Một số sai lầm thường gặp của học sinh lớp 12 khi giải bài toán hình học trong không gian

I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình môn toán ở trường trung học phổ thông (THPT), phần
hình học không gian là một phân môn khó. Hơn nữa, nó là phần không thể thiếu
trong cấu trúc đề thi học sinh giỏi, đề thi THPT quốc gia hiện nay. Đó cũng là
chủ đề tiếp nối chủ đề hình học phẳng. Vì thế, việc dạy và học hình học không
gian là vấn đề được rất nhiều giáo viên giảng dạy bộ môn toán quan tâm.
Hình học không gian đòi hỏi ở học sinh tính sáng tạo, khả năng tưởng tượng,
…, vì thế học hình học không gian có khả năng rèn luyện kĩ năng lập luận, óc
suy luận phán đoán, tư duy logic cho học sinh. Tuy nhiên, trong quá trình giảng
dạy ở phổ thông, tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học phần này, thậm chí nhiều
em cứ gặp bài toán này là bỏ ngay, không cần đọc đề. Hơn nữa, hiện nay bộ môn
Toán chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm thì hình học không gian lại càng
không dễ dàng với nhiều học sinh có sức học bình thường, nhiều em cố gắng
làm bài song tôi nhận thấy khi làm hình dưới dạng trắc nghiệm các em hay ngộ
nhận kết quả, hay ngộ nhận các tính chất, ... dẫn đến những sai lầm đáng tiếc.
Chính vì thế mà mỗi lần lên lớp, bản thân tôi rất trăn trở, làm thế nào để truyền
đạt cho các em dễ hiểu, làm thế nào để dạy cho các em những kỹ năng cơ bản
nhất, và đặc biệt làm thế nào để khắc phục những lỗi thường gặp của các em một
cách tối đa để các em có thể tự tin làm bài, tự tin tham dự các kỳ thi và đạt kết
quả cao nhất có thể. Xuất phát từ các lý do trên, tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài
sáng kiến kinh nghiệm: “Một số sai lầm thường gặp của học sinh lớp 12 khi
giải các bài toán hình học trong không gian”.
2. Mục đích nghiên cứu
Hình học không gian là môn học về các vật thể trong không gian mà các điểm
để hình thành nên các vật thể đó lại thường không cùng nằm trong một mặt
phẳng. Do đó học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn trong việc vẽ hình, hoặc
vẽ hình sai, không chính xác. Không những thế, do đã quen với hình học phẳng,
khi chuyển sang hình học không gian, các em cũng thấy có các đối tượng như
điểm, đường thẳng,… nên nhiều khi rất “vô tư” áp dụng các tính chất của hình
học phẳng để làm bài. Điều này dẫn đến rất nhiều sai lầm trong khi giải các bài

toán về hình học không gian. Vì vậy, tôi nghiên cứu đề tài này với mong muốn
phát triển tư duy hình học, tư duy trừu tượng, từng bước tháo gỡ những vướng
mắc, khắc phục những điểm yếu và khơi dậy niềm đam mê đối với môn học của
các em, nhằm mục đích cuối cùng đó là nâng cao chất lượng dạy học nói chung
và phần hình học không gian nói riêng.
3. Đối tượng nghiên cứu

1


Đối tượng nghiên cứu là một số sai lầm của học sinh lớp 12 khi giải toán
hình học trong không gian.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Điều tra giáo dục: Tiến hành tìm hiểu về các số liệu thông qua các bài
kiểm tra của học sinh tại trường phổ thông.
• Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập hình học lớp
11 và 12, đề thi THPT quốc gia năm học 2015-2016, các đề minh họa năm
2017 của bộ GD và ĐT. Các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học.
• Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ôn tập buổi
chiều cho học sinh lớp 12.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý luận
1.1. Hai mặt phẳng song song1
• Định lý:
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng
cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
1.2. Quan hệ vuông góc trong không gian2
• Định lý ba đường vuông góc:
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α ) và b là đường thẳng không
thuộc (α ) đồng thời không vuông góc với (α ) . Gọi b’ là hình chiếu vuông góc

của b trên (α ) . Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α ) .
Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α ) thì ta nói rằng
góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α ) bằng 90o.
Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α ) thì góc giữa d
và hình chiếu d’ của nó trên (α ) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng
(α ) .
• Hai mặt phẳng vuông góc
Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau
Giả sử hai mặt phẳng (α ) và ( β ) cắt nhau theo giao tuyến c . Từ điểm I bất kỳ
trên c ta dựng trong (α ) đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong ( β )
đường thẳng b vuông góc với c . Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (α ) và ( β ) là
góc giữa hai đường thẳng a và b .
1
2

Ghi chú: Mục 1.1 tác giả trích trong TLKT số 1.
Mục 1.2 tác giả trích trong TLKT số 1.

