XÂY DỰNG một số bài tập TRẮC NGHIỆM vận DỤNG CAO về số PHỨC

Mục lục
A. ĐẶT VẤN ĐỀ……………………………………………………………....2
I. Lí do chọn đề tài …………………………………………………….. 2
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm………………………………..2
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu…………………………………..2
IV. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………2
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ………………………………………………..…..3
I. Cơ sở lý luận…………………………………………………………. 3
II. Thực trạng và giải pháp……………………………………………...3
1. Hệ thống kiến thức toàn chương………………………………3
2. Một số kiến thức áp dụng....….………………………………..3
3. Một số bài tập vận dụng……………………………...………..5
4. Bài tập ………...………………………………………….......16
III. Kiểm nghiệm của đề tài……….…………………………………...19
C. KẾT LUẬN………………………………………………………………..19

1


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạng hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Hoạt động giải bài tập toán học là một phương tiện rất hiệu quả và không thể
thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tu duy,
hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn, là điều kiện tốt
các mục đích dạy hoc ở trường phổ thông.
Số phức là một nội dung mới được đưa vào giảng dạy ở bậc THPT (bắt
đầu từ chương trình phân ban 2006) và được giảng dạy ở lớp 12. Các bài tập
trong sách giáo khoa được phân theo nội dung bài học, chưa thành các dạng
cụ thể, ở mức độ vận dụng thấp. Phân loại bài tập về số phức thành các dạng

toán và đưa ra một số bài tập phong phú giúp ích cho nhiều học sinh khi học
nội dung này khi kết hợp khéo léo, linh hoạt các kiến thức liên kết với nhau
như công thức cấp số cộng, cấp số nhân, công thức nhị thức Newtơn, bất đẳng
thức Bun-nhi-a-cốp-xki, bất đẳng thức hình học trong tam giác…khi học nội
dung này từ đó rèn luyện các kỹ năng, nhận dạng tốt để tìm ra kết quả bài
toán về số phức trong thời gian ngắn nhất.
Để rèn luyện năng lực tư duy, nắm vững kiến thức, kỹ năng và vận
dụng tìm nhanh đáp số phần bài tập trắc nghiêm về phần số phức cho học
sinh, các em có thể phát huy được tính sáng tạo và tư duy logic của mình, từ
đó các em học sinh giải được nhanh các bài toán liên quan liên quan đến số
phức trong đề thi THPT Quốc gia, tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của
mình: “XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG CAO
VỀ SỐ PHỨC ”.
II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm
Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em
học sinh trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về số phức và từ đó
hình thành kĩ năng vận dụng linh hoạt hơn trong việc giải các bài tập vận
dụng cao.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu cách vận dụng các kiến
thức phổ thông để hình thành một số bài tập vận dụng cao về số phức.
Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Giải tích lớp 12.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Thông qua những ví dụ cụ thể với cách tiếp cận khái niệm, cách giải
đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh vận dụng được các kĩ năng đã có.
Các khái niệm và ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các sách giáo
khoa, sách bài tập và sáng tạo. Trong các tiết học trên lớp tôi đã dạy bài trên
để học sinh biết vận dụng linh hoạt các kiến thức có liên quan.

2

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận.
Trong đề tài này sử dụng các hệ thống khái niệm, bài tập được chuẩn bị
từ SGK, sách bài tập và sáng tạo trên cơ sở các kiến thức học sinh đã biết.
II. Thực trạng và giải pháp.
1. Hệ thống lại kiến thức toàn chương
1.1. Khái niệm số phức
* Định nghĩa 1: Một số phức là một biểu thức dạng a + bi , trong đó a ,
b là các số thực và số i thoả mãn i 2 = −1. Kí hiệu số phức đó là z và viết
z = a + bi .
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần
ảo của số phức z = a + bi .
Tập hợp các số phức được kí hiệu là C.
* Chú ý:
+ Mỗi số thực a đều được xem như là một số phức với phần ảo b = 0 .
+ Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
+ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
*Định nghĩa2: Hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ R) và z ' = a '+ b ' i ( a' , b'∈
R)được gọi là bằng nhau nếu : a = a ' và b = b ' . Khi đó, ta viết: z = z ' .
1. 2. Biểu diễn hình học số phức
Mỗi số phức z = a + bi ( a, b ∈ R) được biểu diễn bởi một điểm M (a; b)
trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại mỗi điểm M (a; b) biểu diễn một số
phức z = a + bi
Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng
phức. Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.
1.3. Phép cộng và phép trừ số phức:
* Định nghĩa 3 : Tổng của hai số phức z1 = a1 + b1i và
z2 = a2 + b2i ( a1 , b1 , a2 , b2 ∈ R) là số phức z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i .

