Bất đẳng thức tích chập suy rộng KontorovichLebedev – Fourier và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

PHẠM VĂN HOẰNG

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG
KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-

PHẠM VĂN HOẰNG

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG
KONTOROVICH-LEBEDEV - FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã ngành: 62460102

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO
PGS. TS. TRỊNH TUÂN

Hà Nội - 2017


MỤC LỤC
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
3
5
8

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 Không gian Lebesgue Lp (Ω) và Lp (Ω; ρ) . . . . . . . . . . . . .
1.2 Biến đổi tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Bất đẳng thức tích chập Fourier . . . . . . . . . . . . .
1.3 Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Tích chập Kontorovich-Lebedev . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev . . . . . . . .
1.4 Trường nhiễu xạ sóng âm, sóng điện từ với biên hình nón tròn
1.4.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm . . . . . . . . . . .
1.4.2 Biểu diễn thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ

15
15
17
17
18

20
24
25
27
27
32

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . .
MỞ ĐẦU

Chương 2. BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG
KONTOROVICH-LEBEDEV-FOURIER

2.1

2.2
2.3

Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier
cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Tính chất toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Tính không có ước của không . . . . . . . . . . . . . .
Biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev
- Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phương trình vi-tích phân liên quan tích chập suy rộng . . . .

34
34

34
36
42
44
49

Chương 3. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG KONTOROVICHLEBEDEV
53
3.1 Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev
- Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1


.
.
.
.
.
.
.

53
57
62
62
66
68
74

Chương 4. MỘT SỐ ỨNG DỤNG

4.1 Trường nhiễu xạ sóng âm với trở kháng dạng nón . . . . . . .
4.1.1 Biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm theo tích chập suy
rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Tính bị chặn của trường nhiễu xạ sóng âm trên các
không gian Lp (R+ ), p 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Ước lượng tại lân cận đỉnh nón . . . . . . . . . . . . .
4.2 Thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ . . . . . . . . .
4.2.1 Xác định hàm phổ của thế Debye trường nhiễu xạ . . .
4.2.2 Biểu diễn thế Debye trường nhiễu xạ theo tích chập
suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier . . . . . . . .
4.2.3 Ước lượng địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Phương trình dạng parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Phương trình parabolic tuyến tính liên quan tích chập
suy rộng Kontorovich-Lebedev . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Phương trình parabolic phi tuyến liên quan tích chập
Kontorovich-Lebedev . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . .
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82
82

3.2

3.3

3.1.1 Bất đẳng thức kiểu Young . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh . . . . . . . . . . . .
Bất đẳng thức đối với tích chập Kontorovich-Lebedev .

3.2.1 Bất đẳng thức kiểu Young . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Bất đẳng thức kiểu Saitoh . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Bất đẳng thức kiểu Saitoh ngược . . . . . . . .
Phương trình vi-tích phân liên quan đến toán tử Bessel

2

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

83
84
87
88
91
91
92
93
94
102
106
107
108


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn
của các thầy PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo và PGS. TS. Trịnh Tuân. Tất cả
các kết quả được trình bày trong Luận án là hoàn toàn trung thực và chưa
từng được các tác giả khác công bố trong bất kỳ công trình nào.

Hà Nội, Ngày 10 tháng 10 năm 2017

Thay mặt tập thể hướng dẫn

PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo

3

Tác giả

Phạm Văn Hoằng


LỜI CẢM ƠN
Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của
các thầy PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo và PGS. TS. Trịnh Tuân. Tác giả xin
được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, những người
đã dẫn dắt tác giả từ những bước đi đầu tiên trên con đường nghiên cứu,
động viên tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình làm NCS.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thành
viên trong Seminar Giải tích-Đại số trường ĐHKHTN-ĐHQGHN, Seminar
Giải tích Trường ĐHBK Hà Nội, những người luôn gần gũi, giúp đỡ và tạo
điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và trao đổi chuyên môn.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS. TSKH. Vũ
Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người đã luôn động viên và cho tác
giả nhiều ý kiến quý báu trong quá trình học tập.
Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả
đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ
môn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tác
giả xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến TS. Nguyễn Thanh Hồng (ĐHSP
Hà Nội), TS. Nguyễn Hoàng Thoan (Viện Vật lý kĩ thuật, ĐHBK Hà Nội),
TS. Tưởng Duy Hải (Khoa Vật lý, ĐHSP Hà Nội) về những giúp đỡ trong
quá trình làm NCS. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo Sở
Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp thuộc Tổ
Toán-Tin, Trường THPT Kim Liên đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình
tác giả được học tập, công tác và hoàn thành Luận án.
Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình, bố
mẹ, vợ con, các anh chị em. Niềm tin yêu và hi vọng của mọi người là nguồn

động viên và là động lực to lớn để tác giả vượt qua mọi khó khăn trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận án.
Tác giả

4


MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
• R là tập tất cả các số thực.
• R+ = {x ∈ R, x > 0}.
• Rα = {x ∈ R, 0 < x < α}, với α là số thực dương.
• C là tập tất cả các số phức.
•
(z) là phần thực của số phức z.
•
(z) là phần ảo của số phức z.
• C0 (R+ ) là không gian các hàm liên tục trên R+ và triệt tiêu tại vô cùng
với chuẩn sup.
• C 2,1 (R2+ ) là không gian các hàm hai biến u(x, t) khả vi liên tục cấp 2
theo biến x trên R+ và khả vi liên tục theo biến t trên R+ .
• Ap,q (t) là biểu thức có dạng (xem trang 16)
1

Ap,q (t) = p

t− pq (1 − t)

− p1 − 1q

q

1

1

1

1

(1 − t p ) p (1 − t q ) q

.

