Phương pháp dùng bất đẳng thức giải nhanh bài toán cực trị về điện xoay chiều trong bài tập vật lí 12

MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài........................................................................................................2
Mục đích nghiên cứu.................................................................................................3
Đối tượng nghiên cứu................................................................................................3
Phương pháp nghiên cứu………...............................................................................3
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận.......................................................................................................4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………………. 4
2.3. Giải quyết vấn đề……………………………………………………………... 4
2.3.1. Bất đẳng thức Cauchy .........................................................................4
2.3.1.1.Nội dung bất đẳng thức Cauchy ......................................................4
2.3.1.2.Vận dụng bất đẳng thức Cauchy .....................................................4
2.3.1.3. Phương pháp giải...............................................................................6
2.3.2. Bất đẳng Bunhiacopxki...........................................................................7
2.3.2.1. Nội dung bất đẳng Bunhiacopxki.....................................................7
2.3.2.2. Vận dụng bất đẳng Bunhiacopxki....................................................7
2.3.2.3 Phương pháp giải.............................................................................8
2.4. Kết quả khảo sát..................................................................................................9
2.4.1. Đối với học sinh..........................................................................................9
2.4.1. Đối với giáo viên.......................................................................................10
2.5. Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki:….……
10
2.5.1. Phần điện xoay chiều và dao động điện…………………………….10
2.5.2. Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cauchy trong chương trình
THPT:…………………………………………..………………………..12
2.5.3. Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng Bunhiacopxki trong chương trình
THPT..........................................................................................................15
3. KẾT LUẬN.........................................................................................................17
3.1. Kết luận …………………………………………………………………17

3.2. Kiến nghị……………………………....…………………………………..17
Tài liệu tham khảo....................................................................................................18
1


1. MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Vật lí là môn khoa học cơ bản nghiên cứu các quy luật về sự vận động của tự nhiên và
nó có mối liên hệ mật thiết với các ngành khoa học khác, đặc biệt là toán học. Các lí
thuyết vật lí là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệ toán học và sự xuất hiện
của toán học trong vật lí cũng thường phức tạp hơn trong các ngành khoa học khác.
Trong chương trình trung học phổ thông việc sử dụng toán học vào giải các bài toán
vật lí là rất điều không thể thiếu. Nhưng việc lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp,
ngắn gọn, hiệu quả và dễ hiểu không phải là đơn giản, nhất là đối với bài toán khó như
bài toán cực trị. Học sinh thường lúng túng khi gặp các bài toán này vì đây là một dạng
bài toán yêu cầu trình độ tư duy cao, học sinh có vốn kiến thức toán học vững chắc hơn
thế nữa dạng bài này thường xuất hiện đơn lẻ, không có tính hệ thống, không có một
phương pháp giải cụ thể nào.
Nhằm giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quát về các bài toán cực trị điển hình trong
vật lí THPT cũng như có phương pháp lựa chọn, định hướng phương pháp giải, các bước
giải cụ thể phù hợp với dạng bài đó nên tôi đã thực hiện đề tài : “Phương pháp dùng bất
đẳng thức giải nhanh bài toán cực trị về điện xoay chiều trong bài tập Vật lí 12”. Khi
đưa các bài tập này vào hệ thống các bài tập rèn luyện và phát triển tư duy dành cho đối
tượng học sinh khá, giỏi tôi nhận thấy học sinh đã có nhiều tiến bộ, hứng thú hơn trong quá
trình tìm tòi và khám phá các bài toán cực trị phức tạp khác của vật lí.
Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đại lượng vật lí nào
đó. Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm hiểu hệ
thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình vật lí từ lớp 10, 11 đến lớp 12
sử dụng các công thức toán học đặc biệt như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức
Bunhiacopxki, tam thức bậc hai,công thức cộng vận tốc, sử dụng định lí hàm số sin,

cosin trong tam giác hoặc khảo sát hàm số. Qua đó rút ra được phương hướng chọn
phương pháp giải và các bước để sử dụng phương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất.
Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đại lượng vật lí nào
đó. Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm hiểu hệ
2


thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình vật lí từ lớp 10, 11 đến lớp 12
sử dụng các công thức toán học đặc biệt như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức
Bunhiacopxki. Qua đó rút ra được phương hướng chọn phương pháp giải và các bước
để sử dụng phương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất.
Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng phương án dạy học đối với giáo viên.
- Xây dựng phương pháp học tập đối với học sinh.
- Tầm quan trọng của bài tập vật lý trong quá trình dạy học vật lý.
- Vai trò của kiến thức toán học trong quá trình giải các bài tập vật lý.
Đối tượng nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu một vấn đề tương đối khó, đề cập đến các dạng bài tập nâng cao
thường gặp trong đề thi TSĐH, CĐ và chủ yếu dành cho học sinh khá giỏi. Với phạm
vi một sáng kiến, kinh nghiệm ở trường THPT chúng tôi chỉ đề cập đến một số vấn đề
nhỏ của môn vật lý lớp 12:
- Nghiên cứu về bài toán cực trị trong điện xoay chiều và một số trường hợp vận dụng.
- Một số vấn đề cần lưu ý khi giải bài tập điện xoay chiều.
Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết.
- Xác định đối tượng học sinh áp dụng đề tài.
- Đưa ra một số công thức, ý kiến chưa ghi trong sách giáo khoa nhưng được suy ra khi
giải một số bài tập điển hình.
- Kiểm tra sự tiếp thu của học sinh bằng các đề ôn luyện.
- Đánh giá, đưa ra sự điều chỉnh bổ sung cho phù hợp.

3


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm:
Hiện nay giải bài tập về dòng điện xoay chiều đòi hỏi giáo viên phải cung cấp cho
học sinh những phương pháp giải bài tập tối ưu nhất, chính xác nhất và nhanh nhất để tiết
kiệm thời gian trong quá trình làm bài tập và bài thi, việc ứng dụng phương pháp bất đẳng
thức giúp học sinh vận dụng toán học để giải nhanh bài tập về dòng điện xoay chiều.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
• Thuận lợi :
Các bài tập áp dụng trong đề tài này có thể có nhiều cách để giải tuy nhiên với mỗi
bài tập, học sinh phải phân tích kỹ đề bài để từ đó chọn phương pháp giải phù hợp nhất.
Những bài tập đề nghị nhằm giúp các em học sinh lựa chọn cách giải phù hợp để
rèn luyện kỹ năng và phương pháp làm bài.
• Khó khăn:
Việc giải bài tập này đòi hỏi học sinh không những có kiến thức vững vàng và
nắm được bản chất vật lý mà còn phải có kiến thức cơ bản về toán học tối thiểu như :
Tính chất của phân thức đại số, Tính chất của các hàm số lượng giác, Bất đẳng thức
Cô-si và bất đẳng thức Bunhiacopxki…”
2.3. Giải quyết vấn đề.
2.3.1 . Bất đẳng thức Cauchy.
2.3.1.1 Nội dung bất đẳng thức Cauchy.
•

Thông thường bất đẳng thức Cauchy: a + b ≥ 2 ab Với a,b ≥ 0

Dấu “=” xảy ra khi a=b
•

Tổng quát: a1 + a2 + ....+ an ≥ n

n

a1a2...an Với a1,a2, .....,an ≥ 0

Dấu “=” xảy ra khi a1=a2= .....=an
2.3.1.2. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy.
Bµi 1. Bµi to¸n c¬ b¶n vÒ R biÕn thiªn.

4


Cho mạch điện R, L, C nối tiếp, R biến thiên. t hai u on mch
mt hiu in th xoay chiu u = U 2 cos t , trong ú U , khụng i.
1- Xác định R để Pmax. Tìm Pmax.
2- Chứng minh với P < Pmax có 2 giá trị R1, R2 thoã mãn R1x R2 = (ZL-ZC)2
A

B
R

L

1- Xác định R để Pmax
P = I 2R =

+ PMax

+

U2
xR=
R 2 + (Z L Z C )2

U2
(Z Z C )2
R+ L
R

Z Z
khi mẫu (min) => R = ( L C )

Pmax =

R

2

R = Z L ZC

U2
U2
=
2R 2 Z L ZC

2. Chứng minh: P < PMax => R1. R2 = (ZL-ZC)2

+ Khảo sát theo R(ẩn).

+

P=

U 2R
R 2 + (Z L ZC )2

= > PR 2 U 2 R + P( Z L Z C ) 2 = 0

= U4 - 4P2 (ZL-ZC)2 Thay U2 = 2(ZL-ZC).Pmax ta đợc:
= 4P2max (ZL-ZC)2 - 4(ZL-ZC)2P.
= 4(ZL-ZC)2 (Pmax- P) > 0
Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt R1, R2
c P( ZC Z L )2
R1.R2 = =
= (Z L ZC )2
a
P
=> R1.R2 = (ZL-ZC)2 (ĐPCM).

