chuyên đề vật lý nano

Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

MỞ ĐẦU
I. Lý do của môn học:
Với sự phát triển của khoa học kĩ thuật ñã xuất hiện nhiều phương pháp tạo ra các
hệ có cấu trúc nano khác nhau, chẳng hạn sự phát triển của các kĩ thuật tinh vi trong
nuôi tinh thể như epitaxy dòng phân tử (MBE-molecular beam epitaxy) và kết tủa hơi
kim loại hóa hữu cơ (MOCID-metal organic chemical iapor deposition). Ngày nay, ñã
tồn tại các hệ cấu trúc nano phẳng 2 chiều như màng mỏng, cấu trúc lớp, hố lượng tử,
siêu mạng…, hệ cấu trúc nano 1 chiều như ống nano, dây lượng tử…, hệ không chiều
như nhóm tinh thể, chấm lượng tử… Đây là những loại vật liệu quan trọng.Trong các
ñối tượng mới nêu trên, chuyển ñộng của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo
các tọa ñộ nào ñó với một vùng rất hẹp vào cỡ bậc của bước sóng De Broglie (nghĩa
là không qúa vài trăm Ao). Khi ñó một loạt các hiện tượng vật lý mới ñược gọi là hiệu
ứng kích thước sẽ xuất hiện làm biến ñổi hầu hết các tính chất vật lý của hệ và mở ra
khả năng ứng dụng cho các linh kiện ñiện tử làm việc theo nguyên lý hoàn toàn mới.
Việc nghiên cứu các loại vật liệu mới này ñã cho ra ñời nhiều công nghệ hiện ñại có
tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học kĩ thuật. Chẳng hạn, các ñiốt huỳnh
quang ñiện, pin mặt trời, các loại vi mạch,… là những ứng dụng quan trọng nhất của
các thành tựu ñạt ñược khi nghiên cứu các loại vật liệu mới này. Chính bởi tính thời
sự khoa học này mà việc nghiên cứu bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói
riêng (siêu mạng, hố lượng tử, dây lượng tử, ñiểm lượng tử) ñã thu hút ñược sự quan
tâm chú ý của nhiều nhà vật lý, cả lý thuyết và thực nghiệm.
Khác với bán dẫn khối trong ñó hạt mang ñiện có thể chuyển ñộng trong toàn bộ
mạng tinh thể (cấu trúc 3 chiều), trong bán dẫn có cấu trúc nano (gọi tắt là bán dẫn
nano), chuyển ñộng của các hạt mang ñiện xẩy ra theo hai hướng vuông góc với trục
của tinh thể, thường chọn là trục z. Chuyển ñộng theo trục z bị giới hạn trong một
phần không gian bởi sự lượng tử hóa năng lượng, xung lượng. Cấu trúc này ñược
gọi là cấu trúc chuẩn hai chiều (quasi-two dimension) . Các vật liệu ứng dụng cấu

trúc chuyển ñộng hai chiều là: Laser giếng lượng tử (quantum well laser), transitor
dị cấu trúc, siêu tinh thể biến ñiệu dị cấu trúc (heterojunction modulation
superlattice)…
II. Mục ñích của môn học:
Mục ñích nghiên cứu của môn học là thiết lập bức tranh tổng quan về bán dẫn thấp
chiều về các mặt: Cấu trúc tinh thể và cấu trúc vùng, phổ năng lượng và hàm sóng
của ñiện tử. Từ ñó cung cấp những kiến thức cơ bản nhất ñể có thể tiếp tục nghiên
cứu vật lý hệ thấp chiều.
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU MÔN HỌC
Phương pháp chủ yếu là phương pháp nghiên cứu lý thuyết, tổng quan tài liệu và lấy
ý kiến chuyên gia.
Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-1-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC
CHƯƠNG I: Tổng quan về hệ bán dẫn thấp chiều
1. Đại cương về các loại bán dẫn thấp chiều
2. Cấu trúc hệ bán dẫn giếng lượng tử, siêu mạng, dây lượng tử và chấm lượng tử
2.1. Giếng lượng tử ñơn
2.2. Giếng lượng tử kép
2.3. Đa giếng lượng tử
2.4. Cấu trúc siêu mạng
2.5. Dây lượng tử
2.6. Chấm lượng tử

CHƯƠNG II: Năng lượng và hàm sóng của electron trong hệ bán dẫn thấp
chiều
1. Sự giam nhốt lượng tử
2. Năng lượng và hàm sóng của electron trong hố lượng tử, siêu mạng và dây lượng
tử khi không có từ trường ngoài
3. Năng lượng và hàm sóng của electron trong hố lượng tử, siêu mạng và dây lượng
tử khi có mặt từ trường ngoài
4. Năng lượng và hàm sóng của electron trong chấm lượng tử
CHƯƠNG III: Mật ñộ trạng thái trong bán dẫn thấp chiều
1. Mật ñộ trạng thái trong giếng lượng tử
2. Mật ñộ trạng thái trong dây lượng tử
3. Mật ñộ trạng thái trong chấm lượng tử
CHƯƠNG IV: Phương pháp phương trình ñộng lượng tử-sự hấp thụ sóng ñiện
từ bởi ñiện tử trong bán dẫn khối và bán dẫn thấp chiều.
CHƯƠNG V : Ứng dụng linh kiện ñiện tử kỹ thuật cao của giếng lượng tử

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-2-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

CHƯƠNG I
TỔNG QUAN VỀ HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU
I. ĐẠI CƯƠNG VỀ CÁC LOẠI BÁN DẪN THẤP CHIỀU
Một hệ bán dẫn thấp chiều là một hệ lượng tử trong ñó các hạt mang ñiện dịch
chuyển tự do theo hai chiều (2D), một chiều (1D) hoặc không chiều (0D). Kích

thước của các hệ này cỡ bước sóng De Broglie của hạt mang ñiện. Ví dụ: Theo de
r
Broglie, mỗi hạt tự do có năng lượng E, xung lượng p xác ñịnh ñược biểu diễn
r
bằng sóng phẳng
ñơn
sắc
có
tần
số
góc
và
vector
sóng
ω
k , thỏa mãn hệ thức
rr
r
r
r
E = hω ; p = hk và ta chọn sóng phẳng dưới dạng ψ (r , t ) = ψ 0 exp i(k r − ωt ) , khi ñó
ñộ dài bước sóng de Broglie của hạt nói trên λ = 2π / k = h / p ≈ 12,3 / V ( A0 ) , do ñó
năng lượng và mật ñộ trạng thái của hạt bị lượng tử hóa. Vì vậy các tính chất ñiện
và các tính chất quang của hạt mang ñiện tuân theo các nguyên lí của cơ học lượng
tử.
Việc phân loại hệ bán dẫn thấp chiều dựa trên số hướng không gian mà hạt mang
trong hệ có thể chuyển ñộng tự do. Từ ñó, ta có các hệ bán dẫn thấp chiều sau:
+ Hệ giếng lượng tử (Quantum-well systems), trong hệ này các hạt bị nhốt theo một
hướng và chuyển ñộng tự do theo hai hướng khác.
+ Hệ dây lượng tử (Quantum wire systems), trong hệ này các hạt bị nhốt theo hai

hướng và chuyển ñộng tự do theo một hướng khác
+ Hệ chấm lượng tử (Quantum dot systems), trong hệ này các hạt bị nhốt theo cả ba
hướng và không chuyển ñộng tự do theo bất kỳ hướng nào.
II. CẤU TRÚC CỦA HỆ BÁN DẪN THẤP CHIỀU
Hệ bán dẫn thấp chiều ñược tạo ra trong phòng thí nghiệm bằng phương pháp
Epitaxy chùm phân tử trong ñó các lớp mỏng chất bán dẫn có bề rộng vùng cấp khác
nhau ñược ñặt xen kẽ nhau. Ta phân biệt các loại sau:

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-3-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

