Bất đẳng thức tích phân- Nguyễn Phú Khánh ĐH Đà Lạt - 1 ppsx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (245.11 KB, 11 trang )
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
1
Chứng minh rằng :
3
4
4
3
4
1
2
2
6
0
1
1. dx
3 2 sin x 2
3 cotg 1
2. dx
12 x 3
1 1
3. dx
2 6
1 x
π
ππ
π
π
ππ
π
π
ππ
π
π
ππ
π
π π
π ππ π
π π
−
−−
−
π
ππ
π
−
−−
−
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
4
1
0
2
5 4 3
1
4. ln2 dx
4
1 x x
1
5. dx
x x 1 8
x
6. dx
18 x x x 3
9 3
π
ππ
π
< <
< << <
< <
+
++
+
π
ππ
π
+ +
+ ++ +
+ +
π π
π ππ π
π π
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
1
0
1
0
Bài giải :
3 3 3 3
4 4 4 4
4 4 4 4
2 2 2
2
2 2
3 1 1 1 1
1. x sinx 1 sin x 1 1 2 sin x 2 1 3 2 sin x 2 1
4 4 2 2 3 2 sin x
2
1 1 1
dx dx dx dx
2 3 2 sin x 4 3 2 sin x 2
π π π π
π π π ππ π π π
π π π π
π π π π
π π π ππ π π π
π π π π
π π
π ππ π
π π
−
−−
−
−
−−
−
π π
π ππ π
π π
− −
− −− −
− −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
3 3 3
4 4 4
3
4
cotgx 1
3 cotgx 4 3 cotgx 4
2. x dx dx dx
4 x x
3 1 4
x
3 cotgx 1
dx
12 x 3
π π π
π π ππ π π
π π π
π π π
π π ππ π π
π π π
π
ππ
π
π
ππ
π
π π
π ππ π
π π
π π π π
π π π ππ π π π
π π π π
π π
π ππ π
π π
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫∫
∫
1
3
⇒ ⇒ ⇒
3
⇒
Bài toán này có thể giải theo phương pháp đạo hàm.
1 1
2 2
6 2 2 6 2 6 2 6
6 2 60
1
3. 0 x 1 0 x x 1 1 x x 0 0 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
2
1 1 1
1 dx dx
1 x 1 x 1 x
I
< < − − − − − − −
< < − − − − − − −< < − − − − − − −
< < − − − − − − −
− − −
− − −− − −
− − −
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
0
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
Với
1
2
2
0
1
I = dx
1- x
∫
Đặt
x sint ; t ; dx costdt
2 2
π π
π ππ π
π π
= − =
= − == − =
= − =
⇒ ∈
1 1
2 2
2
0 0
1
x 0
costdt
2
I dt
6
t 0
1 sin t
6
π
ππ
π
= = =
= = == = =
= = =
π
ππ
π
−
−−
−
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
⇒
Vậy
1
2
6
0
1 1
dx
2 6
1 x
π
ππ
π
−
−−
−
∫
∫∫
∫
2 2
4. 0 x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
⇒ ⇒ ⇒
(
((
( )
))
)
[
[[
[ ]
]]
]
2
1 1 1
1 ; x 0,1
x 1 1 x
1 x x
+ +
+ ++ +
+ +
+
++
+
⇒ ∀ ∈
Dấu đẳng thức trong (1) xảy ra khi :
x = 0
x = 1
(1) (1)
(1) (1)
VT VG
x
VG VP
∅
∅∅
∅
⇒
∈
Do đó :
1 1 1 1
2
0 0 0 0
1 1 dx 1
dx dx ln2 dx
1 x x 1 4
1 x x 1 x x
π
ππ
π
< < < <
< < < << < < <
< < < <
+ +
+ ++ +
+ +
+ +
+ ++ +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
⇒
Chú ý :
1
2
0
1
dx
1 x 4
π
ππ
π
=
==
=
+
++
+
∫
∫∫
∫
Xem bài tập 5 .
