Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung trong phần tổ hợp xác suất ở trường THPT triệu sơn 2

MỤC LỤC
Trang
I. Mở đầu.......................................................................................................2
1.1. Lí do chọn đề tài.....................................................................................2
1.2. Mục đích nghiên cứu..............................................................................2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.............................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu........................................................................2
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm..............................................................3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm................................................3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề......................................5
2.3.1. Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định
hướng phát hiện và giải quyết vấn đề............................................................5
2.3.2. Thường xuyên hướng dẫn học sinh thực hiện Tương tự hóa, Khái
qt hóa để tạo ra các bài tốn mới...............................................................8
2.3.3. Rèn luyện cho học sinh thực hiện phân chia ra thành các trường hợp
nhỏ để dễ thực hiện giải toán.......................................................................11
2.3.4. Ln linh hoạt trong giải tốn, đơi khi có thể sử dụng phương pháp
thủ cơng.......................................................................................................13
2.3.5. Khuyến khích học sinh sáng tạo trong giải toán...............................15
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường..........................................................17
III. Kết luận, kiến nghị................................................................................18
3.1. Kết luận................................................................................................18
3.2. Kiến nghị..............................................................................................18
Tài liệu tham khảo.......................................................................................19

1


I. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài

Bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhiệm vụ quan trọng trong việc nâng cao
chất lượng giáo dục, bồi dưỡng nhân tài cho nhà trường nói riêng, cho địa
phương nói chung. Bồi dưỡng học sinh giỏi là một cơng việc khó khăn và lâu
dài, địi hỏi nhiều cơng sức của thầy và trị. Trong những năm trước đây, kết quả
thi học sinh giỏi của Trường THPT Triệu Sơn 2 rất thấp. Tuy nhiên, những năm
gần đây, với sự nỗ lực của thầy và trò kết quả các kỳ thi học sinh giỏi của nhà
trường đã đạt được những thành công nhất định.
Phần Tổ hợp - Xác xuất trong chương trình tốn học phổ thơng là phần khó
đối với các em học sinh. Các bài tốn loại này mang tính tổng hợp và khái qt
hóa cao. Vì vậy nhiều học sinh học đến phần này thường ngại, sự say mê, sáng
tạo giảm. Những năm đầu dạy đội tuyển học sinh giỏi của trường, bản thân tơi
gặp nhiều khó khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán về
phần này.
Để giúp học sinh khắc phục tình trạng trên, giúp cho các em có sự say mê,
tư duy sáng tạo trong việc học phần Tổ hợp - Xác xuất. Tôi đã đọc tài liệu,
nghiên cứu, phân tích, cải tiến cách dạy, tìm tịi thêm các cơng thức khác, hướng
dẫn các em tự tìm tịi, tự phát triển ra các cơng thức mới dựa trên các cơng thức
đã có, các bài tập để trang bị cho các em lượng kiến thức để các em vận dụng
làm bài tập một cách khoa học hơn, sáng tạo hơn. Tạo ra sự hứng thú trong học
tập đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp giải bài tập khơng những loại
bài tập này mà cịn vận dụng cách tư duy đó cho các loại bài tập khác. Trong
khuôn khổ đề tài “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung
trong phần Tổ hợp - Xác suất ở Trường THPT Triệu Sơn 2” tôi chỉ nêu một
số phương pháp thường dùng để các em giải quyết bài tốn một cách khoa học
hơn, có cơ sở và có tính sáng tạo hơn. Từ đó để các em củng cố kiến thức, rèn
luyện khả năng nghiên cứu khoa học, đồng thời cũng trang bị thêm kiến thức
nhằm chuẩn bị tốt cho kỳ thi Học sinh giỏi năm học 2017-2018.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là tìm ra các phương pháp
dạy học phù hợp dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung trong phần

Tổ hợp - Xác suất ở Trường THPT Triệu Sơn 2.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là các đội tuyển học sinh
giỏi mơn Tốn Trường THPT Triệu Sơn 2.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về Tổ hợp, Xác xuất, Phương
pháp dạy học mơn Tốn, ... có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm.
2


Quan sát: Quan sát thực trạng Dạy - Học của đội tuyển HSG mơn Tốn nói
chung và phần Tổ hợp - Xác suất nói riêng ở Trường THPT Triệu Sơn 2
Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả
thi và hiệu quả của việc vận dụng dạy học một số nội dung trong phần Tổ hợp Xác suất vào đội tuyển học sinh giỏi Toán ở Trường THPT Triệu Sơn 2.
II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
1. Quy tắc cộng
Giả sử một cơng việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương
án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi
đó cơng việc có thể được thực hiện bởi n + m cách.
2. Quy tắc nhân
Giả sử một cơng việc nào đó bao gồm hai cơng đoạn A và B. Cơng đoạn A
có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện cơng đoạn A thì cơng đoạn B có
thể thực hiện theo m cách. Khi đó cơng việc có thể thực hiện theo nm cách.
3. Hốn vị
Cho tập hợp A có n ( n ≥ 1 ) phần tử. Khi sắp xếp n phần tử theo một thứ tự,
ta được một hoán vị các phần tử của tập A (gọi tắt là một hoán vị của A).
Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là Pn =n!=n(n-1)(n-2)...1
4. Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n . Khi lấy ra k

phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k
của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp chập k của A).
Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n ) là:
A kn =n(n-1)(n-2)...(n-k+1) .
5. Tổ hợp
Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n . Mỗi tập con của A có
k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một tổ
hợp chập k của A)
Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n ) là
C kn =

A kn
k!