* Tính chất của phép cộng số phức:
i, ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 ) với mọi z1 , z 2 , z 3 ∈ C.
ii, z1 + z2 = z2 + z1 với mọi z1 , z 2 ∈ C.
iii, z + 0 = 0 + z = z với mọi z ∈ C.
iv, Với mỗi số phức z = a + bi ( a, b ∈ R), nếu kí hiệu số phức − a − bi là − z thì
ta có: z + (− z ) = − z + z = 0 . Số − z được gọi là số đối của số phức z .
*Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i (
a1 , b1 , a 2 , b2 ∈ R)là tổng của hai số phức
z1 và − z2 , tức là:
z1 + (− z2 ) = z1 − z2 = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i .
*Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:
Mỗi số phức z = a + bi ( a, b ∈ R) được biểu diễn bởi M (a; b) cũng có nghĩa là
ur uu
r
uuuur
véctơ OM . Khi đó nếu u1 , u2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì:
3


ur uu
r
+ u1 + u2 biểu diễn số phức z1 + z2
ur uu
r
+ u1 − u2 biểu diễn số phức z1 − z2

1.4. Phép nhân số phức:
*Định nghĩa 5: Tích của hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i (
a1 , b1 , a 2 , b2 ∈ R) là số phức:
z1.z2 = a1a2 − b1b2 + (a1b2 + a2b1 )i

*Nhận xét: + Với mọi số thực k và mọi số phức z = a + bi ( a, b ∈ R), ta
có: kz = k (a + bi ) = ka + kbi và 0.z = z.0 = 0 với mọi z ∈ C.
*Tính chất của phép nhân số phức:
i, z1 z2 = z2 z1 với mọi z1 , z 2 ∈ C
ii, z.1 = 1.z = z với mọi z ∈C .
iii, ( z1 z2 ).z3 = z1.( z2 z3 ) với mọi z1 , z 2 , z 3 ∈ C
iv, z1.( z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 với mọi z1 , z 2 , z 3 ∈ C
1.5. Số phức liên hợp và mô đun của số phức:
*Định nghĩa 6: Số phức liên hợp của số phức z = a + bi ( a, b ∈ R) là
a − bi và được kí hiệu là z . Như vậy, ta có: z = a + bi = a − bi
*Nhận xét:
+ Số phức liên hợp của z lại là z , tức là z = z . Do đó ta còn nói z và z là
hai số phức liên hợp với nhau.
+ Hai số phức là liên hợp với nhau khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của
chúng đối xứng nhau qua trục Ox.
*Tính chất:
i, Với mọi z1 , z 2 ∈ C ta có: z1 + z2 = z1 + z2 ; z1.z2 = z1.z2
ii, ∀z ∈ C, z = a + bi ( a, b ∈ R), số z.z luôn là một số thực và z.z = a 2 + b 2
*Định nghĩa 7: Mô đun của số phức z = a + bi ( a, b ∈ R) là số thực không
âm a 2 + b 2 và được kí hiệu z : z = z.z = a 2 + b 2 .
2
2
-Nếu z=a+bi có biểu diễn hình học là M(a;b) thì z = OM = a + b .

-Nếu z1, z2 có biểu diễn hình học là M 1, M2 thì M 1 M 2 = z1 − z 2
1.6. Phép chia cho số phức khác 0

4

−1
* Định nghĩa 8: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là z =

z
z

2

.

z'
của phép chia số phức z ' cho số phức z khác 0 là tích của z ' với
z
z ' z '.z
z'
−1
số phức nghịch đảo của z , tức là = z '.z . Như vậy, nếu z ≠ 0 thì = 2
z
z
z

Thương

*) Tính chất môđun của số phức
z' z'
=
z1 z2 = z1 . z2 ;
z1 + z2 ≤ z1 + z2 .
;
z

z
2. Một số kiến thức áp dụng
- Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki cho 4 số thực (ab + cd ) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 )
Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc
- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu u 1 và công sai d
Sn =

n
n
(u1 + un ) = (2u1 + (n − 1)d ).
2
2

- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu u 1 và công bội q
là S n = u1

qn −1
.( q ≠ 1)
q −1
n

n
k n−k k
- Công thức Newton: (a + b) = ∑ C n a b .
k =0

- Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp
+ Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0.
+ Phương trình đường tròn : (x-a) 2 +(y-b)2 =R2 .
x2 y2

+ Phương trình đường Elip: 2 + 2 = 1.
a
b

3. Một số bài tập vận dụng
Dạng 1. Tính các biểu thức của số phức.
Ví dụ 1: Tính các giá trị của các biểu thức sau
a)
S1= 1+i+i2+ i3+….+i2017 bằng
A. 1
B.i
C. -1
D. 1+i.
b)
2
3
S2 = 2+i +(1+i) +(1+i) +… +(1+i)2017
A. 22017 -i.
B. 22017i.
C . 21009- i
D. 21009+ i
c)
S3 = 1-i +2i2 -3i3+ 4i4-5i5 + …-2015 i2015
A.-1007+1008i. B.1008-1007i
C.1005-1004i D.1004+1008i
d)

2
4
6

8
2014
2016
+ C 2016
− C 2016
+ C 2016
− .... − C 2016
+ C 2016
S4 = 1 − C 2016
A. 0
B. 21008
C. -21008
D. 22015.

