Bài tập vận dụng cao, ứng dụng Mũ Logarit và giải bài toán Tròn xoay

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN

I. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Cho tứ diện ABCD . Có bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện
A. 1 .

B. 4 .

C. 5 .

D. Vô số.

Hướng dẫn.
Chọn A.

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.
Khi đó I cách đều các mặt  ABC  ,  ACD  nên I nằm trên mặt phẳng  P1  là phân giác của hai mặt
phẳng  ABC  ,  ACD  .
Tương tự.
 I nằm trên mặt phẳng  P2  là phân giác của hai mặt phẳng  ABC  ,  ABD  .
 I nằm trên mặt phẳng  P3  là phân giác của hai mặt phẳng  ABC  ,  BCD  .
Gọi d là giao tuyến của  P1  và  P2  và I là giao điểm của d và  P3  .
Điểm I tồn tại và duy nhất.
Câu 2. Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 nội tiếp trong hình cầu bán kính bằng 3 . Tính thể tích khối

trụ này.
A. 40 .

B. 20

C.

20
.
3

D. 36 .

Hướng dẫn

O'

A

B
Gọi R, r lần lượt là bán kính của hình cầu và bán kính đường tròn
đáy của hình trụ. Gọi h là chiều cao của hình trụ.

I

2

h
2
2

Theo bài ta có r  R     3  2  5 .
2

h

R

2

r

Suy ra thể tích của khối trụ là V   r 2 h   .5.4  20 .

O

D

C

Chọn đáp án B

Câu 3. Cho hình trụ có đường cao h  5cm , bán kính đáy r  3cm . Xét mặt phẳng  P  song song với
trục của hình trụ, cách trục 2cm . Tính diện tích S của thiết diện của hình trụ với mặt phẳng  P  .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 1 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

A. S  5 5cm2 .

Chuyên đề: Mũ - Logarit

B. S  6 5cm2 .

C. S  3 5cm2 .

D. S  10 5cm2 .

Hướng dẫn
Giả sử mặt phẳng  P  cắt hình trụ theo thiết diện
là hình chữ nhật ABBA như hình vẽ.
Gọi OH  AB tại H , khi đó OH  2cm .
Trong OHA có HA  OA2  OH 2  5 .
Khi đó AB  2HA  2 5 .
Vậy diện tích của thiết diện của hình trụ với mặt
phẳng  P  là S ABBA  AB. AA  2 5.5  10 5 .

Câu 4. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h .
Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
 a2h
 a2h
A. V 
.
B.
C. V  3 a 2 h .

D. V   a 2 h .
9
3
Hướng dẫn
Chọn B.
Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình tròn đáy là hình tròn ngoại
tiếp tam giác đáy của lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ.
Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng

3a
.
3

2

 3a   a 2 h
Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là V  h.S  h. . 
(đvtt).
 
3
 3 

Câu 5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB  2a , BC  3a . Gọi M , N là các điểm trên các cạnh AD , BC
sao cho MA  2MD , NB  2 NC . Khi quay quanh AB , các đường gấp khúc AMNB , ADCB sinh ra các
S
hình trụ có diện tích toàn phần lần lượt là S1 , S 2 . Tính tỉ số 1
S2
A.

S1 12

 .
S2 21

B.

S1 2
 .
S2 3

C.

S1 4
 .
S2 9

D.

S1 8
 .
S2 15

Hướng dẫn
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Hình trụ có diện tích toàn phần S1 , đường sinh MN  2a và bán kính đường tròn đáy là AM  2a
Diện tích toàn phần S1  2 . AM .MN  2 AM 2  16 a 2
Hình trụ có diện tích toàn phần S 2 , đường sinh DC  2a và bán kính đường tròn đáy là AD  3a
Diện tích toàn phần S2  2 . AD.DC  2 AD2  30 a 2 . Vậy

S1 16 8

 .
S2 30 15

Câu 6..Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền
bằng a 2 . Gọi BC là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng  SBC  tạo với mặt
phẳng đáy một góc 600 . Tính diện tích tam giác SBC

a2 3
3
Hướng dẫn
A. S 

B. S 

a2 2
3

C. S 

a2
3

D. S 

a2 2
2

- Phương pháp
-Phương pháp.Xác định góc giữa (SBC) và đáy, từ đó suy ra độ dài SI và BC