=

n(n-1)(n-2)...(n-k+1)
k!

Tính chất: Ckn = Cnn −k , Ckn +1 = C nk + C nk −1
6. Công thức nhị thức Niu – tơn
Công thức nhị thức Niu – tơn (gọi tắt là nhị thức Niu – tơn)

3


( a + b)

n

n −1

= C a + C a b + ... + C a
0
n

n

1
n

k
n

n −k

n

b + ... + C b = ∑ C kn a n −k b k
k

n
n

n

k =0

(quy ước a = b = 1)
7. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành
động mà:
-Kết quả của nó khơng đốn trước;
-Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử
đó.
Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là khơng
gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ Ω (đọc là ô-mê-ga)
8. Biến cố
Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không
xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T.
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả
thuận lợi cho A.
tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là ΩA. Khi đó người ta nói
biến cố A được mơ tả bởi tập ΩA.
-Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T. Kí hiệu
Ω.
Biến cố khơng thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử được thực
hiện. Kí hiệu ∅
9. Xác suất của biến cố
Giả sử phép thử T có khơng gian mẫu Ω là một tập hữu hạn và các kết quả
của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và ΩA là
tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A),
0

0

được xác định bởi công thức P(A) =

ΩA

Ω

10. Biến cố hợp
Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là A∪B, được
gọi là hợp của hai biến cố A và B.
Nếu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập
hợp các kết quả thuận lợi cho A∪B là ΩA∪ ΩB
11. Biến cố xung khắc

4


Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến
cố này xảy ra thì biến cố kia khơng xảy ra.
12. Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
13. biến cố đối
Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Khơng xảy ra A”, kí hiệu là A , được
gọi là biến cố đối của A.
Xác suất của biến cố đối A là P(A) = 1 − P(A)
14. Biến cố giao
Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra” , kí hiệu là AB,
được gọi là giao của hai biến cố A và B
15. Biến cố độc lập
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không
xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.
16. Quy tắc nhân xác suất
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB) = P(A)P(B)
[3]

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Khi dạy học phần Tổ hợp - Xác xuất đối với các đội tuyển học sinh giỏi
mơn Tốn Trường THPT Triệu Sơn 2 các năm trước đây thường gặp nhiều khó
khăn.
Nhiều học sinh học đến phần này cảm thấy rắc rối và dẫn đến ngại. Một số
em khi gặp các bài tốn mà các em chưa tìm ra hướng giải các em sẽ bỏ cuộc
ngay, khơng có tính kiên trì tìm tịi, ỷ lại, chờ thầy giáo, cơ giáo chữa. Những
năm đầu dạy đội tuyển học sinh giỏi của trường, bản thân tơi gặp nhiều khó
khăn trong việc hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán về phần này.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Qua nhiều năm phụ trách đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn của trường
THPT Triệu Sơn 2. Tơi đã nghiên cứu, tìm tịi và đưa ra được 5 giải pháp để
khắc phục vấn đề đã nêu.
2.3.1. Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo
định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề
Hướng dẫn học sinh tìm hiểu bài tốn, tìm tịi lời giải bài toán, thực hiện lời
giải mà và khai thác bài toán. [2]

5


Trong quá trình học sinh suy nghĩ tìm ra hướng giải, giáo viên có thể đưa ra
những gợi ý để học sinh phát hiện ra lời giải theo định hướng phát hiện và giải
quyết vấn đề. [1]
Ví dụ 1. Hướng dẫn học sinh giải bài tốn sau
Bài tốn 1: Có 10 bạn nam, 3 bạn nữ. Có bao nhiêu cách xếp 13 bạn đó
theo một hàng dọc mà khơng có nữ đứng kề nhau.
Khi gặp bài toán này nhiều học sinh đã gặp khó khăn.
Giáo viên có gợi ý cho học sinh với những gợi ý sau:
Đây thuộc vào loại bài tốn gì? (Bài tốn đếm số cách sắp xếp đối với

người).
Nếu bỏ đi dữ kiện “khơng có nữ đứng kề nhau” thì giải như thế nào? (Đáp
số là 13!).
Có thể giải một số bài toán phụ dễ hơn như sau:
Bài tốn 1.1: Có 3 bạn nam, 2 bạn nữ. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn đó theo
một hàng ngang mà khơng có nữ đứng kề nhau.
Giáo viên có gợi ý cho học sinh với những gợi ý sau đối với Bài toán 1.1:
- Khi sắp xếp, nếu đổi chỗ 2 bạn nữ có được cách mới khơng? (có) .
- Em có thể liệt kê ra một số phương án được khơng? (Nam1-Nữ1-Nam2Nữ2-Nam3; Nữ1-Nam1-Nữ2-Nam2-Nam3; … có 72 cách như vậy).
Bài tốn 1.2: Có 3 bạn nam, 2 bạn nữ. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn đó theo
một hàng ngang mà nữ đứng kề nhau.
Giáo viên có gợi ý cho học sinh với những gợi ý sau đối với Bài toán 1.2:
- Khi sắp xếp, nếu đổi chỗ 2 bạn nữ có được cách mới khơng? (có) .
- Em có thể liệt kê ra một số phương án được khơng? (Nam1-Nữ1-Nữ2Nam2-Nam3; Nữ1-Nữ2-Nam1-Nam2-Nam3; … có 48 cách như vậy).
- Đáp số Bài tốn 1.2 là gì? (Đáp số 4! × 2=48)
- Qua Bài tốn 1.2 có gợi ý gì đến Bài tốn 1.1 (Tính các cách bỏ qua điều
kiện khơng có nữ đứng kề nhau trừ các cách có điều kiện nữ đứng kề nhau)
- Đáp số Bài toán 1.1 là gì? (Đáp số 5!-48=72)
Giáo viên quay lại gợi ý cho học sinh đối với Bài tốn 1:
Có thể áp dụng cách giải Bài toán 1.2 cho Bài toán 1 khơng? (có nhưng
khó hơn).
- Có thể học sinh đưa ra cách giải Bài toán 1 như sau:
Số cách sắp xếp 13 bạn (bỏ qua điều kiện khơng có nữ đứng kề nhau) là:
13!.
Tính số cách sắp xếp khơng thỏa mãn điều kiện (nữ đứng kề nhau):
Trường hợp 1: Ba nữ đứng kề nhau 11! × 3!= (coi 3 bạn nữ là 1 bạn và xếp
chung với 10 bạn nam, sau đó hốn vị 3 bạn nữ).
6

