi đã
mạnh dạn dần dần hình thành phương pháp bằng cách phát triển từ bài toán cơ
bản đến bài toán ở mức độ khó hơn trong quá trình giảng dạy chính khoá cũng
như dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, để trang bị đầy đủ kiến thức véc tơ phổ thông,
trang bị thêm phương pháp giải toán hình học không gian cho học sinh, để khi
đứng trước bài toán hình học không gian học sinh có thể tự tin lựa chọn một
trong ba phương pháp để giải.
GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

16


Sáng kiến kinh nghiệm

Tôi nhận thấy, việc khai thác phương pháp véc tơ để giải các bài hình học
không gian để giúp học sinh tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều
cách giải khác nhau khi đứng trước bài toán hình học không gian là điều rất cần
thiết. Hơn nữa, phương pháp này không đòi hỏi học sinh phải tư duy trực quan
cao, mà chỉ cần học sinh nắm vững một số bài toán cơ bản trong sách giáo khoa
và một số kỹ năng biến đổi thuần tuý về mặt đại số thì có thể vận dụng phương
pháp để giải các bài hình học không gian một cách đơn giản và nhanh chóng. Từ
đó giúp học sinh tự tin hơn khi gặp các bài toán khó cũng như công việc khó
trong cuộc sống, hình thành ở bản thân các em tính kiên trì sáng tạo trong công
việc.
Sau khi nghiên cứu kỹ và vận dụng các biện pháp sư phạm được xây dựng
ở trên vào quá trình dạy học, tôi thấy không có gì trở ngại, khó khả thi trong việc
vận dụng các biện pháp này. Những dạng toán, bài toán, phương pháp giải mới
như vậy vừa kích thích được tính tích cực, độc lập của học sinh lại vừa giúp học
sinh được lĩnh hội những tri thức phương pháp mới trong quá trình giải toán.
Học sinh chủ động xây dựng kiến thức, phát hiện và chiếm lĩnh các đơn
vị kiến thức trong bài. Học sinh nắm được các kiến thức và phương pháp giải
mới các bài toán hình học không gian, học tập một cách tích cực hơn, đặc biệt là
đã hình thành được cho học sinh phương pháp tư duy mới. Học sinh đã bắt đầu
ham thích những dạng toán mà trước đây các em rất “ngại” - bởi vì luôn gặp
phải những kiến thức yêu cầu tư duy cao. Sau thời gian thực nghiệm học sinh
cảm thấy yêu thích môn Toán hơn, đặc biệt là kiến thức về hình học không gian.

Việc thực nghiệm các biện pháp sư phạm cho thấy các biện pháp sư phạm
đều có tính khả thi, bước đầu đem lại hiệu quả tốt.
Mức độ lĩnh hội, tiếp thu kiến thức tôi thu được trước và sau khi vận
dụng linh hoạt đề tài vào việc ôn luyện cho học sinh lớp 11A1 gồm 33 em học
sinh với việc bồi dưỡng học sinh giỏi như sau:
Trước khi vận dụng đề tài vào việc ôn luyện và bồi dưỡng:
Giỏi

Khá

TB

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

2

6,1

5

15,2

17

51,5

6

18,2

3

9

Sau khi đã vận dụng đề tài vào việc ôn luyện và bồi dưỡng:
Giỏi
SL

%

GV Phan Thị Quỳnh

Khá
SL

TB
%

SL

Yếu
%

SL

Kém
%

SL

Trường THPT Quan Sơn 2

%
17


Sáng kiến kinh nghiệm

5

15,2

20

60,6

7

21,2

1

3

0

0

Từ kết quả trên, tôi nhận thấy khả năng nắm bắt kiến thức và vận dụng kiến
thức của học sinh sau khi đã được ôn luyện, bồi dưỡng kiến thức là tương đối
tốt. Các em có vốn kiến thức sử dụng phương pháp vectơ để giải một số bài
toán hình học không gian tương đối vững. Đây chính là, nền tảng để học sinh
vận dụng vào việc giải các bài toán khó, tìm ra những phương pháp giải mới.
Như vậy, cho thấy việc ôn luyện và bồi dưỡng kiến thức theo những chuyên đề
cụ thể đạt hiệu quả rất tốt.

KẾT LUẬN
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được những kết quả chính sau đây:

1. Sáng kiến kinh nghiệm đã đưa ra: Các dạng toán giải bài toán hình học
không gian bằng phương pháp véc tơ. Trong các dạng toán đưa ra các dạng bài
toán, có ví dụ cụ thể và các bài tập tương tự.
2. Đã đề xuất được hai biện pháp nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học của
học sinh Trung học phổ thông khi học về chủ đề giải toán hình học không gian
bằng phương pháp véc tơ.
3. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả
của những dạng toán được đề xuất.
4. Với dung lượng 17 trang giấy A4 tương đương với 8 tiết học trên lớp.
Không nhất thiết giảng dạy tất cả nội dung đề tài này, mà với những dạng ta có
thể chọn lọc một vài ví dụ mẫu trong sáng kiến để giảng dạy cho học sinh.
5. Qua thực tế giảng dạy ở lớp 11A1, tôi đã trình bày trong một tiết
khoảng 1/10 nội dung sáng kiến này và đã bước đầu tạo được sự hứng thú cho
học sinh
Như vậy, có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện,
nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận
được.
Thời gian làm sáng kiến kinh nghiệm này ngắn, hơn nữa cũng do yêu cầu
dung lượng của một sáng kiến là không nhiều. Vì vậy, mà tôi chưa khai thác hết
GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

18


Sáng kiến kinh nghiệm

các vấn đề xung quanh phương pháp này. Rất mong được sự đóng góp của các
đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình./.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn
Hà Thanh, Phan Văn Viện, Sách giáo khoa hình học lớp 11- cơ bản- Nhà xuất
bản giáo dục.
2. Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà, Sách bài tập hình học lớp 11cơ bản- Nhà xuất bản giáo dục.
3. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn
Hà Thanh, Phan Văn Viện, Sách giáo viên hình học lớp 11- cơ bản- Nhà xuất
bản giáo 4. Sách hướng dẫn giảng dạy hình học lớp 11.
4. Bùi Văn Nghị (chủ biên), Trần Trung, Nguyễn Tiến Trung (2010), dạy học
theo chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán lớp 11, NXB Đại học sư phạm Hà Nội.
5. Đào Tam (chủ biên), Trần Trung (2010), tổ chức hoạt động nhận thức trong
dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông, NXB Đại học sư phạm Hà
Nội.

GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

19


Sáng kiến kinh nghiệm

Quan Sơn, ngày 20 tháng 05 năm 2016
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG TÔI CAM ĐOAN KHÔNG COPPY

Nguyễn Mạnh Cường

GV Phan Thị Quỳnh

Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

20


Sáng kiến kinh nghiệm

GV Phan Thị Quỳnh

Trường THPT Quan Sơn 2

21