2


Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với
nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.
Đinh lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt
phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào
nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt
phẳng kia.

Hệ quả 2: Cho 2 mặt phẳng (α ) và ( β ) vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm
thuộc mặt phẳng (α ) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( β )
thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (α ) .
1.3. Thể tích khối đa diện3
1
V = Bh ( B là diện tích đáy, h là chiều cao)
Thể tích khối chóp:
3
Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B là diện tích đáy, h là chiều cao)
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong nhiều năm qua, để đánh giá khả năng tư duy trừu tượng, phẩm chất, trí
tuệ của học sinh thông qua các kỳ thi chọn học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao
đẳng và gần đây nhất là kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia người ta đã chọn bài
toán hình học không gian như một phần chung, bắt buộc cho tất cả các thí sinh.
Từ thực tế giảng dạy phần hình học không gian của lớp 11 (chương II, chương
III) và lớp 12 (chương I), tôi nhận thấy tồn tại một số vấn đề như sau:
Thứ nhất, phân phối chương trình chủ yếu là dạy các vấn đề lý thuyết cho học
sinh, thời lượng dành cho việc luyện tập là quá ít (chỉ có 12 tiết luyện tập trong
tổng số 34 tiết ở cả hai chương I và II hình học lớp 11, 3 tiết luyện tập trong tổng
số 12 tiết ở chương I hình học lớp 12). Trong khi đó, các dạng toán về hình học
không gian là quá rộng, giáo viên không thể hướng dẫn học sinh vận dụng giải
hết được các dạng toán điển hình, và vì vậy cũng không thể phát hiện được hết
những sai lầm mà học sinh thường gặp phải để có thể giúp các em khắc phục sai
lầm đó.
Thứ hai, đây là một phân môn học tương đối khó, đòi hỏi trí tưởng tượng,
năng lực tư duy và khả năng quan sát, phán đoán của học sinh khá cao. Bên cạnh
đó thực tế chất lượng đầu vào của học sinh ở những vùng kinh tế thuần nông
như trường tôi thì việc đầu tư và đôn đốc của cha mẹ với con em mình trong
việc học tập rất hạn chế. Đó cũng chính là khó khăn lớn nhất mà chúng tôi gặp
phải trong quá trình dạy học.

3. Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

3

Ghi chú: Mục 1.3 tác giả trích trong TLKT số 2.

3


Để thực hiện đề tài này, tôi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này, đặc
biệt hơn nữa là tôi đã tiến hành nghiên cứu rất kỹ bài giải của nhiều học sinh khá
và giỏi trong các bài kiểm tra định kỳ, trong các kỳ thi chọn đội tuyển học sinh
giỏi cấp trường, các kỳ thi thử đại học, ghi chép lại để đối chiếu, so sánh,… và
từ đó nhận ra được những sai lầm mà học sinh thường gặp trong khi giải các bài
toán về hình học không gian như sau:
3.1. Sai lầm do vẽ hình không đúng
Do không chú ý hết các yêu cầu về giả thiết, hoặc do những nhận định, những
kết luận mà trực giác tạo ra nên dẫn đến vẽ hình sai.
Dưới đây là những ví dụ thể hiện sai lầm trong vẽ hình của học sinh, cụ thể là
xác định sai hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống mặt đáy. Từ đó dẫn đến sự
bế tắc trong cách giải. Loại này tôi không nêu câu hỏi dạng trắc nghiệm, bởi
mắc sai lầm này thì đa số các em đều bế tắc trong việc tính toán.
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là một tam giác vuông có cạnh huyền
BC = a, góc nhọn B = B = α . Các cạnh bên của hình chóp hợp với mặt đáy
những góc bằng nhau và bằng β . Tính diện tích xung quanh của khối chóp.4
• Sai lầm thường gặp
Dễ dàng bắt gặp hình vẽ sai dẫn đến “bí” trong cách giải của nhiều em như sau:
Kẻ SH ⊥ ( ABC ) .
·
·