Trường hợp 2: Hai nữ đứng kề nhau : (12! × 2!) × C32
Vậy các cách thỏa mãn điều kiện là
13! - 11! × 3! - (12! × 2!) × C32
Giáo viên phân tích cho học sinh thấy cách giải trên khá lằng nhằng, vả lại
là cách giải sai vì có một số trường hợp trùng nhau.
Giáo viên hỏi học sinh có thể tìm cách giải khác khơng?
Giáo viên Hướng dẫn học sinh tìm cách giải khác:
Cách giải Bài tốn 1.2.
Xếp 10 HS nam trước có 10! Cách
3
Đưa 3 HS nữ vào 3 trong 11 vị trí mà 10 bạn nam tạo ra: C11
3
Vậy số cách thực hiện là 10! × A11
=3.592.512.000 cách

Ví dụ 2: Hướng dẫn học sinh giải bài tốn sau
Bài tốn 2. Tính S = C1n + 2C2n + 3C3n + ... + (n − 1)C nn −1 + nC nn
thể giải một số bài toán phụ dễ hơn như sau:
Bài tốn 2.1: Tính A = C0n + C1n + C2n + C3n + ... + Cnn −1 + C nn

(n ∈ N* ) . Có

Với bài tốn này học sinh dễ dàng tìm ra cách giải như sau:
Xét khai triển (1 + x) n = C0n + C1n x + Cn2 x 2 + ... + C nn −1x n −1 + C nn x n

(n ∈ N* )

Thay x = 1 ta được: 2n = C0n + C1n + C2n + C3n + ... + Cnn −1 + Cnn
Sau đó Giáo viên gợi ý cơng thức: Ckn = Cnn −k
học sinh.

Lúc đó Học sinh thấy
C1n = Cnn −1

(0 ≤ k ≤ n,k ∈ N,n ∈ N* ) cho

2C2n = 2C nn −2
3C3n = 3Cnn −3
..................
(n − 1)C nn −1 = (n − 1)C1n
nC nn = nC0n
Cộng vế với vế ta được: S = Cnn −1 + 2Cnn −2 + 3C nn −3 + ... + (n − 1)C1n + nC0n
Từ đó ta có: 2S = n(C0n + C1n + C 2n + C3n + ... + C nn −1 + C nn )
Do đó: 2S = n.2n
Hay S = C1n + 2C2n + 3C3n + ... + (n − 1)C nn −1 + nC nn = n.2n −1
Giáo viên cũng có thể hướng dẫn HS giải theo Cách 2 sau đây:

7


Cách 2: Áp dụng công thức: kCkn = nC kn −−11 (k ≤ n;k,n ∈ N* )
Ta có: C1n = nC0n −1
2C2n = nC1n −1
3C3n = nCn2 −1
.............
nCnn = nC nn −−11
Cộng vế với vế ta được: S = n(C0n −1 + C1n −1 + C2n −1 + ... + Cnn −−11 )
Xét khai triển (1 + x) n −1 = C0n −1 + C1n −1x + C 2n −1x 2 + ... + C nn −−11x n −1 (n ∈ N* )
Thay x = 1 ta được: 2n −1 = C0n −1 + C1n −1 + C2n −1 + ... + C nn −−11
Do đó: S = n.2n −1
Giáo viên cũng có thể hướng dẫn HS dùng đạo hàm để giải.

Cách 3. Xét khai triển (1 + x) n = C0n + C1n x + C2n x 2 + C3n x 3 + ... + C nn x n
(n ∈ N* ) (1)
Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được:
n(1 + x) n −1 = C1n + 2xC2n + 3x 2C3n + ... + n.x n −1Cnn
Thay x = 1 ta có S = n.2n −1 .
Nhận xét:
Khi học sinh đã được học đạo hàm thì việc dùng đạo hàm để giải bài toán
này sẽ nhanh hơn cách giải ở phần trước.
2.3.2. Thường xuyên hướng dẫn học sinh thực hiện Tương tự hóa, Khái
quát hóa để tạo ra các bài tốn mới
Có nhiều bài tốn, sau khi giải xong ta có thể thực hiện Tương tự hóa, Khái
qt hóa để tạo ra các bài tốn mới.
Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 1. Chứng minh:
C1n + 2.2C2n + 3.22 C3n + 4.23 C 4n + ... + n.2n −1 C nn = n.3n −1
(n ∈ N* )
Đối với bài này học sinh Áp dụng công thức:
kCkn = nC kn −−11 (k ≤ n;k,n ∈ N* )
Để có:
C1n = nC0n −1 ;
2.2C2n = 2.nC1n −1 ;
........
8


