NHỮNG vấn đề cần lưu ý KHI GIẢI một số bài TOÁN HÌNH học TRONG lập TRÌNH

PHẦN 1. MỞ ĐẦU.....................................................................................................................2
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI......................................................................................................2
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI..................................................................................................2
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI.....................................................................2
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI................................................................2
PHẦN 2. NỘI DUNG.................................................................................................................3
I – BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC.........................................3
II. THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC CƠ BẢN.................................4
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐA GIÁC................................................................9
PHẦN 3. KẾT LUẬN...............................................................................................................19
PHỤ LỤC: MỘT SỐ BÀI TẬP VÍ DỤ.....................................................................................21


PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải các bài toán có nội dung hình học luôn là một phần quan trọng trong
chương trình tin học hiện nay. Khi giải các bài toán về hình học bằng lập trình,
có một số công việc sẽ xuất hiện với các em học sinh học tin học, đầu tiên là
việc đưa được ra mô hình toán thứ đến nữa là phải chuyển đổi mô hình toán đó
thành chương trình. Có điều khó khăn là, khi giải các bài toán về hình học việc
so sánh giá trị của hai đối tượng nào đó thường phải xử lý dưới dạng số nguyên
(máy tính so sánh hai số thực có khi không chính xác), hơn nữa trong tin học
việc giải các bài toán hình học lại thiên về việc xử lý trên rất nhiều đối tượng vì
vậy cách thức tổ chức dữ liệu, cách thức xây dựng công thức, phương pháp tính
toán là những vấn đề cần hệ thống lại để xây dựng cho các em học sinh có cách
nhìn tổng quan về vấn đề này, giúp các em không bị rối khi lập trình giải các bài
toán hình học. Tuy nhiên các tài liệu như sách giáo khoa Tin học, sách bài tập
Tin học chưa đi sâu vào vấn đề này.
Vì những lý do nói trên nên trong đề tài này tôi đã mạnh dạn trình bày
những kinh nghiệm của mình tích lũy được trong quá trình giảng dạy về lập
trình giải các bài toán hình học, với mong muốn đề tài này có thể có ích cho học

sinh, bạn bè đồng nghiệp và những người yêu lập trình.

2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài có mục đích đưa ra các cấu trúc dữ liệu phù hợp để biểu diễn các
yếu tố hình học, xây dựng các công thức (Thuật toán) giải các bài toán hình học
cơ bản. Ngoài ra trong phần phụ lục của đề tài còn đưa ra một số bài toán hình
học thường gặp và thuật toán giải để bạn đọc tham khảo.

3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
Các cấu trúc dữ liệu để biểu diễn các đối tượng hình học, các thuật toán
giải các bài toán hình học cơ bản, một số bài toán hình học thường gặp và thuật
toán giải chúng.

3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
- Xây dựng cơ sở lý thuyết.

- Điều tra khảo sát thực tế, đối sánh.

2


PHẦN 2. NỘI DUNG
I – BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC
I.1. Biểu diễn điểm, đoạn thẳng và đường thẳng
Như chúng ta đã biết, các khái niệm: điểm, đoạn thẳng, đường thẳng là
những đối tường cơ bản nhất trong hình học nói chung. Để biểu diễn các đối
tượng nói trên trong tin học có nhiều cách khác nhau, tuy nhiên ta có thể sử
dụng cách biểu diễn bằng các cấu trúc dữ liệu như sau:
Type
// Điểm

Point = record
x,y : longint
// Đường thẳng, đoạn thẳng
Line = Record
p1, p2 : Point
//Đa giác, tập hợp điểm
Polygon = Array[1..MAXN] of Point
Để thuận lợi thì khi biểu diễn đa giác ta cũng có thể thêm hai đỉnh ở đầu
và cuối: đỉnh 0 bằng đỉnh n và đỉnh n + 1 bằng đỉnh 1.
1

Điều cần lưu ý ở đây là ta có thể dùng hai biến đơn x, y để biểu diễn một
điểm, nhưng nếu như vậy khi càn biểu diễn một tập hợp nhiều điểm ta phải dùng
hai mảng hoặc một mảng hai chiều, điều này sẽ không lợi khi phải sắp xếp các
điểm này theo một thứ tự nào đó.
2

I.2. Kiểu dữ liệu số
Trong các bài toán hình học, phần lớn các đối tượng đều được thể hiện
trên hệ trục tọa độ Descartes, việc biểu diễn các thành phần tọa độ có thể sử
dụng cả kiểu số thực và kiểu số nguyên của ngôn ngữ lập trình. Một số kiểu dữ
liệu của Pascal hay sử dụng.
3

4

+ Kiểu số nguyên:

Tên kiểu

Phạm vi

Dung lượng

3


Shortint

-128 → 127

1 byte

Byte

0 → 255

1 byte

Integer

-32768 → 32767

2 byte

Word

0 → 65535

2 byte

LongInt

-2147483648 → 2147483647

4 byte

5

+ Kiểu số thực:

Tên kiểu

Phạm vi

Dung lượng

Single

1.5×10-45 → 3.4×10+38

4 byte

Real

2.9×10-39 → 1.7×10+38

6 byte

Double

5.0×10-324 → 1.7×10+308

8 byte

Extended

3.4×10-4932 → 1.1×10+4932

10 byte

Trong khi sử dụng kiểu dữ liệu kiểu số thực, mặc dù chỉ khi ta dùng
Double hoặc Extended ta mới phải khai báo biên dịch ở chế độ {$N+}, nhưng ta
nên lúc nào cũng làm như vậy. Vì khi đó máy tính sẽ dùng bộ đồng xử lý toán
học, các phép toán với số thực sẽ thực hiện nhanh chẳng kém gì so với số
nguyên (thậm chí còn nhanh hơn nếu ta dùng kiểu số thực Double).
6

II. THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC CƠ
BẢN
II.1. Tính toán hoặc so sánh độ dài của đoạn thẳng, chu vi, diện tích
các hình
Đối với đoạn thẳng, việc tính toán hay so sánh độ dài của đoạn thẳng này
với đoạn thẳng khác dựa trên tọa độ sẽ không thể thực hiện được một cách chính
xác nếu như trong công thức có xuất hiện dấu căn. Thay vào đó ta phải viết biến
đổi công thức toán học thành một dạng khác sao cho không còn xuất hiện dấu
căn thức.
- Để so sánh độ dài của hai đoạn thẳng, đoạn thẳng thứ nhất nối giữa hai
điểm M1(x1; y1) , M2(x2;y2) và đoạn thẳng thứ hai nối giữa hai điểm M 3(x3; y3), M4(x4;y4).

4


7

Function EQA (x,y : doan) : boolean;

8

Begin

9

10

11

EQA := true;
if sqr(x.hc – x.hd) + sqr(x.tc – x.td) = sqr(y.hc – y.hd) + sqr(y.tc –

y.td) .
{ x.hc là hoành độ điểm cuối đoạn x, x.hd là hoành độ điểm đầu

12
15

13

then exit(False)

End;

Ở đây chúng ta cần lưu ý là ta đã so sánh bình phương độ dài hai đoạn
thẳng, điều này giúp giảm chi phí tính toán đồng thời không phải so sánh 2 số
thực nếu tọa độ nguyên.
16

- Điều kiện 3 điểm A(XA,YA), B(XB,YB), C(XC,YC) thẳng hàng:
(XA-XB)*(YA-YC) = (XA-XC)(YA-YB).

17

II.2 Vị trí tương đối giữa ba điểm liên tiếp A, B, C:
18

Có 3 khả năng xảy ra:

19

20

0
B.x − A.x C.x − B.x

k=
= (B.x - A.x)(C.y - B.y) - (B.y - A.y)(C.x-B.x) → k = > 0
B. y − A. y C. y − B. y
< 0


Nếu k = 0 thì ba điểm A, B, C thẳng hàng, k <0 thì rẽ phải tại B, k > 0 thì
ta có rẽ trái tại B.
21

22

Khi lập trình ta có thể dùng hàm như sau:

23

Function CCW (A,B,C : point) : integer;

24

Begin

25

If (B.x - A.x)*(C.y - B.y) - (B.y - A.y)*(C.x-B.x) = 0 then exit(0);

26

If (B.x - A.x)*(C.y - B.y) - (B.y - A.y)*(C.x-B.x) < 0 then exit(1)

27

Else exit(-1);

5

29

End;

30

II.3. Phương trình đường thẳng
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt P 1, P2 có dạng:
f(x,y) = (x- P1.x)*(P2.y – P1.y) - (y – P1.y)*(P2.x – P1.x) = 0.
31

32

Viết dưới dạng tổng quát : f(x,y) = Ax + By + C = 0 như sau:

f(x,y)=(P2.y – P1.y) x +(P1.x – P2.x) y +((P2.x – P1.x)*P1.y - (P2.y – P1.y)*
P1.x)=0 f(x,y)=(P2.y – P1.y) x +(P1.x – P2.x) y +P2.x*P1.y - P2.y * P1.x=0.
33

Ở đây chúng ta không nên sử dụng phương trình đường thẳng dạng
y=ax+b vì nếu p1p 2 vuông góc với trục ox thì sẽ bị sai.
34

Để tính giá trị của hàm f(x,y) đi qua hai điểm p1; p2 tại một điểm p3 ta có
thể sử dụng đoạn chương trình:
35

36

Function fx (p1,p2,p3 : point) : real;

37

Begin

38

exit(p3.x*(p2.y – p1.y) + p3.y*(p1.x – p2.x) + ( p2.x*p1.y-p1.x*p2.y));

39

End;

II.4. Vị trí tương đối giữa điểm và đường thẳng
40

uuuuuur
Cho 3 điểm P1, P2, M, Vị trí tương đối giữa M và so với vector p1 , p2 , xác