·
Ta có: SAH
= SBH
= SCH
=β
Kẻ HI ⊥ AB, HJ ⊥ BC , HK ⊥ AC
Từ định lí 3 đường vuông góc ta có:
 SI ⊥  AB

 SJ ⊥ BC
 SK ⊥ AC

S xq = S ∆SAB + S ∆SBC + S∆SCA
1
1
1
AB . SI +   BC . SJ +   AC . SK
Hình 1
2
2
2
*Đến đây thì bài toán đã rơi vào thế “bí” bởi vì cần phải tính được SI , SJ , SK
theo a,α , β thì đều chưa thể tính được (còn AB, BC , CA tính được theo a,α ).
   =

•

4

Phân tích sai lầm

Ghi chú: Ví dụ 1 tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 3. Từ phần sai lầm thường gặp đến hết tác giả tự làm

4


Để có thể thực hiện bài toán trên, ta phải tính được SI, SJ, SK theo a.
Tuy nhiên, ở hình 1 không có một gợi ý liên hệ nào có thể giúp chúng ta thực hiện
việc tính toán này bởi vì đây là một hình vẽ sai do không vận dụng hết các điều
đã cho trong giả thiết.
Thật vậy, hình chóp đã cho có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng nhau
·
·
·
nên ta chứng minh được HA = HB = HC , nghĩa là chân
SAH
= SBH
= SCH
đường cao H phải trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC.
Mặt khác tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp chính là
trung điểm của cạnh huyền BC. Do đó, chân đường cao H chính là trung điểm
của cạnh huyền BC và hình 2 dưới đây mới là hình vẽ đúng cho bài toán này.
• Lời giải đúng
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC). Ta có:
∆SHA = ∆SHB = ∆SHC ⇒ HA = HB = HC
hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ H là trung điểm của BC.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB, AC. Ta có:
AB ⊥ HI , AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ SI
AC ⊥ HK , AC ⊥ SH ⇒ AC ⊥ SK
Ta tính được:

BC = a, AB = a cos α , AC = a sin α
a
a
a
SH = tan β , HI = sin α , HK = cosα
2
2
2
Từ đó ta được:
a2
SI = SH + HI = (tan 2 β + sin 2 α )
4
2

2

2

a2
SK = SH + HK = (tan 2 β + cos 2α )
4
S xq = S∆SAB + S∆SBC + S∆SCA
2

2

2

1
1

1
AB . SI +   BC . SH +   AC . SK
2
2
2
Thay số ta được:
Hình 2
2
a
S xq = ( cosα tan 2 β + sin 2 α + tan β + sin α tan 2 β + cos 2α ).
4
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a. Mặt bên
(SAC) của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với đáy
những góc bằng 60o . Tính thể tích của khối chóp.5
=

5

Ghi chú: Ví dụ 2 tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 3. Từ phần sai lầm thường gặp đến hết tác giả tự làm

5


• Sai lầm thường gặp
Tương tự như trên, trong lời giải của học sinh ta dễ bắt gặp các hình vẽ như
hình 3). Rõ ràng hình vẽ này không thể hiện đúng giả thiết của bài toán đã cho.
Đây là một hình vẽ sai, người vẽ xác định hình chiếu vuông góc của S là H mà
không chú ý đến giả thiết, vì vậy dẫn đến sự bế tắc trong việc tìm kết quả.
• Phân tích sai lầm
Ở bài toán này, muốn tính thể tích của khối chóp, việc quan trọng là tính được

SH. Như vậy phải xác định được điểm H nằm ở vị trí nào? Nhưng hình vẽ này
không thể hiện đúng giả thiết của bài toán.
Thật vậy, ta có mặt bên (SAC) vuông góc với mặt đáy (ABC). Khi đó, nếu ta kẻ
đường cao SH thì theo hệ quả 2 của định lí 1, SH phải nằm trong mặt phẳng
(SAC).
Từ đó suy ra điểm H phải nằm trên AC.
Mặt khác:
·
·
SIH
= SJH
= 60o
⇒ ∆SIH = ∆SJH ⇒ IH = JH
Nghĩa là H phải nằm trên đường phân
giác của góc B.
Do ∆ABC là tam giác đều, suy ra H
chính là trung điểm của cạnh AC và ta
có hình vẽ đúng như hình 4 ở lời giải
đúng dưới đây.
• Lời giải đúng
Kẻ SH ⊥ (ABC).Ta có: (SAC) ⊥ (ABC)
Suy ra SH nằm trong (SAC) ( hệ quả 2, định lý 1).
Vậy điểm H thuộc cạnh AC.
Kẻ HI  ⊥ AB, HJ ⊥ BC , theo định lí 3 đường vuông góc ta có
SI ⊥  AB, SJ  ⊥ BC ( Hinh 4)
·
·
Mặt khác: SIH
= SJH
= 60o