• F là biến đổi tích phân Fourier (xem trang 17).
• Fc là biến đổi tích phân Fourier cosine (xem trang 17).
• Fs là biến đổi tích phân Fourier sine (xem trang 18).
• ∆ω là toán tử Laplace-Beltrami trên mặt cầu S 2 (xem trang 29).
• E là trường sóng điện (xem trang 32).
• H là trường sóng từ (xem trang 32).
• D1∞ là toán tử vi phân bậc vô hạn được xác định bởi công thức (xem
trang 44)


d2
d
−x 2 
x x−
N 
dx
dx 


D1∞ = lim
.
1 +
N →∞
(2k − 1)2


k=1

• D∞ là toán tử vi phân bậc vô hạn được xác định
trang 44)

d2
d
x
x
−
−
x
N 
dx
dx2

∞
D = lim
1 +
N →∞
k2


k=1

5

bởi công thức (xem



.



•

B là toán tử vi phân Bessel (xem trang 75).
∞

•

Γ(z) là hàm Gamma, Γ(z) =

tz−1 e−t dt, (z) > 0.

0

•
•
•

KL là biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (xem trang 8, 22, 23).

Kν (z) là hàm Macdonald (xem trang 20).
L là toán tử vi phân bậc hai được xác định bởi công thức
L=

• Lp (R+ ), 1
mãn

∂2
∂
x
+
3x
+ 1 − x2 .
2
∂x
∂x
2

p < ∞, là không gian các hàm số f xác định trên R+ , thoả
∞

f

Lp (R+ )

p

|f (x)| dx

=

1
p

< ∞.

0

• Lp (R+ , ρ), 1
R+ , thoả mãn

p < ∞, là không gian các hàm số f xác định trên trên
∞

f

Lp (R+ ,ρ)

p

|f (x)| ρ(x)dx

=

1
p

< ∞,

0

ở đây ρ(x) là một hàm trọng dương.
• L∞ (R+ ) là không gian gồm các hàm bị chặn theo chuẩn ess sup trên R+
f

∞

= ess sup |f | := inf{M > 0 : µ(x ∈ R+ : |f (x)| > M ) = 0, h.k.n.}

•

(· ∗ ·) là tích chập Kontorovich-Lebedev (xem trang 9).

•

(· ∗ ·) là tích chập Fourier (xem trang 10).

•

(· ∗ ·) là tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier cosine thứ

KL
F

1

nhất (xem trang 25).
• (· ∗ ·) là tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier cosine thứ hai
2

(xem trang 25).
• (· ∗ ·) là tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine (xem
3

trang 25).
• (· ∗ ·) là tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier sine - Fourier
cosine (xem trang 34).
• T1,h là biến đổi tích phân kiểu tích chập Kontorovich-Lebedev (xem trang
6


25)
• Th là biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-LebedevFourier (xem trang 45).
f (z)
≤ M < ∞ với mọi z thuộc
• f (z) = O(g(z)), z → a, có nghĩa là
g(z)
vào một lân cận của a.
f (z)
• f (z) = ◦(g(z)), z → a, có nghĩa là lim
= 0.
z→a g(z)
f (z)
• f (z) ∼ g(z), z → a, có nghĩa là lim
= 1.
z→a g(z)

7

MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Bên cạnh những biến đổi tích phân nổi tiếng có vai trò quan trọng trong
giải tích toán học nói riêng và các ngành khoa học nói chung như các biến đổi
tích phân Fourier, Laplace, Mellin, Hankel..., những năm 38-39 của thế kỷ
trước, hai nhà toán học Nga là Kontorovich M.I. và Lebedev N.N. trong khi
nghiên cứu bài toán về nhiễu xạ sóng điện từ với biên hình nêm đã xây dựng
biến đổi tích phân mà sau này được gọi là biến đổi tích phân KontorovichLebedev (xem [29, 30, 67]). Các tính chất của biến đổi tích phân KontorovichLebedev trong không gian L1 , L2 , công thức biến đổi ngược và các ứng dụng
được nghiên cứu sau đó bởi Lebedev N.N., Sneddon I.N., Lowndes J.S., Jones
D.S. (xem [24, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 57]).
Ảnh của hàm f qua phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, kí hiệu
là KL[f ], được xác định bởi công thức
∞

KL[f ](y) =

Kiy (x)f (x)dx,

y ∈ R+ ,

(0.1)

0

với Kν (x) là hàm Macdonald có chỉ số thuần ảo ν = iy (xem [29, 30, 67]).
Điều đáng chú ý, khác với các biến đổi tích phân kể trên, trong nhân của
phép biến đổi tích phân này là hàm đặc biệt Macdonald, một trong những
hàm có nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật.
Đến nay, những kết quả về biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trên
các không gian hàm với hệ toạ độ trụ, hệ toạ độ cầu; không gian Lebesgue