định như sau:
41

VT := (p2.x-p1.x)(M.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)(M.x-p1.x);

42

- Nếu VT>0 thì M bên trái véctơ p1 , p2

43

- Nếu VT<0 thì M bên phải véctơ p1 , p2

44

- Nếu VT=0 thì M nằm trên đường thẳng chứa véctơ p1 , p2

45

Function PoInLn (p1,p2,M : point) : integer;

uuuuuu
r

uuuuuu
r

46

Var temp : longint;

47

Begin

48

49

50

uuuuuu
r

Temp:=(p2.x-p1.x)*(M.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)*(M.x-p1.x);
If Temp = 0 then exit(0);

6


If Temp > 0 then exit(1) Else exit(-1);

51

52

53

End; { hàm = 1 thì M bên trái p1 , p2 , hàm = -1 thì M bên phải}

uuuuuu
r

II.5. Xác định điểm M có thuộc đoạn thẳng P1P2
54

M thỏa 2 điều kiện sau:

55

- M nằm trên đường thẳng p1p2

- Tọa độ M thỏa : (M.x>=min(p 1.x,p2.x)) and (M.x<=max(p1.x,p2.x)) and
(M.y>=min(p1.y,p2.y)) and (M.y<=max(p1.y,p2.y)))
56

57

Function PoInLi (p1,p2,M : point) : boolean;

58

Var temp : longint;

59

Begin

60

Temp:=PoInln(p1, p2,M);

61

Exit((Temp=0) and (M.x>=min(p1.x,p2.x)) and

62

(M.x<=max(p1.x,p2.x))
and (M.y>=min(p1.y,p2.y)) and (M.y<=max(p1.y,p2.y))) ;

63

End;

II.6. Xác định điểm M có thuộc tia AB
64

uuuu
r

uuur

Điểm M thuộc tia AB nếu M thuộc đường thẳng AB và AM = k . AB với k

≥0:
65

f(M.x,M.y)=0, (M.x-A.x)( B.x-A.x)>=0 và (M.y-A.y)( B.y-A.y)>=0

66

Function PinRay (p1,p2,M : point) : boolean;

67

Var temp : longint;

68

Begin

69

70

Temp:=PoInln(p1, p2,M);
Exit((Temp=0) and ((M.x-A.x)*( B.x-A.x)>=0) and

71
72

73

74

End;

((M.y-A.y)*( B.y-A.y)>=0));

7


II.7. Xác định vị trí tương đối giữa 2 điểm M 1,M2 so với đường thẳng
p1p2
75

Function Po2PoLi (p1,p2,M1,M2 : point) : boolean;

76

Var temp1, Temp2 : longint;

77

Begin

78

79

Temp1:= PoInLi (p1,p2,M1 : point);
Temp2:= PoInLi (p1,p2,M2 : point) ;

80

Exit(Temp1 *Temp2 >= 0);

81

82

83

End; { hàm = true thì M1, M2 cùng phía, ngược lại thì khác phía}

II.8. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Cho 4 điểm A, B, C, D. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng qua 2 điểm
AB và qua 2 điểm CD được xác định như sau:
84

85

- Tính hệ số A1, B1, C1 của đường thẳng AB.

86

- Tính hệ số A2, B2, C2 của đường thẳng CD.

87

- Tính d =

88

- Nếu D<>0 thì cắt nhau

89

- Ngược lại

0
90

a1 b1
a2 b2

; dx =

−c1 b1

−c2 b2

; dx =

a1 c1
a2 c2

- Nếu (dx=0) and (dy=0) thì trùng nhau - Ngược lại song song.
Function Pos2Li(var I:Point;A,B,C,D: Point): integer;

91

Var a1, b1, c1, a2, b2, c2:real; d, dx, dy: real;

92

Begin

93

94

95

Extract(A,B,a1, b1, c1); // tìm các hệ số a1, b1, c1.
Extract(C,D,a2, b2, c2); // tìm các hệ số a2, b2, c2.

96

d:=a1*b2- a2*b1;

97

dx:= c2*b1- c1*b2;

98

dy:= a1*c2- a2*c1;

8


If (d = 0) then

99

If (dx= 0) and (dy= 0) then exit(0) // trùng nhau

100

101

102

103

104

105

Else // d<>0

106

107

Begin

108

109

110

111

112

End;

Else exit(-1) // song song

I.x:=dx/d; I.y:=dy/d; exit(1);
End;

0

II.8. Xác định 2 đoạn thẳng có giao nhau hay không
113

Hai đoạn thẳng giao nhau nếu thỏa điều kiện:

0

- Hai đường thẳng qua 2 điểm đó phải cắt nhau tại một điểm I

1

- Và I thuộc 2 đoạn thẳng

2

Cần lưu ý điều kiện thứ hai, có nhiều học sinh hay bỏ sót điều kiện này.