Hình 1.1: Các bậc giam giữ ñiện tử: ba chiều (bán dẫn khối), hai chiều (hố lượng
tử), một chiều (dây lượng tử), không chiều (chấm lượng tử)
1. Giếng lượng tử ñơn (Single Quantum Well: SQW)
Một SQW ñược tạo nên bằng phương pháp epitaxy, trong ñó một lớp mỏng chất
bán dẫn là hợp chất gồm 2, 3, 4, hoặc 5 chất ñược cho lớn lên trên một ñế
(Substrate) thích hợp. Ví dụ hệ InP/GaAs; AlGaAs/GaAs, Si/Ge Hình 1.2
AlGaAs
Ea

Energy, E

GaAs
Eb

Ea

Eb

AlGaAs/GaAs(SQW)

Energy diagram

Hình 1.2: Cấu trúc giếng lượng tử ñơn

2. Giếng lượng tử kép (Double quantum well: DQW)
Là một cấu trúc trong ñó một lớp bán dẫn có bề rộng vùng cấm nhỏ bị kẹp giữa
hai bán dẫn có bề rộng vùng cấm lớn hơn. Ví dụ: hệ AlGaAs/GaAs/AlGaAs
Hình 1.3
Energy, E
Ea

Quantized
energy levels

Eb

H

Energy diagram

Hình 1.3: Cấu trúc của giếng lượng tử kép

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-4-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

2. Đa giếng lượng tử (Multi Quantum Well: MQW)
GaAs

Energy, E

AlGaAs

Ea

Eb
AlGaAs/GaAs/AlGaAs(MQW)

Energy diagram

Hình 1.4: Cấu trúc của ña giếng lượng tử
Là một cấu trúc trong ñó các lớp bán dẫn có bề rộng vùng cấm khác nhau ñược
ñặt xen kẽ lẫn nhau. Thường thì bán dẫn có bề rộng vùng cấm lớn tạo nên một
hàng rào thế ñể ngăn cản electron trong một giếng chuyển ñộng qua các giếng
khác Hình 1.4
4. Cấu trúc của siêu mạng (Structures Superlattice: SL)
Siêu mạng là một cấu ña giếng lượng tử trong ñó bề rộng của các hàng rào ñủ
nhỏ ñể cho electron trong một giếng có thể xuyên qua chúng ñể qua các giếng

thế khác. Điều này tạo nên các mini vùng năng lượng (miniband) và các mini
vùng cấm (minigap) Hình 1.5
GaAs
Energy, E
AlGaAs

Ea

miniband
minigap

Eb

AlGaAs/GaAs/AlGaAs(SL)

Energy diagram

Hình 1.5: Cấu trúc của siêu mạng
5. Dây lượng tử (Quantum Wire)
Khi một lớp mỏng của bán dẫn có khe vùng hẹp ñược bao quanh bởi một bán
dẫn có khe vùng rộng hơn (Hình 1.6) thì ta có cấu trúc dây lượng tử (quantum
wire). Các electron lan truyền trong dây lượng tử này ñược gọi là khí ñiện tử một
chiều.
Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-5-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

AlGaAs

GaAs

Hình 1.6. Cấu trúc dây lượng tử
6. Chấm lượng tử:
Bán dẫn chấm lượng tử là các vi tinh thể ñược tạo nên từ các chất bán dẫn nhóm
AIIBVI, AIIIBV hoặc AIVBVI. Các bán dẫn này ñược sắp xếp tuần hoàn cỡ từ 10
ñến 50 nguyên tử (Hình 1.7). Do kích thước cực kì bé nên tính chất của chấm
lượng tử ñược quyết ñịnh chủ yếu do kích thước vật lý và tính chất hóa học của
bề mặt nó. Thực ra, bán kính của một vi tinh thể chấm lượng tử nhỏ hơn bán
kính Bohr của cặp electron-lỗ trống (Exiton) ñược tạo bởi tương tác photon với
tinh thể.

Hình 1.7 : a) Chấm lượng tử

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

InAs

b) Chấm lượng tử GaAs

-6-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

Chương II: NĂNG LƯỢNG VÀ HÀM SÓNG CỦA ELECTRON TRONG
BÁN DẪN THẤP CHIỀU
I. SỰ GIAM NHỐT LƯỢNG TỬ
Đây là cơ sở của nhiều hiện tượng trong hệ cấu trúc nanô.
- Đối với tinh thể không bị khuyết tật: Các hạt ñược mô tả bởi các sóng có thể lan
truyền tự do trong tinh thể (sóng Bloch). Giả sử tinh thể là giới hạn và có hai hàng
rào thế vô hạn cách nhau một khoảng L. Các hàng rào này có thể phản xạ các sóng
Bloch dọc theo trục z. Như vậy là các sóng trên ñều bị giam nhốt về không gian. Khi
một hạt tự do bị giam nhốt trong tinh thể ở trên thì các vector sóng ñược phép của
các sóng Bloch theo phương z ñược xác ñịnh bởi:
Kzn =

2π

=

nπ
với n = 1,2,3……
L

(1.1)
λn
Còn năng lượng của nó tăng một lượng so với trường hợp không bị giam cầm là:
h 2 k z2
h2 π 2
(1.2)
∆
=
=

*
*
2
2m

2m L

∆E là năng lượng giam cầm của hạt. Biểu thức (1.2) có thể nhận ñược từ hệ thức:
(1.3)
L.∆p z = πh

Đối với nguyên lý bất ñịnh. Khi hạt bị giam cầm trong một khoảng L trong không
gian dọc theo trục z thì thành phần của momen xung lượng theo trục z tăng lên một
lượng cỡ h / L . Sự tăng ñộng năng này ñược xác ñịnh bởi (1.2); mà (1.2) ñược rút ra
từ (1.3) nên ñó là hiệu ứng lượng tử. Vì vậy hiệu ứng giam cầm trên gọi là hiệu ứng
giam cầm lượng tử. Đặc ñiểm của hiệu ứng này là ngoài sự tăng năng lượng cực tiểu
của hạt, sự giam cầm lượng tử còn dẫn ñến sự lượng tử hóa năng lượng của các
trạng thái kích thích. Ngoài ra, nó còn làm thay ñổi mật ñộ trạng thái của hạt.
- Điều kiện ñể có thể quan sát hiệu ứng lượng tử là quãng ñường tự do trung bình δ
của electron phải phải lớn hơn nhiều so với chu kì d của siêu mạng bán dẫn. Điều
này tương ñương với ñòi hỏi khoảng cách giữa hai mức năng lượng liên tiếp
En+1 − En phải lớn hơn ñáng kể so với năng lượng nhiệt của hạt dẫn En+1 − E n >> k BT ,
vì trong trường hợp ngược lại, sự lấp ñầy hầu hết các mức lân cận và các chuyển
mức của ñiện tử thường xẩy ra giữa chúng sẽ ngăn cản quan sát hiệu ứng lượng tử.
Ngoài ra, còn tồn tại thêm một ñiều kiện cần thiết ñể ñể hiệu ứng lượng tử hóa do
h

giảm kích thước có thể nhận thấy ñược En+1 − E n >> ∆E = ; trong ñó τ là thời gian
τ
phục hồi, ñược ñịnh nghĩa là thời gian sống trung bình của hạt dẫn. Chúng ta biết

rằng trong cấu trúc tinh thể thực tế, hạt dẫn luôn luôn bị tán xạ bởi tạp chất,
phonon,… xác suất tán xạ ñược dặc trưng bởi thời gian phục hồi ñông lượng τ , là
ñại lượng tỉ lệ thuận với một ñặc trưng quan trọng khác của hạt dẫn là ñộ linh ñộng