2n −1.nCnn = 2n −1.nC nn −−11
Cộng vế với vế ta được: S = n(C0n −1 + 2C1n −1 + 22 C2n −1 + ... + 2n −1 Cnn −−11 )
Xét khai triển (1 + x) n −1 = C0n −1 + C1n −1x + C 2n −1x 2 + ... + C nn −−11x n −1 (n ∈ N* )
Thay x = 2 ta được: 3n −1 = C0n −1 + 2C1n −1 + 22 C2n −1 + ... + 2n −1 Cnn −−11
Do đó: S = n.3n −1

Hay C1n + 2.2Cn2 + 3.22 C3n + 4.23 C 4n + ... + n.2 n −1 Cnn = n.3n −1 điều phải chứng
minh.
Giáo viên làm cho học sinh hiểu rõ: Nếu ở ví dụ này ta thay x bởi một số tự
nhiên khác thì chúng ta lại có một bài tốn mới. Từ đó giáo viên cho học sinh
tổng qt thành bài toán:
Bài tâp tổng quát:
Chứng minh: C1n + 2.aC2n + 3.a 2C3n + 4.a 3C4n + ... + n.a n −1Cnn = n.(1 + a) n −1
(a,n ∈ N* )
Thơng qua các ví dụ này giáo viên có thể làm cho học sinh thấy rõ, từ một
bài tập nào đó chúng ta có thể suy nghĩ, phát triển, mở rộng ra được các bài tập
mới và từ đó giúp cho học sinh tập làm quen với khả năng tư duy, sáng tạo trong
học toán. Giáo viên cũng yêu cầu học sinh về nhà tự tìm tịi ra các bài tập khác
từ các ví dụ này và tìm bài tập tổng quát.
Ví dụ 2: Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 2. Cho n là số tự nhiên n ≥ 1 . Chứng minh đẳng thức sau:
1 1 1 2 1 3
1 n −1
1
2n +1 − 1
0
n
Cn + C n + C n + Cn + ... + C n +
Cn =
2
3
4
n
n +1
n +1
Đối với bài này Giáo viên hướng dẫn học sinh Áp dụng công thức

(k + 1)C kn ++11 = (n + 1)C kn (k ≤ n;k,n ∈ N* )
1
1
Ckn =
C kn ++11 . Do đó:
k +1
n +1
1 1
C0n =
C n +1 ;
n +1
1 1
1
Cn =
Cn2 +1 ;
2
n +1
1 2
1
Cn =
C3n +1
3
n +1
.............
1
1
Cnn =
Cnn ++11
n +1
n +1

Để có

9


Cộng vế với vế ta được:
1
1
1
1
1
1
C0n + C1n + C 2n + C3n + ... + C nn −1 +
C nn =
(C1n +1 + C 2n +1 + C3n +1 + ... + Cnn ++11 )
2
3
4
n
n +1
n +1
Xét khai triển (1 + x) n +1 = C0n +1 + C1n +1x + Cn2 +1x 2 + ... + Cnn ++11x n +1 (n ∈ N* ) (1)
Thay x = 1 ta được: (1 + 1) n +1 = C0n +1 + C1n +1 + C2n +1 + ... + Cnn ++11
1 1 1 2 1 3
1 n −1
1
2n +1 − 1
n
Cn =
Do đó: C + C n + Cn + Cn + ... + Cn +

2
3
4
n
n +1
n +1
được điều phải chứng minh.
Giáo viên gợi ý thêm nếu ở khai triển (1) của ví dụ này ta thay x = 2; x = 3
thì kết quả như thế nào? giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu thành một bài
toán. Từ đó cho học sinh phát triển thành bài tập tổng quát với x = a. (a ∈ N* )
0
n

Ví dụ 3: Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo định hướng Tương tự hóa giải
bài tốn sau
Bài tốn 3. Chứng minh:
12 C1n + 22 C 2n + 32 C3n + ... + (n − 1) 2 C nn −1 + n 2Cnn = n(n + 1).2 n −2
(n ≥ 2;n ∈ N)
Hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo định hướng Tương tự hóa
Đặt: S = 12 C1n + 22 Cn2 + 32 C3n + ... + (n − 1) 2 C nn −1 + n 2C nn
Sử dụng công thức: k 2Ckn = n(n − 1)Cnk −−22 + nC nk −−11

(1)

(k ≥ 2;k ≤ n;k,n ∈ N )

và C1n = nC0n −1 ta có:
22 C2n = n(n − 1)C0n −2 + nC1n −1
32 C3n = n(n − 1)C1n −2 + nC 2n −1
...........................................

(n − 1) 2 Cnn −1 = n(n − 1)C nn −−32 + nC nn −−12
n 2Cnn = n(n − 1)Cnn −−22 + nC nn −−11
Cộng vế với vế ta được:
2
S = n(n − 1)(C0n −2 + C1n −2 + C n2 −2 + ... + C nn −−21
) + n(C 0n −1 + C1n −1 + C n2 −1 + ... + C nn −−11 )
Xét khai triển: (1 + x) n −2 = C0n −2 + C1n −2 x + C 2n −2 x 2 + ... + C nn −−22 x n −2

(n ∈ N* )

và (1 + x) n −1 = C0n −1 + C1n −1x + C 2n −1x 2 + ... + C nn −−11x n −1 (n ∈ N* )
Thay x = 1 ta được: S = n(n − 1)2n −2 + n.2n −1 = n(n + 1)2 n −2 dẫn đến điều phải
chứng minh.