114

Function Intersect1(A,B,C,D: Point; var I:Point): boolean;

115

Begin

116

Exit((Pos2Li(I,A,B,C,D)=1) and PoInLi(I,A,B) and PoInLi(I,C,D);

117

End;

III. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐA GIÁC
1. Một số định nghĩa
1.1. Đường gấp khúc
Một đường gấp khúc trên mặt phẳng gồm 1 dãy liên tiếp các đoạn thẳng
[A1,A2], [A2,A3],…, [Ak-1,Ak], mỗi đoạn thẳng được gọi là cạnh, các đầu mút của
các đoạn thẳng gọi là đỉnh.

9


1.2. Đa giác
0
A1.

Một đa giác là một đường gấp khúc khép kín tức điểm A k trùng với điểm

1.3. Đa giác tự cắt
Một đa giác được gọi là tự cắt nếu có hai cạnh không liên tiếp có điểm
chung.
1.4. Đa giác lồi
1
Một đa giác lồi được gọi là lồi nếu đa giác luôn nằm cùng một phía đối
với đường thẳng đi qua một cạnh bất kỳ. Đa giác lồi là đa giác không tự cắt.
1.5. Định lý về bao lồi
2
Với một tập hữu hạn M các điểm trên mặt phẳng(có ít nhất 3 điểm không
thẳng hàng) ta luôn tìm được một tập con H của M sao cho H là tập các đỉnh
của đa giác lồi P mà mọi điểm của M đều thuộc đa giác này.

2. Một số bài toán cơ sở:

2.1. Tính diện tích một đa giác

S=
118

1 n
∑ ( xi+1 − xi )( yi+1 + yi ) // Công thức diện tích kiểu tích phân.
2 1

Function Area(P:polygon;n:longint):int64;

119

Var i:longint; S:real;

120

Begin

121

122

S:=0;
For i:=1 to n do S:= S+(P[i+1].x-P[i].x)*(P[i+1].y+P[i].y)/2;

123
124

125

126

End;

Exit(abs(S));

Ở đây cần chú ý là P[n+1] trùng với điểm P[1]. Mặt khác cách tính này học
sinh lớp 11 chưa được biết vì vậy khi đưa ra công thức ta có thể không cần
chứng minh để khỏi sa vào dài dòng, quá sức học sinh.
2.2. Kiểm tra đa giác lồi
Kiểm tra dựa theo định nghĩa:

10


127

Function Convex (P:polygon;n:longint):boolean;

128

Var i,j,l,k:longint;

129

Begin
For i:=1 to n do

130

Begin

131
132

l:=i+1; if l=n+1 then l:=1; // đỉnh kế với i

133

k:=i+2; if l=n+1 then k:=1; // đỉnh xét cùng phía

134

for j:=1 to n do // vét tất cả các đỉnh //

135

if (j<>i) and (j<>k) and

136

(j<>l) and (not Pos2PoLi(P[i],P[l],P[k],P[j]))

137

then exit(false);

138
139

140

End;

141

142

exit(true);

143

End;

2.3. Vị trí tương đối một điểm và đa giác
+ Đối với đa giác lồi
Điểm thuộc đa giác nếu điểm nằm trên các cạnh hoặc thuộc miền đa giác.
Ta thấy nếu xét các cạnh của đa giác theo 1 chiều nào đó thì điểm M thuộc
đa giác nếu nằm cùng 1 bên (trái hoặc phải) với mọi vector cạnh cuả đa giác.

11


144

Function Inside (P:polygon;n:longint;M:point):boolean;

145

Var i:longint; VT, VT1:integer;

146

Begin

147
148
149

If PoInLi(P[1], P[2],M) then exit(true);
VT:=PosPoVec(P[1],P[2],M);
For i:=2 to n do
Begin

150

If PoInLi(P[i], P[i+1],M) then exit(true);

151

VT1:=PosPoVec(P[i],P[i+1],M);

152

If (VT* VT1)<0 then exit(false);

153
154

end;

155

exit(true);

156

End;

+ Đối với đa giác bất kỳ:

12


- Vẽ trục song với trục tung với tọa độ x=max{các hoành độ}+1.
- Vẽ đoạn thẳng song song với trục hoành và cắt trục vẽ bên trên. Ta nhận
xét nếu số giao điểm với đa giác là số lẻ thì điểm thuộc đa giác. Còn ngược lại
điểm nằm ngoài đa giác.
- Các trường hợp cắt sau ta chỉ tính cắt tại 1 giao điểm:

157

Function Inside (P:polygon;n:longint;M:point):boolean;

158

Var I,count:longint; I,N point; xmax:real;

159

Begin

160

161

P[n+2]:=P[2]; // phần tử cầm canh. Ta có sẵn P[0]:=P[n],
P[n+1]:=P[1]
Count:=0; // đếm số giao điểm

162

xmax:=findxmax(P); // tìm hoành độ lớn nhất của đa giác

163

N.x:=xmax+1; // điểm N

164

N.y:=M.y;