Lp với trọng cũng như xem xét trên không gian hàm suy rộng đã khá phong
phú và sâu sắc (xem [18, 20, 21, 66, 71, 81]). Biến đổi tích phân KontorovichLebedev trên không gian hai chiều, không gian nhiều chiều; biến đổi rời rạc,
biến đổi hữu hạn liên quan đến biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev cũng
đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [72, 78, 82]).
Cùng với các biến đổi tích phân kể trên, tích chập đối với các biến đổi tích
phân này đã được xây dựng và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Năm 1998, Kakichev V.A. và Thao N.X. đã đưa ra định nghĩa tích chập suy
γ
rộng f ∗ h với hàm trọng γ của hai hàm f và h đối với ba phép biến đổi
8


γ

tích phân T1 , T2 và T3 nếu f ∗ h thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
γ

T1 f ∗ h (y) = γ(y) T2 f (y) T3 h (y),

(0.2)

và cho điều kiện cần để xác định tích chập suy rộng khi biết một số ràng buộc
cụ thể về nhân của các biến đổi tích phân tương ứng (xem [28]). Kakichev
V.A. cũng là nhà toán học đã xây dựng tích chập của hai hàm f, h đối với
biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev vào năm 1967, xác định bởi công
thức
∞ ∞

1 − 21 ( τxθ + τθx + θxτ )
e

f (τ )h(θ)dτ dθ,
2x

(f ∗ h)(x) =
KL

0

x ∈ R+ .

(0.3)

0

Tích chập Kontorovich-Lebedev (0.3) có đẳng thức nhân tử hóa
KL[f ∗ h](y) = KL[f ](y)KL[h](y),
KL

y ∈ R+ ,

(0.4)

khi f, h ∈ L1 (R+ ; K0 (x)) (xem [27, 67]).
Những kết quả về tích chập, tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi
tích phân Kontorovich-Lebedev đã được nghiên cứu trong các bài báo [26,
27, 60, 63, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 82].
Trong Luận án này, chúng tôi tập trung nghiên cứu về tích chập suy rộng
Kontorovich-Lebedev - Fourier. Đó là các tích chập suy rộng mà trong đẳng
thức nhân tử hóa (0.2) biến đổi tích phân ở vế trái T1 là biến đổi tích phân
Kontorovich-Lebedev có công thức (0.1), còn T2 , T3 là biến đổi tích phân

Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine, và T2 , T3 không đồng thời
cùng là biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev. Cho đến nay đã có ba tích
chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier được giới thiệu và nghiên cứu
trong các bài báo [76, 77]. Xem xét cấu trúc đẳng thức nhân tử hoá của tích
chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier, chúng tôi nhận thấy tích chập
suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier trong trường hợp T2 = Fs và T3 = Fc
vẫn chưa được xây dựng và nghiên cứu. Đây cũng là trường hợp đẳng thức
nhân tử hoá có ba biến đổi tích phân khác nhau. Vì vậy, vấn đề xây dựng
tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier mới không chỉ làm phong
phú lý thuyết về tích chập, kết hợp được các biến đổi tích phân có liên quan
là Kontorovich-Lebedev, Fourier cosine, Fourier sine mà còn cung cấp cho
chúng ta thêm công cụ để giải quyết những vấn đề trong giải tích và ứng
dụng.
9


Mặt khác, khi đã xây dựng được tích chập với hai hàm f, h, nếu ta cố
định hàm h, còn hàm f cho biến thiên trong một không gian hàm xác định
nào đó ta sẽ nhận được biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tương ứng,
gọi là biến đổi tích phân kiểu tích chập. Kết quả đầu tiên theo hướng này là
biến đổi tích phân kiểu tích chập Mellin, có công thức dạng
∞

f (x) → g(x) =

k(xy)f (y)dy,
0

do Watson xây dựng và nghiên cứu (xem [62]). Biến đổi tích phân kiểu tích
chập, tích chập suy rộng đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và

cho nhiều ứng dụng thú vị (xem [3, 10, 22, 26, 58, 59, 64, 65]). Biến đổi tích
phân kiểu tích chập Kontorovich-Lebedev đã được nghiên cứu trong [68, 69],
tuy nhiên biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev Fourier vẫn chưa được xây dựng.
Một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm khi nghiên cứu tính chất
và ứng dụng của tích chập, tích chập suy rộng là thiết lập các ước lượng liên
quan đến chuẩn của tích chập. Kết quả đầu tiên là bất đẳng thức đối với tích
chập Fourier của Young W.H. vào năm 1912, mà sau này ta gọi là bất đẳng
thức Young cho tích chập Fourier.
1 1
1
Nếu p, q, r > 1 thỏa mãn + = 1 + và f ∈ Lp (R), g ∈ Lq (R) thì
p q
r
f ∗g
F

Lr (R)

ở đây

≤ f

Lp (R)

g

Lq (R) ,

(0.5)

∞

f ∗ g (x) =

f (x − y)g(y)dy,

F

x ∈ R,

(0.6)