5


2

3

2017

a) S1= 1+i+i + i +….+i
công bội q=i , u1=1 nên

Hướng dẫn
là tổng của 2018 số hạng đầu của cấp số nhân có
1 − i 2018 1 − (i 2 )1009 1 − (−1)1009
=

=
= 1+ i .
1− i
1− i
1− i

S1= 1+i+i2+ i3+….+i2017 =1

Chọn D.
b) S2 = 2+i +(1+i)2 +(1+i)3 +… +(1+i)2017 =1 +(1+i)+(1+i)2 +(1+i)3 +…
+(1+i)2017 là tổng của 2018 số hạng đầu của cấp số nhân có công bội q=1+i ,
u1=1 nên
S 2 = 1.

1 − (1 + i ) 2018 1 − [(1 + i ) 2 ]1009 1 − (2i )1009 1 − 21009 [ (i 2 )]504 i
=
=
=
= 21009 + i
1 − (1 + i )
−i
−i
−i
.

Chọn C
c) Ta có : i = i4m+1, i2 = i4m+2 = -1, i3= i4m+3= -i , i4= i4m+4 = 1 với mọi m ∈ N .
Khi đó
S3 = 1-i +2i2 -3i3+ 4i4-5i5 + …-2015 i2015 = 1 –(1+5+9+…+2013) i +
(2+6+10+…+ 2014) i2 -(3+7+11+…+2015) i3+ (4+8+…+2012) i4

504
504
504
503
.(1 + 2013)i +
( 2 + 2014).(−1) +
(3 + 2015)i +
(4 + 2012).1
2
2
2
2
= −1007 + 1008i
= 1−

Chọn A.
d) Ta có (1 + i) 2016 = ((1 + i ) 2 )1008 = (2i )1008 = 21008 (1) mà
(1 + i )

=

2016

=1− C

2
2016

2016

k
1
2
3
4
2016 2016
12016−k.i k = 1 + C2016
i1 + C2016
i 2 + C2016
i 3 + C2016
i 4 + ... + C2016
i
∑ C2016

k =0

4
2016
1
3
2015
+ C2016
− ... + C2016
+ (C2016
− C2016
+ ... − C2016
)i

(2)

2
4
6
8
2014
2016
+ C 2016
− C 2016
+ C 2016
− .... − C 2016
+ C 2016
= 21008 .
Từ (1) và (2) suy ra S4=1 − C 2016

Chọn B
Ví dụ 2. a) Cho 2 số phức z1 ,z2 thỏa mãn z1 = z 2 = 1 và z1 − z 2 = 3
Khi đó giá trị z1 + z 2 bằng A. 0

B.2

C. 1

D.3

b) Cho 3 số phức z1 ,z2 , z3 thỏa mãn z1 = z 2 = z 3 = 1 và z1 +z2 + z3 =0
Khi đó giá trị z12 + z 22 + z 32 bằng A.0

B.1

C.-1

D.3

c) Cho hai số phức z1 ,z2 thỏa mãn z1 = z 2 = z1 − z 2 = 1 .
2

2

z  z 
Tính giá trị biểu thức P =  1  +  2  .
 z 2   z1 

6


A. P=1-i

B. P= -1-i
C.P=-1
Hướng dẫn

D. P=1+i .

a) Đặt z1 = x1 + y1i ( x1 , y1 ∈ R ), z 2 = x2 + y 2 i ( x 2 , y 2 ∈ R), từ
z1 = z 2 = 1 ⇔ x12 + y12 = x 22 + y 22 = 1 ,

z1 − z 2 = 3 ⇔ ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2 = 3 ⇔ x12 + y12 + x22 + y 22 − 2( x1 x2 + y1 y 2 ) = 3
⇔ x1 x 2 + y1 y 2 =

−1

nên
2

z1 + z 2 = ( x1 + x2 ) 2 + ( y1 + y 2 ) 2 = x12 + y12 + x 22 + y 22 + 2( x1 x 2 + y1 y 2 ) = 1 .