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
2
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
2 2 2
0 0 0
1 1
5. 0 1 2 2 2
2 2( 1)
1 1 1 1
;
2 2 1 1
+ + + + +
+ + + + ++ + + + +
+ + + + +
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
=
==
=
+ + + +
+ + + ++ + + +
+ + + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
x x x x x x x x x x
x x x
dx dx I dx
x x x x
Đặt
x tgt dx dt ( tg t)dt
cos t
= = = +
= = = += = = +
= = = +
2
2
1
1⇒
π π
π ππ π
π π
+ π π
+ π π+ π π
+ π π
= = = =
= = = == = = =
= = = =
π
ππ
π
+
++
+
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
4 4
2
2
0 0
0 1 1
1 4 4
0
4
⇒ ⇒
x tg t
I dt dt I
tg t
t
Vậy
π
ππ
π
+ +
+ ++ +
+ +
∫
∫∫
∫
1
2
0
1
2 8
dx
x x
(
((
( )
))
)
5 3
5 4 3 3 5 4 3 3
4 3
3 5 4 3 3 3 5 4 3 3
3 5 4 3 3
1 1
1
3 3
0 0
6. 0 1 0 2 3 3 3 3
0
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
1
3 3 3 3
1
; Đặt
3 3 3 1
+ + + + + +
+ + + + + ++ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + + +
+ + + + ++ + + + +
+ + + + +
= = =
= = == = =
= = =
+ +
+ ++ +
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
°
1 1 1
0 0 0
0
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒
x x
x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x x x x x x
x x x
dx dx dx
x x x x x
x x
I dx dx x
x x
2
0 1
;( 0) 2
0
=
==
=⇒
1
x
t t dx tdt
t
2
1 1
1
6 3 2
0 0
1 2 2 3 .
3 1 9 ( ) 1
= =
= == =
= =
+ +
+ ++ +
+ +
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
t t dt
I dt
t t
Đặt
= =
= == =
= =
3 2
0 1
3
0 1
⇒
t
u t du t dt
u
π
ππ
π
= =
= == =
= =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
1
2
0
2
9 1 18
⇒
du
I
u
Kết quả :
π
ππ
π
=
==
=
4
I
(bài tập 5)
π
ππ
π
= =
= == =
= =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
2
3
0
°
3
9 3
x
I
x
(tương tự) Vậy
( )
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
∫
∫∫
∫
1
1 2
5 4 3
0
1
3
⇔
x
I dx I
x x x
π π
π ππ π
π π
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
∫
∫∫
∫
5 4 3
18 3
9 3
1
0
x
dx
x x x
1,Chứng minh rằng
:
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
2
4 4
0
12
1 1+ +
+ ++ +
+ +
∫
∫∫
∫
sin .cos
sin cos
x x
dx
x x
π
ππ
π
π
ππ
π
2.Nếu
:
(
((
( )
))
)
= >
= >= >
= >
∫
∫∫
∫
4
0
0 , 0 , ;
cos 2 4
∀
∈
t
tg x
I dx t
x
t
π
ππ
π
thì :
(
((
(
)
))
)
2
3
3
3
4
+
++
+
+ >
+ >+ >
+ >
tg t tgt
tg t e
π
ππ
π
Bài giải
:
1. Ta có
cos x sin x sin x cos x
:
( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x)
+ + + +
+ + + ++ + + +
+ + + +
=
==
=
+ + + + + +
+ + + + + ++ + + + + +
+ + + + + +
2 2 4 4
4 4 4 4 4 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1