−∞

là tích chập Fourier của hai hàm f, g (xem [80]). Bất đẳng thức (0.5) cho phép
chúng ta ước lượng chuẩn của tích chập Fourier trong không gian Lr (R), r
là số thực lớn hơn 1. Cho đến nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu về
hằng số tốt nhất ở vế phải, mở rộng sang các không gian hàm khác cũng
như đề xuất các phương pháp chứng minh cho bất đẳng thức này (xem
[2, 4, 6, 11, 19, 31, 45, 49]). Tuy nhiên, bất đẳng thức Young đối với tích
chập Fourier không đúng trong trường hợp cả hai hàm f và g thuộc không
gian L2 (R).
Một dấu ấn quan trọng đối với lĩnh vực nghiên cứu bất đẳng thức tích
10


chập, công trình [52] của Saitoh S. công bố năm 2000 đã đánh giá được
chuẩn của tích chập (f ∗ g) trong không gian Lp với trọng, gọi là bất đẳng
F

thức Saitoh với tích chập Fourier (xem thêm [12, 50, 51, 52]). Khác với
bất đẳng thức Young, bất đẳng thức này đúng với mọi p > 1, nên cũng
đúng với p = 2. Những kết quả tiếp theo về bất đẳng thức tích chập đã
được các nhà toán học Saitoh S., Tuan V.K., Yamamoto M., Duc D.T.,
Nhan N.D.V., nghiên cứu và nhận được nhiều ứng dụng thú vị trong các
công trình [14, 15, 25, 42, 43, 44, 54, 55, 56]. Tuy nhiên, các kết quả về bất
đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh, kiểu Saitoh ngược đối với tích chập, tích
chập suy rộng Kontorovich-Lebedev chưa có bước tiến đáng kể nào, ngoại
trừ một bất đẳng thức kiểu Young được thiết lập cho tích chập KontorovichLebedev trong [68]. Vì vậy, xây dựng các bất đẳng thức đối với tích chập,
tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev song song với các kết quả đã nhận
được đối với tích chập Fourier là một đòi hỏi cấp thiết đối với hướng nghiên
cứu về biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev.
Trong một số công trình gần đây, biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev
đã được các tác giả sử dụng để nghiên cứu các bài toán về trường nhiễu xạ
sóng âm, sóng điện từ với trở kháng hình nón tròn. Điều thú vị là một số đại
lượng vật lý cơ bản trong trường nhiễu xạ sóng âm, sóng điện từ có thể biễu
diễn qua công thức tích phân Kontorovich-Lebedev (xem [7, 8, 37, 38, 83]).
Từ đó cho phép ta nghĩ đến việc biểu diễn trường nhiễu xạ sóng âm, thế
Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ qua tích chập suy rộng KontorovichLebedev - Fourier. Hướng tiếp cận này sẽ dẫn đến những nghiên cứu mới
về các đại lượng vật lý thông qua các tính chất của tích chập suy rộng
Kontorovich-Lebedev - Fourier.
Trong một bài báo gần đây của mình, Yakubovich S.B. đã nghiên cứu một
lớp hàm kí hiệu h(t, x, y) gọi là nhân truyền nhiệt đối với biến đổi tích phân
Kontorovich-Lebedev, từ đó chỉ ra với mỗi y ∈ R+ cố định, u(x, t) = h(t, x, y)
là nghiệm của một phương trình tán xạ theo hai biến (x, t) ∈ R+ × R+
∂
u(x, t) = L[u(x, t)],
∂t

(0.7)

ở đây toán tử vi phân L được định nghĩa bởi công thức
L[u(x, t)] =

∂
∂2
x
+
3x
+ 1 − x2 u(x, t),
2
∂x
∂x
2

(0.8)

(xem [74]). Nhằm tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi xét lớp phương
11


trình dạng parabolic
∞

∂
u(x, t) = L[u(x, t)] +
∂t

H(u, x, t, θ)u(θ, t)dθ,

(0.9)

0

trên miền (x, t) ∈ R+ × R+ trong một số trường hợp cụ thể của hàm
H(u, x, t, θ). Vì có sự tham gia của hàm cần tìm trong hạng tử tích phân
của phương trình đạo hàm riêng (0.9) nên trong một số tài liệu, các tác giả
gọi phương trình dạng (0.9) là phương trình vi-tích phân đạo hàm riêng dạng
parabolic (xem [16, 32, 61]).
Từ những phân tích ở trên, như một sự tiếp nối tự nhiên và mở rộng
hướng nghiên cứu, chúng tôi lựa chọn đề tài Luận án là Bất đẳng thức
tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier và ứng dụng.

2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của Luận án là nghiên cứu các bất đẳng thức và biến đổi tích
phân kiểu tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier.
Đối tượng nghiên cứu là tích chập suy rộng, bất đẳng thức tích chập suy
rộng, biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng đối với các biến đổi tích
phân Kontorovich-Lebedev, Fourier, Fourier sine, Fourier cosine và một số
ứng dụng trong phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng và bài
toán Toán-Lý.
Phạm vi nghiên cứu là các biến đổi tích phân, tích chập, tích chập suy rộng
liên quan đến các biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev, Fourier, Fourier
sine, Fourier cosine.

3. Phương pháp nghiên cứu
Trong Luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp biến đổi tích phân,
phương pháp toán tử, phương pháp giải tích hàm, sử dụng phương pháp đánh
giá bất đẳng thức tích phân. Bên cạnh đó, các tính chất của các biến đổi tích
phân Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine cũng được sử dụng.