165
166

For i:=1 to n do
Begin

167

If PoInLi(P[i],P[i+1],M) then exit(true); // M thuộc cạnh

168

If not PoInLi(M,N,P[i]) then

169

Begin
If (not PoInLi(M,N, P[i+1])) and

170

(Intersect(M,N,P[i],P[i+1],I))
13


then inc(count) // trường hợp 3

171
172

Else if not PoInLi(M,N, P[i+2]) and (not
Pos2PoLi(M,N,P[i],P[i+2]))

173

then inc(count); // trường hợp 1

174

End;
Else if PoInLi(M,N, P[i+1]) and (not Pos2PoLi(M,N,P[i-

175

1],P[i+2]))
Then inc(count) // trường hợp 2

176
177

End;

178

If (count mod 2 <> 0) then exit(true);

179
180

Exit(false);
End;

2.4. Tìm bao lồi có chu vi nhỏ nhất
Bài toán: Cho tập M gồm N điểm phân biệt.Tìm tập con H của M sao cho H
là tập các đỉnh của đa giác lồi chứa tất cả các điểm của M trong miền đa giác đó.
.

2.4.1. Thuật toán bọc gói
Đây là một giải thuật rất “con người”. Bắt đầu bằng việc chọn một điểm
chắc chắn thuộc bao, dùng một tia quét ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi
gặp một điểm khác, ta được thêm một đỉnh thuộc bao, lại tiếp tục với điểm vừa
tìm được…Quá trình kết thúc khi gặp lại đỉnh đầu tiên.
Có nhiều cách chọn điểm đầu tiên, một trong cách đó là ta chọn điểm có
hoành độ nhỏ nhất trong các điểm có tung độ nhỏ nhất.
Một điều đáng chú ý ở đây là việc quét một tia ngược theo chiều kim đồng
hồ để tìm điểm đầu tiên chạm phải thực chất là ta tìm điểm mà tia nối từ điểm
gốc tới nó tạo với trục hoành một góc bé nhất (điều này khá dễ hiểu). Vì vậy
chúng ta cũng cần phải biết cách tính góc khi cho điểm gốc và điểm cần xét đã.
Nhưng chỉ với việc sắp xếp (tìm góc nhỏ nhất) thôi mà phải làm phức tạp đến
vậy thì thật là uổng công. Ta có thể đưa ra một thứ tự hoàn toàn giống với việc
tính góc cụ thể mà chương trình thì đơn giản hơn nhiều:
function Angle(p1, p: Point): Real;
var
dx, dy, ax, ay, t: Real;
begin {p là điểm gốc}
14


dx := p1.x – p.x;
dy := p1.y – p.y;
ax := Abs(dx);
ay := Abs(dy);
if ax + ay < Eps then t := 0
else t := dy/(ax + ay);
if dx < 0 then t := 2 – t
else
if dy < 0 then t := 4 + t;

Angle := t;
end;
Sau đây là thủ tục tìm bao lồi theo thuật toán bọc gói.
procedure Wrap;
var
i, li: Integer;
min, tmp: Real;
t: Point;
begin
t := p[1];
li := 1;
for i := 2 to n do
if (p[i].y < t.y)or(p[i].y = t.y)and(p[i].x < t.x) then
begin
t := p[i];
li := i;
end;
p[n + 1] := t; {để phát hiện thời điểm kết thúc}
m := 0; {m sẽ là số điểm trên bao}
repeat
Inc(m);
p[li] := p[m];
p[m] := t;
min := max;
15


for i := m + 1 to n + 1 do
begin
tmp := Angle(p[i], p[m]);

if (tmp < min) or ((tmp = min) and
(Abs(t.x–p[m].x) < Abs(p[i].x–p[m].x))) then
begin {nếu nhiều điểm thoả mãn, chọn điểm ở xa nhất}
min := tmp;
li := i;
t := p[i];
end;
end;
until li = n + 1;
end;

2.4.2.Thuật toán Grahamscan
Thuật toán bọc gói đòi hỏi một chi phí là O(M*N) (trong đó M là số điểm
trên bao). Vì vậy nó chỉ làm việc tốt trong trường hợp số điểm nằm trên bao nhỏ
hơn nhiều so với tổng số. Nhưng trong trường hợp xấu nhất (tất cả mọi điểm đều
nằm trên bao) thì chi phí thuật toán sẽ lên tới O(N 2). Chúng ta sẽ tiếp cận một
phương pháp tốt hơn – phương pháp quét Graham. Phương pháp này có chi phí
thuật toán ổn định và không tốn kém lắm. Hầu như tất cả chi phí là dành cho
việc khởi một tạo đường khép kín đơn từ tập điểm đã cho.
Chọn điểm chốt có hoành độ x lớn nhất trong các điểm có tung độ y nhỏ
nhất (khi hiểu rõ thuật toán các bạn sẽ biết được nguyên nhân). Chuyển điểm
chốt về vị trí 1 để tiện cho tính toán. Ta sắp xếp các điểm theo khoá là góc tạo
bởi điểm đó và điểm chốt với trục hoành theo thứ tự tăng dần. Khi đi theo thứ tự
p[1], p[2], …p[N], p[1] ta thu được một đa giác khép kín đơn.
Ta đi vòng quanh đa giác này, thử đặt một điểm vào bao và kiểm tra xem
các điểm trước đó có còn nằm trên bao hay không. Nếu không ta chỉ việc loại
các điểm đó ra khỏi bao.Việc kiểm tra một điểm có còn nằm trên bao hay không
có thể làm như sau: Khi cho một điểm mới vào bao, ta sẽ lần ngược lại những
điểm đã nằm trong bao. Trong quá trình, nếu gặp một điểm là khúc rẽ phải thì
điểm này sẽ không thuộc bao nữa, ta loại nó luôn. Quá trình kết thúc khi ta gặp

