Phương pháp CM bất đẳng thức từ những bài toán đơn giản

Phần I: Đặt vấn đề.
1. Mục đích phạm vi
Hệ thống cho học sinh một số vấn đề về lý thuyết.
Phát huy khả năng suy luận, t duy lôgíc, óc phán đoán, sự linh hoạt, sáng
tạo của học sinh khi giải các bài tập về bất đẳng thức trong chơng trình Đại số
lớp 8.
Góp phần nâng cao chất lợng dạy và học trong trờng phổ thông, đặc biệt
trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi.
2. Lý do chọn đề tài.
2.1. Cơ sở lý luận:
Nếu "Toán học là một môn thể thao của trí tuệ" thì công việc của ngời
thày dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Có lẽ không có môn học nào thuận
lợi hơn môn Toán trong công việc đầy khó khăn này.
Quá trình giải Toán chính là quá trình rèn luyện phơng pháp suy luận khoa
học là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo, không dừng lại ở mỗi bài toán đã
giải hãy tìm thêm các kết quả thu đợc sau mỗi bài toán tởng chừng nh đơn giản.
Đó là tinh thần tiến công trong học toán và đó cũng là điều kiện để phát triển t
duy sáng tạo cho học sinh qua việc áp dụng công thức để chứng minh các bài
toán về bất đẳng thức.
2.2. Cơ sở thực tiễn
Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và chứng minh các
bất đẳng thức toán học nói riêng thì việc tìm hiểu sự liên hệ của bài này đối với
bài khác của bất đẳng thức này đến bất đẳng thức khác là một trong những yêu
cầu cần đặt ra đối với học sinh. Trong quá trình giảng dạy môn Đại số ở trờng
THCS tôi nhận thấy các bài tập về phần bất đẳng thức đều mang đậm một nội
dung phong phú và đa dạng. ở những bài tập đó tiềm ẩn các giả thiết và kết
luận mới, đòi hỏi sự khai thác sáng tạo, phát hiện để mang lại những kết quả
đầy lý thú, kiến thức mở rộng và sâu sắc. Tuy nhiên để làm đợc điều đó thì đòi
hỏi ở thày và trò một quá trình làm việc nghiêm túc mang tính sáng tạo. Việc
phát triển t duy sáng tạo cho học sinh có thể diễn ra theo nhiều hớng, nhiều mức
1

độ khác nhau, nâng cao dần sự tiếp thu của học sinh. Có thể là một trong những
mức độ sau đây:
1. Với những giả thiết ban đầu, tìm ra kết luận mới cho bài toán.
2. Thay đổi thêm bớt một số điều kiện để tìm ra kết luận mới cho có tính
khái quát hơn.
3. Khai thác bài toán theo hai chiều "khi và chỉ khi".
Dựa trên những lý luận về yêu cầu giải một bài toán và xuất phát từ thực tế
giảng dạy trong nhà trờng tôi đã cố gắng và tìm hiểu nghiên cứu để từ đó gợi ý
hớng dẫn các em học sinh từng bớc hình thành phơng pháp suy nghĩ, khả năng
thực hiện yêu cầu này trong các bài tập cụ thể. Trên cơ sở những ví dụ đã chọn
tôi viết sáng kiến kinh nghiệm :"Phát triển t duy sáng tạo cho học sinh qua
giảng dạy phần chứng minh bất đẳng thức" áp dụng cho học sinh lớp 8.
pHần 2. Nội dung - Biện pháp thực hiện
2
A. Cơ sở lý thuyết.
I- Những kiến thức cần nhớ:
Trớc hết để chứng minh đợc các bất đẳng thức toán học thì học sinh phải
nắm đợc định nghĩa và các tính chất sau đây:
1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b (hay dạng a < b; a b; a b) là
bất đẳng thức
Nếu a > b a - b > 0;
Nếu a b a - b 0;
2. Tính chất:
- Nếu a < b b > a;
- Nếu a < b, c a + c < b + c;
- Nếu a < b, c < 0 ac > bc;
- Nếu a < b, c > 0 ac < bc;
- Nếu a < b và a, b > 0
1
>