sin cos
( sin )( cos ) ( sin )( cos ) sin cos
+ + +
+ + ++ + +
+ + +
= +
= += +
= +
+ + + + + +
+ + + + + ++ + + + + +
+ + + + + +
4 4
4 4 4 4 4 4
3 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
⇒
x x
x x x x x x
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
3
sin .cos sin .cos sin .cos sin .cos sin sin
( sin )( cos ) sin cos ( sin )( cos ) sin cos
sin .cos sin sin
( sin )( cos ) sin cos
π π
π ππ π
π π
+ +
+ ++ +
+ +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + + +
+
++
+
+ + + +
+ + + ++ + + +
+ + + +
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
2 2
4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 4
0 0
3 1 2 2
1 1 1 1 1 1 6 1 1
3 1 2 2
1 1 6 1 1
⇒ ⇒
⇒
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
dx dx dx
x x x x
sin
Đặt sin sin
sin
π
ππ
π
π
ππ
π
= = =
= = == = =
= = =
+
++
+
∫
∫∫
∫
∫
∫∫
∫
2
2
0
2
1
4
0
2
° 2
1
⇒
x
J dx t x dt xdx
x
π
ππ
π
π
ππ
π
⇒ = =
⇒ = =⇒ = =
⇒ = =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
1
2
0
0
2
0 1 4
1
x
dt
J
t t
(kết quả I=
4
π
bài tập 5)
sin
Đặt cos sin
cos
π
ππ
π
= = = −
= = = −= = = −
= = = −
+
++
+
∫
∫∫
∫
2
2
2
4
0
2
° 2
1
⇒
x
J dx u x du xdx
x
π
ππ
π
π
ππ
π
= =
= == =
= =
+
++
+
∫
∫∫
∫
1
2
2
0
0
2
0 1 4
⇒
1
x
du
J
u u
(kết quả I=
4
π
bài tập 5)
sin .cos
( )
( sin )( cos )
π
ππ
π
+
++
+
+ +
+ ++ +
+ +
∫
∫∫
∫
2
4 4
0
1
1 1 6
⇒
x x
dx I J
x x
Vậy
sin .cos
( sin )( cos )
π
ππ
π
π
ππ
π
+ +
+ ++ +
+ +
∫
∫∫
∫
2
4 4
0
1 1 12
x x
dx
x x
2. Đặt
( )= = + =
= = + == = + =
= = + =
+
++
+
2
2
1
1
⇒ ⇒
dt
t tgx dt tg x dx dx
t
4
2 3 3
2
2 2 2
0 0 0
0
2
4
tgt
tgt tgt tgt
t dt t dt 1 1 1 t-1 1 1 tgt-1
I = . = = -t -1+ dt = - t -t- ln = - tg t- tgt- ln
1-t
1+ t 1- t 1-t 3 2 t+1 3 2 tgt +1
1+ t
t
∫ ∫ ∫
Vì
( )
>
>>
>
0
I
t
nên
3
1 1 tgt-1
: - tg t-tgt- ln > 0
3 2 tgt+1
ln ln
+
++
+
− π π
− π π− π π
− π π
= + > + + >
= + > + + >= + > + + >
= + > + + >
+
++
+
3
3
3
1 1 1 1
2 1 2 4 3 4
2
3
⇔ ⇒
tg t tgt
tgt
tg t tg t tgt tg t e
tgt
2
n
x
1. I =
x +1
Chứng minh :
( )
≤ ≤
≤ ≤≤ ≤
≤ ≤
+ +
+ ++ +
+ +
∫
∫∫
∫
1
0
1 1
2 1 1
n
I dx
n n
và
lim
→+∞
→+∞→+∞
→+∞
=
==
=
0
n
n
I dx
(
)
-
n x
n
2. J = x 1+ e
Chứng minh :
n
J dx
n
<
<<
<
+
++
+
∫
∫∫
∫
0
1
2
0
1
và
n
n
lim J dx
0
→+∞
=
Bài giải
:
. +
++
+
+
++
+
1 1
1 0 1 1 1 2 1
2 1
⇒ ⇒
x x
x
;
n n n
n n n
x x x
x x dx dx x dx
x x+ +
+ ++ +
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
1 1 1
0 0 0
1
2 1 2 1
⇒
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
n n nn
x x x x
dx dx
n x n n x n
+
++
++
++
+
+ + + + +
+ + + + ++ + + + +
+ + + + +
∫ ∫