Bi 2. Cun cm cú in tr thun R0
Cho mch in xoay chiu nh hỡnh v
u= 100 2 cos (100t+) , R0 = 2

5

C


1

10−4
(F); R thay đổi được
L = (H); C =
π
2π
a) Xác định R để công suất tiêu thụ trên R đạt cực đại.
b) Xác định R để công suất tiêu thụ trên toàn mạch đạt cực đại .
Giải: Ta có : ZL = ω L = 100 Ω , ZC =

1
= 200Ω , Z =
ωC

(R + R 0)2 + (ZL − ZC )2

a) Công suất tiêu thụ trên R là :
U2
U2
=
PR = I2R =
R20 + (ZL − ZC )2
y
R+
+ 2R 0
R
PR đạt max khi y đạt min.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : y ≥ 2 R20 + (ZL − ZC )2 + 2R 0
Dấu ‘=’ xảy ra khi R = R20 + (ZL − ZC )2
Vậy khi R = R 20 + (ZL − ZC )2 thì PR (max) =

U2
2 R20 + (ZL − ZC )2 + 2R 0

b) Công suất tiêu thụ trên toàn mạch là:
U2
P = I (R+R 0 ) =
(R+R 0 ) =
(R+R 0 )2 +(ZL -ZC )2
2

U2
U2
=
(ZL -ZC )2
y
(R+R 0 )+
(R+R 0 )

P đạt max khi y đạt min.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : y ≥ 2|ZL − ZC |
Dấu ‘=’ xảy ra khi R+R 0 =|Z L -ZC | => R=|ZL -ZC | −R 0
U2
U2
=
Vậy khi R=|ZL - ZC | −R 0 thì P(max) =
.
2(R + R 0) 2|ZL − ZC |
2.3.1.3. Phương pháp giải.
Bất đẳng thức Cauchy thường được áp dụng đối với các bài toán phần cơ học, điện
một chiều và xoay chiều. Với các bài tập vận dụng trên ta rút ra được phương pháp

chung để định hướng chọn và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng bất đẳng thức
Cauchy như sau:
Bước 1: Đại lượng cần tìm giá trị cực trị có thể biến đổi để đưa về dạng phân số trong
đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là hằng số.
6


Bước 2: Xét dấu hiệu nhận biết các điều kiện của hàm chứa biến có thỏa mãn điều kiện
sử dụng bất đẳng thức Cauchy hay không.
Đó là điều kiện các số hạng là không âm a1,a2, .....,an ≥ 0 và tích của chúng là không
đổi a1.a2......an = const.
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại ,cực tiểu của bài toán.
Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra.

2.3.2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki.
2.3.2.1. Nội dung bất đẳng thức Bunhiacopxki.
* Thông thường bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax+by) ≤ (a +b )(x +y )
Dấu “=” xảy ra khi : =
* Tổng quát: (ax+by+cz) ≤ (a +b+c)(x +y +z)
Dấu “=” xảy ra khi : = =
2.3.2.2. Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Bµi 1: Bµi to¸n c¬ b¶n vÒ L biÕn thiªn.
Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, trong đó L là cuộn dây thuần cảm và có
thể thay đổi được. Đặt vào hai đầu mạch một điện áp có giá trị hiệu dụng U và tần số f
không đổi. Điều chỉnh giá trị L để tổng điện áp hiệu dụng U RC+UL lớn nhất thì tổng đó
bằng 2 2 U và khi đó công suất tiêu thụ của mạch là 140W. Hỏi khi điều chỉnh L để
công suất tiêu thụ trong mạch lớn nhất thì công suất lớn nhất đó bằng bao nhiêu
A. 150W
B. 160W
C. 170W

D. 180W
Giải
Đặt y = U RC + U L . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
⇔ y = 1.U RC + 1.U L ≤ (12 + 12 )(U 2RC + U L2 ) = 2(U 2RC + U L2 ) ⇒

Theo giả thiết: ymax=2
Mặt khác

2 U=>

ymax = 2(U 2RC + U L2 )
U RC = U L

2(U 2RC + U L2 ) = 8U 2 ⇔ 4U L2 = 8U 2 ⇒ U L = U RC = 2U

U 2 = U 2R + U C2 + U L2 − 2U LU C = 2U L2 − 2U LU C ⇔ U 2 = 4U 2 − 2 2U .U C ⇒ U C = 3U / 2 2
⇒ UR =

Theo giả thiết P =

14
14
U ⇒ cosϕ =
4
4

U2
P
Cos 2ϕ = PmaxCos 2ϕ ⇒ Pmax =
= 160W

R
Cos 2ϕ

Bµi 2: Bµi to¸n c¬ b¶n vÒ mạch LC
Hai mạch dao động điện từ LC lí tưởng đang có dao động điện từ tự do với các
cường độ dòng điện tức thời trong hai mạch là i1 và i 2 được biểu diễn như hình vẽ.
7


Tổng điện tích của hai tụ điện trong hai mạch ở cùng một thời điểm có giá trị lớn
nhất bằng.