4. Cấu trúc và các kết quả của Luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được chia
thành bốn chương.
12


Chương 1 trình bày các kiến thức đã biết liên quan phép biến đổi tích
phân Kontorovich-Lebedev, Fourier, Fourier sine, Fourier cosine và những
định lý, mệnh đề có liên quan đến Luận án.
Chương 2 xây dựng tích chập suy rộng mới đối với các biến đổi tích phân
Kontorovich-Lebedev, Fourier sine, Fourier cosine. Nghiên cứu tính chất toán
tử của tích chập suy rộng này như sự tồn tại, tính bị chặn, đẳng thức nhân
tử hoá, đẳng thức Parseval, từ đó xây dựng biến đổi tích phân kiểu tích chập
suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier. Nhận được điều kiện cần và đủ để
biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng nói trên là đẳng cấu, đẳng cự giữa
hai không gian L2 (R+ ) và L2 (R+ ; x) và ứng dụng giải một lớp phương trình
vi-tích phân.
Chương 3 nghiên cứu các bất đẳng thức về chuẩn đối tích chập suy rộng
Kontorovich-Lebedev-Fourier trên các không gian hàm Lp với trọng. Nhận
được các bất đẳng thức kiểu Young, bất đẳng thức kiểu Saitoh, kiểu Saitoh
ngược đối với các tích chập suy rộng này. Những bất đẳng thức đối với tích
chập Kontorovich-Lebedev cũng được giới thiệu và vận dụng để đánh giá
nghiệm của một lớp phương trình vi-tích phân liên quan đến toán tử Bessel.
Chương 4 tìm hiểu một số ứng dụng của tích chập suy rộng KontorovichLebedev trong nghiên cứu trường nhiễu xạ sóng âm, thế Debye của trường
nhiễu xạ sóng điện từ. Nghiên cứu một lớp phương trình đạo hàm riêng dạng
parabolic.

5. Ý nghĩa của các kết quả của Luận án
Luận án đã xây dựng và nghiên cứu tính chất toán tử của tích chập suy

rộng mới đối với ba phép biến đổi tích phân khác nhau Kontorovich-Lebedev,
Fourier sine, Fourier cosine, từ đó nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu
tích chập suy rộng tương ứng.
Luận án đã nghiên cứu và thiết lập được những bất đẳng thức về chuẩn
đối với tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev - Fourier. Từ đó nhận được
ứng dụng trong nhiều bài toán khác nhau: giải và đánh giá nghiệm của một
số lớp phương trình tích phân, phương trình vi tích phân, phương trình đạo
hàm riêng dạng parabolic; biểu diễn và ước lượng tiệm cận, ước lượng điểm,
ước lượng theo chuẩn của một số đại lượng vật lý trong bài toán với trở kháng
hình nón tròn của nhiễu xạ trường sóng âm và sóng điện từ.
Những kết quả của Luận án đã góp phần làm phong phú thêm về lý
thuyết biến đổi tích phân, về biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, về
13


bất đẳng thức tích chập, về lý thuyết phương trình tích phân, phương trình
vi-tích phân, phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng và đưa ra
một số hướng ứng dụng trong vật lý của tích chập suy rộng. Các kết quả và
ý tưởng của Luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu các tích chập suy rộng
khác.
Nội dung chính của Luận án dựa trên các công trình đã công bố, liệt kê
ở mục "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án". Các kết
quả này đã được trình bày, báo cáo tại:
- Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, tại Nha Trang, tháng 8 năm 2013;
- Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 14, tháng 4 năm 2016;
- Hội nghị Khoa học Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 11 năm 2016;
- Seminar Phương trình vi phân, Viện Toán học;
- Seminar Giải tích - Đại số, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG HN;
- Seminar Giải tích, trường Đại học Bách khoa Hà Nội.

14


Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức đã biết
về không gian Lebesgue Lp với trọng, các biến đổi tích phân Fourier, Fourier
sine, Fourier cosine. Tính chất của biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev
và hàm nhân Macdonald của biến đổi tích phân này cũng được giới thiệu.
Các bất đẳng thức và biến đổi tích phân kiểu tích chập đối với tích chập
Fourier và tích chập Kontorovich-Lebedev. Hơn nữa, chúng tôi giới thiệu một
số tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev được nghiên cứu trong thời gian
gần đây.
Cuối Chương 1 chúng tôi trình bày một số kiến thức về trường nhiễu xạ
sóng âm, thế Debye của trường nhiễu xạ sóng điện từ .
Các kiến thức được trình bày ở đây sẽ được dùng ở các chương tiếp theo
của Luận án.

1.1

Không gian Lebesgue Lp(Ω) và Lp(Ω; ρ)

Cho Ω là một miền trong Rn và p là số thực 1 ≤ p < ∞.
Định nghĩa 1.1.1 ([67]). Ta gọi Lp (Ω) là không gian các hàm f đo được
trên Ω thỏa mãn
 p1

f

Lp (Ω)

|f (x)|p dx < ∞.

=

(1.1)

Ω

Với 1 ≤ p < ∞, Lp (Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn xác định theo
công thức (1.1).
Ta gọi L∞ (Ω) là không gian các hàm f đo được trên Ω thoả mãn
f

L∞ (Ω)

= ess sup |f | < ∞,

trong đó ess sup |f | := inf{M > 0 : µ(x ∈ Ω : |f (x)| > M ) = 0, h.k.n.}
15

(1.2)


Một số tính chất không gian Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞ (xem [2]).
Mệnh đề 1.1.1 (Bất đẳng thức Minkowski [2]). Cho f, g ∈ Lp (Ω). Khi
đó, ta có
f + g Lp (Ω) ≤ f Lp (Ω) + g Lp (Ω) .
(1.3)
Mệnh đề 1.1.2 (Bất đẳng thức H¨

older [2]). Cho f ∈ Lp (Ω) và g ∈ Lp1 (Ω),
1
1
với p1 là số mũ liên hợp của p, tức là +
= 1. Khi đó, ta có
p p1
|f (x)g(x)|dx ≤ f

Lp (Ω)

g

Lp1 (Ω) .