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
1
1
1 1
0 0
0
0
11
1
2 1 1 1 1 1
1
⇒ ⇒
2 +1
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
4
Ta có :
(
((
( )
))
)
1
0
2 1
0
1
1
0
1
→∞
→∞→∞
→∞
→∞
→∞→∞
→∞
→∞
→∞→∞
→∞
=
==
=
+
++
+
=
==
=
+
++
+
=
==
=
+
+ +
+
n
n
n
n
lim
n
lim
x
lim
n
x
⇒
(
((
(
)
))
)
(
((
(
)
))
)
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
0
1
0 0 0
1
1
2 0 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2
2
0 1 2 0 1
1
− − −
− − −− − −
− − −
− −
− −− −
− −
−
−−
−
= + + +
= + + += + + +
= + + +
+ +
+ ++ +
+ +
+
++
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
. .⇒ 0 ⇒ ⇒
⇒ ⇒
n n n n n
n x n n
x x
x
x
x
x e e e x x e x hay x e x
x e dx x dx x e dx
n
Ta có :
(
((
( )
))
)
2
0 1 0
1
−
−−
−
→∞ →∞
→∞ →∞→∞ →∞
→∞ →∞
= + =
= + == + =
= + =
+
++
+
n x
x e dx
n
lim lim
⇒
n n
Chứng minh rằng
:
2
2
3 4
4
2
1
0
4 6
0
-
1. cosx(4 3 cosx)(2 cosx 2)dx 8 2. lnx(9 3 l
nx 2 lnx)dx 8(e 1)
2 49
3. sinx(1 2 sin x)(5 3 sinx)dx 4. tgx(7 4 tgx)dx
3 64
243
5. sin x.cos xdx
6250
π
π
π π
π
π
− + ≤ π − − ≤ −
π π
+ − < − ≤
π
≤
∫ ∫
∫ ∫
∫
Bài giải
:
Đặt
f(x) = cosx(4-3 cosx)(2 cosx +2)
cosx cosx cosx
f(x)
f(x)dx dx cosx( cosx)( cosx )dx
2 2 2
2 2 2
3
4 3 2 2
8
3
8 4 3 2 2 8
− − −
⇒ ⇒
cauchy
π π π
π π π
+ − + +
=
− + π
∫ ∫ ∫
2. Đặt
( ) ln ( ln ln ) ln ( ln )( ln )
9 3 2 3 3 2
f x x x x x x x
= − − = + −
ln ln ln
( )
( ) ln ( ln ln ) ( )
1 1 1
3
3 3 2
8
3
8 9 3 2 8 1
⇒ ⇒
e
e e
x x x
f x
f x dx dx x x x dx e
+ + + −
=
− − −
∫ ∫ ∫
3. Đặt
( ) sin ( sin )( sin )
1 2 5 3
f x x x x
= + −
;
sinx sinx sinx
f(x)
3
1 2 5 3
8
3
+ + + −
Đẳng thức
sinx sinx sinx
x
sinx sinx sinx
= + = −
= + = −= + = −
= + = −
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
= − =
= − == − =
= − =
1 2 1
5 3 4 5
f(x) f(x)dx dx sinx( sinx)( sinx)dx
3 3 3
4 4 4
2
8 8 1 2 5 3
3
π π π
π π π
π
⇒ < ⇒ < ⇒ + − <
∫ ∫ ∫
4. Đặt
f(x) tgx( tgx) . tgx( tgx)
1
7 4 4 7 4
4
= − = −
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
5
( )
( )
2
0 0 0
4 4 4
4 7 4
1 49
( )
4 2 16
49 49
7 4
16 16
x
tgx tgx
f x
f dx dx tgx tgx dx
∏ ∏ ∏
+ −
≤ =
∏
⇒ ⇒ −
∫ ∫ ∫
4 6 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 6 4 6
0
5
5. sin .cos (1 cos ).(1 cos ).cos . cos . cos
1
(2 2 cos )(1 cos ).cos .cos .cos
2
1 2 2 cos 1 cos cos cos cos
2 5
243 243
sin .cos sin .cos
6250 6250
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x xdx
= − −
= − −
− + − + + +
≤
∏
⇒ ≤ ⇒ ≤
∏
∫
Chứng minh rằng :
(
)
2 2 2 2
2
3
5 2
1. cos 3sin sin 3cos
3
x x x x dx
−
∏
∏
∏
+ + +
∫
(
)
( )
2 2
1
2. 3 2 ln 5 2ln 4 1
e
x x dx e
+ + − −
∫
2
3 cos sin
3.