Hình 3

⇒ ∆SIH = ∆SJH ⇒ IH = JH

Ta có: HJ / / AA ' (với A’ là trung điểm của BC).

6


1
1a 3 a 3
.
AA ' =
=
2
2 2
4
3a
Mà: SH = HJ .tan 60o = .
4
Suy ra:
Ta có: HJ =

1
a2 3
S∆ABC = AA '.BC =
;
2
4

.
3
1
a 3
VSABC = SH .S ∆ABC =
3
16

Hình 4

*Nhận xét: Những sai lầm trên đây là do thiếu một số hiểu biết cần thiết trong
việc vẽ một số hình quen thuộc, hoặc do nhầm lẫn, vận dụng không đầy đủ và
chính xác những điều đã cho trong giả thiết. Để khắc phục những thiếu sót này,
ngoài việc nắm vững khái niệm, tính chất và vận dụng tối đa giả thiết, học sinh
cần phải làm quen với một số cách vẽ những hình không gian thường gặp. Sau
đây là một số các hình vẽ rất hay gặp trong các đề thi hiện nay:

7


3.2. Sai lầm khi xác định các khái niệm hình học
Trong các bài toán hình học không gian, ta thường gặp các khái niệm:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Góc giữa hai mặt phẳng.
- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường
thẳng,...
Nếu học sinh nắm không vững các khái niệm này thì khi xác định nó trên hình
vẽ các em sẽ dễ mắc sai lầm và dẫn đến những kết quả không đúng. Sau đây là
một số sai lầm như vậy mà học sinh thường gặp.
Ví dụ 1. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Đường

chéo BC’ hợp với mặt bên (BAA’B’) một góc 30o . Thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ là:
3
a
3+3 3
A.
4

a3 6
C.
4

3a 3
a3 3
D.
4
4
* Sai lầm thường gặp, đó là xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ta
thường bắt gặp các hình vẽ và cách giải sai dưới đây dẫn đến chọn phương án
sai là các phương án A và B ( thường hay xuất hiện phương án nhiễu thế này).
Thứ nhất, nhiều em chọn phương án A do cách xác định góc như hình 9 và giải
như sau:
· ' BA ' (Hình 9).
Nối BA’. Góc giữa BC’ và mặt bên (BAA’B’) là C
B.

8


· ' BA ' = 30o

Vậy C
Ta có ∆A ' BC ' cân đỉnh B và
BC '
a
=
· ' C ' sin 30o
sin BA

(

a sin 75o a 2 + 6
⇒ BC ' =
=
sin 30o
2
Kết hợp với gt : BC = a
Tính được:
CC '2 = BC '2 − BC 2 = a 2 1 + 3

(

)

)

hay CC ' = a 1 + 3
S∆ABC =

a2 3
4

Hình 9

a2 3
a 3 3 + 3 3 và chọn phương án A (sai).
.a 1 + 3 =
4
4
Thứ hai, có em chọn phương án B do xác định góc và giải như sau:
· ' BB ' (Hình 10).
Góc giữa BC’ và mặt bên (BAA’B’) là C
⇒V =

· ' BB ' = 30o
Vậy C
a
BB ' =
=a 3
tan 30o
Diện tích đáy: S∆ABC

a2 3
=
4

a2 3
3a 3
⇒V =
.a 3 =
4

4
Từ đó người giải chọn đáp án B (sai).
• Phân tích sai lầm
Sai lầm chính của cả hai cách làm trên
là việc xác định góc giữa đường thẳng
BC’ và mặt phẳng (BAA’B’).