(1.4)

Ω

Mệnh đề 1.1.3 (Bất đẳng thức H¨
older ngược [79]). Cho hai hàm dương
f
f và g thoả mãn 0 < m ≤ ≤ M < ∞ trên tập X ⊆ Rn . Khi đó, ta có
g
 p1
 p1 

1
1
1
 f dµ  gdµ ≤ Ap,p1 m

f p g p1 dµ,
(1.5)
M
X

X

X

nếu tích phân ở vế phải của (1.5) hội tụ. Ở đây, p1 là số mũ liên hợp của p,
và Ap,q (t) được xác định theo công thức
1

Ap,q (t) = p

− p1

q

t− pq (1 − t)

− 1q

1
p

1
p

1

q

(1 − t ) (1 − t )

1
q

.

(1.6)

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả trong trường hợp
Ω là miền trên R1 .
Định lý 1.1.1 (Định lý Fubini [67]). Cho Ω1 = [a; b], Ω2 = [c; d],
−∞ ≤ a < b ≤ ∞, −∞ ≤ c < d ≤ ∞, và f (x, y) là hàm đo được, xác
định trên Ω1 × Ω2 . Khi đó,
dx
Ω1

f (x, y)dy =
Ω2

dy
Ω2

f (x, y)dx =

f (x, y)dxdy,

(1.7)

Ω1 ×Ω2

Ω1

nếu ít nhất một trong các tích phân trên hội tụ tuyệt đối.
Định lý Fubini cho phép chúng ta đổi thứ tự tích phân lặp theo tích phân bội.
16


Định lý 1.1.2 ([67]). Cho hàm f (x, t) thỏa mãn |f (x, t)| ≤ F (x) với F ∈
L1 (Ω). Nếu limf (x, t) tồn tại với hầu khắp x, thì
t→0

lim

f (x, t)dx =

t→0

Ω

lim f (x, t)dx.
t→0

(1.8)

Ω

Định nghĩa 1.1.2 ([67]). Giả sử ρ(x) là một hàm không âm trên Ω. Ta gọi

Lp (Ω; ρ), 1 ≤ p < ∞, là không gian các hàm f đo được trên Ω thỏa mãn
 p1



|f (x)|p ρ(x)dx < ∞,

||f ||Lp (Ω;ρ) = 

(1.9)

Ω

và ρ là hàm trọng của không gian này.

1.2
1.2.1

Biến đổi tích phân Fourier
Định nghĩa và tính chất

Biến đổi tích phân Fourier, ký hiệu F , của hàm f ∈ L1 (R) được xác định
bởi công thức sau (xem [13, 46, 57, 62])
∞

1
(F f )(y) := √
2π

f (x)e−ixy dx, y ∈ R.

(1.10)

−∞

Theo biểu diễn của e−ixy , ta có
∞

1
(F f )(y) = √
2π

f (x)(cos yx − i sin yx)dx, y ∈ R.
−∞

Biến đổi tích phân Fourier cosine, ký hiệu Fc , của hàm f ∈ L1 (R+ ) được
xác định bởi (xem [46, 57]).
∞

(Fc f )(y) :=

2
π

f (x) cos yx dx, y ∈ R+ .
0

17

(1.11)

Ta thấy biến đổi tích phân Fourier cosine là một trường hợp riêng của phép
biến đổi tích phân Fourier, đó chính là biến đổi tích phân Fourier của một
hàm chẵn.
Biến đổi tích phân Fourier sine, ký hiệu Fs , của hàm f được xác định bởi
(xem [57]).
∞

(Fs f )(y) :=

2
π

f (x) sin yx dx, y > 0.

(1.12)

0

Biến đổi tích phân Fourier sine cũng là một trường hợp riêng của biến đổi
tích phân Fourier, đó chính là biến đổi tích phân Fourier của một hàm lẻ.
Biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine xác định trên L1 (R+ ). Hơn
nữa, nếu g(x) = (Fc f )(x) ∈ L1 (R+ ) hoặc g(x) = (Fs f )(x) ∈ L1 (R+ ), ta có
công thức biến đổi ngược tương ứng là f (x) = (Fc g)(x), f (x) = (Fs g)(x).
Trên không gian L2 (R+ ), ta có thể định nghĩa biến đổi tích phân Fourier
cosine và Fourier sine theo nghĩa giá trị chính, cụ thể
N

(F{ c } f )(y) = lim

f (x)

N →∞

s

cos xy
sin xy

dx,

(1.13)

0

và theo các Định lý Plancherel [57, 67] ta có Fc , Fs : L2 (R+ ) → L2 (R+ ) là
đẳng cấu, đẳng cự với công thức ngược tương ứng
N

f (x) = lim

N →∞

2
π

(F{ c } f )(y)
s

cos xy
sin xy

dy.

(1.14)

0

1.2.2

Bất đẳng thức tích chập Fourier

Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Young [80]). Cho p, q, r là các số thực
lớn hơn 1 thỏa mãn p1 + 1q = 1r + 1. Khi đó, với hai hàm bất kỳ f ∈ Lp (R) và
g ∈ Lq (R), ta có bất đẳng thức
(f ∗ g)(x)
F

Lr (R)

≤ f

Lp (R)

Bất đẳng thức (1.15) không đúng khi p = q = 2.

18

g

Lq (R) .