A.

4
µC
π

3
π

B. µC

C.

5
µC
π

D.

10
µC
π

Giải
Chu kì: T=10-3(s) ⇒ Tần số góc ω =

2π
= 2π .103 (rad/ s)
T

π
2
I
I
4
3
Điện tích cực đại trên tụ 1,2 lần lượt Q01 = 01 = .10−6 ( F ), Q02 = 02 = .10−6 ( F )
ω π
ω π

Theo đồ thị I 01 = 8( A), I02 = 6( A) và pha ban đầu lần lượt là ϕi1 = − (rad ), ϕi 2 = π (rad )

Điện tích trễ pha hơn dòng điện là

π
(rad) pha điện tích trên tụ 1,2 :
2

Biểu thức điện tích trên tụ 1,2:
q1 = Q01 cos ( ωt − π ) = − Q01cos ω t

π
q2 = Q02 cos(ω t + ) = −Q02 sin ωt
2

Tổng điện tích của hai tụ ở thời điểm t có giá trị lớn nhất :
q = q1 + q2 = Q01 cos ωt + Q02 sin ωt

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
q = Q01 cos ωt + Q02 sin ωt ≤ (Q012 + Q022 )(cos 2 ω t + sin 2 ω t)

Dấu “=” khi q đạt giá trị max
5
π

Vậy qmax = Q012 + Q022 = .10−6 F =

5
µF
π

2.3.2.3. Phương pháp giải
Bất đẳng thức Bunhiacopxki rất ít được sử dụng trong các bài tập vật lí. Ở các bài
toán trên bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta thấy bài toán
được giải một cách nhanh gọn, dễ hiểu. Đối tượng áp dụng ở đây chủ yếu là các bài
toán cơ học. Điều kiện để áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki không được đưa ra rõ
8

ràng như ở bất đẳng thức Cauchy nhưng ta thấy dấu hiệu để nhận biết có thể sử dụng
bất đẳng thức này là tích (a +b ).(x +y ) phải bằng hằng số. Cụ thể các trường hợp trên
ta thấy xuất hiện cos2α + sin2 α = 1 .
Các bước giải bài toán loại này:
Bước 1: Biến đổi đưa đại lượng cần tìm giá trị cực trị về dạng phân số trong đó hoặc
tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là hằng số.
Bước 2: Xét hàm chứa biến sao cho tích (a +b ).(x +y )=const, có xuất hiện
cos2α + sin2 α hoặc (12 + 12).
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại, cực tiểu của bài toán.
Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra.
4. Kết quả khảo sát:
4. 1. Đối với học sinh:
Khảo sát đánh giá hai nhóm học sinh mỗi nhóm 20 học sinh: của hai lớp 12B1, 12B2
+ Trước khi đưa ra phương pháp hầu như các em chưa định hình được cách giải
và hướng đi những bài toán này do đó kết quả đạt được rất thấp.
Lớp 12B2
Điểm
Học sinh
%
Lớp 12B1

1
0
0

2
13
65%

3
5
25%

4
2
10%

5
0
0

6
0
0

7
0
0

8
0
0

9
0
0

10
0

0

Điểm
Học sinh
%

1
0
0

2
5
25%

3
11
55%

4
2
10%

5
2
10%

6
0
0

7
0
0

8
0
0

9
0
0

10
0
0

+ Sau khi học sinh được tiếp cận với phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cauchy
và Bunhiacopxki thì cách giải, hướng đi rõ ràng, thuận tiện, nhanh hơn và cho kết quả
tốt.

9


Lớp 12B2
Điểm
1
Học sinh
0
%
0

Lớp 12B1

2
0
0

Điểm
Học sinh
%

2
0
0

1
0
0

3
0
0
3
0
0

4
2
10%
4
0

0

5
3
15%

6
4
20%

5
2
10%

6
5
25%

7
7
35%

8
3
15%

9
1
5%

10
0
0

7
8
4
6
20% 30%

9
3
15%

10
0
0

4. 2. Đối với giáo viên:
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm này cũng giúp giáo viên hiểu sâu hơn về những bài
toán hàm cực trị mà sử dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki trong điện
xoay chiều từ đó mở rộng ra các bài toán khác trong quá trình ôn luyện học sinh thi
Tốt nghiệp và Đại học – Cao đẳng cũng như các bài toán Vật lý trong chương trình
THPT.
5. Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki:
5.1. Phần điện xoay chiều, dao động điện.
Câu 1: Cho mạch RLC mắc nối tiếp, trong cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được.
Đặt vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U và tần số f không
đổi. Điều chỉnh giá trị L để tổng điện áp hiệu dụng URC+UL lớn nhất thì tổng đó bằng
2U và khi đó công suất tiêu thụ của mạch là P. Điều chỉnh Lđể công suất tiêu thụ trong

mạch lớn nhất Pmax=120W. Giá trị công suất P là?
A.100W
B.90W
C.110W
D.80W
Câu 2: Đặt điện áp xoay chiều u=U0 cos 100π t(V) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối
tiếp gồm biến trở R tụ điện có điện dung C=
L=