Chọn C.
1

1

1

1

2

3

b) z1 = z2 = z3 = 1 ⇔ z1 z1 = z2 z2 = z3 z3 = 1 ⇒ z1 = z , z2 = z , z3 = z

Mà

0 = z1 + z2 + z3 =

1 1 1 z2 z3 + z1 z3 + z2 z1 z2 z3 + z1 z3 + z2 z1
+ + =
=
z1 z2 z3
z1 z2 z3
z1 z2 z3

⇒ z2 z3 + z1 z3 + z2 z1 = 0
2
2
2
2
2
Do đó z1 + z2 + z3 = ( z1 + z2 + z3 ) − 2( z1z2 + z2 z3 + z1z3 ) = 0 − 2.0 = 0.
Chọn A.
z
z
c)Từ giả thiết, ta có z1 = z2 = z1 − z2 = 1 ⇔ 1 = 1 − 1 = 1 .
z
z
2
2
z
1 = x + yi ( x, y ∈ R )
w
=
Đặt
, khi đó
z
2
1

x=
 2
2
2

2


2
 x + y =1
x + y = 1

⇔
⇔

 ( x − 1)2 + y 2 = 1 ( x − 1)2 + y 2 = 1  y = ± 3

2
2
2
1
1
1
3 
3 
2
Khi đó P = w +
.= +
i÷ + −
i ÷ = −1 . Chọn C.
2
2
2
2
2

w




Dạng 2. Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức.

7


Ví dụ 3. Trong mặt phẳng Oxy , tìm tập hợp điểm M biểu diễn bởi số phức w
thỏa mãn điều kiện w=(1-2i)z +3.
a) Biết z là số phức thỏa mãn z − 1 − 3i = z − 2i
A. Đường thẳng 4x-6y+8=0

B. Đường thẳng 3x-5y-2=0

C. Đường thẳng 4x-5y +7=0
D. Đường thẳng 6x-2y-43 =0
b) Biết z là số phức thỏa mãn z + 2 = 5
A. Đường tròn (x-1) 2+(y-4)2 =125
B. Đường tròn (x-5) 2 + (y-5)2 =125
C. Đường tròn (x+1) 2 +(y-2)2=125
D. Đường thẳng x=2
Hướng dẫn
Gọi z = x + yi( x, y ∈ R ), có biểu diễn hình học là M 1(x;y) trong mặt phẳng tọa
độ , Gọi w = x'+ y ' i ( x, y ∈ R ), có biểu diễn hình học là M(x’;y’) trong mặt phẳng
tọa độ
x'−2 y '−3


x
=

5
Từ w=(1-2i)z +3 ⇔ x'+ y ' i = (1 − 2i )( x + yi) + 3 ⇔ 
 y = 2 x'+ y '−6

5

(1)

a)
z − 1 − 3i = z − 2i ⇔ ( x − 1) + ( y − 3)i = x + ( y − 2)i ⇔ ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = x 2 + ( y − 2) 2
⇔ 2x + 2 y − 5 = 0

( 2)

Thay (1) vào (2) ta được 2

x '−2 y '−3
2 x '+ y '−6
+2
− 5 = 0 ⇔ 6x’-2y’-43=0
5
5

Vậy quỹ tích của số phức z nằm trên đường thẳng 6x-2y-43 = 0.
Chọn D.
Cách1
a)

x '− 2 y '+ 7 2 x '+ y '− 6
z+2 =5⇔
+
i = 5 ⇔ ( x '− 2 y '+ 7)2 + (2 x '+ y '− 6) 2 = 625
5
5
Suy ra (x’-1) 2 +(y’-4)2 =125.
Vậy quỹ tích điểm M biểu diễn bởi số phức w là đường tròn
(x-1) 2 +(y-4)2 =125. Chọn C.
Cách 2.
w = (1 − 2i ) z + 3 ⇔ w = (1 − 2i )( z + 2) − 2 + 4i + 3 ⇔ w − 1 − 4i = (1 + 2i )( z + 2)
w − 1 − 4i = 1 + 2i z + 2 = 5 5
Vậy quỹ tích điểm M biểu diễn bởi số phức w là đường tròn
(x-1) 2 +(y-4)2 =125. Chọn C
Nhận xét. Cho số phức Z thỏa mãn z − a − bi = r khi đó quỹ tích của số phức

8


nằm
trên
đường
tròn
được
xác
w = (c + di ) z + e + fi
w = (c + di ) z + e + fi ⇔ w = (c + di )( z − a − bi ) + ac − bd + (bc + ad )i + e + fi
⇔ w − ( ac − bd + e) − (bc + ad + f )i = (c + di )( z − a − bi )

định

w − ( ac − bd + e) − (bc + ad + f )i = c + di z − a − bi = c 2 + d 2 .r

Vậy quỹ tích biểu diễn bởi số phức w nằm trên đường tròn tâm
I(ac-bd+e;bc+ad+f) ,bán kính R = c 2 + d 2 .r
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z − 4 + z + 4 = 10.
a) Tìm quỹ tích điểm biểu diễn bởi số phức z là
A. Là một đường thẳng B. là một đường tròn tâm I(4;-4), bán kính r=10
x2 y2
+
= 1.
C.Là đường Elip:
25 9

x2 y2
+
= 1.
D. Là đường Elip:
25 16
b) Từ đó tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của z lần lượt là

A. 10 và 4

B. 5 và 4

C. 4 và 3
D.5 và 3
Hướng dẫn
z
=

x
+
yi
(
x
,
y
∈
R
),
Gọi
có biểu diễn hình học là M (x;y) trong mặt phẳng
tọa độ, F 1(-4;0), F2(4;0).
z − 4 + z + 4 = 10 ⇔ ( x − 4) + yi + ( x + 4) + yi = 10
Từ
( x − 4) 2 + y 2 + ( x + 4)2 + y 2 = 2.5 ⇔ MF 1 + MF2 = 2.5
Nên tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường Elip có a=5,c=4,
x2 y2
+
= 1. Chọn C
b =a -c =9 , có phương trình chính tắc là
25 9
2

2

2

b) max z = OA = OA ' = a = 5 , min z = OB = OB ' = b = 3 . Chọn D.