4 4
4
x x
dx
x
∏ + ∏
−
+
∫
Bài giải :
1. Đặt
2 2 2 2
( )
1 cos 3sin 1. sin 3cos
x
f x x x x
= + + +
( )
(
)
( )
( )
(
)
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
3 3 3
2
2 cos 3sin 3cos sin 2 2
5 2
2 2 cos 3sin sin 3cos
3
x x
x
f x x x x f
f dx dx x x x x dx
∏ ∏
− − −
∏ ∏ ∏
∏
+ + + ⇒
∏
⇒ ⇒ + + +
∫ ∫ ∫
2. Đặt
( )
2 2
1 3 2ln 1 5 2ln
x
f x x
= + + −
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
1 1 1
2 3 2ln 5 2ln 4
4 3 2ln 5 2ln 4 1
x x
x
e e
e
f x x f
f dx dx x x dx e
≤ + + − ⇒ ≤
⇒ ⇒ + + − ≤ −
∫ ∫ ∫
( )
2 2 2
2 2 2 2
0 0
2 2
3. 3 cos sin ( 3) 1 cos sin
3 cos sin 3 cos sin
2
2
4 4 4 4
x x x x
x x x x
dx
x x x x
+ ≤ + +
+ +
⇒ ≤ ⇒ ≤
+ + + +
∫ ∫
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
6
Đặt
(
)
2
2 2 1
x tgt dx tg t dt
= ⇒ = +
(
)
( )
2
2
2
0 0 0
2 2
0 0
4 4
2
2 2
2 1
0 1 1
4 2 8
4 1
0
4
3 cos sin
3 cos sin
4 4 4 4 4
tg t
x dx
dt dt
x
tg t
t
x x
x x
dx dx
x x
∏ ∏
+
∏
⇒ = = =
∏
+
+
+
∏ ∏ + ∏
⇒ ⇒ −
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
ĐÁNH GIÁ TÍCH PHÂN DỰA VÀO TẬP GIÁ TRỊ
CỦA HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN
Chứng minh rằng :
2 2
0 0
0 0
2 2
1 1
4
4
1. sin 2 2 cos
2. sin 2 2 sin
1 2 1
3.
