TÌM GTLN, GTNN của hàm số

TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Cho hai số thực thay đổi x, y thỏa: x2 + y2 =2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P=
2 (x3+y3)-3xy.

Bài 2: Tìm GTLN, GTNN của y=

s inx + cos x

trên [0;

π / 2]

Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= sin2010x+cos2010x
Bài 4: Cho y ≤ 0 và x2 + x = y +12. Tìm GTLN, GTNN của A= xy + x +2y +17
x −1

Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của y=

x2 + 1

trên [-1;2]

Bài 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= sin3x-cos2x+sinx+2

Bài 7: Tìm GTLN, GTNN của y= (3-x)

x2 + 1

trên [0;2]

1) Cho hai số thực thay đổi x, y thỏa: x2 + y2 =2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

P= 2 (x3+y3)-3xy
Ta có (x+y)2-2xy=2
Đặt t=x+y. Ta có xy=t2/2-1
ĐK: (x+y)2-4xy>=0  t2-2t2+4>=0
-t2+4>=0  -2 ≤ t ≤2
Ta có P=2(x+y)(x2+y2-xy)-3xy=2(x+y)(2-xy)-3xy
P= 2t (2-(t2/2-1))-3(t2/2-1)=-t3-3t2/2+6t+3=f(t)
f’(t)=-3t2-3t+6 f’(t)=0  t=1 hay t=-2
 f (1) = 13 / 2

 f (−2) = −7
 f (2) = 1


Vậy max P= max f(t)=13/2
Min P= min f(t) = -7


2) Tìm GTLN, GTNN của y=

y' =

s inx + cos x

trên [0;

π / 2]

cos x
s inx
−
2 s inx 2 cos x

y ' = 0 <=> cos x cos x = s inx s inx <=> s inx = cos x
<=>tan x=1

Ta có

 f (0) = 1

 f (π / 2) = 1

4
 f (π / 4) = 8

max y = 4 8
xε [0;π /2]

min y = 1

xε [0;π /2]

Vậy
3) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= sin2010x+cos2010x
Đặt t= sin2x với x ϵ R ta có t ϵ [0;1]
Ta có y= t1005 + (1-t) 1005 = f(t) với t ϵ [0;1]
f’(t)= 1005 t 1004 – 1005 (1-t)1004
f’(t)=0  t=

f(0)=1
f(1)=1

±

(1-t)  t=1/2

1
1004

2

f(1/2)=
max y= max f(t)=1
1
1004

miny=minf(t)=

2

4) Cho y ≤ 0 và x2 + x = y +12. Tìm GTLN, GTNN của A= xy + x +2y +17
 y= x2 +x -12 ≤ 0  -4 ≤ x ≤3

Ta có A= f (x) = x(x2 +x -12) +x +2(x2+ x -12) +17
= x3 + 3 x2 -9x – 7 với -4 ≤x ≤3
f’(x)= 3x2 +6x -9


x = 1

 x = −3


f’(x)=0 
Ta có f(-4)=13
f(3)= 20
f(1)= -12
f(-3)=20
max A= max f(x) =20
min A = min f(x) = -12
5) Tìm GTLN, GTNN của y=

y' =

x −1
x2 + 1

1+ x

( x 2 + 1)3

trên [-1;2]

∀

≥ 0 x ϵ [-1;2]
 Hs đồng biến trên [-1;2]
 Max f(x) =f(2)=
 Min f(x)= f(-1) =

1
5

− 2

6) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= sin3x-cos2x+sinx+2

∀

Đặt t= sinx, x ϵ R => t ϵ [-1;1] với x ϵ R
Ta có y= t3 – ( 1- 2t2) +2+ t = t3 +2t2+t+1 = f(t)/[-1;1]
f’(t) = 3t2 + 4t +1
f’( t) =0  t=-1 hơặc t= -1/3
Ta có
f(-1)=1
f(1)= 5
f( -1/3)= 23/27
Vậy max y= 5
Min y= 23/27
7) Tìm GTLN, GTNN của y= (3-x)

x2 + 1

trên [0;2]


y' =

−2x 2 + 3x − 1
x +1

2

f(0)=3
f(2)=
f(1/2)=

5
5 5
4

f(1)= 2
max y=3
min y=

2

5

y’=0 

x =1
 x = 1/ 2