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-7-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

của hạt dẫn µ =

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

eτ
he
, từ ñó chúng ta có ñiều kiện En+1 − En >>
; mặt khác do
mµ
m

khoảng cách giữa các mức lượng tử hóa do giảm kích thước tỉ lệ với 1/a2 nên chúng
ta rút ra ñược kết luận: Để quan sát ñược hiệu lượng tử hóa kích thước ñòi hỏi màng
mỏng có chiều dày ñủ nhỏ, nhiệt ñộ ñủ thấp, ñộ linh ñộng hật dẫn cao và nồng ñộ
hạt tải thấp.
II. NĂNG LƯỢNG VÀ HÀM SÓNG CỦA ELECTRON TRONG GIẾNG
LƯỢNG TỬ.
1. Trường hợp không có từ trường ngoài
Để tính toán cấu trúc vùng năng lượng trong hố lượng tử, xét một hố lượng tử hình

chữ nhật ñơn giản dưới dạng
V(z)
 0,− L ≤ z ≤ L
2
2
V (z ) = 
L
L
V
z
z
,
<
,
>
−
 0 2
2

(2.1)

V0

-L/2

0

L/2

Z

Hình 2.1
Trong ñó L là ñộ rộng của hố thế, V0 là ñộ sâu của hố thế
Phương trình Schrodinger cho các trạng thái ở bên trong và bên ngoài hàng rào thế
lần lượt là
* Khi − L 2 ≤ z ≤ L 2 ta có:
h2 2
∇ ψ A ( x, y, z ) = Eψ A ( x, y, z )
2m*A
* Khi L 2 ≤ z , z ≤ − L 2 ta có:
 h2 2

 −
∇ + V0 ψ B ( x, y, z ) = Eψ B ( x, y, z )
*
 2mB

−

(2.2)

(2.3)

Với: m*A là khối lượng hiệu dụng của ñiện tử trong hố thế, m*B là khối lượng hiệu
dụng của ñiện tử ngoài hố thế, thông thường m*A ≠ m*B
Vì V(z) chỉ phụ thuộc vào z nên ta có thể tách ψ A ( x, y, z ) , ψ B ( x, y, z ) thành hai thành
phần ñộc lập như nhau
ψ A ( x, y, z ) = ψ A' ( x, y )Φ A ( z )
ψ B ( x, y, z ) = ψ B' ( x, y )Φ B ( z )
Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

(2.4)
(2.5)
-8-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

Hàm ψ A' ( x, y ) và hàm ψ B' ( x, y ) ñều phụ thuộc vào hàm exp[i(k x x + k y y )] (vì chúng
là các phương trình ñối với hạt chuyển ñộng tự do trong mặt phẳng xy).
Ta biết rằng, khối lượng hiệu dụng thay ñổi từ bên trong hố m *A thành m*B bên ngoài
hố. Tuy nhiên, ñiều kiện biên lại cho hàm sóng liên tục khi truyền qua mặt hố thế
lượng tử nên k x , k y có cùng giá trị ở trong và ngoài hố thế. Do ñó các phương trình
(2.2) và (2.3) sẽ trở thành
 − h 2  d 2

2
2
 *  2 − k x − k y  Φ A ( z ) = EΦ A ( z )

 2m A  dz

(2.6)

 − h 2

2
 2mB

(2.7)


 d 2

 2 − k x2 − k y2  + V0  Φ B ( z ) = EΦ B ( z )

 dz


với

với

−

L
L
≤z≤
2
2

L ≤ z, z ≤ − L
2
2

Ta xét các trường hợp sau:
a. Trường hợp V0 là hữu hạn: Theo kết quả của cơ học lượng tử ta có:
- Khi E −

(

)

h2
k x2 + k y2 > V0 hai phương trình trên ñều có nghiệm là sóng phẳng và
*
2 mB

phổ năng lượng của chúng là liên tục. Ta không xét trường hợp này vì hạt ñủ ñộng
năng ñể vượt ra khỏi hố thế.
- Khi E −

(

)

h2
k x2 + k y2 < V0 : Phương trình (2.7) có nghiệm :
*
2 mB
Φ B ( z ) = Aeαz + Be −αz

(2.8)
2

h
(k x2 + k y2 − α 2 ) = V0
*

2 mB
Điều kiện liên tục và hữu hạn của hàm sóng Φ B (z ) tại z = ±∞ cho ta:

Trong ñó α ∈ R + và thỏa mãn phương trình E −
 Aeαz
Φ B ( z ) =  −αz
Be

khi z < − L / 2
khi z > L / 2

(2.9)

Nghiệm của phương trình (2.6): Φ A ( z ) = C cos(k z z ) + D sin (k z z )
Các giá trị của A, B, C, D có thể xác ñịnh nhờ sử dụng ñiều kiện biên ( nghĩa là hàm
sóng và ñạo hàm của nó liên tục tại mặt tiếp xúc giữa hố thế và hàng rào thế). Lưu ý
rằng khi m*A ≠ m*B thì ñiều kiện biên liên tục của ñạo hàm của hàm sóng là:
1 ∂Φ A
1 ∂Φ B
= *
*
m A ∂z
mB ∂z

tại

z = ± L/2

Như vậy khi V0 hữu hạn, hố thế có tính chất ñối xứng phản xạ qua tâm O của hố và
các hàm riêng của ñiện tử có tính chẵn lẻ nhất ñịnh ñối với việc phản chiếu qua mặt

phẳng xy. Hàm sóng có dạng hình sin ở bên trong hố và có thể xuyên qua ñược hàng
rào thế và ñiện tử hoàn toàn bị giam trong hố thế.

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-9-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

b. Trường hợp V0 →∞ : Các sóng không xuyên qua hàng rào thế. Chúng ta có các
nút tại các mặt tiếp xúc và các sóng ñứng bên trong hố. Hàm sóng ñã ñược chuẩn
hóa trong hố lượng tử thỏa mãn phương trình (2.2) và các ñiều kiện biên nên có
dạng hình sin. Trong trường hợp này hạt bị giam nhốt hoàn toàn bên trong hố lượng
tử. Năng lượng tổng cộng của hạt là: trường hợp hàng rào thế vô hạn năng lượng
của ñiển tử lúc này là gián ñoạn và có dạng giải tích như sau:
h2
E=
(k x2 + k y2 + k z2 ) với trị số kz= nπ (n=1,2…)
(2.10)
*
2m A

L

Trường hợp kx = ky = 0 thì E n =

h 2  nπ 



2 m *A  L 

2

(2.11)

Nhận xét: Năng lượng
En ~ n 2 ,

1 1
, .
m *A L2

Điều này có nghĩa là các hố lượng tử hẹp có các mức năng lượng cách xa hơn.
Như vậy trong hố lượng tử thì ñiện tử bị giam giữ và năng lượng của chúng là gián
ñoạn dọc theo trục z.
V0=
∞

4
V0

n=2

V
ù
n
g

3
E3

2
E2

b
i
ê
n

n=

n=1
E1

k⊥

Hình 2.2 Các trạng thái giam nhốt trong hai hố
lượng tử có ñộ rộng L. các hàm sóng ứng với
các mức năng lượng n=1, n=2 ñược minh họa
cho cả hai loại hố lượng tử (V0=∞ và V0<∞)

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

Hình 2.3 chỉ rõ các mức
năng lượng của ñiện tử
trong hố lượng tử với
vách ngăn vô hạn.