S

- Cách giải.
SAB vuông cân ở S, AB  a 2,SA  SB  a suy ra OB 

a 2
 SO
2

Gọi I là trung điểm BC, SBC cân ở S suy ra SI  BC
Góc (SBC, đáy)=góc SIO  600

sin SIO 

SO
a 6
 sin 600  SI 
SI
3

B

O

I

BC  2BI  2 SB2  SI 2 

a2 3
3

C

1
a2 2
 SSBC  SI.BC 
2
3
Câu 7. Cho một hình trụ T  có chiều cao và bán kính đều bằng 3. Một hình vuông ABCD có hai
cạnh AB, CD lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy, cạnh AD, BC không phải là đường
sinh của hình trụ T  . Tính cạnh của hình vuông này ?
A. 3.

B. 3 5.

C. 6.

D.

3 10
.
2

Hướng dẫn
Gọi cạnh hình vuông là a.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 3 -

A


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Gọi A1 là hình chiếu vuông góc của

Chuyên đề: Mũ - Logarit

A lên mặt phẳng chứa DC , khi đó AA1  CD

Lại có CD  AD nên suy ra CD   AA1D   CD  A1D
Vậy A1C là đường kính

Xét tam giác AA1 D vuông tại A1 có. a 2  9  A1D2  A1D2  a 2  9.

3 10

.
2
Câu 8. Khi cắt mặt cầu S  O, R  bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt
Xét tam giác A1DC vuông tại D có. 36  A1D 2  a 2  a 2  9  a 2  a 

kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S  O, R  nếu
một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình
trụ với nửa mặt cầu. Biết R  1 , tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu

S  O, R  để khối trụ có thể tích lớn nhất.
3
6
.
, h
2
2
HƯỚNG DẪN

A. r 

B. r 

6
3
.
, h
2
2

C. r 

6
3
.
, h
3
3

D. r 

3
6
.
, h
3
3

Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' là hình chiếu của O
xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới
hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có. h2  r 2  R2  0  h  R  1  r 2  1  h2
Thể tích khối trụ là. V   r 2 h   (1  h 2 ) h  f (h)  f '(h)   (1  3h 2 )  0  h 

h

3
3

0

f'(h)

+

0

3
3

1



2 3
9

f(h)
0
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

0
Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Vậy. MaxV 
 0;1

Chuyên đề: Mũ - Logarit

2 3
6
3
(đvtt) khi r 
và h 
9
3
3

Cách 2. Dùng bất đẳng thức.
Câu 9. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều
có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của tứ diện ABCD .
A.

a
.
2

B.

a 2
.
2

C. a 2 .

D. 2a .

Hướng dẫn giải
Chọn

B.

A

Bát diện đều IEFGHJ có cạnh IE 
kính R 

1
BC  a nội tiếp trong mặt cầu tâm O bán
2

1
a 2
.
EG 
2
2

E
I

Câu 10. Cho tứ diện ABCD có cạnh AB  CD  AC  BD  2a, AD  BC  a 2.

A. R 

a 3

.
2

B. R  a 2.

C. R  a 5.

O

B

Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

H

D

J

D.

F

G
C

a 5
.
2
Hướng dẫn

R

Gọi P là trung điểm của cạnh AD mà

 BA  BD  BP  AD
 AD   PBC  .

CA  CD  CP  AD
Gọi K là trung điểm của cạnh BC  AD  PK  PK là đường
trung trực của đoạn AD.
Khi đó gọi O là trung điểm của cạnh PK  OA  OD.
Ta có BAD  CAD  c  c  c   BP  CP mà KB  KC
 PK là đường trung trực của đoạn BC  OB  OC.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Hơn nữa OC  OK 2  KC 2 , OD  OP 2  PD2 và OK  OP, KC 

1
1

BC  AD  PD
2
2

 OC  OD  OA  OD  OC  OB  R.
2

 a 2   PK 2 2a 2  PK 2
Khi đó R  OC  CK  OK  
.
  