một điểm là khúc rẽ trái, vì tất cả các điểm từ đó lùi về 1 chắc chắn sẽ thuộc bao.

16


.
Cài đặt không phải là một vấn đề khó nhưng phải cảnh giác với sai số và
các điểm thẳng hàng.
Việc xây dựng đường khép kín đơn không thực sự phải dùng hàm Angle vì
dễ gây sai số và chi phí hơi lớn. Vì tất cả các tia tạo bởi điểm chốt và một điểm
bất kỳ đều trong góc phần tư I và II nên ta có thể dùng hàm Lower sau để làm
phép so sánh cho việc sắp xếp.
function Lower(p1, p2: Point): Boolean;
var
a1, b1, a2, b2: Real;
begin
a1 := p1.x – p[1].x;
b1 := p1.y – p[1].y;
a2 := p2.x – p[1].x;
b2 := p2.y – p[1].y;
Lower := a1*b2 > a2*b1;
end;
Thực chất ta đã so sánh hai giá trị a1/b1 và a2/b2, tức là cotg của hai góc.
Nhưng ta không làm như vậy vì phải xét b1, b2 liệu có bằng 0 hay không.
Sau đây là đoạn chương trình miêu tả phương pháp quét Graham. Ta coi
mọi công việc khởi tạo đã xong xuôi. Hàm CCW đã nói tới ở phần trước.
procedure GrahamScan;
var
i: Integer;
begin

m := 2;
for i := 3 to n do
begin
while CCW(p[m - 1], p[m], p[i]) <> 1 do Dec(m);
Inc(m);
p[m] := p[i];
end;
end;

17


Chi phí cho thủ tục trên tỷ lệ thuận với N. Đúng vậy, mặc dù trong vòng
lặp có một vòng lặp, nhưng ta để ý là không điểm nào bị loại quá một lần nên
vòng lặp này chỉ hoạt động không đến N lần.
Như vậy chi phí cho thuật toán này là O(NlogN) nếu ta dùng phương pháp
sắp xếp tốt (như Quick Sort chẳng hạn).
Ta có thể làm giảm chi phí tính toán đi rất nhiều bằng cách loại bỏ những
điểm chắc chắn không thuộc bao.
Ví dụ như ta loại đi những điểm nằm hoàn toàn trong tứ giác có các đỉnh
là các điểm có hoành độ lớn nhất, hoành độ nhỏ nhất, tung độ lớn nhất, tung độ
nhỏ nhất. Đối với những bộ dữ liệu được tạo một cách ngẫu nhiên thì việc này
rất có ích. Nhưng nếu tất cả các điểm đều thuộc bao thì việc này là vô nghĩa. Nói
chung mọi cách tham lam thì cũng đều tốt trong một số trường hợp nhất định mà
thôi.

18


PHẦN 3. KẾT LUẬN

Trong khuôn khổ một đề tài sáng kiến kinh nghiệm nên đề tài mới chỉ đề xuất
cách sử dụng một số cấu trúc dữ liệu dể biểu diễn các yếu tố hình học, đưa ra
thuật toán giải một số bài toán hình học cơ bản (trong mục I PHẦN 2). Trong
mục II đề tài trình bày một số bài toán hình học cơ bản, trong đó các bài đều có
nêu thuật toán giải, một số bài có chương trình minh họa kèm theo, một số bài
để các em học sinh luyện tập rèn luyện kỹ năng lập trình. Mục III trình bày
thuật toán giải một số bài toán cơ bản về đa giác Việc lập trình giải các bài toán
hình học thường là vấn đề đòi hỏi học sinh phải chịu khó, cẩn thận và nắm được
những kiến thức cơ bản về hình học và thường là khó đối với học sinh. Tuy
nhiên nếu thầy cô có phương pháp tốt để học sinh tích cực, chủ động lĩnh hội
được các kiến thức, chủ động rèn luyện kỹ năng kỹ xảo thì việc giải các bài
toán này sẽ trở nên dễ dàng hơn đối với học sinh.
Qua quá trình giảng dạy môn Tin học cho các đối tượng học sinh bậc THPT
cả chuyên và không chuyên, khi dạy về phần lập trình giải các bài toán hình học
tôi đều cung cấp cho các em các kiến thức như đã trình bày trong đề tài (mức độ
có khác nhau tùy từng đối tượng). Qua theo dõi đánh giá thì đa số học sinh đều
tiếp thu được và sau khi đã nắm được các kiến thức cơ bản như trong đề tài thì
khi gặp các bài toán hình học khác các em giải quyết các bài toán đó hiệu quả
hơn rất nhiều so với trước đó.
Vì điều kiện hạn chế về thời gian và khuôn khổ của đề tài nên các bài tập ví
dụ chưa nhiều và cũng chưa bao quát hết các dạng, mặt khác đề tài cũng không
tránh khỏi hạn chế, thiếu sót nhất định. Tôi hy vọng nhận được những góp ý
đóng góp của bạn bè đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn, góp phần nhỏ
cho công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh .
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình

viết, không sao chép nội dung của người
khác.

Nghiêm Quang Khải

19


Tài liệu tham khảo
1. Tài liệu tập huấn phát triển chuyên môn giáo viên Tin học - Nhiều tác
giả
2. Chuyên đề hình học – Một số vấn đề phát triển môn Tin học – Nguyễn
Xuân My
3. VNOI - Olympic tin học Việt Nam
4. Website:

20


PHỤ LỤC: MỘT SỐ BÀI TẬP VÍ DỤ
Bài 1. HÌNH CHỮ NHẬT
Xét các hình chữ nhật kích thước w×h, trong đó w, h – nguyên và w > h.
Một hình chữ nhật gọi là nhỏ hơn hình chữ nhật khác nếu thỏa mãn một trong 2
điều kiện:
• Có đường chéo ngắn hơn,
• Có đường chéo bằng nhau, nhưng có độ cao h nhỏ hơn.

Đường
chéo

Đường
chéo

Đường
chéo

Với hình chữ nhật cho trước hãy xác định kích thước hình chữ nhật nhỏ nhất lớn
hơn hình đã cho.
Dữ liệu: Vào từ file văn bản RECTANGLE.INP, gồm nhiều tests, mỗi test cho
trên một dòng chứa 2 số nguyên w và h (0 < w < h ≤ 100). Số lượng tests trong
file không quá 100. Dữ liệu kết thúc bằng một dòng chứa 2 số 0.
Kết quả: Đưa ra file văn bản RECTANGLE.OUT, kết quả mỗi test đưa ra trên
một dòng gồm 2 số nguyên a và b (a < b).
Ví dụ:
RECTANGLE.INP
RECTANGLE.OUT
12
13
13
23
23
14
14
24
24
34
56
18
18
47

47
28
98 100
3 140
99 100
89 109
00
Thuật toán: Bài này đơn giản là sử dụng công thức tính đường chéo hình
chữ nhật, sau đó duyệt lần lượt để tính. Độ phức tạp O(w*h) cho 1 test .
21


Bài 2: Đa giác
Trên mặt phẳng tọa độ, xét đa giác lồi n đỉnh, các đỉnh đều có tọa độ nguyên và
có giá trị tuyệt đối không vượt quá 105. Các đỉnh của đa giác được liệt kê theo
chiều kim đồng hồ.
Yêu cầu: Cho đoạn thẳng xác định bởi hai điểm có tọa độ là (x1, y1) và (x2, y2)
trong đó x1, y1, x2, y2 là các số nguyên và có giá trị tuyệt đối không vượt quá
105. Hãy xác định độ dài L là phần của đoạn thẳng nằm trong đa giác hay trên
cạnh của đa giác và đưa ra số nguyên là phần nguyên của tích (L * 100).
Dữ liệu: vào từ file văn bản “DG.INP” có dạng:
• Dòng đầu tiên chứa số nguyên n (3 ≤ n ≤ 100)
• Dòng thứ i trong n dòng sau chứa 2 số nguyên xác định tọa độ đỉnh i của
đa giác,
• Dòng cuối cùng chứa 4 số nguyên x1, y1, x2, y2.
Hai số liên tiếp trên một dòng cách nhau một dấu cách.
Kết quả: ghi ra file văn bản “DG.OUT” một số nguyên là phần nguyên của tích
(L*100).
Ví dụ:
DG.INP

DG.OUT
4
100
01
10
0 -1
-1 0
-2 0 0 0
Thuật toán: Sử dụng kiến thức về tìm giao điểm giữa 2 đoạn thẳng, và
tương quan giữa vị trí của điểm với đoạn thẳng, duyệt qua tất cả các cạnh của đa
giác ban đầu và kiểm tra.
Bài 3. PHÂN HOẠCH TAM GIÁC
Xét một đa giác lồi với n cạnh, các đỉnh được đánh số theo thứ tự từ 1 tới
n. Một bộ n - 3 đường chéo đôi một không cắt nhau sẽ chia đa giác đã cho thành
n - 2 tam giác. Ta gọi bộ gồm n - 3 đường chéo đó là một phép tam giác phân
của đa giác lồi ban đầu.
Trọng số của một phép tam giác phân là tổng độ dài các đường chéo được
sử dụng trong phép phân hoạch.
Yêu cầu: Cho trước một đa giác lồi, hãy tìm một phép tam giác phân nhỏ nhất
(có trọng số nhỏ nhất)
Dữ liệu: Vào từ file văn bản POLYGON.INP. Trong đó:
• Dòng 1: Ghi số đỉnh n của đa giác đã cho
22