10−4
F và cuộn cảm thuần có độ tự cảm
π

1
H. Thay đổi R để điện áp hiệu dụng hai đầu UR+UL đạt giá trị cực đại và giá trị
2π

đó là 180V. Tính giá trị hiêu dụng hai đầu đoạn mạch?
A.100V
B.90V
C.110V
D. 90 2 V
Câu 3: Đặt điện áp xoay chiều u=U 2 cos ω t(V) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối
tiếp gồm biến trở R tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm. Thay
đổi R để điện áp hiệu dụng hai đầu UR+UC đ ạt giá trị cực đại và giá trị đó là 2 U,
khi đó UC=100V. Tính giá trị hiêu dụng hai đầu đoạn mạch?
A.100V
B.90V
C.110V
D. 90 2 V

10


Câu 4: Hai mạch LC lí tưởng có dao động điện từ tự do với điện tích tức thời trong
hai mạch là q1 và q2 biến thiên như hình vẽ. Biết thờigian ngắn nhất từ lúc q 1 cực đến
khi giá trị tức hời của q1 bằng giá trị cực đại của q2 là

1
s. Tổng giá trị cực đại
600

cường độ dòng điện của hai mạch dao động có giá trị gần với:
q(10-7C)
q2
t(10-2s)
q1
0,25

0,5

A.94.10-8A
B.32.10-8A
C.70.10-8A
D.89.10-8A
Câu 5: Một đoạn mạch nối tiếp gồm cuộn dây có điện trở thuần r = 100 3 Ω và độ
tự cảm L = 0,191 H, tụ điện có điện dung C = 1/4π(mF), điện trở R có giá trị thay đổi
được. Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch u = 200 2 cos(100πt) V. Thay đổi giá trị
của R để công suất tiêu thụ trong mạch đạt cực đại. Xác định giá trị cực đại của công
suất trong mạch.
A. 200 W

B. 228W
C. 100W
D. 50W
Câu 6. Mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R thay đổi được, cuộn dây có điện
trở thuần r = 20Ω và độ tự cảm L = 2H, tụ điện có điện dung C = 100μF mắc nối tiếp
với nhau. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = 240cos100t(V). Khi R
= R0 thì công suất tiêu thụ trên toàn mạch đạt cực đại. Khi đó công suất tiêu thụ trên
cuộn dây là:
A. Pr = 108W B. Pr = 88,8W
C. Pr = 28,8W
D. Pr = 12,8W
Câu 7: Mạch điện AB gồm đoạn AM và đoạn MB . Điện áp ở hai đầu mạch ổn định u
= 150 2 cos100πt (V). Điện áp ở hai đầu đoạn AM sớm pha hơn cường độ dòng
điện một góc 300. Đoạn MB chỉ có một tụ điện có điện dung C thay đổi được. Chỉnh
C để tổng điện áp hiệu dụng UAM + UMB có giá trị lớn nhất. Khi đó điện áp hiệu dụng
ở hai đầu tụ điện là:
A. 75 2 V.
B. 200V.
C. 150 V.
D. 130V.
Câu 8: Cho mạch điện RLC nối tiếp. Cuộn dây không thuần cảm có L = 1,4/ π (H) và
r = 30 Ω ; tụ có C = 31,8 µ F. R là biến trở. Điện áp hai đầu đoạn mạch có biểu thức: u
= 100 2 cos(100 π t)(V). Giá trị nào của R để công suất trên biến trở R là cực đại?
Giá trị cực đại đó bằng bao nhiêu? Chọn kết quả đúng:
A. R = 50 Ω ; PRmax = 62,5W. B. R = 25 Ω ; PRmax = 65,2W.
C. R = 75 Ω ; PRmax = 45,5W. D. R = 50 Ω ; PRmax = 625W.
Câu 9: Một đoạn mạch nối tiếp gồm cuộn dây có điện trở thuần r = 100 3 Ω và độ
tự cảm L = 0,191 H, tụ điện có điện dung C = 1/4π(mF), điện trở R có giá trị thay
đổi được. Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch u = 200 2 cos(100πt) V. Thay đổi giá
trị của R để công suất tiêu thụ trong mạch đạt cực đại. Xác định giá trị cực đại của