Ví dụ 5 : Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ.
9


Hỏi hình nào biểu diễn số phức w =

i
z

Hướng dẫn
Gọi z = x + yi( x, y ∈ R ), có biểu diễn hình học là M (x;y) trong góc phần tư
i
i
i ( x + yi)
y
x
= 2
=− 2
+ 2
i
thứ nhất nên x,y>0. Ta có w = =
2
2
x +y
x + y2
z x − yi x + y

10

 −y
 x2 + y2 < 0

⇒ điểm biểu diễn số phức w nằm trong góc phần
Do x,y>0 nên 
 x
>0
 x 2 + y 2

tư thứ 2. Chọn C
Dạng 3. Tìm số phức hoặc tìm môđun lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của số
phức thỏa mãn điều kiên cho trước.
Ví dụ 6. a) Cho các số phức z,w thỏa mãn z + 2 − 2i = z − 4i , w = iz + 1 . Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức w là A.

2
2

B. 2 2

C. 2

D.

3 2
2

b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức T = z + i + z − 2 − i
A. maxT= 8 2

B. maxT=4
C . maxT= 4 2
D. maxT= 8
2
2
c) Cho số phức z 1 thỏa mãn z − 2 − z + i = 1 và số phức z2 thỏa mãn
z − 4 − i = 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1 − z 2

2 5
5

B.

5

C.

2 5
5

D.

3 5
5

Hướng dẫn
z = x + yi( x, y ∈ R ), từ z + 2 − 2i = z − 4i ⇔ ( x + 2) 2 + ( y − 2) 2 = x 2 + ( y − 4) 2
⇔ ( x + 2) 2 + ( y − 2) 2 = x 2 + ( y − 4) 2 ⇔ x + y = 2 ⇔ y = − x + 2

Nên w = iz + 1 = i ( x + yi ) + 1 = 1 − y + xi

1
1
2
⇒ w = x 2 + (− y + 1) 2 = x 2 + (−1 + x) 2 = 2( x − ) 2 + ≥
2
2
2
2
Vậy min w =
. Chọn A
2
2)Đặt z = x + yi( x, y ∈ R), từ

z − 1 = 2 ⇔ ( x − 1)2 + y 2 = 2 ⇔ ( x − 1)2 + y 2 = 2 ⇔ x 2 + y 2 = 2 x + 1

(*)

T = z + i + z − 2 − i = x + ( y + 1)i + ( x − 2) + ( y − 1)i
= x 2 + ( y + 1) 2 + ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = x 2 + y 2 + 2 y + 1 + x 2 + y 2 − 4 x − 2 y + 5

Kết hợpvới (*), ta được T = 2 x + 2 y + 2 + 6 − 2 x − 2 y mà
T 2 = ( 2 x + 2 y + 2 + 6 − 2 x − 2 y ) 2 ≤ (12 + 12 )(2 x + 2 y + 2 + 6 − 2 x − 2 y ) = 16 ⇒ T ≤ 4

(Áp dụng bất đẳng thức Bun-nhi-a-cốp-xki)
11


Vậy max T=4. Chọn B.
3) *)Đặt z1 = x1 + y1i ( x, y ∈ R ), có biểu diễn hình học là điểm M(x 1;y1), z1 thỏa
2

2
2
2
mãn z − 2 − z + i = 1 ⇔ [( x1 − 2) 2 + y1 ] − [ x1 + ( y 1 +1) 2 ] = 1 ⇔ 2 x1 + y1 − 1 = 0
suy ra điểm M thuộc đường thẳng ∆ : 2 x + y − 1 = 0
*) Đặt z2 = x2 + y2i ( x2 , y2 ∈ R ), có biểu diễn hình học là điểm N(x 2;y2), z2
thỏa mãn
z 2 − 4 − i = 5 ⇔ ( x 2 − 4) 2 + ( y 2 − 1) 2 = 5 ⇔ ( x 2 − 4) 2 + ( y 2 − 1) 2 = 5

suy ra điểm N thuộc đường tròn ( C): (x-4) 2 +(y-1) 2 =5, tâm I(4; 1) bán kính
r = 5 . Khi đó
z1 − z2 = ( x1 − x2 ) 2 + ( y 1 − y2 ) 2 = MN ≥ IN − IM ≥ IH − r
8
3 5
− 5 =
5
5

IH − r = d ( I , ∆ ) − r =

Vậy min z1 − z 2 =

3 5
. Chọn D
5

Ví dụ 7: a) Cho số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 2 − 3i = 2 5 . Gọi m,M
lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất z + 1− 2i . Tính P = m +M.
5 + 5 10
. C. 10 + 2.