-10-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

Cấu trúc vùng con ñược mô tả bởi phương trình (2.11) có những hệ quả quang trọng
ñối với tính chất dịch chuyển và tính chất quang học của các dị cấu trúc
(heterostructure). Một biểu hiện quan trọng của cấu trúc vùng con là mật ñộ trạng
thái (DOS) của các vùng electron.
2. Trường hợp có từ trường ngoài
a. Từ trường vuông góc với thành hố lượng tử:
Bây giờ chúng ta sẽ khảo sát xem phổ năng lượng và hàm sóng của electron sẽ
biến ñổi như thế nào khi ta ñặt thêm một từ trường không ñổi B=(0,0,Bz) vuông góc
với hố lượng tử, tức là song song với phương oz.
Đối với từ trường này ta sử dụng thế vector A=(0, Bx,0). Trong trường hợp này, hàm
Hamilton ñối với ñiện tử có dạng:
H=

1
e
( p + A) 2 ( e là ñộ lớn ñiện tích của electron, còn c là vận tốc ánh sáng)
*
c
2m

Giả sử khối lượng hiệu dụng của electron là ñẳng hướng và có dạng parabol ñơn
giản, nghĩa là: m*x = m*y = m*z = m *

Mặt khác theo phương trình Hamilton ta có:
∂H
∂H
∂H
, p& y = −
, p& z = −
;
∂z
∂x
∂y
∂H
∂H
∂H
x& =
, y& =
, z& =
∂p x
∂p y
∂p z
p& x = −

(3.1)
(3.2)

Như vậy chúng ta sẽ có:
p& x = −

1
e
e ∂Ay

eB
eB
eB
∂H
∂H ∂Ay
= − * ( p y + Ay )
= − * ( py +
x) = −ω c ( p y +
x)
=−
m
c
c ∂x
mc
c
c
∂x
∂Ay ∂x

Với ωc =

eB
m*c

Tương tự ta có:
p& y = −

∂H
∂H ∂Ay
∂H

∂H ∂Ay
=−
= 0 và p& z = −
=−
=0
∂y
∂Ay ∂y
∂z
∂Ay ∂z

Ta lại có:
py
ω
px
eB
⇒ x& = − c* ( p y +
x)t = −ω c ( * + ω c x)t
*
c
m
m
m
py
p
∂H
1
e
hk
y& =
= * ( p y + Ay ) = * + ω c x ;

z& = z* = *
∂p y m
c
m
m
m

x& =

Vì x& =

py
ω c hk y
px
p&
⇒ &x& = x* = −ω c ( * + ω c x ) ⇔ &x& + ω c2 x +
=0
*
m
m
m
m*

Giải phương trình vi phân cấp hai chúng ta ñược hai kết quả:
x = x0 + cos(ωc t )

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

(3.3)

với x0 =

hk y
m *ωc

-11-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

&x& + ωc y& = 0 ⇒ y = y0 + sin(ω c t )
hk
hk
z& = *z ⇒ z = z 0 + *z t
m
m

(3.4)
(3.5)

Từ ba phương trình (3.3), (3.4) và (3.5) ta thấy: Dưới tác dụng của từ trường,
electron vẽ ra những quỹ ñạo tròn trên mặt phẳng xy; còn theo trục z – nơi có từ
trường thì electron chuyển ñộng không ñổi ( z tỉ lệ với bậc nhất của thời gian)
Phương trình Shrodinger ñối với ñiện tử (giả sử thế cao vô hạn)
p2 '
1
e
ψ =

(−ih∇ + A) 2ψ ' = Eψ ' (3.6)
*
*
2m
2m
c

Phương trình này khác với phương trình tương ứng khi không có từ trường ở chỗ tọa
ñộ x ñược chứa trực tiếp trong A (vì A=(0, Bx,0) nên ta có thể thực hiện ñược phân
li biến số, trong ñó các thừa số y, và z giữ nguyên như không có từ trường. Đối với
thành phần phụ thuộc x, ta ñưa thêm vào hàm ϕ (x) chưa biết, nghĩa là
ψ ' = exp i(k y y + k z z ).ϕ ( x) = Cϕ ( x) ñặt C = exp i(k y y + k z z )
Với
2

e 2 '
∂ e
1
1  2 ∂2
2 ∂

−
i
h
∇
+
A
=
−
h

−
h
+ (−ih + Bx) 2 ψ '
(
)
ψ
*
* 
2
2
c
∂x
∂z
∂y c
2m
2m 


h2
h2
1
eB
eB
&
&
C
ϕ
−
(ik z ) 2 Cϕ +
(h 2ϕ .Ck y2 + 2h

xCϕ .k y + ( x) 2 Cϕ )
*
*
*
c
c
2m
2m
2m
2
2
h
h
1
eB 2
=−
Cϕ&& −
(ik z ) 2 Cϕ +
( hk +
x ) Cϕ =
*
*
*
2m
2m
2m
c
=−

m* ωc2

h2
h2
2
&
&
+
+
C
ϕ
k
C
ϕ
( x + x 0 ) 2 Cϕ
*
* z
2m
2m
2
h
k
eB
Với ωc = * ; x0 = * y
m ωc
mc
2

=−

Thay vào phương trình (3.6) chúng ta ñược
2

m* ωc2
h2
h2
2
2
&
&
−
ϕ
+
(
x
+
x
)
ϕ
=
(
E
'
−
k )ϕ
0
*
* z
2m

2

2m

(3.7)

Phương trình trên có dạng tương tự như phương trình Schrodinger ñối với dao ñộng
tử ñiều hòa một chiều với tần số ωc = eB / m*c ñược gọi là tần số cyclotron và xẩy ra
xung quanh x0 nên có nghiệm E ' = ( N + 1 / 2)hω c , với N= 0, 1, 2,… biểu diễn các mức
Landau.
Như vậy, khi ñặt thêm một từ trường không ñổi B=(0,0,B) vuông góc với thành hố
thì năng lượng của electron bao gồm năng lượng chuyển ñộng tịnh tiến dọc theo từ
trường và năng ñược lượng tử hóa của chuyển ñộng của dao ñộng tử trong mặt
phẳng xy, hay

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-12-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

h 2 k z2
+ ( N + 1 / 2)hω c ; Với N=1, 2, 3…
2m*
Các mức năng lượng cách ñều nhau hωc ( N + 1 / 2) ñược gọi là các mức Landau.
E=

Điểm ñặc biệt nhất của phổ năng lượng là tính chất gián ñoạn hoàn toàn của nó. Kết
quả là mật ñộ trạng thái gồm một chuỗi các ñỉnh cực hẹp và cực cao cách ñều nhau.
Phổ năng lượng hoàn toàn ñược gián ñoạn là ñặc trưng cho các vật thể vi mô ví dụ:

nguyên tử chẳng hạn, rất ñáng ngạc nhiên là trong trường hợp này lại ñược thể hiện
trong các mẫu vĩ mô.
Biểu thức trên cung cấp phần năng lượng mà nó phụ thuộc vào chuyển ñộng của
bản thân electron. Nếu tính ñến cả sự ñóng góp của spin của ñiện tử thì ta phải cộng
thêm hay trừ ñi (tùy thuộc vào hướng của spin) trong biểu thức ñó một lượng
( g / 2) µ B B , với µ B = eh / 2m *c = hω c / 2 B magneton Bohn, còn g=2 gọi là thừa số
Lander.
Vậy,năng lượng tổng cộng của electron là:
h 2 k z2
g
E=
+ ( N + 1 / 2)hω c ± µ B B
*
2m
2

(3.8)

Còn hàm sóng của electron bây giờ có dạng:
2
nπ
ψe =
φ N ( x − x0 ) exp(ik y y ) sin( z ) ; trong ñó Ly là ñộ dài chuẩn hóa theo trục y,
Lz L y

Lz

còn φ N ( x − x0 ) là hàm sóng của dao ñộng tử ñiều hòa quanh tâm x0 với tần số ωc .
b. Từ trường song song với thành hố lượng tử
Giả sử từ trường nằm trong mặt phẳng các lớp hai chiều, ví dụ theo phương x.