1
xdx xdx
xdx xdx
x x
dx dx
x x
∏ ∏
∏
∏
≤
− −
<
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2
2
0
2 2
2
1 1
0 0
4 4
sin sin
4
5. (ln ) ln
6. sin cos
x x
dx dx
x x
x dx xdx
xdx xdx
∏
∏
∏
∏ ∏
>
<
<
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Bài giải :
∏ ∏
0 0
4 4
0 sin 1
1. 0; 2sin .cos 2cos
0 cos 1
4
sin2 2cos sin2 2 cos
x
x x x x
x
x x xdx xdx
≤ ≤
∏
∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤
≤ ≤
⇔ ≤ ⇒ ≤
∫ ∫
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
7
∏ ∏
0 0
2 2
cos 1
2. 0; 2sin2 .cos 2sin
0 sin
2
sin2 2sin sin2 2 sin
x
x x x x
x
x x xdx xdx
≤
∏
∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤
≤
⇔ ≤ ⇒ ≤
∫ ∫
[
]
3. 1;2
x
∀ ∈
Xét hiệu :
2
-1 2 1 1
0
1 ( 1)
x x x x
x x x x
− − + −
− = <
+ +
1 1
2 2
1 2 1 1 2 1
1 1
x x x x
dx dx
x x x x
− − − −
⇒ < ⇒ <
+ +
∫ ∫
4. Đặt
- -
x u dx du
= ∏ ⇒ =
∏
∏
∏
0
∏
∏
∏
∏
0
2
2
2
sin sin( ) sin
2
( )
0
2
1 1
0 0
2
x
x u x
dx du dx
x u x
u
x x x
x x
∏−
⇒ = − =
∏− ∏−
∏
< < ⇒ < < ∏− ⇒ <
∏−
∫ ∫ ∫
Vì :
∏ ∏
∏
0
2 2
sin sin sin sin
sin 0
x x x x
x dx dx
x x x x
> ⇒ < ⇒ <
∏− ∏−
∫ ∫
∏
∏
∏
2
2
0
sin sin
x x
dx dx
x x
⇒ >
∫ ∫
5. Hàm số y = f(x) = lnx liên tục trên [1,2] nên y = g(x) = (lnx)
2
cũng liên tục trên [1,2]
[ ]
⇒ ⇒
∀ ⇒
2
2
1 1
2 2
1 2 0 ln ln2 1(*) 0 (ln ) ln
1,2 (ln ) ln
x x x x
x x dx xdx
< <
<
∫ ∫
∈
Chú ý : dấu đẳng thức (*) xảy ra tại x
0
= 1⊂
⊂⊂
⊂ [1,2]
0
∏
∏
∏ ∏
⇒ ⇔
⇔ ⇔
0
4
4
sin
6. 0 0 1 1
4 4 cos
sin cos sin cos
x
x tgx tg
x
x x xdx xdx
< < < < = <
< <
∫ ∫
Chứng minh rằng :
2
x
1
0
1
0
1
0
1
8
25
3
0
3
1. 2 4 5
1 1
2. 1
2
1
1 1
3.
26
26 2
1
dx
dx
x
x
dx
x
+
+
+
∫
∫
∫
<
2
8
∏
∏ ∏
1
0
2
1
2 3
0
1
3
.sin
4. 1 ln2
1 .sin
.sin
5.
12
1
6.
6
4
x
x x
dx
x x
e x
dx
e
x
dx
x x
−
−
+
+
− −
∫
∫
∫
0
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
8
Bài Giải:
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ + ≤
⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1. 0 1 0 1 4 4 5 2 4 5
2 4 5 2 4 5
x x x x
dx x dx dx x dx
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤
⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤
+
⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
8 8
8
8
1 1 1 1
0 0 0 0
8 8
2. 0 1 0 1 1 1 2
1 1
0 1 2 1
2
1
1 1
1
2 2
1 1
x x x
x
x
dx dx
dx dx
x x
≤ ≤ ⇒ + ⇒ +
⇒ ⇔
+ +
⇒ ⇒
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
310 10
3
25 25
25
3 3
3 310 10
25 25
1 1 1 1
25 25
3 3
0 0 0 0
3 310 10
3. 0 1 1 1 2 1 1 2
1 1
1
2 2
1 1
1 1 1
26
2 26 2
1 1
x x x
x x
x
x x
x x
x dx dx x dx dx
x x
4. Trước hết ta chứng minh :
[ ]
sin
;(1) 0,1 .
1 sin 1
x x x
x
x x x
∀
+ +
∈
Giả sử ta có : (1).