Hình 10

Trong các cách làm này, người giải đã không nhớ định nghĩa góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng, bằng cảm tính đã chỉ ra luôn, điều này là không có cơ sở.
Lẽ ra, ta phải đi xác định góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt
phẳng, tức là phải đi xác định hình chiếu của BC’ trên (BAA’B’). Khi đó cần tìm
hình chiếu của C’ trên mặt phẳng này. Phân tích đến đây ta thấy ngay hình chiếu
của C’ trên (BAA’B’) là trung điểm I của đoạn A’B’.

9


· ' BI (Hình 11).
Nghĩa là góc giữa BC’ và (BAA’B’) chính là C
• Lời giải đúng
Gọi I là trung điểm của A’B’. Suy ra
C ' I ⊥ A ' B ' . Ta có:
C ' I ⊂ ( A ' B ' C ')



( A ' B ' C ') ⊥ ( A ' B ' BA )


( A ' B ' C ') ∩ ( A ' B ' BA ) = A ' B '
⇒ C ' I ⊥ ( A ' B ' BA )
Vậy góc giữa BC’ và (BAA’B’) là
· ' BI = 30o .
góc C
Ta có:
C 'I =

a 3
C 'I
; BC ' =
=a 3
2
sin 30o

BB '2 = BC '2 − B ' C '2 = 3a 2 − a 2 = 2a 2
hay: BB ' = a 2 . Từ đó ta có:

Hình 11

a2 3
a3 6
.
V=
.a 2 =
4
4
Vậy phương án đúng là C.
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D. Dựng thiết diện của hình lập
phương với một mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh DD’, trung điểm N

của cạnh D’C’ và điểm A.6 Góc giữa thiêt diện và mặt phẳng (ABCD) là
A. 30o

B. α với tan α =

5
2

5
2
*Sai lầm thường gặp đó là nắm không vững cách xác định góc giữa hai mặt
phẳng nên có học sinh lựa chọn đáp án A, có học sinh lựa chọn đáp án C với lý
giải như sau:
- Học sinh chọn đáp án A: Do hai mặt bên (BB’A’A) và (CC’D’D) song song
với nhau nên giao tuyến hai mặt này với mặt phẳng (AMN) cũng phải song song
với nhau.
Vậy thiết diện chính là hình AMNB’ (N là trung điểm D’C’).
C. 45o

6

D. α với tan α = −

Từ Ví dụ 2 đến điểm A, tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 3. Phần còn lại tác giả tự làm.

10


Do hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng đáy là AB nên góc giữa thiết diện với
· ' AB =α ( Hình 12).

mặt đáy ABCD là B
BB '

=
· ' AB =
Ta có: sin B
AB '

BB '
BB' 2

=

1
2

Vậy góc giữa thiết diện với mặt đáy
bằng 45o . Do đó chọn đáp án B (sai).
Học sinh chọn đáp án C: Tương tự
trên thì có em lại xác định góc giữa
·
hai mặt phẳng là góc DAM
= β và
nhanh chóng tính được góc này là
30o tức đáp án C ( sai).
• Phân tích sai lầm
Các cách làm trên phạm phải một
Hình 12
sai lầm lớn. Đó là cách xác định góc
tạo bởi thiết diện với mặt đáy, đó không phải là góc α hay β như trên. Nguyên

nhân dẫn đến sai lầm này là do học sinh nắm không vững cách xác định góc
giữa hai mặt phẳng, nhầm lẫn với góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Hơn nữa,
các em lại càng tự tin là đúng khi mà đáp số của bài mình giải khá “đẹp”, trùng
với phương án trong bài (đáp án gây nhiễu thường là vậy).
• Lời giải đúng7
Do hai mặt bên (BB’A’A) và (CC’D’D) song song với nhau nên giao tuyến
của hai mặt phẳng này với mặt phẳng (AMN) cũng phải song song với nhau.
Mà MN // DC’ (tính chất đường trung bình)
DC’// AB’ (do C’B’AD là hình bình hành)
Suy ra: MN // AB’ hay B’ nằm trên mặt phẳng (AMN).
Khi đó NB’ là giao tuyến của mp(AMN) với mặt đáy (A’B’C’D’) của hình lập
phương. Vậy thiết diện cần dựng là AMNB’ ( Hình 13).
Trong mặt phẳng (DCC’D’), MN và DC cắt nhau tại điểm Q.
Điểm Q ∈ MN nên Q ∈ (AMN), Q ∈ DC nên Q ∈ (ABCD).
Vậy Q nằm trên giao tuyến của mặt phẳng thiết diện với mặt đáy của hình lập
phương.
Nối AQ. Từ B’ ta kẻ B’I ⊥ AQ tại I. Vì:
B ' B ⊥ ( ABCD ) ⇒ BI là hình chiếu vuông góc của B’I lên (ABCD)
Mà B ' I ⊥ AQ, AQ ⊂ ( ABCD ) ⇒ BI ⊥ AQ ( Theo định lí 3 đường vuông góc)