(1.15)


Định lý 1.2.2 (Định lý Young cho tích chập Fourier [2]). Cho p, q, r
là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn p1 + 1q + 1r = 2. Khi đó, với các hàm
f ∈ Lp (R), g ∈ Lq (R), và w ∈ Lr (R), ta có
∞

(f ∗ g)(x) · w(x)dx ≤ f
F

Lp (R)

g

w

Lq (R)

Lr (R) .

(1.16)

−∞

Từ đó thấy rằng bất đẳng thức Young (1.15) là hệ quả của định lý này.
Định lý 1.2.3 (Bất đẳng thức Saitoh [52]). Cho hai hàm không triệt tiêu

ρ1 , ρ2 ∈ L1 (R). Khi đó, với hai hàm bất kỳ F1 ∈ Lp (R, |ρ1 |) và F2 ∈ Lp (R, |ρ2 |),
p > 1, ta có bất đẳng thức chuẩn của tích chập Fourier trên không gian Lp (R)
1

(F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 )(ρ1 ∗ ρ2 ) p −1
F

F

Lp (R)

≤ F1

Lp (R,|ρ1 |)

F2

Lp (R,|ρ2 |) .

(1.17)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Fj (x) = Cj eαx , trong đó α là hằng số sao cho
eαx ∈ Lp (R, |ρj |), j = 1, 2 (nếu không thì C1 hoặc C2 bằng 0).
Khác với bất đẳng thức Young, bất đẳng thức này đúng với mọi p > 1, nên
cũng đúng với p = 2. Bất đẳng thức (1.17) được gọi là bất đẳng thức Saitoh.
Định lý 1.2.4 (Bất đẳng thức Saitoh ngược [53]). Cho hai hàm dương
bất kì ρ1 và ρ2 thoả mãn (ρ1 ∗ ρ2 ) xác định trên R. Khi đó, với hai hàm dương
F

bất kỳ F1 và F2 thỏa mãn

1

1

1

1

0 < m1 p ≤ F1 (x) ≤ M1 p < ∞, 0 < m2 p ≤ F2 (x) ≤ M1 p < ∞, p > 1, x ∈ R,
(1.18)
m1 , m2 , M1 , M2 là các hằng số dương, ta có bất đẳng thức ngược trên các
không gian Lp với trọng
1

||((F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 ))(ρ1 ∗ ρ2 ) p −1 ||Lp (R)
F

≥ Ap,p1

F

m1 m2
M1 M2

−1

||F1 ||Lp (R;ρ1 ) ||F2 ||Lp (R;ρ2 ) ,

nếu tích phân vế phải hội tụ. Ở đây, p1 là số mũ liên hợp của p, Ap,p1
xác định bởi (1.6).

19

(1.19)
m1 m2
M1 M2


1.3

Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev

Ta biết, phương trình Bessel biến dạng
z

2

du
u
+ z − (z 2 + ν 2 )u = 0
2
dz
dz

2d

1 ν+2m
2z

∞

có một nghiệm là Iν (z) =

m!(ν + m)!
(1.20) là Kν (z), được xác định bởi

(1.20)

. Nghiệm thứ hai của phương trình

m=0

1 I−ν (z) − Iν (z)
Kν (z) = π
, ν = 0, ±1, ±2...,
2
sin νπ
Kn (z) = lim Kν (z), n = 0, ±1, ±2...,
ν→n

(1.21)
(1.22)

Kν (z) còn được gọi là hàm Macdonald (hoặc hàm Bessel loại 3).
Tính chất hàm nhân Macdonald
Hàm Kν (z)là hàm chẵn theo biến ν.
Công thức liên quan đạo hàm của hàm Kν (z) ([23], trang 73)
Kν−1 (z) + Kν+1 (z) = −2

∂Kν (z)
,

∂z

(1.23)

∂Kν (z)
+ νKν (z) = −zKν−1 (z),
∂z
∂Kν (z)
z
− νKν (z) = −zKν+1 (z).
∂z
z

(1.24)
(1.25)

Biểu diễn tích phân của Kν (z) (xem [1, 23])
ν

1
π
z
2
Kν (z) =
Γ(ν + 12 )
1
2

∞

e−z cosh t sinh2ν tdt

(1.26)

1
1
1
e−zt (t2 − 1)ν− 2 dt ( ν > − , | arg z| < π).
2
2

(1.27)

0

ν

1
z
2
=
Γ(ν + 12 )
1

π2

∞

1
∞

ν

2 Γ(ν + 1/2)
√ ν
Kν (z) =
πz

cos(zt)(t2 + 1)−ν−1/2 dt,
0

20

ν > −1/2,

(1.28)


∞

1
Kν (x)Kν (y) =
2

du
, ν ∈ C.
u

(1.29)

, z → ∞,

(1.30)

z ν Kν (z) = 2ν−1 Γ(ν) + o(1), z → 0, ν = 0.

(1.31)

1 xy

xu

uy

e− 2 ( u + y + x ) Kν (u)
0

Dáng điệu tiệm cận (xem [67])
π
Kν (z) =
2z

1
2

1
z

e−z 1 + O

và ở gần gốc tọa độ

Dáng điệu tiệm cận của hàm Macdonald với chỉ số-không K0 (x)
K0 (x) = − ln x + O(1),
K0 (x) =

x → 0+ ,

π −x
e
1+O
2x

1
x

,

(1.32)
x → ∞.