Trong trường hợp này nếu thế vector ñược chọn A = Ay = − zH , nên phương trình
Schrodinger có thể viết dưới dạng sau
1
e
(−ih∇ + A) 2 Φ + V ( z )Φ = EΦ
*
2m
c
2
2
2
1
e
∂Φ e 2 2 2
2 ∂ Φ
2 ∂ Φ
2 ∂ Φ
⇔
(
−
h
−
h
−
h
+
2
i
h
zH

+ z H Φ ) + V ( z ) Φ = EΦ
c
∂y c 2
2m *
∂x 2
∂y 2
∂z 2

⇔−

h 2 ∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ
e
∂Φ e 2 H 2 2
(
+
+
−
2
i
zH
−
z Φ) + V ( z )Φ = EΦ
2m* ∂x 2
∂y 2
∂z 2
hc
∂y h 2 c 2

(3.9)

1/ 2

hc 
Đặt λ = 

 eH 

gọi là ñộ dài từ, V(z) là thế của hố lượng tử, vì toán tử Hamiltonian

của phương trình không chứa x, y một cách tường minh, các thành phần ñộng lượng
tương ứng px, py cần phải ñược bảo toàn và hàm sóng tổng quát có thể viết dưới
dạng Φ ( x, y, z ) = exp[i ( p x x + p y y ) / h ]χ ( z ) và thế vào phương trình (3.9) chúng ta thu
ñược

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-13-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều


p y2
z. p y
h 2  p x2
z2
 + V ( z ) χ ( z ) = Eχ ( z )
&

&
−
−
χ
(
z
)
−
χ
(
z
)
+
χ
(
z
)
+
2
χ
(
z
)
−
χ
(
z
)

λ2 h

λ4
2m*  h 2
h2

⇔−

 p x2

p y2
h2
h 2 z 2 h. p y .z

&
&
χ
(
z
)
+
+
+
− * 2 + V ( z )  χ ( z ) = Eχ ( z )
*
*
∗
*
4
 2m 2m

2m

2m λ
mλ



(3.10)

Ta sẽ giải phương trình này với giả thiết hố lượng tử với trường thế dạng Parabole
V ( z ) = m*ω 02 z 2 / 2 mô hình hố thế này là trường hợp dễ nhất ñể nhận nghiệm ở dạng
phân tích, ñồng thời phản ánh ñược về mặt ñịnh tính các ñặc trưng của phổ năng
lượng



p y2
h. p y
m* (ω c2 + ω 02 )  2
p x2
h2
 z − 2.z.

⇔ − * χ&&( z ) +
+ *2 2
χ
(
z
)
=
(
E

−
) χ ( z)
2
*
2
ω
ω
2m
m
(
+
)
2
m

∗ 2 hc
2
2

c
0
m .
(ωc + ω 0 )


eH







2
2
p y .λ
py

m (ω + ω )  2
p x2
h
⇔ − * χ&&( z ) +
z
−
2
.
z
.
+
χ
(
z
)
=
(
E
−
) χ ( z)


2

2
2m
m *2 (ωc2 + ω 02 ) 
2m *
m∗
2
2

(ω c + ω 0 )


ωc2


2

*

2
c

Đặt ω 2 = ωc2 + ω02 ; z 0 =

2
0

p y .λ2ωc2
m* ω 2
2

p y2 ω 02
p x2
h2
m *ω 2 2
2
⇒ − * χ&&( z ) +
z − 2.z.z 0 + z 0 χ ( z ) = ( E −
−
)χ ( z)
2
2m
2m * 2m ω 2
p y2 ω 02
p x2
h2
m *ω 2
2
&
&
⇒ − * χ ( z) +
( z − z0 ) χ ( z) = ( E −
−
)χ ( z) = E' χ ( z)
2
2m
2m * 2m ω 2

(

)

(3.11)

Phương trình (3.11) giống với phương trình chúng ta ñã biết trong CHLT ñó là
phương trình dao ñộng tử ñiều hòa và có trị riêng E ' = hω (n + 1 / 2) ; n=0, 1,2… Do
ñó phổ năng lượng của hệ ñang xét có dạng:
p 2y ω 02
p2
(3.12)
E = hω (n + 1 / 2) + x * +
2 m 2m * ω 2
Vậy từ trường trong mặt phẳng của lớp hai chiều làm tăng cả năng lượng của sự
lượng tử hóa do giảm kích thước lẫn khối lượng hiệu dụng của hạt dẫn trong chuyển
ñộng theo phương vuông góc với từ trường. Trong trường hợp gia tăng khối lượng
ñược xác ñịnh bởi thừa số (1 + ω c2 / ω02 ) . Nói chung, từ trường ñịnh hướng song song
không thay ñổi một cách ñịnh tính phổ năng lượng, phổ vẫn có tính gián ñoạn ñối
với chuyển ñộng trong mặt phẳng ñó. Nhưng thông số ñịnh lượng của phổ năng
lượng, ñặc biệt là các mức năng lượng gián ñoạn, có thể thay ñổi ñáng kể dưới tác
dụng của từ trường. Vì vậy, từ trường song song thường ñược dùng trong các thực
nghiệm ñể thay ñổi giá trị năng lượng của các mức lượng tử hóa do giảm kích
thước.

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-14-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

III. NĂNG LƯỢNG VÀ HÀM SÓNG CỦA ELECTRON TRONG SIÊU
MẠNG BÁN DẪN.
1. Phân loại SM bán dẫn:
Có thể phân loại SMBD theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, nếu căn cứ vào sự
tương quan về vị trí giữa ñáy và ñỉnh vùng cấm của các bán dẫn tạo thành siêu mạng
ta có thể chia SMBD thành bốn loại chính như sau:
a. Siêu mạng bán dẫn thành phần loại I
Được tạo thành từ các bán dẫn có ñộ rỗng vùng cấm hoàn toàn bao nhau. Trong
SMBD loại này, các tương tác giữa các loại hạt tải từ các lớp riêng biệt chỉ xẩy ra
giữa các vùng năng lượng cùng loại nghĩa là các electron hay lỗ trống của các loại
bán dẫn chỉ tương tác với nhau trong các vùng dẫn hay các vùng hóa trị tương ứng
hai bán dẫn ñó. Trong ñó các ñường nét ñứt (----) mô tả năng lượng của hạt bị giam
nhốt, a là ñộ dày của lớp GaAs, còn b là ñộ dày của lớp GaAlAs, chu kì siêu mạng
ñược xác ñịnh bởi ñộ dày hai lớp d=a+b. Độ sâu của hố lượng tử ñược xác ñịnh bởi
hiệu của các cực tiểu của các vùng dẫn của hai loại bán dẫn
∆ c = ∆ε c = ε cGaAlAs − ε cGaAs , còn ñối với lỗ trống thì nó ñược xác ñịnh bởi hiệu của các
cực ñại của các vùng hóa trị của hai loại bán dẫn ∆ v = ∆ε v = ε vGaAlAs − ε vGaAs . Thế siêu
mạng ñược xác ñịnh bởi hiệu của các khe năng lượng của hai bán dẫn
∆(r ) = ∆ε g = ε gGaAlAs − ε gGaAs = ∆ v + ∆ c = U 0
Như vậy thế siêu mạng bằng tổng của năng lượng chênh lệch của các vùng dẫn
∆ c và ñộ chênh lệch năng lượng của các vùng hóa trị của hai lớp bán dẫn kế tiếp tạo
thành siêu mạng
GaAs

GaAlAs

∆c

ε cGaAlAs

ε gGaAlAs

∆

ε GaAlAs

a

b

ε GaAs
ε gGaAs

Loại I

ε GaAs

Hình.3.1. Siêu mạng bán dẫn thành phần loại I
b. Siêu mạng bán dẫn thành phần loại II
Được tạo thành từ các bán dẫn có ñộ rộng vùng cấm nằm gần nhau nhưng không
bao nhau hoặc chỉ trùng nhau một phần. Trường hợp này các hạt mang khác loại
nằm trong hai vùng khác nhau của hai bán dẫn khác nhau tạo thành siêu mạng có thể

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-15-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

tương tác với nhau, nghĩa là các electron và lỗ trống thuộc hai bán dẫn khác nhau có
thể tương tác với nhau.
Trong cả hai loại siêu mạng bán dẫn trên thế SM ñều sinh ra do sự thay ñổi ñộ rộng
vùng cấm của hai bán dẫn thành phần. Tuy nhiên, ñối với SMBD thành phần loại I
thì khoảng cách về năng lượng giữa các ñáy vùng dẫn và khoảng cách giữa các ñỉnh
của vùng hóa trị của hai bán dẫn thành phần ngược dấu nhau, còn SMBD loại II thì
khoảng cách này là cùng dấu nhau (thậm chí ñáy của vùng dẫn của bán dẫn này còn
nằm thấp hơn ñỉnh vùng hóa trị của bán dẫn kia).
ε cInAs