10


2.3.3. Rèn luyện cho học sinh thực hiện phân chia ra thành các trường
hợp nhỏ để dễ thực hiện giải tốn.
Trong q trình giải các bài tốn về đếm, Giáo viên có thể hướng dẫn học
sinh thực hiện phân chia ra thành các trường hợp nhỏ để dễ thực hiện giải tốn.
Ví dụ 1. Hướng dẫn học sinh giải bài tốn sau
Bài tốn 1.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số kề
nhau không cùng là số lẻ? (Đề thi HSG tỉnh 2014-2015).
Đối với bài toán này, giáo viên gợi ý học sinh phân ra các trường hợp nhỏ.
Khi đó học sinh dễ nhân thấy có 3 trường hợp nhỏ là: A có 1 chữ số lẻ, A có 2
chữ số lẻ, A có 2 chữ số lẻ. Trong mỗi trường hợp lại có những trường hợp nhỏ
khác.
Từ đó Học sinh có thể giải bài tốn như sau:

Gọi số đó là A = a1a 2a 3a 4a 5a 6 . Từ giả thiết suy ra A có 1 hoặc 2 hoặc 3 chữ
số lẻ.
TH1: A có 1 chữ số lẻ
+) a1 lẻ: Số các số A là C15 P5 = 600
+) a1 chẵn: Có 4 cách chọn a1 . Số các số A là 4.(C15C44 )P5 = 2400
Tổng có: 600 + 2400 = 3000 số các số A trong đó có đúng một chữ số lẻ.
TH2: A có 2 chữ số lẻ
+) a1 lẻ: Có 5 cách chọn a1 . Có 5 cách chọn a 2 chẵn.
Vậy số các số A là 5.5.(C14C34 )P4 = 9600
+) a1 chẵn: Có 4 cách chọn a1 . Có 6 cách chọn hai vị trí khơng kề nhau của
hai số lẻ trong a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 . Vậy số các số A là 4.(C52 .6.P2 ).A 34 = 11520
Tổng có: 9600 + 11520 = 21120 số các số A.
TH3: A có 3 chữ số lẻ
+) a1 lẻ: Có 5 cách chọn a1 . Có 5 cách chọn a 2 . Có 3 cách chọn hai vị trí
khơng kề nhau của hai số lẻ trong a 3 a 4 a 5 a 6 .. Vậy số các số A là
5.5.(C 24 .3.P2 ).A 24 = 10800
+) a1 chẵn: Có 4 cách chọn a1 . Có 1 cách chọn 3 vị trí không kề nhau của 3
số lẻ trong a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 . Vậy số các số A là 4.(C35 .1.P3 ).A 42 = 2880
Tổng có: 10800 + 2880 = 13680 số các số A.
Tóm lại có: 3000 + 21120 + 13680 = 37800 số các số A.

11


Ví dụ 2. Hướng dẫn học sinh giải bài tốn sau
Bài toán 2. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số
đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy
ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. (Đề thi HSG tỉnh 2013-2014)
Đối với bài toán này, giáo viên gợi ý học sinh phân ra các trường hợp nhỏ.
Khi đó học sinh dễ nhân thấy có 2 trường hợp nhỏ là: Cả 2 chữ số còn lại cùng

bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c ; 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a,
b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó. Trong mỗi trường hợp
lại có những trường hợp nhỏ khác.
Từ đó Học sinh có thể giải bài tốn như sau:
5
Ta có: Ω = 9 = 59.049
Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có:
Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là C39 .
Chọn 2 chữ số cịn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau đây:
TH1. Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi
hốn vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên
n; nhưng cứ 3! hốn vị của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một
5!
số n, nên trong TH1 này có cả thảy 3 × = 60 số tự nhiên.
3!
TH2. 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia
bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hốn vị từ 5! hoán vị của 5
chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hốn vị của
các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ
5!
= 90 số tự nhiên.
tạo ra cùng một số n, nên trong TH2 này có cả thảy 3 ×
2!2!
9!
3
= 150 ×7 ×4 ×3 = 12600 .
Vậy: ΩA = (60 + 90)C9 = 150 ×
3!6!
ΩA 12.600 1.400
=

=
≈ 0,213382106
Kết luận: P ( A ) =
Ω 59.049 6.561
Ví dụ 3. Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 3. Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp trường, một trường THPT đã
dùng 7 cuốn sách tham khảo mơn Tốn, 6 cuốn sách tham khảo mơn Vật lí, 5
cuốn sách tham khảo mơn Hóa học để làm phần thưởng cho 9 học sinh có kết
quả cao nhất. Các cuốn sách cùng thể loại: Toán, Vật lí, Hóa học đều giống
nhau. Mỗi học sinh nhận thưởng sẽ được 2 cuốn sách khác thể loại. Trong số 9
học sinh trên có hai học sinh tên là An và Bình. Tìm xác suất để hai học sinh An
và Bình có phần thưởng giống nhau. (Đề thi HSG tỉnh 2015-2016)
12


Đối với bài toán này, giáo viên gợi ý học sinh phân ra các trường hợp nhỏ.
Khi đó học sinh dễ nhân thấy có 3 trường hợp nhỏ là: An và Bình cùng nhận
sách Tốn, Lý; An và Bình cùng nhận sách Tốn, Hóa; An và Bình cùng nhận
sách Hóa, Lý. Trong mỗi trường hợp lại có những trường hợp nhỏ khác.
Từ đó Học sinh có thể giải bài tốn như sau:
Gọi x, y,z lần lượt là số học sinh nhận phần thưởng là sách (Toán, Lý);
x + y = 7
x = 4


