Sáng kiến kinh nghiệm: Một số sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân

phần I: mở đầu
I/đặt vấn đề.
Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của các năm bài
toán tích phân hầu nh không thể thiếu nhng đối với học sinh THPT bài toán tích
phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định
nghĩa, các tính chất , các phơng pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa số học
sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm
số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phơng pháp đổi biến
số, phơng pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm
của hàm số tìm đợc có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân
hay không? phép đặt biến mới trong phơng pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép
biến đổi hàm số có tơng đơng không? vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh
thờng mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm
tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng
kiến : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân
Nhằm giúp học sinh khắc phục đợc những yếu điểm nêu trên từ đó đạt đợc
kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình
học tập nói chung.
II/ phơng pháp
+ Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh
vận dụng hoạt động năng lực t duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để
từ đó đa ra lời giải đúng của bài toán.
+Thực nghiệm s phạm
Phần II: nội dung
1
I/ cơ sở khoa học
Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con ngời đi từ: cái sai đến cái
gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm quá
trình nhận thức của học sinh

II/ nội dung cụ thể.

Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân
Bài tập minh hoạ:
Bài 1: Tính tích phân: I =


+
2
2
2
)1(x
dx
* Sai lầm thờng gặp: I =


+
2
2
2
)1(x
dx
=


+
+
2
2
2
)1(
)1(

x
xd
=-
1
1
+
x
2
2

=-
3
1
-1 = -
3
4
* Nguyên nhân sai lầm :
Hàm số y =
2
)1(
1
+
x
không xác định tại x= -1
[ ]
2;2

suy ra hàm số không liên
tục trên
[ ]

2;2

nên không sử dụng đợc công thức newtơn leibnitz nh cách giải
trên.
* Lời giải đúng
Hàm số y =
2
)1(
1
+
x
không xác định tại x= -1
[ ]
2;2

suy ra hàm số không liên
tục trên
[ ]
2;2

do đó tích phân trên không tồn tại.
* Chú ý đối với học sinh:
Khi tính
dxxf
b
a
)(

cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên
[ ]

ba;
không?
nếu có thì áp dụng phơng pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì
kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
* Một số bài tập t ơng tự :
Tính các tích phân sau:
2
1/


5
0
4
)4(x
dx
.
2/
dxxx
2
1
3
2
2
)1(



.
3/
dx

x

2
0
4
cos
1

4/
dx
x
xex
x


+
1
1
3
23
.
Bài 2 :Tính tích phân: I =

+

0
sin1 x
dx
* Sai lầm thờng gặp: Đặt t = tg
2

x
thì dx =
2
1
2
t
dt
+
;
xsin1
1
+
=
2
2
)1(
1
t
t
+
+


+
x
dx
sin1
=

+

2
)1(
2
t
dt
=


+
2
)1(2 t
d(t+1) =
1
2
+
t
+ c

I =

+

0
sin1 x
dx
=
1
2
2
+

x
tg

0
=
1
2
2
+


tg
-
10
2
+
tg
do tg
2

không xác định nên tích phân trên không tồn tại
*Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tg
2
x
x
[ ]

;0

tại x =

thì tg
2
x
không có nghĩa.
* Lời giải đúng:
I =

+

0
sin1 x
dx
=







=

=






+







0
0
2
0
42
42
cos

42
2
cos1
x
tg
x
x
d
x
dx
= tg
2
44
=









tg
.
* Chú ý đối với học sinh:
Đối với phơng pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục
và có đạo hàm liên tục trên
[ ]
ba;

.
*Một số bài tập t ơng tự:
3
Tính các tích phân sau:
1/


0
sin x
dx
2/

+

0
cos1 x
dx
Bài 3: Tính I =

+
4
0
2
96xx
dx
* Sai lầm thờng gặp:
I =

+
4

0
2
96xx
dx =
( ) ( ) ( )
( )
4
2
9
2
1
2
3
333
4
0
4
0
2
4
0
2
==

==

x
xdxdxx
* Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi

( )
33
2
=
xx
với x
[ ]
4;0

là không tơng đơng.
* Lời giải đúng:
I =

+
4
0
2
96xx
dx
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+==
3
0
4
3
4
0
4

0
2
3333333 xdxxdxxdxdxx
= -
( ) ( )
5
2
1
2
9
2
3
2
3
4
3
2
3
0
2
=+=

+

xx
* Chú ý đối với học sinh:
( )( ) ( )
xfxf
n
n

=
2
2

( )
Nnn

,1
I =
( )( )
=

b
a
n
n
xf
2
2
( )
dxxf
b
a

ta phải xét dấu hàm số f(x) trên
[ ]
ba;
rồi dùng tính
chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Một số bài tập t ơng tự:

1/ I =



0
2sin1 x
dx ;
2/ I =

+
3
0
23
2 xxx
dx
4
3/ I =







+
2
2
1
2
2

2
1
x
x
dx
4/ I =

+
3
6
22
2cot


xgxtg
dx
Bài 4: Tính I =


++
0
1
2
22xx
dx
* Sai lầm thờng gặp:
I =
( )
( )
( )

4
011
11
1
0
1
0
1
2

==+=
++
+



arctgarctgxarctg
x
xd
* Nguyên nhân sai lầm :
Học sinh không học khái niệm arctgx trong sách giáo khoa hiện thời
* Lời giải đúng:
Đặt x+1 = tgt
( )
dtttgdx
2
1
+=
với x=-1 thì t = 0
với x = 0 thì t =

4

Khi đó I =
( )

===
+
+
4
0
4
0
4
0
2
4
1
1




tdt
ttg
dtttg
* Chú ý đối với học sinh:
Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học
sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham
khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trớc năm 2000). Từ năm 2000
đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không

đợc áp dụng phơng pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng

+
b
a
dx
x
2
1
1
ta
dùng phơng pháp đổi biến số đặt t = tgx hoặc t = cotgx ;



b
a
dx
x
2
1
1
thì đặt x = sint hoặc x = cost
5