InAs

∆c

ε gInAs
∆v

ε vInAs

ε cGaSb

Loại II

ε gGaSb
GaSb

ε vGaSb

Hình 3.2. Siêu mạng bán dẫn loại II
c. Siêu mạng bán dẫn thành phần loại III
Là những cấu trúc ña lớp ñược tạo thành từ ba loại bán dẫn khác nhau trở lên, Do
ñó, tương tác giữa các loại hạt tải trong SM loại này cao ñặc trưng rất ña dạng và
phức tạp. Bằng phương pháp Epitaxy người ta có thể tạo ra ñược siêu mạng pha tạp
hay gọi là siêu mạng nipi, siêu mạng loại này ñược tạo ra trên tinh thể bán dẫn trong
ñó trường ñiện thế phụ ñược xác ñịnh bằng sự phân bố không gian của các tạp chất
Acepto và Dono trong tinh thể bị ion hóa. Trong siêu mạng thành phần, thế siêu
mạng sinh ra do sự thay ñổi ñộ rộng vùng cấm của hai bán dẫn thành phần, còn
trong siêu mạng pha tạp, sự phân bố không gian của các ñiện tích tạo ra sự biến ñiệu
của các ñáy và ñỉnh vùng năng lượng và làm biến dạng ñộ rộng vùng cấm trong
không gian thực của các vật liệu. Kết quả quan trọng nhất của sự biến dạng này tạo
ra khoảng cách giữa các trạng thái của ñiện tử và lỗ trống. Tuy nhiên, ngay cả khi
pha tạp rất mạnh, khoảng cách trung bình giữa các chất này cũng chỉ cùng cỡ của
chu kì thế năng phụ.
d. Siêu mạng biến dạng
Siêu mạng biến dạng ñược tạo ra bằng phương pháp cơ học dựa trên sự thay ñổi
hằng số mạng tinh thể. Ưu ñiểm của phương pháp này là siêu mạng ñược tạo ra từ
một tinh thể bất kỳ mà không phụ thuộc vào tính chất ñiện. Tuy nhiên, nếu dùng các
sóng âm có công suất lớn, siêu mạng ñược tạo ra thường khó thỏa mãn ñiều kiện ñối
với một siêu mạng (ñiều kiện ñó là quãng ñường tự do trung bình của các hạt tải
trong tinh thể phải lớn hơn nhiều so với chu kỳ của thế phụ tuần hoàn). Ngoài ra,
việc tạo ra biến dạng mạng tinh thể có liên quan tới thăng giáng không gian mạnh
của thế phụ và các biến dạng này có thể dẫn ñến phá vỡ tinh thể về mặt cơ học.

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-16-

Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

2. Năng lượng và hàm sóng của ñiện tử trong SMBD
Các tính chất vật lý của hệ ñiện tử chuẩn hai chiều trong SMBD có thể ñược xác
ñịnh bởi phổ năng lượng của chúng tức là nghiệm của phương trình Schrodinger
trong trường hợp tổng quát, với thế năng bao gồm thế tuần hoàn của mạng tinh thể
và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng bán dẫn. Trong thực tế việc giải phương trình
Schrodinger trong trường hợp tổng quát là rất phức tạp. Tuy nhiên, bài toán sẽ ñược
ñơn giản hơn nhiều bởi thực tế chu kỳ siêu mạng lớn hơn rất nhiều so với hằng số
mạng và biên ñọ của thế siêu mạng nhỏ hơn rất nhiều so với biên ñộ của thế mạng
tinh thể. Vì vậy, ảnh hưởng của thế tuần hoàn của siêu mạng chỉ thể hiện ở các mép
vùng năng lượng. Ở gần các mép vùng năng lượng , quy luật tán sắc có thể ñược coi
là có dạng bậc hai và phổ năng lượng của siêu mạng có thể tìm ñược trong gần ñúng
hiệu dụng với giả thiết các vùng năng lượng của tinh ban ñầu không suy biến có
dạng:
r
r
r
h2 2 r
(3.1)
∇ ψ (r ) + U (r )ψ (r ) = Eψ (r )
*
2m
r
Tính chất tuần hoàn của hàm U (r ) trong phương trình trên ñóng vai trò quyết ñịnh
−

số chiều của SM.

Vì U (z ) là hàm tuần hoàn nên hàm sóng của electron ψ (z ) có dạng hàm Bloch còn
phổ năng lượng có cấu trúc mini vùng ñược xác ñịnh bởi chỉ số mini vùng s và
vector sóng kz ñược xác ñịnh trong mini vùng thứ nhất ( − π / d ≤ k z ≤ π / d ) như vậy
thế siêu mạng có ảnh hưởng rất ít ñến chuyển ñộng của ñiện tử theo phương vuông
góc với trục siêu mạng (phương z), còn chuyển ñộng theo phương z sẽ ứng với
chuyển ñộng trong một trường thế tuần hoàn với chu kỳ d:
r h 2k 2
⊥
(3.2)
Es (k ) =
+ E s (k z )
2m *
r
Với một giá trị xác ñịnh của k ⊥ , ñường cong tán sắc của bán dẫn khối E (k z ) tách
thành các mini vùng Brillouin Es (k z ) ñược ngăn cách nhau bởi các mini vùng cấm

tại k=0 và k = ±π / d ( Hình 3.3). Có thể nhận thấy rằng khi chỉ số mini vùng s tăng,
ñộ rộng mini vùng tăng còn ñộ rộng mini vùng cấm giảm.
Nếu Es (k z ) < U max ( z ) thì phép gần ñúng liên kết mạnh giải ra E z (k z ) có dạng
Es (k z ) = Es − ∆ s cos(k z d ) trong ñó s=1, 2, 3…s0 với s0 là chỉ số mini vùng cao nhất.
Es =

π 2h 2
*

2m d

2
0

s 2 là các mức năng lượng trong hố thế cô lập có ñộ rộng và ñộ sâu tương

ứng là d0 và U0 mà sự lặp lại nó sẽ tạo thành siêu mạng còn
∆ s = −4(−1) s

{

}

exp − 2m∗ (d − d 0 ) 2 U 0 / h 2
d0
(3.3)
Es
d − d0
2 m* ( d − d 0 ) 2 U 0 / h 2

Là một nửa ñộ rộng của mini vùng s.

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-17-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

E

E3 ( k z )

E (k z )

E2 ( k z )
E1 (k z )
−

π

−

a

π

π

d

d

E0 ( k z )

kz

π
a

Hình 3.3. Sự tách các vùng năng lượng E(kz) của tinh thể với hằng số mạng a
thành các vùng con Es(kz) bởi thế siêu mạng với chu kỳ d. Số mini vùng bằng d/a
Nếu ta giả sử rằng các ñiện tử chỉ xuất hiện tại mini vùng thấp nhất ( s = 1; ∆ s = ∆) và

ta chọn gốc thế năng lượng ở mức năng lượng thấp nhất tức là: E1=0 thì
Es (k z ) =

h 2 (k x2 + k y2 )
2m*

− ∆ s cos(k z d ) .

