ĐỀ THI ĐH & ĐÁP ÁN (02)

ĐỀ THI ĐH (02) & ĐÁP ÁN
Câu I :
Cho hàm số
3 2
3( 1) 3(2 1) 4y x m x m x= − + + − + +
( m là tham số )
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số với m=1
2. Tìm giá trò của m để đồ thò hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và hai
điểm đó đối xứng qua điểm I(0,4)
Câu II:
1. Giải hệ phương trình :
2 2
4
( 1)( 1) 4
x y x y
xy x y

+ − − =

− − =

2. Giải bất phương trình :16 3 4 9
x x x x
− ≤ +
Câu III:
1. Giải phương trình 3tgx+2cotg3x = tg2x
2. Cho tam giác ABC ,chứng minh rằng:

2 sin 2 sin 2 sin 2
sin sin sin
r A B C

R A B C
+ +
=
+ +
trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp ,R là bán kính đường tròn ngoại
tiếp của tam giác ABC.
Câu IV:
Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC đôi một vuông góc . Đặt
SA= a,SB= b, SC= c . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
1. Tính độ dài đoạn SG theo a,b,c.
2. Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC
tại N.
a. Chứng minh rằng
3
AB AC
AM AN
+ =
b. Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S,A,B,C có tâm O thuộc mặt
phẳng (P) .Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a,b,c khi mặt phẳng (P) song
song với BC
Câu V:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
2 3y x x= − +
;
y = 2x-1; x = 0
DAP AN
CÂU I:
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số với m = 1

3 2
6 9 4y x x x
= − + − +
• TXĐ: D = R

2
' 3 12 9
1
' 0
3
'' 6 12
y x x
x
y
x
y x
= − + −
=

= ⇔

=

= − +
'' 0 2 2y x y
= ⇔ = ⇒ = ⇒
điểm uốn (2, 2).
• BBT:
• Đồ thò:
Cho x = 0, y = 4

x = 4, y = 0
2) Tìm m để đồ thò hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng nhau qua
điểm I(0, 4)
Ta có:
( ) ( )
3 2
3 1 3 2 1 4y x m x m x= − + + − + +

( ) ( )
( ) ( )
( )
3
' 3 6 1 3 2 1
3
' 0 3 6 1 3 2 1 0
2
2 1 2 1 0 (1)
y x m x m
y x m x m
x m x m
= − + + − +
= ⇔ − + + − + =
⇔ − + + + =
Hàm số có cực đại và cực tiểu
' 0
⇔ ∆ =
( )
2
2
1 2 1 0 0 0

1 3 3
1 1
3
2 1 4 3 3
2 2
m m m m
x y m
x m y m m
⇔ + − − > ⇔ > ⇔ ≠
= ⇒ = − +


⇒

= + ⇒ = − +

Tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là:
3
(1, 3 3), (2 1, 4 3 3)
1 2
M m M m m m
− + + − +
1
M
Và
2
M
đối xứng nhau qua I
⇔
I là trung điểm

1
M
2
M

( )
( )
0
2 2 0
1 2
3
8
4 3 3 3 3 8
1 2
1
1
3
3
1 4 4 2 0
4 6 2 0
x x
m
y y
m m m
m
m
m m m
m m
+ =


+ =

 
⇔ ⇔
 
+ =
− + − + =




= −

= −

 
⇔ ⇔
 
+ − − =
− − =




1m
⇔ = −
(nhận)
ĐS:
1m
= −

CÂU II:
1) Giải :
2 2
4
( 1)( 1) 4
x y x y
xy x y

+ − − =

− − =

Hệ phương trình
( ) ( )
( ) ( )
2 2
4
2 2
4
x x y y
x x y y

− + − =

⇔


− − =


2
2 1 2
2 1 2
2
x x x x
y y
y y

− = = − ∨ =


⇔ ⇔
 
= − ∨ =


− =

Vậy hệ có 4 nghiệm (-1, -1), (-1, 2), (2, -1), (2, 2)
2) Giải:
16 3 4 9
x x x x
− ≤ +
Bất phương trình:
16 3 4 9
x x x x
⇔ ≤ + +

3 1 9
1 (*)