công suất trong mạch.
11


A. 200 W
B. 228W
C. 100W
D. 50W
Câu 10: Mạch điện xoay chiều gồm biến trở mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm và
tụ điện. Mắc vào mạch điện này một hiệu điện thế xoay chiều ổn định . Người ta điều
chỉnh giá trị của biến trở đến khi công suất của mạch điện là 100 3 (W) thì khi đó
dòng điện trễ pha so với hiệu điện thế 2 đầu đoạn mạch góc π / 3 .Tiếp tục điều chỉnh
giá trị của biến trở tới khi công suât mạch đạt giá trị cực đại. Giá trị cực đại đó bằng :
A.250W
B.300W
C. 100 3 W
D.200W
5.2. Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cauchy trong chương trình
THPT:

uu
r
Bài 1. Một vật khối lượng m1 chuyển động với vận tốc v1 đến va chạm với vật m2

uu
r
đang đứng yên. Sau va chạm vật m1 chuyển động với vận tốc v1' ,vật m2 chuyển động
uu
r
uu

r
uu
r
v1'
'
với vận tốc v2 . Hãy xác định tỉ số
để góc lệch α giữa v1 và v1' đạt giá trị cực đại.
v1
uu
r
P1 '

Giải: Do hệ kín và va chạm là đàn hồi nên:
Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có :
r uu
r
uur uu
r uu
r uu
(1)
PT = PS ⇔ P1 = P1' + P2'

ur
P1

α

Động năng hệ vật bảo toàn :
2
1 1

'2
1 1

'2
2 2

mv mv
mv
=
+
2
2
2
r
uu
r uu
Gọi α = (v1,v1' ) .

uu
r
P2 '

(2)

Từ (1) và (2) ta có: P2'2 = P1'2 + P12 − 2P1'P1cosα

(3)

P12

P'2 P'2
m
= 1 + 2 ⇒ P12 − P1'2 = 1 P2'2 (4)
2m1 2m1 2m2
m2
 m2  P1  m2  P1'
Từ (3) và (4) suy ra:  1−
÷ ' +  1+
÷ = 2cosα.
m
P
m

1 1 
1  P1
 m2  v1  m2  v1'
⇔  1−
÷ ' +  1+
÷ = 2cosα.
 m1  v1  m1  v1
Để α Max thì (cos α )min .Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái (5):

12


 m2  v1  m2  v1'
m12 − m22
 1−
÷ ' +  1+
÷ ≥2

m1
 m1  v1  m1  v1


=> (cos α )min khi:  1−


m2  v1  m2  v1'
v1'
m1 − m2
=
1
+
=
với m1>m2
÷ ' 
÷ =>
m1  v1  m1  v1
v1
m1 + m2

v1'
m1 − m2
=
Vậy
với m1>m2 thì góc lệch α đạt giá trị cực đại .
v1
m1 + m2
Bài 2. Một mạch điện được mắc R1 nối tiếp (đèn Đ mắc song song R 2 ). Bóng đèn
ghi 6V-3W, R1 =4Ω, U=10V, R2 là biến trở.

a) R2 bằng bao nhiêu để công suất tiêu thụ trên R2 đạt giá trị cực đại
b) R2 bằng bao nhiêu để công suất tiêu thụ trên đoạn mạch song song đạt giá trị cực
Id
đại.
Đ
R1
I
Giải:
I R2
2

a) Điện trở của bóng đèn: R = = 12 Ω
Công suất tiêu thụ của R2 là: P = I . R
Mà I = I- I =

U − I 2.R2 I 2.R2 10 I 2.R2
7,5
= −
=> I 2=
R1
Rd
4
3
R2 + 3

7,52
7,52
9
P2=
. R2 =

+ 6 đạt min.
9
=> P2 đạt max khi R2 +
(R2 + 3)2
R2 +
+6
R2
R2
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có : R2 +
Dấu ‘=’ xảy ra khi R2 =

9
+ 6 ≥ 2.3+ 6
R2

9
⇔ R2 = 3Ω
R2

Vậy khi R2 = 3 Ω thì P2 đạt giá trị cực đại.
b) Công suất tiêu thụ của đoạn mạch song song là :
P= I2. Rđ2 mà I =
Với

U − I.R d2
U
10
=
=> I =
R1

R d2 + 4 R d2 + 4

1
1
1
1 1
=
+
= +
Rd2 Rd R2 12 R2

13


102
100
16
P=
R
=
d2
+ 8 đạt min
16
=> P đạt max khi Rd2 +
(R d2 + 4)2
Rd2 +
+8
Rd2
R d2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : Rd2 +