(3.4)

Hàm sóng của electron trong mini vùng s là tổ hợp tuyến tính của hàm sóng mô tả
chuyển ñộng của nó trong mặt phẳng (xy), có dạng của sóng phẳng và hàm sóng
theo trục z có dạng hàm Bloch nên trong gần ñúng liên kết mạnh có dạng:
r

ψ s ,kr (r ) =

[

]

Nd
1
exp i(k x x + k y y ) ∑ exp(ik z nd )ψ s ( z − nd )
Lx L y N d
n =1

(3.5)

Với Lx , Ly là các ñộ dài chuẩn hóa theo các hướng x và y, Nd là số chu kỳ của siêu

mạng còn ψ s (z ) là hàm sóng của electron trong hố thế cô lập.
r

Nếu ñặt một từ trường dọc theo truc z ( B Oz ), chuyển ñộng của electron trong mặt
phẳng (xy) cũng bị lượng tử hóa. Chọn thế vector của trường ñiện từ
r r
A = A(− B y ,0,0) . Trong gần ñúng liên kết mạnh, phổ năng lượng của ñiện tử trong
mini vùng thấp nhất có dạng
r
1
EsH (k ) = E⊥ + E|| = ( N + )hΩ c − ∆ s cos(k z d )
2

(3.6)

Và hàm sóng
r

ψ s ,kr (r ) =

Nd
1
Φ N ( x − x0 ) exp(ik y y)∑ exp(ik z nd )ψ s ( z − nd )
Ly N d
n =1

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

(3.7)

-18-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

ở ñây Ω c = eB / cm* là tần số cyclotron (e là ñiện tích của ñiện tử, c là vận tốc của
ánh sáng); Φ N là hàm sóng của dao ñộng ñiều hòa, N là chỉ số mức phân vùng
Landau (N=0,1,2..), x0 = −chk y / eB là vị trí tâm quỹ ñạo.
IV. NĂNG LƯỢNG VÀ HÀM SÓNG CỦA ELECTRON TRONG DÂY
LƯỢNG TỬ.
Trong các dây lượng tử một chiều, chuyển ñộng của electron theo hai trục ox và oy
bị hạn chế, còn theo trục oz thì chuyển ñộng của ñiện tử tự do nên hàm sóng của
chúng có thể viết dưới dạng
ψ ( x, y, z ) = f ( x). f ( y ). exp(ik z z )
Trong ñó f(x) và f(y) là các hàm ñược ñịnh xứ bên trong tiết diện ngang của dây
lượng tử. Bài toán tìm phổ năng lượng và hàm sóng trong dây lượng tử có thể giải
phương trình Schrodinger một ñiện tử cho hệ một chiều:
 h2 2
r
r 
ˆ
Hψ =  −
∇ + V (r ) + U (r ) ψ = Eψ
*
 2m


(4.1)

Trong ñó: U(r) là thế năng tương tác giữa các ñiện tử
V(r) là thế năng giam giữ ñiện tử do giảm kích thước
m* là khối lượng hiệu dụng của ñiện tử
ñể giải phương trình (3.1) chúng ta phải có các hàm tường minh của U(r) và V(r),
trong các bài toán kinh ñiển chúng ta ñã biết và quen thuộc với dạng của U(r), còn
dạng tường minh của V(r) nó phụ thuộc vào hình dạng của dây lượng tử, ñể giải
ñược phương trình (3.1) với các dạng thế cụ thể là một công việc cực kỳ phức tạp.
Do vậy, trong phần này chỉ giới thiệu các kết quả cuối cùng của biểu thức hàm sóng
và phổ năng lượng cho tường loại dây.
1. Dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn
Dây lượng tử hình trụ là loại dây ñược sử dụng nhiều trong nghiên cứu lý thuyết.
Trong phần này ta giả sử dây có bán kính R, thế giam giữ vô hạn ở ngoài dây và bên
trong bằng không
r
V (r ) = 0
 r
V (r ) = ∞

r< R
r> R

(4.2)

Với thế năng này, phương trình Schrodiger cho hàm sóng và phổ năng lượng trong
hệ tọa ñộ trụ (Phys.Rev. B41 (1990) 7626):

 ik z z
ψ n,l ,k z (r , φ , z ) =  e
 Lz

0
1
r
J n ( An ,l )einϕ
R
π R J n+1 ( An ,l )
1

2 2
h 2 k z2 h An,l
+
Và năng lượng En ,l (k z ) =
2me 2me R 2

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

r>R
r
(4.3)
(4.4)

-19-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

n = 0,±1,±2.... là số lượng tử phương vị, l = 1,2,3... là số lượng tử xuyên tâm, An,l là

nghiệm thứ l của hàm Bessel ñối số thực cấp nJ n ( An ,l ) = 0 .
Thừa số dạng trong dây lượng tử ñược cho bởi
∞

r
2
I n,l ,n ',l ' (q ) = 2 ∫ J n−n ' (qR)ψ n∗',l ' (r )ψ n,l (r )rdr .
R 0

Vì hàm sóng ψ n,l (r , ϕ ) chứa hàm Bessel nên ta không thu ñược biểu thức giải tích
cho thừa số dạng. tuy nhiên, ta dùng biểu thức gần ñúng cho hai vùng năng lượng
ñầu tiên, khi ñó ta có biểu thức của hàm sóng thừa số dạng tương ứng là :
ψ 0,1 = 3 (1 −

24 J 3 (qR)
r2
,
) ⇒ I 0,1, 0,1 (q) =
2
R
(qR) 3

r
R

ψ 0,1 = 12 ( −

48 J 3 (qR)

r3
) ⇒ I ±1,1, 0,1 (q) =
3
R
(qR) 3

2. Dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn
Thế năng giam giữ electron trong trường hợp này có dạng:
0
U (x) = 
∞

khi 0 ≤ x ≤ L x ,0 ≤ y ≤ L y .
khi x > Lx , y > L y .

V= ∞

Hình 4.1: Mô hình dây lượng tử hình chữ nhật (hình trái) và hình trụ (hình phải)

Việc tìm năng lượng và hàm sóng của electron trong dây lượng tử là một bài toán
cơ học lượng tử ñơn giản nhờ việc sử dụng phương pháp tách biến ñược trình bày

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-20-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

hầu hết trong các tài liệu về cơ học lượng tử. Hàm sóng và năng lượng của electron
bị giam giữ trong dây hình chữ nhật tương ứng với phương trình tìm ñược có dạng:
ψ n ,n ( x, y ) =
x

y

Enx ,n y =

n πy
n πx
2
sin( x ) sin( y ) ,
Lx
Ly
Lx L y

π 2 h 2 nx2

n y2

( + ).
2me L2x L2y

Hàm sóng và năng lượng của electron trong toàn bộ dây hình chữ nhật tương ứng
với phương trình là
ψ n ,n ( x, y , z ) =
x

y

Enx ,n y (k z ) =

1 ik z z
e
Lz

n yπy
n πx
2
sin( x ) sin(
),
Lx
Ly
Lx L y

2
h 2 k z2 h 2π 2 nx2 n y
+
( 2 + 2) .
2me
2me Lx Ly

Thừa số dạng xác ñịnh bằng biểu thức:
r
I nx ,n y ,n ' x ,n ' y ( q ) =
×

32π 4 (q x Lx nx n' x ) 2 [1 − (−1) nx +n 'x cos(q x Lx )]

×
[(q x Lx ) 4 − 2π 2 (q x Lx ) 2 (n x2 + n'2x ) + π 4 (nx2 − n'2x ) 2 ]2

32π 4 (q y L y n y n' y ) 2 [1 − (−1)

ny +n 'y

cos(q y L y )]

[(q y L y ) − 2π (q y L y ) (n + n' ) + π 4 (n y2 − n'2y ) 2 ]2
4

2

2

2
y

2
y

3. Dây lượng tử hình trụ với hố thế Parabol
Giả sử hố thế giam giữ dạng Parabol ñối xứng trong mặt phẳng xy:
V=

1 * 2 2
m ω0 R ; với ω0 là tần số hiệu dụng của hố thế. Hàm sóng và phổ năng lượng
2

thu ñược từ việc giải phương trình Schrodinger
e ikz
ψ=
L

r2

l

2n! 1 − 2 a02  r  l  r 2 
  Ln  2  ;
e
(n + l )! a0
 a0 
 a0 

Trong ñó a0 =

h
m ω0
*

h 2k 2
En ,l (k ) =
+ hω0 (2n + l + 1)
2m *

; Lnl là ña thức lagrange tổng quát.