 
4
 2   2 
2

2

2

2

2

2

a 2
 a 2  a2
2
2

Mà PK  PC  CK  AC  AP  

4
a



   3a
2
 2 
 2 
2

 R2 

2

2

2

2

5a 2
a 5
R
.
4
2

II. BÀI TẬP LIÊN HỆ THỰC TẾ
Câu 11. Người ta bỏ 5 quả bóng bàn cùng kích thước vào một chiếc hộp hình trụ có đáy là hình tròn
có bán kính bằng bán kính của quả bóng bàn và chiều cao bằng 5 lần đường kính của quả bóng bàn.
S
Gọi S1 là tổng diện tích của 5 quả bóng bàn , S 2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số 1 là.
S2
6
3
A. 2 .
B. .
C. 1 .
D. .
5
2
Hướng dẫn
Gọi bán kính của quả bóng bàn là R

 R  0

Ta có chiều cao h của hình trụ bằng 5 lần đường kính của quả bóng bàn nghĩa là. h  5.2R  10R
Khi đó. S1  5.4 .R 2  20 R 2
Và S2  2 R.h  2 R.10R  20 R 2
Vậy.

S1
 1.
S2

Câu 12. Hình bên cho ta hình ảnh của một đồng hồ cát với các kích thước kèm theo OA  OB . Khi đó
tỉ số tổng thể tích của hai hình nón Vn  và thể tích hình trụ Vt  bằng.

A
1
2
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
4
5
2
3
R O h
Hướng dẫn.
Chọn

D.

1 h
 R 2h
Thể tích của mỗi khối nón là V1  . . R 2 
3 2
6
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

B
- Trang | 6 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Tổng thể tích của hai khối nón là Vn  2.

 R 2h
6

Chuyên đề: Mũ - Logarit



 R 2h
3

Vn 1

Vt 3
Câu 13. Cần xẻ một khúc gỗ hình trụ có đường kính d  40 cm và chiều dài h  3 m thành một cái xà
hình hộp chữ nhật có cùng chiều dài. Lượng gỗ bỏ đi tối thiểu xấp xỉ là
A. 1, 4 m3 .
B. 0,014 m3 .
C. 0,14 m3 .
D. 0, 4 m3 .
A
Hướng dẫn.
Thể tích của khối trụ là Vt   R 2h . Vậy

Lượng gỗ bỏ đi tối thiểu  thể tích cái xà lớn nhất
 diện tích đáy của cái xà lớn nhất.
 đáy là hình vuông nội tiếp đường tròn đáy.
Hình vuông này có đường chéo bằng đường kính đường tròn đáy.

D

O

B

C

A

D

2

O
1
2
 0, 4 
Vtru   R h   
B
 .3 ; Shh   0, 4  .
C
2
 2 
1

2
Vhh  Shh .h   0, 4  .3 ; Vgo bo di  Vtru  Vhh  0,14m3 .
2
Câu 14. Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao là 15cm , đường kính đáy là 6cm , lượng nước ban
đầu trong cốc cao 10cm . Thả vào cốc nước 5 viên bi hình cầu có cùng đường kính là 2cm . Hỏi sau khi
thả 5 viên bi, mực nước trong cốc cách miệng cốc bao nhiêu cm ? (Kết quả làm tròn sau dấu phẩy 2
chữ số).
A. 4,81cm .
B. 4, 25cm .
C. 4.26cm
D. 3,52cm .
Hướng dẫn.
2

r 3
Vcoc nuoc   r 2 .h   .15.32  135 .