7

Phần Lời giải đúng tác giả tham khảo trong TLKT số 5

11


Hình 13

· ' IB =α chính là góc giữa thiết diện với mặt đáy (ABCD). Ta có:

Vậy B
BB'

· ' IB =
, BB’ = AB
tan B
BI
µ = µA (hình vẽ)
Kẻ NN’ // CC’, N’K ⊥ AB ⇒ BN’ // B’N // AQ. Vậy: B
1
1
Ta có ∆ABI đồng dạng với ∆BN ' K nên:
· ' IB = BB ' = AB = BN ' (1)
tan B
BI
BI N ' K
Gọi cạnh của hình lập phương là a, ta có: N’K = a, KB =
Thay vào (1) ta có:

a
a 5
, N’B =
.
2
2

· ' IB = a 5 = 5
tan α = tan B
2a
2

Suy ra góc giữa thiết diện và mặt đáy bằng α với tan α =

5
( 0 < α < 90o ). Vậy
2

phương án B đúng.
3.3. Sai lầm khi vận dụng các định lý
Thông thường khi vận dụng các định lý để chứng minh các tính chất hoặc để
tính toán, học sinh vẫn thường gặp các sai lầm sau:
- Phát biểu định lý không chính xác.
- Vận dụng định lý trong trường hợp chưa đủ điều kiện.
- Sử dụng các định lý trong hình học phẳng để đem áp dụng trong không gian.
Sai lầm loại này tôi thường thấy các em mắc phải trong dạng toán chứng minh.

12


Ví dụ 1.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA
vuông góc với mặt đáy. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những
tam giác vuông.
• Sai lầm thường gặp
Do SA ⊥ AB ⇒ ∆SAB vuông ở A
SA ⊥ AD ⇒ ∆SAD vuông ở A
Ta có:
SA ⊥ AB 
 ⇒ SB ⊥ BC (định lý 3 đường
AB ⊥ BC 
vuông góc).

Hay ∆SBC vuông tại B
Tương tự ta có ∆SDC vuông tại D.
Vậy các mặt bên của hình chóp là các tam
giác vuông.
Hình 14
• Phân tích sai lầm
Sai lầm chủ yếu ở lý luận trên đây là phát biểu điều kiện của định lý ba đường
vuông góc không chính xác. Lẽ ra phải viết:
SA ⊥ ( ABCD ) 
 ⇒ SB ⊥ BC (theo đ/l 3 đường vuông góc).
AB ⊥ BC

• Lời giải đúng
Do: SA ⊥ AB ⇒ ∆SAB vuông ở A
SA ⊥ AD ⇒ ∆SAD vuông ở A
Ta có:
SA ⊥ ( ABCD ) 
 ⇒ SB ⊥ BC (theo định lý 3 đường vuông góc).
AB ⊥ BC

Tương tự ta có ∆SDC vuông tại D.
Vậy các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông( đpcm ).
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy ABC là một tam giác vuông ở
đỉnh B. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đường AK ⊥ SB ,
AH ⊥ SC . Chứng minh rằng: SC ⊥ HK và AK ⊥ HK .9
• Sai lầm thường gặp
Có học sinh chứng minh như sau

8

Ghi chú: Ví dụ 1 tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 3. Từ phần sai lầm thường gặp đến hết tác giả tự làm

9

Ghi chú: Ví dụ 2 tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 5. Từ phần sai lầm thường gặp đến hết tác giả tự làm