• n dòng tiếp theo, dòng thứ i gồm 2 số thực Xi, Yi theo thứ tự là hoành độ
và tung độ của đỉnh thứ i. (Các đỉnh được liệt kê theo đúng thứ tự gọi tên
đa giác)
Kết quả: Ghi ra file văn bản POLYGON.OUT. Trong đó:
• Dòng 1: Ghi trọng số của phép tam giác phân nhỏ nhất

• N - 3 dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi hai số nguyên dương i, j cho biết có sử
dụng đường chéo nối đỉnh i với đỉnh j trong phép phân hoạch tìm được
• Các số trên một dòng của Input/Output file được ghi cách nhau ít nhất
một dấu cách.
Giới hạn:
• N nguyên dương, 4 ≤ n ≤ 100
• Các toạ độ đỉnh là số thực: Xi, Yi≤ 106
• Trọng số của phép tam giác phân nhỏ nhất được ghi dưới dạng số thực
làm tròn lấy 6 chữ số sau dấu chấm thập phân.
Ví dụ:
POLYGON.INP POLYGON.OUT
y
6
12.000000
40
26
51
24
65
46
25
03
21
0

x

Thuật toán: Đây là một bài toán giải theo phương pháp quy hoạch động
hình học. Kiến thức hình học sử dụng để giải bài toán này là về khoảng cách
giữa hai điểm trên mặt phẳng.

Gọi F(i, j) là trọng số nhỏ nhất của phép tam giác phân đa giác có các đỉnh từ
đỉnh i đến đỉnh j. Gọi dis(i, j) là độ dài cạnh nối điểm i với điểm j. Ta có:
f[i,j]:=min(f(i,k)+f(k,j)+dis(i,k)+dis(k,j));
với k là điểm xen giữa i và j, k = i+1,..,j-1.
Uses math;
Const fi='POLYGON.INP';
fo='POLYGON.OUT';
Var f: array[0..101,0..101] of double;
p: array[0..1001] of record
x, y: double
end;
res: double;
n: longint;
23


Procedure openf;
Begin
assign(input,fi); reset(input);
assign(output,fo); rewrite(output)
End;
Procedure closef;
Begin
close(input); close(output)
End;
Procedure readf;
var i: longint;
Begin
readln(n);
for i:=1 to n do read(p[i].x,p[i].y)

End;
Function dis(i,j: longint): double;
Begin
if (abs(i-j)=1) then exit(0);
exit(sqrt((sqr(p[i].x-p[j].x)+sqr(p[i].y-p[j].y))))
End;
Function d_p(i,j: longint): double;
Var k: longint;
Begin
if abs(i-j)<=2 then exit(0);
if f[i,j]<>-1 then exit(f[i,j]);
f[i,j]:=d_p(i,i+1)+d_p(i+1,j)+dis(i,i+1)+dis(i+1,j);
for k:=i+2 to j-1 do
f[i,j]:=min(f[i,j],d_p(i,k)+d_p(k,j)+dis(i,k)+dis(k,j));
exit(f[i,j])
End;
Procedure done;
Var i, j: longint;
Begin
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do f[i,j]:=-1;
writeln(d_p(1,n):0:6)
End;

24


Begin
openf;
readf;

done;
closef
End.
Bài 4. Bộ ba điểm thẳng hàng
/>Cho n điểm trong mặt phẳng Oxy, hãy đếm số bộ 3 điểm thằng hàng
Input:
• Dòng thứ nhất ghi số N là số điểm trên mặt phẳng.
• N dòng tiếp theo, mỗi dòng ghi tọa độ của một điểm.
Output: Một số duy nhất là số bộ 3 điểm thẳng hàng.
Ví dụ:
Input:
6
00
01
02
11
20
22
Output:
3
Giới hạn: 1 ≤ N ≤ 2000. Tọa độ các điểm có trị tuyệt đối không quá 10000.
Thuật toán: Tính hệ số góc các đường thẳng đi qua 2 điểm (Viết phương
trình đường thẳng đi qua 2 điểm dạng hệ số góc y = ax + b), sắp xếp theo hệ số
góc, kiểm tra điểm nằm trên đường thẳng.
const
fi='';
fo='';
nmax=2000;
esl=1e-10;
vc=10000000000000;

type
m1=array[0..nmax] of real;
m2=array[0..nmax] of longint;
var
n: longint;
x,y,qx:m1;
c:m2;
sl: longint;
25