Thể tích V1 của cốc nước sau khi thả 5 viên bi.
4
290
V1   .10.32  5.  .13 
.
3
3

290 115

.
3
3

Gọi h1 là khoảng cách từ mực nước trong cốc đến miệng cốc.
115
115
 32.h1 
 h1 
 4, 26cm .
3
27
Câu 15. Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng 4 dm , người ta cắt ra hình quạt tâm O bán kính
OA  4 dm (xem hình) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó OA trùng với OB ). Chiều
cao của chiếc phễu có số đo gần đúng (làm tròn đến 3 chữ số thập phân) là
Thể tích của phần còn trống. V2  V  V1  135 

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

A. 3,872 dm .
Hướng dẫn.ChọnD.

B. 3,874 dm .

Chuyên đề: Mũ - Logarit

C. 3,871 dm .

D. 3,873 dm .
O



.4  2 .
2
4 dm h
4 dm
Dựa vào đề bài ta thấy có thể tạo thành hình nón đỉnh O, đường
sinh OA .
Để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó OA trùng với
A B
OB ) thì chu vi C đường tròn đáy bằng độ dài cung AB bằng 2 .
I
2
 1.
Khi đó, C  2 R  R 
2
Xét tam giác OIA vuông tại I có OA  4 dm , IA  R  1 dm .
h  OI trong đó OI 2  OA2  IA2  42  12  15  OI  15  3,873 .
Vậy h  3,873 .
Câu 16. Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m , có bán kính
đáy 1m , với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng
với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu còn lại trong bồn (theo đơn
vị m3 )
Ta có cung AB có độ dài bằng

A. 12,637m3 .
Hướng dẫn.

B. 114,923m3 .

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

C. 11,781m3 .

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

D. 8,307m3 .

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Chọn A.

C

R OB
Nhận xét OH  CH  0,5  
suy ra OHB là tam giác nửa đều
2
2

 HOB  60  AOB  120
1
1
Suy ra diện tích hình quạt OAB là. S   R 2  
3
3
2
OB 3
3
Mặt khác. SAOB  2SHOB  SBOC 
( BOC đều)

4
4
1
3
Vậy diện tích hình viên phân cung AB là  
3
4
1
3
Suy ra thể tích dầu được rút ra. V1  5.   

4 
3

B

A
H

O

Thể tích dầu ban đầu. V  5. .12  5
Vậy thể tích còn lại. V2  V  V1 12,637m3 .
Câu 17. Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng
bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống
trong hộp chiếm.
A. 65,09% .

B. 47,64% .

C. 82,55% .

D. 83,3% .

Hướng dẫn
Gọi đường kính quả bóng bàn là d . Khi đó kích thước của hình hộp chữ nhật là d , d ,3d .
Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật là V1  d .d .3d  3d 3

4
d3 d3
Thể tích của ba quả bóng bàn. V2  3   r 3  4
.

3
8
2
Thể tích phần không gian còn trống. V3  V1  V2
Phần không gian còn trống trong hộp chiếm.

V3

V1

3d 3 

d3

3d 3

2 

3


2

3

47, 64% .

Câu 18. Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên
3
chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng
chiều cao của nó. Gọi V1 , V2 lần lượt
4
là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó.
A. 9V1  8V2 .

B. 3V1  2V2 .

C. 16V1  9V2 .

D. 27V1  8V2 .

Hướng dẫn
Chọn A.
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Gọi r1 là bán kính quả bóng, r2 là bán kính chiếc chén, h là chiều cao chiếc chén.

r h
h
Theo giả thiết ta có h  2r1  r1  và OO  1  .
2
2 4
2

h

r1=

O

2
r2

2

3
h h
Ta có r22        h2 .
 2   4  16

O'

3

4
4 h 1
Thể tích của quả bóng là V1   r13       h3
3
3 2 6

và thể tích của chén nước là V2  B.h   r22 h 

V 8
3
 h3  1  .
V2 9

16

Câu 19. Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình bên. Biết bán

A
rB

kính đáy bằng R  5cm, bán kính cổ r  2cm, AB  3cm, BC  6cm, CD  16cm. Thể tích phần
không gian bên trong của chai nước ngọt đó bằng.
A. 495  cm3  .

C

 

B. 462  cm3  .

D. 412  cm3  .

C. 490 cm3

Hướng dẫn

B

 
  r . AB  12  cm  .

Thể tích khối trụ có đường cao CD . V1   R 2 .CD  400 cm3 .