16 4 16
x x x
     
⇔ + + ≥
     
     
Xem hàm số
3 1 9
( )
16 4 16
x x x
f x
     
= + +
     
     
⇒
y = f(x) Là hàm số liên tục giảm trên
¡
Do đó:
(*) ( ) (1)f x f
⇔ ≥

1x
⇔ ≤
CÂU III:
1) Giải phương trình 3tgx + 2cotg3x = tg2x
Điều kiện:
2
cos 0

2
sin 3 0 3
3
cos 2 0
2
2
4 2
x k
x k
x
k
x x k x
x
k
x k
x
π
π π
π
π
π
π
π π
π

≠ +


≠ +


≠



 
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠
  
  
≠

 
≠ +
≠ +



Ta có:
sin cos sin sin cos cos
cos sin cos sin
a b a b a b
tga tgb
a b a b
+
+ = + =

cos( )
cos cos
a b
a b
−

=
p dụng vào phương trình ta được:
Phương trình
( )
3 cot 3 2 cot 3tgx g x tg x g x
⇔ + = +
(cộng 2 vế cho cotg3x)
( )
3cos 3
cos(2 3 )
cos sin 3 cos 2 sin 3
3cos 2 cos
2 2
3cos cos
cos cos 2
1 cos 2
2 2
3cos 6cos 2 cos 2 1 0
2
1
cos 2 cos
2 3
1
cos 2 cos
3
2 2
6
(
3
2 2

2
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x
x x x
x
x
x k
x k
x k
x k
π
α
π
π
π
π
α
α π
π
−
−
⇔ =
⇔ = ⇔ =
+
⇔ = ⇔ − − =


= =

⇔


= − =



= ± +


= ± +

⇔ ⇔



= ± +
= ± +



thỏa điề )u kiện
Đáp số:
,
6 2
x k x k
π α

π π
= ± + = ± +
(với
1
cos
3
α
= −
và
k
∈
¢
)
2) Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
2 sin 2 sin 2 sin 2
sin sin sin
r A B C
R A B C
+ +
=
+ +
Ta có:
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 2sin( ) cos( )A B C A B C B C
+ + = + + −

[ ]
[ ]
[ ]
2sin cos 2sin cos( )
2sin cos cos( )

2sin cos( ) cos( )
2sin 2sin sin( ) 4sin sin sin
A A A B C
A A B C
A B C B C
A B C A B C
= + −
= + −
= − − +
= − − =
Vế phải:
sin 2 sin 2 sin 2
sin sin sin
A B C
A B C
+ +
=
+ +

( )
4. . .
4sin sin sin
2 2 2
sin sin sin
2 2 2
2
.
3 2
2
a b c

A B C
R R R
a b c
A B C
R R R
abc R abc
a b c
R R a b c
= =
+ +
+ +
= =
+ +
+ +
Mặt khác: diện t ích S = pr =
4
abc
R

4 2( )abc prR a b c rR
⇒ = = + +
Do đó:vế phải=
2( ) 2
2
( )
a b c rR r
R
R a b c
+ +
= =

+ +
(điều phải chứng minh)
CÂU IV:
1) Tính SG:
Gọi I là trung điểm BC.
2 2
2 2
BC b c
SI
+
⇒ = =
(do
SBC
∆
vuông)
ASI
∆
có
2 2 2
AI SA SI
= +
2 2
2 2
4
b c
AI a
+
⇒ = +
SGI
∆

có:
2 2 2
2 . cosSG SI IG SI IG I
= + − −
( )
1 1
2 2 2
2
9 3
1 1
2 2 2
3 9
2 2 2 2
1 1
2
3 4 9 4
1
2 2 2
4 4 4
36
1
2 2 2
3
SI
SG SI AI SI AI
AI
SG SI AI
b c b c
a
a b c

SG a b c
⇒ = + −
⇒ = +
   
+ +
   
= + +
   
   
= + +
⇒ = + +
2) a) Chứng minh rằng
AB AC
+ = 3
AM AN
Ta có:
. 2 2
1
. 3 3
2
S S
AM AG AM AM
AMG AMG
S AB AI AB AB
S
ABI
ABC
= = ⇒ =

1

3
S
AM
AMG
S AB
ABC
⇒ =
Tương tự:
1
3
S
AN
ANG
S AC
ABC
=