[ ]
(1) ⇔ ∀ ⇔
1 1 1 1
1 1 ; 0.1
1 sin 1 1 sin 1
x
x x x x x x
− −
+ + + +
⇔ ⇔
1 1 .sin (1 sin ) 0
x x x x x
+ + −
đúng
[
]
∀
0,1
x
∈
Vậy (1) đẳng thức đúng , khi đó:
( )
⇔
⇔
⇒
1 1 1
0 0 0
1
1
0
0
1
0
sin 1
(1) 1
sin 1 1
.sin
ln 1 1 ln2
1 sin
.sin
1 ln2.
1 .sin
x x x
dx dx dx
x x x x x
x x
dx x x
x x
x x
dx
x x
= −
+ + +
− + = −
+
−
+
∫ ∫ ∫
∫
∫
( )
( )
2
2
2 2 2
1 1 1
3 3 3
1 1
0
sin 1
5. 1, 3 0, 0
1
1
0 sin 1
sin 1 1
0 ;
1 1 1
x
x
x
x
e
e x
x
e
e
x
e x
x
e x dx dx
dx I I
e e
x x x
−
−
−
< =
⊂ ∏ ⇒ ⇒ < <
+
+
< <
⇒ < < = =
+ + +
∫ ∫ ∫
∈
Đặt
2
2
1
(1 )
cos
x tgt dx dt tg t dt
t
= ⇒ = = +
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
9
(
)
3 3
2
3
2
4
4 4
1
1 3
1 12
4
tg t
x
dt dt t
tg t
t
∏ ∏
∏
∏
∏ ∏
+
∏
⇒ Ι = = = =
∏ ∏
+
∫ ∫
4
Vậy
2
1
3
sin
0
12
1
x
e x
dx
e
x
−
∏
< <
+
∫
3 2 2 3
2 2 3 2
2 2 3 2
2 2 3 2
1 1 1
0 0 0
2 2 3 2
6. 0 1 0 0
4 2 4 4
4 2 4 4
1 1 1
4 2 4 4
1 1 1
4 4 4 2
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
I dx dx dx J
x x x x
⇒ ⇒ − −
⇒ − − − −
⇒ − − − −
⇒
− − − −
⇒ = =
− − − −
∫ ∫ ∫
Đặt
2sin 2cos
x t dx tdt
= ⇒ =
( )
2
0 0
6 6
0 1 2 cos
6
0
4 2sin
6
x tdt
I dt
t
t
∏ ∏
∏
⇒ = = =
∏
−
∫ ∫
Đặt
2 sin 2 cos
x t dx tdt
= ⇒ =
0 1
0
4
x
t
∏
( )
4
0
2
0
4
2 cos 2 2
2 8
4 2 2 sin
tdt
J
t
∏
∏
∏
⇒ = = =
−
∫
1
0
2 3
2
6 8
4
dx
x x
∏ ∏
⇒ ≤ ≤
− −
∫
Chứng minh rằng :
2
2
1
0
sin
2
0
1
1. 1
2.
2 2
x
x
e
e dx
e
e dx e
−
∏
−
∏ ∏
∫
∫
2
2
0
1
4
0
1 6
3. 1 sin .
2 2 4
1
4. 0.88 1
1
x dx
dx
x
∏
∏ ∏
≤ + ≤
< <
+
∫
∫
Bài giải :
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
10
( )
( )
2
2
2
2 2
2
0
1. 0 1 0 1 0
1 1
1
0 1 1 2
x x
x x
x
x
x x
x x x e e
e e
e
e
e e e
− −
−
⇒ ⇒ <
⇒ ⇔
⇒ = ⇒
2
°
°x
Từ (1) và (2) suy ra
2
: 1
x x
e e
− −
2 2 2
1 1 1 1
0 0 0 0
1
1
x x x
e
e dx e dx dx e dx
e
− − −
−
⇒ ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
2
2 2
2 sin
2 2 2 2
sin sin
0 0 0 0
2. 0 sin 1 1
.