M

Thể tích khối trụ có đường cao AB . V2

E

2

R

3

D

r=2

Ta có
R=5
F

C

MC CF 5

  MB  4
MB BE 2

Thể tích phần giới hạn giữa BC . V3 

 



 R .MC  r .MB   78  cm  .
3
2

2

3

Suy ra. V  V1  V2  V3  490 cm3 .

Chọn C
Câu 20. Cho hai hình vuông có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên nhau sao
cho đỉnh X của một hình vuông là tâm của hình vuông còn lại (như hình vẽ). Tính
thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên xung quanh trục XY .
A. V 





125 1  2 
6

.

B. V 





125 5  2 2 
12

X

.

Y

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

C. V 





125 5  4 2 

24

. D. V 



Chuyên đề: Mũ - Logarit



125 2  2 
4

.

Hướng dẫn

X

Chọn C
Cách 1.

Khối tròn xoay gồm 3 phần.
Phần 1. khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng

5
có thể tích
2

125

5
V1       5 
.
4
2
2

5 2
có thể tích
2

Phần 2. khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng

Y

2

 5 2  5 2 125 2
1
V2     

 
3
2
12
 2 
Phần 3. khối nón cụt có thể tích là
2
5 2  1   5 2   5 2 5 2 5  125 2 2  1 
1

.
V3   
  

 
 
  2   2 
3
2
2
2
24


Vậy thể tích khối tròn xoay là



V  V1  V2  V3 















125 125 2 125 2 2  1  125 5  4 2 



.
4
12
24
24

Cách 2.
Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vuông ABCD là
125
VT   R 2 h 
4
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ hình vuông XEYF là

2
125 2
V2 N   R 2 h 
3
6
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành từ tam giác XDC là
1
125
VN    R 2 h 

3
24
5 4 2
Thể tích cần tìm V  VT  V2 N  VN   125
.
24

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 11 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

Câu 21. Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy bằng r  2m , chiều cao h  6m . Bác thợ
mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ. Gọi V là thể tích
lớn nhất của khúc gỗ hình trụ sau khi chế tác. Tính V .

A. V 

32 3
m .
9

B. V 

32 3
m .
3

C. V 

32 3
m  .
3

D. V 

32 2
m  .
9

Hướng dẫn.
Chọn A.
Giả sử khối trụ có bán kính đáy và đường cao lần lượt là x , h '
 0  x  2;0  h  6

h 2  x

 h  6  3x
6
2
Thể tích khối trụ. V   x2 h   x 2  6  3x   6 x 2  3 x3

S

Ta có.

V ( x)  12 x  9 x 2 , V ( x)  0  x  0  x 
Khi đó ta có thể suy ra được với x 

V

32 3
m 
9

h

h'
x

4
3

O

2-x
B

A

4
thì V đạt giá trị lớn nhất bằng
3

Câu 22. Một công ty mỹ phẩm chuẩn bị ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với
thiết kế một khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng
kem dưỡng như hình vẽ. Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là
R  3 3cm. Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất

(với mục đích thu hút khách hàng).

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 12 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

B. 54 cm3 .

A. 108 cm3 .

Chuyên đề: Mũ - Logarit

D. 45 cm3 .

C. 18 cm3 .

Hướng dẫn
Xét mặt cắt như hình vẽ

Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ nằm trong nửa khối cầu
Ta có r 2  h2  27  r 2  27  h2

Ta có V  h. r 2  h  27  h2    h3  27 h
Cách 1. Ta có V '  3 h2  27 ;V '  0  h  3 .
Vì hệ số a  0 nên để Vmax thì h  3  r 2  18  V  3. .18  54  cm3 
2
2 2
Cách 2. V  h   27  h



2 2



2
2

2h 2  27  h 2  27  h 2  

2
2
2
 2  2h   27  h    27  h  


2 


3

3

  2916 2



 V  54

Câu 23. Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể
tích V nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng
bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của
thùng (chi phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là h và
h
bán kính đáy là r . Tính tỉ số
sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng là
r
nhỏ nhất?.
h
h
A.  2 .
B.  3 2 .
r
r
h
h
C.  2 .
D.  6.
r

r
Hướng dẫn.
Không mất tính tổng quát, giả sử thể tích của hình trụ là V  1 và giá cho mỗi đơn vị diện tích bằng 1 .
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 13 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Theo bài ta có h 

Chuyên đề: Mũ - Logarit

1
h
1
  3.
2
r
r r

Diện tích xung quanh của hình trụ là S1  2 r.h  2 r.