1
a b
A(x)
2
0 A(x) dấu "=" A(x) = 0;
- A(x)
2
0 A(x) dấu "=" A(x) = 0;
Trên cơ sở định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức xây dựng đờng lối tìm
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức.
a) m là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền (D) nếu nh hai điều kiện sau
đồng thời xảy ra:
1. f(x) m x (D)
2. x
0
(D) : f(x
o
) = m.
Khi đó kí hiệu m = max f(x)
b) m gọi là giá trị nhỏ nhất trên miền (D) của f(x) nếu nh hai điều kiện sau
đồng thời thoả mãn:
1. f(x) m x (D).
2. x
0
(D) sao cho f(x
o
) = m.
Khi đó kí hiệu m = min f(x)
II. Một số bài toán minh hoạ
3

Đầu tiên cho học sinh nắm biết đợc:
A(x)
2
0 A(x) dấu "=" A(x) = 0;
- A(x)
2
0 A(x) dấu "=" A(x) = 0;
(a b)
2
0 dấu "=" a = b;
(ay - bx)
2
0 dấu "=" ay = bx;
Trên cơ sở các bất đẳng thức đó học sinh xây dựng các bất đẳng thức sau:
*/ Cách xây dựng:
Từ : (a - b)
2
0 a
2
+ b
2
- 2ab 0
a
2
+ b
2
2ab (1)
1. Cộng hai vế của (1) với a
2
+ b

2
ta đợc:
2(a
2
+ b
2
)

(a + b)
2


a
2
+ b
2
(
a + b
)
2
2 2
2. Cộng hai vế của (1)với 2ab ta đợc:

3. Cho a, b > 0 từ


Từ 2(a
2
+ b
2

)

(a + b)
2
(*)
(*) là bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki
với a, b > 0; thì từ
Bất đẳng thức Cô-si
Để vận dụng một số cách thành thạo các bất đẳng thức trên cho học sinh
làm một số bài tập sau:
4
(a + b)
2
4ab
ab (
a + b
)
2
2
(a + b)
2
4ab
1

1
(a + b)
2
4ab
1
+

1

1
a b a +b
(a + b) 2(a
2
+ b
2
)

(a + b)
2
4ab a + b 2ab

Bài toán 1.1:
Cho a, b > 0; c > 0; Chứng minh rằng:
A =
a + b
+
a + c
+
b + c
6
c b a
Hớng dẫn:
A =
a
+
b
+

b
+
c
+
a
+
c
c c a a b b
A = (
a
+
c
) + (
b
+
c
) + (
a
+
b
) 6
c a c b b a
(Lu ý:a, b > 0; c > 0; )

a
+
c
2;
b
+

c
2;
a
+
b
2;
c a c b b a
Nâng dần mức độ bài toán 1. 1 thành bài 1.2.
Bài toán 1.2:
Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng:
A =
(a + b)
2
+
(a + c)
2
+
(b + c)
2
4(a + b + c)
c b a
Hớng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức Côsi
(a + b)
2
+ 4c 2
(a + b)
2
4c = 4 (a + b )
c c

Tơng tự:
(a + c)
2
+ 4b 4 (a + c)
b
(b + c)
2
+ 4a 4 (b + c)
a
Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh.
Từ bài toán 1.2 bài toán 1.3
Bài toán 1.3:
5
Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng:
A =
(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
> 4
c b a
Hớng dẫn:
(a + b)
=
(a + b)
c c (a + b)
với a, b , c > 0
có c (a + b)
(a + b + c)

2
1

2
dấu "=" c = a + b
c (a + b ) a + b + c
a + b

2 (a + b)
dấu "=" c = a + b
c (a + b ) a + b + c
Tơng tự:
c + a

c + a
dấu "=" b = c + a
b (c + b ) a + b + c
b + c

2
dấu "=" a = b + c
a (b + c ) a + b + c
cộng vế của bất đẳng thức ta đợc điều phải chứng minh.
Chú ý: Trong bài này dấu "=" không xảy ra vì:
a, b , c > 0; a + b + c > 0;
*/ Ta có thể áp dụng bài toán 1.1 để giải bài toán sau đây:
Bài toán 1.4: Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng:
6