(Tốn, Hóa); (Lý, Hóa) ta có :  y + z = 6 ⇔  y = 3 .
y + z = 5
z = 2



Xét phép thử: “Trao phần thưởng cho 9 học sinh”, suy ra
Ω = C94 .C53 .C22 = 1260.
Xét biến cốA: “An và Bình có phần thưởng giống nhau”.
TH1:An và Bình cùng nhận sách Tốn, Lý có C72 .C35 .C 22
TH2:An và Bình cùng nhận sách Tốn, Hóa có C17 .C64 .C22
TH3:An và Bình cùng nhận sách Hóa, Lý có C74 .C33
Suy ra Ω A = 350 . Vậy xác suất cần tìm P(A) =

ΩA
5
= .
Ω
18

2.3.4. Ln linh hoạt trong giải tốn, đơi khi có thể sử dụng phương
pháp thủ công
Việc linh hoạt trong giải toán Tổ hợp – Xác suất là thực sự cần thiết, khơng
nên gị bó trong một khn mẫu nhất định, đơi khi có thể sử dụng phương pháp
thủ cơng để làm cho vấn đề trở nên quen thuộc hơn.
Ví dụ 1. Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 1. Một lớp học có 42 học sinh xếp thành một vòng tròn. Chọn ngẫu
nhiên ra 3 học sinh để tham gia vào một trị chơi. Tính xác suất để trong 3 học
sinh được chọn khơng có hoc sinh đứng kề nhau.
3
Với bài tốn này, việc tìm ra Ω = C42 khơng có gì khó khăn. Tuy nhiên
giải quyết vấn đề trong 3 học sinh được chọn khơng có hoc sinh đứng kề nhau
và 42 học sinh xếp thành một vịng trịn khơng phải là đơn giản.
Lúc này giáo viên có thể gợi ý cho học sinh suy nghĩ một cách linh hoạt là
thay dữ kiện một lớp học có 42 học sinh xếp thành một vòng tròn thành một lớp
học có 42 học sinh xếp thành một đường thẳng thì như thế nào?

13


Sau đó lại có thể gợi ý cho học sinh suy nghĩ một cách linh hoạt khác là
thay dữ kiện Chọn ra 3 học sinh để tham gia vào một trị chơi thành đưa 3 học
sinh quay lại hàng thì như thế nào?
Chẳng hạn như đối với Bài toán 1.1 sau đây
Bài tốn 1.1. Một lớp học có 42 học sinh xếp thành một hàng ngang. Có bao
nhiêu cách chọn ra 3 học sinh để tham gia vào một trò chơi sao cho trong 3 học
sinh được chọn khơng có hoc sinh đứng kề nhau.
Với suy nghĩ một cách linh hoạt khác là thay dữ kiện Chọn ra 3 học sinh
để tham gia vào một trò chơi thành đưa 3 học sinh quay lại hàng thì học sinh có
thể nhận ra với 39 học sinh còn lại sẽ tạu ra 40 vị trí để có thể đưa 3 HS vào 3
trong 40 vị trí đó. Từ đó dễ dàng suy ra đáp số là C340 cách.
Sau khi nắm được cách giải của Bài tốn 1.1, Học sinh có thể giải Bài
toán 1 như sau:
3
Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong 42 học sinh nên Ω = C42
Gọi A là biến cố "trong 3 học sinh được chọn khơng có hoc sinh đứng kề nhau".
Giả sử ta đặt tên 42 HS đã xếp thành một vịng trịn đó lần lượt là 1, 2, ..., 42. Để
tính ΩA ta xét 2 trường hợp sau:
TH1: HS10 được chọn: Khi đó HS9 và HS11 khơng được chọn. Ta chọn 2 HS
trong 39 HS cịn lại sao cho khơng có HS nào đứng kề nhau: có C382 cách.
TH2: HS10 khơng được chọn: Khi đó ta chọn 3 HS trong 41 HS cịn lại sao cho
khơng có HS được chọn đứng kề nhau: có C339 cách.
Từ đó ta có ΩA = C382 + C339 . Vậy P(A) =

2
C38

+ C339 703
=
C342
820

Ví dụ 2. Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau
Bài toán 2. Gọi S là tập hợp các ước số nguyên dương của số 43200. Lấy
ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S. Tính xác suất lấy được hai phần tử là hai số
không chia hết cho 5. (Đề thi HSG tỉnh 2016-2017)
Học sinh hồn tồn có thể linh hoạt phân tích số 43200 ra thừa số nguyên tố
để đưa ra được lời giải như sau:
Ta có 43200 = 26.33.52
Mỗi ước nguyên dương của số 43200 là một số có dạng 2i.3j.5k, trong đó
i ∈ {0;1;2;3;4;5;6}, j ∈ {0;1;2;3}, k ∈ {0;1;2}. Suy ra có 7.4.3= 84 ước, nên số
phần tử của S là 84.
Mỗi ước nguyên dương không chia hết cho 5 của số 43200 là một số có
dạng 2i.3j.50. Suy ra số các ước của 43200 không chia hết cho 5 trong tập S là
7.4 =28.