1
2
 .

2
r
r

Diện tích mặt đáy S2   r 2 .

2
1 1
Suy ra giá vật liệu để làm hình trụ là f  .1  3.1.2 r 2    6 r 2  3 3 6 .
r
r r
h
1
1
1
1
6.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  6 r 2  r 3 
. Suy ra  3 
1
r r
r
6

6
Câu 24. Học sinh A sử dụng 1 xô đựng nước có hình dạng và kích thước giống như
hình vẽ, trong đó đáy xô là hình tròn có bán kính 20 cm , miệng xô là đường tròn bán
kính 30 cm , chiều cao xô là 80 cm . Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả
bao nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước là 20000 đồng/ 1 m3 (số tiền được làm
tròn đến đơn vị đồng)?

A. 35279 đồng.
C. 42116 đồng.

B. 38905 đồng.
D. 31835 đồng.

Hướng dẫn.
Chọn D
Ta xét hình nón đỉnh A , đường cao h  80 cm đáy là đường tròn tâm
O , bán kính bằng 30 cm . Mặt phẳng   cách mặt đáy 80 cm cắt
hình nón theo giao tuyến là đường tròn tâm O ' có bán kính bằng
20 cm . Mặt phẳng   chia hình nón thành 2 phần. Phần I là phần
chứa đỉnh A , phần II là phần không chứa đỉnh A (Như hình vẽ)
O ' B AO '
AO '
2


  AO '  160 cm  AO = 240 cm
Ta có
OC
AO
AO ' O ' O 3
1
Thể tích hình nón V  AO. .302  72000 cm3
3
1
64000
 cm3
Thể tích phần I là V1  AO '. .202 

3
3
152000
19
 cm3 
  m3 
Vậy thể tích cái xô là thể tích phần II là V2  V  V1 
3
375
19
.10.20000  31835 đồng.
Vậy số tiền phải trả là T 
375
Câu 25. Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa. Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật
hoặc hộp sữa có dạng khối trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt(tức diện tích
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

- Trang | 14 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn)

Chuyên đề: Mũ - Logarit

toàn phần của hộp nhỏ nhất), nhưng vẫn phải chứa được một thể tích xác định là V cho trước. Khi
đó diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất trong hai phương án là
A.

3

2 V 2 .

3
2
B. 6 V .

3
2
D. 3 2 V

3
2
C. 3 6V .

Hướng dẫn.

h
h

R

a

b

Trường hợp 1. Hộp sữa hình trụ

V
2V
, Stp  2 R 2  2 Rh  2 R 2 
2
R
R
V
V
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba số dương 2 R 2 , ,
R R
V V
V V
Ta có Stp  2 R 2    3 3 2 R 2 . .  3 3 2V 2 (*)
Giáo viên
R R
R R
Nguồn
Trường hợp 2. Hộp sữa hình hộp chữ nhật
Thể tích không đổi
V
V
V
V V

V  abh  h  ; Stp  2ab  2  a  b  h  2ab  2a.  2b.  2  ab   
ab
ab
ab
b a


V V
Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho bộ ba số dương ab; ;
a b
V V
Ta có Stp  2.3 3 ab. .  6 3 V 2 (**)
a b
Xét hai kết quả ta thấy (*) nhỏ hơn
Thể tích không đổi V   R 2 h  h 

: Lê Anh Tuấn
:

Hocmai.vn

Vậy diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất là Stp  3 3 2V 2 (đvdt)
ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1.A

4.B

7.D

10.D

13.C

16.A

19.C

22.B

2.B

5.D

8.C

11.C

14.C

17.B

20.C

23.D

3.D

6.B

9.B

12.D

15.D

18.A

21.A

24.D

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 69-33

25.D

- Trang | 15 -