2 2
x
x x
x e e
dx e dx e dx e dx e
∏ ∏ ∏ ∏
⇒
∏ ∏
⇒ ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 3
3. 0 sin 1 0 sin 1 1 sin
2 2 2 2
1 3 1 6
1 sin 1 sin .
2 2 2 2 4
x x x
dx x dx dx x dx
∏ ∏ ∏ ∏
⇒ ⇒ +
∏ ∏
⇒ + ⇒ +
∫ ∫ ∫ ∫
4.
Cách 1:
(
)
0,1
x∀
∈
thì
4 2 4 2
4 2
1 1
1 1
1 1
x x x x
x x
< ⇒ + < + ⇒ >
+ +
( )
1
2
4 2
0
1 1
ln 1 ln 1 2 0,88
1 1
dx dx x x
x x
1 1
0 0
⇒ > = + + = + >
+ +
∫ ∫
Mặt khác :
1
4
4 4
0
1 1
1 1 1 1
1 1
x dx
x x
+ > ⇒ < ⇒ <
+ +
∫
Vậy :
1
4
0
1
0,88 1
1
dx
x
< <
+
∫
Chú ý : học sinh tự chứng minh
2 2
2 2
1
ln
dx x x a C
a x
= + + +
+
∫
bằng phương pháp tích phân từng
phần .
Cách 2 :
(
)
4 2 2
1
4 2 4
0
0,1 1
1 1 1
1 1 1
x x x x x
dx I
x x x
4
⇒ < ⇒1+ < +
⇒ > ⇒ >
+ + +
∫
∈
Với :
1
2
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
Đặt
( )
2
2
1
1
cos
x tgt dx dt tg t dt
= ⇒ = = +
Ts. Nguyễn Phú Khánh -
ðà Lạt
Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
11
(
)
( )
4 4
4
2
0 0
2
2
0
1
0 1 1
cos
0
1
4
cos
1 sin
tg t
x
I dt dt
t
t
tg t
t
I dt
t
∏ ∏
∏
+
= =
∏
+
=
−
∫ ∫
∫
Đặt
0
4
sin cos
0
t
u t du tdt
u
∏
= ⇒ =
1
2
( )( )
2
0 0 0
1
2
0 0
0
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1
1 1 1 1 1 1
ln
2 1 2 1 2 1
du u u
I du du
u u u u u
u
du du
u u u
1 1
2 2
1 1
2
2
1
2
− + +
= = = +
− − + + −
+
= + =
+ − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
4
1 2 2 1
ln 0,88 0,88
2
2 2
1
I dx
x
1
0
+
= > ⇒ >
−
+
∫
Mặt khác
4
4
1
:1 1 1
1
x
x
+ > ⇒ <
+
( )
4
1
1 2
1
dx dx
x
1 1
0 0
⇒ < =
+
∫ ∫
Từ (1) và (2) suy ra :
1
4
0
1
0.88 1
1
dx
x
< <
+
∫
Chứng minh rằng :
4
2
0
1
0
3
2
1
1. 0
32
cos
2. ln 2
1
.sin
3.
1 12
x
x tgx dx
nx
dx
x
e x
dx
x e
∏
−
∏
< <
+
∏
<
+
∫
∫
∫
( )
200
100
3
2
1
1
1 1
0
cos
4.
1 12
cos 1
5.
200
1 1 1
6. 1 1
1 2 1 2
1
x
x
n
n n
e x
dx
x e
x
dx
x
e e
dx
n n
x
∏
∏
−
− −
∏
<
+
∏
− −
− −
+
∫
∫
∫
Bài giải :
1. 0 0 1 0 1 0
4
x tgx tgx x tgx x
∏
⇒ ⇒ ⇒
Xét
: 0
4
x
α β
∏
< < < <
ta có :
4 4
0 0
0 1
0
0
4
tgx
x tgx x
x
I x tgx dx x tgx dx x tgx dx x tgx dx
α β
α β
∏ ∏
< <
⇒ <
∏
< <
= = + +
∫ ∫ ∫ ∫