(1.33)

Ta xét hàm Macdonald với chỉ số thuần ảo Kiy (x), x > 0, y ∈ R+ ,
∞

∞

1
e−x cosh u cos yudu =

2

Kiy (x) =

e−x cosh u eiyu du, x ∈ R+ .
−∞

0

Theo công thức (1.100) trong [67], ta dễ dàng nhận được ước lượng đều của
hàm Macdonald Kiy (x) theo chỉ số y ∈ R+ và biến số x ∈ R+ , cụ thể
∞

1
|Kiy (x)| ≤ e−δy
2

e−x cos δ cosh u du
−∞

= e−δy K0 (x cos δ), δ ∈ 0;

π
.
2

(1.34)

Biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev trên không gian L1 (R+ ; ρ)
Sử dụng ước lượng (5.23), trang 147 trong [67],

|Kiy (z)| ≤ K0 ( z), y > 0, (z) > 0,

(1.35)

ta nhận được hệ quả
|Kiy (x)| ≤ K0 (x), với bất kì y ∈ R.
21

(1.36)


Theo [67], ta có ước lượng Kiy (x) với x ∈ (0; X], X > 0, khi chỉ số y → ∞

Kiy (x) =

2π −πy
2y
π x2
e 2 sin y log
−y+ +
y
x
4 4y

× 1+O

1
y

.

(1.37)

Cho f ∈ L1 (R+ ; K0 (x)). Khi đó, biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev của
hàm f được xác định bởi
∞

KL[f ](y) =

Kiy (x)f (x)dx,

y ∈ R+ .

(1.38)

0

Ký hiệu
L0 (R+ ) ≡ L1 (R+ ; K0 (x)).
Nói riêng, L0 (R+ ) chứa tất cả các không gian Lα,β ≡ L1 (R+ ; Kα (βx)), với
α ∈ R; 0 < β ≤ 1 và không gian Lp (R+ ; x), 2 < p ≤ ∞, với các chuẩn tương
ứng. Ta có một số tính chất cơ bản của biến đổi tích phân KontorovichLebedev.
1) KL[f ] là hàm bị chặn trên R+ , cụ thể, |KL[f ](x)| ≤ ||f ||L0 (R+ ) với bất kì
x ∈ R+ và f ∈ L0 (R+ ).
0
2) Nếu một dãy {fk }∞
1 hội tụ theo chuẩn L (R+ ) tới f thì KL[fk ] hội tụ đều
đến KL[f ].
3) KL[f ] liên tục đều trên R+ .
4) KL[f ](y) → 0 khi y → ∞ (Bổ đề Riemann-Lebesgue).

Điểm x ∈ R+ sao cho
x+η

|f (y) − f (x)|dy = ◦(η), η → 0,
x−η

gọi là điểm Lebesgue của hàm f .
Mệnh đề 1.3.1 (Tính duy nhất). Nếu hai hàm f, g thuộc không gian
L0 (R+ ) có cùng ảnh qua phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, tức là ta có
KL[f ](y) = KL[g](y), ∀y ∈ R+ , thì f = g hầu khắp nơi (h.k.n.).
Mệnh đề 1.3.2. Cho hàm f thuộc không gian L1 (R+ ; K0 (βx)) với 0 < β <
1. Với mỗi điểm Lebesgue của hàm f , ta có
∞

2
f (x) = lim− 2
η→π π x

y sinh ηπKiy (x)KL[f ](y)dy.
0

22

(1.39)


Mệnh đề 1.3.3. Cho hàm f thuộc không gian L1 (R+ ; K0 (βx)) với 0 < β <
1. Nếu hàm f thoả mãn KL[f ](y) ∈ L1 (R+ ; y sinh πy
2 ) thì ta có công thức
ngược

∞

2
f (x) = 2
π x

y sinh πyKiy (x)KL[f ](y)dy.

(1.40)

0

Đối với biến đổi tích phân Fourier, Định lý Wiener-Levy có vai trò quan trọng,
chẳng hạn trong ứng dụng giải phương trình vi phân, phương trình tích phân
(xem [17, 46]). Ta cũng có định lý kiểu Wiener-Levy cho biến đổi tích phân
Kontorovich-Lebedev trên không gian Lα (R+ ) := L1 (R+ , Kα (x)), α ≥ 0.
Định lý 1.3.1 ([67]). Cho f thuộc không gian Lα (R+ ). Nếu
F(s) = λ + KL[f ](s) = 0
với mọi số phức s trên dải đóng | (s)| ≤ α, bao gồm cả điểm vô cùng thì tồn
tại duy nhất q thuộc Lα (R+ ) sao cho
1
= λ + KL[q](s).
λ + KL[f ](s)

(1.41)

Biến đổi Kontorovich-Lebedev trên không gian Lp (R+ ; ρ), p ≥ 2
Cho f ∈ L2 (R+ ; x). Khi đó, biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev của
hàm f được xác định bởi
N

KL[f ](y) = lim

Kiy (x)f (x)dx.

N →∞

(1.42)

1
N

Các định nghĩa (1.38) và (1.42) tương đương nếu f ∈ L2 (R+ ; x) ∩ L0 (R+ ).
Định lý 1.3.2 ([67]). Cho f thuộc không gian L2 (R+ ; x). Biến đổi tích phân
Kontorovich-Lebedev của hàm f xác định bởi công thức (1.42) hội tụ theo
chuẩn trong không gian L2 (R+ ; y sinh πy). Công thức biến đổi KontorovichLebedev ngược của hàm f được xác định như sau
∞

2
f (x) = 2
π x

y sinh πyKiy (x)KL[f ](y)dy.
0

23

(1.43)