14


C228 9
Suy ra P= 2 =
C84 83

15


Ví dụ 3. Hướng dẫn học sinh giải bài tốn sau

Bài toán 3. Cho khai triển: ( 1 + 2x ) 10 ( x 2 + x + 1) 2 = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a14 x14 . Hãy tìm
giá trị của a 6 .
Đối với bài tốn này, thơng thường học sinh sử dụng 2 tổng xicma để giải,
tuy nhiên phương pháp này rất lằng nhằng, nhiều trường hợp. Ta có thể sử dụng
phương pháp thủ công để làm cho vấn đề trở nên quen thuộc hơn để đi đến lời
giải như sau.
1
4

Ta có x 2 + x + 1 = (2x + 1) 2 +
nên ( 1 + 2x ) (x 2 + x + 1)2 =
10

3
4

1
3
9
(1 + 2x)14 + (1 + 2x)12 + (1 + 2x)10
16
8
16

14
Trong khai triển ( 1 + 2x ) hệ số của x 6 là: 26 C146
12
Trong khai triển ( 1 + 2x ) hệ số của x 6 là: 26 C126
10
Trong khai triển ( 1 + 2x ) hệ số của x 6 là: 26 C106

Vậy hệ số a 6 =

1 6 6 3 6 6 9 6 6
2 C14 + 2 C12 + 2 C10 = 41748.
16
8
16

2.3.5. Khuyến khích học sinh sáng tạo trong giải toán
Đối với đối tượng là học sinh giỏi Tốn, người Giáo viên phải thường
xun khuyến khích học sinh sáng tạo trong giải tốn. Tìm ra các cách giải hay,
ngắn gọn, dễ hiểu.
Ví dụ. Hướng dẫn học sinh giải bài tốn sau
Bài tốn 1. Cho phương trình x + y + z + t = 2015 ( 1) , trong đó x, y,z, t là ẩn.
Tìm số nghiệm của phương trình (1) mà x, y,z, t nguyên dương. (Đề thi HSG
tỉnh Giải toán trên MTCT năm học 2014-2015)
Với bài toán này, rất nhiều học sinh nghĩ đến việc phân chia ra các trường
hợp nhỏ. Tuy nhiên cách đó sẽ gặp rất nhiều khó khăn vì có rất nhiều trường
hợp.
Giáo viên có thể gợi ý để học sinh sáng tạo như: Ta có thể xem số 2015 lả tổng
của 2015 số 1, từ đó ta có được gì khơng?
Xét sơ đồ sau: 1+1+1+1+....+1+1+1
Sơ đồ trên gồm 2015 số 1 được xen giữa bởi dấu “+”.
Như vậy sơ đồ trên sẽ có 2014 dấu “+”.
Ta chọn ba dấu“+” bất kì, khi đó sơ đồ trên chia 4 phần, tính tổng các số 1 mỗi
phần được 4 số nguyên dương tương ứng lập thành một nghiệm của phương
trình (1). Điều ngược lại đúng.

16

Từ đó học sinh sẽ nhận ra số nghiệm cần tìm là: C32014 = 1359502364 .
Xuất phát từ Bài tốn 1, giáo viên có thể gợi ý cho học sinh sáng tạo ra các bài
toán tổng quát hơn như sau
Bài tốn 1.2. Cho phương trình x + y + z + t = 2015 ( 1) , trong đó x, y,z, t là
ẩn. Tìm số nghiệm của phương trình (1) mà x, y,z, t nguyên không âm.
Với việc “đạo diễn” như trong lời giải của Bài toán 1 cho bài này sẽ gặp
khó khăn hơn. Tuy nhiên với sự động viên khích lệ của giáo viên, học sinh hồn
tồn có thể có những sáng tạo mới như:
Cách giải 1.
Xét sơ đồ sau:
1 1 1 1 .... 1 1 1
Sơ đồ trên gồm 2018 số 1. Ta chọn ba số bất kì để đổi thành ba dấu “+”, khi đó
sơ đồ trên chia 4 phần, tính tổng các số 1 mỗi phần được 4 số nguyên không âm
tương ứng lập thành một nghiệm của phương trình (1). Điều ngược lại đúng.
Từ đó học sinh sẽ nhận ra số nghiệm cần tìm là: C32018 .
Cách giải 2.
Đặt x’ = x + 1; y’ = y + 1; z’ = z + 1; t’ = t + 1 khi đó ta đưa vè bài tốn giống bài
tốn 1 như sau: Cho phương trình x '+ y'+ z '+ t ' = 2019 ( 1) , trong đó
x ', y',z ', t ' là ẩn. Tìm số nghiệm của phương trình (1) mà x ', y',z ', t ' nguyên
dương.
Từ đó học sinh sẽ nhận ra số nghiệm cần tìm là: C32018 .
Cũng xuất phát từ Bài tốn 1, giáo viên có thể gợi ý cho học sinh sáng tạo ra các
bài toán tổng qt hơn như sau
Bài tốn 1.3. Cho bất phương trình x + y + z ≤ 2017 ( 1) , trong đó x, y,z là ẩn.
Tìm số nghiệm của phương trình (1) mà x, y,z ngun khơng âm.
Với định hướng như các cách giải trên, học sinh hồn tồn có thể nghĩ đến bài
toán mới tương đương như Bài toán 1.4:
Bài tốn 1.4: Cho phương trình x + y + z + t = 2017 ( 1) , trong đó x, y,z, t là

ẩn. Tìm số nghiệm của phương trình (1) mà x, y,z, t ngun khơng âm
Khi đó giống như Bài toán 1.2. học sinh sẽ nhận ra số nghiệm cần tìm là: C32020 .