D. 2 10 + 2.
5
b) Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − i + z − 3 − 2i = 5 . Gọi m,M lần lượt là giá
trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất z . Tính P = m +M.

A.

A.

2 5 + 5 10
. B.
5

2 5 + 5 13
. B.
5

5 + 5 13. C.

13 + 2 .

D. 2 13 + 2.

Hướng dẫn
a) Gọi z = x + yi( x, y ∈ R ), có biểu diễn hình học là M(x;y) trong mặt phẳng
tọa độ
Ta có
z + 2 − i + z − 2 − 3i = 2 5 ⇔ ( x + 2) 2 + ( y − 1) 2 + ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = 2 5
⇔ [( x + 1) + 1] 2 + [( y − 2) + 1] 2 + [( x − 1) + 3] 2 + [( y − 2) − 1] 2 = 2 5

(1).

12


Số phức z+1-2i = (x+1) + (y-2)i có biểu diễn là điểm M’(x+1; y-2) trong mặt
phẳng tọa độ. Đặt A(-1:-1) ,B(3;1) thì từ (1) ta có M’A + M’B= 2 5 (2) và
AB = 2 5
(3) , từ (2) và (3) suy ra M’ thuộc đoạn thẳng AB. phương trình
AB : x-2y-1 =0 , OA = 2 , OB = 10 nên góc OAB và góc OBM’ là góc nhọn

M = max z + 1 − 2i = max OM ' = max{OA; OB} = 10

m = min z + 1 − 2i = min OM ' = d (O, AB) =

5
.
5

5
5 + 5 10
=
. Chọn B
5
5
b) Gọi z = x + yi( x, y ∈ R ), có biểu diễn hình học là M(x;y) trong mặt phẳng

Vậy M + m = 10 +
tọa độ. Ta có

z − 1 − i + z − 3 − 2i = 5 ⇔ ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 + ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 5

(1)

Đặt A(1; 1) ,B(3;2) , AB = 5 ,từ (1) ta có MA + MB= 5 nên M thuộc đoạn
thẳng AB. Ta nhận thấy z = OM và góc OAB là góc tù nên ta có

M = max z = max OM = max{OA; OB} = OB = 13

m = min z = min OM = OA = 2 . Vậy M + m = 13 + 2 . Chọn C.

13


Nhận xét. Một sai lầm thường gặp là đánh giá min z = d (O; AB) =

5
nhưng
5

góc BAO là góc tù nên không tồn tại điểm M trên đoạn AB để OM vuông góc
với AB.
Bài toán: Cho số phức z thỏa mãn z − a − bi = r (r > 0)
1) Tìm max z − c − di , min z − c − di
2) Tìm số phức z sao cho max z − c − di , min z − c − di .
Giải.
1) Gọi z = x + yi( x, y ∈ R ), có biểu diễn hình học là M (x;y) trong mặt phẳng tọa
độ
z − a − bi = r ⇔ ( x − a) 2 + ( y − b) 2 = r 2 tập hợp điểm M nằm trên đường tròn (C)
tâm I(a;b), bán kính r. Gọi F(c;d), khi đó

z − c − di = ( x − c ) 2 + ( y − b) 2 = MF ≤ IF + IM = IF + IM 2 = FM 2 = IF + r

Suy ra max z − c − di = IF + r = (c − a ) 2 + (d − b)2 + r
Ta lại có

z − c − di = MF ≥ IF − IM = IF − IM 1 = IF − r =

(c − a ) 2 + ( d − b ) 2 − r

2
2
Suy ra min z − c − di = IF − r = (c − a ) + (d − b) − r

2)Số phức z sao cho max z − c − di chính là số phức có biểu diễn hình học
là điểm M2, Số phức z sao cho min x z − c − di chính là số phức có biểu diễn
hình học là điểm M 1, trong đó M1, M2 được xác định là giao điểm của đường
thẳng IF và đường tròn (C), tọa độ M 1, M2 được xác định từ hệ phương trình
14


( x − a) 2 + ( y − b) 2 = r 2

( d − b)( x − a) − (c − a )( y − b) = 0

Trường hợp đặc biệt.
2 2
2 2
Nếu c=d=0 tức tìm max z = a + b + r ,min z = a + b − r .