13


Ta có:
SC ⊥ AH

 ⇒ SC ⊥ ( AHK )
AH ⊂ ( AHK ) 
Mặt khác HK ⊂ ( AHK ) ⇒ SC ⊥ HK
Tương tự:
AK ⊥ SB 
 ⇒ AK ⊥ ( SBC )
SB ⊂ ( SBC ) 
AK ⊥ ( SBC ) 
 ⇒ AK ⊥ HK
HK ⊂ ( SBC ) 
• Phân tích sai lầm
Những lý luận chứng minh trên đây
Hình 15
chưa đúng, bởi các em đã dựa vào mệnh
đề sai: “ Một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng nằm trong một mặt
phẳng thì vuông góc với mặt phẳng ấy” (Điều này tôi thấy học sinh rất hay mắc
phải). Thực ra, để chứng minh cho SC ⊥ ( AHK ) ta phải chứng minh cho SC
vuông góc với hai đường thẳng giao nhau của mặt phẳng (AHK). Tương tự cho

trường hợp còn lại.
• Lời giải đúng
Ta có: SA ⊥ ( ABC ) 
 ⇒ SB ⊥ BC
AB ⊥ BC 
BC ⊥ SB 
 ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AK (1)
BC ⊥ AB 
Lại có: SB ⊥ AK (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AK ⊥ ( SBC ) ⇒ AK ⊥ HK .
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: SC ⊥ HK (đpcm).
Ví dụ 3 (Khối A-2014). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
3a
. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với
2
trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích của khối chóp và khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBD).10
cạnh a; SD =

10

Ghi chú: Ví dụ 3 tác giả tham khảo đề bài trong TLKT số 4. Từ phần sai lầm thường gặp đến hết tác giả tự làm

14


• Sai lầm thường gặp
Tôi nhận thấy ở bài toán này học sinh rất hay nhầm ở ý tính khoảng cách. Nhiều
em thực hiện như sau:
“ Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có AC ⊥ BD nên AC ⊥ ( SBD)
Hay O là hình chiếu vuông góc của điểm A
lên (SBD).
a 2
”.
2
• Phân tích sai lầm
Bước giải trên tính sai khoảng cách, do
học sinh này không nhớ điều kiện để đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng. Mới chỉ có
AC ⊥ BD mà đã vội ngộ nhận ∆SED
vuông và sử dụng định lý Pitago để tính.
Điều này dẫn đến việc tính toán sai hoàn
Hình 16
toàn. Ở ý này, ta cần nhận xét được:
d ( A;( SBD )) = 2d ( E ;( SBD )) . Đến đây ta đi tính khoảng cách từ E đến (SBD) sẽ đơn
Vậy: d ( A;( SBD )) = AO =

giản hơn nhiều.
• Lời giải đúng
Gọi E là trung điểm của AB. Ta có:
SE ⊥ AB .
Trong ∆SED có:
SE 2 = SD 2 − ED 2
= SD 2 − ( EA2 + AD 2 )
= a2
1 2
1 3
Vậy V = a .a = a .
3

3
Ta có d ( A;( SBD )) = 2d ( E ;( SBD )) .
Hạ EK ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( SEK )
Trong ∆SEK hạ EH ⊥ SK
⇒ EH ⊥ BD
Vì vậy EH ⊥ ( SBD)

Hình 17

Suy ra d ( E ;( SBD )) = EH .

15


1
1
1
1
1
9
= 2+
= 2+
= 2
a
2
2
a
Mà EH SE EK
a 2 2 a ⇒ EH = .
(

)
3
4
2a
Vậy: d ( A;( SBD )) = 2d ( E ;( SBD )) = 2 EH =
3
*Nguyên nhân của những sai lầm trên:
- Học sinh không nắm vững các quy tắc vẽ hình trong không gian, không dựa
vào các yếu tố của đề bài dẫn đến những sai lầm khi vẽ hình.
- Học sinh không nắm chắc kiến thức hình học trong mặt phẳng, nhầm lẫn giữa
hình phẳng và hình không gian dẫn đến sự ngộ nhận trong khi giải toán.
- Học sinh chưa hiểu rõ, vận dụng sai hoặc chưa biết cách vận dụng định nghĩa,
các định lý về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt
phẳng vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng,
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,… trong khi làm bài.
- Nhiều học sinh không có ý thức hoặc không có khả năng kiểm tra lời giải.
Trước khi đưa ra kết luận không xem xét lời giải một cách thận trọng.
Ngoài những sai lầm nêu trên, trong quá trình giảng dạy tôi còn nhận thấy một
số thiếu sót mà học sinh thường hay gặp như:
- Chỉ giải bài toán trong một trường hợp đặc biệt
- Không chú ý đến điều kiện tồn tại của bài toán,….
Việc phân tích nguyên nhân và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải
toán là việc làm rất cần thiết, thường xuyên và tích cực của giáo viên dạy bộ
môn toán. Bởi vì thông qua đó không chỉ giúp học sinh tránh được những sai
lầm mà còn rèn luyện cho học sinh những đức tính quan trọng: tính chính xác
khoa học, khả năng suy luận lôgic, tính cẩn thận và năng lực tự kiểm tra.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Với cách phân tích những sai lầm của học sinh trong các bài giải của các em,
hoặc chỉ ra những phương án gây nhiễu trong hình trắc nghiệm, ban đầu khi mới
áp dụng cách làm này, các em học sinh vẫn còn cảm thấy khá khó hiểu, sau đó