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-21-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

V. NĂNG LƯỢNG VÀ HÀM SÓNG CỦA ELECTRON TRONG CHẤM
LƯỢNG TỬ.
Trong phần trên, ta ñã xét các hệ vật liệu trong ñó chuyển ñộng của ñiện tử bị giới
hạn theo một số chiều xác ñịnh trong không gian, và chuyển ñộng tự do theo các
chiều còn lại. Ở ñây ta sẽ xét trường hợp còn lại, khi chuyển ñộng của ñiện tử bị giới
hạn theo cả ba chiều trong không gian; hệ vật liệu như vậy ñược gọi là chấm lượng
tử (quantum dot). Với sự tiến bộ của công nghệ chế tạo vật liệu mới, chấm lượng tử
ngày càng ñóng vai trò quan trọng trong các nghiên cứu cơ bản.
Khi khảo sát phổ năng lượng của chấm lượng tử ta phải khảo sát phương trình
Schrodinger với thế năng là một hàm của ba tọa ñộ V=V(x,y,z) và ñiện tử bị giam
giữ theo cả ba chiều ta xét hai dạng thế ñơn giản nhất của chấm lượng tử.
1. Chấm lượng tử hình lập phương:
Xét hạt chuyển ñộng trong khối hộp ba chiều kích thước bằng a. khi ñó phương
trình tương ñương với hệ ba phương trình phụ thuộc riêng biệt vào các tọa ñộ ñiện
tử. Phương trình Schrodinger có thể giải bằng phương pháp phân ly biến số. Thế
năng

của

hạt

chuyển

ñộng

trong

khối

hộp

ba

chiều

có

dạng:

r
V (r ) = V ( x) + V ( y) + V ( z )

Bài toán ñưa về việc giải phương trình Schrodinger
 h2 ∂2

h2 ∂2
h2 ∂2
 −
−
−
+ V ( x, y, z ) ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )
*

2
*
2
*
2
2m ∂y
2m ∂z
 2m ∂x


Với

 0 khi
V ( x, y , z ) = 
∞ khi

x, y, z < a/2
x, y, z > a/2

(5.1)

(5.2)

Nghiệm của phương trình có dạng

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-22-

Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

ψ n ,n ,n = ψ n ( x)ψ n ( y )ψ n ( z ) và năng lượng En ,n
x

y

z

x

y

z

x

y ,nz

= E nx + E ny + Enz chúng ta quy quy

bài toán về việc giải ba phương trình Schrodinger ñộc lập cho từng tọa ñộ x, y, z.
Xét bài toán hạt chuyển ñộng theo phương x với thế năng có dạng
 0 khi
V ( x, y , z ) = 
∞ khi

x < a/2

(5.3)

x > a/2

Giải phương trình Schrodinger và thu ñược hàm sóng


ψ nx ( x ) = 



2
πn x
cos x , khi nx = 1,3,5...
a
a
πn x
2
sin x , khi n x = 2,4,6...
a
a

và En =
x

h2 2
kn
2m * x

(5.4)

Tương tự như vậy, ta thu ñược hàm sóng và phổ năng lượng cho hạt chuyển ñộng
trong khối ba chiều
ψ n ,n
x

En x =

y ,nz

= ψ nx ( x )ψ n y ( y )ψ nz ( z )

(5.5)

πn y2
h2
πnx2
πnz2
2
2
2
2
2
2
;
trong
ñó
;
;

(
k
+
k
+
k
)
k
=
k
=
k
=
nx
ny
nz
n
ny
nz
a2
a2
a2
2 m* x

Khi nx = n y = n z = 1 thì ñộ rộng vùng cấm hiệu dụng sẽ là: E g* =

3 π2
+ Eg
2m * a 2

2. Chấm lượng tử hình cầu
Tiếp theo ta sẽ nghiên cứu bài toán cho chấm lượng tử hình cầu. Xét tinh thể nano
với kích thước lớn hơn hằng số mạng. Với kích thước này các biểu kiến về cấu trúc
tinh thể có thể sử dụng ñược. Thế năng giả sử là:
r  0 khi r < R
U (r ) = 
V0 Khi r > R

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

(5.6)

-23-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

với R là bán kính quả cầu dẫn. Có thể viết hàm riêng dưới dạng phân ly biến số
trong tọa ñộ cầu:
r

r

ψ l ,m,n (r ) = Φ l ,m,n (r )Yl ,m (θ ) ; với Yl ,m (θ ) là hàm cầu ñiều hòa; l,m,n là các số lượng tử,

và phần hàm sóng phụ thuộc r thỏa mãn phương trình Schrodinger xuyên tâm sau:
−

r
r
1 d2
 l (l + 1)

[
rΦ l ,m ,n (r )] +  2 − k 2  Φ l .m.n (r ) = 0 khi r < R
2
r dr
 r


(5.7)

Và
−

r
r
1 d2
 l (l + 1)

[
rΦ l ,m,n (r )] +  2 + k 2  Φ l .m.n (r ) = 0 khi r > R
2
r dr
 r


(5.8)

Nghiệm của hai phương trình có dạng

r
Φ l , m ,n ( r ) =

r
)
2
R
R 3 J l +1 ( χ n,l )
J l ( χ n,l

(5.9)

Giá trị năng lượng riêng En,l ñược tính từ ñiều kiện hàm sóng triệt tiêu ở r=R, nghĩa
là J l ( χ nl

r
h 2 χ nl2
)
= 0 có dạng Enl =
+ Eg
R r=R
2m* R 2

Với Eg là hàm cầu Bessel ứng với các số lượng tử n và l. Đánh dấu các số lượng tử
l = 0,1,2... tương ứng với các lớp s, p, d, … ở trạng thái ñầu là

χ1s = π ;

χ1 p = 4.493; χ1d = 5.763; χ 2 s = 2π ; χ 2 p = 7.725.....

Dễ nhận thấy rằng, năng lượng lượng tử hóa của trạng thái cơ bản ( n = 1 và l = 0 )
ñược cho bởi E1, 0 =

h2 π 2
+ Eg
2m* R 2

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-24-


Đại học Sư Phạm Đà Nẵng

Chuyên ñề Vật lý cho các hệ thấp chiều

Năng lượng của hạt trong giếng thế cầu gồm các giá trị gián ñoạn và tỉ lệ nghịch với
bình phương bán kính R2. ñộ rộng vùng cấm trong trường hợp này
E g* =

h2 π 2
+ Eg
2m * R 2

Kết luận: Chúng ta thấy rằng nếu kích thước của hệ bị giảm sao cho chuyển ñộng
của ñiện tử bị giam giữ trong một lớp rất mỏng với ít nhất một chiều trong không
gian thì phải xét ñiện tử dưới quan ñiểm của cơ học lượng tử như hạt trong giếng thế

với phương trình Schrodinger. Do vậy, thay vì các trạng thái năng lượng liên tục,
ñiện tử trong vật liệu bị giam giữ trong các trạng thái lượng tử gián ñoạn. Với bán
dẫn, sự lượng tử hóa này xẩy ra khi ñộ dày vật liệu cỡ bước sóng De Broglie. Bước
sóng này phụ thuộc cả vào nhiệt ñộ lẫn khối lượng hiệu dụng của ñiện tử.
Khi kích thước các cấu trúc nano so sánh ñược với bước sóng De Broglie của hạt tải
(ñiện tử và lỗ trống), thì nghiệm của phương trình Schrodinger cho thấy chiều của
hệ ñóng vai trò quan trọng trong phổ năng lượng của hệ. Số chiều này ñược chia làm
bốn trường hợp:
- 3D(khối): Phổ năng lượng ñiện tử là liên tục, và ñiện tử chuyển ñộng gần như là tự
do
- 2D (hố lượng tử): Chuyển ñộng của ñiện tử bị giới hạn theo một chiều có kích
thước cỡ bước sóng De Broglie, trong khi chuyển của ñiện tử tự do theo hai chiều
còn lại. Phổ năng lượng của ñiện tử bị gián ñoạn theo chiều bị giới hạn.
- 1D (dây lượng tử): Điện tử bị giới hạn theo hai chiều, nó chuyển ñộng tự do dọc
theo chiều của sợi dây, phổ năng lượng gián ñoan theo hai chiều trong không gian.
- 0D (chấm lượng tử): Điện tử bị giới hạn theo cả ba chiều trong không gian, và
không chuyển ñộng tự do. Các mức năng lượng bị gián ñoạn theo cả ba chiều trong
không gian.

Người soạn: GV Nguyễn Văn Hiếu

-25-