16
+ 8 ≥ 16
Rd2

Dấu ‘=’ xảy ra khi Rd2=4 => R2 = 1,5Ω
Vậy khi R2 = 1,5Ω thì công suất đoạn mạch song song đạt giá trị cực đại.
Bài 3. Vòng dây mảnh bán kính R tích điện đều mang điện tích q>0 đặt trong không
khí. Tính cường độ điện trường tại M trên trục vòng dây cách O đoạn h. Xác định h
để E đạt giá trị cực đại và tính giá trị cực đại đó.
Giải :
Xét hai điện tích điểm ∆q nằm

∆1

ở vị trí đối xứng qua tâm O.
Cường độ điện trường do chúng
uuu
r uuuu
r uuuu
r
gây ra tại M là : ∆E = ∆E1 + ∆E2
Mà ∆E1=∆E2 = k

M

O
h

α

R

∆q
suy ra:
r2

uuu
r
∆E nằm trên OM, hướng ra xa O
Có độ lớn : ∆E =2∆E1 cosα = 2 k

∆q
2∆q.h
k
=
r2
r3

ur
uuu
r
- Cường độ điện trường tổng hợp gây ra tại M là : E M = ∑ ∆E
ur
Vậy E M nằm trên OM, hướng ra xa O.
h
q.h
q.h
Độ lớn: E M = ∑ ∆E = k. 3 (∑ 2∆q) => E M = k. 3 = k. 2
r

r
(R + h2)3/2
- Tìm h để EM đạt cực đại : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

(R

2

+ h2

Suy ra :

)

3

3

 R2 R2
R2 R2 2
2
=
+
+ h ÷ ≥ 27. . .h
2
2
2 2



EM ≤

k.q.h
2k.q
=
2
R
3 3.R2
3 3. .h
2

14

∆
∆2


Vậy h=

R
2k.q
thì EM = E M (max) =
.
2
3 3.R2

5.3. Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng Bunhiacopxki trong chương trình THPT
Bài 1. Người ta quấn một sợi dây không giãn và khối lượng không đáng kể quanh
một khối trụ khối lượng m. Hỏi phải kéo dây bằng một lực F min, dưới góc α bằng bao
nhiêu để khối trụ quay tại chỗ. Cho biết hệ số ma sát giữa khối trụ và sàn là k.

Giải: Các lực tác dụng được biểu trên hình
Do khối trụ không chuyển động tịnh tiến nên
tổng hình chiếu các lực trên phương 0x, 0y bằng 0
Tức là:
Fms − F cosα = 0
Trong đó : Fms =k.N

Fsinα + N − P = 0

r
F

y

α

O•

r
N

r
P

kmg
kmg
=
Từ hệ phương trình trên ta có : F =
cosα + ksinα
y

x

Fms

=> F đạt min khi y đạt max
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
y = cosα + ksinα ≤ (1+ k2)(cos2α + sin2 α) = 1+ k2
Dấu ‘=’ xảy ra khi
Vậy Fmin =

1
k
=
⇔ tgα = k
cosα sinα

kmg
khi tgα = k
1+ k2

Bài 2. Kéo một vật lên đều trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α, hệ số ma sát k.
u
r
Hỏi góc β giữa vec tơ lực kéo F và mặt nghiêng là bao nhiêu để lực kéo là cực tiểu.
Giải: Áp dụng định luật II Newton ta có :
u
r ur u
r u
r

r
P + N + F + F ms = 0(1)
Chiếu (1) lên Ox: − Psinα − kN + F cosβ = 0 (2)
Chiếu (1) lên Oy: − Pcosα + N + Fsinβ = 0 (3)
Từ (2) và (3) ta có : F =

Psinα + kPcosα
ksinβ + cosβ
15

β

x

α

y
O


Nhận xét: Trong biểu thức của F : tử số là không đổi, mẫu số thay đổi.
F đạt min khi mẫu số đạt max. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
ksinβ + cosβ ≤ (k2 + 1)(sin2 β + cos2β) = (k2 + 1)
Dấu ‘=’ xảy ra khi
Khi đó Fmin =

k
1
=
<=> tgβ = k

sinβ cosβ

Psinα + kPcosα
k2 + 1

Vậy: Để vật chuyển động đều với lực kéo cực tiểu thì góc hợp bởi vec tơ lực kéo và
mặt nghiêng thỏa mãn: tgβ = k
Bài 3. Hai ôtô cùng chuyển động từ A và B hướng tới điểm O trên hai đường thẳng
hợp nhau một góc α=300 với vận tốc v2 =

v1
.Hãy xác định khoảng cách nhỏ nhất
3

giữa hai ôtô. Cho biết lúc đầu chúng cách O những khoảng cách d1=60km, d2=40km.
Giải : Áp dụng hệ thức trong tam giác ta có:
Lại có: v2 =

d d1 − v1t d2 − v2t
=
=
.
sinα sinγ
sinβ

v1
d d1 − v1t 3d2 − v1t
=
=
=>

sinα sinγ
3
3sinβ

Theo bài ra ta có: β+ γ =150
=>

α

r
v1

d
3d2 − d1
=>
=
.
sinα
3sinβ − sinγ

A' β

A •
0

sin β= cos γ +

O

γ

r
v2
B'