17


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Với cương vị là người thường xuyên được giao nhiệm vụ phụ trách đội
tuyển Học sinh giỏi mơn Tốn, sau khi triển khai những nội dung trong Sáng
kiến kinh nghiệm này vào dạy cho đội tuyển Học sinh giỏi môn Toán tại trường
THPT Triệu Sơn 2, đã thu được những kết quả đáng khích lệ như sau:
Trước hết, các em trong đội tuyển khơng cịn thấy “ngại” khi gặp các bài
về Tổ hợp - Xác suất nữa. Không những vậy, các em còn rất hào hứng và muốn
“chinh phục” dạng toán này.
Kết quả làm được các bài về Tổ hợp - Xác suất của học sinh nhà trường
trong các kỳ thi Học sinh giỏi cấp tỉnh càng ngày càng cao. Trong 2 năm học
2015-2016, 2016-2017, 100% học sinh trong đội tuyển mơn Tốn nhà trường
đều làm đúng các bài về Tổ hợp - Xác suất trong các kỳ thi Học sinh giỏi cấp
tỉnh các mơn Văn hóa và thi Học sinh giỏi cấp tỉnh và cấp Quốc gia Giải toán
trên MTCT, góp phần đưa đến thắng lợi trong các kỳ thi Học sinh giỏi của nhà
trường nói chung và của Tổ Tốn nói riêng.
Năm học 2015-2016
Kỳ thi Học sinh giỏi các mơn văn hóa: Trường THPT Triệu Sơn 2 đạt 37
giải với 2 giải nhất; 6 giải nhì; 18 giải ba; 11 giải KK, xếp thứ 7/106 trường
THPT toàn tỉnh. Mơn Tốn đạt 5 giải với 1 giải nhất; 1 giải nhì; 2 giải ba; 1 giải
KK.
Kỳ thi giải Tốn trên Máy tính cầm tay: Trường THPT Triệu Sơn 2 đạt 16
giải với 1 giải nhất; 4 giải nhì; 9 giải ba; 2 giải KK, xếp thứ 4/106 trường THPT
toàn tỉnh. Mơn Tốn đạt 4 giải với 1 giải nhì; 2 giải ba; 1 giải KK. Đặc biệt là có

2 học sinh đạt giải Ba quốc gia trong đó Có em Đỗ Viết Nguyện đạt giải Ba mơn
Tốn.
Năm học 2016-2017
Kỳ thi Học sinh giỏi các mơn văn hóa: Trường THPT Triệu Sơn 2 đạt 42
giải với 4 giải nhất; 11 giải nhì; 14 giải ba; 13 giải KK, xếp thứ 5/106 trường
THPT tồn tỉnh. Mơn Tốn đạt 4 giải với 1 giải nhất; 1 giải ba; 2 giải KK.
Kỳ thi giải Tốn trên Máy tính cầm tay: Trường THPT Triệu Sơn 2 đạt 16
giải với 3 giải nhất; 6 giải nhì; 5 giải ba; 2 giải KK, xếp thứ 3/106 trường THPT
tồn tỉnh. Mơn Tốn đạt 3 giải với 2 giải nhất; 1 giải nhì.

18


III. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Bồi dưỡng học sinh giỏi có ý nghĩa thiết thực trong việc chăm sóc bồi
dưỡng nhân tài cho nhà trường và tương lai xa hơn là cho quê hương, đất nước.
Đứng trước sự vận động của nền kinh tế thị trường và cuộc cách mạng cơng
nghệ thơng tin, cơng tác dạy học có nhiều thuận lợi và cũng gặp khơng ít khó
khăn, thách thức, trong đó có cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn ở
trường trung học phổ thơng Triệu Sơn 2.
Phần Tổ hợp - Xác xuất trong chương trình tốn học phổ thơng mặc dù là
phần khó đối với các em học sinh. Các bài tốn loại này mang tính tổng hợp và
khái quát hóa cao. Tuy nhiên khi học sinh qua ngưỡng “ngại” thì các em sẽ hứng
thú với nội dung này.
Để cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn phần Tổ hợp - Xác xuất trong
chương trình tốn học phổ thơng ngồi việc động viên, khích lệ về mặt tinh thần
đối với học sinh, khuyến khích các em nỗ lực tìm tịi những lời giải hay, tranh
luận với bạn bè giúp nhau cùng tiến bộ, người giáo viện cần phải: Ln củng cố
và khắc sâu các kiến thức có liên quan; rèn luyện cho học sinh sau khi đọc đề

bài cần phân tích và chọn lời giả tối ưu nhất, biết linh hoạt trong việc lựa chọn
cách giải và phải để ý đến thời gian làm bài, nhất là khi đó là bài kiểm tra; Biết
phân tích bài tốn và tìm ra các cách giải khác nhau, từ đó nhằm phát huy tính
sáng tạo và khái qt hóa bài tốn; Rèn luyện cách trình bày bài một cách chặt
chẽ, cẩn thận và sáng sủa.
Trên đây là một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung
trong phần Tổ hợp - Xác suất ở Trường THPT Triệu Sơn 2. Tuy nhiên trong
phạm vị đề tài này tôi cũng chỉ mới giải quyết một số ít dạng tốn về nội dung
này. Rất mong các bạn đồng nghiệp góp ý kiến để có một cách dạy và khai thác
thể loại này một cách tốt nhất và hiệu quả cao nhất.
3.2. Kiến nghị
Đề nghị Sở Giáo dục và Đào tạo công bố rộng rãi các Sáng kiến kinh
nghiệm và các Đề tài khoa học để mọi người tham khảo.
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của bản
thân, không sao chép nội dung của người
khác.
Người viết

Nguyễn Đình Thanh
19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXBĐHSP, 2003
[2] G.Polia, Giải bài tốn như thế nào, NXBGD, 1997.
[3] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Đại số và Giải tích 11 – Nâng cao,

Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[4] Các đề thi Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa mơn Tốn các năm.

20