Số phức z sao cho max z , min z tương ứng với điểm biểu diễn hình học M 2,

M1 là giao của đường thẳng OI và đường tròn (C).
Ví dụ 8: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = 5 .
a) Tìm max z , min z ?
B. max z = 3 5, min z = 2 5.
A. max z = 3 5, min z = 5.
C. max z = 5, min z = 5.
D. max z = 13 , min z = 2.
b) Tìm số phức z có môđun lớn nhất
A. z=1+2i
B.z=3+6i
C. z =3-6i
D. z= 3 +2i.
Hướng dẫn
Tập hợp những điểm M(x;y) biểu diễn bởi số phức z thỏa mãn
z − 2 − 4i = 5 nằm trên đường tròn tâm I(2;4) , bán kính r = 5 , z = OM
a) Khi đó
max z = a 2 + b 2 + r = 2 2 + 4 2 + 5 = 3 5 ,
min z =

a2 + b2 − r =

22 + 42 − 5 = 5

Chọn A.
b) Tìm số phức có môđun lớn nhất. Phương trình đường thẳng OI là y=2x.
Tọa độ M1, M2 là nghiệm của hệ phương trình
 x = 1
⇒ M 1 (1;2)

y

=
2
 y = 2x
 y = 2x

⇔ 2
⇔

2
2
 x = 3
( x − 2) + ( y − 4) = 5 5 x − 20 x + 15 = 0

⇒ M 2 (3;6)
  y = 6

Số phức z có môđun lớn nhất là z =3+6i ứng với M 2(3;6). Chọn B.
Ví dụ 9. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện (1 + i ) z + 1 − 7i = 2 .
Tìm max z − 1 + 2i
B. 5
A. 10 .

C. 2 10 +1
D. 4.
Hướng dẫn
z
=
x
+
yi

(
x
,
y
∈
R
),
Gọi
có biểu diễn hình học là M (x;y) trong mặt phẳng tọa
độ.Tacó (1 + i ) z + 1 − 7i = 2 ⇔ 1 + i z +

1 − 7i
= 2
1+ i

15


z − 3 − 4i = 1 ⇔ ( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 12 tập hợp điểm M nằm trên đường tròn (C)

tâm I(3;4),bán kính r=1. Gọi F(1;-2), khi đó z − 1 + 2i = ( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 = MF
max z − 1 + 2i = max MF = IF + r = (1 − 3) 2 + ( −2 − 4) 2 + 1 = 2 10 + 1 . Chọn C.

4) Bài tập .
1) Cho số phức thay đổi luôn có z = 2 . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn bởi
số phức w = (1 − 2i ) z + 3i
là:
2

2

2
2
B. Đường tròn x + ( y − 3) = 2 5
2
2
D. Đường tròn ( x − 3) + y = 2 5 .

A.Đường tròn x +(y-3) =20
2
2
C. Đường tròn x + ( y + 3) = 20

( Đề thi thử của THPTchuyên Vinh lần 3-2017)
2) Cho các số phức z, w ≠ 0 và thỏa mãn z − w = 2 z = w phần thực của số
z
phức u= w là
1
A. a = 4 .

B. a = 1

1

C. a = 8

1

D. a = − 8 .

( Đề thi thử của THPTchuyên Vinh lần 3-2017)
2

3) Cho số phức z thỏa mãn z = 2 và điểm A trong hình vẽ bên là điểm
biểu diễn của z. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số
1
w
=
phức
iz là một trong bốn điểm M,N,P,Q. Khi đó điểm biểu diễn

của số phức w là
A. Điểm Q.

B. Điểm M.

C. Điểm N.

D.Điểm P.

( Đề thi thử của THPTchuyên Vinh lần 1-2017)

16


2 1
1
+ =
z
≠

0,
z
≠
0
1
2
4) Cho số phức
thỏa mãn điều kiện z1 z2 z1 + z2 . Tính giá
z1
z2
P
=
+
.
trị biểu thức
z2
z1

A.

1
.
2

B.

C. 2

2.

D.

3 2
.
2

( Đề thi thử của THPT Đặng Thúc Hứa- Nghệ An-2017)
5) Với z1,z2 là hai số phức bất kỳ, giá trị của biểu thức
2

a=

z1 + z2

2

2

z1 + z2 + z1 − z2

A. a=2.

2

.

B .a=0,5.

C.a=1
D.a=1,5.

(Chuyên KHTN-lần 5)
2

6) Với z1,z2 là hai nghiệm của phương trình z +z +1=0. Tính giá trị của
P = z12017 + z22017 .

A.P=1.
B . P=-1
C. P=0
D. P=2.
7)Xét các số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 2 − 3i = 2 5 . Gọi m,M lần
lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất z . Tính P = m +M.
4 5 + 5 13
. B. 5 + 13 . C. 2 + 13 . D. 2 + 2 13
5
8)Xét các số phức z thỏa mãn z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 . Gọi m,M lần
lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất z + 1− 2i . Tính P = m +M.

A.

5 2 + 2 73
.
2
5 2 + 73
P=
.
2

A. P= 13 + 73 .

B. P=

C . P= 5 2 + 73 .