B

3
sinγ
2

d
3d2 − d1
3d2 − d1
3d2 − d1
=
=>
d
=
=
=> sin300
(1)
y
3
1
3cosγ + sinγ
cosγ + sinγ
2
2
Từ (1): dmin khi ymax

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: y ≤
ymax = 2 <=>

sinγ 1
=
= tgγ => γ = 300 và β= 1200 .
cosγ
3

16

(3+ 1) + (sin2 γ + cos2γ ) = 2.


Vậy dmin= =

3d2 − d1
≈ 4,64 km.
2

3. KẾT LUẬN
3.1 Kết luận
Xuất phát từ kinh nghiệm của bản thân, bản thân tôi đúc rút thành kinh
nghiệm mong đem lại cho các em học sinh một cái nhìn tổng quát hơn về bài toán
cực trị trong điện xoay chiều và một số lưu ý khi làm tập phần này. Việc giải bài tập
loại này đòi hỏi học sinh không những có kiến thức vững vàng và nắm được bản
chất vật lý mà còn phải có kiến thức cơ bản về toán học tối thiểu như tôi đã đề cập:
Tính chất của phân thức đại số, Tính chất của các hàm số lượng giác, Bất đẳng thức
Cô-si và Bunhiacopxki.
Tôi đã đưa ra phương pháp giải và điều kiện vận dụng để học sinh có thể tham

khảo và qua đó có thể nhanh chóng kiểm tra, đối chiếu khi làm các bài tập trắc nghiệm.
Các bài tập áp dụng trong đề tài này có thể có nhiều cách để giải tuy nhiên với mỗi
bài tập, học sinh phải phân tích kỹ đề bài để từ đó chọn phương pháp giải phù hợp nhất.
Bên cạnh đó, chúng tôi đưa ra những bài tập đề nghị nhằm giúp các em học
sinh lựa chọn cách giải phù hợp để rèn luyện kỹ năng và phương pháp làm bài.
3.2 Kiến nghị.
Qua quá trình nghiên cứu đề tài tôi có một số kiến nghị sau:
- Bản thân mỗi giáo viên phải chủ động tích cực hơn trong các bài dạy. Mỗi
nội dung cần phải được làm rõ hơn về kiến thức Vật lý để học sinh thấy được bản
chất bài toán để từ đó vận dụng kiến thức Toán học cho phù hơp bài tập.
- Đối với học sinh cần phải hiểu cơ bản được hai bất đẳng thức Cô-si và bất
đẳng thức Bunhiacopxki dạng Toán học để áp dụng vào bài toán cực trị.

XÁC NHẬN CỦA THỦ

Thiệu Hóa, ngày 17 tháng 05 năm 2016

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết không
sao chép của người khác.
17


Tác giả
Lê Hải Ngọc Sơn
Tài liệu tham khảo
1] GS.TS Nguyễn Quang Báu - Nguyễn Cảnh Hòe. Bài tập Vật lí 10 nâng cao, NXB
Đại học quốc gia Hà Nội, 2004.
[2] Bùi Quang Hân - Trần Văn Bồi - Phạm Văn Tiến - Nguyễn Thành Tương. Giải

toán Vật lí 10 (tập I,tập II),Giải toán Vật lí 11(tậpI), NXB Giáo dục, 2001.
[3] Vũ Thanh Khiết, Nguyễn Thế Khôi – Bài tập Vật lý 12 Nâng cao – NXB Giáo
dục, 2008.
[4] Phạm Văn Thiều - Đoàn Văn Ro - Nguyễn Văn Phán. Các phương pháp vàng
giải bài tập Vật lí THPT, NXB Giáo dục, 2009.
[5] Ths.Hoàng Danh Tài. Hướng dẫn giải nhanh các dạng bài tập trắc nghiệm Vật lí
(tập II) ,NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2009.
[6] Vũ Thanh Khiết. Kiến thức cơ bản nâng cao Vật lí THPT (tậpI,II,III), NXB Hà
Nội , 2003.
[7] Lê Văn Vinh. Cẩm nang luyện thi Đại học (tậpI,II,), NXB Tổng hợp Hồ Chí
Minh , 2014.

18