cứ gặp đến sai lầm nào của học sinh thì tôi lại yêu cầu các em xem lại hoặc giải

16


thích các quy tắc, định nghĩa, định lý,... mà các em gặp khó khăn trong khi làm
bài đó. Và chỉ sau ba tiết học ôn tập mỗi lớp vào hai buổi chiều mà tôi đã dạy
thử nghiêm, lớp 12A3 tôi dạy theo cách phân tích sai lầm của học sinh như
SKKN này, còn lớp 12A4 tôi dạy theo cách dạy của một giờ bài tập thông
thường, không đi sâu vào phân tích sai lầm của các em, (trước đó sức học của
hai lớp này là tương đương nhau). Sau đó, ở cả hai lớp tôi đều cho tiến hành làm
một bài kiểm tra 15’ với nội dung đề bài như sau:
“Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích
của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)”
Kết quả thu được như sau:
Trung
Đối tượng áp dụng
Sĩ số
Giỏi
Khá
Yếu
Kém
bình
12A4
38
9%
25%
45%
21%

0
12A3
35
12,5% 28%
50%
9,5%
0
Sau khi áp dụng SKKN này, ngoài kết quả thu được như trên, tôi nhận thấy các
em học sinh lớp 12A3 đã thận trọng hơn trong khi giải bài, những sai lầm trong
khi trình bày bài giải đã hạn chế đi rất nhiều, tỉnh táo hơn trước các phương án
gây nhiễu của bài toán, đặc biệt là đa phần các em đã có hứng thú hơn rất nhiều
khi gặp các bài toán về hình học không gian.
Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản phần nào những sai lầm
của học sinh thường mắc phải khi giải toán hình học trong không gian. Đề tài đã
góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt.
Trong thời gian sắp tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng
dạy trong nhà trường và tôi tin rằng kết quả sẽ tốt đẹp như trong quá trình dạy
thực nghiệm.
III. KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Phát hiện, nghiên cứu và phân tích sai lầm của học sinh khi giải toán hình học
không gian có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học. Khi áp dụng cách làm này
sẽ giúp học sinh thấy được những điểm yếu, những điểm còn thiếu của mình, từ
đó phát huy được tính cẩn thận, phát huy tính tích cực trong tư duy, chủ động
trau dồi thêm kiến thức và thực sự làm chủ kiến thức. Từ đó giúp học sinh đạt
được kết quả cao nhất có thể trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi hay kỳ thi
THPT quốc gia sắp tới.
2. Kiến nghị
Hiện nay, thư viện nhà trường cũng đã có một lượng sách tham khảo bộ môn
toán khá phong phú, tuy nhiên trong số đó tôi thấy chưa có cuốn sách tham khảo

17


nào viết về những sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán. Vì vậy về
phía nhà trường cần trang bị thêm những cuốn sách tham khảo loại này để giáo
viên có thể tham khảo, để học sinh có thể tự đọc và tìm tòi, tự phát hiện những
sai lầm và từ đó có thể tránh những sai lầm trong khi làm bài, nâng cao hứng thú
học tập môn toán, và nhằm mục đích cuối cùng là nâng cao chất lượng dạy và
học trong nhà trường.
Với khả năng, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế, việc áp dụng sáng kiến
kinh nghiệm cũng như hệ thống các ví dụ đưa ra ở trên chắc chắn sẽ không tránh
khỏi thiếu sót. Rất mong các đồng nghiệp cũng như quý vị độc giả góp ý để sáng
kiến kinh nghiệm này được hoàn thiện hơn .

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
Người viết

Lê Thị Hòa

18