D.

( Đề minh họa của bộ lần 3-năm 2017 )
9) Tính S1= 1 − 3C + 9C − 27C 2016 + 81C 2016 − .... − 3
A .2 2 0 1 6 B. -2 1 0 0 8
C. 3 2 0 1 6
D. -2 2 0 1 6
10) Tính S2 = 2-i +(1-i)2 +(1-i)3 +… +(1-i)2017
A.1
B.-1
C. 21009-i.
D.2 1009+i
2
2016

4
2016

6

8

1007

2014
2016

C 2016
+ 31008 C 2016
.

11) Tính S3 = 1-i +2i2 -3i3+ 4i4-5i5 + …-2015 i2015 +2016i2016 -2017i 2017
A. 1008-1009i. B. 1009+1008i
C.1008+1009i. D. 1009-1009i

17


12) Cho số phức z thỏa mãn z − 6 + i = 4
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu
diễn số phức w = ( −4 + 3i ) z + i là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn
đó
A. bán kính R=12

B. bán kính R=10.

C. bán kính R=20

D. bán kính R=22.

13) Cho số phức z thỏa mãn z = 4
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số
phức w = (3 + 4i) z + i là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính r của đường
tròn đó.
A. Tâm I(1,-1), bán kính R=12

B. Tâm I(0; 1), bán kính R=20.

C. Tâm I(0;-1), bán kính R=20
D. Tâm I(3;4), bán kính R=22.
14) Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + 4i ≤ 2
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu
diễn số phức w = 2iz + 1 là một hình tròn có diện tích bằng:
A. S=9π.

B. S=12π.

C. S=16π.

D. S=25π.

15) Cho số phức z thỏa mãn z − 1 − 2i = 4 Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ
.
nhất và giá trị lớn nhất z + 2 + i . Tính S = m2 +M2.
A. S= 34.
B. S=82
C.S=68.
D. S=36.
(Sở GD Hưng Yên 2017)
16) Cho số phức z thỏa mãn z − (2 + 4i ) = 2
. Gọi z1, z2 là các số phức có mô
đun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức z 1, z2 bằng
(Sở GD Hà Tĩnh 2017)
A.8i B.4
C.-8
D.8.
17) Trong các số phức z thỏa mãn 2z + z = z − i

. Tìm số phức có phần thực
−1
không âm sao cho z đạt giá trị lớn nhất.
i
6 i
C. z = 3 + i
D. z = 6 + i
+ . B. z =
.
2
4 8
8 8
4 2
18) Trong các số phức z thỏa mãn z − 2 − 4i = z − 2i
.Tìm số phức z có mô

A. z =

đun nhỏ nhất
A. z =2-2i.
B.z=1+i.
C.z=2+2i.
19) Cho số phức z thỏa mãn z − 3 + z + 3 = 10

D.z=1-i.
. Giá trị nhỏ nhất của

z

là

18


A. 4
B.5
C. 3
D.6 .
20) Cho số phức z thỏa mãn z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của T = z + 1 + 2 z − 1
A. max T = 2 5 B. max T = 2 10 C. max T = 3 5 C. max T = 3 2
(Chuyên Ngoại ngữ Hà Nội 2017)
21) Cho 2 số phức z1 ,z2 thỏa mãn z1 = z2 = 2 và z1 + z2 = 10
Khi đó giá trị z1 − z2 bằng A. 0

B.

7 C.

6

D.3

6

D.4

22) Cho 2 số phức z1 ,z2 thỏa mãn z1 = 1; z2 = 2 và z1 + z2 = 3
Khi đó giá trị z1 z2 + z1 z2 bằng A. 2

B. 0 C.

III. Kiểm nghiệm của đề tài.
Sau khi đề tài này được thực hành trên lớp và kiểm tra, đa số học sinh
tiếp thu và vận dụng tốt.
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Qua các bài tập trong bài dạy vừa nêu trên ta thấy được ưu điểm của
việc vận dụng ngắn gọn và dễ hiểu. Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy
trách nhiệm khi viết đề tài, đồng thời kết hợp với cả giảng dạy trên lớp để
kiểm nghiệm thực tế, tuy nhiên trong quá trình viết sẽ khó tránh khỏi các
khiếm khuyết rất mong được sự đóng góp của đồng nghiệp để đề tài này có ý
nghĩa thiết thực và bổ ích hơn trong nhà trường.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 29 tháng 5 năm 2017
CAM KẾT KHÔNG COPY

LÊ THỊ NA

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK lớp 12 – NC.
2. Bài tập Giải tích 12 chuẩn và NC.
3. Phân loại và các phương pháp giải toán Số Phức- Tác giả Lê Hoành Phò.
4. Hệ thống các đề thi thử THPT của một số trường trong cả nước.
5.Một số bài tập về cực trị số phức- Lương Đức Trọng- ĐHSP Hà Nội.

20